Mô tả:
www.MATHVN.com
GV: Nguyễn Chín Em
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
A. BẢNG ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.
Đạo hàm
Mở rộng
Nguyên hàm
(c ) ' = 0
∫ dx = x + C
n −1
(u ) = n .u '.u
n '
'
'
1 −u '
u = u2
1
1
x = −x2
'
1
'
c −c.u '
u = u2
'
u'
u =
2 u
(e ) = e
(e ) = u '.e
( )
( )
x
u '
(a ) = a .ln a
=
1
x
( loga x )
=
'
( sin x )
'
( cos x )
( cot x )
'
1
x .ln a
( sin u )
=
1
cos2 x
=−
=
'
.u '.ln a
'
=
u'
u .ln a
= u '.cos u
( cos u ) ' = −u '.sin u
= − sin x
'
u'
u
'
( loga u )
= cos x
'
( t an x )
'
( ln u )
∫e
x
x
( t an u ) ' =
u'
cos u
w.
( ln x )
u
k
∫ x .dx = k .ln x
+C
.dx = e x + C
n +1
k
k
ax +b
1
.dx = .e ax +b + C
a
∫ ax + b .dx = a .ln ax + b + C
∫e
ax
∫ a .dx = ln a + C
u
(a ) = a
u '
x
+C
1 (ax + b )
ax
+
b
dx
=
.
+C
(
)
∫
a
n +1
1
1
∫ ax + b .dx = a .ln ax + b + C
n
1
sin
ax
+
b
.
dx
=
−
cos (ax + b ) + C
(
)
∫
a
1
∫ cos x .dx = sin x + C
∫ cos (ax + b ) .dx = a sin (ax + b ) + C
Một số công thức LG thường sử
1
dụng
để tính nguyên hàm.
∫ cos2 x .dx = t an x + C
1
cos a .cosb = cos (a − b ) + cos (a + b )
2
1
∫ sin x 2x .dx = − cot x + C
1
sin a .sin b = cos (a − b ) − cos (a + b )
2
∫ t an x .dx = − ln cos x + C sin a.cosb = 1 sin (a − b ) + sin (a + b )
2
1 − cos2a
1 + cos2a
sin 2 a =
; cos2 a =
2
∫ cot x .dx = ln sin x + C sin 2a = 2sin2a .cosa
cos2 a − sin 2 a
cos2a = 2cos2 a − 1
1 − 2sin 2 a
∫ sin x .dx = − cos x + C
M
AT
x '
x n +1
x
.
dx
=
+C
∫
n +1
n
∫ x .dx = ln x
c
c
x = −x2
'
1
x =
2 x
x '
n −1
N.
co
n
HV
(x ) ' = n .x
∫ k .dx = k .x + C
m
(c.x ) ' = c
Mở rộng
1
sin 2 x
ww
( cot u ) ' = −
u'
sin 2 u
cos2 a = 1 − sin 2 a
2
2
sin a = 1 − cos a
Qui tắc đạo hàm.
'
1. (u .v ) = u '.v + u .v '
'
u u '.v − u .v '
2. =
v2
v
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 1
www.MATHVN.com
B. TÍCH PHÂN.
1.
b
b
∫ f (x ) .dx = F (x ) a = F (b ) − F (a )
GV: Nguyễn Chín Em
m
a
2. Tính chất.
b
b
a
a) − ∫ f ( x ) .dx = ∫ f ( x ) .dx
b
b
a
a
a
b) ∫ k . f ( x ) .dx = k .∫ f ( x ) .dx
b
b
b
a
a
a
c) ∫ f ( x ) ± g ( x ) .dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
b
b
b
a
a
a
N.
co
a
d) ∫ f ( x )dx = 0
e) m ≤ f ( x ) ≤ M ⇒ ∫ m .dx ≤ ∫ f ( x ) .dx ≤ ∫ M .f ( x )dx
a
c
b
c
a
a
b
f) ∫ f ( x ) .dx = ∫ f ( x ) .dx + ∫ f ( x ) .dx
HV
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH TÍCH PHÂN
3.1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
b
f (x )
3.2. Tích phân hàm hữu tỷ: ∫
dx
g
x
(
)
a
- Nếu bậc f ( x ) ≥ bậc g ( x ) → Chia đa thức.
- Nếu bậc f ( x ) < bậc g ( x ) : Ta sử dụng hệ số bất định.
ax + b
A
B
=
+
( x − x 1 )(x − x 2 ) (x − x 1 ) (x − x 2 )
ax + b
(x − x 0 )
M
AT
2
=
A
B
+
( x − x 0 ) ( x − x 0 )2
b
3.3. Phương pháp đổi biến số: A = ∫ f u ( x ) .u ' ( x )dx .
a
Dạng 1:
Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ' ( x ) .dx ; đổi cận:
Ta được: A =
u (b )
∫ f (t ) .dt = F (t )
u (a )
u (b )
x
t
Dạng
m
n
∫ sin x .cos x dx
m lẻ
a
n chẳn
Dạng 2:
Dạng a 2 + x 2
Đặt
b
sin x .dx
∫a f ( cos x )
w.
ww
b
)
π π
t = a t an t , t ∈ − ;
2 2
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
b
u (b )
u (a )
* Một số thủ thuật đặt t .
b
Dạng b
u (x )
f
u
x
dx
(
)
∫a
∫a v n (x ) dx
t
t = v (x )
u (x )
(
a
u (a )
t = f ( cos x )
t = cos x m chẳn
t = sin x
n chẳn
b
∫e
u (x )
.v ( x )dx
a
b
∫
a
f ( ln x )
x
b
dx
t = u (x )
t = f ( ln x )
Hạ bậc
m=0
1 − cos 2a
sin 2 a =
2
1 + cos2a
2
cos a =
2
n chẳn âm
n=0
∫
f ( t an x )
cos2 x
a
t = t an x
dx
t = t an x
t = cot x
m chẳn âm
a2 − x 2
π π
x = a sin t , t ∈ − ;
2 2
x 2 −a2
a
π π
x=
, t ∈ − ; \ {0}
sin t
2 2
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 2
www.MATHVN.com
GV: Nguyễn Chín Em
b
b
3.4. Phương pháp từng phần : B = ∫ u .dv = u .v a − ∫ v .du
b
a
a
Cách đặt u và dv :
b
u
f (x )
f (x )
dv
sin x
cos x .dx
)
x + x. x + x
.dx
2
x
1
∫
2
2
4. ∫ + x 3 dx
x
1
2
1
5. ∫ x 2 + 2x dx
x
1
π
2
0
ln 3
14.
3
7. ∫
+ x dx
2x − 1
1
π
ww
2
π
8. ∫ cos − 2x dx
4
0
π
2
9.
∫ ( 2 − sin 3x )dx
0
1
10.
∫ ( 2e
x
)
+ 1 dx
0
ln 2
11.
∫ (e
2x
∫
0
∫ ( 3sin x − 3 cos x + 2 )dx
0
2
∫(
)
(
)
2
15. ∫ e x + dx
x
1
1
16. ∫ x 2 ( 3 − x ) dx
2
0
2
)
+ 1 dx
∫ ( 2x − 1) dx
3
1
1
18.
∫
24. ( x − 1)(x + x + 1)dx
0
π
2
25.
e 2x + e x
dx
ex
2
17.
1
dx
sin 2 x
2
cos x
1
2
e x + 1 dx
0
1
∫ (3
x
)
+ 1 dx
π
4
2
19. ∫
− 1 dx
2
cos x
0
∫
dx
x
e −x
cos2 x
dx
1
29. x 2 ( x − 1) dx
∫
2
0
2
30.
1
∫ x . (x + 1) dx
1
2
32.
3x 3 + x + 2
22. ∫
dx
3x + 1
0
33.
2 x + 5 − 7x
dx
23. ∫
x
1
2
e −x
27. ∫ e x 2 + x dx
e
0
2
2
28. ∫ 2x + dx
x
1
0
ln 2
2x − 1
21. ∫
dx
x +1
0
1
4
26. e x 1 −
31.
1
2
4
x 3 + 2x + x 2
20. ∫
dx
2
x
1
2
∫ 1 − sin
π
π
0
w.
6.
f ( x ) .dx
M
AT
3.
3
x
ln 2
12.
1
4
4
ln x
log x
a
13. ∫ e x 2e x − 1 dx
1. ∫ x 3 + 2x 2 + 3 dx
1
1
2. ∫ 3 + 2 + x . x dx
x
x
1
x
∫a cos2 x dx
2
sin x
HV
(
a
e xdx
C. BÀI TẬP
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ
bản.
2
x
ln x
∫a f (x ) . loga x .dx
b
m
∫ f (x ) .e dx
Dạng
b
N.
co
sin x
∫a f (x ) . cos x .dx
b
∫
( 2x − 1)
2
x
1
dx
π
4
∫ cos 3x .cos x dx
0
4
∫x
2
3
1
2
2
34.
∫x
0
2
1
dx
−4
1
dx
− 3x + 2
0
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 3
www.MATHVN.com
ln 2
36.
∫(
)
2
2
51. ∫ cos4 x .dx
0
e − 1 e dx
x
2
π
0
ln 2
4
37.
∫ sin 3x .sin x dx
38.
∫
(e
−1
x
)
∫
π sin
2
1
dx
x .cos2 x
π
∫ 2x − x
2
∫
2 cos2 x + 1
∫0 1 − sin 2 x dx
56.
1
57. ∫ x + dx
x
2
1 2
x − 3x + 3
58. ∫
dx
x +1
0
43.
∫x
− 3x + 2 dx
−1
π
44.
∫
1 + cos 2x dx
x
∫ 2 − 4 dx
∫x
2
∫
− x dx
1 − cos 2x dx
63.
π
2
48. ∫ sin x .dx
ww
2
72.
3
0
64.
π
0
π
2
50. ∫ sin x .dx
4
0
2x + 1 dx
7
3
∫
3
74.
∫
65.
1
∫ (x − 2 )(x + 1)
5x − 13
dx
x
−
5
x
+
6
0
1
2
2
x4
67. ∫ 2 dx
x −1
0
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
dx
1
∫ (
)
3
0
( 2x − 1)
76. ∫
6
0 ( x + 1)
4
1
dx
1
77.
∫
1 − x 2 .x 3dx
0
4
78.
4x − 1
dx
2x + 1 + 2
∫
1
∫2 2x + 1 + 4x + 1 dx
2 3
80.
∫
x +4
5
81.
∫
1
ln 3
82.
∫e
ln 2
ln 2
83.
www.DeThiThuDaiHoc.com
∫
0
x
2
64
dx
3
75. x 5 x 2 + 1 dx
3
1
66. ∫
x
∫ ( x + 1)
0
79.
1
dx
x +1 − x + 6
x +2
dx
+ 4x + 7
2
1
0
6
3x + 1 dx
0
3
∫x
3
x3
73. ∫
dx
1+x2
0
dx
0
0
5
2
49. ∫ cos2 x .dx
∫
3
4
0
1
4
62.
0
4
−1 ( 3 − 5x )
w.
47.
60. ∫ ( −2x + 1) dx
61. ∫
0
3π
2
1
0
0
0
2
46.
2
x
x
59. ∫ 1 + sin cos .dx
2
2
0
7
0
3
45.
π
M
AT
2
4
∫ (1 + x ) x dx
0
1
2
4
dx
x 2 − 6x + 9.dx
2
71.
4
∫ 1 − x dx
0
4
42.
a
1
0
0
3
41.
A = ∫ f u ( x ) .u ' ( x )dx
2
∫ cos 2x dx
6
2
2x + 1
dx
x
3
x
4
+
−
−1
2
b
8
55.
)
Bài 2: Tích các tích phân sau:
(Đổi biến số)
DẠNG 1:
π
4
40.
)
+ 2x dx
2x − 1
54. ∫
dx
x
1
+
0
dx
π
39.
x
(
0
70. ∫
0
1
2
ex
0
∫ (e
53.
0
1
69.
52. ∫ sin 3x .cos x .dx
0
x 2 − 3x + 2
∫1 x x 2 + 2x + 1 dx
2
π
x
N.
co
∫
1
m
2
HV
35.
GV: Nguyễn Chín Em
3x − 1
68. ∫ 2
dx
x
+
6
x
+
9
0
π
3x + x x + x
dx
x
1
4
dx
1
dx
x +3x
x
1
dx
−1
1
dx
1 + e −x
Trang 4
www.MATHVN.com
∫
2
dx
ex − 1
x + e x + 2x 2e x
85. ∫
dx
x
+
e
1
2
0
100.
ln 2
1 2
ln 5
86.
∫
0
1
101.
(10 − e )
e −1
x
102.
103.
1 + ln x
88. ∫
dx
x
1
89.
90.
1 + 3ln x .ln x
dx
x
)
104.
x .cos x dx
5
∫ cos x .sin xdx
0
x dx
0
π
109.
2
3
∫ cos x .dx
0
0
∫
3
1 + 7 cos x .sin xdx
0
112.
ww
π
2
97.
∫
1 + 3sin x .sin 2x .dx
0
98.
sin x .dx
∫ ( 2 + cos x )
113.
3
114.
0
π
2
99.
∫
0
∫
x +1
3
0
x
ln 8
∫
ex + 1
ln 3
cos x
dx
1 + 3 sin x
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
∫
∫
1
1+x3
∫
4
x 3dx
x2 +9
xdx
7
2x + 1
0
1+2sin x
e
122. ∫
.cosxdx
0
π
6
123.
∫ sin 2x .cos x .dx
0
π
2
124.
∫ sin
4
x .cos3 x .dx
0
π
∫
3
2
125. I = sin x .cos x .dx
0
π
4
126.
1
∫
π sin
4
x
.dx
6
π
x +1 +1
4
x 3 (1 − x 2 )3dx
0
∫
4
2
x .dx
0
3
1
2
3
x 5 .dx
2
3
dx
π
2x
e dx
∫
x5
3
1
127. ∫ cos4 x .dx
0
π
2
π
2
3
∫
dx
0
111.
2
0
2
2
121. I = x x + 3dx
sin 2xdx
e sin x sin 2xdx
110. ∫
w.
1 + 3sin x .cos xdx
π
96.
e
4
2
∫
∫
e −x xdx
2
π
π
2
2
120.
x
108. 1
2
5
∫ (1 + sin x )
2
2
0
∫
π
95.
(1 + x )
M
AT
2
94.
∫x
dx
π
107.
∫ sin
sin x .cos x
dx
2
+
x
1
cos
0
∫
1
0
93.
3
4
π
92.
119.
π
106.
∫ sin
dx
1 + ln x .x
∫
cos x
105. ∫
dx
2
sin x − 5sin x + 6
0
2
91.
118.
6
π
4
4 sin x
∫0 1 + cos x dx
2
e
1
117.
dx
π
∫(
∫
2
3
1
1
dx
2
ln x − 3ln x + 2 .x
1
∫1+x
e3
3
e
5
2
ln x
∫1 ( 2 + ln x ).x dx
e
x
116.
π
dx
e
87.
∫
1
0
ex
x
ln 2
sin x .cos x
dx
1 + 3 sin x
m
e
N.
co
84.
GV: Nguyễn Chín Em
π
2x
HV
ln 5
115.
3
∫
0
∫
x + 1 dx
2
sin 2x
128. ∫ cos2 x + 3 .dx
0
π
π
2
0
∫
x
5
e sin x cos xdx
x3
7
0
3
1+x
2
dx
2
sin 2x
129. ∫ 3 − sin 2 x .dx
0
2
130.
www.DeThiThuDaiHoc.com
∫1+
1
x
x −1
.dx
Trang 5
www.MATHVN.com
GV: Nguyễn Chín Em
ln 2
2
0
(
)
ln 2
cos2 x + 4 sin 2 x
dx
150. ∫ x
e + 2e −x − 3
ln 3
π
ln 5
sin 2x
151. ∫
dx
2
+
x
(2
sin
)
0
π
ln 4
1
135. ∫ e x + 3 .dx
ln 3
sin 2x + sin x
152. ∫
dx
1 + 3cos x
0
2
2
π
1
136. ∫ x .ln 4 x .dx
e
sin 2x cos x
153. ∫
dx
1
cos
+
x
0
1
137. ∫ e x + 5 .dx
ln 3
∫
x
2
)
+ 4 e 2x
ex + 2
0
154. ∫ (e
ln x . 2 + ln 2 x
.dx
141. ∫
x
1
π
sin x
142. ∫ 4 cos x − 3 .dx
π
155.
π
∫
(e
x
)
+ 3 ex
e −1
x
ln 3
π
dx
ww
4
1
145. ∫ sin 2 x .cot x .dx
π
6
π
∫
π
cos3 x .dx
3
sin x
6
π
4
147.
∫
0
0
1
157.
∫
0
2
∫
t an x .dx
cos2 x
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
e
x
ex + 2
x5 +x3
(x
+1
)
8
x +x
5
3
)
(x
2
+2
2
2
dx
dx
dx
π
6
sin 2x
159. ∫
dx
2 sin 2 x + cos2x
0
w.
sin 2x
143. ∫ cos 2x + 3 .dx
0
146.
∫
156.
0
2
2
1 − 2sin 2 x
∫0 1 + sin 2x dx
ln 2
158.
2
144.
π
x
e
ln 5
1
e
166.
+ cos x )cos xdx
4
x 2
∫
sin x
0
dx
(1 + e ) .e
.dx
ex − 1
ln 3
ln 4
140.
π
M
AT
138.
(e
π
sin(ln x )
dx
x
1
∫
π
167.
1 + sin 2x
dx
2
x
cos
0
∫
π
2
168.
sin x
∫ 1 + 3cos x dx
0
169.
2
0
e3
171.
1
∫2 x (1 − ln x ) dx
e
π
2
172. ∫ sin 3 x .cos x dx
π
6
1
173. ∫ x ( x − 1) dx
7
0
π
174.
sin 2x
∫
π 1 + cos
2
x
dx
2
1
175. ∫ 3 x ( x − 2 )dx
0
2
cosxsin 3x
dx
2
1
+
sin
x
0
x −1
∫1 x − 2x − 3 dx
2
π
2
177.
cos x .dx
∫π (1 + sin x )
−
π
sin 2x
162. ∫
dx
2
(2
sin
)
+
x
0
178.
e 2 ln x +1
dx
163. ∫
x
1
179.
∫
3xdx
3
0
e3
www.DeThiThuDaiHoc.com
∫x
1
2
6
19
2
dx
sin x
dx
8cos x + 1
170. ∫
2
1 + ln 2 x
161. ∫
dx
x
1
2
π
176.
e
e
∫x
1
x
1
160. ∫
e
∫
2
2
ln 4
ln 5
dx
165.
4
2
e 2x
134. ∫ e x + 1 .dx
ln 2
e
∫
0
ln 5
dx
e −1
x
sin 2x
N.
co
∫
133.
ex + 3 ex
149.
1 + 3ln x ln x
dx
x
e
2
−x
e
132. ∫ 2e −x + 1 .dx
ln 2
ln 5
1 + ln 2 x
164. ∫
dx
x ln x
e
π
0
ln 3
∫
148.
2 + sin x
.sin 2x .dx
131. ∫ e
e −e
dx
e x + e −x
e2
HV
2
−x
x
m
π
x2 +8
dx
4 − ln x
Trang 6
www.MATHVN.com
GV: Nguyễn Chín Em
180. ∫ x x 2 + 1 dx
196.
−
(
0
sin 2 x
.cos2xdx
)
183. ∫ xe
1−x 2
198.
−1 (1 − x )
ln x .dx
1 x ( ln x + 3 )
201.
0
2
∫
2
4x + 1 dx
x
2
dx
1−x2
1
1
194. ∫ 2
dx
x +x +1
0
0
1
195.
∫
205. ∫ x cos x dx
0
1
206. ∫ xe xdx
w.
ww
2 − x 2dx
2x − x dx
2
0
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
x + sin x
dx
cos2 x
0
3
216.
∫
217. ∫ x (2cos2 x − 1)dx
0
2
218.
0
1
207. ∫ x .e dx
ln(1 + x )
∫1 x 2 dx
1
219. ∫ x ln(1 + x 2 )dx
0
1
220. ∫ (x − 2)e 2xdx
0
e
221.
ln x
∫ (x + 1)
0
e
223.
ln x
∫1 x dx
224.
∫ (3x + 2) ln xdx
225.
∫
e
∫
e2
∫
e2
π
2
208. ∫ (x − 1)cos xdx
226.
0
227.
π
6
209. ∫ (2 − x )sin 3xdx
0
π
dx
222. ∫ (2x + 7)ln(x + 1)dx
e
1
3x
0
2
1
e
2
1
π
2
0
∫
∫ (x + cosx)s inxdx
204. ∫ ln(x + x )dx
1
193.
203.
2
Bài 3: Tính các tích phân sau:
(Đổi biến số)
Dạng 2:
a2 + x 2
a2 − x 2
x = a t an t
x = a sin t
1
1
191. ∫
dx
3+x2
0
2
2
+ 1)dx
0
2
dx
1 + e −x
0
∫
2
π
4
1
)ln xdx
x
π
4 − xdx
215. ∫ x cos2 x dx
π
M
AT
∫
∫ x ln(x
1
0
0
−5
ln 3
∫ x ln xdx
∫
187. ∫ x x + 1 dx
dx
0
202. (x +
3
192.
4 − x dx
2
0
e
7
∫x
1
5
2
2
1
1
e
ln x
∫x
π
e
186. ∫
190.
1−x2
dx
Bài 4: Tính các tích phân sau
(Tích phân từng phần)
dx
4
200.
1
e
189.
∫
199. ∫ x
1 + ln 2 x
dx
x
e
185. ∫
0
HV
x2
184. ∫
213. ∫ x .ln(3 + x 2 ).dx
214.
x2
0
2
dx
1
1
2
1
0
0
188.
2
2
2
4x
dx
2x 2 + 1
1
212. ∫ 4x .ln x .dx
dx
4 −x
1
197. ∫ 2
dx
x
−
x
+
1
0
4
1
182. ∫
∫
N.
co
∫π e
1
0
1
0
0
181.
3
m
1
1
1
ln x
dx
x3
1
1
1
x ln xdx
ln xdx
x
(
)
228. ∫ x ln 1 + x 2 dx
0
2
210. ∫ x .sin 2x dx
0
e
229.
∫
1
e
211. ∫ (1 − x ).ln x .dx
2
2
∫
x log 2 xdx
3
x
230. (2x − )ln xdx
1
www.DeThiThuDaiHoc.com
1
Trang 7
www.MATHVN.com
+ x + 1)dx
ln ( x + 1)
∫ (x + 2 )
3
249. ∫ xe 2x −1dx
0
dx
2
π
∫e
233.
x
234.
cos xdx
251. ∫ x sin 2x .dx
3 + ln x
1
252.
1
236. ∫ ( x + 1)e xdx
(
2
4
π
1
2
Bài 5: Tính các tích phân sau:
(TỔNG HỢP)
238. ∫ 2x cos x dx
0
1
π
239. ∫ ( 2x − 1) cos xdx
240. ∫ ( 2x + 1) ln xdx
(
)
241. ∫ x 2 + 1 e 2xdx
0
1
242. ∫ ( 2x − 1)e dx
x
0
ln 2
−x
∫ (x − 1)e dx
0
2
x + ln x
257. ∫
dx
x
1
1
1
259.
π
2
244. ∫ 2x .sin xdx
0
π
4
ww
245. ∫ ( x + 1) sin 2xdx
0
e
246. ∫ 2x ( ln x − 1)dx
1
2
247. ∫ ( ln x − 2 ) x dx
1
π
248. I = ∫ e x sin xdx
2
272. ∫ ln (1 + cos x ) .sin 2xdx
0
2
273.
x2 −x +1
0
dx
(
2
)
274. ∫ cos2 x 1 − sin 3 x dx
0
1
275.
∫
0
1
3xe x + e x + 2
dx
xe x + 1
276.
x e +1
dx
x
1
277.
1
x 2 + 2x + ( x + 1) ln 1 + x 2
∫
2 x
261. ∫ x ( x + cos x )dx
x +e
262. ∫
x
1
x +1
π
dx
∫
π
4
e
4
∫ (x + cos x ) sin xdx
279.
dx
(
0
278.
x
x +1 −x
2
∫
π
2x cos x + ( x − 2 ) sin x
∫x
1
) dx
x cos x − sin x
dx
ln 3 xdx
1 + 3ln 2 x
e2
0
π
1 − sin x
dx
1 + cos x
0
2
264. ∫
1 + x ln x
dx
x
1
265. ∫
∫
2
4
x
0
0
e
∫
2x 3 − 3x 2 + x
π
x
π
263.
1
2
xe + 1 + x
dx
x
e
+
1
0
∫
2
260.
∫
x .dx
3
2x + 2
π
e
258. ∫ ( x ln x + 1)dx
w.
0
)
M
AT
0
e
(
256. ∫ e x 3.e −x − 5x dx
4
3
271.
−
255. ∫ e x dx
0
1
3
1 −ex
xe x + 1
0
1
254. ∫ 2x ln ( x − 1)dx
)
1 − sin 3 x
dx
2
x
1
−
sin
0
4
269. ∫
270. ∫
1
3
237. ∫ 2x e − 1 dx
243.
∫ (1 − x ) cos xdx
253. ∫ ln x .dx
0
1
)
π
−π
e
235. ∫ (x − 2)e 2xdx
(
1
0
0
2
x
2
268. ∫ 1 + 2xe x dx
4
∫ (x + 1) dx
0
1
1 + x ln x
dx
2
x
1
)
π
0
3
(
e
267. ∫
0
2
)
0
250. ∫ 1 + e x xdx
0
(
266. ∫ x x 2 + e x dx
N.
co
1
232.
2
0
2
m
∫ x ln(x
GV: Nguyễn Chín Em
1
HV
231.
1
2
1 + x 2 ln 3 x
280. ∫
dx
x .ln x
e
π
2
sin 3 x
x
−
dx
2
sin
x
3cos
x
+
1
0
2
281. ∫
0
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 8
2
299. ∫ x e x +
sx
x
+
1
0
300.
π
t an x ln ( cos x )
3
284.
∫
cos x
0
π
dx
Cđ
cos2x
2012
∫0 sin x sin x + 1 + 3cos x dx
D. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI TỐT NGHIỆP.
NĂM
ĐỀ THI
2
dx
π
t an 2 x + 3 t an x + 2
285. ∫
dx
2 + sin 2x
0
4
1
2014
x cos2x + 1
dx
cos
x
sin
x
+
0
286. ∫
287.
∫
)
+ 2x + 1 e x
2 x
xe x + 1
0
4
288. ∫ e
2013
2
2. ∫ ( x + 1) cos x .dx
0
ln 2
dx
2012
0
e
2x +1 −2
dx
2011
4.
0
289. ∫
π
4
1
∫
2e − e
2x
e +1
x
ln 3
π
6
cos x
∫0 4 − sin 2 x dx
π
e8
294.
2 1−x2
295. ∫ x +
dx
x +x3
1
1
3x + 2ln ( 3x + 1)
296. ∫
dx
2
(x + 1)
0
ww
4
297. ∫ x
1
e
298.
∫x
1
(
− 1 e dx
x
B
4 + 5ln x
dx
x
)
x + ln x dx
∫ (x + 1) sin 2x .dx
1 + x sin x
dx
cos2 x
0
3
∫
4x − 1
dx
2x + 1 + 2
∫
A
x 2 + e x + 2x 2e x
∫0 1 + 2e x dx
1
Cđ
2x − 1
∫ x + 1 dx
0
2010
e
B
ln x
∫ x ( 2 + ln x )
2
dx
1
e
D
3
∫ 2x − x ln xdx
1
π
∫ ( cos
2
A
3
)
x − 1 cos2 xdx
0
3
2009
B
∫1+
∫x
3
D
dx
2x − 1
2 − x 2dx
1
∫
0
∫e
1
A
2008
2
x2 +1
2
dx
dx
−1
x
π
t an 4 x
∫0 cos2x dx
6
2
( x + 1)
3 + ln x
∫ ( x + 1)
1
0
D
2x + 1
∫ x (x + 1) dx
0
x −1
ln xdx
2
x
1
∫
1
1
B
dx
D
2
5
2013
x sin x + cos x
4
2
Cđ
x sin x + ( x + 1) cos x
1
0
ln xdx
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
x
A
∫
4
π
3
1 + 3ln 2 x
∫ ( 4x + 1)e dx
D
4
π
2011
E. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG.
Năm
ĐỀ THI
Kh
B 2 x 2 + 3x + 1
∫1 x 2 + x dx
2014
dx
∫3 x ln x 1 + ln x
e
2
Cđ
6. ∫ x (1 + cos x )dx
7.
∫ x (1 + sin 2x )dx
2
0
w.
293. ∫ e 2x sin 2 xdx
0
)
4
0
1
dx
D
2
π
2008
π
0
0
x
B
x3
∫0 x 4 + 3x 2 + 2 dx
π
5. ∫ x 2 ( x − 1) dx
0
2009
x 3 − 2x
290. ∫ 4
dx
x +1
0
ln 8
2010
0
1
2
M
AT
3cot x + 1 + x
dx
sin 2 x
2
292.
∫
1
1
π
291.
∫ (e
3.
x
∫
1
A
π
2
(x e
x
0
π
1
∫ (1 − xe )dx
1.
x
dx
x +1
N.
co
π
x
3
HV
1 − 2x + t an
283. ∫
cos2 x
0
2014
4
GV: Nguyễn Chín Em
3
1 + ln ( x + 1)
dx
A ∫
x2
1
1
m
www.MATHVN.com
2
x + ln ( x + 1)
282. ∫
dx
2
x
1
D
dx
www.DeThiThuDaiHoc.com
ln x
∫x
3
dx
1
Trang 9
www.MATHVN.com
F. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN.
1. ỨNG DỤNG 1:
Diện tích hình phẳng.
a) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
GV: Nguyễn Chín Em
Thể tích vật thể do hình ( H ) xoay quanh trục Ox :
b
V Ox = π ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
2
2
a
m
y = f ( x )
x = a
x = b
Truïc Ox
Diện tích hình ( H )
ww
w.
M
AT
HV
N.
co
BÀI TẬP
Bài 1: Tính diện tích của hình ( H ) được giới hạn
bởi:
1. y = x 3 − 3x + 2 ; x = −1; x = 3 và trục Ox
2. y = −4 − x 2 và y = 2x 2 − x 4
3. y = x 3 − 2x và tiếp tuyến của nó tại điểm có
b
hoành độ bằng −1
S (H ) = ∫ f ( x ) dx
a
4. y = x 3 − x và y = x − x 2
b) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
1
2
5. y = − x 3 + x 2 − ;x = 0; x = 2 và trục Ox
3
3
y = f ( x )
3
2
6. y = 2x − 3x ; x = 0;x = 2 và trục Ox
y = g ( x )
7. y = x 4 − 2x 2 − 3;y = x 2 + 1; x = 0; x = 2
x = a
2x − 1
8. y =
; tiệm cận ngang; x = 0;x = 2
x
=
b
x +1
9. y = x 3 − 12x ; y = x 2
Diện tích hình ( H )
b
10. y = x 3 − 1 và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành
S (H ) = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
độ bằng −2
a
11. y = x 3 − 3x + 2 và trục hoành
2. ỨNG DỤNG 2:
1
3
Thể tích vật thể tròn xoay.
12. y = 1 + ; tiếp tuyến tại A 2; và x = 5
x
2
a) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
3
13. y = x − 3x ;y = x
y = f ( x )
2x − 4
x
14.
y
=
;
y
=
−
+ 1 và trục Ox
x = a
x
−
4
4
1
x = b
15. y = x 3 − x 2; y = ( x − 1)
Truïc Ox
9
−1
Thể tích vật thể do hình ( H ) xoay quanh trục Ox :16. y = ln x ; x = e ; x = e và trục Ox
ln x
b
17. y = x +
;y = x ; x = e
2
V Ox = π ∫ f ( x ) dx
x
a
18. y = 2x ; x + y = 4 và trục hoành.
b) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
19. y = x 2 − 2x ; x = −1; x = 2 và trục Ox
y = f ( x )
20. y = −x 3 − 3x 2 và trục hoành.
21. y = (e + 1) x ; y = 1 + e x x
y = g ( x )
−3x − 1
x = a
22. y =
; x = 0 và trục Ox
x
−
1
x = b
23. y = x 2 − 2x ; y = −x 2 + 4x
(
24. y = 4 −
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
)
x2
x2
;y=
4
4 2
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 10
www.MATHVN.com
25. y = x 3 ; x = −2; x = 2 và trục Ox
26. y = x 3 ; y = −x 2
x (1 − x )
27. y = 2
;y =0
x +1
28. y = −x 2 + 6x và trục hoành
10. 2e − 1 11.
13. e (e − 1 )
21.
30. y = x ; y = 2 − x và trục Ox
Bài 2: Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi24.
hình ( H ) khi quay quanh trục Ox .
29.
1
1. y = x 3 − x 2; x = 0; x = 3 và trục Ox
3
2. y = x ln x ; x = e; y = 0
3. y = xe x ; x = e; y = 0
4. y = 4 − x 2; y = x 2 + 2
5. y = ln x ; x = 2; y = 0
6. y = e x ; y = e 2−x ; x = 0; x = 2
1
−e 2 + 2e + 1
2 3
8
37.
38.
39.
40. 1 41.
42. 1
4
e
3
3
17
1 + 4 ln 2
π
43.
44. 2 2 45.
46. 1 47. 3 2 48.
2
ln 2
4
π
3π
3π
1
49.
50.
51.
52.
53. 1 + ln 2 2
4
16
16
2
1 π
π
275
54. 2 − 3ln 2 55. +
56. 1 +
57.
8 16
2
12
7
1
11
26
58. − + 7 ln 2 59. + 2 60. 0 61.
62.
2
2
288
3
15
68 4
1
63.
64. −
+
6 65. ln 2 66. − ln 18
4
15 5
3
13 1
64 5
8
67.
− ln 3 68. ln
− 69. ln − 1
24 2
27 6
3
11
7
70. ln 2 − ln 3
5
5
HV
7. y = sin x ; x = 0; x =
33.
π
và trục Ox
2
8. y = −3x + 10; y = 2; y = x 2 ( x > 0 )
π
4
15. y
16. y
17. y
w.
14. y
; Ox
2
; x = 0; x = 1; Ox
2−x
= 2x − x 2;y = x
= x 3 − 3x 2 ; y = x − 3
2x − 4
4 −x
=
;y =
; Ox
x −4
4
= 2x ; x + y = 4; Oy
= cos x ; x = 0; x = π ; Ox
= 1 − e x ; x = 1; Ox
11. y =
12. y
13. y
M
AT
9. y = x 3 − 3x ; x = 0; x = 2; Ox
10. y = t an x ; x = 0; x =
17
2 + ln 3
π
5
17. 10 18.
19. 2 −
20.
+ 2ln 2
10
ln 3
4
2
11 28
2 − 3ln 2 22.
+ ln 2 23. −11 + 4 2 + 5ln 2
8 27
π
3
π
5
1
− 25. − 2 26. e 4 − 2 27. 28. 2(ln 2 +
)
5
4
2
ln 2
1
1
30. 2ln ( 2 ) − ln 3 31. 2 + 2ln 2
32.
30
4
1 5
3
181
1
ln
34. ln
35.
36.
4 3
2
6
3
m
29. y = − 4 − x 2 ; x 2 + 3y = 0
12.
2
2
14. 2 + ln 3 15. 2ln ( 2 ) + e 2 − e
N.
co
16.
2ln ( 2 ) + 3
GV: Nguyễn Chín Em
2ln ( 2 ) + 7
ww
18. y = e x x ; x = 1; Ox
19. y = 2 − x 2 ; y = 1
20. y = x ; y = x − 2; Ox
ĐÁP SỐ www.MATHVN.com
2179
137
19
15
1.
2.
3.
4.
+ ln 4
+ 2ln 2
12
160
2
4
1
2
3 3
9. − + π
5. 9 6. π 7. + ln 3 8.
2 2
2
3
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
15
1 3
1 1
1
37
72. ln + ln 2 73. − ln 2
74.
75.
2 2
2 2
4
16
8
11
2
34
3
3 1
76.
77.
78. + 10 ln
79. ln −
80. 1
2 12
160
15
3
5
2
4
3
8 10
81. 11 + 6 ln 82. ln 83. ln 84. − +
2
2
3
3
3 3
1 1 + 2e 1
1 5
4
5
3
116
85. ln
+ 86. ln 87. ln + 1 88. 89. 90.
4
2
2
3
3
3 3
9
135
3π
8
8
2
14
45
232
5
91.
92.
93.
94. 95.
96.
97.
98.
16
15
15
3
9
28
135
72
2
8
1
1
1 1
99. 100.
101. ln 2 − 102. 2 103. 2 104. − ln 2
2
4
2 2
3
27
10
16
7
32
106. ln
107. 108. 2e 2 − 2e 109.
110. e − 1
105. ln
9
9
3
3
5
1
848
141
1 1
111. 112.
113.
114. e − 1 115.
116. −
3
40
105
20
2 2e
71.
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 11
www.MATHVN.com
GV: Nguyễn Chín Em
m
1 1
1
7
249.
+ e 250. 3 + e 2 251. 252. −2 253. 1 254. − + 8ln 2
4
2
4e 4
1
3
1
255. 2e 2 256. −2 257. 1 + ln 2 2 258. − + e 2 + e
2
4 4
3
π3
14
262.
− 2e + 2e 2
259. ln 2 − ln (e + 1) + 260. e 2 + ln 2 261. −2 +
2
3
3
1
2π 1
5 1
3 1
−
+
2 264. 1 − ln 2 265. + e 2 266. 5 + e 2 267. −
4 4
4
8
2
2 e
3
12
1
4
268. 1 + 2e 2 269. 3 −
2 270. 1 − ln (e + 1) 271. 272. 273.
2
2
5
3
N.
co
263.
2 π
2 2
π 1
277. −
274. − + 275. 2 + ln (e + 1) 276.
2 2
5 4
3
2 π
4
1 2
1 4
10
+ ln
− 1 279. 280. − 2 e + ln 2 + 2 e 281.
2
27
3
2 4
3
2016
π
1 1
282. 4 ln 2 −
283.
+ ln 2 − 284. 1 − 2 ln 2 285. + ln 3
2 2
2 ln 3
2015
2
278.
π
π
(
)
2
ln 3 + 2 2 287. 1 + ln (e + 1) 288. 2e
2
4
π 1
2
1
π
58
1 5
289.
2 + + ln 2 − 290. ln 2 − 291.
292. ln
4
4
3
4 2
3
3
4 3
1 1 2π
3
7
4
3
293. − + e 294. ln 295. + ln 296. − + 4 ln 2
2
2
5 5
3
5
173
4
118 π
297.
+ 16 ln 2 298.
299. 3 − 2 ln 2 300.
+
20
27
405 4
286. −1 +
2
+
187.
M
AT
HV
8
32
134
10
8 7
1
1
117. 118. 119.
120.
121. +
7 122. e 3 − e
2
2
9
9
3
3
3 3
2 1
2
4
4
4
4
3 124.
125. 126. 2 3 − 127. 128. ln
123. −
3 4
35
15
3
3
3
3
11
1
6
129. ln 130. − 4 ln 2 131. e 3 − e 2 132. ln 133. 1 + ln 16
2
3
2 5
1
7
3
134. 3 − ln 2 135. ln 2 − ln 7 136.
137. ln 2 − ln 3
24
3
5
3
13
3
2
1 3
2 + 3 142. ln
138. 20 + 4 ln 140. + 4 ln 141. −
2
2
7
3
4 7
1
1
9 45 3
2
2 147.
143. ln 2 144. 2 + 4 ln 2 145. ln 3 146. −
2
2
8 64
3
5
2
3
9 2
34
148. ln 149. 150. ln 151. ln − 152.
153. −1 + ln 4
4
2
3
4 3
27
π
1
1 1
44
154. + e − 1 155. ln 2 156. 4 − 2 3 157. − ln 2 158. − ln 5
4
2
2 2
15
3
5
1 1
4
9 2
e −e
159. ln 160. − ln 2 161. 162. ln − 163.
4
2 2
2
3
4 3
3
116
2
166. 1 − cos1 167. ln 2 + 1 168. ln 2
164. + ln 2 165.
2
135
3
1
15
1
15
169. e − e 170. 171. − ln 2 172.
173. − 1 74. ln 2 175. −
2
4
64
72
3
1
45
1 2
176. − ln 2 + ln 3 177. 178. 179. 2 180. − +
2
4
4
6
3 3
1 1
1
1
1
13
181. −
182. ln 3 183. e − 184.
185.
186. 2 − 3 ln 2
2
2
24
24
2 2e
1209
506
13
3π
1 π
188. −
189. ln 2 190.
191.
192. +
2 4
28
15
3
18
π 1
3π
π
π
2 3π
π 1
− 194.
195. 196. 197.
198. −
4
8 4
9
6
9
8 4
3 2π
1 1
1
3 1
3
199.
+
200. + e 2 201. − + ln 2 202. + e 2 203.
4 4
2
4 4
2
4
3
π
1 2 3
π
5
204. −2 + 3 ln 3 205. − 1 206. 1 207. + e 208. − 2 209.
2
2
9 9
9
π
8 2 3
3
1
210. 211. − e 212. −8 + 18 ln 3 213. − ln 3 − + 4 ln 2
4
2
2
9 9
193.
ww
w.
15
1
1 π2
3π
1 π
− ln 2 215. − +
216. 1 +
− ln 2 217. − +
256 64
4 16
3
4 8
3
1
5 3
218. 3 ln 2 − ln 3 219. − + ln 2 220. − e 2 221. 0
2
2
4 4
11 3 2
1 3
222. −14 + 24 ln 3 223. 4 − 2 e 224. + e 225. − 2
4 4
4 4e
4 8 3
1
−3 + 8 ln 2
1
230. −1 + e 2
226. + e 227. 4 228. − + ln 2 229.
2
4 ln 2
2
9 9
214.
3π 3
1 17
1
1 1 π
+ ln 3 232. − + ln 2 − ln 3 233. − + e 2
12 4
2 2
12 18
2
4
2 1
5 3
234. ln 3 + − ln 5 235 . − e 2 236.e 237. 1 238. π − 2
4 4
5
5 2
3 1
3 15
1
239. π − 3 240. + e 2 241. − + e 6 242. 3 − e 243. − ln 2
2 2
4 4
2
3
3 1
15
1 1
244. 2 245. 246. − e 2 247.
+ 2 ln 2 248. + e π
4
2 2
4
2 2
231. −
THPT iSCHOOL RẠCH GIÁ
www.DeThiThuDaiHoc.com
Trang 12
- Xem thêm -
.PDF 
12 
325 
81 
