§Ò thi hsg líp 8
Năm 2007 – 2008
(120 phút)
Bài 1 (4đ):
1/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 3x2 + 6x + 4.
2/ a,b,c là 3 cạch của tam giác. Chứng minh rằng:
4a2b2 > (a2 + b2 − c2)2
Bài 2 (3đ):
Chứng minh rằng nếu x + y = 1 và xy ≠ 0 thì :
x
2( x y )
y
− y3 1 = x2 y 2 3
x 1
3
Bài 3 (5đ):
Giải phương trình:
1,
x 2 24
2001
+
x 2 22
2003
=
x 2 20
2005
+
x 2 18
2007
2, (2x − 1)3 + (x + 2)3 = (3x + 1)3
Bài 4 (6đ):
Cho ∆ABC vuông tại A. Vẽ về phía ngoài ∆ đó ∆ABD vuông cân tại B và ∆ACE
vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BE. Chứng
minh rằng:
1, AH = AK
2, AH2 = BH.CK
Bài 5 (2đ):
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6).
Bµi 1:
1) Rót gän biÓu thøc:
®Ò thi häc sinh giái
N¨m häc: 2004 – 2005
Thêi gian 150 phót
2
A = x n 6 xn1 5 víi /x/ = 1
5x x
2) Cho x, y tháa m·n: x2 + 2y2 + 2xy – 4y + 4 = 0
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
B=
x 2 7 xy 52
x y
( x y)
Bµi 2:
1) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
(x – 2).(x + 2).(x2 – 10) = 72
2) T×m x ®Ó biÓu thøc:
A = ( x – 1).(x + 2).(x + 3)(x + 6) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt ? T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt
®ã ?
Bµi 3:
1) T×m sè tù nhiªn x sao cho: x2 + 21 lµ sè chÝnh ph¬ng ?
2) Chøng minh r»ng: NÕu m, n lµ hai sè chÝnh ph¬ng lÎ liªn tiÕp th×:
(m – 1).(n – 1) M192
Bµi 4:
Cho ®o¹n th¼ng AB. Trªn ®o¹n th¼ng AB lÊy 1 ®iÓm C sao cho AC > BC. Trªn cïng nöa
mÆt ph¼ng bê AB vÏ hai h×nh vu«ng ACNM, BCEF. Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BN.
1) Chøng minh: M; H; F th¼ng hµng.
2) Chøng minh: AM lµ tia ph©n gi¸c cña �
AHN .
3) VÏ AI HM; AI c¾t MN t¹i G. Chøng minh: GE = MG + CF
Bµi 5:
1) G¶i ph¬ng tr×nh:
(x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4).(x2 + 8x + 7)
2) Cho a, b, c R+ vµ a + b + c = 1.
Chøng minh r»ng:
1 1 1
9
a b c
§Ò sè 1
Bµi 1: (3 ®iÓm)
Cho biÓu thøc
3
x2
1
1
A 2
:
2
x 3
3 x 3 x 27 3 x
a) Rót gän A.
b) T×m x ®Ó A < -1.
c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a)
1
6y
2
3 y 2 10 y 3 9 y 2 1 1 3 y
b)
6 x 1
x 3 x
1
.
3 2
2
4
x
3
2
2
Bµi 3: (2 ®iÓm)
Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn lît lóc 5
giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h.
Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y.
Bµi 4: (2 ®iÓm)
Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt
AMPN ( M AB vµ N AD). Chøng minh:
a) BD // MN.
b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4).
Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng.
§Ò sè 2
C©u I: (2®iÓm)
1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) x 2 4 x 5
b) ab(a b) ac(a c) bc(2a b c)
2) Gi¶i ph¬ng tr×nh
1
1
1
1
4
2
2
2
x x x 3x 2 x 5x 6 x 7 x 12 5
2
C©u II: (2 ®iÓm)
1) X¸c ®Þnh a, b ®Ó da thøc f ( x) x 3 2 x 2 ax b chia hÕt cho ®a thøc
g ( x) x 2 x 1 .
2) T×m d trong phÐp chia ®a thøc P( x) x161 x 37 x13 x 5 x 2006 cho ®a thøc
Q ( x ) x 2 1.
C©u III: (2 ®iÓm)
1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
P
a2
b2
c2
a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2
2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n
CMR:
a b , b c , c a .
a bc
b 2 ac
c 2 ab
0
( a b)( a c )
(b a )(b c )
(c a )(c b)
2
C©u IV: (3®iÓm)
1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB
kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB. CMR:
a) KC = KP
b) A, D, K th¼ng hµng.
c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®æi.
2) Cho ∆ABC cã ba gãc nhän, ba ®êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H.
CMR: HA' HB' HC '
b»ng mét h»ng sè.
AA'
BB '
CC '
C©u V: (1 ®iÓm):
Cho hai sè a, b kh«ng ®ång thêi b»ng 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña biÓu thøc:
a 2 ab b 2
Q 2
a ab b 2
§Ò sè 3
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a (b c) 2 (b c ) b(c a ) 2 (c a ) c (a b) 2 ( a b)
b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ
Rót gän biÓu thøc: N
1 1 1
0
a b c
1
1
1
2
2
a 2bc b 2ca c 2ab
2
Bµi 2: (2®iÓm)
a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
b) Gi¶i
M x 2 y 2 xy x y 1
ph¬ng tr×nh: ( y 4,5) 4 ( y 5,5) 4 1 0
Bµi 3: (2®iÓm)
Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h. Sau khi ®i ®îc 15 phót, ngêi ®ã
gÆp mét « t«, tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h. « t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë l¹i B vµ gÆp ngêi ®i xe m¸y t¹i mét mét ®Þa ®iÓm c¸ch B 20 km.
TÝnh qu·ng ®êng AB.
Bµi 4: (3®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo BD. KÎ ME vµ MF vu«ng
gãc víi AB vµ AD.
a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau.
b) Chøng minh ba ®êng th¼ng DE, BF vµ CM ®ång quy.
c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó tø gi¸c AEMF cã diÖn tÝch lín nhÊt.
Bµi 5: (1®iÓm)
T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:
3 x 2 5 y 2 345
§Ò sè 4
Bµi 1: (2,5®iÓm)
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) x5 + x +1
b) x4 + 4
c) x x - 3x + 4 x -2 víi x 0
Bµi 2 : (1,5®iÓm)
Cho abc = 2
A
Rót gän biÓu thøc:
a
b
2c
ab a 2
bc b 1
ac 2c 2
Bµi 3: (2®iÓm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a b 0
TÝnh:
P
ab
4a b 2
2
Bµi 4 : (3®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM CM. Tõ N vÏ ®êng
th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi
xøng cña M qua E F.
a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm
b) Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n
c) TÝnh : ANB + ACB = ?
d) M ë vÞ trÝ nµo ®Ó tø gi¸c AEMF lµ h×nh thoi vµ cÇn thªm ®iÒu kiÖn cña ABC
®Ó cho AEMF lµ h×nh vu«ng.
Bµi 5: (1®iÓm)
Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× :
52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23.
§Ò sè 5
Bµi 1: (2®iÓm)
Cho biÓu thøc:
1
1
1
1
2
2
2
x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20 x 11x 30
M
2
1) Rót gän M.
2) T×m gi¸ trÞ x ®Ó M > 0.
Bµi 2: (2®iÓm)
Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ. Khi bÓ
c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi
ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra.
1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra.
2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ
bao nhiªu.
Bµi 3: (1®iÓm)
T×m x, y nguyªn sao cho:
x 2 2 xy x y 2 4 y 0
Bµi 4: (3®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh, cã ®é dµi c¹nh lµ a. E lµ ®iÓm di chuyÓn trªn ®o¹n
CD (E kh¸c D). §êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¸t CD t¹i
K.
1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK.
2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng:
JA = JB = JF = JI.
3) §Æt DE = x (a x > 0) tÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c AEK theo a vµ x.
4) H·y chØ ra vÞ trÝ cña E sao cho ®é dµi EK ng¾n nhÊt.
Bµi 5: (1®iÓm)
Cho x, y, z kh¸c 0 tho¶ m·n:
TÝnh
N
1
1
1
0
xy
yz
zx
x2
y2
z2
yz
zx
xy
§Ò sè 6
C©u I: (5 ®iÓm)
Rót gän c¸c ph©n thøc sau:
1)
2)
x 1 x x
3x 2 4 x 1
( a 1) 4 11( a 1) 2 30
3( a 1) 4 18( a 2 2a ) 3
C©u II: (4 ®iÓm)
1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d 2 vµ b chia cho
13 d 3 th× a 2 b 2 chia hÕt cho 13.
2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n abc = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
A
a
b
c
1 a ac 1 b bc 1 c ac
2
2
3) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2 2 x 1 x 2 2 x 2 7
x 2x 2
C©u III: (4 ®iÓm)
x 2x 3
6
§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh
(26/3). Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®îc giao lµm mét khèi lîng c«ng viÖc. NÕu hai tæ lµm
chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®îc 30% c«ng viÖc.
NÕu c«ng viÖc trªn ®îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian ®Ó
hoµn thµnh.
C©u IV: (3 ®iÓm)
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B, D lªn
AC; H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD.
1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ?
2) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA.
3) Chøng minh AC 2 AB. AH AD. AK
C©u V: (2 ®iÓm)
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2002
2002
x 2003
2003
1
§Ò sè 7
C©u I: (2®iÓm)
1. Thùc hiÖn phÐp chia A 2 x 4 x 3 x 2 x 2 cho B x 2 1 . T×m x Z ®Ó A chia
hÕt cho B.
2. Ph©n tÝch ®a thøc th¬ng trong c©u 1 thµnh nh©n tö.
C©u II: (2®iÓm)
1. So s¸nh A vµ B biÕt:
2
4
8
16
A 5 32 1 vµ B 6(5 1)(5 1)(5 1)(5
19
69
2. Chøng minh r»ng: 19 + 69 chia hÕt cho 44.
1)
C©u III: (2®iÓm)
1. Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n: (a b c) 2 3(ab bc ca ) .
Hái tam gi¸c ®· cho lµ tam gi¸c g× ?
2. Cho ®a thøc f(x) = x 100 x 99 ... x 2 x 1 . T×m d cña phÐp chia ®a thøc f(x)
cho ®a thøc x 2 1 .
C©u IV: (3®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña H
lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE.
1. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ?
2. Chøng minh AB. CF = AC. AE
3. So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC.
C©u V : (1 ®iÓm)
Chøng minh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau lµ mét sè nguyªn:
x 2 x 3 x 4 x 2005 x 2004 x 2003
2005 2004 2003
2
3
4
§Ò sè 8
C©u 1: (2®iÓm)
a) Cho x 2
2 xy 2 y 2 2 x 6 y 13 0
TÝnh
¬ng.
N
3x 2 y 1
4 xy
b) NÕu a, b, c lµ c¸c sè d¬ng ®«i mét kh¸c nhau th× gi¸ trÞ cña ®a thøc sau lµ sè dA a 3 b 3 c 3 3abc
C©u 2: (2 ®iÓm)
Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×:
a
b
a b b c c a c
A
9
a
b a b b c c a
c
C©u 3: (2 ®iÓm)
Mét « t« ph¶i ®i qu·ng ®êng AB dµi 60 km trong thêi gian nhÊt ®Þnh. Nöa qu·ng ®êng ®Çu ®i víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 10km/h. Nöa qu·ng ®êng sau ®i víi vËn
tèc kÐm h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 6 km/h.
TÝnh thêi gian « t« ®i trªn qu·ng ®êng AB biÕt ngêi ®ã ®Õn B ®óng giê.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc v¬i
AE c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF. AI c¾t CD t¹i M. Qua E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N.
a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi.
b) Chøng minh chi vi tam gi¸c CME kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC.
C©u 5: (1 ®iÓm)
T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh:
x 6 3x 2 1 y 4
§Ò sè 9
Bµi 1: (2 ®iÓm)
6
1 6 1
x x 6 2
x
x
Cho M
3
1
1
3
x x 3
x
x
a) Rót gän M.
b) Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M.
Bµi 2: (2 ®iÓm)
a) T×m x biÕt : (2 x 5) 3 ( x 2) 3 ( x 3) 3
b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n + 24 vµ n - 65 lµ hai sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 3: (2 ®iÓm)
a) Cho x vµ y tho¶ m·n: 4 x 17 xy 9 y
TÝnh H x 3 y 3 xy
b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a b c abc
Chøng minh:
2
2
5 xy 4 y 2
a (b 2 1)(c 2 1) b(a 2 1)(c 2 1) c( a 2 1)(b 2 1) 4abc
Bµi 4: (4 ®iÓm)
Cho h×nh thang ABCD ®¸y nhá AB, Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Qua I vÏ ®êng
th¼ng song song víi AB c¾t AD vµ BC lÇn lît t¹i M vµ N.
a) Chøng minh IM = IN.
b) Chøng minh: 1 1 2
AB CD MN
c) Gäi K lµ trung ®iÓm cña DC, vÏ ®êng th¼ng qua M song song víi AK c¾t DC, AC
lÇn lît t¹i H vµ E. Chøng minh HM + HE = 2AK.
d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). TÝnh S(ABCD) theo a vµ b.
§Ò sè 10
C©u 1: (2 ®iÓm)
Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) x 2 x 12
b) x 8 x 1
c) ( x 2 3 x 2)( x 2 11x 30) 5
C©u 2: (2 ®iÓm)
1) So s¸nh A vµ B biÕt: A 532 vµ B
2) Cho 3a 2 2b 2 7ab vµ 3a b 0 .
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
P
24(5 2 1)(5 4 1)(5 8 1)(516 1)
2005a 2006b
2006 a 2007b
C©u 3: (2 ®iÓm)
1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A 2 x 2 9 y 2 6 xy 6 x 12 y 1974
2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: y 2 4 x 2 y 2 x 1 2 0
3) Chøng minh r»ng: a 8 b 8 c 8 d 8 4a 2 b 2 c 2 d 2
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C). Qua A kÎ
Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K. §êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G.
a) Chøng minh tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi.
b) Chøng minh AF2 = FK. FC.
c) Khi E thay ®æi trªn BC, chøng minh chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi.
C©u 5: (1 ®iÓm)
Cho ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn. BiÕt r»ng f(1) vµ f(2) lµ c¸c sè lÎ. Chøng
minh r»ng ®a thøc f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn.
§Ò sè 11
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
1 4
1 4
1
4
1 3 ...19
4
4
4
A
1 4
1
1
4
4
2 4 ... 20
4
4
4
b) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 lµ mét sè chÝnh
ph¬ng.
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Cho xyz = 2006
2006 x
y
Chøng minh r»ng: xy 2006 x 2006 yz y 2006
b) T×m n nguyªn d¬ng ®Ó A = n3 + 31 chia hÕt cho n + 3.
c) Cho a 2b 3c 14 . Chøng minh r»ng: a 2 b 2 c 2 14 .
z
1
xz z 1
C©u 3: (2 ®iÓm)
Cho ph©n thøc:
3x 2 3
x 1
1
x 1
.
B 3
2
2
x x 1 x 1 2x 5x 5
x 1
a) Rót gän B.
b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho M lµ mét ®iÓm bÊt k× trªn ®o¹n th¼ng AB. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng cã bê
lµ AB vÏ c¸c h×nh vu«ng AMCD vµ BMEF.
a) Chøng minh: AE BC.
b) Gäi H lµ giao ®iÓm cña AE vµ BC, chøng minh r»ng: D, H, F th¼ng hµng.
c) Chøng minh r»ng ®êng th¼ng DF lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi M di chuyÓn
trªn ®o¹n th¼ng AB.
C©u 5: (1 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng víi n N vµ n > 3 th×:
C 1
1
1
1
1
1
3 3 3 ... 3 2
3
2
3
4
5
n
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
( x 1)( x 2)( x 3)( x 4) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)
§Ò sè 12
C©u 1: (2 ®iÓm)
1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) x 2 7 x 6
b) ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) 24
c) x 4 4
2) Rót gän:
A
1
1
1
1
2
2
2
x 5 x 6 x 7 x 12 x 9 x 20 x 11x 30
2
C©u 2: (2 ®iÓm)
1) T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x-2 th× d 2, f(x) chia cho x-3 th× d 7,
f(x) chia cho x2 - 5x + 6 th× ®îc th¬ng lµ 1-x2 vµ cßn d.
2) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn.
A
2x3 x 2 2x 5
2x 1
C©u 3: (2 ®iÓm)
Gi¶i ph¬ng tr×nh:
a) x 1 x 3
b)
99
97
x5 x2 x4 x6
95
98
96
94
( x 2 x 1) 2 ( x 2 x 1) 12 0
C©u 4: (3 ®iÓm)
Mét ®êng th¼ng d ®i qua ®Ønh A cña h×nh b×nh hµnh ABCD c¾t BD, BC, DC lÇn lît
t¹i E, K, G. Chøng minh r»ng:
1) AE 2 EK . EG
2) 1 1 1
AE
AK AG
3) Khi ®êng th¼ng d xoay quanh ®iÓm A. Chøng minh: BK. DG = const.
C©u 5: (1 ®iÓm)
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt nÕu cã cña biÓu thøc sau:
B
16 x 2 4 x 1
2x
(víi x > 0)
§Ò sè 13
C©u 1: (6 ®iÓm)
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö;
a) 2 x 2 y x 2 2 xy y 2
b) 2 xy 2 x y 2 y
2
2
c) x 2 xy y 3x 3 y 10
C©u 2 (4 ®iÓm)
Cho a b c 0 vµ abc 0 . Chøng minh r»ng:
C©u 3 (4 ®iÓm)
4
2
Cho biÓu thøc Q 2x x 1 2 x 3x 1
x x 1
a) Rót gän biÓu thøc Q.
b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña Q.
x 1
( x 1 )
C©u 4: (6 ®iÓm)
VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c nhän ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD vµ ACE. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AD vµ CE. H lµ h×nh chiÕu cña N trªn AC, tõ H kÎ ®êng th¼ng song
song víi AB c¾t BC t¹i I.
a) Chøng minh tam gi¸c AMN ®ång d¹ng víi tam gi¸c HIN.
b) TÝnh c¸c gãc cña tam gi¸c MNI.
c) Gi¶ sö gãc BAC = 900 , AB = a, AC = b. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c MIN theo a, b.
§Ò sè 14
C©u 1: (2 ®iÓm)
a) Ph©n tÝch thµnh thõa sè:
( a b c) 3 a 3 b 3 c 3
3
2
b) Rót gän: 2 x 3 7 x 2 12 x 45
3 x 19 x 33 x 9
C©u 2: (2 ®iÓm)
Chøng minh r»ng:
A n 3 ( n 2 7) 2 36n
chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n.
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Cho ba m¸y b¬m A, B, C hót níc trªn giÕng. NÕu lµm mét m×nh th× m¸y b¬m A
hót hÕt níc trong 12 giê, m¸y b¬m B hót hÕtníc trong 15 giê vµ m¸y b¬m C hót hÕt níc
trong 20 giê. Trong 3 giê ®Çu hai m¸y b¬m A vµ C cïng lµm viÖc sau ®ã míi dïng ®Õn
m¸y b¬m B.
TÝnh xem trong bao l©u th× giÕng sÏ hÕt níc.
b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x a x 2a 3a (a lµ h»ng sè).
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C (CA > CB), mét ®iÓm I trªn c¹nh AB. Trªn nöa mÆt
ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C ngêi ta kÎ c¸c tia Ax, By vu«ng gãc víi AB. §êng th¼ng
vu«ng gãc víi IC kÎ qua C c¾t Ax, By lÇn lît t¹i c¸c ®iÓm M, N.
a) Chøng minh: tam gi¸c CAI ®ång d¹ng víi tam gi¸c CBN.
b) So s¸nh hai tam gi¸c ABC vµ INC.
c) Chøng minh: gãc MIN = 900.
d) T×m vÞ trÝ ®iÓm I sao cho diÖn tÝch ∆IMN lín gÊp ®«i diÖn tÝch ∆ABC.
C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng sè:
22499
..........
..........
09
9100
...
n-2 sè 9
n sè 0
lµ sè chÝnh ph¬ng. ( n 2 ).
§Ò sè 15
C©u 1: (2 ®iÓm)
3
2
Cho P a3 4a2 a 4
a 7a 14a 8
a) Rót gän P.
b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn.
C©u 2: (2 ®iÓm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3.
b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc:
P ( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt ®ã.
C©u 3: (2 ®iÓm)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
1
1
1
1
2
2
x 9 x 20 x 11x 30 x 13x 42 18
2
b) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng;
A
a
b
c
3
bca acb abc
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho tam gi¸c ®Òu ABC, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Mét gãc xMy b»ng 600 quay
quanh ®iÓm M sao cho hai c¹nh Mx, My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E. Chøng
minh:
a)
BD.CE
BC 2
4
b) DM, EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED.
C©u 5: (1 ®iÓm)
T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o
diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi.
§Ò sè 16
Bµi 1: (2 ®iÓm)
a, Gi¶i ph¬ng tr×nh
b) Cho
( x 2 6 x 9) 3 (1 x 2 ) 3 (6 x 10) 3 0
x, y tho¶ m·n: x 2 2 y 2 2 xy 6 x 2 y 13 0 .
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Cho
Bµi 3:
H
x 2 7 xy 52
x y
x2 3y
y 2 3x
víi x, y 0 ; x, y 1 ; x y .
x (1 3 y )
y (1 3 x )
3
1
1
8
Chøng minh r»ng: x y x y 3 .
T×m x nguyªn ®Ó biÓu thøc y cã gi¸ trÞ nguyªn.
Víi y
4x 3
x2 1
Bµi 4: (3 ®iÓm)
Cho ∆ABC c©n t¹i A (AB = AC > BC). Trªn c¹nh BC lÊy M sao cho MB < MC. Tõ
M kÎ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB ë E, kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AC ë
F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua ®êng th¼ng EF.
a) Cho AB =1002,5 cm. TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF.
b) Chøng minh tø gi¸c ANEF lµ h×nh thang c©n.
c) AN c¾t BC t¹i H. Chøng minh HB. HC = HN. HA
Bµi 5: (1 ®iÓm)
Cho ®a thøc f ( x) x 3 ax 2 bx c
T×m a, b, c biÕt f (1) 5 ; f ( 2) 7 ;
f (3) 9
§Ò sè 17
Bµi 1: (2 ®iÓm)
1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) x 8 x 7 1
b) ( 4 x 1)(12 x 1)(3 x 2)( x 1) 4
2) Cho a b c 0 vµ a 2 b 2 c 2 1 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
M a4 b4 c4
Bµi 2: (2 ®iÓm)
Cho biÓu thøc:
M
x2
y2
x2 y2
( x y )(1 y )
( x y )(1 x )
(1 x )(1 y )
a) Rót gän M.
b) T×m cÆp sè nguyªn (x, y) ®Ó biÓu thøc M cã gi¸ trÞ b»ng -7.
Bµi 3: (2®iÓm)
Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ. Khi bÓ
c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi
ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra.
1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra.
2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ
bao nhiªu.
Bµi 4: (3 ®iÓm)
Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC (E kh¸c B vµ C). Qua A kÎ
Ax vu«ng gãc víi AE, Ax c¾t CD t¹i F. Trung tuyÕn AI cña tam gi¸c AEF c¾t CD ë K. §êng th¼ng kÎ qua E, song song víi AB c¾t AI ë G.
a) Chøng minh AE = AF vµ tø gi¸c EGFK lµ h×nh thoi.
b) Chøng minh AKF ®ång d¹ng víi CAF vµ AF2 = FK. FC
c) Khi E thay ®æi trªn BC, chøng minh chu vi tam gi¸c EKC kh«ng ®æi.
Bµi 5: (1 ®iÓm)
Cho a lµ mét sè gåm 2n ch÷ sè 1, b lµ mét sè gåm n + 1 ch÷ sè 1, c lµ mét sè gåm n
ch÷ sè 6 (n lµ sè tù nhiªn, n 1 ).
Chøng minh r»ng: a b c 8 lµ sè chÝnh ph¬ng.
§Ò sè 18
C©u 1: (2 ®iÓm)
Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:
a) x 4 4 x 2 5
b) x 1 2 x 3 5
C©u 2: (2 ®iÓm)
4
Cho biÓu thøc: A x 2 x
x x
a) Rót gän biÓu thøc A.
b) T×m x ®Ó A > 1.
C©u 3: (2 ®iÓm)
Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cuèc mét m¶nh vên, vµ sÏ hoµn thµnh trong 5 giê
50 phót. Nhng sau 5 giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm n÷a, mét m×nh anh
thµnh ph¶i lµm tiÕp trong 2 giê n÷a míi cuèc xong m¶nh vên.
Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi anh ph¶i lµm trong bao l©u?.
C©u 4: (3 ®iÓm)
Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y lín CD. Qua A vÏ ®êng th¼ng AK song song víi BC.
Qua B vÏ ®êng th¼ng BI song song víi AD c¾t AC ë F, AK c¾t BD ë E. Chøng minh r»ng:
a) EF song song víi AB.
b) AB2 = CD. EF
C©u 5: (1 ®iÓm)
Chøng minh r»ng biÓu thøc:
10 n 18n 1 chia hÕt cho 27 víi n lµ sè tù nhiªn.
- Xem thêm -
.DOC 
22 
356 
59 
