BÀI 1
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz, vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng (d) :
x y 2 0
sao cho giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) :
2x z 6 0
x2
y2
2x 2y 2z 1 0 laø ñöôøng troøn coù baùn kính r = 1.
z2
Caâu 2:
Cho laêng truï ABC.A'B'C' coù caùc maët beân ñeàu laø hình vuoâng caïnh a. Goïi D, F laàn
löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, C'B'. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A'B
vaø B'C'.
GIẢI
Caâu 1:
Maët phaúng (P) chöùa (d) coù daïng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0
(P) : (m 2n)x my nz 2m 6n 0
Maët caàu (S) coù taâm I(-1; 1; -1), baùn kính R = 2.
(P) caét (S) theo moät ñöôøng troøn giao tieáp (C) coù baùn kính r = 1
R2
d(I; P)
r2
3
m 2n m n 2m 6n
2
(m 2n)
m
2
n
5m2 22m.n 17n2
5m 2
Cho n 1
3
2
3. 2m 2 5n 2
4m 7n
0
22m 17
Vaäy, coù 2 maët phaúng (P):
0
m
17
5
1 hay m
(P1 ) : x y z 4
0
(P2 ) : 7x 17y 5z 4
0
Caâu 2:
.
A/
Caùch 1:
Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng
AB BC CA A / B/ B/ C/ C/ A / a
caùc tam giaùc ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu.
Ta coù: B/ C/ // BC B/ C/ //(A/ BC)
/
/
/
/
/
/
BC
H
C
A
B
(A/ BC)
1
a2
F
H
/
1
1
4
/ 2
2
A F FD
3a2
a 21
Vaäy, d(A/ B; B/ C/ ) FH
7
Trang 1
A/FD vuoâng coù:
1
FH2
FH
C/
B/
d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC))
BC FD
BC (A / BC)
Ta coù:
/
/
/
BC A D ( A BC caân taïi A )
Döïng FH A/ D
Vì BC (A/ BC)
4m.n
7
3a2
FH
a 21
.
7
D
Caùch 2:
Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng
ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a.
Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0),
a a 3
a a 3
B ;
;0 ,C
;
; 0 , A / (0; 0; a),
2 2
2 2
z
a
A
C/
/
B/
C
A
a a 3
a a 3
;
; a , C/
;
;a
2 2
2 2
Ta coù: B/ C/ // BC, B/ C/ // (A/ BC)
B/
x
D
y
B
d(B/ C/ ; A/ B) d(B/ C/ ; (A/ BC)) d(B/ ; (A/ BC))
a a 3
a a 3
A/ B
;
; a , A/ C
;
; a
2 2
2 2
2
3
3
3
/
/
2 a
[A B; A C]
0; a ;
a2 0; 1;
a2 .n, vôùi n
0; 1;
2
2
2
/
/
Phöông trình mp (A BC) qua A vôùi phaùp vectô n :
3
0(x 0) 1(y 0)
(z a) 0
2
3
a 3
(A/ BC) : y
z
0
2
2
a 3
3
a 3
a 3
.a
a 21
2
2
2
2
d(B/ (A / BC))
.
7
3
7
1
4
2
a 21
Vaäy, d(A/ B; B/ C/ )
.
7
BÀI 2
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) vaø ñöôøng thaúng
x 1 y 2 z 3
( ):
2
1
2
1. Tìm ñieåm M thuoäc ( ) ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3.
2. Tìm ñieåm N thuoäc ( ) ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát.
Caâu 2: (1,0 ñieåm)
Trang 2
Cho hình choùp S.ABC ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. SA = SB = SC, khoaûng
caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) laø h. Tính h theo a ñeå hai maët phaúng (SAB) vaø
(SAC) vuoâng goùc nhau.
GIẢI
Caâu 1:
1. Phöông trình tham soá cuûa (D):
x 1 2t
y
2 t
z 3 2t
M ( )
M(1 2t; 2 t; 3 2t)
AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)
[AB; AC] ( 3; 6; 6)
3(1; 2; 2)
3.n , vôùi n (1; 2; 2)
Phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô n : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.
1
1
9
SABC
[AB; AC]
( 3)2 ( 6)2 62
.
2
2
2
Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán (ABC):
1 2t 2( 2 t) 2(3 2t) 2
4t 11
MH d(M(ABC))
3
1 4 4
1 9 4t 11
Theå tích töù dieän MABC baèng 3
V
. .
3
3 2
3
5
17
4t 11 6
t
hay t
.
4
4
3 3 1
15 9 11
Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø: M
;
;
hay M
; ;
2 4 2
2 4 2
N(1 2t; 2 t; 3 2t)
2. N ( )
1
1
2
3 2
SABN
[NA; NB]
32t 2 128t 146
(4t 8)2 9
2
2
2
2
3 2
maxSABN
4t 8 0
t
2.
2
Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1).
Caâu 2:
S
Caùch 1:
Goïi O laø taâm cuûa ABC
I
SA SB SC
Ta coù:
OA OB OC ( ABC ñeàu)
A
SO laø truïc cuûa ñöôøng troøn (ABC)
SO (ABC)
Maø : AO
BC; SO
BC
BC
(SOA)
Döïng BI SA , suy ra: SA (IBC) SA
laø goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C).
BIC
Trang 3
BC
IC.
SA
C
O
B
M
SOA vuoâng coù: SA
2
SO
2
OA
2
h
2
a2
3
3h2
a2
3
3h2
SA
a2
3
Goïi M laø trung ñieåm BC
Ta coù: BM (SOA), BI SA
IM SA (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc)
MIA SOA
a 3
3
.
2
3h2 a2
SAC (c.c.c)
IB IC
MI
SO.
SAB
(SAB)
AM
SA
(SAC)
3ah
h.
2 3h2 a2
IBC caân taïi I.
1
IM
BC
IBC vuoâng caân taïi I
2
3ah
1
a
3h
3h2 a2
2
2
2
2 3h a
9h2
3h2 a2
h
a 6
.
6
Vaäy, h
a 6
.
6
z
S
Caùch 2:
Goïi H laø taâm cuûa ABC
vaø M laø trung ñieåm cuûa BC
SA SB SC
Ta coù:
HA HB HC ( ABC ñeàu)
Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
ñoâi moät vuoâng goùc A(0; 0; 0),
B
a a 3
;
;0 ,C
2 2
SA
0;
[SA; SB]
vôùi n1
H
M
z
y
B
a a 3
a 3
a 3
;
; 0 , H 0;
; 0 , S 0;
;h .
2 2
2
3
a 3
; h , SB
3
a a 3
;
;
2 6
h , SC
a a 3
;
;
2 6
h
a2 3
6
a
(3h 3; 3h; a 3)
6
a
.n1,
6
ah a2 3
;
2
6
a
(3h 3; 3h; a 3)
6
a
.n 2 ,
6
ah 3 ah
; ;
2
2
(3h 3; 3h; a 3)
[SA; SC]
vôùi n2
C
A
ah 3
;
2
(3h 3; 3h; a 3) .
Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông SA; SB neân coù phaùp vectô
Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông SA; SC neân coù phaùp vectô
(SAB) (SAC) cos(n1; n 2 ) 0
Trang 4
n1 .
n2 .
27h 2 9h 2 3a2
3h 3.3h 3 3h.3h a 3( a 3) 0
18h2
Vaäy: h
3a2
h
0
a 6
.
6
a 6
.
6
BÀI 3
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz cho ñöôøng thaúng (d) vaø maët caàu (S):
(d) :
2x 2y z 1 0
;
x 2y 2z 4 0
(S) :x 2
y2 z2
4x 6y m
0
Tìm m ñeå (d) caét (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho MN = 8.
Caâu 2:
Cho töù dieän OABC coù ñaùy laø OBC vuoâng taïi O, OB = a, OC = a 3, (a
0) vaø
ñöôøng cao OA a 3 . Goïi M laø trung ñieåm caïnh BC. Tính khoaûng caùch giöõa hai
ñöôøng thaúng AB vaø OM.
GIẢI
Caâu 1:
Maët caàu (S): (x 2)2 (y 3)2
I(-2; 3; 0), baùn kính R IN
MH
Döïng IH MN
IH
IN2 HN2
z
2
M
13 m coù taâm
13 m , vôùi m < 13.
HN 4
13 m 16
y 1
z
1
;1
2
N
I
m 3 , vôùi m < -3.
x t
Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d):
(d) coù vectô chæ phöông u 1;
AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6;
H
1
t
2
1 t
1
(2; 1; 2) vaø ñi qua ñieåm A(0; 1; -1)
2
6)
Trang 5
Khoaûng caùch h töø I ñeán ñöôøng thaúng (d):
[AI; u]
32 62 62
81
h
3.
u
9
22 12 22
Ta coù: IH = h
m 3 3
m 3 9
Vaäy, giaù trò caàn tìm: m = -12.
12 (thoûa ñieàu kieän)
m
Caâu 2:
Caùch 1:
Goïi N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua O.
Ta coù: OM // BN (tính chaát ñöôøng trung bình)
OM // (ABN)
d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).
Döïng OK
Ta coù: AO
BN, OH
AK (K BN; H AK)
(OBC); OK
BN
AK
BN
BN
OK; BN
AK
BN
(AOK)
BN
OH
OH
AK; OH
BN
OH
(ABN)
d(O; (ABN) OH
Töø caùc tam giaùc vuoâng OAK; ONB coù:
1
OH2
1
OA2
1
OK2
1
OA2
Vaäy, d(OM; AB) OH
1
OB2
1
ON2
1
3a2
1
a2
1
3a2
5
3a2
OH
z
a 15
.
5
a 3 A
Caùch 2:
N
Döïng heä truïc Oxyz, vôùi Ox, Oy, Oz
ñoâi moät vuoâng goùc O(0; 0; 0),
A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0),
M
a 15
5
C
O
a a 3
a 3 a 3
;
; 0 vaø N 0;
;
2 2
2
2
B
a 3
M
a
x
laø trung ñieåm cuûa AC.
MN laø ñöôøng trung bình cuûa ABC
AB // MN
AB // (OMN) d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).
a a 3
a 3 a 3
OM
;
; 0 , ON
0;
;
2 2
2
2
[OM; ON]
3a2 a2 3 a2 3
;
;
4
4
4
a2 3
4
3; 1; 1
a2 3
n , vôùi n ( 3; 1; 1)
4
Phöông trình mp (OMN) qua O vôùi phaùp vectô n : 3x y z
Trang 6
0
y
Ta coù: d(B; (OMN))
Vaäy, d(AB; OM)
3.a 0 0
3 1 1
a 3
5
a 15
5
a 15
.
5
BÀI 4
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz cho maët phaúng ( ) : 2x – y + z – 5 = 0. Vieát phöông trình maët
phaúng (P) qua giao tuyeán cuûa ( ) vaø maët phaúng (xOy) vaø (P) taïo vôùi 3 maët phaúng
125
toïa ñoä moät töù dieän coù theå tích baèng
.
36
Caâu 2:
Cho hình choùp SABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, AB = AC = a
(a > 0), hình chieáu cuûa S treân ñaùy truøng vôùi troïng taâm G cuûa ABC. Ñaët SG = x
(x > 0). Xaùc ñònh giaù trò cuûa x ñeå goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C) baèng 60o.
GIẢI
Caâu 1:
Phöông trình maët phaúng (xOy): z = 0
Phöông trình maët phaúng (P) thuoäc chuøm xaùc ñònh bôûi ( ) vaø (xOy) coù daïng:
(P) : 2mx my (m n)z 5m 0
m(2x – y + z – 5) – nz = 0
Giao ñieåm A, B, C cuûa (P) vaø 3 truïc Ox, Oy, Oz laàn löôït coù toïa ñoä:
5
5m
A ; 0; 0 , B(0; 5; 0), C 0; 0;
2
m n
Theå tích töù dieän OABC baèng
125
1
1 5
5m
125
V
.OA.OB.OC
. .5.
36
6
6 2 m n
36
m n 3m
m 1, n 2
m n 3m
m n
3m
m 1, n
4
Vaäy, coù 2 phöông trình maët phaúng (P):
(P1 ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n
(P2 ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n
Caâu 2:
. Caùch 1:
Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC
AM BC ( ABC vuoâng caân)
Ta coù: SG
(ABC)
Suy ra: BC (SAM)
IM
Döïng BI SA
SG
2)
4)
S
I
C
BC .
SA vaø IC
SA
Trang 7
A
G
B
M
laø goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C).
BIC
SAB
SAC (c.c.c)
IB IC
IBC caân taïi I.
1
a 2
a 2
BC
; AG
2
2
3
AM
a 2
1
SG.
x.
.
AS
2
SG 2 AG 2
BC a 2; AM BM MC
AIM ~ AGS
IM
IM
60o
Ta coù: BIC
Vaäy, x
3ax 2
2 9x2
2a2
30o
BIM
9x 2
2a2
18x 2
2a2
ax 2
2 x
2
2a2
9
.
BM
3x 3
a
.
3
IM.tg30o
a 2
2
3.3ax 2
2 9x 2
9x 2
2a2
27x 2
9x 2
a2
x
2a2
a
.
3
z
Caùch 2:
x
BC a 2
Goïi M laø trung ñieåm BC
a 2
a 2
AM
; AG
2
3
F
A
Goïi E, F laàn löôït laø hình chieáu cuûa G
G
treân AB, AC. Töù giaùc AEGF laø hình vuoâng
E
M
a
B
AG AE 2
AE AF
.
3
x
Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
a a
a a
C(0; a; 0), G ; ; 0 , S ; ; x .
3 3
2 2
a a
2a a
a 2a
SA
; ; x , SB
;
; x , SC
; ; x
3 3
3
3
3 3
a2
a
a
[SA; SB]
0; ax;
a 0; x;
a.n1 , vôùi n1
0; x;
3
3
3
a2
a
a
[SA; SC] ( ax; 0; )
a x; 0;
a.n 2 , vôùi n2
.
x; 0;
3
3
3
Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông SA, SB neân coù phaùp vectô
Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông SA, SC neân coù phaùp vectô
Goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C) baèng 60o.
Trang 8
C
y
n1
n2
0.x x.0
cos60o
0 x
1
2
a2
2
2
9x a
a
.
Vaäy, x
3
2
a a
3 3
a2 2
x
9
9x 2
a2
a2
0
9
2a2
a2
9
9x2 a2
9
9x 2
a2
x
a
.
3
BÀI 5
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz, tìm treân Ox ñieåm A caùch ñeàu ñöôøng thaúng
(d) :
x 1 y
1
2
z 2
vaø maët phaúng ( ) : 2x – y – 2z = 0.
2
Caâu 2:
Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng 2a 2 , SA vuoâng
goùc vôùi (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, BC. Tính
goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SE vaø AF.
GIẢI
Caâu 1:
Goïi A(a; 0; 0)
Ox .
Khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng ( ) : d(A; )
2a
22 12
( ) qua M 0 (1; 0; 2) vaø coù vectô chæ phöông u (1; 2; 2)
Ñaët M0M1 u
Do ñoù: d(A; ) laø ñöôøng cao veõ töø A trong tam giaùc AM 0 M1
[AM0 ; u]
2.SAM0M1
8a2 24a 36
d(A; )
M0 M1
u
3
Theo giaû thieát: d(A; ) = d(A; )
Trang 9
22
2a
3
2a
8a2 24a 36
4a2
3
3
4(a 3)2 0
a 3.
Vaäy, coù moät ñieåm A(3; 0; 0).
8a2 24a 36
4a2 24a 36
Caâu 2:
Caùch 1:
Goïi M laø trung ñieåm cuûa BF
EM // AF
(SA;
AF) (EM;
AF) SEM
SAE vuoâng taïi A coù:
SE2 SA2 AE a2 2a2
AF
2a 2. 3
2
S
SA2 AB2
A
H
SE a 3
a 6
EM BM MF
SB2
3a2
K
Vì AF // ME
F
M
a 6
; BF a 2
2
a2 8a2 9a2
SB 3a
ME; AH
B
2
2
a 2
vaø AH
2
d(AF; (SME)) AH.
SK. Ta coù: AK
d(SE; AF)
1
1
1
2
2
AH
SA AK2
a 3
Vaäy, d(SE; AF)
.
3
Caùch 2:
Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0),
SAK vuoâng coù:
C
E
SF2 SA2 AF2 a2 6a2 7a2
SF a 7
AÙp duïng ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán SM trong SBF coù:
1 2
SB2 SF 2 2.SM 2
BF
2
1 2
15a2
9a2 7a2 2SM2
.2a
SM2
2
2
Goïi laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF
AÙp duïng ñònh lyù haøm Coâsin vaøo SEM coù:
3a2 15a2
3a2
2
2
2
ES EM SM
2
2
cos
cosSEM
2.ES.EM
a 6
2.
.a 3
2
45o.
Döïng AK
0
MF
1
a2
2
a2
3
a2
2
.
2
(SME)
a 3
3
AH
z
a S
C
A
Trang 10
x
E
M
B
F
y
B(a 2; a 6; 0), C( a 2; a 6; 0), S(0; 0; a),
E
a 2 a 6
;
; 0 ; F(0; a 6; 0)
2
2
vaø M
a 2
; a 6; 0 .
2
SE
a 2 a 6
;
; a ; AF
2
2
Goïi
laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF.ta coù:
cos
cos(SE; AF)
0.
(a; a 6; 0), SM
a 2
2
a 6
0( a)
2
a2 3a2
0.
a2
2
2
a 6.
0 6a2
a 2
; a 6; a
2
3a2
a 6.a 3
2
.
2
45o.
a2 6
a2 3
a2 3
a2 3
[SE; SM]
; 0;
( 2; 0; 1)
n, vôùi n ( 2; 0; 1)
2
2
2
2
Phöông trình maët phaúng (SEM) qua S vôùi phaùp vectô n : 2x z a 0.
0 0 a a 2
Khoaûng caùch töø A ñeán (SEM): d(A;SEM)
3
2 1
Vì AF // EM
AF //(SEM)
Vaäy, d(SE; AF)
d(SE; AF)
d(A; SEM)
a 3
.
3
ĐỀ 6
Caâu 1:
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) vaø maët caàu (S):
(P): 2x 2y z m2 3m 0 ;
(S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2
9.
Tìm m ñeå (P) tieáp xuùc (S). Vôùi m tìm ñöôïc xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm.
Caâu :
Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, BC = 2a, caïnh SA
vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M laø trung ñieåm SC. Chöùng minh MAB caân vaø
tính dieän tích MAB theo a.
LỜI GIẢI
Caâu 1:
(P) : 2x 2y z m2 3m 0
Trang 11
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
(S) : (x 1)2 (y 1)2 (x 1)2
(P) tieáp xuùc (S)
d[I, (P)]
9 coù taâm I(1; -1; 1) vaø baùn kính R = 3.
R
2.1 2.( 1) 1.1 m2 3m
3
22 22 12
m
2
3m 1
m2 3m 1 9
9
m2 3m 1
m 2
m
5
9
Vaäy, (P) tieáp xuùc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi ñoù (P): 2x + 2y + z – 10 = 0
Ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc vôùi (P) coù phöông trình:
x 1 y 1 z 1
2
2
1
x 3
2x 2y z 10 0
Toïa ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä:
y 1
x 1 y 1 z 1
2
2
z 2
1
Vaäy, toïa ñoä tieáp ñieåm M(3; 1; 2).
S
Caâu 2:
Caùch 1:
Ta coù: SA
(ABC)
SA
M
AC.
Do ñoù SAC vuoâng taïi A coù AM laø
1
SC.
trung tuyeán neân MA
2
SA (ABC)
Ta laïi coù:
AB BC ( ABC vuoâng taïi B)
SB
A
K
B
BC (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc)
Do ñoù SBC vuoâng taïi B coù BM laø trung tuyeán neân MB
Suy ra: MA = MB
MAB caân taïi M.
Döïng MH // SA vaø HK // BC (H AC; K
vì:
SA
BC
C
H
(ABC)
AB
MHK vuoâng taïi H coù: MK2
Dieän tích MAB: SMAB
1
SA a
2
1
BC a
2
HK
MH2 HK2
1
.MK.AB
2
Caùch 2:
ABC vuoâng taïi B coù:
AC2 AB2 BC2 a2 4a2
AB)
MH
MH (ABC)
HK AB
1
SC.
2
a2 a2
1
.a 2.a
2
2a2
MK a 2
a2 2
2
z
5a
2
2a
S
AC a 5
Trang 12
M
H
C
y
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
Döïng BH
AC (H AC), ta coù:
AB2
a2
a
AH
AC a 5
5
1
1
1
5
2
2
2
BH
AB BC
4a2
2a
BH
5
Döïng heä truïc toïa vuoâng goùc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc vaø
2a a
A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B
;
; 0
5 5
Toïa ñoä trung ñieåm M cuûa SC laø M 0;
Ta coù: MA
MB
0;
a 5
;a
2
a 5
3a
;a
MA
2
2
2a 3a
3a
;
; a
MB
.
2
5 2 5
suy ra: MA = MB
Ta coù: [MA; MB]
Dieän tích MAB: SMAB
MAB caân taïi M.
a2
;
5
2a2 2
;a
5
1
[MA; MB]
2
[MA; MB]
1 2
.a 2
2
a2 2
a2 2
.
2
BÀI 7
Caâu 1:
Cho hình choùp ñeàu S.ABC, ñaùy ABC coù caïnh baèng a, maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc
baèng (0o
90o ) . Tính theå tích khoái hình choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñænh
A ñeán maët phaúng (SBC).
Caâu 2:
. Trong khoâng gian oxyz cho hai ñöôøng thaúng:
x 2t
x y 3 0
(d1) : y t ;
(d2) :
4x 4y 3z 12 0
z 4
Chöùng minh (d1) vaø (d2) cheùo nhau. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù ñöôøng kính
laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa (d1) vaø (d2).
GIẢI
Caâu 1:
S
Caùch 1:
Trang 13
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC.
Do S.ABC ñeàu vaø ABC ñeàu neân
chaân ñöôøng cao ñænh S truøng vôùi
giao ñieåm ba ñöôøng cao laø tröïc taâm O
cuûa ABC vaø coù SBC caân taïi S.
suy ra: BC SH, BC AH, neân SHA
Ta coù: OH
1
AH
3
.
a 3
.
6
SHO vuoâng goùc: SO HO.tg
a 3
tg vaø SH
6
HO
cos
a 3
6.cos
1
1 a 3
a2 3
.SO.SABC
.
tg .
3
3 6
4
2
1
a 3
.SH.BC
2
12.cos
a3tg
24
Theå tích hình choùp S.ABC: V
Dieän tích SBC: SSBC
Goïi h laø khoaûng caùch töø A ñeán (SBC), ta coù:
V
1
.h.SSBC
3
h
3.V
SSBC
3.
a3tg
a2 3
:
24 12 cos
Caùch 2:
Vì S.ABC laø hình choùp ñeàu
neân chaân ñöôøng cao ñænh S truøng
vôùi taâm O ñöôøng troøn (ABC).
Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Ta coù:
-
AO
-
AM
a 3
sin
2
z
S
2
AM
3
a 3
a 3
vaø OM
3
6
BC, SM BC
SMA
C
A
O
-
M
y
SOM vuoâng coù:
B
a 3
x
SO OM.tg
tg
6
Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0),
a a 3
a a 3
a 3
a 3
a 3 a 3
B ;
; 0 ,C
;
; 0 ,M 0;
; 0 , O 0;
; 0 , S 0;
;
tg
2 2
2 2
2
3
3
6
Theå tích hình choùp: V
Ta coù: BS
[BS; BC]
a
;
2
0;
1
.SO.SABC
3
a 3 a 3
;
tg
6
6
a2 3
tg ;
6
a2 3
6
a3tg
24
, BC ( a; 0; 0)
n
Phöông trình maët phaúng (SBC) qua B vôùi vectô phaùp tuyeán n :
Trang 14
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
O x
a
2
a2 3
tg
6
y
a 3
2
a2 3
(z 0)
6
0
a 3
tg
0.
2
Khoaûng caùch d töø A ñeán (SBC):
(SBC) : tg y z
tg .O O
d
tg2
a 3
tg
2
1
a 3
tg
2
1
cos
a 3
sin .
2
Caâu 2:
(d1) ñi qua ñieåm A(0; 0; 4) vaø coù vectô chæ phöông u1
(2; 1; 0)
(d2) ñi qua ñieåm B(3; 0; 0) vaø coù vectô chæ phöông u2 (3; 3; 0)
AB (3; 0; 4)
AB.[u1; u2 ] 36 0 AB, u1, u2 khoâng ñoàng phaúng.
Vaäy, (d1) vaø (d2) cheùo nhau.
x 3 t/
(d2) coù phöông trình tham soá:
y
t/
z 0
Goïi MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa (d1) vaø (d2)
M (d1 )
M(2t; t; 4) , N (d2 )
N(3 t / ; t / ; 0)
MN (3 t / 2t; t / t; 4)
MN u1
2(3 t / 2) (t / t) 0
t/
1
Ta coù:
t 1
3 t / 2t (t / t) 0
MN u2
BÀI 8
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz coù 2 maët phaúng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0,
(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 vaø 2 ñöôøng thaúng:
Trang 15
N(2; 1; 0)
1
MN 2.
2
(z 2)2 4.
Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa MN: I(2; 1; 2), baùn kính R
Vaäy, phöông trình maët caàu (S): (x 2)2 (y 1)2
M(2; 1; 4)
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
(d1):
x 5 y 3 z 1
;
2
4
3
(d 2 ) :
x 3 y 1 z 2
2
3
4
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ( ) song song vôùi hai maët phaúng (P) vaø (Q),
vaø caét hai ñöôøng thaúng (d1) vaø (d2).
Caâu 2:
Cho hình laäp phöông ABCD . A'B'C'D' caïnh a. M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB
vaø C'D'. Tính khoaûng caùch töø B' ñeán (A'MCN).
GIẢI
Caâu 1:
(P) coù phaùp vectô nP
/
/
(3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n P , vôùi n P
(Q) coù phaùp vectô nQ (3; 4; 9)
(d1) coù vectô chæ phöông u1 (2; 4; 3)
(d2) coù vectô chæ phöông u2 ( 2; 3; 4)
(
/
)
(P)
P
nq Q
np
(Q)
/
(d1 ) (P ), (d 2 )
u u /
u
P/
(P / )//(P), (Q / )//(Q)
Goïi:
(1; 4; 1)
Q/
u1
/
(Q )
A
d1
/
u2
B
d2
Suy ra ( ) laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P )
vaø (Q/), vaø ( ) // ( /).
/
/
( ) coù vectô chæ phöông u [nP ; nQ ] (32; 12; 16) 4(8; 3; 4) 4u ,
/
vôùi u (8; 3; 4).
/
mp (P/) coù caëp vectô chæ phöông u1 vaø u neân coù phaùp vectô:
/
n P/ [u1; u ] (25; 32; 26)
Phöông trình mp (P/) chöùa (d1) ñi qua ñieåm A(-5; 3; -1) (d1 ) vôùi n P/ laø:
25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0
(P ) : 25x 32y 26z 55 0
/
mp (Q/) coù caëp vectô chæ phöông u 2 vaø u neân coù phaùp vectô:
/
nQ/ [u2 ; u ] (0; 24; 18)
/
Phöông trình mp (Q/) chöùa (d2) ñi qua ñieåm B(3; -1; 2)
0(x 3) 24(y 1) 18(z 2) 0
/
(Q ) : 4y 3x 10 0
Ta coù: ( ) (P/ )
(d 2 ) vôùi n Q/ laø:
(Q/ ).
Vaäy, phöông trình ñöôøng thaúng ( ) :
25x 32y 26z 55 0
4y 3z 10
Trang 16
0
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
Caâu 2:
Caùch 1:
Boán tam giaùc vuoâng AA/ M, BCM, CC/ N, A/ D/ N baèng nhau (c.g.c)
/
A M MC CN NA
A/ MCN laø hình thoi.
/
D/
A/
C/
N
B/
Hai hình choùp B/A/MCN vaø B/.A/NC coù chung
ñöôøng cao veõ töø ñænh B/ vaø SA/ MCN
neân: VB/ .A/ MCN
Maø: VB/ .ANC
SA/ MCN
D
2.VB/ .A/ NC.
VC.A/ B/ N
Ta coù: SA / MCN
2.SA/ NC
A
1
.CC/ .SA/ B/ N
3
a3
6
1 1
.a. .a.a
3 2
VB/ .A/ MCN
1 /
.A C.MN, vôùi A/ C a 3; MN BC/
2
BH
a3
.
3
a 2
a2 6
.
2
Goïi H laø hình chieáu cuûa B/ treân (A/MCN), ta coù: VB/ .A / MCN
/
M
3.VB/ .A/ MCN
a3 a2 6
3. :
3
2
SA/ MCN
1 /
.B H.SA / MCN
3
a 6
.
3
Caùch 2:
Choïn heä truïc Dxyz, vôùi Dx, Dy, Dz
ñoâi moät vuoâng goùc,
A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0),
D(0; 0; 0), A/(a; 0; a),
B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a),
a
a
M a; ; 0 , N 0; ; a
2
2
Ta coù: A / C ( a; a; a), MN ( a; 0; a)
[A / C; MN] (a2 ; 2a2 ; a2 ) a2 (1; 2; 1)
a2 .n vôùi n (1; 2; 1).
z
/
a D
A
x
a
Khoaûng caùch d töø B/(a; a; a) ñeán mp(A/MCN):
1 4 1
Trang 17
C
a y
D
(A/ MCN) : x 2y z 2a 0.
a 2a a 2a
C/
A/
M
Phöông trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) vôùi phaùp vectô n :
1(x 0) 2(y a) 1(z 0) 0
d
N
2a
6
a 6
.
3
B
C
B
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
ĐỀ 9
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng:
x t
x t'
(d1) : y 4 t ;
vaø (d2) : y 3t ' 6
z
6 2t
z
t' 1
Goïi K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm I(1; -1; 1) treân (d2). Tìm phöông trình
tham soá cuûa ñöôøng thaúng qua K vuoâng goùc vôùi (d1) vaø caét (d1).
Caâu 2:
1. Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC, bieát ñaùy ABC laø moät tam giaùc ñeàu caïnh a,
maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn laïi cuøng taïo vôùi ñaùy goùc .
GIẢI
Caâu 1:
(d1) coù vectô chæ phöông u1 (1; 1; 2)
(d2) coù vectô chæ phöông u2 (1; 3; 1)
IK (t / 1; 3t / 5; t / 2)
18
18 12 7
t / 1 9t / 15 t / 2 0
t/
K
;
;
11
11 11 11
Giaû söû ( ) caét (d1) taïi H(t; 4 t; 6 2t), (H (d1 ))
18
56
59
HK
t;
t;
2t
11
11
11
18
56
118
26
HK u1
t
t
4t 0
t
11
11
11
11
30
7
1
HK
4;
;
(44; 30; 7).
11 11 11
18
x
44
11
12
Vaäy, phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ( ): y
30 .
11
7
z
7
11
K (d2 )
IK u2
Caâu 2:
Caùch 1:
Döïng SH
K(t / ; 3t /
6; t / 1)
AB
S
Trang 18
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
Ta coù:
(SAB)
SH
(ABC), (SAB)
(SAB)
(ABC) vaø SH laø ñöôøng cao cuûa hình choùp.
Döïng HN
SN
(ABC) AB, SH
BC, HP
BC, SP
SHN = SHP
AC
SNH
AC SPH
HN = HP.
AHP vuoâng coù: HP
SHP vuoâng coù: SH
HA.sin60o
HP.tg
Theå tích hình choùp S.ABC : V
Caùch 2:
Döïng SH AB
Ta coù: (SAB) (ABC), (SAB)
a 3
.
4
a 3
tg
4
1
.SH.SABC
3
1 a 3
a2 3
.
.tg .
3 4
4
(ABC) B, SH
Vì (SAC) vaø (SBC) cuøng taïo vôùi (ABC) moät goùc
H laø trung ñieåm AB.
Döïng heä truïc toïa ñoä Hxyz, vôùi Hx, Hy, Hz
ñoâi moät vuoâng goùc, H(0; 0; 0),
a
a
A ; 0; 0 ; B
; 0; 0 ,
2
2
C 0;
a 3
; 0 , S(0; 0; h), (h
2
(SAB)
SH
z
h S
B
A
x
Trang 19
C
H
Phöông trình mp (ABC):
z = 0, vôùi phaùp vectô n1 (0; 0;1)
(SAC) : 2h 3x 2hy a 3z ah 3 0
(SAC) taïo vôùi (ABC) moät goùc :
0 0 a 3
cos
0 0 1. 12h2 4h2
1
16h 2 3a2
2
1
tg
cos2
3a2
3a2 tg2
a 3
2
h
h
tg
16
4
1
Theå tích hình choùp S.ABC: V
.h.SABC
3
(ABC)
vaø ABC ñeàu, neân suy ra
0).
Phöông trình mp (SAC):
x
y
z
1
a a 3 h
a3
tg
16
vôùi n2
a 3
2
a
2
(2h 3; 2h; a 3)
a 3
3a2
16h 2 3a2
1 a 3
a2 3
.
tg .
3 4
4
a3
tg .
16
y
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!
ĐỀ 10
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng:
x 3 y 1 z 1
x 7 y 3 z 9
; ( 2 ):
( 1) :
7
2
3
1
2
1
1. Laäp phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng ( 3) ñoái xöùng vôùi ( 2) qua ( 1).
2. Xeùt maët phaúng ( : x + y + z + 3 = 0. Vieát phöông trình hình chieáu cuûa ( 2) theo
phöông ( 1) leân maët phaúng ( ).
3. Tìm ñieåm M treân maët phaúng ( ) ñeå MM1 MM 2 ñaït giaù trò nhoû nhaát bieát M1(3; 1;
1) vaø M2(7; 3; 9).
Caâu 2:
Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB = AC = a, goùc
120 o , caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'. Chöùng minh AB'I vuoâng
BAC
taïi A vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB'I).
GIẢI
Caâu 1:
x 3 7t1
1.
( 1 ) : y 1 2t1 coù vectô chæ phöông u1
( 7; 2; 3)
z 1 3t1
x
(
7 7t 2
3 2t 2
2) : y
z 9 t2
qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) vaø
coù vectô chæ phöông u2 (1; 2; 1)
Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân ( 1)
H ( 1)
H(3 7t1; 1 2t1; 1 3t1 )
AH ( 4 7t1; 2 2t1; 8 3t1 )
AH u1
7( 4 7t1 ) 2( 2 2t1 ) 3( 8 3t1 ) 0
t1 0
H(3; 1; 1)
B
A
u1
H
K
A/
B/
Goïi A/ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua H
A/(-1; -1; -7)
Goïi K laø hình chieáu cuûa B treân ( 1) vaø B/ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua K.
Töông töï nhö treân ta tìm ñöôïc:
114 25 22
20 105 204
K
; ;
B/
;
;
31 31 31
31
31
31
11 74 13
1
1
A/ B/
;
;
(11; 74; 13)
.a vôùi a (11; 74; 13)
31 31 31
31
31
Phöông trình ñöôøng thaúng ( 3) ñoái xöùng vôùi ( 2) qua ( 1) chính laø phöông trình
ñöôøng thaúng A / B/ qua A/ vôùi vectô chæ phöông a .
Trang 20
- Xem thêm -
.PDF 
22 
291 
83 
