30 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐÁP ÁN
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
http://thay-do.net
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN
1)Cho x, y, z �0 và x y z 3 . Chứng minh:
2
2
2
x3
1 y2
y3
1 z2
z3
3 2
�
2
1 x2
GIẢI
Ta có: VT + 3 = (
x3
y3
y )(
2
1 y
2
z )(
2
1 z
2
z3
1 x
2
x2 )
0.25
� VT
6
4 2
(
x3
2 1 y2
x3
2 1 y2
1 y2
y3
y3
1 z2
) (
)
4 2
2 1 z2 2 1 z2 4 2
1 x2
(
)
2 1 x2 2 1 x2 4 2
0.25
z3
z3
x6
y6
z6
3
3
VT
�3
3
3
4 2
16 2
16 2
16 2
0.25
3
3
9
� VT
�
(x2 y2 z 2 ) 6
2 2 23 2 2
2 8
6
VT
3
9
3
9
3
2 6 23
2 2
2 2
2 2
3
2
VP (đpcm)
( Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1)
2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx 2xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
GIẢI
Ta có xy yz xz �2 xyz �
1 1 1
�2 nên
x y z
1
1
1 y 1 z 1
( y 1)( z 1)
�1 1
�2
(1)
x
y
z
y
z
yz
Tương tự ta có
1
1
1 x 1 z 1
( x 1)( z 1)
�1 1
�2
(2)
y
x
z
x
z
xz
1
1
1 x 1 y 1
( x 1)( y 1)
�1 1
�2
(3)
y
x
y
x
y
xy
1
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được ( x 1)( y 1)( z 1) �
8
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
1
3
vậy Amax = � x y z
8
2
http://thay-do.net
2
2
3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2 x y xy 1 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P
G
x4 y 4
.
2 xy 1
2 xy
1 �
2
Đặt t xy . Ta có: xy
x y 2 2 xy
1
2 x y
Và xy �
2
x
Suy ra : P
Do đó: P '
2
y2
2
2x2 y 2
2 xy 1
7 t 2 t
2 2t 1
4 xy
xy
1
5
1
1
1
. ĐK: �t � .
3
5
3
4 xy
xy
7t 2 2t 1 .
4 2t 1
, P ' 0 � t 0(th), t 1(kth)
2
1
� 1 � �1 � 2
P�
� P � �
và P 0 .
4
� 5 � �3 � 15
1
2
�1 1 �
;
KL: GTLN là
và GTNN là
( HSLT trên đoạn �
)
4
15
�5 3 �
�
4)Với mọi số thực dương x; y; z thỏa điều kiện x y z �1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
�1 1 1 �
thức: P x y z 2 � �.
�x y z �
G
2
1
�12 (1). Dấu bằng xãy ra khi x .
x
3
2
2
Tương tự: 18 y �12 (2) và 18 z �12 (3).
y
z
Mà: 17 x y z �17 (4). Cộng (1),(2),(3),(4), ta có: P �19 .
1
P 19 � x y z . KL: GTNN của P là 19 .
3
Áp dụng BĐT Cô-si : 18 x
5. Chứng minh
a2
b2
c2
1
ab bc ca 2
ab bc ca �a b c với mọi số dương a; b; c .
G
2
Ta có:
a
ab
ab
1
a
�a
a
ab (1)
ab
ab
2
2 ab
b2
1
c2
1
�b
bc (2),
�c
ca (3).
bc
2
ca
2
a2
b2
c2
1
Cộng (1), (2), (3), ta có:
ab bc ca �a b c
a b bc c a 2
Tương tự:
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
http://thay-do.net
6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
1
1
1
4 . CMR:
�1
x y z
2x y z x 2y z x y 2z
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
� .(
);
� (
);
� (
)
2 x y z 4 2 x y z x 2 y z 4 2 y x z x y 2z 4 2z y x
1
1 1 1
� ( );
+ Lại có :
xy 4 x y
1
1 1 1
� ( );
yz 4 y z
1
1 1 1
� ( );
xz 4 x z
+Ta có :
cộng các BĐT này ta được đpcm.
7) Cho a, b, c �0 và a 2 b 2 c 2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a3
b3
c3
P
1 b2
1 c2
1 a2
GIẢI
a3
Ta có: P + 3 =
P
6
4 2
c3
2 1 a2
P
3
2 2
1 b
a3
2
2 1 b2
c2
2 1 a2
3
3
2 2 2
b3
b2
a
1 c
2
2
2 1 b2
c2
c3
1 a
2
1 b
4 2
2
a2
b3
2 1 c2
b2
2 1 c2
1 c2
4 2
1 a2
a6
b6
c6
33
33
33
4 2
16 2
16 2
16 2
(a 2 b 2 c 2 )
9
6
2 8
P
9
6
2 2
3
3
2 2
9
2 2
3
2 2
3
2
Để PMin khi a = b = c = 1
8. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng :
a b2 b c2 c a 2
�2.
bc
ca
ab
GIẢI
2
2
2
a
b
c
b
c
a
.Ta có :VT = (
)(
) A B
bc ca ab
bc ca ab
A3
1
1
1
1 �
(a b) (b c) (c a) �
�
2
ab bc ca�
�
�
1
1
1
1
9
� 3 3 (a b)(b c)(c a )3 3
2
ab bc ca 2
3
A
2
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
http://thay-do.net
2
2
2
a
b
c
12 (a b c)2 �(
)(a b b c c a )
ab bc ca
1
ۣ 1 B.2 ۣ
۳ B
2
3 1
Từ đó tacó VT � 2 VP
2 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1/3
9. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z 3 .Chứng minh rằng:
3 xy 625 z 4 4
+ 15 yz
x4 4
+ 5 zx
81 y 4 4
45
5
xyz.
GIẢI
Bất đẳng thức
x2
4 + 9y2 4 +
4
25 z 2
2
2
9
y
x
25 z 2
2
x
VT ( x 3 y 5 z ) 2 (
Đặt t =
3
45
2
2
2 2
) 9(.3 x.3 y.5 z )
3 y 5z
36
3
( x.3 y.5 z ) 2
.
( x.3 y.5 z ) 2
3
ta có
3
x 3 y 5z
( x.3 y.5 z )
1 do đó t
3
Điều kiện .
0 < t 1. XÐ hàm số f(t)= 9t +
Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y=
1
36
36
36
36t 27t �2 36t. 27 =45
t
t
t
1
1
; z= .
3
5
10. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
1
1
1
5
�
xy 1 yz 1 zx 1 x y z
Để ý rằng xy 1 x y 1 x 1 y �0 ;
�yz 1 �y z
và tương tự ta cũng có �
�zx 1 �z x
Vì vậy ta có:
GIẢI
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
http://thay-do.net
�1
1
1 � x
y
z
111
x y z �
��
�xy 1 yz 1 zx 1 � yz 1 zx 1 xy 1
x
y
z
�
3
yz 1 zx+y xy z
�1
z
y �
x�
� 5
�yz 1 zx y xy z �
�
z
y �
�x �
1
� 5
� z y yz�
5
11.Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh
1
2
c
� 1
� b
a�
2
�
�3a b 3a c 2a b c � 3a c 3a b
GIẢI
ab c
�
�
bc a.
Vì a, b, c là ba cạnh tam giác nên: �
�
ca b
�
ab
ca
x,
y , a z x, y, z 0 � x y z , y z x, z x y .
2
2
Vế trái viết lại:
ab
ac
2a
VT
3a c 3a b 2a b c
x
y
z
yz zx x y
2z
z
Ta có: x y z � z x y z 2 z x y �
.
x yz x y
x
2x
y
2y
;
.
Tương tự:
yz x yz zx x y z
2 x y z
x
y
z
2.
Do đó:
yz zx x y
x y z
1
2
c
� 1
� b
2
Tức là: a �
�
�3a b 3a c 2a b c � 3a c 3a b
Đặt
12. Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y 5 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P
4x y 2x y
xy
4
GIẢI
Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y 5 .
4x y 2x y 4 1 x y 4 y 1 x y
P
xy
4
y x 2 4 y 4 x 2 2
Thay y 5 x được: P
4 y 1 x 5 x 4 y 1
5
4 y
1
5 3
x �2 . 2 .x
y 4 x 2
2
y 4 x
2
y 4
x
2 2
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
http://thay-do.net
3
3
P bằng khi x 1; y 4 Vậy Min P =
2
2
Lưu ý:
Có thể thay y 5 x sau đó tìm giá trị bé nhất của hàm số g ( x)
3x 5 3x 5
x(5 x)
4
13. Cho x, y, z �0 thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
x 3 y 3 16 z 3
x y z
GIẢI
Trước hết ta có: x 3 y 3 �
2
x y
(biến đổi tương đương) � ... � x y x y �0
4
Đặt x + y + z = a. Khi đó 4 P �
(với t =
3
x y 64 z 3 a z 64 z 3
3
1 t 64t 3
3
3
a
a
3
3
z
, 0 �t �1 )
a
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t � 0;1 . Có
1
2
f '(t ) 3 �
64t 2 1 t �
, f '(t ) 0 � t � 0;1
�
�
9
Lập bảng biến thiên
64
� Minf t
� GTNN của P là 16 đạt được khi x = y = 4z > 0
81
t� 0;1
81
�1 1 1 �
14. Chứng minh: x y z � ��12 với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn 1;3 .
�x y z �
GIẢI
3
2
Ta có: 1 �t �3 � t 1 t 3 �0 � t 4t 3 �0 � t �4 .
t
3
3
3
Suy ra : x �4 ; y �4 ; z �4
x
y
z
�1 1 1 �
� Q x y z 3 � ��12
�x y z �
�1 1 1 � Q
�1 1 1 �
3 x y z � �� �6 � x y z � ��12
�x y z � 2
�x y z �
15.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 1 ln x .
GIẢI
x 1
.
x
x 1
y’= 0 � x 1 ; y(1) = 0 vì y ln x
là HSĐB
x
Khi 0 < x < 1 � y ' 0 ; khi x > 1 � y ' 0 .
TXĐ: D 0; � ; y ' ln x
3
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
KL: miny = 0 � x 1 .
http://thay-do.net
16. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng
1
1
1
5
�
xy 1 yz 1 zx 1 x y z
GIẢI
Để ý rằng xy 1 x y 1 x 1 y �0 ;
�yz 1 �y z
và tương tự ta cũng có �
�zx 1 �z x
Vì vậy ta có:
�1
1
1 � x
y
z
111
x y z �
��
�xy 1 yz 1 zx 1 � yz 1 zx 1 xy 1
x
y
z
�
3
yz 1 zx+y xy z
�1
z
y � vv
x�
� 5
�yz 1 zx y xy z �
�
z
y �
�x �
1
� 5
� z y yz�
5
17. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
1
1
1
1 xy 1 yz 1 zx
Giải
� 1
1
1 �
�9
1 xy 1 yz 1 zx �
�
�
2/. Ta có: (1 xy ) (1 yz ) (1 zx) �
9
3 xy yz zx
۳�P
Vậy GTNN là Pmin =
9
6
P�
9
3 x y2 z2
2
3
khi x = y = z
2
3
2
18. Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M 4a 9b 16c 9a 16b 4c 16a 4b 9c .
GIẢI
Theo cô – si có 22 2b 2c �33 2a b c 6 . Tương tự …
r
r
uu
r
r r uu
r
a b c
c a b
b c a
Đặt u 2 ;3 ; 4 , v 2 ;3 ; 4 , w 2 ;3 ; 4 � M u v w
r r uu
r
M �u v w
2a 2b 2c
3a 3b 3c
2
2
4a 4b 4c
2
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
http://thay-do.net
Vậy M �3 29. Dấu bằng xảy ra khi a b c 1.
19. Cho x, y, z �0 thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
x 3 y 3 16 z 3
x y z
3
GIẢI
Trước hết ta có: x 3 y 3 �
Đặt x + y + z = a. Khi đó 4 P �
(với t =
2
x y
� ... � x y x y �0
4
3
x y 64 z 3 a z 64 z 3
3
1 t 64t 3
3
3
a
a
3
3
z
, 0 �t �1 )
a
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t � 0;1 . Có
1
2
f '(t ) 3 �
64t 2 1 t �
, f '(t ) 0 � t � 0;1
�
�
9
Lập bảng biến thiên
64
� Minf t
� GTNN của P là 16 đạt được khi x = y = 4z > 0
81
t� 0;1
81
20.Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
x 2 (y z) y 2 (z x) z 2 (x y)
yz
zx
xz
GIẢI
2
2
2
2
2
2
x
x
y
y
z
z
(*)
y
z
z
x
x
y
Nhận thấy : x2 + y2 – xy xy x, y �
Ta có : P
Do đó : x + y xy(x + y) x, y > 0
3
3
x 2 y2
�x y x, y > 0
hay
y
x
y2 z2
�y z y, z > 0
z
y
Tương tự, ta có :
z2 x 2
�z x x, z > 0
x
z
Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1
1
Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = . Vì vậy, minP = 2.
3
21. Cho x, y, z �0 thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P
Trước hết ta có: x 3 y 3 �
Đặt x + y + z = a. Khi đó
x 3 y 3 16 z 3
x y z
2
x y
(biến đổi tương đương) � ... � x y x y �0
4
3
x y
4P �
3
a
64 z 3
3
a z
3
a
64 z 3
3
1 t 64t 3
3
3
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
z
(với t = , 0 �t �1 )
a
http://thay-do.net
Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t � 0;1 . Có
1
2
f '(t ) 3 �
64t 2 1 t �
, f '(t ) 0 � t � 0;1
�
�
9
Lập bảng biến thiên
64
� Minf t
� GTNN của P là 16 đạt được khi x = y = 4z > 0
81
t� 0;1
81
1
�
�a
3
3
3
22.Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh: a b c � 3
* Ta cm với a, b > 0 có a3 + b3 �a2b + ab2 (*)
Thật vậy: (*) � (a + b)(a2 -ab + b2) - ab(a + b) �0
� (a + b)(a - b)2 �0 đúng
Đẳng thức xẩy ra khi a = b.
* Từ (*) � a3 + b3 �ab(a + b)
b3 + c3 �bc(b + c)
c3 + a3 �ca(c + a)
� 2(a3 + b3 + c3 ) �ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a)
* Áp dụng BĐT co si cho 3 số dương ta có:
1
1
1
3
1 1 1
+ 3 + 3 �3 3 3 3 3 =
3
a
a
a
abc
a b c
* Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được BĐT cần cm
Đẳng thức xẩy ra khi a = b = c.
1 1 � 3 �b c c a a b �
�� �
�
b3 c3 � 2 � a
b
c �
(1)
(2)
23. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x 2 y 2 z 2 xyz . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
x
y
z
P 2
2
2
thức:
.
x yz y zx z xy
P
x
y
z
2
2
.
x xy y zx z xy
2
Vì x; y; z 0 , Áp dụng BĐT Côsi ta có: P
1 2
4 yz
2
zx
x
2
2 x yz
y
2
2 y zx
z
2 z 2 xy
=
2
xy
1 1 1 1 1 1 1 1 yz zx xy 1 x 2 y 2 z 2
4 y z z x x y 2
xyz
xyz
2
Dấu bằng xảy ra x y z 3 . Vậy MaxP =
1 xyz 1
2 xyz 2
1
2
x
24. Cho x,y R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
3
y3 x2 y2
( x 1)( y 1)
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
http://thay-do.net
t2
Đặt t = x + y ; t > 2. Áp dụng BĐT 4xy (x + y) ta có xy �
4
3
2
2
t t xy (3t 2)
t
P
. Do 3t - 2 > 0 và xy � nên ta có
xy t 1
4
2
t (3t 2)
t3 t2
t2
4
P�
t2
t2
t 1
4
t2
t 2 4t
; f '(t )
; f’(t) = 0 t = 0 v t = 4.
Xét hàm số f (t )
t2
(t 2) 2
t
2
4
f’(t)
0
+
f(t)
+
2
+
+
8
x y4
�
�x 2
min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi �
�
Do đó min P = (2;
�
�)
�xy 4
�y 2
25.Cho x 0, y 0, x y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T
x
y
1 x
1 y
��
�khi đó
� 2�
cos 2 a sin 2 a cos3 a sin 3 a sin a cos a 1 sin a.cos a
T
sin a cos a
sina.cos a
sin a.cos a
t2 1
� �
a �� sin a.cos a
Đặt t sin a cos a 2 sin �
2
� 4�
Với 0 a � 1 t � 2
2
t 3 3t
Khi đó T 2
f t ;
t 1
t 4 3
f ' t �
2 0 t 1; 2 �
2
� f t f 2
t2 1
0;
Đặt x cos a; y sin a � a ��
2
2
min f t f
Vậy t�
1; 2 �
�
2
2 khi x y 1 . Hay min T 2 khi x y 1 .
2
2
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
http://thay-do.net
9 2
1
f (t) t 2t 1, t �
4
2
9
1
f '(t) t 2 0 t �
2
2
1
9
f (t) f ( )
2 16
9
1
khi x y
Vậy : A min
16
2
26.Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy
= 16x2y2 – 2xy + 12
Đặt t = x.y, vì x, y 0 và x + y = 1 nên 0 t ¼
Khi đó S = 16t2 – 2t + 12
1
S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 t =
16
25
1
191
S(0) = 12; S(¼) =
;S( )=
. Vì S liên tục [0; ¼ ] nên :
2
16
16
25
1
Max S =
khi x = y =
2
2
� 2 3
� 2 3
x
�
�
191
�
�x 4
4
Min S =
khi �
hay �
16
�y 2 3
�y 2 3
�
�
4
4
G.
27.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:
3
3
3
x y x z 3 x y x z y z �5 y z .
Giải:
Từ giả thiết ta có:
x2 + xy + xz = 3yz � (x + y)(x + z) = 4yz
Đặt a = x + y và b = x + z
Ta có: (a – b)2 = (y – z)2 và ab = 4yz
Mặt khác
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b)2
2
2
2
a b ab �
� 2(a b ) �
�
�
=
2
�
2�
(a b) 2 2ab �
a b ab �
�
��
�
=
�
2�
(y z) 2 2yz �
y z 4yz �
�
��
�
=
2�
(y z) 2 4yz �
�
� y z
2
2
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
� 4(y z)
2
http://thay-do.net
y z
2
2(y z)
2
(1)
Ta lại có:
3(x + y)(y +z)(z + x) = 12yz(y + z)
�3(y + z)2 . (y + z) = 3(y + z)3
(2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta có điều phải chứng minh
28. Cho a, b, c �0 và a 2 b 2 c 2 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a3
b3
c3
P
1 b2
1 c2
1 a2
a3
Ta có: P + 3 =
P
6
4 2
c3
2 1 a2
P
3
2 2
1 b
a3
2
2 1 b2
c2
2 1 a2
3
3
2 2 2
b3
b2
a
1 c
2
2
2 1 b2
c2
c3
1 a
2
1 b
4 2
2
a2
b3
2 1 c2
b2
2 1 c2
1 c2
4 2
1 a2
a6
b6
c6
33
33
33
4 2
16 2
16 2
16 2
(a 2 b 2 c 2 )
9
6
2 8
P
9
6
2 2
3
3
2 2
9
2 2
3
2 2
3
2
Để PMin khi a = b = c = 1
29.Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1).
1 1 1
Ta có �2 nên
x y z
1
1
1 y 1 z 1
( y 1)( z 1)
�1 1
�2
(1)
x
y
z
y
z
yz
Tương tự ta có
1
1
1 x 1 z 1
( x 1)( z 1)
�1 1
�2
(2)
y
x
z
x
z
xz
1
1
1 x 1 y 1
( x 1)( y 1)
�1 1
�2
(3)
y
x
y
x
y
xy
1
Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta được ( x 1)( y 1)( z 1) �
8
vậy Amax =
1
3
� x yz
8
2
1 1 1
�2
x y z
ĐẶNG VIỆT ANH-BR
http://thay-do.net
30. Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng
1
1
1
�1
x y 1 y z 1 z x 1
§Æt x=a3 y=b3 z=c3 th× x, y, z >0 vµ abc=1.Ta cã
a3 + b3=(a+b)(a2+b2-ab) �(a+b)ab, do a+b>0 vµ a2+b2-ab �ab
� a3 + b3+1 �(a+b)ab+abc=ab(a+b+c)>0
�
1
1
�
3
a b 1 ab a b c
3
T¬ng tù ta cã
1
1
�
,
3
b c 1 bc a b c
3
1
1
�
3
c a 1 ca a b c
3
Céng theo vÕ ta cã
1
1
1
1
1
1
= 3
+ 3
+ 3
3
3
x y 1 y z 1 z x 1 a b 1 b c 1 c a3 1
�
1
a b c
1
1
1 �
�1
� �= a b c c a b 1
�ab bc ca �
DÊu b»ng x¶y ra khi x=y=z=1
- Xem thêm -
.DOC 
13 
221 
60 
