Tài liệu 09_pp tong so hang khong am_bg(2016)

Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 PHƯƠNG PHÁP TỔNG SỐ HẠNG KHÔNG ÂM GIẢI PT Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1: Giải phương trình 3x 3 + 4 x + 1 = 2 ( x 2 + x ) x 2 + 1 +2 x Lời giải 1 Điều kiện: x 2 + + 2 ≥ 0, x ≠ 0 x Phương trình đã cho tương đương 1 1 1 1 2   3 x 2 + 4 + = 2 ( x + 1) x 2 + + 2 ⇔ ( x + 1) − 2 ( x + 1) x 2 + + 2 +  x 2 + + 2  + x 2 − 2 x + 1 = 0 x x x x   2  1   1 2  x + 1 − x2 + + 2 = 0 2 ⇔  x + 1 − x + + 2  + ( x − 1) = 0 ⇔  ⇔ x =1 x x   x −1 = 0  Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {1} Ví dụ 2: Giải phương trình 4 x 2 − 11x + 9 + Điều kiện: x ≥ 1 Phương trình đã cho tương đương x2 − x+2 2x x+2 x2 = 2 ( 2 x − 3) x − 1 + x+2 Lời giải + 1 + 4 x − 12 x + 9 − 2 ( 2 x − 3) 2 2x x+2 2 (  x  x − 1 + ( x − 1) = 0 ⇔  − 1 + 2 x − 3 − x − 1  x+2  ) 2 =0  x  x −1 = 0 =1    x = x + 2 ⇔  x+2 ⇔  x+2 ⇔ ⇔x=2 2 x − 3 − x − 1 = 0 2 x − 3 = x − 1 2 x − 3 = x − 1   Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {2} Ví dụ 3: Giải phương trình 5 x 2 − 4 x + 3 x + 1 = 2 x 3x 2 + 1 + x 2 x 2 − 2 x + 1. Lời giải ĐK: x ∈ ℝ (*) Ta có VT (1) = x 2 + ( 4 x 2 − 4 x + 1) + 3 x = x 2 + ( 2 x − 1) + 3 x ≥ 0 2 ) ( ⇒ VP (1) ≥ 0 ⇒ x 2 3 x 2 + 1 + 2 x 2 − 2 x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. Khi đó (1) thành 5 x 2 − 4 x + 3x + 1 = 2 x 3x 2 + 1 + x 2 x 2 − 2 x + 1 ⇔ 10 x 2 − 2 x + 2 = 4 x 3x 2 + 1 + 2 x 2 x 2 − 2 x + 1 ⇔  4 x 2 − 4 x 3 x 2 + 1 + ( 3 x 2 + 1)  +  x 2 − 2 x 2 x 2 − 2 x + 1 + ( 2 x 2 − 2 x + 1)  = 0     ( ) ( 2 ⇔ 2 x − 3x 2 + 1 + x − 2 x 2 − 2 x + 1 ) 2 =0 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( ⇔ 2 x − 3x 2 + 1 ) ( 2 = x − 2x2 − 2x + 1 ) 2 Facebook: Lyhung95 =0 x ≥ 0 x ≥ 0 2 x = 3 x 2 + 1    ⇔ ⇔ 4 x 2 = 3 x 2 + 1 ⇔  x2 = 1 ⇔ x = 1. 2  2  2 2  x = 2 x − 2 x + 1  x = 2 x − 2 x + 1 ( x − 1) = 0 Thử lại x = 1 thỏa mãn phương trình đã cho. Đ/s: x = 1 1  Ví dụ 4: Giải phương trình ( x − 3)  x + x  = ( x − 1) 2 x + 1 + 3 x − 11 2  Lời giải: Điều kiện: x ≥ 0 . Phương trình đã cho tương đương với: ( ( x ∈ ℝ) . ) pt ⇔ ( x − 3) x + 2 x = 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 6 x − 22 ⇔ x 2 − 3 x + 2 x x − 6 x = 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 6 x − 22 ⇔ x 2 − 3 x − 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 2 x x − 12 x + 22 = 0 ( ) ⇔  x 2 − 2 x + 1 − 2 ( x − 1) 2 x + 1 + 2 x + 1 + 2 x x − 3 x − 12 x + 20 = 0 ( ) ( 2 ⇔ x − 1 − 2x + 1 + 2 x + 5 ( ( )( x −2 ) 2 =0 ( ∗) )  x −1 − 2x + 1 2 ≥ 0  Vì x ≥ 0 ⇒ 2 x + 5 > 0 ⇒  nên phương trình ( ∗) trở thành: 2  2 x +5 x −2 ≥0   x − 1 = 2 x + 1 x − 1 − 2x + 1 = x − 2 = 0 ⇔  ⇔ x = 4.  x = 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 4 . )( ) Ví dụ 5: Giải phương trình x 2 − x + 4 = ( x − 1) x + 2 + x3 + x 2 − 4 x + 6 ( x ∈ ℝ) . PHÂN TÍCH CASIO Sử dụng SHIFT SOLVE với x = 2 ta được nghiệm x ≃ 3.302774567 . BẢNG GIÁ TRỊ Kiểm tra điều kiện nghiệm kép với TABLE (Mode 7). X F(X ) 2 3 2 Xét F ( X ) = X − X + 4 − ( X − 1) X + 2 + X + X − 4 X + 6 . 3.1 0.0228 Nhập các giá trị 3.2 5.919.10 −3 • Start ? START = 3.1 . 3.3 4.346.10 −6 • End ? END = 4 . 3.4 5.366.10 −3 • Step ? STEP = 0.1 . 3.5 0.0222 Qua bảng bên, ta nhận thấy nghiệm nằm trong lân cận giá trị 3.3 3.6 0.0507 đồng thời hàm số F ( X ) có dấu hiệu tiếp xúc với trục hoành. Vì 3.7 0.0911 vậy nghiệm x ≃ 3.302774567 là nghiệm kép của F ( X ) = 0 . Đồng thời ta lại có: x3 + x 2 − 4 x + 6 = ( x + 3) ( x 2 − 2 x + 2 ) 3.8 3.9 4.0 0.1435 0.208 0.2849 Thay x ≃ 3.302774567 vào các căn thức ta được:  x + 2 ≃ 2.302775405   x + 2 ≃ 3.302774567 − 1 = x − 1 ⇒  x + 3 ≃ 2.510532726 2  2  x + 3 ≃ x − 2 x + 2 x − 2 x + 2 = 2.510531957  Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ( Vậy ta tạo hằng đẳng thức để có các biểu thức x − 1 − x + 2 ) 2 và Facebook: Lyhung95 ) ( 2 x + 3 − x2 − 2 x + 2 . Lời giải: Điều kiện: x ≥ −2 . Vì x ≥ −2 nên x + 3 > 0 do đó ( x + 3) ( x 2 − 2 x + 2 ) = x3 + x 2 − 4 x + 6 = x + 3. x 2 − 2 x + 2 . Khi đó, phương trình đã cho tương đương với: pt ⇔ 2 x 2 − 2 x + 8 = 2 ( x − 1) x + 2 + 2 x + 3. x 2 − 2 x + 2 ( ) ⇔  x 2 − 2 x + 1 − 2 ( x − 1) x + 2 + x + 2  + x + 3 − 2 x + 3. x 2 − 2 x + 2 + x 2 − 2 x + 2 = 0 3 + 13  x − 1 = x + 2 =0⇔ ⇔x= 2 2  x + 3 = x − 2 x + 2 3 + 13 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = . 2 ( ⇔ x −1− x + 2 ) +( 2 x + 3 − x2 − 2 x + 2 Ví dụ 6: Giải phương trình x 2 + 4 x + 11 = 4 ( ) 2 x 2 + x + 2 + 3x + 1 ) Lời giải: 1 ĐK: x ≥ − 3 Khi đó PT ⇔ x 2 + x + 2 − 4 x 2 + x + 2 + 4 + 3 x + 1 − 4 3 x + 1 + 4 = 0 2 2  x 2 + x + 2 = 4 2 ⇔ x + x + 2 − 2 + 3x + 1 − 2 = 0 ⇔  ⇔ x = 1 ( tm ) .  3x + 1 = 4 Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của PT đã cho. ) ( ( ) Ví dụ 7: Giải phương trình ( x − 1) 2 = 2 x 2 x − 1 − ( x + 7 ) x + 3 + 14 Lời giải: ĐK: x ≥ ( 1 . Khi đó ta có: x 2 − 2 x 2 x − 1 + 2 x − 1 = 4 x + 12 − ( x + 7 ) x + 3 2 x − 2x −1 ) 2 ( ) ( ) = 4 x + 12 − ( x + 7 ) x + 3 ⇔ x − 2 x − 1 + ( x + 3) x + 3 + x + 3 x + 7 − 4 x + 3 = 0 . 2  x = 2 x − 1 =0⇔ ⇔ x = 1 ( tm ) .  x + 3 = 4 Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của PT đã cho. ( ) 2 ⇔ x − 2x −1 + x + 3 ( x+3 −2 ) 2 Ví dụ 8: Giải phương trình 2 x 2 + 2 x 2 + 8 − 2 2 x − 3 = 7 x − 4 Lời giải: ( ) ĐK: x ≥ 2 . Ta có: PT ⇔ 2 x 2 + 8 − ( x + 2 ) + ( 2 x − 2 ) − 2 2 x − 3 + 2 x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 2 2x2 + 8 + x + 2 ( x − 2) + ( 2 x − 3) − 2 2 x − 3 + 1 + 2 ( x − 2 ) = 0 . 2 2  x = 2 2x − 3 −1 + 2 ( x − 2) = 0 ⇔  ⇔ x = 2 ( tm ) . 2 x2 + 8 + x + 2  2 x − 3 = 1 Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của PT đã cho. Ví dụ 9: Giải phương trình x 2 + 2 x + 5 = ( x + 2 ) x + 7 + x x + 2 ⇔ 2 + ( ) Điều kiện: x ≥ −2 Phương trình đã cho tương đương Lời giải Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 x 2 + 4 x + 10 = 2 ( x + 2 ) x + 7 + 2 x x + 2 ⇔ ( x + 2 ) − 2 ( x + 2 ) x + 7 + ( x + 7 ) + x 2 − 2 x x + 2 + ( x + 2 ) = 0 2 ( ⇔ x+2− x+7 ) + (x − 2 x+2 ) 2  x + 2 − x + 7 = 0  x + 7 = x + 2 ⇔ ⇔ ⇔x=2  x − x + 2 = 0  x + 2 = x Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = {2} Ví dụ 10: Giải phương trình x − 2 + 3 = 2 x − 1 + 4 x − 3. x Lời giải ĐK: x ≥ 3 4 (*) Khi đó (1) ⇔ x 2 + 3 x − 2 = x 2 x − 1 + x 4 x − 3 ⇔ 2 x2 + 6 x − 4 = 2 x 2 x − 1 + 2 x 4 x − 3 ( ) ( ) ⇔ x2 − 2 x 2 x − 1 + 2 x − 1 + x2 − 2 x 4 x − 3 + 4 x − 3 = 0 ( ) ( 2 ⇔ x − 2x −1 + x − 4x − 3 ) 2 =0 x ≥ 0 x ≥ 0  x = 2 x − 1  2  2 ⇔ ⇔  x = 2 x − 1 ⇔ ( x − 1) = 0 ⇔ x = 1 thỏa mãn (*)  x = 4 x − 3  x2 = 4 x − 3   ( x − 1)( x − 3) = 0 Đ/s: x = 1 Ví dụ 11: Giải phương trình 2 x 2 + x − 1 = x 4 x − 3 + x 2 x 2 − 2 x + 1. Lời giải 3  3  3 x ≥ x ≥ 4 ĐK:  ⇔ ⇔ x≥ 4 4 2 x 2 − 2 x + 1 ≥ 0  x 2 + ( x − 1) 2 ≥ 0   (*) Khi đó (1) ⇔ 4 x 2 + 2 x − 2 = 2 x 4 x − 3 + 2 x 2 x 2 − 2 x + 1 ) ) ( ( ⇔ x2 − 2 x 4 x − 3 + 4 x − 3 + x2 − 2 x 2 x2 − 2 x + 1 + 2 x2 − 2 x + 1 = 0 ( ⇔ x − 4x − 3 ) +(x − 2 2 x2 − 2 x + 1 ) 2 =0 x ≥ 0  x = 4 x − 3  ⇔ ⇔  x2 = 4 x − 3 2  2 2  x = 2 x − 2 x + 1 x = 2x − 2x +1 x ≥ 0  ⇔ ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇔ x = 1 thỏa mãn (*)  2 ( x − 1) = 0 Đ/s: x = 1 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Ví dụ 12: Giải phương trình x 2 + 5 x + 14 = ( x + 1) x + 3 + ( x + 3) x + 15. Lời giải ĐK: x ≥ −3 (*) Khi đó (1) ⇔ 2 x 2 + 10 x + 28 = 2 ( x + 1) x + 3 + 2 ( x + 3) x + 15 2 2 ⇔ ( x + 1) − 2 ( x + 1) x + 3 + ( x + 3)  + ( x + 3) − 2 ( x + 3) x + 15 + ( x + 15)  = 0     ( ) +(x +3− x + 15 ) ( ) = (x +3− x + 15 ) ⇔ x +1− x + 3 ⇔ x +1− x + 3 2 2 2 2 =0 =0  x ≥ −1  x + 1 = x + 3 2  ⇔ ⇔ ( x + 1) = x + 3  x + 3 = x + 15  2 ( x + 3) = x + 15  x ≥ −1  x ≥ −1   2 ⇔  x + x − 2 = 0 ⇔ ( x − 1)( x + 2 ) = 0 ⇔ x = 1 thỏa mãn (*)  x2 + 5x − 6 = 0   ( x − 1)( x + 6 ) = 0 Đ/s: x = 1 Ví dụ 13: Giải phương trình 2 x3 + 5x 2 + 5x + 1 1 + 1 = 2 x + x + trên tập hợp số thực. x x Lời giải. 1 + 1 ≥ 0; x > 0 . x Với điều kiện vế phải không âm, phương trình đã cho tương đương với Điều kiện 2 x 3 + 5 x 2 + 5 x +  1 1 2 x + 5 x + 5 x + + 1 =  2 x + x +  x x  3 2 2 ⇔ 2 x3 + 5 x 2 + 5 x + ⇔ x2 + 1 − 4x x + 1 1 1 + 1 = 4x2 + 4x x + + x + x x x 1 + 4 x + 2 x3 = 0 x 2   1 1 1 ⇔ x + − 4 x + + 4 + 2 x 2 = 0 ⇔  x + − 2  + 2 x 2 = 0 (1) x x x   Rõ ràng (1) vô nghiệm vì x > 0 . Kết luận bài toán vô nghiệm. Ví dụ 14: Giải phương trình x2 + 2 1 +2 = − x2 + 1 ( x ∈ ℝ) . x x Lời giải. 2 1 + 2 ≥ 0; x ≠ 0; − x 2 ≥ 0 . x x Phương trình đã cho tương đương với Điều kiện x 2 + Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2  1  2 2 1 1 x + + 2 =  − x 2 + 1 ⇔ + x 2 + 2 = − x 2 + 2 − x2 + 1 x x x x  x  2 ⇔ 1 1 1 1 + 2 x2 + 1 = 2 − x2 ⇔ − x2 − 2 − x 2 + 1 + 3x 2 = 0 x x x x 2  1  1  − x2 = 1  2 2 ⇔  − x − 1  + 3 x = 0 ⇔  x ⇔ x ∈∅  x  x = 0  Kết luận phương trình đã cho vô nghiệm. Ví dụ 15: Giải phương trình sau trên tập hợp số thực x 4 + 2 ( 2 x 2 − x + 1) = x 2 − x + 1 + x ( x ∈ ℝ) . Lời giải. Điều kiện x thực. Với điều kiện vế phải không âm, ta thu được x4 + 4 x2 − 2 x + 2 = x2 − x + 1 + x ⇔ x4 + 4 x2 − 2 x + 2 = x2 − x + 1 + 2 x x2 − x + 1 + x2 ⇔ x4 + 2 x2 − x + 1 = 2 x x2 − x + 1 ⇔ x4 + x2 − x + 1 − 2 x x2 − x + 1 + x2 = 0  x = 0 =0⇔ 2 ⇔ x∈∅  x − x + 1 = x Kết luận phương trình đã cho vô nghiệm. 2 Ví dụ 16: Giải phương trình x 2 − 8 x − + 1 = 2 7 − x ( x ∈ ℝ) . x Lời giải. Điều kiện 0 ≠ x ≤ 7 . Phương trình đã cho tương đương x3 − 8 x 2 + x − 2 = 2 x 7 − x ⇔ 7 x 2 − x 3 − 2 x 7 − x + 1 + x 2 − x + 1 = 0 ⇔ x4 + ( x2 − x + 1 − x ) 2 ⇔ x2 ( 7 − x ) − 2x 7 − x + 1 + x2 − x + 1 = 0 2  x 7 − x = 1 ⇔ x 7 − x − 1 + x2 − x + 1 = 0 ⇔  2 ⇔ x∈∅  x − x + 1 = 0 Kết luận phương trình đã cho vô nghiệm. ( ) 3   6 Ví dụ 17: Giải phương trình  17 x + − 3  + x = 0 ( x ∈ ℝ ) . x   Lời giải. 6  17 x + ≥ 0 Điều kiện  ⇔ x >0. x  x ≠ 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3   6 6 6 6 17 x + ≥ 2 17 x. = 2 102 ⇒ 17 x + − 3 ≥ 2 102 − 3 > 0 ⇒  17 x + − 3  . x x x x   3   6 Lại có x > 0 ⇒  17 x + − 3  + x > 0 , dẫn đến phương trình đã cho vô nghiệm. x   ( Ví dụ 18: Giải phương trình 4 x 2 + 12 + x − 1 = 4 x 5 x − 1 + 9 − 5 x ) ( x ∈ ℝ) Lời giải: Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 9 1 ≥ x ≥ . Sử dụng máy tính CASIO ta thu được nghiệm kép x = 1 . 5 5 2 2   5 x − 1 = 2 = 2 x  5 x − 1 = 2 = 2 x  2 x − 5 x − 1 = 4 x + 5 x − 1 − 4 x 5 x − 1 Khi đó  suy ra  là các ⇒ 2  9 − 5 x = 2  9 − 5 x = 2  9 − 5 x − 2 = 13 − 5 x − 4 9 − 5 x  hằng đẳng thức cần tạo nên phương trình đã cho tương đương với: Điều kiện: ( ( ( 4x 2 ) ) ) ( ) + 5 x − 1 − 4 x 5 x − 1 + 13 − 5 x − 4 9 − 5 x + x − 1 = 0 2 x = 5 x − 1  ⇔ 2 x − 5x − 1 + 9 − 5x − 2 + x − 1 = 0 ⇔  9 − 5x = 2 ⇔ x = 1   x − 1 = 0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1 . ( ) ( ) 2 Ví dụ 19: Giải phương trình 4 ( ( ) 2 ( ) ( x ∈ ℝ) x + 1 − 3 x 2 + 13 x + 1 − 8 x = 4 x − 1 + 3 Lời giải: ) ( ) Điều kiện: x ≥ 1 . Ta có − 4 x − 1 + 3 = 4 ( x − 1) − 4 x − 1 + 1 − 4 x = 2 x − 1 − 1 − 4 x . Nên phương trình đã cho tương đương với: 4 ( ) ( ) 2 ( ) 2 x + 1 − 3 x 2 + 13 x + 1 − 8 x − 4 x + 2 x − 1 − 1 = 0 . ( ) 2 ⇔ 4 x 2 x + 1 + 13 x x + 1 − 12 x 2 − 12 x + 2 x − 1 − 1 = 0 ( ) ( ) ⇔ x  x + 1 ( 4 x + 13) − 12 ( x + 1)  + ( 2 x − 1 − 1) = 0 ⇔ x x + 1 ( 4 x + 1 − 12 x + 1 ) + ( 2 x − 1 − 1) = 0 ⇔ x x + 1 ( 4 x + 4 − 12 x + 1 + 9 ) + ( 2 x − 1 − 1) = 0 ⇔ x x + 1 ( 2 x + 1 − 3) + ( 2 x − 1 − 1) = 0 ( ∗) x x + 1 2 x + 1 − 3 ≥ 0 ( ) nên phương trình ∗ trở thành:  x +1 > 0 ⇒  ( ) ( 2 x − 1 − 1) ≥ 0  2 ⇔ x 4 x x + 1 + 13 x + 1 − 12 x − 12 + 2 x − 1 − 1 = 0 2 2 2 2 2 2 Vì x ≥ 1 ⇒ x 2 2 x + 1 = 3 5 2 x +1 − 3 = 2 x −1 −1 = 0 ⇔  ⇔x= . 4 2 x − 1 = 1 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = . 4 ( Ví dụ 20: Giải phương trình x 4 + 7 x 2 + 4 x + 3 = 2 x x 2 + x + 1 + 2 3 x 2 + x + 1 Lời giải: ( ) )  x2 − 2 x x + 1 + x + 1 = x − x + 1 2  Điều kiện: x ≥ −1 . Ta có  4 x 2 − 4 x 3x 2 + x + 1 + 3 x 2 + x + 1 = 2 x − 3x 2 + x + 1  Khi đó phương trình đã cho tương đương với: ( ( x ∈ ℝ) ) 2 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học CHINH PHỤC PT và HỆ PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ) ( ( Facebook: Lyhung95 2 pt ⇔ x 4 − 2 x3 − x 2 + 2 x + 1 + x − x + 1 + 2 x − 3 x 2 + x + 1 ( ) ( ) 2 =0 ⇔ x 2 ( x 2 − x − 1) − ( x3 − 2 x − 1) + x − x + 1 + 2 x − 3 x 2 + x + 1 2 ( ⇔ x 2 ( x 2 − x − 1) − ( x + 1) ( x 2 − x − 1) + x − x + 1 ( ⇔ ( x 2 − x − 1) + x − x + 1 2 ) ( 2 ) + ( 2x − + 2 x − 3x 2 + x + 1 2 ) 2 ) 2 =0 3x 2 + x + 1 ) 2 =0 =0  x2 − x − 1 = 0  x ≥ 0 1+ 5 ⇔ x = x + 1 ⇔ 2 ⇔x= 2 x − x −1 = 0  2 2 x = 3 x + x + 1  1+ 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = . 2 Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2016!