Tài liệu Bài tập các quy tắc đếm cơ bản hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp

Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt C¸c quy t¾c ®Õm c¬ b¶n Ho¸n vÞ ... ChØnh hîp ... Tæ hîp I ... C¸c quy t¾c ®Õm c¬ b¶n 1/ Quy t¾c céng Mét c«ng viÖc A ®îc chia ra k c«ng viÖc A1 , A2 , ... , Ak ®Ó thùc hiÖn ; mçi c«ng viÖc ®éc lËp kh«ng liªn quan ®Õn nhau . Trong ®ã : + C«ng viÖc A1 cã n1 c¸ch thùc hiÖn + C«ng viÖc A2 cã n2 c¸ch thùc hiÖn + C«ng viÖc A3 cã n3 c¸ch thùc hiÖn ... + C«ng viÖc Ak cã nk c¸ch thùc hiÖn . Khi ®ã sè c¸ch thùc hiÖn c«ng viÖc A lµ : (n1 + n2 + ... + nk) c¸ch . 2/ Quy t¾c nh©n Mét c«ng viÖc A ®îc thùc hiÖn lÇn lît qua k giai ®o¹n A1 , A2 , ... , Ak . Trong ®ã : + Giai ®o¹n A1 cã n1 c¸ch thùc hiÖn + Giai ®o¹n A2 cã n2 c¸ch thùc hiÖn + Giai ®o¹n A3 cã n3 c¸ch thùc hiÖn ... + Giai ®o¹n Ak cã nk c¸ch thùc hiÖn . Víi mçi c¸ch thùc hiÖn ë giai ®o¹n nµy kh«ng trïng víi bÊt cø c¸ch thùc hiÖn nµo ë giai ®o¹n cßn l¹i . Khi ®ã sè c¸ch thùc hiÖn c«ng viÖc A lµ : (n1. n2 ... nk) c¸ch .  Chó ý : Víi bµi to¸n ph¶i chia ra c¸c trêng hîp th× sau khi xÐt c¸c trêng hîp ta ph¶i dïng quy t¾c céng . II ... Ho¸n vÞ 1/ Kh¸i niÖm : Cho mét tËp hîp X gåm n phÇn tö ( n ≥ 1) . Khi ®ã mçi c¸ch s¾p thø tù n phÇn tö cña X gäi lµ mét ho¸n vÞ cña n phÇn tö . 2/ C«ng thøc tÝnh sè c¸c ho¸n vÞ cña n phÇn tö Pn = n! = 1.2.3...n III ... ChØnh hîp 1/ Kh¸i niÖm : Cho mét tËp hîp X gåm n phÇn tö ( n ≥ 1) . Khi ®ã mét chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö (0  k  n , k  N) lµ mét bé s¾p thø tù gåm k phÇn tö kh¸c nhau lÊy tõ n phÇn tö cña X . 2/ C«ng thøc tÝnh sè c¸c chØnh hîp chËp k cña n phÇn tö A kn = n! (0≤k ≤n) (n  k) !  Chó ý : Ho¸n vÞ lµ mét chØnh hîp chËp n cña n phÇn tö kh¸c nhau Pn = A nn = n! =n! (n  n) ! IV ... tæ hîp 1/ Kh¸i niÖm : Cho mét tËp hîp X gåm n phÇn tö ( n ≥ 1) . Khi ®ã mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö (0  k  n , k  N) lµ mét tËp con gåm k phÇn tö kh¸c nhau lÊy tõ n phÇn tö cña X . 2/ C«ng thøc tÝnh sè c¸c tæ hîp chËp k cña n phÇn tö Ckn = n! (0≤k ≤n) k!(n  k) ! 3/ C¸c tÝnh chÊt cña tæ hîp  Ckn = Cnn - k  Ckn + Ckn + 1 = Ckn ++ 11 4/ Chó ý : Ph©n biÖt ho¸n vÞ , chØnh hîp , tæ hîp  Ho¸n vÞ lµ s¾p thø tù toµn bé c¸c phÇn tö cña tËp X .  ChØnh hîp lµ lÊy ra mét vµi phÇn tö cña X vµ s¾p thø tù .  Tæ hîp lµ chØ lÊy ra mét vµi phÇn tö cña X kh«ng s¾p thø tù . 1 Trường THPT Gò Công Đông GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt D¹ng 1 : Bµi to¸n tËp hîp sè A . Mét sè chó ý 1/ Sè ch½n : Ch÷ sè tËn cïng lµ : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 2/ Sè lÎ : Ch÷ sè tËn cïng lµ : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 3/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 3 : Tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 3 . 4/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 9 : Tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 . 5/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 5 : Sè tËn cïng lµ 0 ; 5 . 6/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 6 : Sè ®ã ®ång thêi chia hÕt cho 2 vµ 3 . 7/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 4 : Hai sè tËn cïng chia hÕt cho 4 . 8/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 8 : Ba sè tËn cïng chia hÕt cho 8 . 9/ DÊu hiÖu chia hÕt cho 10 : Sè tËn cïng lµ 0 .  Gi¶ sö sè ph¶i lËp cã d¹ng : N = a1a 2a 3a 4 ...a n . Khi chän c¸c ch÷ sè a1 , a2 , ... , an ta chän nh÷ng ch÷ sè bÞ rµng buéc tríc . VÝ dô + a1 ph¶i kh¸c 0 + NÕu N lÎ th× an ph¶i chän c¸c sè lÎ 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 . B . Bµi tËp Bµi 1 : Cho tËp A cã c¸c phÇn tö 1,2,3,4,5,6,7 . Cã bao nhiªu sè cã n¨m ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau ®îc lÊy ra tõ tËp A . Gi¶i C¸ch 1  TËp A kh«ng chøa sè 0 .  Sè c¸c sè cã n¨m ch÷ sè ®îc lÊy tõ tËp A lµ sè chØnh hîp chËp 5 cña 7 phÇn tö nªn cã A 57 = 2520 sè . C¸ch 2 : Gäi sè cÇn t×m lµ N = a1a 2a 3a 4a 5  Chän a1 cã 7 c¸ch (chó ý a1 ≠ 0 )  Chän a2 cã 6 c¸ch ...  Chän a5 cã 3 c¸ch Theo quy t¾c nh©n cã : 7.6.5.4.3 = 2520 sè tho¶ m·n . Bµi 2 : Cho tËp A cã c¸c phÇn tö 0,1,2,3,4,5,6,7 . Cã bao nhiªu sè cã n¨m ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau ®îc lÊy ra tõ tËp A . Gi¶i C¸ch 1  TËp A chøa sè 0 .  Gäi sè cÇn t×m lµ N = a1a 2 a 3a 4 a 5  Chän a1 cã 7 c¸ch v× a1 ≠ 0  Bèn ch÷ sè cßn l¹i cã A 74 c¸ch chän . Theo quy t¾c nh©n co 7. A 74 = 5880 sè tho¶ m·n . C¸ch 2 : Gäi sè cÇn t×m lµ N = a1a 2a 3a 4a 5  Chän a1 cã 7 c¸ch v× a1 ≠ 0  Chän a2 cã 7 c¸ch  Chän a3 cã 6 c¸ch  Chän a4 cã 5 c¸ch  Chän a5 cã 4 c¸ch Theo quy t¾c nh©n cã : 7.7.6.5.4 = 5880 sè tho¶ m·n . Bµi 3 : Cho tËp A = {1,2,3,4,5} 1/ Tõ tËp A cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm cã 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau ? TÝnh tæng c¸c sè nµy . 2/ Tõ tËp A cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè ch½n gåm cã 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau . 3/ Tõ tËp A cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè lÎ gåm cã 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau . 4/ Tõ tËp A cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm cã 3 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau sao cho c¸c sè nµy chia hÕt cho 9. 2 Trường THPT Gò Công Đông GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt Gi¶i 1/ a) Sè c¸c sè cã 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau lµ : P5 = A 55 = 120 (sè) b) TÝnh tæng  NhËn xÐt : Trong 120 sè trªn cã 60 cÆp sè mµ mçi cÆp sè ®Òu cã tæng b»ng 66666 VÝ dô : (12345 vµ 54321 ; 13254 vµ 53412 ; 43512 vµ 23154 ...)  Do ®ã , tæng cña 120 sè lµ : S = 60.66666 = 3999960 2/ Gäi sè cÇn t×m lµ N = a1a 2 a 3a 4 a 5 . V× N lµ sè ch½n nªn  Chän a5 cã 3 c¸ch (1 , 3 , 5)  Chän a1 cã 4 c¸ch  Chän a2 cã 3 c¸ch  Chän a3 cã 2 c¸ch  Chän a4 cã 1 c¸ch Theo quy t¾c nh©n cã : 3.4.3.2.1 = 72 (sè lÎ) 3/ T¬ng tù cã 2.4.3.2.1 = 48 sè ch½n 4/ Gäi sè cÇn t×m lµ N = a1a 2 a 3 . V× N lµ sè chia hÕt cho 9 nªn ta cã : (a1 + a2 + a3 ) chia hÕt cho 9 . Nªn ta chän bé ba ch÷ sè (a1 ; a2 ; a3 ) lµ : {(1,3,5) ; (2,3,4)}  Trêng hîp 1 : Chän bé (1,3,5) cã P3 = A 33 = 6 sè tho¶ m·n .  Trêng hîp 2 : Chän bé (2,3,4) cã P3 = A 33 = 6 sè tho¶ m·n . Theo quy t¾c céng cã : 6 + 6 = 12 sè tho¶ m·n . Bµi 4 : Víi c¸c sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè tù nhiªn cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã lu«n cã mÆt ch÷ sè 5 . Gi¶i Gäi sè cÇn t×m lµ N = a1a 2a 3a 4 C¸ch 1 : Bíc 1 : T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau  Chän a1 cã 6 c¸ch v× a1 ≠ 0 .  Chän a2 cã 6 c¸ch  Chän a3 cã 5 c¸ch  Chän a4 cã 4 c¸ch  Theo quy t¾c nh©n cã : 6.6.5.4 = 720 sè . Bíc 2 : T×m tÊt c¶ c¸c sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau nhng kh«ng cã ch÷ sè 5 (bá ch÷ sè 5) Cã 5.5.4.3 = 300 sè . Bíc 3 : Sè c¸c sè cã 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã lu«n cã mÆt ch÷ sè 5 lµ : 720 ... 300 = 420 sè . C¸ch 2 - Chän a1 = 5 - Chän a2 = 5 .... - Chän a4 = 5 Bµi 5 : Cã bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau t¹o thµnh tõ c¸c ch÷ sè 1,2,3,4,5,6 mµ c¸c sè ®ã nhá h¬n 345 . Gi¶i Gäi sè cÇn t×m lµ N = a1a 2 a 3 . V× N < 345 nªn a1 chØ cã thÓ lµ 1 , 2 , 3 .  Trêng hîp 1 : a1 = 1  N = 1a 2a 3 + Chän a2 cã 5 c¸ch chän . + Chän a3 cã 4 c¸ch chän .  Cã 5.4 = 20 sè d¹ng 1a 2 a 3  Trêng hîp 2 : a1 = 2  N = 2a 2a 3 + Chän a2 cã 5 c¸ch chän . + Chän a3 cã 4 c¸ch chän .  Cã 5.4 = 20 sè d¹ng 2a 2a 3 Trường THPT Gò Công Đông 3 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt  Trêng hîp 3 : a1 = 3  N = 3a 2 a 3 * Chän a2 cã 3 c¸ch chän (1 , 2 , 4 ). - NÕu a2 = 1 th× a3 cã 4 c¸ch chän (2,4,5,6)  Cã 4 sè d¹ng 31a 3 tho¶ m·n - NÕu a2 = 2 th× a3 cã 4 c¸ch chän (1,4,5,6)  Cã 4 sè d¹ng 32a 3 tho¶ m·n - NÕu a2 = 4 th× a3 cã 2 c¸ch chän (1,2)  Cã 2 sè d¹ng 34a 3 tho¶ m·n  Cã 4 + 4 + 2 = 10 sè d¹ng 3a 2 a 3 tho¶ m·n VËy theo quy t¾c céng cã : 20 + 20 + 10 = 50 sè tho¶ m·n bµi to¸n . Bµi 6 : Cho c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5 . Cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè gåm 8 ch÷ sè trong ®ã ch÷ sè 5 lÆp l¹i 3 lÇn , c¸c ch÷ sè cßn l¹i cã mÆt ®óng 1 lÇn . Gi¶i Gäi sè cÇn t×m lµ N = a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 a 8 . V× trong N ch÷ sè 5 cã mÆt 3 lÇn nªn ta ghi thªm : 0,1,2,3,4,5,5,5 .  Chän a1 cã 7 c¸ch v× a1 ≠ 0  Chän a2 cã 7 c¸ch  Chän a3 cã 6 c¸ch  Chän a4 cã 5 c¸ch  Chän a5 cã 4 c¸ch  Chän a6 cã 3 c¸ch  Chän a7 cã 2 c¸ch  Chän a8 cã 1 c¸ch  Theo quy t¾c nh©n cã : 7.7.6.5.4.3.2.1 = 35280 sè . * Trong N ch÷ sè 5 cã mÆt 3 lÇn nªn khi ta ho¸n vÞ 3 ch÷ sè 5 nµy th× N vÉn kh«ng thay ®æi nªn N bÞ lÆp l¹i 3! lÇn . VËy sè c¸c sè tho¶ m·n bµi to¸n lµ : 35280 = 5880 sè . 3! VÝ dô : Sè 10355564 th× khi ta ho¸n vÞ 3 ch÷ sè 5 vÉn ®îc sè ®ã . Bµi 7 : Tõ c¸c ch÷ sè 1,2,3,4,5,6 thiÕt lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 6 ch÷ sè kh¸c nhau mµ hai ch÷ sè 1 vµ 6 kh«ng ®øng c¹nh nhau . Gi¶i  Sè c¸c sè cã 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau lµ : P6 = A 66 = 6! = 720 sè  B©y giê ta t×m sè c¸c sè cã 6 ch÷ sè mµ hai ch÷ sè 1 vµ 6 ®øng c¹nh nhau . - Hai ch÷ sè 1 vµ 6 ®øng c¹nh nhau ta xem nh mét sè a thèng nhÊt . VËy b©y giê cßn c¸c ch÷ sè : 2,3,4,5,a  Cã A 55 = 5! = 120 sè . - Mçi lÇn ta ho¸n vÞ hai ch÷ sè 1 vµ 6 trong a ta ®îc 2! Sè míi .  cã c¶ th¶y : 2!.120 = 240 sè mµ cã hai ch÷ sè 1 vµ 6 ®øng c¹nh nhau . VËy sè c¸c sè cã 6 ch÷ sè kh¸c nhau mµ hai ch÷ sè 1 vµ 6 kh«ng ®øng c¹nh nhau lµ : 720 ... 240 = 480 sè Bµi 8 : Tõ 10 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau sao cho trong c¸c sè ®ã lu«n cã mÆt ch÷ sè 0 vµ 1 . Gi¶i Gäi sè cÇn t×m lµ N = a1a 2a 3a 4a 5a 6  Trêng hîp 1 : a1 = 1  N = 1a 2a 3a 4a 5a 6 - Cã 5 vÞ trÝ cho ch÷ sè 0 - Cßn 4 vÞ trÝ cßn l¹i cã A 84 c¸ch chän .  Cã 5. A 84 = 8400 sè d¹ng 1a 2a 3a 4a 5a 6 tho¶ m·n bµi to¸n .  Trêng hîp 2 : a2 = 1  N = a11a 3a 4a 5a 6 - Cã 4 vÞ trÝ cho ch÷ sè 0 v× a1 ≠ 0 Trường THPT Gò Công Đông 4 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt - Cßn 4 vÞ trÝ cßn l¹i cã A 84 c¸ch chän .  Cã 4. A 84 sè d¹ng a11a 3a 4a 5a 6 tho¶ m·n bµi to¸n .  NÕu a3 = 1 hoÆc a4 = 1 hoÆc a5 = 1 hoÆc a6 = 1 th× còng t¬ng tù nh a2 = 1 . VËy theo quy t¾c céng cã : 5. A 84 + 5.(4. A 84 ) = 8400 + 33600 = 42000 sè tho¶ m·n bµi to¸n . Bµi tËp tù gi¶i Bµi 9 : T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn lÎ gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau vµ lín h¬n 70.000 §¸p sè  C¸c ch÷ sè lÊy lµ : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 .  Cã 4386 sè tho¶ m·n . Bµi 10 : Tõ c¸c ch÷ sè 1,2,3,4,5,6,7 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau ®«i mét sao cho sè võa t×m ®îc lín h¬n 300 vµ nhá h¬n 600 . §¸p sè  a1 chän 3 , 4 , 5  Cã 90 sè tho¶ m·n Bµi 11 : Tõ c¸c sè 0,1,2,3,4,5 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau ®«i mét tho¶ m·n : 1/ Kh«ng b¾t ®Çu b»ng 123 . 2/ Kh«ng tËn cïng b»ng 4 . §¸p sè 1/ (Dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ ) . Cã 594 sè tho¶ m·n bµi to¸n . 2/ a5 ≠ 4 . Cã 504 sè tho¶ m·n bµi to¸n . Bµi 12 : Tõ c¸c sè 0,1,2,3,4,5 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã 3 ch÷ sè kh¸c nhau ®«i mét tho¶ m·n kh«ng chia hÕt cho 3 . §¸p sè  Dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ (T×m sè c¸c sè chia hÕt cho 3 tríc )  Cã 60 sè tho¶ m·n bµi to¸n . Bµi 13 : Tõ c¸c sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®îc bao nhiªu sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau ®«i mét tho¶ m·n : 1/ Lu«n cã mÆt ch÷ sè 6 vµ ch÷ sè hµng tr¨m lµ 4 . 2/ Mét trong hai sè ®Çu tiªn lµ 3 vµ sè ®ã chia hÕt cho 5 . §¸p sè 1/ Cã 52 sè cÇn t×m . 2/ Cã 76 sè cÇn t×m . Bµi 14 : 1/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã ch÷ sè ®øng ®Çu tiªn lµ sè lÎ . 2/ Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 6 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau trong ®ã cã ®óng 3 ch÷ sè lÎ vµ 3 ch÷ sè ch½n (ch÷ sè ®Çu tiªn ph¶i kh¸c 0) §¸p sè Ta lÊy c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1/ Cã 42000 sè tho¶ m·n 2/  Chän bÊt k× 3 sè lÎ trong 5 sè lÎ lµ mét tæ hîp chËp 3 cña 5 : C35  Chän bÊt k× 3 sè lÎ trong 5 sè ch½n lµ mét tæ hîp chËp 3 cña 5 : C35 Mçi lÇn ho¸n vÞ 6 ch÷ sè ®· chän ta sÏ cã 6! Sè míi .  Cã C35 . C35 .6! sè cã 3 ch÷ sè ch½n vµ 3 ch÷ sè lÎ .  Khi ta ho¸n vÞ nh trªn th× cã trêng hîp cã sè 0 nh¶y lªn ®øng ®Çu .XÐt trêng hîp nµy cã C35 . C24 .5! sè . VËy cã : C35 . C35 .6! - C35 . C24 .5! = 64800 sè tho¶ m·n bµi to¸n . Bµi 15 : Cã bao nhiªu sè tù nhiªn cã 7 ch÷ sè ®ång thêi tho¶ m·n c¸c tÝnh chÊt sau : 1/ Ch÷ sè ë vÞ trÝ thø 3 lµ mét sè ch½n . 2/ Ch÷ sè ë vÞ trÝ cuèi cïng kh«ng chia hÕt cho 5 . 3/ C¸c ch÷ sè ë vÞ trÝ thø 4 , thø 5 vµ thø 6 ®«i mét kh¸c nhau . 3 §¸p sè Cã 10.10.5. A10 .8 = 2.880.000 sè tho¶ m·n bµi to¸n . Trường THPT Gò Công Đông 5 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt D¹ng 2 : Bµi to¸n chän ngêi Bµi 1 : Mét líp häc cã 10 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷ . Hái 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ®éi gåm 12 ngêi . 2/ Chän ra mét ®éi v¨n nghÖ gåm 13 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt 10 n÷ vµ ph¶i cã c¶ nam vµ n÷ . Gi¶i 1/  Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 10 + 15 = 25 häc sinh .  Chän 12 ngêi bÊt k× trong 25 ngêi cã C12 c¸ch chän . 25 2/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau * Trêng hîp 1 : 10 n÷ vµ 3 nam  Cã C10 . 3 c¸ch chän 15 C10 * Trêng hîp 2 : 11 n÷ vµ 2 nam  Cã C11 . 2 c¸ch chän 15 C10 * Trêng hîp 3 : 12 n÷ vµ 1 nam  Cã C12 . 1 c¸ch chän 15 C10 Theo quy t¾c céng cã : C10 . 3 + C11 . 2 + C12 . 1 = 426335 c¸ch chän 15 C10 15 C10 15 C10 Bµi 2 : Mét líp häc cã 8 häc sinh nam vµ 12 häc sinh n÷ . Hái 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ®éi gåm 6 ngêi cã c¶ nam vµ n÷ . 2/ Chän ra mét nhãm gåm 10 ngêi trong ®ã cã Ýt nhÊt 2 nam . Gi¶i 1/ Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 20 häc sinh  C¸ch 1 : Chia ra c¸c trêng hîp + Cã 1 nam vµ 5 n÷ + Cã 2 nam vµ 4 n÷ + Cã 3 nam vµ 3 n÷ + Cã 4 nam vµ 2 n÷ + Cã 5 nam vµ 1 n÷  Dïng quy t¾c céng .  C¸ch 2 : Dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ - Chän ra 6 ngêi bÊt k× trong 20 ngêi cã C620 c¸ch - Chän ra 6 ngêi toµn lµ nam trong 8 nam cã C86 c¸ch 6 - Chän ra 6 ngêi toµn lµ n÷ trong 12 n÷ cã C12 c¸ch 6  Sè c¸ch chän 6 ngêi cã c¶ nam vµ n÷ lµ : C620 - C86 - C12 = 37808 c¸ch . 2/ Chia ra c¸c trêng hîp  cã 183370 c¸ch chän . Bµi 3 : Mét líp häc cã 6 häc sinh nam vµ 9 häc sinh n÷ trong ®ã cã B×nh . Hái 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän tõ ®ã ra mét ban ®¹i diÖn gåm 7 ngêi trong ®ã lu«n cã mÆt cña B×nh . 2/ Chän ra mét nhãm gåm 8 ngêi trong ®ã cã mét tæ trëng cßn l¹i lµ thµnh viªn biÕt r»ng kh«ng cã B×nh trong ®ã . Gi¶i 1/ Tæng sè häc sinh cña líp lµ : 6 + 9 = 15 häc sinh 6  V× ban ®¹i diÖn lu«n cã mÆt cña B×nh nªn ta chØ cÇn chän 6 ngêi trong 14 b¹n cßn l¹i . VËy cã C14 c¸ch chän ban ®¹i diÖn . 2/ V× kh«ng cã B×nh tham gia nªn chØ cã 14 b¹n .  Chän mét tæ trëng cã C114 c¸ch chän . (cßn 13 b¹n ) 7  Chän 7 b¹n cßn l¹i trong 13 b¹n cã C13 c¸ch chän . 7  Theo quy t¾c nh©n cã : C114 . C13 = 24024 c¸ch chän Trường THPT Gò Công Đông 6 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt Bµi 4 : Mét líp cã 20 häc sinh trong ®ã cã Nam . 1/ Chän ra mét tæ trùc nhËt cã 8 b¹n , trong ®ã cã mét tæ trëng vµ cßn l¹i lµ thµnh viªn . Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nÕu Nam lu«n cã mÆt trong tæ . 2/ Chän ra mét ®éi v¨n nghÖ 10 ngêi trong ®ã cã 1 tæ trëng , 1 th kÝ vµ c¸c thµnh viªn . Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nÕu Nam nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt . Gi¶i 1/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau : 7  Trêng hîp 1 : Nam lµ tæ trëng  ChØ cÇn chän 7 b¹n cßn l¹i trong 19 ngêi cßn l¹i  Cã C19 c¸ch chän .  Trêng hîp 2 : Nam kh«ng lµ tæ trëng - Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cßn l¹i cã C119 c¸ch chän . 6 - Chän 6 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã C18 c¸ch chän . 6  Cã C119 . C18 c¸ch chän . 7 6 VËy theo quy t¾c céng cã : C19 + C119 . C18 c¸ch chän . 2/ Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  Trêng hîp 1 : Nam lµ tæ trëng - Chän mét th kÝ trong 19 ngêi cã C119 c¸ch chän . 8 - Chän 8 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã C18 c¸ch 8  Cã C119 . C18 c¸ch chän .  Trêng hîp 2 : Nam lµ th kÝ - Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cã C119 c¸ch chän . 8 - Chän 8 thµnh viªn trong 18 ngêi cßn l¹i cã C18 c¸ch 8  Cã C119 . C18 c¸ch chän  Trêng hîp 3 : Nam lµ thµnh viªn . - Chän mét tæ trëng trong 19 ngêi cã C119 c¸ch chän . - Chän mét th kÝ trong 18 ngêi cã C118 c¸ch chän . 7 - Chän 7 thµnh viªn trong 17 ngêi cßn l¹i cã C17 c¸ch 7  Cã C119 . C118 . C17 c¸ch chän . Bµi 5 : Mét líp cã 20 häc sinh trong ®ã cã 2 c¸n bé líp . Hái cã bao nhiªu c¸ch chän 3 ngêi ®i dù ®¹i héi sinh viªn cña trêng sao cho trong 3 ngêi ®ã cã Ýt nhÊt mét c¸n bé líp . Gi¶i Ta chia ra c¸c trêng hîp sau :  Trêng hîp 1 : Cã 1 c¸n bé líp - Chän 1 c¸n bé líp trong 2 c¸n bé cã C12 c¸ch chän . 2 - Chän 2 b¹n cßn l¹i trong 18 b¹n cã C18 c¸ch chän . 2  Cã C12 . C18 c¸ch chän . Trêng hîp 2 : Cã 2 c¸n bé líp - Chän 2 c¸n bé líp trong 2 c¸n bé cã C22 c¸ch chän . 2 - Chän 2 b¹n cßn l¹i trong 18 b¹n cã C18 c¸ch chän . 2  Cã C22 . C18 c¸ch chän . 2 2 VËy theo quy t¾c céng cã : C12 . C18 + C22 . C18 = 324 c¸ch chän . Bµi tËp tù gi¶i 7 Trường THPT Gò Công Đông GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt Bµi 6 : Mét ®éi v¨n nghÖ cã 20 ngêi trong ®ã cã 10 nam vµ 10 n÷ . Hái cã bao nhiªu c¸ch chän ra 5 ngêi sao cho : 1/ Cã ®óng 2 nam 2/ Cã Ýt nhÊt 2 nam vµ Ýt nhÊt 1 n÷ trong ®ã . §¸p sè 2 3 1/ C10 . C10 = 5400 c¸ch 2 3 3 2 4 2/ C10 . C10 + C10 . C10 + C10 . C110 = 12900 c¸ch Bµi 7 : Mét tËp thÓ gåm 14 ngêi trong ®ã cã 6 nam vµ 8 n÷ trong ®ã cã Thanh vµ Th¬ , ngêi ta muèn chän mét tæ c«ng t¸c gåm 6 ngêi . T×m sè c¸ch chän trong mçi trêng hîp sau : 1/ Trong tæ ph¶i cã c¶ nam vµ n÷ . 2/ Trong tæ ph¶i cã 1 tæ trëng , 5 tæ viªn h¬n n÷a Thanh vµ Th¬ kh«ng ®ång thêi cã mÆt trong tæ . §¸p sè 1/ Cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ  Cã 2974 c¸ch tho¶ m·n bµi to¸n . 2/ Híng dÉn (cã thÓ dïng ph¬ng ph¸p lo¹i trõ) - Bíc 1 : T×m sè c¸ch chän 1 tæ trëng vµ 5 tæ viªn (A) - Bíc 2 : T×m sè c¸ch chän 1 tæ trëng vµ 5 tæ viªn trong ®ã c¶ Thanh vµ Th¬ cïng cã mÆt (B) KÕt qu¶ : A ... B = 15048 c¸ch Bµi 8 : Mét líp häc cã 30 häc sinh gåm 3 lo¹i : Cã 5 häc sinh giái , 10 häc sinh trung b×nh vµ 15 häc sinh yÕu . 1/ Cã bao nhiªu c¸ch chän ra mét nhãm 5 häc sinh cã ®ñ c¶ ba lo¹i vµ kh«ng cã qu¸ 2 häc sinh yÕu . 2/ Cã bao nhiªu c¸ch chän ra mét nhãm 7 häc sinh cã ®óng 2 häc sinh yÕu , cã Ýt nhÊt 1 häc sinh giái vµ cã Ýt nhÊt mét häc sinh trung b×nh . §¸p sè 3 2 2 2 2 1/ C115 . C15 . C10 + C115 . C52 . C10 + C115 . C35 . C110 + C15 . C15 . C10 + C15 . C52 . C110 2 4 2 3 2 2 2 2/ C15 . C15 . C10 + C15 . C52 . C10 + C15 . C35 . C10 + C15 . C54 . C110 Trường THPT Gò Công Đông 8 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt D¹ng 3 : Bµi to¸n ®Õm sè ®iÓm , sè ®a gi¸c , sè c¹nh Bµi 1 : TÝnh sè ®êng chÐo cña mét ®a gi¸c låi n c¹nh . Gi¶i  Nèi hai ®Ønh bÊt k× cña ®a gi¸c ta ®îc mét ®êng chÐo hoÆc mét c¹nh .  VËy sè ®êng chÐo vµ sè c¹nh cña ®a gi¸c lµ : C2n  Sè c¹nh cña ®a gi¸c lµ n  Sè ®êng chÐo cña ®a gi¸c lµ : C2n - n = n(n  3) . 2 Bµi 2 : Trªn mét ®êng trßn cho 10 ®iÓm . Hái cã bao nhiªu tam gi¸c nhËn c¸c ®iÓm ®ã lµm ®Ønh .  NhËn thÊy 10 ®iÓm trªn mét ®êng trßn th× kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng .  Cø 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng t¹o thµnh mét tam gi¸c . 3  Sè tam gi¸c ph¶i t×m lµ : C10 = 120 Bµi 3 : Cho hai ®êng th¼ng song song . Trªn ®êng thø nhÊt cã 10 ®iÓm , trªn ®êng thø hai cã 15 ®iÓm . Hái cã bao nhiªu tam gi¸c t¹o bëi c¸c ®iÓm ®· cho .  §Ó t¹o mét tam gi¸c cÇn cã 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng . Do ®ã 3 ®Ønh cña tam gi¸c kh«ng thÓ n»m trªn mét ®êng th¼ng .  Trêng hîp 1 : Tam gi¸c t¹o bëi mét ®iÓm trªn ®êng th¼ng thø nhÊt vµ hai ®iÓm trªn ®êng th¼ng thø hai . Ta cã 2 10. C15 tam gi¸c tho¶ m·n .  Trêng hîp 2 : Tam gi¸c t¹o bëi mét ®iÓm trªn ®êng th¼ng thø hai vµ hai ®iÓm trªn ®êng th¼ng thø nhÊt . Ta cã 2 15. C10 tam gi¸c tho¶ m·n . 2 2  Theo quy t¾c céng cã : 10. C15 + 15. C10 tam gi¸c . Bµi 4 : Trong mÆt ph¼ng cho ®a gi¸c ®Òu n c¹nh . Hái 1/ Cã bao nhiªu tam gi¸c t¹o thµnh tõ c¸c ®Ønh cña ®a gi¸c ®ã . 2/ Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng hai c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c . 3/ Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng mét c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c . 4/ Cã bao nhiªu tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo lµ c¹nh cña ®a gi¸c . Gi¶i 1/ Ta biÕt n ®Ønh cña ®a gi¸c th× kh«ng cã 3 ®Ønh nµo th¼ng hµng . Do ®ã cø 3 ®Ønh cña ®a gi¸c t¹o thµnh mét tam gi¸c . VËy sè tam gi¸c lµ : C3n Trường THPT Gò Công Đông 9 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 2/ Tam gi¸c cã 3 ®Ønh liªn tiÕp cña ®a gi¸c lµ tam gi¸c cã chøa hai c¹nh cña ®a gi¸c . C¸c tam gi¸c b¾t ®Çu lµ : A1A2A3 , A2A3A4 , ... , An-2An-1An , An1AnA1 , AnA1A2 .  Cã n tam gi¸c (®Ó ý chØ sè in ®Ëm ch¹y tõ 1 ®Õn n) 3/ Tam gi¸c chøa ®óng mét c¹nh cña ®a gi¸c lµ tam gi¸c cã hai ®Ønh thuéc mét c¹nh cña ®a gi¸c vµ ®Ønh thø 3 ®èi diÖn víi c¹nh ®· chän . Nh vËy øng víi mét c¹nh cã n ... 4 ®Ønh tho¶ m·n ( trõ ®i 2 ®Ønh thuéc c¹nh ®ã vµ hai ®Ønh liÒn kÒ víi hai ®Ønh ®ã ) . §a gi¸c cã n c¹nh  Cã n.(n ... 4) tam gi¸c tho¶ m·n . 4/ Sè tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo lµ c¹nh cña ®a gi¸c lµ : C3n - n ... n(n ... 4) Bµi 5 : Trong mÆt ph¼ng cho ®a gi¸c ®Òu 20 c¹nh . XÐt c¸c tam gi¸c cã 3 ®Ønh ®îc lÊy tõ 3 ®Ønh cña ®a gi¸c . Hái 1/ Cã tÊt c¶ bao nhiªu tam gi¸c nh vËy ? Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng 2 c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c . 2/ Cã bao nhiªu tam gi¸c cã ®óng 1 c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c ? Cã bao nhiªu tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo lµ c¹nh cña ®a gi¸c . §¸p sè 1/  C320 = 1140 tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ ®Ønh cña ®a gi¸c .  Cã 20 tam gi¸c cã ®óng hai c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c . 2/  Cã 16.20 = 320 tam gi¸c cã ®óng mét c¹nh lµ c¹nh cña ®a gi¸c .  Cã 800 tam gi¸c kh«ng cã c¹nh nµo lµ c¹nh cña ®a gi¸c . Bµi 6 : Cho ®a gi¸c låi n c¹nh . KÎ tÊt c¶ c¸c ®êng chÐo cña ®a gi¸c ®ã biÕt r»ng kh«ng cã 3 ®êng chÐo nµo ®ång quy . Cã bao nhiªu giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo n»m trong ®a gi¸c . Gi¶i  Mçi giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo t¬ng øng duy nhÊt víi mét tø gi¸c låi cã c¸c ®Ønh lµ ®Ønh cña ®a gi¸c . Trường THPT Gò Công Đông 10 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt  Do ®ã cã bao nhiªu tø gi¸c låi th× cã bÊy nhiªu giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo n»m trong ®a gi¸c .  VËy sè giao ®iÓm ph¶i t×m lµ : C4n Bµi 7 : Cho ®a gi¸c ®Òu A1A2...A2n ( n ≥ 3) néi tiÕp trong ®êng trßn (O) . BiÕt r»ng sè tam gi¸c cã ®Ønh lµ 3 trong 2n ®iÓm A1 , A2 , ... , A2n nhiÒu gÊp 20 lÇn sè h×nh ch÷ nhËt cã c¸c ®Ønh lµ 4 trong 2n ®iÓm A1 , A2 , ... , A2n . T×m n .  Sè tam gi¸c lµ : C32n  Sè ®êng chÐo cña ®a gi¸c ®i qua t©m O lµ n ®êng chÐo .  Ta thÊy cø hai ®êng chÐo ®i qua O th× t¹o thµnh mét h×nh ch÷ nhËt . VËy sè h×nh ch÷ nhËt cã 4 ®Ønh trong 2n ®Ønh cña ®a gi¸c lµ C2n . Theo gi¶ thiÕt ta cã : C32n = 20 C2n  n = 8 Trường THPT Gò Công Đông 11 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt PhÇn 4 : X¸c suÊt A . Lý thuyÕt I / PhÐp thö ngÉu nhiªn vµ kh«ng gian mÉu 1/ PhÐp thö ngÉu nhiªn 1.1. Kh¸i niÖm : PhÐp thö ngÉu nhiªn (phÐp thö ) lµ mét thÝ nghiÖm hay hµnh ®éng mµ : - KÕt qu¶ cña nã kh«ng ®o¸n tríc ®îc . - Cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc tËp hîp c¸c kÕt qu¶ cã thÓ s¶y ra cña phÐp thö ®ã . 1.2. KÝ hiÖu PhÐp thö ngÉu nhiªn hay kÝ hiÖu lµ : T 1.3. VÝ dô  VÝ dô 1 : “ Gieo mét con sóc s¾c “ . Khi ®ã : - Kh«ng ®o¸n ®îc sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn . - X¸c ®Þnh ®îc tËp hîp c¸c kÕt qu¶ cã thÓ s¶y ra lµ : XuÊt hiÖn mÆt 1 chÊm , 2 chÊm , 3 chÊm , 4 chÊm , 5 chÊm , 6 chÊm . VËy hµnh ®éng gieo mét con sóc s¾c trªn lµ mét phÐp thö ngÉu nhiªn .  VÝ dô 2 : “ Gieo mét ®ång xu “ . Khi ®ã : - Kh«ng ®o¸n ®îc mÆt xuÊt hiÖn . - X¸c ®Þnh ®îc tËp hîp c¸c kÕt qu¶ cã thÓ s¶y ra lµ : §ång xu lËt ngöa hoÆc lËt sÊp . VËy hµnh ®éng gieo mét ®ång xu trªn lµ mét phÐp thö ngÉu nhiªn . 2/ Kh«ng gian mÉu cña phÐp thö 2.1. Kh¸i niÖm : TËp hîp tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp phÐp thö gäi lµ kh«ng gian mÉu cña phÐp thö ®ã . 2.2. KÝ hiÖu Kh«ng gian mÉu ®îc kÝ hiÖu lµ :  ( §äc lµ «mªga) 2.3. VÝ dô : X¸c ®Þnh kh«ng gian mÉu cña phÐp thö ë hai vÝ dô trªn  VÝ dô 1 : “ Gieo mét con sóc s¾c “ . Khi ®ã :  = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}  VÝ dô 2 : “ Gieo mét ®ång xu “ . Khi ®ã :  = {S , N} ( N : lËt ngöa , S : lËt sÊp ) 3/ BiÕn cè cña phÐp thö 3.1. Kh¸i niÖm Cho phÐp thö T a/ BiÕn cè A liªn quan ®Õn phÐp thö T lµ mét sù kiÖn mµ viÖc x¶y ra hay kh«ng x¶y ra cña A phô thuéc vµo kÕt qu¶ cña phÐp thö T . b/ Mçi kÕt qu¶ cña phÐp thö T lµm cho A x¶y ra gäi lµ mét kÕt qu¶ thuËn lîi cho A . TËp hîp c¸c kÕt qu¶ thuËn lîi cho A kÝ hiÖu lµ : A . Khi ®ã ta nãi biÕn cè A ®îc m« t¶ bëi tËp A . 3.2. Chó ý - BiÕn cè cña mét phÐp thö ta hay kÝ hiÖu lµ : A , B , C , D ... hoÆc A1 , A2 , ... - Ta lu«n cã : A   - BiÕn cè ch¾c ch¾n lµ biÕn cè lu«n x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö T . BiÕn cè ch¾c ch¾n ®îc m« t¶ bëi tËp  lµ kh«ng gian mÉu cña phÐp thö T . - BiÕn cè kh«ng thÓ lµ biÕn cè kh«ng bao giê x¶y ra khi thùc hiÖn phÐp thö T . BiÕn cè kh«ng thÓ ®îc m« t¶ bëi tËp rçng  . 3.2. VÝ dô XÐt phÐp thö T : “ Gieo mét con sóc s¾c “  Kh«ng gian mÉu cña T lµ :  = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}  XÐt biÕn cè A : “ Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè lÎ “ . Khi ®ã : - NÕu kÕt qu¶ cña phÐp thö T lµ xuÊt hiÖn mÆt 2 chÊm (hoÆc 4 , 6 chÊm ) th× râ rµng biÕn cè A kh«ng x¶y ra . - NÕu kÕt qu¶ cña phÐp thö T lµ xuÊt hiÖn mÆt 1 chÊm (hoÆc 3 , 5 chÊm ) th× râ rµng biÕn cè A x¶y ra . VËy cã 3 kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ : mÆt 1 , 3 , 5 chÊm xuÊt hiÖn .  A = {1 ; 3 ; 5}.  XÐt biÕn cè B : “ Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè nguyªn d¬ng  6 “ Th× râ rµng biÕn cè B lu«n x¶y ra . Khi ®ã B lµ biÕn cè ch¾c ch¾n vµ B ®îc m« t¶ bëi kh«ng gian mÉu  .  XÐt biÕn cè C : “ Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè nguyªn d¬ng > 7 “ Th× râ rµng biÕn cè C kh«ng bao giê x¶y ra v× sè chÊm cña mét con sóc s¾c nhiÒu nhÊt lµ 6 chÊm . Khi ®ã biÕn cè C lµ biÕn cè kh«ng thÓ vµ ®îc m« t¶ bëi tËp rçng  . Trường THPT Gò Công Đông 12 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt II . X¸c suÊt cña biÕn cè 1/ §Þnh nghÜa - Cho phÐp thö T víi kh«ng gian mÉu  lµ mét tËp h÷u h¹n phÇn tö vµ c¸c kÕt qu¶ cña phÐp thö T lµ ®ång kh¶ n¨ng . - Gäi A lµ mét biÕn cè liªn quan ®Õn phÐp thö T vµ A lµ tËp hîp c¸c kÕt qu¶ thuËn lîi cho A . - Khi ®ã x¸c suÊt cña A lµ mét sè , kÝ hiÖu P(A) , ®îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc : P(A) = A  (1) Trong ®ã + A lµ sè phÇn tö cña A . +  lµ sè phÇn tö cña  . VËy ®Ó tÝnh x¸c suÊt cña biÕn cè A cña phÐp thö T ta lµm theo c¸c bíc sau : - X¸c ®Þnh kh«ng gian mÉu  vµ ®Õm sè phÇn tö cña nã ( sè kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp thö T ) . - X¸c ®Þnh sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A ( lµ sè phÇn tö cña A) . - ¸p dông c«ng thøc (1) . 2/ Chó ý  0  P(A)  1  P() = 1 , P() = 0  X¸c suÊt lµ mét sè d¬ng nhá h¬n 1 , x¸c suÊt cña biÕn cè ch¾c ch¾n b»ng 1 , x¸c suÊt cña biÕn cè kh«ng thÓ b»ng 0 . 3/ VÝ dô VÝ dô 1 : “ Gieo mét con sóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt “ a/ M« t¶ kh«ng gian mÉu . b/ TÝnh x¸c suÊt ®Ó sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè ch½n . b/ TÝnh x¸c suÊt ®Ó sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè nguyªn tè . ( Chó ý : Sè nguyªn tè lµ sè nguyªn d¬ng chØ cã hai íc lµ 1 vµ chÝnh nã vµ sè 2 lµ sè nguyªn tè nhá nhÊt ) Gi¶i a/ Kh«ng gian mÉu :  = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} .  Sè phÇn tö cña kh«ng gian mÉu :   = 6 b/  Gäi A lµ biÕn cè : “Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè ch½n “ .  TËp m« t¶ A lµ : A = {2 , 4 , 6}  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :  A = 3  X¸c suÊt cña A lµ : P(A) = 3 1 = = 0,5 . 6 2 c/  Gäi B lµ biÕn cè : “Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn lµ mét sè nguyªn tè “ .  TËp m« t¶ B lµ : B = {2 , 3 , 5}  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho B lµ :  B = 3  X¸c suÊt cña A lµ : P(B) = 3 1 = = 0,5 . 6 2 VÝ dô 2 : “ Gieo ®ång thêi hai con sóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt “ . TÝnh x¸c suÊt ®Ó : a/ Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn trªn cña hai con sóc s¾c lµ nh÷ng sè ch½n . b/ Tæng sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn cña hai con sóc s¾c lµ mét sè 7 . Gi¶i Sè kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp thö lµ :   = 62 = 36 . a/  Gäi A lµ biÕn cè : “Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn trªn cña hai con sóc s¾c lµ nh÷ng sè ch½n “ .  TËp m« t¶ A lµ : A = {(2,2) ; (2,4) ; (4,2) ; (2,6) ; (6,2) ; (4,6) ; (6,4) ; (6,6) }  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :  A = 8 .  X¸c suÊt cña A lµ : P(A) = 8 2 = 36 9 b/  Gäi B lµ biÕn cè : “Tæng sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn cña hai con sóc s¾c lµ mét sè 7 “ . 13 Trường THPT Gò Công Đông GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt  TËp m« t¶ A lµ : A = {(1,6) ; (6,1) ; (2,5) ; (5,2) ; (3,4) ; (4,3) }  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :  A = 6 .  X¸c suÊt cña A lµ : P(A) = 6 1 = 36 6 Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: Chän ngÉu nhiªn mét sè nguyªn d¬ng nhá h¬n 9 . TÝnh x¸c suÊt ®Ó : 1/ Sè ®îc chän lµ sè nguyªn tè . 2/ Sè ®îc chän chia hÕt cho 3 . Gi¶i  Kh«ng gian mÉu :  = {1,2,3,4,5,6,7,8}  Sè kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp thö lµ :   = 8 . 1/  Gäi A lµ biÕn cè : “sè ®îc chän lµ sè nguyªn tè “  TËp m« t¶ A lµ : A = {2,3,5,7}  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :  A = 4 .  X¸c suÊt cña A lµ : P(A) = 4 1 = = 0,5 8 2 2/  Gäi B lµ biÕn cè : “sè ®îc chän chia hÕt cho 3 “  TËp m« t¶ A lµ : B = {3,6}  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho B lµ :  B = 2 .  X¸c suÊt cña B lµ : P(B) = 2 1 = = 0,25 . 8 4 Bµi 2 : “ Gieo ®ång thêi hai con sóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt “ . TÝnh x¸c suÊt ®Ó : a/ Tæng sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn trªn cña hai con sóc s¾c  7 . b/ Cã ®óng mét con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm . c/ Cã Ýt nhÊt mét con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm . Gi¶i Sè kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp thö lµ :   = 62 = 36 . a/  Gäi A lµ biÕn cè : “Sè chÊm trªn mÆt xuÊt hiÖn trªn cña hai con sóc s¾c lµ nh÷ng sè ch½n “ .  TËp m« t¶ A lµ : A = {(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6) ; (2,1) ; (2,2) ; (2,3) ; (2,4) ; (2,5) ; (3,1) ; (3,2) ; (3,3) ; (3,4) ; (4,1) ; (4,2) ; (4,3) ; (4,4) ; (5,1) ; (5,2)}  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :  A = 21 .  X¸c suÊt cña A lµ : P(A) = 21 7 = 36 12 b/  Gäi B lµ biÕn cè : “Cã ®óng mét con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm” .  TËp m« t¶ B lµ : B = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) }  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho B lµ :  B = 10 .  X¸c suÊt cña B lµ : P(B) = 10 5 = . 36 18 c/  Gäi C lµ biÕn cè : “Cã Ýt nhÊt mét con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm” . Cã hai kh¶ n¼ng x¶y ra : + Cã mét con xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm . + C¶ hai con xuÊt hiÖn mÆt 6 chÊm .  TËp m« t¶ C lµ : C = {(6,1) ; (6,2) ; (6,3) ; (6,4) ; (6,5) ; (1,6) ; (2,6) ; (3,6) ; (4,6) ; (5,6) ; (6;6) }  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho C lµ :  C = 11 . 14 Trường THPT Gò Công Đông GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt 11  X¸c suÊt cña C lµ : P(C) = . 36 Bµi 3 : Chän ngÉu nhiªn 5 ngêi cã tªn trong danh s¸ch 20 ngêi ®îc ®¸nh sè tõ 1 ®Õn 20 . TÝnh x¸c xuÊt ®Ó n¨m ngêi ®îc chän cã sè thø tù kh«ng lín h¬n 10 . Gi¶i  Sè kÕt qu¶ cã thÓ s¶y ra lµ sè c¸ch chän 5 ngêi bÊt k× trong 20 ngêi . VËy   = C520 .  Gäi A lµ biÕn cè : “ 5 ngêi ®îc chän cã sè thø tù kh«ng lín h¬n 10 “  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ sè c¸ch chän 5 trong 10 ngêi cã sè thø tù tõ 1 ®Õn 10 . 5 VËy  A = C10 . Khi ®ã x¸c suÊt cña A lµ : P(A) = C105 . C520 Bµi 4 : Mét hép ®ùng 4 qu¶ cÇu ®á vµ 6 qu¶ cÇu xanh . Chän ngÉu nhiªn 4 qu¶ cÇu . TÝnh x¸c xuÊt ®Ó trong 4 qu¶ ®ã cã c¶ ®á vµ xanh . Gi¶i  Tæng sè qu¶ cÇu trong hép lµ : 10 qu¶  Sè kÕt qu¶ cã thÓ x¶y ra cña phÐp thö lµ sè c¸ch chän ngÉu nhiªn 4 qu¶ trong 10 qu¶ . 4 VËy :   = C10  Gäi A lµ biÕn cè : “ Bèn qu¶ ®îc chän ra cã c¶ ®á vµ xanh “ . Ta t×m sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A tøc lµ sè c¸ch chän ra 4 qu¶ cã c¶ ®á vµ xanh . + Trêng hîp 1 : Chän 1 ®á vµ 3 xanh  Cã C14 . C36 c¸ch chän . + Trêng hîp 2 : Chän 2 ®á vµ 2 xanh  Cã C24 . C62 c¸ch chän . + Trêng hîp 3 : Chän 3 ®á vµ 1 xanh  Cã C34 . C16 c¸ch chän .  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :  A = C14 . C36 + C24 . C62 + C34 . C16 VËy P(A) = C14C36 + C42C62  C34C16 97 = . 4 C10 105 Bµi 5 : “ Gieo ®ång thêi ba con sóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt “ . TÝnh x¸c suÊt ®Ó tæng sè nót xuÊt hiÖn trªn mÆt ba con lµ 8 . §¸p sè P(A) = 21 7 = 63 72 Bµi 6 : Ba cöa hµng b¸n xe m¸y nh nhau . Cã 3 ngêi kh¸ch A1 , A2 , A3 ®éc lËp nhau chän ngÉu nhiªn mét cöa hµng ®Ó mua xe . TÝnh x¸c suÊt ®Ó : 1/ Ba ngêi vµo cïng mét cöa hµng . 2/ Hai ngêi kh¸ch cïng vµo mét cöa hµng , ngêi kia vµo cöa hµng kia . Gi¶i Ta ®¸nh sè ba cöa hµng lµ : 1 , 2 , 3 .  Ba ngêi kh¸ch A , B , C ®éc lËp nhau chän ngÉu nhiªn mét cöa hµng ®Ó mua xe nªn sè kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra lµ : 33 = 27 Cã thÓ liÖt kª nh sau :  = {(1,1,1) ; (1,1,2) ; (1,1,3) ; (1,2,1) , (1,2,2) , (1,2,3) , (1,3,1) , (1,3,2) , (1,3,3) , ... , (3,3,3)} . 1/ Gäi A lµ biÕn cè : “ Ba ngêi vµo cïng mét cöa hµng “  Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ :  A = 3 ( Cã 3 kh¶ n¨ng lµ (1,1,1) ; (2,2,2) ; (3,3,3) ) .  P(A) = 3 1 = . 27 9 2/ Gäi B lµ biÕn cè : “Hai ngêi kh¸ch cïng vµo mét cöa hµng , ngêi kia vµo cöa hµng kia” . Sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho B chÝnh lµ sè c¸ch chän hai ngêi vµo cïng mét cöa hµng vµ ngêi cßn l¹i vµo cöa hµng kia . 15 Trường THPT Gò Công Đông GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt Ta chia c¸c trêng hîp sau :  Trêng hîp 1 : (1,1,2) tøc lµ 2 ngêi vµo cöa hµng 1 , mét ngêi vµo cöa hµng 2 . Cã 3 c¸ch chän trêng hîp nµy . + A1 , A2 vµo cña hµng 1 vµ A3 vµo cöa hµng 2 . + A1 , A3 vµo cña hµng 1 vµ A2 vµo cöa hµng 2 . + A2 , A3 vµo cña hµng 1 vµ A1 vµo cöa hµng 2 . Hoµn toµn t¬ng tù :  Trêng hîp 2 : (1,1,3) cã 3 c¸ch  Trêng hîp 3 : (2,2,1) cã 3 c¸ch  Trêng hîp 4 : (2,2,3) cã 3 c¸ch  Trêng hîp 5 : (3,3,1) cã 3 c¸ch  Trêng hîp 6 : (3,3,2) cã 3 c¸ch VËy cã c¶ th¶y : 6.3 = 18 c¸ch  P(B) = 18 2 = . 27 3 Bµi 7 : C«ng ty FPT cÇn tuyÓn 2 nh©n viªn . Cã 6 ngêi nép ®¬n , trong ®ã cã 4 nam vµ 2 n÷ . Gi¶ sö kh¶ n¨ng øng cö lµ nh nhau . TÝnh x¸c suÊt ®Ó : 1/ Hai ngêi tróng tuyÓn lµ nam . 2/ Hai ngêi tróng tuyÓn ®Òu lµ n÷ . 3/ Hai ngêi tróng tuyÓn cã Ýt nhÊt 1 n÷ . §¸p sè : 1/ P(A) = 2 1 1 ; 2/ P(B) = ; 3/ P(C) = 5 15 5 III.BiÕn cè ®èi 1/ §Þnh nghÜa Cho A lµ mét biÕn cè . Khi ®ã biÕn cè “ kh«ng x¶y ra A “, kÝ hiÖu lµ A , ®îc gäi lµ biÕn cè ®èi cña A. VÝ dô : “ Gieo mét ®ång xu” - XÐt biÕn cè A : “ MÆt ngöa xuÊt hiÖn “  BiÕn cè ®èi cña A lµ : “ MÆt ngöa kh«ng xuÊt hiÖn “ 2/ NhËn xÐt  Gäi  lµ kh«ng gian mÉu  Gäi A lµ tËp kÕt qu¶ thuËn lîi cho A Khi ®ã tËp kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ : A A A =  \ A  IV. Quy t¾c nh©n x¸c suÊt 1/ BiÕn cè giao a/ Kh¸i niÖm : Cho hai biÕn cè A vµ B . BiÕn cè “ C¶ A vµ B cïng x¶y ra “ gäi lµ biÕn cè giao cña hai biÕn cè A vµ B vµ kÝ hiÖu lµ : AB . VËy AB lµ biÕn cè : “ C¶ A vµ B cïng x¶y ra “ . b/ NhËn xÐt : Gäi A vµ B lÇn lît lµ tËp hîp c¸c kÕt qu¶ thuËn lîi cho A vµ B th× tËp hîp c¸c kÕt qu¶ thuËn lîi cho biÕn cè giao AB lµ : AB = A  B . c/ VÝ dô Chän ngÉu nhiªn mét em häc sinh trong líp . - Gäi A lµ biÕn cè : “ B¹n ®ã lµ häc sinh giái To¸n “ . - Gäi B lµ biÕn cè : “ B¹n ®ã lµ häc sinh giái V¨n “ .  BiÕn cè giao cña A vµ B lµ “ B¹n ®ã häc giái c¶ V¨n vµ To¸n” . Tæng qu¸t Cho k biÕn cè A1 , A2 , ... , Ak . Khi ®ã biÕn cè giao cña k biÕn cè lµ : “ TÊt c¶ k biÕn cè A1 , A2 , ... , Ak ®Òu x¶y ra “ , kÝ hiÖu : A1A2...Ak . 2/ Hai biÕn cè ®éc lËp a/ Kh¸i niÖm : Hai biÕn cè A vµ B gäi lµ ®éc lËp víi nhau nÕu viÖc x¶y ra hay kh«ng x¶y ra cña biÕn cè nµy kh«ng lµm ¶nh hëng tíi x¸c suÊt x¶y ra cña biÕn cè kia . b/ VÝ dô Trường THPT Gò Công Đông 16 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt XÐt phÐp thö T lµ : “ Gieo hai ®ång xu cïng mét lóc “ . - Gäi A lµ biÕn cè : “ §ång xu thø nhÊt xuÊt hiÖn mÆt sÊp “. - Gäi B lµ biÕn cè : “ §ång xu thø hai xuÊt hiÖn mÆt ngöa “. Khi ®ã râ rµng A vµ B ch¼ng liªn quan g× ®Õn nhau . A vµ B lµ hai biÕn cè ®éc lËp . c/ NhËn xÐt NÕu hai biÕn cè A vµ B ®éc lËp víi nhau th× A vµ B ; A vµ B ; A vµ B còng ®éc lËp víi nhau . Tæng qu¸t Cho k biÕn cè A1 , A2 , ... , Ak ; k biÕn cè nµy ®îc gäi lµ ®éc lËp víi nhau nÕu viÖc x¶y ra hay kh«ng cña mçi biÕn cè kh«ng lµm ¶nh hëng tíi x¸c suÊt x¶y ra cña c¸c biÕn cè cßn l¹i . 3/ Quy t¾c nh©n x¸c suÊt  NÕu A vµ B lµ hai biÕn cè ®éc lËp víi nhau th× : P(AB) = P(A).P(B)  NÕu A1 ; A2 ; A3 lµ ba biÕn cè ®«i mét ®éc lËp víi nhau th× : P(A1 A2 A3) = P(A1).P(A2).P(A3) Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: X¸c suÊt b¾n tróng hång t©m cña mét ngêi b¾n cung lµ 0,2 . TÝnh x¸c suÊt ®Ó trong ba lÇn b¾n ®éc lËp : 1/ Ngêi ®ã b¾n tróng hång t©m ®óng mét lÇn . 2/ Ngêi ®ã b¾n tróng hång t©m Ýt nhÊt mét lÇn . Gi¶i  Gäi A1 ; A2 ; A3 lµ biÕn cè ngêi ®ã b¾n tróng hång t©m ë lÇn b¾n thø nhÊt , thø hai vµ thø ba  Khi ®ã A1 ; A 2 ; A 3 lµ biÕn cè ngêi ®ã b¾n kh«ng b¾n tróng hång t©m ë lÇn b¾n thø nhÊt , thø hai vµ thø ba .  Theo gi¶ thiÕt ta cã : P(A1) = P(A2) = P(A3) = 0,2 vµ P( A1 ) = P( A 2 ) = P( A 3 ) = 1 ... 0,2 = 0,8 1/ Gäi B lµ biÕn cè : “ Ngêi ®ã b¾n tróng hång t©m ®óng mét lÇn “ . Khi ®ã : B = A1 A 2 A 3  A1 A2 A 3  A1 A 2 A3 VËy P(B) = 0,2.0,8.0,8 + 0,8.0,2.0,8 + 0,8.0,8.0,2 = 0,384 2/ Gäi C lµ biÕn cè : “ Ngêi ®ã b¾n tróng hång t©m Ýt nhÊt mét lÇn “ . NhËn xÐt : BiÕn cè ®èi cña C lµ C : “ Ngêi ®ã kh«ng b¾n tróng hång t©m lÇn nµo “ Khi ®ã : P( C ) = A1 A 2 A 3 = 0,8.0,8.0,8 = 0,512  P(C) = 1 - P( C ) = 1 ... 0,512 = 0,488 . Bµi 2 : Gieo ba ®ång xu c©n ®èi mét c¸ch ®éc lËp . TÝnh x¸c suÊt ®Ó : 1/ C¶ ba ®ång xu ®Òu sÊp . 2/ Cã Ýt nhÊt mét ®ång xu sÊp . Gi¶i Do ®ång xu c©n ®èi nªn x¸c suÊt xuÊt hiÖn mÆt sÊp (S) vµ mÆt ngöa (N) lµ b»ng nhau P(S) = P(N) = 0,5 . 1/ Gäi A lµ biÕn cè : “ C¶ ba ®ång xu ®Òu sÊp “ . Khi ®ã : A = SSS VËy P(A) = P(SSS) = P(S).P(S).P(S) = 0,53 = 0,125 2/ Gäi B lµ biÕn cè : “ Cã Ýt nhÊt mét ®ång xu sÊp “ . Nh vËy biÕn cè ®èi cña B lµ B : “ C¶ ba ®ång xu ®Òu ngöa “  P( B ) = P(NNN) = P(N).P(N).P(N) = 0,53 = 0,125 . VËy P(B) = 1 - P( B ) = 1 ... 0,125 = 0,875 Bµi tËp tù gi¶i Bµi 1 : Mét hép chøa 16 viªn bi víi 7 bi tr¾ng , 6 bi ®en vµ 3 bi ®á . LÊy ngÉu nhiªn 3 viªn bi trong hép . TÝnh x¸c suÊt ®Ó : 1/ LÊy ®îc c¶ 3 viªn bi ®á . 2/ LÊy ®îc c¶ 3 viªn bi kh«ng ph¶i bi ®á . 3/ LÊy ®îc mét viªn bi tr¾ng , mét ®en vµ mét ®á . Trường THPT Gò Công Đông 17 GV: Trần Duy Thái Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt §¸p sè 1/ P(A) = 1 560 2/ P(B) = 143 280 3/ P(C) = 9 40 Bµi 2 : Mét hép chøa 16 viªn bi víi 7 bi tr¾ng , 6 bi ®en vµ 3 bi ®á . LÊy ngÉu nhiªn 4 viªn bi trong hép . TÝnh x¸c suÊt ®Ó : 1/ LÊy ®îc ®óng mét viªn bi tr¾ng . 2/ LÊy ®îc ®óng 2 viªn bi tr¾ng . §¸p sè 1/ P(A) = 21 65 2/ P(B) = 27 65 Bµi 3 : Chän ngÉu nhiªn 3 sè tõ tËp {1 , 2 , ... , 11} . TÝnh x¸c suÊt ®Ó : 1/ Tæng ba sè ®îc chän lµ 12 . 2/ Tæng ba sè ®îc chän lµ sè lÎ . §¸p sè 1/ P(A) = 7 165 2/ P(B) = 16 33 Bµi 4 : Gieo mét con sóc s¾c c©n ®èi ®ång chÊt . Gi¶ sö con sóc s¾c xuÊt hiÖn mÆt b chÊm . XÐt ph¬ng tr×nh : x2 + bx + 2 = 0 (1) . TÝnh x¸c suÊt sao cho : 1/ Pt (1) cã nghiÖm . 2/ Pt (1) v« nghiÖm . 3/ Pt (1) cã nghiÖm nguyªn . Gîi ý + b  {1,2,3,4,5,6} + TÝnh  = b2 ... 8 . XÐt dÊu cña  §¸p sè 1/ P(A) = 2 3 2/ P(B) = 1 3 3/ P(C) = 1 6 Bµi 5 : Cã hai hép chøa qu¶ cÇu . Hép thø nhÊt cã 6 cÇu tr¾ng , 4 ®en . Hép thø hai chøa 4 qu¶ tr¾ng , 6 qu¶ ®en . Tõ mçi hép lÊy ngÉu nhiªn mét qu¶ . TÝnh x¸c suÊt ®Ó : 1/ Hai qu¶ lÊy ra lµ cïng mµu . 2/ Hai qu¶ lÊy ra lµ kh¸c mµu . §¸p sè 1/ P(A) = 12 25 Trường THPT Gò Công Đông 2/ P(B) = 18 13 25 GV: Trần Duy Thái