Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng
(P): x –3y + 2z – 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông
góc với mặt phẳng (P).
r
r
r uuur
· (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT n = ëé nP , AB ûù = (0; -8; -12) ¹ 0
Þ (Q) : 2 y + 3z - 11 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( P ) : x + 2 y + 3z + 3 = 0 .
ĐS: (Q) : x - 2 y + z - 2 = 0
Câu 1.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
ì x = -1 + t
ï
.
A(2;1;3), B(1; -2;1) và song song với đường thẳng d : í y = 2t
ïî z = -3 - 2t
uur
r
· Ta có BA = (1;3;2) , d có VTCP u = (1;2; -2) .
uur
ìnr ^ BA
r
r uur r
Gọi n là VTPT của (P) Þ í r r Þ chọn n = ëé BA, u ûù = (-10; 4; -1)
în ^ u
Þ Phương trình của (P): 10 x - 4 y + z - 19 = 0 .
Câu 2.
Câu 3.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng (d1 ) và (d2 ) có phương trình:
x -1 y +1 z - 2
x - 4 y -1 z - 3
=
=
, (d2 ) :
=
=
. Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa
2
3
1
6
9
3
(d 1 ) và (d2 ) .
(d1 );
· Chứng tỏ (d1) // (d2). (P): x + y – 5z +10 = 0
Câu 4.
2
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,
2
cho mặt cầu (S) có phương trình:
2
x + y + z - 2 x + 6 y - 4 z - 2 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của
r
véc tơ v = (1;6;2) , vuông góc với mặt phẳng (a ) : x + 4 y + z - 11 = 0 và tiếp xúc với (S).
r
· (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4. VTPT của (a ) là n = (1; 4;1) .
r
r r
Þ VTPT của (P) là: nP = [ n, v ] = (2; -1;2) Þ PT của (P) có dạng: 2 x - y + 2 z + m = 0 .
é m = -21
Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d ( I ,(P )) = 4 Û ê
.
ëm = 3
Vậy: (P): 2 x - y + 2 z + 3 = 0 hoặc (P): 2 x - y + 2 z - 21 = 0 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng
x y +1 z
x y -1 z - 4
(d1 ) : =
=
và (d2 ) : =
=
. Chứng minh rằng điểm M , d1, d2 cùng
1
-2
-3
1
2
5
nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
r
r
· d1 qua M1(0; -1;0) và có u1 = (1; -2; -3) , d2 qua M2 (0;1; 4) và có u2 = (1;2;5) .
r uuuuuur
r r uuuuuur
r r
éëu1; u2 ùû = (-4; -8; 4) ¹ 0 , M1M2 = (0;2; 4) Þ éëu1; u2 ùû .M1M2 = 0 Þ d1, d2 đồng phẳng.
r
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1, d2 Þ (P) có VTPT n = (1;2; -1) và đi qua M1 nên có
Câu 5.
phương trình x + 2 y - z + 2 = 0 . Kiểm tra thấy điểm M (1; –1;1) Î (P ) .
Trang 1
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu
Câu 6.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x -3 y -3 z
=
= và mặt cầu
2
2
1
(S): x 2 + y 2 + z2 - 2 x - 2 y - 4 z + 2 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và
trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).
r
· (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u = (2;2;1) .
r r r
(P) // d, Ox Þ (P) có VTPT n = [ u , i ] = (0;1; -2) Þ PT của (P) có dạng: y - 2 z + D = 0 .
(P) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,( P )) = R Û
Þ (P): y - 2 z + 3 + 2 5 = 0
hoặc
éD = 3 + 2 5
= 2 Û D -3 = 2 5 Û ê
ëD = 3 - 2 5
12 + 22
1- 4 + D
(P): y - 2 z + 3 - 2 5 = 0 .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 + 2 x - 4 y - 4 = 0 và
mặt phẳng (P): x + z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; -1)
vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
r
· (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT nP = (1; 0;1) .
Câu 7.
PT (Q) đi qua M có dạng: A( x - 3) + B( y - 1) + C (z + 1) = 0, A2 + B 2 + C 2 ¹ 0
(Q) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,(Q)) = R Û -4 A + B + C = 3 A2 + B2 + C 2
r r
(Q) ^ ( P ) Û nQ .nP = 0 Û A + C = 0 Û C = - A
(**)
(*)
Từ (*), (**) Þ B - 5 A = 3 2 A2 + B 2 Û 8B 2 - 7 A2 + 10 AB = 0 Û A = 2B Ú 7 A = -4B
· Với A = 2B . Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): 2 x + y - 2 z - 9 = 0
· Với 7 A = -4 B . Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): 4 x - 7 y - 4 z - 9 = 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với (S ) : x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 4 y - 4 z + 5 = 0 , (P ) : 2 x + y - 6 z + 5 = 0, M (1;1;2) .
ĐS: (Q) : 2 x + 2 y + z - 6 = 0 hoặc (Q) :11x - 10 y + 2z - 5 = 0 .
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 – 2 x + 4 y + 2 z – 3 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có
bán kính r = 3 .
· (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3. (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0.
Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.
Suy ra: –2a – b = 0 Û b = –2a (a ¹ 0) Þ (P): y – 2z = 0.
Câu 8.
Câu 9.
Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 + 2 x - 2 y + 2 z –1 = 0
ìx - y - 2 = 0
và đường thẳng d : í
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu
î2 x - z - 6 = 0
(S) theo một đường tròn có bán kính r = 1 .
· (S) có tâm I(-1;1; -1) , bán kính R = 2.
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c 2 ¹ 0) .
Chọn M (2;0; -2), N (3;1;0) Î d .
Trang 2
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
ì M Î (P)
é a = b,2c = -(a + b), d = -3a - b
(1)
Ta có: ïí N Î (P )
Û ê
ë17a = -7b,2c = -(a + b), d = -3a - b (2)
ïd ( I ,(P )) = R 2 - r 2
î
+ Với (1) Þ (P): x + y - z - 4 = 0
+ Với (2) Þ (P): 7 x - 17 y + 5z - 4 = 0
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng D1 :
x y -1 z
=
= ,
2
-1 1
x -1 y z
= =
và mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z2 – 2 x + 2 y + 4 z – 3 = 0 . Viết phương trình
-1 1 -1
tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D1 và D1.
D2 :
· (P): y + z + 3 + 3 2 = 0 hoặc (P): y + z + 3 - 3 2 = 0
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
x 2 + y 2 + z2 - 2 x + 4 y - 6 z - 11 = 0 và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0.
Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn
có chu vi bằng p = 6p .
· Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17)
(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3.
Khoảng cách từ I tới (b) là h =
Do đó
2.1 + 2(-2) - 3 + D
R 2 - r 2 = 52 - 32 = 4
é D = -7
= 4 Û -5 + D = 12 Û ê
ë D = 17 (loaïi)
22 + 22 + (-1)2
Vậy (b) có phương trình 2 x + 2 y – z – 7 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) (S ) : x 2 + y 2 + z2 + 2 x + 4 y - 6 z - 11 = 0 , (a ) : 2 x + y - 2z + 19 = 0 , p = 8p .
ĐS: ( b ) : 2 x + y - 2 z + 1 = 0
Trang 3
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông
góc với mặt phẳng (Q): x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng
· PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax + By + Cz = 0 (với A2 + B 2 + C 2 ¹ 0 ).
· Vì (P) ^ (Q) nên: 1. A + 1.B + 1.C = 0 Û C = - A - B (1)
A + 2B - C
· d ( M ,( P )) = 2 Û
= 2 Û ( A + 2 B - C )2 = 2( A2 + B 2 + C 2 )
2
2
2
A + B +C
éB = 0
(3)
Từ (1) và (2) ta được: 8 AB + 5B 2 = 0 Û ê
ë8 A + 5B = 0 (4)
· Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x - z = 0
· Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): 5x - 8y + 3z = 0 .
2.
(2)
x -1 y - 3 z
=
= và
1
1
4
điểm M(0; –2; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường
thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4.
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D :
· Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax + by + cz + 2b = 0 ( a2 + b2 + c2 ¹ 0 )
r
D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u = (1;1;4)
ì a + b + 4c = 0
ï
ìD P ( P )
ì a = 4c
a + 5b
Ûí
Ta có: í
Û í
.
4
=
(
;(
))
=
a
2
c
d
A
P
d
=
î
î
ï 2
2
2
î a +b +c
· Với a = 4c . Chọn a = 4, c = 1 Þ b = -8 Þ Phương trình (P): 4 x - 8y + z - 16 = 0 .
· Với a = -2c . Chọn a = 2, c = -1 Þ b = 2 Þ Phương trình (P): 2 x + 2 y - z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
x y z -1
; M (0;3; -2), d = 3 .
a) Với D : = =
1 1
4
ĐS: ( P ) : 2 x + 2 y - z - 8 = 0 hoặc ( P ) : 4 x - 8y + z + 26 = 0 .
ìx = t
ï
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : í y = -1 + 2t và điểm
ïî z = 1
A(-1;2;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ
điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.
r
r
· (d) đi qua điểm M(0; -1;1) và có VTCT u = (1;2;0) . Gọi n = (a; b; c) với a2 + b2 + c2 ¹ 0
là VTPT của (P) .
PT mặt phẳng (P): a( x - 0) + b( y + 1) + c( z - 1) = 0 Û ax + by + cz + b - c = 0 (1).
rr
Do (P) chứa (d) nên: u.n = 0 Û a + 2b = 0 Û a = -2b (2)
- a + 3b + 2c
5b + 2c
d ( A,(P ) ) = 3 Û
=3Û
= 3 Û 5b + 2c = 3 5b2 + c2
2
2
2
2
2
a +b +c
5b + c
2
Û 4b2 - 4bc + c 2 = 0 Û ( 2b - c ) = 0 Û c = 2b
(3)
Từ (2) và (3), chọn b = -1 Þ a = 2, c = -2 Þ PT mặt phẳng (P): 2 x - y - 2 z + 1 = 0 .
Trang 4
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M (-1;1; 0), N (0; 0; -2), I (1;1;1) . Viết
phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng
3.
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) .
ì M Î (P)
é a = - b,2c = a - b, d = a - b (1)
ï
.
Ta có: í N Î (P )
Û ê
ë5a = 7b,2c = a - b, d = a - b (2)
ïîd ( I ,(P )) = 3
+ Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x - y + z + 2 = 0
+ Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): 7 x + 5y + z + 2 = 0 .
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; -1;2) , B(1;3;0) ,
C(-3; 4;1) , D(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C
đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c 2 ¹ 0) .
ìa - b + 2c + d = 0
ì A Î (P)
ï
Ta có: í B Î (P )
Û ïïa + 3b + d = 0
í -3a + 4b + c + d
ïîd (C ,(P )) = d ( D,(P ))
a + 2b + c + d
=
ï
ïî a2 + b2 + c2
a2 + b2 + c2
é b = 2a, c = 4a, d = -7a
Û ê
ëc = 2a, b = a, d = -4a
+ Với b = 2a, c = 4a, d = -7a Þ (P): x + 2 y + 4 z - 7 = 0 .
+ Với c = 2a, b = a, d = -4a Þ (P): x + y + 2z - 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2;1), B(-2;1;3), C (2; -1;1), D(0;3;1) .
ĐS: ( P ) : 4 x + 2 y + 7z - 15 = 0 hoặc ( P ) : 2 x + 3z - 5 = 0 .
Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A(1;2;3) , B(0; -1;2) ,
C(1;1;1) . Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách
từ B đến ( P ) bằng khoảng cách từ C đến ( P ) .
· Vì O Î (P) nên ( P ) : ax + by + cz = 0 , với a2 + b2 + c2 ¹ 0 .
Do A Î (P) Þ a + 2b + 3c = 0 (1) và d ( B,( P )) = d (C ,( P )) Û - b + 2c = a + b + c (2)
Từ (1) và (2) Þ b = 0 hoặc c = 0 .
· Với b = 0 thì a = -3c Þ (P ) : 3x - z = 0
· Với c = 0 thì a = -2b Þ ( P ) : 2 x - y = 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(1;2; 0), B(0;4;0), C (0;0;3) .
ĐS: -6 x + 3y + 4 z = 0 hoặc 6 x - 3y + 4z = 0 .
Câu 18. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1;1; -1) , B(1;1;2) ,
C(-1;2; -2) và mặt phẳng (P): x - 2 y + 2 z + 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (a ) đi qua
A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB = 2 IC .
· PT (a ) có dạng: ax + by + cz + d = 0 , với a2 + b2 + c2 ¹ 0
Do A(1;1; -1) Î (a ) nên: a + b - c + d = 0 (1); (a ) ^ ( P ) nên a - 2b + 2c = 0 (2)
IB = 2 IC Þ d ( B,(a )) = 2d (C;(a )) Þ
a + b + 2c + d
a2 + b2 + c 2
Trang 5
=2
-a + 2b - 2c + d
a2 + b2 + c 2
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
é3a - 3b + 6c - d = 0
Ûê
(3)
ë - a + 5b - 2c + 3d = 0
Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :
ìa + b - c + d = 0
-1
-3
ï
TH1 : ía - 2b + 2c = 0
Û b = a; c = - a; d =
a.
2
2
ïî3a - 3b + 6c - d = 0
Chọn a = 2 Þ b = -1; c = -2; d = -3 Þ (a ) : 2 x - y - 2 z - 3 = 0
ìa + b - c + d = 0
-3
3
ï
Û b = a; c = a; d =
TH2 : ía - 2b + 2c = 0
a.
2
2
ïî-a + 5b - 2c + 3d = 0
Chọn a = 2 Þ b = 3; c = 2; d = -3 Þ (a ) : 2 x + 3y + 2z - 3 = 0
Vậy: (a ) : 2 x - y - 2z - 3 = 0 hoặc (a ) : 2 x + 3y + 2 z - 3 = 0
Câu 19. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có phương
x -2 y -2 z-3
x -1 y - 2 z -1
=
=
, d2 :
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng cách
-1
2
1
3
2
4
đều hai đường thẳng d1, d2 .
r
r
· Ta có d1 đi qua A(2;2;3) , có ud1 = (2;1;3) , d2 đi qua B(1;2;1) và có ud 2 = (2; -1; 4) .
r
r r
Do (P) cách đều d1, d2 nên (P) song song với d1, d2 Þ nP = ëéud1, ud 2 ûù = (7; -2; -4)
Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: 7 x - 2 y - 4z + d = 0
trình d1 :
Do (P) cách đều d1, d2 suy ra d ( A,( P )) = d (B,(P ))
Û
7.2 - 2.2 - 4.3 + d
=
7.1 - 2.2 - 4.1 + d
Û d - 2 = d -1 Û d =
69
69
Þ Phương trình mặt phẳng (P): 14 x - 4 y - 8z + 3 = 0
3
2
Câu 20. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1, d2 lần lượt có phương
ìx = 1 + t
x - 2 y -1 z +1
ï
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song
trình d1 : í y = 2 - t , d2 :
1
2
2
îï z = 1
với d1 và d2 , sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P).
r
· Ta có : d1 đi qua A(1;2;1) và có VTCP u1 = (1; -1;0)
r
d2 đi qua B(2;1; -1) và có VTCP là u2 = (1; -2;2)
r
r
r r
Gọi n là VTPT của (P), vì (P) song song với d1 và d2 nên n = ëéu1, u2 ûù = (-2; -2; -1)
Þ Phương trìnht (P): 2 x + 2 y + z + m = 0 .
7+m
5+ m
; d (d2 ,( P )) = d (B,(P )) =
3
3
17
é 7 + m = 2(5 + m)
d (d1,(P )) = 2d (d2 ,( P )) Û 7 + m = 2. 5 + m Û ê
Û m = -3; m = 3
ë 7 + m = -2(5 + m)
17
17
+ Với m = -3 Þ ( P ) : 2 x + 2 y + z – 3 = 0
+ Với m = Þ (P) : 2 x + 2 y + z - = 0
3
3
d (d1,(P )) = d ( A;( P )) =
Trang 6
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 21. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A(0; -1;2) , B(1; 0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): ( x - 1)2 + ( y - 2)2 + (z + 1)2 = 2 .
· (S) có tâm I(1;2; -1) , bán kính R = 2 .
PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c 2 ¹ 0)
ì A Î (P )
ï
é a = - b, c = - a - b, d = 2a + 3b
Ta có: í B Î (P )
Û ê
ë3a = -8b, c = -a - b, d = 2a + 3b
îïd ( I ,(P )) = R
+ Với (1) Þ Phương trình của (P): x - y - 1 = 0
+ Với (2) Þ Phương trình của (P): 8x - 3y - 5z + 7 = 0
(1)
(2)
Câu 22. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; -1;1) . Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
· Ta có d (O,( P )) £ OA . Do đó d (O,( P ))max = OA xảy ra Û OA ^ ( P ) nên mặt phẳng (P)
uuur
cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA. Ta có OA = (2; -1;1)
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2 x - y + z - 6 = 0 ..
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có
x -1 y z -1
= =
. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d
2
1
3
và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
· Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)). Giả sử điểm I là hình chiếu của
H lên (P), ta có AH ³ HI Þ HI lớn nhất khi A º I . Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A
uuur
và nhận AH làm VTPT Þ (P): 7 x + y - 5z - 77 = 0 .
phương trình:
Câu 24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số
{ x = -2 + t; y = -2t; z = 2 + 2t . Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d)
và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d). Viết phương trình của mặt phẳng chứa
D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất.
· Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì ( P ) P (d ) hoặc (P ) É (d ) . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của I trên (P). Ta luôn có IH £ IA và IH ^ AH .
ìd (d ,(P )) = d ( I ,(P )) = IH
Mặt khác í
îH Î (P)
Trong (P), IH £ IA ; do đó maxIH = IA Û H º A . Lúc này (P) ở vị trí (P0) ^ IA tại A.
r uur
r
Vectơ pháp tuyến của (P0) là n = IA = ( 6; 0; -3) , cùng phương với v = ( 2;0; -1) .
Phương trình của mặt phẳng (P0) là: 2( x - 4) - 1.( z + 1) = 2 x - z - 9 = 0 .
x -1 y z - 2
= =
và điểm
2
1
2
A(2;5;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn
nhất.
Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) .
r
r
(P) có VTPT n = (a; b; c) , d đi qua điểm M(1; 0;2) và có VTCP u = (2;1;2) .
Trang 7
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
ì2c = -(2a + b)
ì M Î (P)
ìa + 2c + d = 0
. Xét 2 trường hợp:
Vì (P) É d nên í r r
Þí
Þí
îd = a + b
în.u = 0
î2a + b + 2c = 0
TH1: Nếu b = 0 thì (P): x - z + 1 = 0 . Khi đó: d ( A,( P )) = 0 .
TH2: Nếu b ¹ 0. Chọn b = 1 ta được (P): 2ax + 2 y - (2a + 1)z + 2a + 2 = 0 .
9
9
Khi đó: d ( A,( P )) =
=
£3 2
2
8a2 + 4a + 5
æ
1ö 3
2 ç 2a + ÷ +
2ø 2
è
1
1
Vậy max d ( A,( P )) = 3 2 Û 2a + = 0 Û a = - . Khi đó: (P): x - 4 y + z - 3 = 0 .
2
4
Câu hỏi tương tự:
x -1 y +1 z - 2
=
=
ĐS: (P ) : 2 x + y - z + 1 = 0
a) d :
, A(5;1;6) .
2
1
5
x -1 y + 2 z
b) d :
=
= , A(1; 4;2) .
ĐS: (P ) : 5x + 13y - 4 z + 21 = 0
-1
1
2
Câu 26. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; -1;2) và N(-1;1;3) . Viết phương
trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểm K(0; 0;2) đến mặt phẳng (P)
là lớn nhất.
· PT (P) có dạng: Ax + B( y + 1) + C ( z - 2) = 0 Û Ax + By + Cz + B - 2C = 0
( A2 + B2 + C 2 ¹ 0)
N (-1;1;3) Î ( P ) Û - A + B + 3C + B - 2C = 0 Û A = 2 B + C
Þ (P ) : (2 B + C ) x + By + Cz + B - 2C = 0 ;
d ( K , ( P )) =
B
2
2
4 B + 2C + 4 BC
· Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)
· Nếu B ¹ 0 thì d ( K ,(P )) =
B
=
1
£
1
2
2
æC
ö
2 ç + 1÷ + 2
èB ø
Dấu “=” xảy ra khi B = –C. Chọn C = 1. Khi đó PT (P): x + y – z + 3 = 0 .
4 B 2 + 2C 2 + 4 BC
Trang 8
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc
Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng ():
x -1 y
z
=
=
và tạo với mặt phẳng (P) : 2 x - 2 y - z + 1 = 0 một góc 600. Tìm tọa độ giao
-1 -2
1
điểm M của mặt phẳng (a) với trục Oz.
r
r
· () qua điểm A(1;0; 0) và có VTCP u = (1; -1; -2) . (P) có VTPT n¢ = (2; -2; -1) .
uuuur
uuur ur
r
Giao điểm M (0;0; m) cho AM = (-1; 0; m) . (a) có VTPT n = ëé AM , u ûù = (m; m - 2;1)
(a) và (P): 2 x - 2 y - z + 1 = 0 tạo thành góc 600 nên :
1
1
1
r r
cos ( n, n¢ ) = Û
= Û 2m 2 - 4m + 1 = 0 Û m = 2 - 2 hay m = 2 + 2
2
2m2 - 4m + 5 2
Kết luận : M(0; 0;2 - 2) hay M(0; 0;2 + 2)
Câu 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao
tuyến d của hai mặt phẳng (a ) : 2 x – y –1 = 0 , ( b ) : 2 x – z = 0 và tạo với mặt phẳng
2 2
9
· Lấy A(0;1;0), B(1;3;2)Î d . (P) qua A Þ PT (P) có dạng: Ax + By + Cz – B = 0 .
(P) qua B nên: A + 3B + 2C – B = 0 Þ A = -(2 B + 2C )
Þ ( P ) : -(2 B + 2C ) x + By + Cz – B = 0
(Q) : x – 2 y + 2 z –1 = 0 một góc j mà cos j =
cos j =
-2 B - 2C - 2B + 2C
3 (2B + 2C )2 + B2 + C 2
=
2 2
Û 13B 2 + 8BC – 5C 2 = 0 .
9
5
.
13
+ Với B = C = 1 Þ ( P ) : -4 x + y + z –1 = 0
5
+ Với B = , C = 1 Þ ( P ) : -23x + 5y + 13z – 5 = 0 .
13
Chọn C = 1 Þ B = 1; B =
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-1;2; -3), B(2; -1; -6) và mặt
phẳng ( P ) : x + 2 y + z - 3 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt
phẳng (P) một góc a thoả mãn cos a =
3
.
6
· PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) .
ì A Î (Q)
ì- a + 2b - 3c + d = 0
é a = -4b, c = -3b, d = -15b
ï
Ta có: ï B Î (Q)
Û ïï2a - b - 6c + d = 0
Û ê
í
ë a = -b, c = 0, d = - b
í
a + 2b + c
3
ïcos a = 3
ï
=
ïî
6
6
ïî a2 + b2 + c 2 1 + 4 + 1
Þ Phương trình mp(Q): 4 x - y + 3z + 15 = 0 hoặc (Q): x - y - 3 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
1
a) A(0;0;1), B(1;1; 0) , (P ) º (Oxy ),cos a =
.
6
ĐS: (Q): 2 x - y + z - 1 = 0 hoặc (Q): x - 2 y - z + 1 = 0 .
Trang 9
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
ìx + y + z - 3 = 0
. Viết
î2 x + y + z - 4 = 0
phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í
a = 600 .
· ĐS: (P ) : 2 x + y + z - 2 - 2 = 0 hoặc (P ) : 2 x - y - z - 2 + 2 = 0
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P ) : 5 x - 2 y + 5z - 1 = 0 và
(Q) : x - 4 y - 8z + 12 = 0 . Lập phương trình mặt phẳng ( R) đi qua điểm M trùng với gốc tọa
độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc a = 450 .
· Giả sử PT mặt phẳng (R): ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) .
Ta có: ( R) ^ ( P ) Û 5a - 2b + 5c = 0
(1);
a - 4b - 8c
·
R),(Q)) = cos 450 Û
cos((
=
2
(2)
2
9 a2 + b2 + c 2
é a = -c
Từ (1) và (2) Þ 7a2 + 6ac - c2 = 0 Û ê
ëc = 7a
· Với a = -c : chọn a = 1, b = 0, c = -1 Þ PT mặt phẳng ( R) : x - z = 0
· Với c = 7a : chọn a = 1, b = 20, c = 7 Þ PT mặt phẳng ( R) : x + 20 y + 7z = 0
Câu hỏi tương tự:
a) Với ( P ) : x - y - 2 z = 0,(Q) º (Oyz), M (2; -3;1),a = 450 .
ĐS: ( R) : x + y + 1 = 0 hoặc ( R) : 5 x - 3y + 4 z - 23 = 0
Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:
D1 :
x -1 y +1 z -1
x
y z
=
=
và D2 : =
= . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D1 và
1
-1
3
1 -2 1
tạo với D2 một góc a = 300 .
· Đáp số: (P): 5x + 11y + 2 z + 4 = 0 hoặc (P): 2 x - y - z - 2 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
x y-2 z
x -2 y -3 z+5
a) Với D1 : =
= , D2 :
=
=
, a = 300 .
-1 1
2
1
-1
1
ĐS: (P): x - 2 y - 2 z + 2 = 0 hoặc (P): x + 2 y + z - 4 = 0
x -1 y z + 1
x y - 2 z +1
b) D1 :
= =
, D2 : =
=
, a = 300 .
-2
1
1
1
-1
1
ĐS: (P): (18 + 114) x + 21y + (15 + 2 114)z - (3 - 114) = 0
hoặc (P): (18 - 114) x + 21y + (15 - 2 114)z - (3 + 114) = 0
Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 450 , 30 0 .
r
r
r
· Gọi n = (a; b; c) là VTPT của (P). Các VTCP của trục Ox, Oy là i = (1;0; 0), j = (0;1; 0) .
ì
2
ïïsin(Ox,(P )) =
ì
2 Û ía = 2 b
Ta có: í
îc = b
ïsin(Oy,( P )) = 1
ïî
2
Trang 10
Trần Sĩ Tùng
PT mặt phẳng (P):
PP toạ độ trong không gian
2( x - 1) + ( y - 2) ± ( z - 3) = 0 hoặc - 2( x - 1) + ( y - 2) ± (z - 3) = 0
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2 y - z + 5 = 0 và đường
x +1 y +1 z - 3
=
=
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo
2
1
1
với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
thẳng d :
·
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Gọi a = ((
P ),(Q)) .
ì M Î ( P ) ìc = - a - b
Chọn hai điểm M (-1; -1;3), N (1;0; 4) Î d . Ta có: í
Þí
î N Î (P)
î d = 7a + 4 b
a+b
3
Þ (P): ax + by + (-2a - b)z + 7a + 4b = 0 Þ cos a =
.
6 5a2 + 4ab + 2b2
TH1: Nếu a = 0 thì cos a =
TH2: Nếu a ¹ 0 thì cos a =
3
6
3
6
.
b
2b2
.
=
3
Þ a = 300 .
2
1+
b
a
æbö
b
5 + 4 + 2ç ÷
a
èaø
2
. Đặt x =
b
và f ( x ) = cos2 a
a
9 x2 + 2x + 1
Xét hàm số f ( x ) = .
.
6 5 + 4x + 2x2
Dựa vào BBT, ta thấy min f ( x ) = 0 Û cos a = 0 Û a = 900 > 300
Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0. Khi đó chọn b = 1, c = 1, d = 4 .
Vậy: (P): y - z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
x -1 y + 2 z
a) Với (Q): x + 2 y + 2 z – 3 = 0 , d :
=
=
.
ĐS: ( P ) : x + 2 y + 5z +3 = 0 .
1
2
-1
x -1 y + 2 z
=
= .
ĐS: ( P ) : x - y + z - 3 = 0 .
b) Với (Q) º (Oxy), d :
-1
1
2
ì x = -t
ï
c) Với (Q) : 2 x - y - z - 2 = 0 , d : í y = -1 + 2t .
ĐS: ( P ) : x + y + z - 3 = 0 .
ïî z = 2 + t
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (-1; -1;3), N (1; 0; 4) và mặt phẳng
(Q): x + 2 y - z + 5 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N và tạo với (Q) một góc
nhỏ nhất.
· ĐS: (P ) : y - z + 4 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
ĐS: ( P ) : 6 x + 3y + 5z - 7 = 0 .
a) M (1;2; -1), N (-1;1;2),(Q) º (Oxy) .
ìx = 1 - t
ï
Câu 36. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : í y = -2 + t . Viết phương
ïî z = 2t
trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
·
· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Gọi a = ((
P ), Oy ) .
Trang 11
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
ì M Î ( P ) ì2c = a - b
Chọn hai điểm M (1; -2; 0), N (0; -1;2) Î d . Ta có: í
Þí
î N Î (P )
îd = - a + 2b
2b
a-b
Þ (P): ax + by +
.
z - a + 2b = 0 Þ sin a =
2
2
2
5a + 5b - 2ab
TH1: Nếu b = 0 thì a = 00 .
2
TH2: Nếu b ¹ 0 thì sin a =
. Đặt x =
2
æaö
a
5ç ÷ + 5 - 2
b
èbø
4
Xét hàm số f ( x ) =
a
và f ( x ) = sin 2 a .
b
. Dựa vào BBT, ta được max f ( x ) =
5
1
Û x = Þ a > 00 .
6
5
5x 2 - 2 x + 5
a 1
Vậy a lớn nhất khi = . Chọn a = 1, b = 5, c = -2, d = 9 Þ (P): x + 5y - 2 z + 9 = 0 .
b 5
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 :
x -1 y + 2 z
=
=
và
-1
1
2
x + 2 y -1 z
=
= . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 sao cho góc giữa mặt phẳng
-1 2
2
(P) và đường thẳng d2 là lớn nhất.
r
· d1 đi qua M(1; -2; 0) và có VTCP u = (1;2; -1) .Vì d1 Ì (P ) nên M Î ( P ) .
d2 :
PT mặt phẳng (P) có dạng: A( x - 1) + B( y + 2) + Cz = 0 ( A2 + B2 + C 2 ¹ 0)
rr
Ta có: d Ì (P ) Û u.n = 0 Û C = A + 2B .
·
Gọi a = ((
P ), d2 ) Þ sin a =
TH1: Với B = 0 thì sina =
TH2: Với B ¹ 0. Đặt t =
Xét hàm số f (t ) =
1
(4 A + 3B)2
= .
2
2
3. 2 A2 + 4 AB + 5B2 3 2 A + 4 AB + 5B
2 2
3
1
(4t + 3)2
A
, ta được: sina = .
B
3 2t 2 + 4t + 5
(4t + 3)2
2
4 A + 3B
2t + 4t + 5
5 3
Khi đó sin a = f (-7) =
.
9
. Dựa vào BBT ta có: max f (t ) =
25
A
khi t = -7 Û = -7
B
7
5 3
A
khi = -7 .
9
B
Þ Phương trình mặt phẳng (P) : 7 x - y + 5z -9 = 0 .
So sánh TH1 và TH2 Þ a lớn nhất với sin a =
x +1 y - 2 z +1
=
=
và điểm
-1
1
1
A(2; -1;0) . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng
(Oxy) một góc nhỏ nhất.
· ĐS: (P ) : x + y + 2z - 1 = 0 .
Câu 38. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d :
Trang 12
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 39. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2 x - y + z + 2 = 0 và điểm
A(1;1; -1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và
tạo với trục Oy một góc lớn nhất.
· ĐS: (P ) : y + z = 0 hoặc ( P ) : 2 x + 5y + z - 6 = 0 .
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác
Câu 40. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 5; 6). Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua A, cắt các trục tọa độ lần lượt tại I, J, K mà A là trực tâm của tam giác IJK.
x y z
· Gọi I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) Þ ( P ) : + + = 1
a b c
ì4 5 6
uur
uur
ïï a + b + c = 1
77
77
77
IA
JA = (4;5 - b;6)
uur= (4 - a;5;6), uur
Þ ïí-5b + 6c = 0 Þ a = ; b = ; c =
4
5
6
JK = (0; - b; c),
IK = (-a; 0; c)
ïî-4a + 6c = 0
Vậy phương trình mặt phẳng (P): 4 x + 5y + 6z - 77 = 0 .
Câu hỏi tương tự:
a) Với A(–1; 1; 1).
ĐS: (P): x - y - z + 3 = 0
Câu 41. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi
qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0). Chứng minh
rằng: b + c =
bc
. Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
2
x y z
1 1 1
bc
· PT mp (P) có dạng: + + = 1. Vì M Î ( P ) nên + + = 1 Û b + c = .
2 b c
2
2 b c
uuur
uuur
Ta có AB(-2; b; 0) , AC (-2; 0; c). Khi đó S = b2 + c2 + (b + c)2 .
Vì b2 + c2 ³ 2bc; (b + c)2 ³ 4bc nên S ³ 6bc .
Mà bc = 2(b + c) ³ 4 bc Þ bc ³ 16 . Do đó S ³ 96 . Dấu "=" xảy ra Û b = c = 4 .
Vậy: min S = 96 khi b = c = 4 .
Câu 42. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;2;4) và mặt phẳng ( P ) : x + y + z + 4 = 0 .
Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và (Q) cắt hai tia Ox, Oy tại 2 điểm B,
C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 6.
· Vì (Q) // (P) nên (Q): x + y + z + d = 0 (d ¹ 4) . Giả sử B = (Q) Ç Ox , C = (Q) Ç Oy
1 uuur uuur
Þ B(-d ;0; 0), C (0; -d ;0) (d < 0) . S ABC = éë AB, AC ùû = 6 Û d = -2
2
Þ (Q) : x + y + z - 2 = 0 .
Câu 43. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(3; 0;0), B(1;2;1) . Viết phương trình mặt
phẳng (P) qua A, B và cắt trục Oz tại M sao cho tam giác ABC có diện tích bằng
· ĐS: ( P ) : x + 2 y - 2z - 3 = 0 .
Trang 13
9
.
2
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng
Câu 44. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(9;1;1) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ
nhất.
· Giá sử A(a;0; 0) Î Ox, B(0; b; 0) Î Oy, C (0; 0; c) Î Oz (a, b, c > 0) .
x y z
Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: + + = 1 .
a b c
1
9 1 1
VOABC = abc (2)
Ta có: M (9;1;1) Î (P ) Þ + + = 1 (1);
6
a b c
(1) Û abc = 9bc + ac + ab ≥ 33 9(abc)2 Û (abc)3 ³ 27.9(abc)2 Û abc ³ 243
ìa = 27
ì9bc = ac = ab
ï
x y z
ï
Û íb = 3 Þ (P):
Dấu "=" xảy ra Û í 9 1 1
+ + = 1.
27 3 3
ïîc = 3
ïî a + b + c = 1
Câu hỏi tương tự:
x y z
a) Với M(1;2; 4) .
ĐS: ( P ) : + +
=1
3 6 12
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(1;2;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức
1
OA
2
+
1
OB
2
+
1
OC 2
có giá trị
nhỏ nhất.
· ĐS: ( P ) : x + 2 y + 3z - 14 = 0 .
Câu 46. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
M(2;5;3) , cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA + OB + OC có giá trị nhỏ
nhất.
x
y
z
· ĐS: ( P ) :
+
+
=1.
2 + 6 + 10 5 + 10 + 15 3 + 6 + 15
Trang 14
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
TĐKG 02: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương
x +1 y -1 z - 2
=
=
và mặt
2
1
3
phẳng P : x - y - z - 1 = 0 . Viết phương trình đường thẳng D đi qua A(1;1; -2) , song song
với mặt phẳng ( P ) và vuông góc với đường thẳng d .
uur uur
x -1 y -1 z + 2
r
r
· u = éëud ; nP ùû = (2;5; -3) . D nhận u làm VTCP Þ D :
=
=
2
5
-3
Câu 1.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình:
{ x = -t ; y = -1 + 2t ; z = 2 + t ( t Î R ) và mặt phẳng (P): 2 x - y - 2 z - 3 = 0 .Viết phương
trình tham số của đường thẳng D nằm trên (P), cắt và vuông góc với (d).
· Gọi A = d Ç (P) Þ A(1; -3;1) .
Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: - x + 2 y + z + 6 = 0
Câu 2.
D là giao tuyến của (P) và (Q) Þ D: { x = 1 + t; y = -3; z = 1 + t
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng D:
x -1 y +1 z
=
=
. Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc
2
1
-1
với D.
uuuur
r
· uD = (2;1; -1) . Gọi H = d Ç D. Giả sử H (1 + 2t; -1 + t; -t ) Þ MH = (2t - 1; t - 2; -t ) .
uuuur r
uuuur
2
r
MH ^ uD Û 2(2t - 1) + (t - 2) - (-t ) = 0 Û t = Þ ud = 3MH = (1; -4; -2)
3
ìx = 2 + t
ï
Þ d: í y = 1 - 4t .
îï z = 2t
Câu 3.
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 1 = 0 và hai
điểm A(1;7; –1), B(4;2;0). Lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của
đường thẳng AB trên (P).
· Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0.
(D) = (P) Ç (Q) suy ra phương trình (D).
Câu 4.
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của
ì x - 2z = 0
đường thẳng d : í
trên mặt phẳng P : x - 2 y + z + 5 = 0 .
î3x - 2 y + z - 3 = 0
Câu 5.
ì x = 4t
ï
3
r
· PTTS của d: í y = - + 7t . Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; -2;1) .
2
ï
z
2
t
=
î
æ 11 ö
æ
æ
3 ö
3 ö
Gọi A = d Ç (P ) Þ A ç 4; ;2 ÷ . Ta có B ç 0; - ;0 ÷ Î d , B ç 0; - ;0 ÷ Ï (P ) .
è 2 ø
è
2 ø
è
2 ø
æ 4 7 4ö
Gọi H ( x; y; z) là hình chiếu vuông góc của B trên (P). Ta tìm được H ç - ; ; - ÷ .
è 3 6 3ø
Trang 15
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Gọi D là hình chiếu vuông góc của d trên (P) Þ D đi qua A và H
ì x = 4 + 16t
uuu
r
ï
11
r
Þ D có VTCP u = 3HA = (16;13;10) Þ Phương trình của D: í y = + 13t .
2
ï
=
+ 10t
2
z
î
Câu hỏi tương tự:
ì x = 1 + 23m
x +1 y -1 z - 2
ï
=
=
, ( P ) : x - 3y + 2 z - 5 = 0 .
ĐS: D : í y = 2 + 29m
a) Với d :
2
1
3
ïî z = 5 + 32m
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng
( P ) : 6 x + 2 y + 3z - 6 = 0 với Ox, Oy, Oz. Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).
· Ta có: ( P ) Ç Ox = A(1; 0;0); (P ) Ç Oy = B(0;3;0); (P ) Ç Oz = C (0; 0;2)
Gọi D là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; (a) là mặt phẳng trung
æ1 3 ö
trực cạnh OC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Ta có: I = D Ç (a ) Þ I ç ; ;1 ÷ .
è2 2 ø
Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp DABC thì IJ ^ (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ .
ì
1
ï x = 2 + 6t
ï
3
í
Þ Phương trình đường thẳng d: ï y = + 2t .
2
ï z = 1 + 3t
î
Câu 6.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; -1), B(2;1;1); C (0;1;2) và
x -1 y +1 z + 2
=
=
. Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của
đường thẳng d :
-1
2
2
tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d.
uuur
uuur
uuur uuur
· Ta có AB = (1; -1;2), AC = (-1; -1;3) Þ ëé AB, AC ûù = (-1; -5; -2)
Câu 7.
Þ phương trình mặt phẳng (ABC): x + 5y + 2z - 9 = 0
Gọi trực tâm của tam giác ABC là H (a; b; c) , khi đó ta có hệ:
uuur uuur
ì BH . AC = 0
ì a - b + 2c = 3
ìa = 2
ï uuur uuur
ï
ï
íCH . AB = 0 Û ía + b - 3c = 0 Û íb = 1 Þ H (2;1;1)
ï H Î ( ABC )
ïîa + 5b + 2c = 9
ïîc = 1
î
Do đường thẳng D nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên:
r
r
ìuD ^ nABC
r
r
r
Þ uD = éë nABC , ud ùû = (12;2; -11) .
íur ^ ur
d
î D
Vậy phương trình đường thẳng D :
x - 2 y -1 z -1
=
=
12
2
-11
Trang 16
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương
x -1 y +1 z
trình d :
=
=
. Viết phương trình của đường thẳng D đi qua điểm M, cắt và
2
1
-1
vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua d.
Câu 8.
ì x = 1 + 2t
r
ï
· PTTS của d: í y = -1 + t . d có VTCP u = (2;1; -1) .
ïî z = -t
uuuur
Gọi H là hình chiếu của M trên d Þ H (1 + 2t; -1 + t; -t ) Þ MH = (2t - 1; -2 + t; -t )
uuuur r
æ 7 1 2 ö uuuur æ 1
2
4
2ö
Ta có MH ^ d Û MH .u = 0 Û t = Þ H ç ; - ; - ÷ , MH = ç ; - ; - ÷
3
3ø
3
è3 3 3ø
è3
x - 2 y -1 z
Phương trình đường thẳng D:
=
=
.
-4
-2
1
æ8 5 4ö
Gọi M¢ là điểm đối xứng của M qua d Þ H là trung điểm của MM¢ Þ M ¢ ç ; - ; - ÷ .
è3 3 3ø
Câu hỏi tương tự:
x + 3 y -1 z + 1
x +1 y z - 3
=
=
.
ĐS: D :
= =
a) M (-4; -2;4); d :
-1
-1
2
4
3
2
Trong không gian cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng (d) có phương trình: x = -3 + 2t; y = 1
- t; z = -1 + 4t; t Î R. Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua A; cắt và vuông góc với (d).
Câu 9.
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :
x y -1 z +1
=
=
và hai điểm A(1;1; -2) ,
-1
1
2
B(-1;0;2) . Viết phương trình đường thẳng D qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách
từ B tới D là nhỏ nhất.
r
· d có VTCP ud = (1;2; -1) . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d. Gọi H là
hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng D đi qua A và H thỏa YCBT.
Ta có: (P): x + 2 y - z - 5 = 0 . Giả sử H ( x; y; z) .
ìH Î (P)
æ1 8 2ö
Ta có: í uuur r
Þ Hç ; ; ÷
è3 3 3ø
î BH , ud cuøng phöông
uuur
x -1 y -1 z + 2
r
Þ uD = 3 AH = (-2;5;8) Þ Phương trình D:
=
=
.
-2
5
8
x +1 y z +1
= =
và hai điểm
2
3
-1
A(1;2; -1), B(3; -1; -5) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng
D sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất.
uuur
uuur
· Giả sử d cắt D tại M Þ M (-1 + 2t;3t; -1 - t ) , AM = (-2 + 2t;3t - 2; -t ), AB = (2; -3; -4)
Câu 10. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng D :
Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó d ( B, d ) = BH £ BA . Vậy d ( B, d ) lớn nhất bằng BA
uuur uuur
Û H º A Û AM ^ AB Û AM . AB = 0 Û 2(-2 + 2t ) - 3(3t - 2) + 4t = 0 Û t = 2
x -1 y - 2 z +1
Þ M(3;6; -3) Þ PT đường thẳng d :
=
=
.
1
2
-1
Trang 17
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
Câu 11. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường
x +1 y -1 z
=
= . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường
thẳng D:
-1 2
2
thẳng D tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.
ì x = -1 + 2t
ï
· Phương trình tham số của D: í y = 1 - t . Điểm C Î D nên C (-1 + 2t;1 - t;2t ) .
ïî z = 2t
uuur
uuur
uuur uuur
AC = (-2 + 2t; -4 - t;2t ); AB = (2; -2;6) ; éë AC , AB ùû = (-24 - 2t;12 - 8t;12 - 2t )
uuur uuur
1 uuur uuur
Þ ëé AC , AB ûù = 2 18t 2 - 36t + 216 Þ S = éë AC , AB ùû = 18(t - 1)2 + 198 ≥ 198
2
x -3 y -3 z-6
Vậy Min S = 198 khi t = 1 hay C(1; 0; 2) Þ Phương trình BC:
=
=
.
-2
-3
-4
x +1 y - 2 z - 2
=
=
và mặt
-2
3
2
phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng D song song với mặt phẳng
(P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :
ì x = -1 + 3t
r
ï
· Đường thẳng (d) có PTTS: í y = 2 - 2t . Mặt phẳng (P) có VTPT n = (1; 3; 2)
ïî z = 2 + 2t
uuuur
Giả sử N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) Î d Þ MN = (3t - 3; -2t;2t - 2)
uuuur r
Để MN // (P) thì MN .n = 0 Û t = 7 Þ N(20; -12; 16)
x -2 y -2 z-4
=
=
Phương trình đường thẳng D:
-7
9
6
Câu hỏi tương tự:
x y -1 z - 2
x -1 y - 3 z - 3
=
, ( P ) : x + 3y + 2z + 2 = 0 , M(2;2;4) . ĐS: D :
a) d : =
=
=
1
2
1
1
-1
1
x -2 y z+2
x -1 y - 2 z +1
b) d :
= =
, (P ) : 2 x + y - z + 1 = 0 , M(1;2; –1) . ĐS: D :
=
=
1
3
2
2
-9
-5
x - 2 y + 4 z -1
x -3 y +2 z+ 4
=
=
=
=
, ( P ) : 3 x - 2 y - 3z - 2 = 0 , M(3; -2; -4) . ĐS: D :
c)
-6
-2
5
9
3
2
Câu 13. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a ) : 3 x - 2 y + z - 29 = 0 và hai
điểm A(4; 4;6) , B(2;9;3) . Gọi E , F là hình chiếu của A và B trên (a ) . Tính độ dài đoạn
EF . Tìm phương trình đường thẳng D nằm trong mặt phẳng (a ) đồng thời D đi qua giao
điểm của AB với (a ) và D vuông góc với AB.
uuur
uuur r
19
r
· AB = (-2;5; -3), na = (3; -2;1) , sin( AB,(a )) = cos( AB, na ) =
532
EF = AB.cos( AB,(a )) = AB 1 - sin 2 ( AB,(a )) = 38 1 -
361
171
=
532
14
ìx = 6 + t
uur uuur uur
ï
é
ù
AB cắt (a ) tại K(6; -1;9) ; uD = AB, na = (1;7;11) . Vậy D : í y = -1 + 7t
ë
û
ïî z = 9 + 11t
Trang 18
Trần Sĩ Tùng
PP toạ độ trong không gian
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần
x -1 y z -1
= =
. Lập
2
1
1
phương trình đường thẳng D nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng
(d).
r
r
r r
· (P), (Q) lần lượt có VTPT là nP = (1; -2;1), nQ = (1; -3;3) Þ éë nP , nQ ùû = (-3; -2; -1)
lượt có phương trình: ( P ) : x - 2 y + z = 0, (Q) : x - 3y + 3z + 1 = 0, (d ) :
.
PTTS của (d): x = 1 + 2t, y = t, z = 1 + t . Gọi A = (d) Ç (D) Þ A(1 + 2t; t;1 + t ) .
Do A Ì (P) nên: 1 + 2t - 2t + 1 + t = 0 Û t = -2 Þ A(-3; -2; -1)
r
r
ìuD ^ nP
r
r r
Theo giả thiết ta có: í r
r Þ uD = éë nP , nQ ùû = (-3; -2; -1)
îuD ^ nQ
x + 3 y + 2 z +1
Vậy phương trình đường thẳng (D) :
=
=
.
3
2
1
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; -1), B(2;1;1), C (0;1;2) và
x -1 y +1 z + 2
=
=
. Lập phương trình đường thẳng D đi qua trực tâm của
-1
2
2
tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d).
uuur
uuur
uuur uuur
· Ta có AB = (1; -1;2), AC = (-1; -1;3) Þ ëé AB, AC ûù = (-1; -5; -2)
đường thẳng (d ) :
Þ phương trình (ABC): x + 5y + 2z - 9 = 0
uuur uuur
ì BH . AC = 0
ìa - b + 2c = 3
ìa = 2
ï uuur uuur
ï
ï
Gọi trực tâm của DABC là H (a; b; c) íCH .AB = 0 Û ía + b - 3c = 0 Û íb = 1 Þ H (2;1;1)
ï H Î ( ABC )
ïîa + 5b + 2c = 9
ïîc = 1
î
r
r
ìuD ^ nABC
r
r
r
Þ uD = ëé nABC , nd ûù = (12;2; -11)
Do (D) Ì (ABC) và vuông góc với (d) nên: í r
r
îuD ^ ud
x - 2 y -1 z -1
Þ PT đường thẳng D :
=
=
.
12
2
-11
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2 y - z + 5 = 0 , đường
x + 3 y +1 z - 3
=
=
và điểm A(-2;3;4) . Viết phương trình đường thẳng D nằm
2
1
1
trên (P), đi qua giao điểm của d và (P), đồng thời vuông góc với d. Tìm điểm M trên D sao
cho khoảng cách AM ngắn nhất.
r
r
ìuD ^ nP
ìD Ì ( P )
· Gọi B = d Ç (P) Þ B(-1; 0;4) . Vì í
nên í r
r .
îD ^ d
îuD ^ ud
ì x = -1 + t
ï
1 r r
r
.
Do đó ta có thể chọn uD = éë nP , ud ùû = (1; -1; -1) Þ PT của D: í y = -t
3
ïî z = 4 - t
thẳng d :
2
æ 1 ö 26
26
Giả sử M (-1 + t; -t; 4 - t ) Î D Þ AM = 3t - 2t + 9 = 3 ç t - ÷ +
³
3
3
è 3ø
æ 2 1 11 ö
æ 2 1 11 ö
1
Dấu "=" xảy ra Û t = Û M ç - ; - ; ÷ . Vậy AM đạt GTLN khi M ç - ; - ; ÷ .
3
è 3 3 3ø
è 3 3 3ø
Câu hỏi tương tự:
2
Trang 19
PP toạ độ trong không gian
Trần Sĩ Tùng
ìx = t
ï
ĐS: D : í y = -1
ïz = 4 + t
î
ìx = 1 - t
ï
a) ( P ) : 2 x + y - 2 z + 9 = 0 , d : í y = -3 + 2t .
ïî z = 3 + t
Câu 17. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm
D:
A(3; -1;1) , đường thẳng
x y -2 z
=
= , mặt phẳng ( P ) : x – y + z -5 = 0 . Viết phương trình của đường thẳng d đi
1
2
2
qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng D một góc 450 .
r r
r
· Gọi ud , uD lần lươt là các VTCP của d và D ; nP là VTPT của ( P).
r
r
r
Đặt ud = (a; b; c), (a2 + b2 + c2 ¹ 0) . Vì d nằm trong ( P) nên ta có : nP ^ ud
Þ a –b +c = 0 Û b = a +c
Theo gt: (d , D) = 450 Û
( 1 ).
a + 2b + 2c
2
2
2
a + b + c .3
=
2
Û 2(a + 2b + c)2 = 9(a2 + b2 + c 2 )
2
(2)
15a
7
ìx = 3 + t
ï
+ Với c = 0 : chọn a = b = 1 Þ PTTS của d là : í y = -1 – t
ïî z = 1
Thay (1) vào ( 2) ta có : 14c2 + 30ac = 0 Û c = 0; c = -
15a
: chọn a = 7, c = -15, b = -8 Þ.PTTS của d là:
+ Với c = 7
ì x = 3 + 7t
ï
í y = -1 –8t .
ïî z = 1 –15t
x - 3 y + 2 z +1
=
=
và mặt phẳng
2
1
-1
(P): x + y + z + 2 = 0 . Gọi M là giao điểm của d và (P). Viết phương trình đường thẳng D
Câu 18. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d:
nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M tới D bằng 42 .
ì x = 3 + 2t
r
r
ï
· PTTS d: í y = -2 + t Þ M(1; -3; 0) . (P) có VTPT nP = (1;1;1) , d có VTCP ud = (2;1; -1)
îï z = -1 - t
r
r r
Vì D nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP uD = ëéud , nP ûù = (2; -3;1)
uuuur
Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên D , khi đó MN = ( x - 1; y + 3; z) .
uuuur
ì MN ^ ur
ìx + y + z + 2 = 0
D
ï
ï
Ta có í N Î ( P )
Û í2 x - 3y + z - 11 = 0
Þ N(5; –2; –5) hoặc N(–3; – 4; 5)
2
2
2
ï MN = 42
ï( x - 1) + ( y + 3) + z = 42
î
î
x -5 y +2 z+5
=
=
2
-3
1
x +3 y +4 z-5
· Với N(–3; – 4; 5) Þ Phương trình của D :
=
=
.
2
-3
1
· Với N(5; –2; –5) Þ Phương trình của D :
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( a ): x + y - z - 1 = 0 , hai đường
thẳng (D):
x -1 y z
x y z +1
=
= , (D¢):
= =
. Viết phương trình đường thẳng (d) nằm
-1
-1 1
1 1
3
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
67 
402 
136 
