hoctoancapba.com
HỒ XUÂN TRỌNG
1000 ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
NĂM 2014-2015
TẬP 13
hoctoancapba.com
hoctoancapba.com
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA
LẦN 2 - NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút
SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2
Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số
=−
+ 3 − 2.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng
: = − − 2.
Câu 2 (1 điểm).
1. Giải phương trình: sin 2 + 2cos − sin − 1 = 0
2. Giải phương trình: 3
− 4.3
+ 27 = 0
Câu 3 (1 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x 3 3x 2
và y x 2
Câu 4 (1 điểm).
1. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa
mãn: |2 − 1| = √5.
2. Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm
thẻ trong hộp đó. Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số
chia hết cho 3.
Câu 5 (1 điểm). Cho hình chóp .
có đáy là tam giác
đều cạnh bằng 3 . Chân
đường cao hạ từ đỉnh S lên mp(
) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
= 3.
;
góc tạo bởi đường thẳng
và mp(
) bằng 60 . Tính theo a thể tích của khối
chóp .
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
.
Câu 6 (1 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ
cho hình thang cân
có hai đáy là
và
BC; biết
=
,
= 7. Đường chéo AC có phương trình − 3 − 3 = 0; điểm
(−2; −5) thuộc đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
biết rằng
đỉnh (1; 1).
Câu 7 (1 điểm). Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ): − + + 2 = 0 và
điểm (1; −1; 2). Tìm tọa độ điểm ′ đối xứng với điểm
qua mặt phẳng ( ).
Viết phương trình mặt cầu đường kính
′.
Câu 8 (1 điểm). Giải hệ phương trình:
1 y2
2
2
(
x
1)
y
2
1
x
2
2
3
2
4 y ( y x 3x 2)( 2 x 1)
Câu 9 (1 điểm). Cho các số thực dương , , thỏa mãn
x
y
z3 2
của biểu thức: P
.
y 1 x 1 3( xy 1)
≥ 1, ≥ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
HẾT
Họ và tên thí sinh: ………………………………………………
Số báo danh: ………….
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
- Thí sinh không được dùng tài liệu
3
hoctoancapba.com
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
1.1
(1đ)
Nội dung
Điểm
- Khảo sát và vẽ đồ thị
1/ TXĐ : = ℝ
2/ Sự biến thiên:
Giới hạn:
lim
→±
x
y’
= lim (−
→±
+ 3 − 2) = ∓ ∞
Chiều biến thiên: = −3 + 3 ⟹ = 0 ⟺ = ±1
Bảng biến thiên
-1
1
−
0
+
0
−
0
0,25đ
y
-4
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞)
Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1)
Hàm số đạt cực tiểu tại = −1,
= −4
Hàm số đạt cực đại tại
= 1, Đ = 0
3/ Đồ thị:
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm
(0; −2), cắt trục Ox tại các điểm (−2; 0)
và (1; 0).
- Đồ thị hàm số nhận điểm uốn
(0; −2) làm tâm đối xứng.
1.1
(1đ)
0,5đ
\
0,25đ
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường thẳng
: =− − .
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:
=0
0,25đ
− +3 −2 =− −2⟺ −4 = 0⟺
= ±2
Suy ra các tiếp điểm là: (0; −2), (2; −4), (−2; 0)
0,25đ
Ta có: = −3 + 3
Suy ra các tiếp tuyến là:
=3 −2
= −9 + 14
0,5đ
= −9 + 18
2.1
Giải phương trình:
+
−
−
(0,5đ) sin 2 + 2cos − sin − 1 = 0
⟺ 2 sin . cos + 2 cos − sin − 1 = 0
⟺ 2 cos . (sin + 1) − (sin + 1) = 0
⟺ (sin + 1)(2 cos − 1) = 0
=− + 2
sin = −1
⟺ cos = ⟺
( ∈ ℤ)
=± + 2
=
0,25đ
0,25đ
4
hoctoancapba.com
2.2
Giải phương trình:
− .
+
=
(0,5đ)
3
− 4.3
+ 27 = 0
(
)
⟺3
− 12.3
+ 27 = 0
Đặt = 3
, ( > 0), ta được phương trình:
− 12 + 27 = 0
=3
⟺ 3
=9
3
⟺
0,25đ
=3⟺ 2 +4 =1⟺
2 +4 =2
=9
Vậy phương trình có 2 nghiệm là:
3.
(1đ)
3
2
= −1
=−
0,25đ
3
= − ; = −1
2
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x 3 3x 2 và y x 2
- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị các hàm số đã cho:
=0
− +3 −2=− −2⟺ −4 = 0⟺
= ±2
Suy ra diện tích của hình phẳng cần tính là:
|(−
=
+
|(−
|
=
0,25đ
+ 3 − 2)— (− − 2)| .
0,25đ
+ 3 − 2)— (− − 2)| .
−4 |
+
|−
+4 |
0,25đ
=
=
Vậy
(
4
−4 )
−2
= 8 (đ
+
(−
+4 )
−
+2
4
=4+4 =8
)
+
0,25đ
4.1
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
(0,5đ) |
− |=√ .
Giả sử = + , ( , ∈ ℝ)
Suy ra:
|2 − 1| = √5 ⟺ |2 ( + ) − 1| = √5 ⟺ |−2 − 1 − 2 | = √5
⟺ (−2 − 1) + (−2 ) = √5
⟺ 4 + 4 + 4 + 1 = √5
⟺
+
+ −1=0
1
5
⟺
+
+
=
2
4
Vậy tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức đã cho là một
đường tròn có tâm
0; −
và bán kính
=
√
0,25đ
0,25đ
.
4.2
Trong một cái hộp có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ
(0,5đ) trong hộp đó. Tính xác suất để tổng các số trên 3 tấm thẻ lấy được là một số chia hết
cho 3.
5
hoctoancapba.com
Giải:
- Số cách lấy ngẫu nhiên 3 tấm thẻ trong hộp là:
- Trong 40 tấm thẻ đó có :
+ 1 = 13 tấm thẻ mang số chia hết cho 3
.
0,25đ
+ 1 = 14 tấm thẻ mang số chia 3 dư 1
+ 1 = 13 tấm thẻ mang số chia 3 dư 2
- Để tổng 3 số ghi trên 3 tấm thẻ là số chia hết cho 3 thì phải xảy ra
các trường hợp sau:
i. Cả 3 số đều chia hết cho 3: có
cách lấy
ii. Cả 3 số đều chia 3 dư 1: có
cách lấy
iii. Cả 3 số đều chia 3 dư 2: có
cách lấy
iv. Có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2:
có
.
.
cách lấy.
- Suy ra xác suất cần tính là:
+
+
+
127
=
=
≈ 0,33
380
5.
(1đ)
0,25đ
Cho hình chóp .
có đáy là tam giác
đều cạnh bằng . Chân đường cao hạ
từ đỉnh lên mp(
) là điểm thuộc cạnh
sao cho
= .
; góc tạo bởi
đường thẳng và mp(
) bằng
. Tính theo thể tích của khối chóp .
và
khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
.
⊥(
+ Nhận thấy
⇒
)⇒
trên mặt phẳng (ABC)
= 60 là góc giữa SC và mp(ABC).
=
Ta có:
+
⇒
.
=
− 2.
= √7 ⇒
=
Lại có:
Nên:
là hình chiếu của
.
.
. cos 60 = 9
=
+
− 2.3 . . = 7
. tan 60 = . √21
0,25đ
√
= . √21.
√
=
√
0,25đ
6
hoctoancapba.com
⃗=
+ Dựng
⟹ (
⃗⇒
;
⇒
//
)=
;(
)
) =
;(
+ Dựng
⊥
tại E ⇒
⊥(
)⇒(
+ Dựng
⊥
tại
⇒
⊥(
)⇒
=
Ta có:
1
. sin 60 =
1
=
1
+
Vậy (
)=
;
) = 3. ( ; (
)⊥(
))
) (theo giao tuyến
= ( ;(
)
0,25đ
))
√
=
4
1
+
3
21
;(
⟹
6.
(1đ)
(
//
29
⟹
21
=
) =
=
√21
√29
0,25đ
3 √21
√29
√
√
Trong mặt phẳng tọa độ
cho hình thang cân
có hai đáy là
=
,
= . Đường chéo AC có phương trình
−
−
(− ; − ) thuộc đường thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
đỉnh ( ; ).
Giải
và BC; biết
= ; điểm
biết rằng
+ Do ABCD là hình thang cân nên
ABCD là hình thang nội tiếp
đường tròn.
Do
=
=
nên AC là
đường phân giác trong góc
.
0,25đ
+ Gọi E là điểm đối xứng của B
qua AC ⟹ ∈
.
Ta có phương trình
3 + − 4 = 0.
=
Gọi
∩
là:
⟹ tọa độ F là nghiệm của hệ:
3
2 ⟹
1
=−
2
= (2; −2)
−3 −3=0
⟺
3 + −4=0
Do F là trung điểm của BE nên
=
=
3
1
;−
2
2
0,25đ
Lại do
∈
nên phương trình AD là: 3 − 4 − 14 = 0
+ Điểm
=
∩
⟹tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
3 − 4 − 14 = 0
⟺
−3 −3 =0
+ Gọi
Do
=6
⟹
=1
= (6; 1)
= (2 + 4 ; −2 + 3 ) ∈
=7⟹
= 49 ⟺ (4 − 4) + (3 − 3) = 49 ⟺ 25( − 1) = 49
58 26
7
12
=
;
=
0,25đ
5 5
5 ⟺
5 ⟹
7
2
2
16
−1 =−
=−
= ;−
5
5
5
5
Tuy nhiên, điểm B và điểm D luôn nằm về 2 phía của đường thẳng AC do đó kiểm
tra vị trí tương đối của điểm B và 2 điểm D đó ta thấy chỉ có điểm
thỏa mãn.
7
49
⟺ ( − 1) =
⟺
25
−1 =
hoctoancapba.com
=
Do đó
;−
.
+ Do BC//AD nên phương trình đường thẳng BC là: 3 − 4 + 1 = 0
=
Điểm
∩
⟹tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình:
3 −4 +1=0
⟺
−3 −3 =0
= −3
⟹
= −2
Tuy nhiên ta tính được
= 5,
= √13 ⇒
cân, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy bài toán vô nghiệm.
7.
(1đ)
8.
(1đ)
0,25đ
= (−3; −2)
không phải là hính thang
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( ): − + + = và điểm
( ; − ; ). Tìm tọa độ điểm ′ đối xứng với điểm
qua mặt phẳng ( ). Viết
phương trình mặt cầu đường kính
′.
+ Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), khi đó Δ nhận vectơ pháp
tuyến ⃗ = (1; −1; 1) của mp(P) là vec tơ chỉ phương. Do đó phương trình tham
số của Δ là:
=1+
0,25đ
= −1 −
= 2+
+ Gọi = Δ ∩ ( ) ⟹ tọa độ I là nghiệm của hệ phương trình:
=1+
= −2
= −1 −
= −1
0,25đ
⟺
⟹ = (−1; 1; 0)
= 2+
=1
− + +2=0
=0
+ Gọi là điểm đối xứng của A qua mp(P) khi đó I là trung điểm của
′
0,25đ
⟹ = (−1; 3; −2)
+ Mặt cầu đường kính
′ có tâm là = (−1; 1; 0) và bán kính =
= √12
Suy ra phương trình mặt cầu đường kính
′ là:
0,25đ
( + 1) + ( − 1) + = 12
1 y2
2
2
(
x
1)
y
2
(1)
1
x
2
2
3
2
4 y ( y x 3 x 2)( 2 x 1) (2)
Giải hệ phương trình:
≠ 0, − √2 ≤
+ ĐK:
≤ √2
PT(1) ⟺ ( + 1) +
= 2( + 1 −
)
⟺ ( + 1)( + − 2) + ( + 2) = 0
⟺( + 2)( + 1)( − 1) + ( + 2) = 0
⟺( + 2)( + − 1) = 0
+ 2 = 0 ( ạ )
⟺
+
=1
+
+ Với
4
⟺
=(
=1⟹
−
=1−
, thay vào PT(2) ta được PT:
+ 3 − 2)
+1+1
⟺ 4(
+ 1 − 1) = (
⟺4
+1+1
+1−1 = (
⟺4
+1−1 =
−
−3 −2=
−4
0,25đ
+ 3 − 2)
−
+1
+1+1
−
+ 3 − 2)
+1+1
0,25đ
+3 −2
(3)
8
hoctoancapba.com
+
+ Do
= 1 ⟹
+ Xét hàm số: ( ) =
Có
( )=3
−1 ≤
≤1
⟹
−1 ≤
≤1
0≤
0≤
≤1
≤1
− 3 − 2 trên đoạn [−1; 1]
( )=0⟺
−3 ⟹
= ±1
Do hàm số ( ) liên tục trên đoạn [−1; 1] và (−1) = 0,
(1) = −4
0,25đ
Suy ra
min
∈[
( ) = −4 ,
; ]
Hay ( ) ≥ −4 , ∀ ∈ [−1; 1]
+ Xét hàm số: ( ) =
Có
( )=2 −
max
∈[
( )=0
(a)
−4
+ 1 trên đoạn [−1; 1]
= 0 ∈ (−1; 1)
= ±√3 ∉ [−1; 1]
( )=0⟺
⟹
; ]
Do hàm số ( ) liên tục trên đoạn [−1; 1] và
(−1) = (1) = 1 − 4√2, (0) = −4
0,25đ
Suy ra
max
∈[
; ]
( ) = −4, min
∈[
; ]
( ) = 1 − 4√2
Hay ( ) ≤ −4, ∀ ∈ [−1; 1] (b)
=1
(thỏa mãn PT(1))
=0
+ Từ (a) và (b) suy ra PT(3) ⟺ ( ) = ( ) = −4 ⟺
Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất ( ; ) = (1; 0)
9.
(1đ)
Cho các số thực dương , , thỏa mãn
x
y
z3 2
thức: P
.
y 1 x 1 3( xy 1)
+ Trước hết ta chứng minh kết quả sau:
Với , > 0 thỏa mãn:
≥ 1 ta có:
+
≥ , ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
≥
√
(1)
Thật vậy: (1) ⟺ ( + + 2) 1 +
≥ 2( + + )
⟺( + )
+ + +2
+ 2 ≥ 2 + 2( + ) + 2
⟺( + )
−1 ≥ 2
−1 ⟺
−1
+
0,25đ
−2
≥0
⟺
−1 √ −
≥ 0 luôn đúng do
≥ 1 (đpcm)
+ Mặt khác, theo BĐT AM-GM ta có:
+2= +1+1≥3 ≥3
1
⟹ ≥
+1+
+1+
−2
+1
+1
+1
= ( + + 1)
+
+
−2≥ 2
+1
+
− 2 (do (1))
0,25đ
√
+ Đặt =
, ( ≥ 1) ta được:
2
+
+1
≥ ( ) = (2 + 1).
Ta có: ( ) = (
)
−(
)
=
(
) (
(
) (
1
2
−2=
+
+1
+1
)
)
≥ 0, ∀ ≥ 1
⟹ ( ) đồng biến trên [1; +∞] ⟹ ( ) ≥ (1) = , ∀ ≥ 1 ⟹
= ⟺
Vậy
Chú ý:
-
=
=
1
+1
≥
0,25đ
0,25đ
= 1.
Thí sinh làm theo cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
Câu 5 nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm.
9
hoctoancapba.com
SỞ GD & §T THANH HOÁ
KỲ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG
Năm học 2014- 2015
Trêng THPT HËu Léc 4
Đề chính thức
Môn thi: Toán
Lớp: 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang, gồm 08 câu).
Số báo danh
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y
a)
b)
Câu 2
a)
b)
Câu 3
2x 3
x2
có đồ thị (C)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị với trục tung
(1,5 điểm) Giải các phương trình sau
cos x cos2 x s inx 0
log 3 x 2 6 log 3 x 2 1
(1,5 điểm)
2
a) Tính tích phân: I esin x x cos x.dx
0
b) Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,....,9. Rút ngẫu nhiên 3 thẻ và nhân 3 số ghi trên
ba thẻ với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là một số lẻ
4 x 2 1 x y 3 5 2 y 0
Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau
4 x2 y 2 2 3 4 x 7
Câu 5 (1,0 điểm) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x 2 y xy 2 x y 3 xy . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức
(1 2 xy ) 2 3
.
2 xy
Câu 6 (1.0 điểm) Trong mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy cho ®êng th¼ng : x y 2 0 vµ ®êng
trßn (C) : x 2 y 2 4 x 2 y 0 . Gäi I lµ t©m cña (C), M lµ ®iÓm thuéc . Qua M kÎ c¸c tiÕp
tuyÕn MA vµ MB ®Õn (C) (A vµ B lµ c¸c tiÕp ®iÓm). T×m to¹ ®é ®iÓm M, biÕt tø gi¸c MAIB cã
diÖn tÝch b»ng 10
Câu 7 (1,0 điểm) Cho h×nh chãp S.ABC cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a h×nh chiÕu vu«ng
gãc cña S trªn mÆt ph¼ng (ABC) lµ ®iÓm H thuéc c¹nh AB sao cho HA =2 HB. Gãc gi÷a ®êng
th¼ng SC vµ mÆt ph¼ng (ABC) b»ng 60 0 . TÝnh thÓ tÝch cña khèi chãp S.ABC vµ tÝnh kho¶ng
c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng SA vµ BC theo a
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện OABC với
P x2 y 2
A 1;2; 1 , B 2; 1;3 , C 2;3;3 , O 0;0;0
a) Tính thể tích tứ diện OABC
b) Tìm tọa độ điểm D nằm trên mặt phẳng (0xy) sao cho tứ diện ABCD có các cạnh đối
diện vuông góc với nhau
.............................................................. HẾT ........................................................
Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
10
hoctoancapba.com
trêng THPT HËu Léc 4
KỲ THI CHẤT LƯỢNG BỒI DƯỠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN THI: TOÁN
LỚP: 12 THPT
(Gồm có 5 trang)
Câu
Câu
1
2,0 đ
Ý
Điê
m
Hướng dẫn chấm
a) Tập xác định: \ 2
1,0đ - lim y 2, lim y 2 y 2 là tiệm cận ngang
x
0,25
x
- Tiệm cận đứng x=2
1
0, x 2
2
x 2
Hàm số Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2) và 2;
Sự biến thiên: y '
0,25
Bảng biến thiên:
x
y'
y
2
2
0,25
2
Đồ thị :
0,25
b)
1,0đ
3
1
+ Đồ thị cắt 0y tại M 0; , f 0
4
2
0,5
1
4
+ Tiếp tuyến tại M có phương trình y x
Câu
2
1,5đ
a)
1,0đ
3
2
0,5
+ Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh
sin x cos x 1 cos x sin x 0
sin x cos x 0
sin x cos x 1 0
0,5
11
hoctoancapba.com
+ sin x cos x 0 x k , k Z
0,25
x k 2
1
+ sin x cos x 1 0 sin x
k Z
x 3 k 2
4
2
2
0,25
4
b) + ĐK x 6
0,5d + Với ĐK phương trình tương đương với phương trình
0,25
log 3 x 2 6 log 3 3 x 2
x 0
x 2 6 3 x 2
x 3
0,25
+ Kết hợp với ĐK nghiệm của phương trình x 3
Câu
3
1,5 đ
a)
1,0đ
2
2
I cos x.esin x dx x cos x.dx
0
0
2
2
I1 cos x.e
0
sin x
dx e
sin x
d sin x e
sin x
2
0
0
2
2
2
2
I 2 x.cos x.dx xd sin x x sin x / sin xdx
0
0
0
Vậy I I1 I 2 e
2
0,25
/ e 1
0
2
2
cos x /
0
2
1
2
3
b)
+ Gọi T là phép thử “Lấy 3 thẻ trong 9 thẻ” C 9 84
0,5đ
3
A là biến cố “ Tích 3 số là số lẻ” A C 5 10
+ P A
Câu
4
1,0đ
10 5
84 42
0,5
0,25
0.25
0.25
3
x 4
+ §K :
y 5
2
+ Ph¬ng tr×nh thø nhÊt trong hÖ t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh:
4x
2
1 2 x 5 2 y 1 5 2 y 1
XÐt hµm sè : f t t 2 1 t f 3t 2 1 0 f t ®ång biÕn trªn R
Ph¬ng tr×nh (1) trong hÖ t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh
12
hoctoancapba.com
f 2 x f
5 2 y
x 0
2x 5 2 y
5 4x 2
y
2
0,5
Thay vµo ph¬ng tr×nh (2) trong hÖ ta cã ph¬ng tr×nh:
25
6 x 2 4 x 4 2 3 4 x 7 (*)
4
25
3
* Xét hàm số f ( x ) 4 x 4 6 x 2 2 3 4 x trên 0;
4
4
4
f '(x ) 4 x (4 x2 3)
<0
3 4x
1
1
Mặt khác : f 7 nên (*) f x f 1 x y = 2. Tho· m·n
2
2
2
®iÒu kiÖn
kÕt luËn
Câu
5
1,0đ
1
x
HÖ cã nghiÖm
2
y 2
0,5
+ Ta có x 2 y xy 2 x y 3 xy
xy ( x y) x y 3 xy (1) do x >0 ; y > 0 nên x + y > 0
1 1
4
2
(1) x y 3
3 x y 3( x y) 4 0
x y
xy
x y 1 ( x y) 4 0 x y 4
(1) 1
1
3
xy x y
Nên P = (x + y)2 + 2 -
1
0,25
3
1
x y xy
1
3
= (x + y)2 +1 +
xy
x y
0,25
3
+ Đặt x + y = t ( t 4) P t 2 1 f (t )
t
3
3 2t 3
0 t>4 Nên f (t ) đồng biến trên
+Ta có f '(t) = 2t - 2
t
t2
71
nửa khoảng 4; => P f (t ) f (4)
4
71
Hay giá trị nhỏ nhất của P bằng
khi x= y = 2
0,5
4
Câu
6
1,0đ
+ Đường tròn (C) tâm I 2;1 , R 5
+ S MAIB 10 IA. AM 10 AM
MI 2 R 2 20
MI 2 25
10
5
0,5
13
hoctoancapba.com
2
2
+ Coi M x; 2 x , MI 2 25 x 2 x 3 25
x2 x 6 0
x 3
x 2
0,25
Vậy M 3;1 hoặc M 2; 4
0,25
Câu
7
1,0đ
S
0,5
K
t
I
A
H
B
C
+ S ABC
a2 3
2
+ Áp dụng định lý cosin trong tam giác AHC ta có
7a2
a 7
HC AH AC 2 AH .HC.cos 60
HC
9
3
2
2
2
0
+Tam giác vuông HSC ta có: SH HC.tan 60 0
V
0,25
a 7
a 21
. 3
3
3
1 a 2 3 a 21 a 3 7
.
3 4
3
12
0,25
+ Kẻ At//BC, HI vuông góc với At,
HK SI HK SAI HK d H ; SAI
2a 3 a 3
.
3 2
3
1
1
1
3
3
24
a 7
+ HSI
2 2 2 HK
2
2
2
7a
7a
HK
HI
SH
a
2 6
+ IAH HI AH .cos IHA AH .cos300
3
2
3 a 7 3a 42
2 2 6
24
+ Ta có d SA, BC d BC , AIS d B, AIS d H , AIS .
0,25
0,25
14
hoctoancapba.com
Câu
8
1,0đ
a)
0,5
đ
b)
0,5đ
+ OA 1; 2; 1 , OB 2; 1;3 , OC 2;3;3
+
OA,OB 5; 5; 5
OA,OB .OC 40 V 1 OA, OB .OC 40 20
6
6
3
+ Coi D x; y;0 mp 0 xy theo bài ra ta có
AD.BC 0
BD, CA 0
CD. AB 0
x y 1 0
x 2
3x y 5 0
D 2; 1;0
y
1
x 3 y 1 0
0,5
0,25
0,25
GHI CHÚ: Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
15
hoctoancapba.com
SỞ GD&ĐT TÂY NINH
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015
MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT HOÀNG VĂN THỤ
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1.(2,0 điểm): Cho hàm số : y x 4 2 x 2 2 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số (1)
b) Dùng đồ thị (C) tìm các giá trị của m để phương trình x 4 2 x 2 1 m 0 có bốn nghiệ m
phân biệt.
Câu 2.(1,0 điểm): Giải các phương trình sau:
a) cos2x + (1 + 2cosx).(sinx – cosx) = 0
b) log2 (3 – x) + log2 (1 – x) = 3
1
Câu 3.(1,0 điểm): Tính tích phân I =
x
3 x 2 1 dx
0
Câu 4.(1,0 điểm):
a) Tìm số phức Z thỏa mãn đẳng thức: Z 2 Z Z 2 6i
b) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ.
Người ta chọn ra từ đó 4 người để đi công tác , tính xác suất sao cho trong 4 người được chọn
phải có nữ và có đủ ba bộ môn.
Câu 5.(1,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(- 4;1;3) và đường thẳng d:
x 1 y 1 z 3
. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa
2
1
3
độ điểm B thuộc d sao cho AB 3 3
Câu 6.(1,0 điểm):Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a ,AD=a .Hình chiếu
của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc bằng 45
0
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD)
Câu 7.(1,0 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD có A(-1;3); Gọi M,N lần lượt thuộc hai cạnh BC,CD
sao cho
BA AM
gọi H là giao của AM và BN , H(2;1). Tìm tọa độ điể m B biết rằng B nằm trên
BC BN
đường thẳng 2x-y+1=0.
2 y 3 2 x 1 x 3 1 x y
Câu 8.(1,0 điểm): Giải hệ phương trình sau
2
y 1 2 x 2 xy 1 x
Câu 9.(1,0 điểm): Cho a, b, c không âm và a 2 b 2 c 2 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P ab bc ca 5a 5b 5c 4
Họ và tên thí sinh:..............................................................................Số báo danh:.........................
16
hoctoancapba.com
ĐÁP ÁN
Câu 1
2 điểm
Cho hàm số : y x 4 2 x 2 2 (1)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số (1)
1 điểm
* Tập xác định: D =
* Giới hạn: lim y
0,25
x
* Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên: y = 4x 3 –4x
x 0
y 0
x 1
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 1;0) và (1 )
0,25
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ; 1 và 0;1
Hàm số đạt cực đại tại x = 2 và yCÑ y 0 2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT y( 1) 1
a)
* Bảng biến thiên:
x
-
-1
0
1
0
0
0
y'
+
+
0,25
2
+
y=f( x)
-
1
1
* Đồ thị:
- Điểm đặc biệt: (0 ; 2) ; (-2; 10) ; (2 ; 10)
y
f x = x4-2x2 +2
0,25
I1
2
I2
x
O
Dùng
4
đồ thị (C) tìm các giá trị của
5
m để
phương trình
2
x 2 x 1 m 0 có bốn nghiệm phân biệt.
b)
x 4 2 x 2 1 m 0 x 4 2 x 2 2 m 1 (*)
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điể m của đường thẳng y m 1
và đồ thị (C) ở câu a.
Dựa vào đồ thị (C) ta có phương trình có bốn nghiệm phân biệt khi
1 m 1 2 0 m 1.
1 điểm
0,25
0,25
0,5
Vậy: Với m 0;1 thì phương trình x 4 2 x 2 1 m 0 có bốn nghiệm
phân biệt.
Câu 2
Giải các phương trình sau:
a) cos2x + (1 + 2cosx).(sinx – cosx) = 0
b) log2 (3 – x) + log2 (1 – x) = 3
a) cos2x + (1 + 2cosx).(sinx – cosx) = 0
sin x cos x . cos x sin x 1 0
1 điểm
0,125
17
hoctoancapba.com
0,25
x 4 k
2 sin x 4 0
sin x cos x 0
x k 2 , k
2
cos x sin x 1 0
x k 2
2 sin x 4 1
Vậy pt đã cho có nghiệ m x
4
k , x
2
k 2 , x k 2 , k
b) log2 (3 – x) + log2 (1 – x) = 3
3 x 0
x 3
Điều kiện:
x 1
1
x
0
x
1
log2 (3 – x) + log2 (1 – x) = 3
log2 [(3 x )(1 x)] 3 (3 x )(1 x ) 8
0,25
x 1
x 5
So với điều kiện ta có x = -1 là nghiệm của phương trình
x 2 4x 5 0
Câu 3
0,125
0,25
1 điểm
1
2
x 3x 1 dx
Tính tích phân I =
0
0.25
2
3
Đặt t 3x 2 1 t 2 3x 2 1 2tdt 3xdx xdx tdt
Đổi cận :
1
x 0 t 1
x 1t 2
0.25
0.25
2
2
2
I = t 2dt t 3
30
9 1
=
Câu 4
0.25
14
9
a) Tìm số phức Z thỏa mãn đẳng thức: Z 2 Z Z 2 6i
1 điểm
b) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà
vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Người ta chọn ra từ đó 4 người để đi
công tác , tính xác suất sao cho trong 4 người được chọn phải có
nữ và có đủ ba bộ môn.
a) Tìm số phức Z thỏa mãn đẳng thức: Z 2 Z Z 2 6i
Giả sử Z a bi a , b
0.25
Ta có Z 2 Z Z 2 6i a bi 2 a bi a bi 2 6i
2
2
5a bi 2 6i a ; b ; 6 . Vậy Z 6i
5
5
b) Chọn ngẫu nhiên 4 nhà khoa học trong 16 nhà khoa học có C164
cách
Chọn 2 nhà toán học nam, 1 nhà vật lý nữ, 1 nhà hóa học nữ có
C82 .C51.C31 cách
Chọn 1 nhà toán học nam, 2 nhà vật lý nữ, 1 nhà hóa học nữ có
1
C8 .C52 .C31 cách
0.25
0.25
18
hoctoancapba.com
Chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà vật lý nữ, 2 nhà hóa học nữ có
C .C51 .C32 cách
1
8
C82 .C51.C31 C81 .C52 .C31 C81.C51.C32 3
C164
7
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(- 4;1;3) và đường
x 1 y 1 z 3
thẳng d:
. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và
2
1
3
vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho
AB 3 3
Vậy xác suất cần tìm là : P
Câu 5
Đường thẳng d có VTCP là u 2;1;3
Vì P d nên (P) nhận u 2;1;3 làm VTPT
Vậy PT mặt phẳng (P) là -2(x+4) + 1(y – 1) + 3(z – 3) = 0
2 x y 3z 18 0
Vì B d nên B(-1-2t;1 + t; -3+ 3t)
2
2
2
2
0.25
1 điểm
0.25
0.25
0.25
2
AB 3 3 AB 27 3 2t t 6 3t 27 7t 24t 9 0
Câu 6
t 3
13 10 12
3 Vậy B(- 7;4;6) hoặc B ; ;
t
7
7 7
7
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với cạnh AB=2a ,AD=a
.Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo
với đáy một góc bằng 45 0
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SCD)
0.25
1 điểm
S
P
A
D
H
M
B
C
Ta có HC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD) suy ra
(SC;(ABCD))=(SC;AC)= SCH =45
0.25
0
HC=a 2 suy ra SH=a 2
1
1
2 2a3
VSABCD SH .S ABCD SH . AB. AD
3
3
3
0.25
Gọi M là trung điểm CD, P là hình chiếu của H lên SM khi đó HM CD;
CD SH suy ra CD HP mà HP SM suy ra HP (SCD) Lại có
AB//CD suy ra AB// (SCD) suy ra d(A;(SCD))=d(H;(SCD))=HP
0.25
19
hoctoancapba.com
Ta có
Câu 7
1
HP 2
1
HM 2
1
HS 2
suy ra HP=
a 6
a 6
vậy d(A;(SCD))=
3
3
Cho hình chữ nhật ABCD có A(-1;3); Gọi M,N lần lượt thuộc hai cạnh
BC,CD sao cho
0.25
1 điểm
BA AM
gọi H là giao của AM và BN , H(2;1). Tìm tọa
BC BN
độ điểm B biết rằng B nằm trên đường thẳng 2x-y+1=0.
A
B
M
D
Ta có
C
N
BA AM
suy ra tam giác BAM đồng dạng với tam giác CBN suy
BC BN
BAM
CBN
ra
Suy ra AM BN
0.25
0.25
Gọi B(a;2a+1) suy ra AH (3; 2); HB ( a 2; 2 a)
Câu 8
Suy ra AH .HB 0 3(a-2)-2.2a=0 a=-6 vậy B(-6;-11)
3
2 y 2 x 1 x 3 1 x y
Giải hệ phương trình sau
2
y 1 2 x 2 xy 1 x
Đk: 1 x 1
2 y 3 y 2 1 x 3 1 x
Hệ phương trình (I)
y 1 2 x2 2 xy 1 x
y 1 x 1 , y 0
2
y 1 2 x 2 xy 1 x
0.25
0.25
1 điểm
0,25đ
(Do hàm f t 2t 3 t luôn đồng biến )
2
0,25đ
Ta có (2) 1 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2
2x 2 2 x 1 x 2 1 x 1 0
Đặt x cos t với t 0;
Ta có x cos t 1 2s in 2
t
2
1 x 2 sin
t
2
Nên phương trình (2) trở thành 2cos2 t 2 cos t sin t 2 sin
t
2 sin 2t 2 sin
4
2
k 4
t 3 3
k
t k 4
5
5
t
1 0
2
0,25đ
0,25đ
20
- Xem thêm -
.PDF 
646 
411 
99 
