________________________________________________________________________________
C©u I.
1) Kh¶o s¸t sûå biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè
y =
x2 - x + 1
.
x - 1
2) T×m trªn trôc Oy c¸c ®iÓm tõ ®ã cã thÓ kÎ ®ûîc Ýt nhÊt mét tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C).
3) X¸c ®Þnh a ®Ó ®å thÞ (C) tiÕp xóc víi parabol y = x2 + a.
C©u II.
Cho hÖ phû¬ng tr×nh
x + y + xy = m
2
2
x + y = m
1) Gi¶i hÖ víi m = 5.
2) Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× hÖ cã nghiÖm?
C©u III.
1) Cho bÊt phû¬ng tr×nh
x2 + 2x(cosy + siny) + 1 ≥ 0.
T×m x ®Ó bÊt phû¬ng tr×nh ® îc nghiÖm ®óng víi mäi y.
2) Gi¶i phû¬ng tr×nh lûîng gi¸c
sin 2 x(tgx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
C©u IVa.
Trong mÆt ph¼ng víi hÖ trôc täa ®é §Òc¸c vu«ng gãc, cho elip
E) :
x2
y2
= 1,
+
9
4
________________________________________________________________________________
vµ hai ®ûêng th¼ng
(D) : ax - by = 0,
(D’) : bx + ay = 0,
víi a2 + b2 > 0.
1) X¸c ®Þnh c¸c giao ®iÓm M, N cña (D) víi (E), vµ c¸c giao ®iÓm P, Q cña (D’) víi (E).
2) TÝnh theo a, b diÖn tÝch tûá gi¸c MPNQ.
3) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi a, b, ®Ó diÖn tÝch Êy lín nhÊt.
4) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi a, b, ®Ó diÖn tÝch Êy nhá nhÊt.
C©u IVb. Trong mÆt ph¼ng (P) cho tam gi¸c ABC víi c¶ ba gãc nhän. Trªn ®ûêng th¼ng (d) vu«ng gãc víi
mÆt ph¼ng (P) t¹i A, lÊy mét ®iÓm M. Dûn
å g BN⊥CM,BH⊥CM. §ûêng th¼ng KH c¾t (d) t¹i N.
1) Chûn
á g minh : BN⊥CM
2) Chûn
á g minh : BM⊥CN
3) H·y chØ c¸ch dûn
å g ®iÓm M trªn (d) sao cho ®o¹n MN ng¾n nhÊt.
http://aotrangtb.com
___________________________________________________________
C©u 1
1) B¹n ®äc tù gi¶i nhÐ!
2) LÊy A(0, b) lµ mét ®iÓm trªn Oy. §−êng th¼ng qua A, víi hÖ sè gãc k cã ph−¬ng tr×nh :
y = kx + b.
Ta cã y =
1
x2 − x + 1
1
=x+
; y' = 1 −
x −1
x −1
(x − 1)2
Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm cña ®−êng th¼ng y = kx + b víi ®å thÞ (C) lµ nghiÖm cña hÖ
1
x + x − 1 = kx + b
1
1 −
=k
(x − 1)2
⇒ x+
1
1
= 1 −
x+ b
x − 1 (x − 1)2
⇒ bx2 − 2(1+ b)x + (1+ b) = 0
(1)
b = 0 : (1) trë thµnh −2x + 1 = 0 ⇔ x =
b ≠ 0 : (1) cã nghiÖm khi
1
2
∆ ' = (1+ b)2 − b(1+ b) ≥ 0 ⇔ b ≥ −1 (b ≠ 0)
Thµnh thö c¸c ®iÓm trªn Oy tõ ®ã cã thÓ ®−îc Ýt nhÊt mét tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C) lµ c¸c ®iÓm cã
tung ®é b ≥ −1.
3) Hoµnh ®é tiÕp ®iÓm cña parabol y = x2 + a víi ®å thÞ (C) lµ nghiÖm cña hÖ :
1
2
x + x − 1 = x + a o
1
1 −
= 2x
(x − 1)2
Tõ ph−¬ng tr×nh thø hai, suy ra :
x(2x2 − 5x + 4) = 0 ⇒ x = 0.
Thay vµo ph−¬ng tr×nh ®Çu th× ®−îc a = - 1.
C©u II. §Æt S = x + y, P = xy, ta ®i ®Õn hÖ :
S + P = m
2
S − 2P = m
1) Víi m = 5 ta ®−îc :
S + P = 5
2
S − 2P = 5
⇒ P=5−S ⇒
S2 + 2S − 15 = 0
⇒ S = −5, S = 3.
Víi S = −5, ta cã P = 10, lo¹i v× ®iÒu kiÖn S2 ≥ 4P kh«ng ®−îc nghiÖm ®óng.
x = 2,
y = 1,
Víi S = 3, ta cã P = 2 vµ ®−îc
x = 1
y = 2.
2) Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, P = m - S ⇒
S2 + 2S − 3m = 0 .
___________________________________________________________
§Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm, cÇn ph¶i cã :
1
∆ ' = 1 + 3m ≥ 0 ⇒ m ≥ − .
3
Khi ®ã gäi S1 vµ S2 lµ c¸c nghiÖm :
S1 = −1 − 1 + 3m , S2 = −1 + 1 + 3m .
a) Víi S = S1 ⇒ P = m − S1 , ®iÒu kiÖn S2 ≥ 4P trë thµnh
(1 + 1 + 3m)2 ≥ 4(m + 1 + 1 + 3m) ⇒ −(m + 2) ≥ 2 1 + 3m ,
kh«ng ®−îc nghiÖm v× m ≥ −
1
⇒ m + 2 > 0.
3
b) Víi S = S2 ⇒ P = m − S2 , ®iÒu kiÖn S2 ≥ 4P trë thµnh :
(−1 + 1 + 3m)2 ≥ 4(m + 1 − 1 + 3m) ⇒ 2 1 + 3m ≥ m + 2 .
V× m + 2 > 0, cã thÓ b×nh ph−¬ng hai vÕ cña bÊt ph−¬ng tr×nh nµy vµ ®i ®Õn
0 ≥ m2 − 8m ⇒ 0 ≤ m ≤ 8 .
Cïng víi m ≥ −
1
suy ra ®¸p sè : 0 ≤ m ≤ 8.
3
C©u III. 1) HiÓn nhiªn víi x = 0 bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc nghiÖm víi mäi y. XÐt x > 0 ⇒
cosy + sin y ≥ −
1 + x2
.
2x
Hµm f (y) = cosy + siny cã gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng
− 2≥−
2 , gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng − 2 , vËy ph¶i cã :
2
1+ x
⇒ x2 − 2 2x + 1 ≥ 0 ⇒
2x
⇒ 0 < x ≤ 2 −1, x ≥ 2 +1.
XÐt x < 0 ⇒ cosy + sin y ≤ −
2
1+ x
⇒
2x
⇒
2≤−
1 + x2
⇒ x2 + 2 2x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ − 2 − 1 ,
2x
− 2 +1≤ x < 0 .
Tãm l¹i c¸c gi¸ trÞ ph¶i t×m lµ :
x ≤ − 2 − 1 , − 2 + 1 ≤ x ≤ 2 − 1,
| x | ≥ 2 +1 , | x | ≤ 2 −1
hay :
2) §iÒu kiÖn : x ≠
π
+ kπ ( k ∈ Z). Chia hai vÕ cho cos2 x ta ®−îc ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng :
2
tg2 x(tgx + 1) = 3tgx(1 − tgx) + 3(1 + tg2 x)
⇔ tg2 x(tgx + 1) − 3(tgx + 1) = 0
⇔ (tgx + 1)(tg2 x − 3) = 0
tgx = −1
⇔
tgx = ± 3
2 +1≤ x
π
x = − 4 + kπ
⇔
x = ± π + kπ
3
( k ∈ Z)
________________________________________________________________________________
C©u IVa. CÇn ®Ó ý r»ng c¸c ®ûêng th¼ng (D), (D’) vu«ng gãc víi nhau vµ chóng cã phû¬ng tr×nh tham sè
x = at'
(D’) :
y = −bt'
x = bt
(D) :
y = at
1) Thay biÓu thøc cña (D) vµo phû¬ng tr×nh cña (E), ta ®ûîc c¸c gi¸ trÞ cña tham sè t øng víi c¸c giao ®iÓm M, N. Tõ
®ã suy ra ch¼ng h¹n (do cã sù trao ®æi vai trß cña M, N):
M
6b
9a 2 + 4b 2
,
, N
9a 2 + 4b 2
,-
, Q
4a 2 + 9b 2
6a
6b
9a 2 + 4b 2
,-
.
2
2
9a + 4b
,
.
2
2
4a + 9b
6a
Tû¬ng tù:
P
6a
4a 2 + 9b 2
6b
6a
4a 2 + 9b 2
6b
2) Tø gi¸c MPNQ lµ h×nh thoi, víi diÖn tÝch
72(a 2 + b 2 )
S = 2OM.OP =
(9a 2 + 4b 2 )(4a 2 + 9b 2 )
.
(1)
3) §Ó ý r»ng c¸c phû¬ng tr×nh cña (D) vµ (D’) cã d¹ng thuÇn nhÊt (hay ®¼ng cÊp) ®èi víi a, b, tøc lµ thay cho a vµ b,
ta viÕt ka vµ kb víi k ¹ 0. Do vËy, cã thÓ coi r»ng a 2 + b 2 = 1. Khi ®ã (1) trë thµnh
S=
72
2
2
(4 + 5a )(4 + 5b )
=
72
2
36 + 25a b
2
≤
72
= 12,
6
dÊu = chØ cã thÓ x¶y ra khi ab = 0, tøc lµ hoÆc a = 0 hoÆc b = 0. (Khi ®ã cÆp ®ûêng th¼ng (D) vµ (D’) trïng víi cÆp hÖ trôc
täa ®é).
4) VÉn víi gi¶ thiÕt a 2 + b 2 = 1, theo trªn ta cã
S=
72
36 + 25a 2 b 2
________________________________________________________________________________
1
V× 2|ab| £ a 2 + b 2 = 1 suy ra a 2 b 2 £ , dÊu = chØ x¶y ra khi |a| = |b|, vËy S ³
4
72
36 +
25
4
=
144
,
13
144
, x¶y ra khi |a| = |b|, tøc lµ cÆp ®ûêng th¼ng (D), (D’) lµ cÆp c¸c ph©n gi¸c y ⊄ x = 0 cña hÖ
13
trôc täa ®é Oxy.
suy ra min S =
C©u IVb. (H×nh bªn)
1) BK ⊥ AC, BK ⊥ AM ÞBK⊥(ACM)ÞBK⊥CM.
Cïng víi BH ⊥ CM, suy ra (BKH) ⊥ CM Þ BN ⊥ CM.
2) Do (BKH) ⊥ CM Þ KH ⊥ CM. VËy K lµ trùc t©m tam gi¸c CMN, vµ ta ®ûîc MK ⊥ CN. Cïng víi BK ⊥ CN Þ
(BMK)⊥ CN Þ BM ⊥ CN.
3) V× K lµ trùc t©m tam gi¸c CMN, nªn AM.AN = AK.AC
VËy khi M di chuyÓn trªn d, tÝch AM.AN kh«ng ®æi Þ MN = = AM + AN nhá nhÊt khi AM = AN. Khi ®ã
AM 2 = AK.AC, AM lµ ®ûêng cao trong tam gi¸c vu«ng CMK’, c¹nh huyÒn CK’, K’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña K qua A.
_______________________________________________________________
C©u I.
1) Gi¶ sö phû¬ng tr×nh x2 + ax + b = 0 cã nghiÖm x1 vµ x2, phû¬ng tr×nh x2 + cx + d = 0 cã nghiÖm x3 vµ x4.
Chûáng tá r»ng
2(x1 + x3)(x1 + x4)(x2 + x3)(x2 + x4) =
= 2(b - d)2 - (a2 - c2)(b - d) + (a + c)2(b + d).
2) a, b, c lµ 3 sè tïy ý thuéc ®o¹n [0 ; 1]. Chûáng minh :
a
b
c
+
+
+ (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ 1.
b + c +1
a + c +1
a + b +1
C©u II. 1) Gi¶i phû¬ng tr×nh
sin3x + cos3x = 2 - sin4x.
2) k, l, m lµ ®é dµi c¸c trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC, R lµ b¸n kÝnh ®ûêng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ®ã. Chøng
minh r»ng
k+l+m≤
9R
.
2
C©u III.
Trªn mÆt ph¼ng täa ®é cho ®iÓm A(3, 0) vµ parabol (P) cã phû¬ng tr×nh y = x2.
1) M lµ mét ®iÓm thuéc parabol (P), cã hoµnh ®é xM = a. TÝnh ®é dµi ®o¹n AM, x¸c ®Þnh a ®Ó AM ng¾n
nhÊt.
2) Chûáng tá r»ng nÕu ®o¹n AM ng¾n nhÊt, th× AM vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn t¹i M cña parabol (P).
C©u IVa.
Cho hai sè nguyªn dû¬ng p vµ q kh¸c nhau.
2π
TÝnh tÝch ph©n I =
∫
0
cospx cosqx dx.
_______________________________________________________________
C©u Va.
Cho hai ®ûêng trßn
(C1)
x2 + y2 - 6x + 5 = 0,
(C2)
x2 + y2 - 12x - 6y + 44 = 0.
X¸c ®Þnh phû¬ng tr×nh c¸c ®Ûêng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ 2 ®ûêng trßn trªn.
C©u IVb. H×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thoi víi c¸c ®ûêng chÐo AC = 4a, BD = 2a, chóng c¾t
nhau t¹i O. §ûêng cao cña h×nh chãp lµ SO = h. MÆt ph¼ng qua A, vu«ng gãc víi SC, c¾t SB, SC, SD lÇn
lûúåt t¹i B’, C’, D’.
1) X¸c ®Þnh h ®Ó B’C’D’ lµ tam gi¸c ®Òu.
2) TÝnh b¸n kÝnh r cña h×nh cÇu néi tiÕp h×nh chãp theo a vµ h.
C©u Vb.
Hai gãc nhän A, B cña tam gi¸c ABC tháa m·n ®iÒu kiÖn
tg2A + tg2B = 2tg2
A+B
.
2
Chûáng tá r»ng ABC lµ mét tam gi¸c c©n.
________________________________________________________________________________
C©u I. 1) §Æt A = (x 1 + x 3 )(x 1 + x 4 )(x 2 + x 3 )(x 2 + x 4 )
Ta cã (x1 + x3)(x1 + x4) = x12 + x1 (x 3 + x 4 ) + x 3 x 4 = -(ax1 + b) - cx1 + d = (d - b) - (a +c)x1,
(x 2 + x 3 )(x 2 + x 4 ) = (d - b) - (a + c)x 2 ,
do ®ã A = [(d - b) - (a + c)x 1 ][(d - b) - (a + c)x 2 ] = (d - b) 2 + (a + c)(b - d)(x 1 + x 2 ) + (a + c) 2 x 1 x 2 =
= (b - d)2 - (a + c)(b - d)a + (a + c)2b.
Vai trß hai phû¬ng tr×nh lµ nhû nhau trong biÓu thøc cña A, nªn ta còng cã:
A = (b - d) 2 - (a + c)(b - d)a + (a + c) 2 b.
Céng hai biÓu thøc nµy cña A th× suy ra kÕt qu¶.
2) Kh«ng gi¶m tæng qu¸t cã thÓ xem a £ b £ c khi ®ã theo b®t C«si ta cã
a + b + 1 + 1 - a + 1 - b
= 1
(a + b + 1)(1 - a)(1 - b) £
3
Suy ra (1 - a)(1 - b) £
1
1 - c
Þ (1 - a)(1 - b)(1 - c) £
a + b + 1
a + b + 1
a
b
c
+
+
+ (1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤
b + c +1
a + c +1
a + b +1
a
b
c
1 - c
£
+
+
+
= 1.
a + b +1
a + b +1
a + b +1
a + b +1
Tõ ®ã
C©u II. 1) Ta cã sin 3 x + cos 3 x £ sin 2 x + cos 2 x = 1, 2 - sin 4 x ³ 1.
VËy dÊu = chØ cã thÓ x¶y ra khi ta cã ®ång thêi
sin 3 x + cos 3 x = 1
π
Û sinx = 1 Þ x = + 2kπ (k Î Z).
4
2
2 − sin x = 1
2) Gi¶ sö k, l, m lµ ®é dµi c¸c trung tuyÕn kÎ tõ c¸c ®Ønh A, B, C thÕ th×
________________________________________________________________________________
2k2 +
a2
= b2 + c2 ,
2
b2
2l +
= a 2 + c2 ,
2
2
3
Þ k2 + l2 + m2 = (a2 + b2 + c2).
4
c2
2m + = a2 + b2
2
2
MÆt kh¸c a 2 + b 2 + c 2 = 4R 2 (sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C),
4sin 2 A + 4sin 2 B + 4sin 2 C = 2(1 - cos2A) + 2(1 - cos2B) + 4(1 - cos 2 C) =
= 8 + 4cosCcos(A - B) - 4cos 2 C = 8 + cos 2 (A - B) - [2cosC - cos(A - B)] 2 £ 9,
suy ra:
k 2 + l2 + m2
9R 2
≤
.
3
4
2
k 2 + l 2 + m 2 9R 2
9R
k + l + m
Nh vËy:
Þk+l+m£
≤
.
≤
3
3
4
2
C©u III. 1) V× M thuéc P, nªn M cã tung ®é a 2 , vËy
AM = (x M - x A ) 2 + (y M - y A ) 2 = a 4 + (a - 3) 2 .
2
Hµm f(a) =a 4 + (a - 3) 2 cã ®¹o hµm
f’(a) = 4a 3 + 2(a - 3) = 2(a - 1)(2a 2 + 2a + 3),
suy ra khi a = 1, f(a) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. VËy ®o¹n AM ng¾n nhÊt khi M ƒ M (1 , 1).
2) Víi M (1 , 1) ®ûêng th¼ng AM cã hÖ sè gãc
y - yA
1
k= M
= - .
2
xM - xA
V× P cã phû¬ng tr×nh y = x 2 Þ y’ = 2x, nªn t¹i M tiÕp tuyÕn cña P cã hÖ sè gãc k’ = 2, suy ra tiÕp tuyÕn Êy vu«ng gãc
víi ®ûêng th¼ng AM.
_______________________________________________________
C©u IVa.
XÐt hai tr−êng hîp sau :
a) p = q : I = ∫
2π
o
=
cos2 pxdx
1 2π
1
sin 2px
(1 + cos2px)dx = x +
2 o
2
2p
2π
∫
b) p ≠ q :
I=
o
=π
1 2π
[cos(p + q)x + cos(p − q)x]dx
2 o
∫
1 sin(p + q)x sin(p − q)x
=
+
2 p+q
p−q
2π
o
=0
C©u Va. Ph−¬ng tr×nh (C1 ) vµ (C2 ) lÇn l−ît ®−îc viÕt l¹i d−íi d¹ng :
(C1 : (x − 3)2 + y2 = 22 ,
(C2 ) : (x − 6)2 + (y − 3)2 = 12
VËy
(C1 ) cã t©m I1 (3, 0) , b¸n kÝnh R1 = 2 ,
(C2 ) cã t©m I 2 (6, 3) , b¸n kÝnh R2 = 1 .
Ta t×m ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi (C1 ) vµ (C2 ) d−íi d¹ng x = m.
Tõ ®iÒu kiÖn tiÕp xóc ta cã hÖ :
| 3 − m |= 2
| 6 − m |= 1
⇒ m = 5.
VËy ®−êng th¼ng ®óng x = 5 lµ ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi (C1 ) vµ (C2 ) . Mäi ®−êng th¼ng tiÕp xóc
víi (C1 ) vµ (C2 ) kh¸c víi ®−êng th¼ng ®øng ®Òu cã d¹ng
ax − y + b = 0
Theo ®iÒu kiÖn tiÕp xóc, ta cã
3a + b
=2
a 2 + 1
6a − 3 + b
=1
a 2 + 1
(3a + b)2 = 4(a 2 + 1)
⇒
| 3a + b |= 2 | 6a − 3 + b |
(3a + b)2 = 4(a 2 + 1)
⇔
hoÆc
3a + b = 2(6a − 3 + b)
(3a + b)2 = 4(a 2 + 1)
3a + b = −2(6a − 3 + b)
−33 − 9 17
9 + 17
, b=
a =
8
8
−33 + 9 17
9 − 17
⇔ a =
, b=
8
8
a = 0, b = 2
VËy ph−¬ng tr×nh c¸c ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi hai ®−êng trßn (C1 ) , (C2 ) trong tr−êng hîp nµy
lµ :
_______________________________________________________
9 + 17
33 + 9 17
x−
,
8
8
9 − 17
33 − 9 17
(d2 ) : y =
x−
8
8
(d3 ) : y = 2 .
Tãm l¹i, ta cã 4 ®−êng th¼ng tiÕp xóc víi (C1 ) vµ (C2 ) lµ (d1 ),(d2 ),(d3 ) vµ x = 5.
(d1 ) : y =
C©u IVb.
1) AC'lµ ®−êng cao trong tam gi¸c c©n SAC, do ®ã ®Ó C' thuéc ®o¹n SC, S ph¶i lµ gãc nhän,
muèn vËy ph¶i cã OC < SO ⇒ h > 2a.
Tø gi¸c AB'C'D' cã c¸c ®−êng chÐo AC' vµ B'D' vu«ng gãc víi nhau. Gäi K lµ giao ®iÓm c¸c
®−êng chÐo Êy. Ta cã :
4ah = 2dt(SAC) = AC'.SC = AC'. h2 + 4a 2 ⇒
⇒ AC' =
4ah
2
h + 4a 2
MÆt ph¼ng (AB'C'D') c¾t BC t¹i B1 víi AB1 // BD , AB1 = 2a .
NÕu B'C'D' lµ tam gi¸c ®Òu th× B'KC' lµ nöa tam gi¸c ®Òu, vËy
B1AC' lµ nöa tam gi¸c ®Òu, suy ra :
4ah
2
h + 4a
2
= AC' = AB1. 3
= 2a 3 ⇒ h = 2a 3 .
Khi ®ã SO = h = 3OA , suy ra SAC lµ tam gi¸c ®Òu, vËy C' lµ
trung ®iÓm cña SC.
2) H×nh chãp S.ABCD cã thÓ tÝch :
1
4
V = SO.dt(ABCD) = ha 2 .
3
3
Tam gi¸c SAB cã c¹nh AB = a 5 vµ ®−êng cao h¹ tõ ®Ønh S
SH =
do ®ã cã diÖn tÝch s =
4a 2 + 5h2
,
5
a
4a 2 + 5h2 . Tõ ®ã suy ra diÖn tÝch toµn phÇn h×nh chãp S.ABCD :
2
S = 4s + dt (ABCD) = 4a 2 + 2a 4a 2 + 5h2 , thµnh thö :
r=
3V
2ah
.
=
S 2a + 4a 2 + 5h2
C©u Vb.
Tr−íc hÕt ta h·y chøng minh r»ng :
2tg
dÊu = chØ x¶y ra khi A = B. Qu¶ vËy :
tgA + tgB =
A+B
≤ tgA + tgB
2
sin(A + B)
2sin(A + B)
=
≥
cosA cosB cos(A + B) + cos(A − B)
_______________________________________________________
2sin(A + B)
≥
=
cos(A + B) + 1
A+B
A+B
cos
2
2 = 2tg A + B
+
A
B
2
2 cos2
2
4sin
§Ó ý r»ng kÕt qu¶ nµy chØ ®óng víi gi¶ thiÕt A, B lµ gãc nhän, v×
khi ®ã :
0 < 2cosA cosB = cos (A + B) + cos (A − B) ≤ cos (A + B) + 1.
Trë vÒ víi ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n :
tg2 A + tg2 B = 2tg2
A+B 1
≤ (tgA + tgB)2 ⇒
2
2
⇒ (tgA − tgB)2 ≤ 0 ⇒ tgA = tgB ⇒ A = B
http://kinhhoa.violet.vn
_____________________________________________________
__________
C©u I.
Cho m lµ mét sè nguyªn dû¬ng, h·y t×m cûåc trÞ cña hµm sè
y = xm(4 - x)2.
Kh¶o s¸t sûå biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 1.
C©u II.
1) ABC lµ mét tam gi¸c bÊt k×. Chûáng minh r»ng víi mäi sè x ta ®Òu cã
1+
1 2
x ³ cosA + x(cosB + cosC).
2
2) Gi¶i phû¬ng tr×nh
cosx +
10
1
1
.
=
+ sinx +
3
sinx
cosx
C©u III.
1) Gi¶i vµ biÖn luËn theo a, b phû¬ng tr×nh
ax + b
x- b
.
=
x- a
x+a
2) Cho 3 sè a, b, c tháa m·n ®iÒu kiÖn a2 + b2 + c2 = 1. Chûáng minh r»ng:
abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.
C©u IVa. 1) Chûáng tá r»ng hµm sè
F(x) = x − ln(1 + x )
lµ mét nguyªn hµm trªn R cña hµm sè f(x) =
x
.
1 + | x|
_______________________________________________________________
2) TÝnh tÝch ph©n
e
I=∫
xln 2 xdx.
1
C©u IVb. H×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. Gäi K lµ trung ®iÓm cña c¹nh SC. MÆt
ph¼ng qua AK c¾t c¸c c¹nh SB, SD lÇn lûúåt t¹i M vµ N.
Chøng minh:
1)
2)
SB
SD
=3;
+
SM
SN
1 V1 3
£ ,
£
3
V 8
trong ®ã V lµ thÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD, V1 lµ thÓ tÝch h×nh chãp S.AMKN.
_________________________________________________________
C©u I.
1) y' = mx m−1(4 − x)2 − 2(4 − x)x m =
= x m −1 (4 − x)[4m − (m + 2)x] .
a) XÐt tr−êng hîp m ≥ 2. Khi ®ã ph−¬ng tr×nh y' = 0 cã ba nghiÖm x1 = 0 , x2 =
x3 = 4 .
NÕu m − 1 ch½n (tøc m = 3, 5, 7, ...) th× y' sÏ cïng dÊu víi
(4 − x) [4m − (m + 2)x] vµ do ®ã : y min (4) = 0 vµ
y max (x2 ) =
m m 4m + 4
(m + 2)m +2
= M.
NÕu m - 1 lÎ (tøc m = 2, 4, 6, ...) th× dÊu cña y' lµ dÊu cña
x(4 − x)[4m − (m + 2) x]
LËp b¶ng xÐt dÊu sÏ cã kÕt qu¶
y min (0) = 0 ; y max (x2 ) = M , y min (4) = 0
b) §Ò nghÞ b¹n ®äc tù lµm cho tr−êng hîp m = 1
(y = x(4 − x)2 ) .
2) Kh¶o s¸t, vÏ ®å thÞ hµm sè
y = x(4 − x)2
dµnh cho b¹n ®äc.
C©u II.
1) x2 − 2(cosB + cosC)x + 2(1 − cosA) ≥ 0 . (1)
∆ ' = (cosB + cosC)2 − 2(1 − cosA) =
C+ B 2 B−C
A
cos
= 4 cos2
− 4sin2 =
2
2
2
A
B−C
= 4sin2 cos2
− 1 ≤ 0
2
2
VËy (1) ®óng víi mäi x.
sin x + cosx 10
=
sin x cosx
3
§Æt t = cosx + sin x(− 2 ≤ t ≤ 2) (2)
2) cosx + sin x +
th× t 2 = 1 + 2sin x cosx vµ ta ®−îc t +
§Æt ®iÒu kiÖn t ≠ ±1 sÏ tíi
2t
10
t2 − 1 3
=
3t 3 − 10t 2 + 3t + 10 = 0
tøc lµ : 1 + a + b + c + ab + ac + bc ≥ 0 (2)
Céng (1) vµ (2) ta cã : abc + 2 (1 + a + b + c + ac + bc + ac) ≥ 0.
(t − 2)(3t 2 − 4t − 5) = 0 .
hay
Ph−¬ng tr×nh nµy cã ba nghiÖm
t1 = 2 ; t 2 =
2 − 19
2 + 19
; t3 =
3
3
4m
vµ
m+2
_________________________________________________________
ChØ cã t 2 lµ thÝch hîp. Thay vµo (2) ta cã ph−¬ng tr×nh
π 2 − 19
cos x − =
.
4
3 2
§Æt cos α =
2 − 19
3 2
th× ®−îc hai hä nghiÖm :
x1 =
π
π
+ α + 2kπ ; x2 = − α + 2mπ
4
4
C©u III.
1) §Æt ®iÒu kiÖn x - a ≠ 0 ; x + a ≠ 0 th× (1) ®−îc biÕn ®æi vÒ d¹ng :
x[a − 1)x + a 2 + a + 2b] = 0 (2)
Víi ∀a, b (2) ®Òu cã nghiÖm x1 = 0 .
Gi¶i (a − 1)x + a 2 + a + 2b = 0 .
NÕu a ≠ 1 cã nghiÖm x2 =
a 2 + a + 2b
1− a
NÕu a = 1 ta cã : 0x = − 2(1 + b).
(3)
Víi b ≠ − 1 th× (3) v« nghiÖm ; víi b = -1 th× (3) nghiÖm ®óng víi ∀x. KiÓm tra x2 cã tháa
m·n ®iÒu kiÖn x2 ≠ ±a ?
x2 ≠ a ⇔
a 2 + a + 2b
≠ a ⇔ a 2 + a + 2b ≠
1− a
≠ a − a 2 ⇔ 2(a 2 + b) ≠ 0 ⇔ b ≠ −a 2
x 2 ≠ −a ⇔
a 2 + a + 2b
≠ −a ⇔ a 2 + a + 2b ≠ a 2 − a ⇔ b ≠ −a .
1− a
KÕt luËn :
víi b ≠ −1 , (1) cã nghiÖm duy nhÊt x1 = 0 .
NÕu a = 1 th× :
víi b = − 1, (1) cã nghiÖm lµ ∀x ≠ ± 1.
NÕu a ≠ 1 ; 0 th× :
2
víi b ≠ −a , b ≠ - a, (1) cã hai nghiÖm
x1 = 0,
a 2 + a + 2b
x
=
2
1− a
víi b = −a 2 hoÆc b = - a th× (1) cã mét nghiÖm x1 = 0 .
NÕu a = 0 th× (1) cã mét nghiÖm x2 = 2b nÕu b ≠ 0 ; (1) sÏ v« nghiÖm nÕu b = 0.
2) V× a 2 + b2 + c2 = 1 nªn - 1 ≤ a, b, c ≤ 1.
Do ®ã
1 + a ≥ 0 , 1 + b ≥ 0, 1 + c ≥ 0 ⇒ (1 + a) (1 + b) (1 + c) ≥ 0 ⇒
⇒ 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0. (1)
MÆt kh¸c :
a 2 + b2 + c2 + a + b + c + ab + ac + bc =
(1 + a + b + c)2
≥0,
2
________________________________________________________________________________
C©u IVa. 1) Víi x > 0 ta cã
F(x) = x - ln(1 + x) Þ F’(x) = 1 -
1
x
;
=
1 + x
1 + x
víi x < 0 ta cã
F(x) = - x - ln(1 - x) Þ F’(x) = - 1 +
1
x
.
=
1 - x
1 - x
Tõ ®ã suy ra víi x ¹ 0
F’(x) =
x
.
1 + | x|
Ta chØ cßn ph¶i chøng minh r»ng F’(0) = 0. Qu¶ vËy
1
1
(F( ∆x) - F(0)) = lim
∆
x
→
0
∆x → 0 ∆x
∆x
ln(1
+
x)
∆
= lim 1 = 0,
∆x →0
∆x
F’(0) = lim
v× lim
∆x → 0
( ∆x - ln(1 + ∆x)) =
ln(1 + ∆x)
= 1.
∆x
e
2) I = ∫ xln2xdx.
1
u = ln x
§æt
dv = xdx
2
⇒
ln x
2
=
dx
du
x
1
v = x 2,
2
1
e
suy ra I = x 2 ln 2 x 2
1
§Ó tÝnh J, ®Æt
du = ux
ln
u
x
=
x
⇒
1
dv = xdx
v =
2
e
∫
1
e
e2
xlnxdx =
- J, víi J = ∫ xlnxdx.
2
1
________________________________________________________________________________
suy ra J =
e
1 2
1 e
1
e2
.
x ln x − ∫1 xdx = −
2
1
2
2
2 4( e − 1)
VËy
1
I = (e2 - 1).
4
C©u Ivb.
1) V× K lµ trung®iÓm cña SC, nªn theo h×nhbªn, trong tam gi¸c SAC, SO
vµ AK lµ hai ®ûêng trungtuyÕn c¾t nhau t¹i trängt©m H, vËy
SH
2
= .
SO
3
Theo h×nh bªn , ta cã dt(SNH) =
SN SH
.
. dt(SDO) =
SD SO
=
SN 2 1
SH SM
.
.
. dt(SDB),dt(SHM) =
. dt(SOB)
SD 3 2
SO
SB
=
2 SM 1
.
. dt (SDB).
3 SB 2
§ång thêi dt(SNH) + dt(SHM) = dt(SNM) =
Tõ c¸c hÖ thøc trªn, suy ra
Û
SN SM
.
dt(SDB).
SD
SB
1 SN
1 SM
SN SM
.
+
.
=
.
3 SD
3
SB
SD SD
SB
SD
+
= 3.
SM
SN
SM
1
SN
1
2) §Æt
= y, theo hÖ thøc trªn ta cã +
= x,
= 3. §ång thêi, do ý nghÜa h×nh häc, ph¶i cã 0 < x £ 1,
SB
x
SD
y
0 < y £ 1. V×
1
x
1
,
⇒ y =
= 3 y
x
3x - 1
x
nªn 0 <
≤ 1
3x - 1
1
Þ ≤ x ≤ 1.
2
0
- Xem thêm -
.PDF 
255 
317 
134 
