hoctoancapba.com
HỒ XUÂN TRỌNG
1000 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
NĂM 2014-2015
TẬP 9
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐĂK NÔNG
KỲ THI KHẢO SÁT LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút;
(không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1. (2.0 điểm) Cho hàm số y =
2x +1
có đồ thị (C ) .
x +1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1 .
1
Bài 2. (1.0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x( x − 1)2 dx
0
Bài 3. (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (1; −2;3) và mặt
phẳng ( P ) có phương trình x − 2 y + 2 z − 5 = 0 .
1. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) .
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng ( P ) .
Bài 4. (1.0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' , có đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B . Biết AB = 3 cm , BC ' = 3 2 cm .
1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho;
2. Tính góc hợp bởi đường thẳng BC ' và mp ( ACC ' A ') .
2
π
π
Bài 5. (1.0 điểm) Giải phương trình sin − 2 x + sin + x =
.
4
4
2
Bài 6. (1.0 điểm) Với các chữ số của tập hợp {0;1; 2;3; 4;5} , viết được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có hai chữ số 1, ba chữ số còn lại khác nhau từng đôi và
khác 1.
Bài 7. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy các điểm A( 2; 2) , B(2 2;0) và
C ( 2; − 2) . Các đường thẳng (d1) và (d2) cùng đi qua gốc tọa độ và hợp với nhau góc
45o. Biết rẳng (d1) cắt đoạn AB tại M và (d2) cắt đoạn BC tại N. Khi tam giác OMN có
diện tích bé nhất, hãy tìm M và viết phương trình các đường thẳng (d1) và (d2)
3 x + 2 y + 4 xy = 3 x 2 − 4 y 2
Bài 8. (1.0 điểm) Giải hệ phương trình sau
.
x + y + 4 = 2 2 x + 2 y − xy
(
)
Bài 9. (1.0 điểm) Với các số dương x và y có tổng bé hơn 1.
Chứng minh rằng
1 4
9
+ +
≥ 36 .
x y 1− x − y
1
3
hoctoancapba.com
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH ĐĂK NÔNG
KỲ THI KHẢO SÁT LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút;
(không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài
1
HƯỚNG DẪN CHẤM
Đáp án
Điểm
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y =
2x +1
.
x +1
1,0
Tập xác định: D = \ {−1}
Giới hạn: lim y = 2 , lim y = 2 , suy ra y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị
x →+∞
x →−∞
0,25
lim y = −∞, lim− y = +∞ , suy ra x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị
x →−1+
x →−1
Đạo hàm: y ' =
1
( x + 1)
2
> 0, ∀x ≠ −1
Bảng biến thiên:
x
-1
-∞
+∞
+
y'
+∞
y
2
0,25
+
2
-∞
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( −1; +∞ )
Hàm số không có cực trị
Đồ thị:
0,5
Với x = 0 ta có y = 1
Với x = – 2 ta có y = 3
1
4
hoctoancapba.com
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1 .
1,0
Giả sử M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm.
x0 = 0
=1⇔
( x0 + 1)
x0 = −2
Với x0 = 0 ⇒ y0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến là: y = x + 1
Theo giả thiết ta có y '( x0 ) = 1 ⇔
1
Với x0 = −2 ⇒ y0 = 3 . Phương trình tiếp tuyến là: y = x + 5
2
0,5
2
0,25
0,25
1
Tính tích phân I = ∫ x( x − 1) 2 dx
1,0
0
1
Ta có I = ∫ ( x 3 − 2 x 2 + x)dx
0,25
0
1
x 4 2 x3 x 2
= −
+
4
3
2 0
1
I=
12
3
0,5
0,25
1. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) là:
d ( M , ( P )) =
1 − 2( −2) + 2.3 − 5
1+ 4 + 4
= 2 (đơn vị độ dài)
2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M và song song với mặt
phẳng ( P) .
Mặt phẳng ( P) có véctơ pháp tuyến n = (1; −2;2 ) . Vì ( Q ) //( P ) nên
n = (1; −2;2 ) cũng là một véctơ pháp tuyến của (Q) .
4
Phương trình của mặt phẳng (Q) là: 1.( x − 1) − 2.( y + 2) + 2( z − 3) = 0
Hay x − 2 y + 2 z − 11 = 0
1. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho;
Vẽ hình:
0,5
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
2
5
hoctoancapba.com
A
B
H
C
B'
A'
C'
Diện tích đáy của khối lăng trụ: S =
9
(cm2)
2
Chiều cao của khối lăng trụ: h = CC ' = BC '2 − BC 2 = 3 (cm)
9
27
cm3 )
(
2
2
2. Tính góc hợp bởi đường thẳng BC ' và mp ( ACC ' A ') .
Gọi H là trung điểm của cạnh AC , suy ra HC ' là hình chiếu của BC ' lên
mặt phẳng ( ACC ' A ') .
Do đó
BC ', ACC ' A ' =
BC ', HC '
Thể tích của khối lăng trụ đã cho: V = S .h = .3 =
(
(
)) (
)
3 2
cm .
2
BH 1
Ta có sin HC
'B =
= ⇒ HC
' B = 30o . Vậy (
BC ', ( ACC ' A ' ) ) = 30o
BC ' 2
Ta có tam giác BHC ' vuông tại H , cạnh BH =
5
Biến đổi phương trình đã cho thành
π
π
π
sin − 2 x − sin = − sin + x
4
4
4
π
π
⇔ 2 cos − x sin ( − x ) = − sin + x
4
4
π
π
⇔ 2 cos − x sin ( x ) = cos − x
4
4
π
π
π
π
Với cos − x = 0 , ta có − x = + kπ hay là x = − + kπ
4
2
4
4
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25đ
0,25đ
0,25đ
3
6
hoctoancapba.com
6
7
π
x = + k 2π
1
Với s in ( x ) = , ta có 6
2
x = 5π + k 2π
6
π
x = − 4 + kπ
π
Ta có 3 họ nghiệm x = + k 2π
6
x = 5π + k 2π
6
0,25đ
Trường hợp trong số tự nhiên có chữ số 0:
Có 4.C42 . A42 = 288 số tự nhiên
(Có 4 cách đưa số 0 vào các hàng của số tự nhiên, mỗi cách chọn số 0 ta
có C42 cách đưa số 1 vào hai hàng của số tự nhiên. Còn lại 2 hàng, có
A42 cách chọn 2 chữ số (trong các chữ số 2, 3, 4, 5) để đưa vào).
Trường hợp trong số tự nhiên không có chữ số 0:
Có C52 . A43 = 240 số tự nhiên.
Kết quả có 528 số tự nhiên.
Gọi α là góc giữa (d1) với chiều dương trục hoành, β là góc giữa (d2) với
chiều dương trục hoành, với α + β = 45o.
0,5đ
0,5đ
0,25đ
2
OM =
cos α
Ta có
.
ON = 2
cos β
Như vậy tam giác OMN có diện tích là
1
S = .OM .ON .sin 45o
2
Hay là S =
2
2 cos α .cos β
Hay là S =
2
cos 45 + cos (α − β )
o
Tam giác OMN có diện tích bé nhất với điều kiện cos (α − β ) = 1 , tức là
α=β .
Và ta có α = β =
π
8
, do đó điểm M chia đoạn AB theo
Lúc này (d1) là phân giác của góc AOB
tỷ số k = −
0,25đ
0,25đ
OA
1
=−
OB
2
xM = 2
Tọa độ điểm M sẽ là
y M = 2( 2 − 1)
4
7
hoctoancapba.com
Phương trình đường thẳng ( d1 ) : y = x tan
π
8
hay là (d1 ) : y = ( 2 − 1) x ,
0,25đ
Đường thẳng (d2) đối xứng với (d1) qua trục hoành nên phương trình
đường thẳng ( d 2 ) : y = ( − 2 + 1) x .
3 x + 2 y + 4 xy = 3 x 2 − 4 y 2
(*1)
Xét hệ phương trình sau
.
x + y + 4 = 2 2 x + 2 y − xy (*2)
Ta phân tích phương trình (*1): 3x + 2 y + 4 xy = 3x 2 − 4 y 2
(
0,25đ
)
Trở thành ( 3x + 2 y )( 2 y − x + 1) = 0
3 x + 2 y = 0
Hay là
2 y − x + 1 = 0
Còn phương trình (*2): x + y + 4 = 2 ( 2 x + 2 y − xy ) được phân tích thành 0,25đ
(
x + y −2
Hay là
)
2
=0
x + y −2=0
3x + 2 y = 0
Xét hệ
, ta có hệ vô nghiệm
x + y = 2
x = 23 − 8 7
2 y − x + 1 = 0
Xét hệ
, ta có
x + y = 2
y = 11 + 4 7
1 4 9
+ + ≥ 36 .
x y z
a
b
c
Do x + y + z = 1 , nên ta đặt lại x =
, y=
và z =
, với a, b và
a+b+c
a+b+c
a+b+c
c là các số dương. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
a + b + c 4( a + b + c) 9( a + b + c)
+
+
≥ 36
a
b
c
b c 4a
4c 9a 9b
Hay là 1 + + +
+4+ +
+ + 9 ≥ 36
a a b
b
c
c
b c 4a 4c 9a 9b
Hay là + +
+ +
+
≥ 22
a a b
b
c
c
b 4a c 9a 4c 9b
Hay là + + + + + ≥ 22
c
a b a c b
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si 3 lần ta có điều phải chứng minh.
1 4 9
Dấu bằng xảy ra: + + = 36 khi và chỉ khi
x y z
b 4a c 9a 4c 9b
+ + + + + = 22
c
a b a c b
1
x = 6
b = 2a
Như vậy
. Lúc này
.
c = 3a
y = 1
3
Đặt 1 − x − y = z , ta có x + y + z = 1 , ta cần chứng minh
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
5
8
hoctoancapba.com
TRƯỜNG THPT SỐ 3 BẢO THẮNG
ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015
Ngày Thi : 19032015
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
ĐỀ THI THỬ LẦN 1
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y =
2 x - 1
có đồ thị (C)
- x + 1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (C)
2. Tìm m để đường thẳng y = -2 x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x 2 sao cho
x1 x2 - 4( x1 + x2 ) =
7
2
x
s inx - 2 3c os 2 + 3
2
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình
= 0
2sin x + 3
e
ln 2 x
Câu 3 (1,0 điểm) Tính tích phân I = ò
dx
x 1 + 2 ln x )
1 (
Câu 4(1,0 điểm)
1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 - 2i ) z +
1 - 3 i
= 2 - i . Tính mô đun của z .
1 + i
15
2 ö
æ
2. Tìm hệ số không chứa x trong khai triển f ( x) = ç 3 x +
÷
x ø
è
Câu 5 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (-1;2; - 1) và mặt phẳng
(a) : x + 2y - 2z - 1 = 0 . Viết phương trình mặt phẳng (b )
song song với mặt phẳng (a ) sao cho
khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (a ) bằng khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (b )
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a . SAB là tam giác cân tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy , góc giữa cạng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 ,cạnh AC = a. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
ìï 2 x - y - 1 + 3 y + 1 = x + x + 2 y
Câu 7 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: í
3
3
2
ïî x - 3 x + 2 = 2 y - y
æ7 3ö
Câu 8(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có tâm O çç ; ÷÷÷ . Điểm M (6; 6 )
çè 2 2 ÷ø
thuộc cạnh AB và N (8; - 2 ) thuộc cạnh BC . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông.
Câu 9 (1,0 điểm)
Cho x, y, z là các số thực thuộc (0;1 ) thỏa mãn điều kiện (x 3 + y 3 ) (x + y ) = xy (1 - x )(1 - y ) .Tìm giá trị
lớn nhất của biểu thức : P =
1
1+ x
2
+
1
1 + y
2
+ 3 xy - ( x 2 + y 2 )
HẾT
9
hoctoancapba.com
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
I
Ý
1
Đáp án
− TXĐ : D = R
− Sự biến thiên
+ Chiều biến thiên
1
y' =
> 0, "x ¹ 1
2
( - x + 1 )
Vậy: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ¥ ;1) và (1 ; + ¥ )
+ Cực trị :
Hàm số không có cực trị
+ Giới hạn :
lim y = -2; lim y = -2 => y = - 2 là đường tiệm cận ngang
x ®-¥
Điểm
1,0
0,25
0.25
x ®+¥
lim- y = +¥; lim+ y = -¥ => x = 1 là đường tiệm cận đứng
x ®1
x ®1
+ Bảng biến thiên :
0,25
·
Đồ thị:
− Đồ thị :
1
Đồ thị hàm số giao với Ox: ( ;0)
2
Đồ thị hàm số giao với Oy: (0;1)
0,25
2
1,0
2
ì 2 x - (m + 4) x + m + 1 = 0 (1)
2 x - 1
= -2 x + m Û í
- x + 1
î x ¹ 1
Đường thằng y = -2 x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û phương trình (1) có
hai nghiệm phân biệt khác 1
ìï( m + 4 ) 2 - 8( m + 1) > 0
Ûí
Û m 2 + 8 > 0, "m
ïî -1 ¹ 0
0,25
0,25
10
hoctoancapba.com
Vậy " m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt có
hoành độ x1 , x2 , x1 ¹ x2
4+m
m + 1
Theo viet : x1 + x2 =
, x1 . x2 =
2
2
7
m +1
m + 4
7
22
x1 x2 - 4( x1 + x2 ) = Û
- 4(
) = Û m = -
2
2
2
2
3
22
Vậy m = -
thì đường thẳng y = -2 x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
3
7
có hoành độ x1 , x 2 và x1 x2 - 4( x1 + x2 ) =
2
2
0,25
1.0
3
ĐK : sin x ¹
;
2
x
s inx - 2 3c os 2 + 3
2
= 0 Û s inx - 3c osx=0
2 sin x + 3
1
3
pö
æ
s inx cosx=0 Û cos ç x + ÷ = 0
2
2
6 ø
è
p
Û x = + kp , k Î Z
3
p
Kết hợp ĐK ta có x = + k2p, k Î Z là nghiệm của phương trình
3
Û
3
0.25
0.25
0.25
0.25
1.0
e
I=
e
e
1 4ln x - 1 + 1
1 ( 2ln x - 1 ) dx 1
dx
dx = ò
+ ò
ò
4 1 x (1 + 2ln x )
41
x
4 1 x (1 + 2ln x )
2
e
0.25
e
1
1 d ( 2ln x + 1 )
= ò ( 2 ln x - 1) d ( 2 ln x - 1 ) + ò
81
8 1 (1 + 2 ln x )
1
2 ö
æ 1
= ç ( 2 ln x - 1) ÷ e + ln (1 + 2ln x )
è 16
ø 1 8
1
= ln 3
8
0.25
e
0.25
1
0.35
4
1.0
1 - 3i
1 7
(1 - 2i ) z +
= 2 - i Û z = + i
1 + i
5 5
=> z = 2
15
15
2 ö
æ
k
f ( x) = ç 3 x +
÷ = å C15 x
xø
è
k =0
15- k
3
-
k
0,25
0,25
15
k
.x 2 .2k = å C15
.2 k .x
5 -
5 k
6
,(0 £ k £ 15, k Î Z )
0,25
k = 0
Hệ số không chứa x ứng với k thỏa mãn : 5 - 5 6 k = 0 Û k
= 6 =>
hệ số : 320320
0,25
1,0
5
4
3
Vì (b ) // (a ) nên phương trình (b ) có dạng : x + 2y - 2z + d = 0, d ¹ - 1
d ( A, ( a ) ) =
d ( A, ( a )) = d ( A, ( b ) ) Û
5 + d
3
=
4
Û
3
é d = -1
ê d - 9 Û d = -9 (d = 1 loại) => (b ) : x + 2y - 2z - 9 = 0
ë
6
0.25
0,25
0,25
0,25
0,25
1,011
hoctoancapba.com
S
A
I
B
D
K
N M
C
0.5
Gọi I là trung điểm của đoạn AB => SI ^ AB,( SAB ) ^ ( ABCD ) => SI ^ ( ABCD )
· = (·
nên SCI
SC , ( ABCD ) ) = 600 ,
a 3
3 a
=> SI = CI tan 60 0 =
2
2
Gọi M là trung điểm của đoạn BC , N là trung điểm của đoạn BM
a 3
a 3
AM =
=> IN =
2
4
a2 3
1 a 2 3 3a a 3 3
Ta có S ABCD = 2 S DABC =
=> VS . ABCD = .
. =
2
3 2
2
4
CI =
ta có
BC ^ IN , BC ^ SI => BC ^ ( SIN )
Trong mặt phẳng (SIN) kẻ IK ^ ( SN ), K Î SN . Ta có
ì IK ^ SN
=> IK ^ ( SBC ) => d ( I ,( SBC )) = IK
í
î IK ^ BC
Lại có :
1
1
1
3a 13
3a 13
3a 13
= 2 + 2 => IK =
=> d ( I ,( SBC )) =
=> d ( A,( SBC )) =
2
26
26
13
IK
IS IN
7
0.5
1.0
ì 2 x - y - 1 ³ 0
ï x + 2 y ³ 0
ïï
ĐK : í x > 0
ï
ï y ³ - 1
ïî
3
(1) Û 2 x - y - 1 - x + 3 y + 1 - x + 2 y = 0
Û
x - y -1
2x - y -1 + x
-
x - y - 1
3 y + 1 + x + 2 y
= 0
0,25
æ
ö
1
1
Û ( x - y - 1 ) ç
÷
ç 2x - y -1 + x
3 y + 1 + x + 2 y ÷ø
è
(3)
é y = x - 1
Ûê
(4)
êë 2 x - y - 1 + x = 3 y + 1 + x + 2 y
(4) Û 2 x - y - 1 + x = 3 y + 1 + x + 2 y Û x = 3 y + 1 Û y =
x - 1
(5)
3
0,25
12
hoctoancapba.com
Từ (3) và (2) ta có :
é x = 1
( x - 1) 2 ( x + 2) = 2( x - 1)3 - ( x - 1)2 Û ( x - 1) 2 ( x - 5 ) = 0 Û ê
ë x = 5
x = 1 => y = 0; x = 5 => y = 4
0,25
Từ (5) và (2) ta có :
2
1
( x - 1) 2 ( x + 2) =
( x - 1)3 - ( x - 1) 2 Û ( x - 1) 2 ( 25 x + 59 ) = 0 Û x = 1 (do x > 0)
27
9
0,25
Vậy hệ đã cho có nghiệm : ( x; y ) = (1; 0); ( x; y ) = (5; 4)
8
1
1,0
0,25
Gọi G là điểm đối xứng của M qua O => G = (1; -3) Î CD
Gọi I là điểm đối xứng của N qua O => I = (-1;5) Î AD
uuuur
Phương trình cạnh MO qua M và có VTCP MO là : 9 x - 5 y - 24 = 0
=> Phương trình cạnh NE qua N và vuông góc MO là : 5 x + 9 y - 22 = 0
æ 163 39 ö
Gọi E là hình chiếu của N trên MG => E = NE Ç MG => E = ç
; ÷
è 53 53 ø
Lại có
0,25
uuur uuur
ìï NJ = MG
uuur (k ¹ 0, k Î R) => J (-1;3) ;(Vì NE , NJ cùng chiều )
NE ^ MG => í uuur
ïî NE = k NJ
9
Suy ra phương trình cạnh AD : x + 1 = 0 => OK = . Vì KA = KO = KD nên
2
K,O,D thuộc đường tròn tâm K đường kính OK
0,25
2
3 ö 81
æ
Đường tròn tâm K bán kính OK có phương trình : ( x + 1 ) + ç y - ÷ =
2 ø 4
è
é ì x = -1
2
ì
3 ö 81 ê í y = 6
2 æ
ï( x + 1 ) + ç y - ÷ =
êî
Vậy tọa độ điểm A và D là nghiệm của hệ : í
2ø
4 Û ê
è
ì x = -1
ï x + 1 = 0
êí
î
ê î y = -3
ë
Suy ra A(-1;6); D(-1; -3) => C (8; - 3); B(8; 6) . Trường hợp D(-1;6); A(-1; - 3)
loại do M thuộc CD .
2
0,25
13
hoctoancapba.com
9
1,0
2 ö
æ 2
(x 3 + y 3 ) (x + y ) = xy (1 - x )(1 - y ) Û ççççxy + y x ÷÷÷÷(x + y ) = (1 - x )(1 - y ) (1)
è
ø
2
2
æx
y ö
Ta có : ççç + ÷÷÷(x + y ) ³ 4 xy và
÷
çè y
x ø
(1 - x )(1 - y ) = 1 - (x + y ) + xy £ 1 - 2 xy + xy
=> 1 - 2 xy + xy ³ 4xy Û 0 < xy £
Dễ chứng minh :
1
1 + x2
+
0.25
1
9
1
1
1
+
£
; ( x; y Î (0;1) )
2
2
1 + xy
1 + x 1 + y
æ 1
æ 2 ö
1 ö
2
£ 2ç
+
£ 2 ç
÷=
2
2 ÷
2
1 + y ø
1 + xy
è 1 + xy ø
1 + y
è1+ x
1
0.25
3 xy - ( x 2 + y 2 ) = xy - ( x - y ) 2 £ xy
1 ö
æ
+ t , ç t = xy, 0 < t £ ÷
9 ø
1 + t
è
0.25
Xét hàm số
2
1ö
1
6 10 1
æ
æ 1 ù
f (t ) =
+ t , ç 0 < t £ ÷ => .... => max f (t ) = f ( ) =
+ , t Î ç 0; ú
9ø
9
10
9
1 + t
è
è 9 û
0.25
=> P £
2
1 + xy
+ xy =
2
__________HẾT__________
14
hoctoancapba.com
SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN
®Ò thi thö kú thi thpt quèc gia n¨m 2015
M«n: To¸n
Thêi gian lµm bµi: 180 phót, kh«ng kÓ thêi gian ph¸t ®Ò
x m
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y
(Cm)
x2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
b) Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: 2x+2y -1= 0 cắt đồ thị (Cm) tại hai điểm
phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc toạ độ).
Câu 2 (1,0 điểm).
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)
0
b) Tính tích phân: I
(x 1)
1
2
dx
3 2x x 2
x2 x 1
x 1
1
trên đoạn ;2 .
2
.
Câu 3 (2,0 điểm). Giải các phương trình sau:
2
a) log 3 x 1 log 3 2 x 1 2 .
b)
3sin 2x 2 sin x
2.
sin 2x cos x
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn: (2 i)z
1i
5 i. Tính mô đun của số phức w z z 2 .
1 i
b) Mét líp häc cã 20 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷. ThÇy gi¸o chñ nhiÖm chän ra 5 häc sinh ®Ó
lËp mét tèp ca h¸t chµo mõng ngµy thµnh lËp Qu©n ®éi nh©n d©n ViÖt Nam(22 th¸ng 12).
TÝnh x¸c suÊt sao cho trong ®ã cã Ýt nhÊt mét häc sinh n÷.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam
giác vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
11
Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm F ;3 là
2
trung điểm của cạnh AD. Đường thẳng EK có phương trình 19x 8y 18 0 với E là trung điểm của
cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tìm tọa độ điểm C của hình vuông ABCD biết
điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3.
Câu 7 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 2y z 4 0 và
mặt cầu S : x 2 y 2 z 2 2x 4y 6z 11 0 . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo
một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu 8 (1,0 điểm). Cho a , b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
a 2 1 b2 1 c 2 1
1
1
1
.
4b 2
4c 2
4a 2
ab bc ca
-------------------------------- HÕt ------------------------------
15
hoctoancapba.com
Híng dÉn chÊm
Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o th¸i nguyªn
Trêng thpt l¬ng ngäc quyÕn
thi thö kú thi thpt quèc gia n¨m 2015
m«n To¸n
Lưu ý khi chấm bài:
- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh.
Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không
được điểm.
- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
- Trong lời giải câu 5, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không cho điểm.
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
C©u
§iÓm
Néi dung
I. PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 ®iÓm)
x m
Cho hàm số y
(Cm)
x2
C©u 1
a. 1,0
b. 1,0
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
b) Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: 2x+2y -1= 0 cắt đồ thị
(Cm) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1 (O
là gốc toạ độ).
x 1
, TXĐ:
x2
-Giới hạn : lim y 1 ; lim y 1 . Đường thẳng y = -1 là tiệm cân ngang của đồ
a) y
x
x
0,25
thị hàm số
lim y ; lim . Đường thẳng x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm
x 2
x 2
số
3
0 x 2
( x 2) 2
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (; 2) và (2; )
-Chiều biến thiên y '
0,25
Hàm số không có cực trị
Bảng biến thiên
x
y'
y
1
-2
||
0,25
1
Đồ thị
1
16
*Giao với trục Ox tại
A(1;0)
*Giao với trục Oy tại
hoctoancapba.com
8
6
1
B(0; )
2
4
2
* Đồ thị nhận I(-2;-1) giao
của hai tiệm cận làm tâm
đối xứng
15
10
5
-2
O
-1
5
10
15
2
4
6
8
0,25
x 2
x m
1
x 2
x2
2
2 x x 2m 2 0 (1)
Đường thẳng (d) cắt (Cm) tại 2 điểm A,B (1) có hai nghiệm phân biệt x 2
17
1 8(2m 2) 0
17 16m 0
m
16
2
m 2
2.( 2) (2) 2m 2 0
m 2
b) Phương trình hoành độ giao điểm:
1
1
A x1 ; x1 , B x 2 ; x 2 trong đó x1; x2 là hai nghiệm phân biệt của
2
2
1
x1 x 2
phương trình (1), theo viet ta có
2
x1.x 2 m 1
2(17 16m)
AB (x 2 x1 )2 (x1 x 2 )2 2 (x 2 x1 )2 4x1x 2
2
2(17 16m)
1
1
1 1
47
d O, d
; S OAB AB.d(O, d) .
(t/m)
.
1 m
2
2 2 2
2
16
2 2
Vậy: m
a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x)
0
b) Tính tích phân: I
(x 1)
1
2
a) 0,5
b) 0,5
0,25
0,25
0,25
47
16
C©u 2
0,25
dx
3 2x x 2
1
x2 x 1
trên đoạn
x 1
1
2 ;2 .
.
a) Hàm số f(x) liên tục trên đoạn ;2 .
2
1
x 0 2 ; 2
x 2x
+) f '( x)
, f '( x) 0
2
( x 1)
1
x 2 ; 2
2
2
0,25
2
17
1
7
hoctoancapba.com
7
+) f ; f (2)
3
2 6
Vậy: min f ( x)
1
x ;2
2
0
b) I
(x 1)
1
2
1
2
m axf ( x)
1
x ;2
2
0
dx
3 2x x
2
(x 1)
1
2
7
khi x=2.
3
0
dx
(x 1)(3 x)
1
2
0,25
dx
(x 1)2
3x
x 1
3x
dx
1
1
tdt . Đổi cận: x t 7; x 0 t 3.
2
2
x 1
(x 1)
2
Đặt: t
I
1
7
khi x ;
2
6
3
1
dt 2
7 3
0,25
0,25
7
Giải các phương trình sau:
2
C©u 3
a) log 3 x 1 log
b)
a) 1,0
b) 1,0
3
2x 1 2 (1) .
3sin 2x 2 sin x
2 (2).
sin 2x cos x
x 1
1
x 2
a) §k:
0,25
(1) 2 log3 x 1 2 log3 2x 1 2 log3 x 1 2x 1 log3 3
0,25
x 1 2x 1 3
1
x 1
x 1
hoac
2
2
2x
3x 2 0
2x 2 3x 4 0 (vn)
0,25
x 2 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy: x=2
b) ĐK: sin 2x 0 x
0,25
k
(k )
2
0,25
(2) 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx 2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0
0,25
x k2
cos x 1
x k2
sin 2x sin x
3
3
0,25
Đối chiếu với điều kiện
Vậy : phương trình có nghiệm x
3
k 2
a) Cho số phức z thỏa mãn: (2 i)z
C©u 4
0,25
1i
5 i. Tính mô đun của số phức
1 i
w z z 2 (3).
b) Mét líp häc cã 20 häc sinh nam vµ 15 häc sinh n÷. ThÇy gi¸o chñ nhiÖm chän
ra 5 häc sinh ®Ó lËp mét tèp ca h¸t chµo mõng ngµy thµnh lËp Qu©n ®éi nh©n d©n
ViÖt Nam(22 th¸ng 12). TÝnh x¸c suÊt sao cho trong ®ã cã Ýt nhÊt mét häc sinh n÷.
3
18
a) 0,5
b) 0,5
a) (3) (2 i)z 5 z hoctoancapba.com
2i
0,25
w 5 5i w 5 2
0,25
b) Chän ngÉu nhiªn 5 häc sinh trong 35 häc sinh cña líp, cã C355 (c¸ch)
Gäi A lµ biÕn cè: ‘‘Chän ®îc 5 häc sinh trong ®ã cã Ýt nhÊt mét em n÷’’
Suy ra A lµ biÕn cè: “Chän ®îc 5 häc sinh trong ®ã kh«ng cã hs n÷ nµo”
Ta cã sè kÕt qu¶ thuËn lîi cho A lµ C205
P A
C©u 5
5
5
C20
C20
2273
P
A
1
P
A
1
0,95224
5
5
C35
C35 2387
0,25
0,25
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.
1.0
S
A
C
K
H
d
J
B
0,25
SH ( ABC )
+) Theo bài ta có:
a
SH 2
a2 3
+) S ABC
4
a3 3
V S . ABC
24
0,25
+) Dựng đường thẳng d đi qua B và d // AC
d ( AC , SB) d ( A; ( SB, d )) 2d ( H ; ( SB; d ))
Kẻ đoạn thẳng HJ sao cho HJ d, J d ; Kẻ đoạn thẳng HK sao cho
HK SJ, K SJ
+) d ( H ; (SB, d )) HK
0,25
1
1
1
28
a 3
2 HK
2
2
2
HK
HJ
SH
3a
2 7
d ( AC , SB ) 2 HK a
3
7
0,25
Ghi chú : học sinh có thể giải bằng cách tọa độ hóa bài toán
4
19
hoctoancapba.com
C©u 6
1.0
11
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Điểm F ;3 là
2
trung điểm của cạnh AD. Đường thẳng EK có phương trình 19x 8y 18 0 với
E là trung điểm của cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD = 3KC. Tìm tọa
độ điểm C của hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3.
E
A
I
B
H
F
P
D
K
C
+) Gọi AB=a (a>0) S EFK S ABCD S AEF S FDK S KCBE
5a 2
16
25
a 17
1
FH.EK , FH d(F, EK)
; EK
a5
2
4
2 17
5 2
ABCD là hình vuông cạnh bằng 5 EF
2
x 2
2
11
25
2
x 58 (loai)
x
y
(
3)
5
+) Tọa độ E là nghiệm:
E 2;
2
2
17
2
19 x 8 y 18 0
5
y
2
+) AC qua trung điểm I của EF và AC EF
AC: 7 x y 29 0
S EFK
10
x
7 x y 29 0
10 17
3
Có : AC EK P
P ;
3 3
19 8 y 18 0
y 17
3
9
Ta xác định được: IC IP C (3;8)
5
0,25
0,25
0,25
0,25
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x 2y z 4 0 và mặt
C©u 7
1,0
cầu S : x 2 y 2 z 2 2x 4y 6z 11 0 . Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt
cầu (S) theo một đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn
đó.
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R=5
5
20
- Xem thêm -
.PDF 
616 
299 
54 
