Tài liệu Xây dựng tôpô trên tập các số colombeau

LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Thọ, Ban giám hiệu, Tổ Toán - Lí - Tin và đồng nghiệp trường THPT Cẩm Khê - Phú Thọ, đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2012 Tác giả Tạ Minh Đức LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2012 Tác giả Tạ Minh Đức Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Một số khái niệm và thuật ngữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Không gian các hàm thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Hàm suy rộng Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Vấn đề tích hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1. Tích chập của hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2. Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.3. Vấn đề tích của hai hàm suy rộng tùy ý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . . 2.1. Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 2.1.1. Hàm suy rộng Colombeau (G-suy rộng) trên Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2. Hàm suy rộng Colombeau trên tập mở Ω ⊂ Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Các tính chất về vi phân trong đại số G (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3. Số Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4. Giá trị tại điểm của hàm G-suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Chương 3. Xây dựng tôpô trên tập các số Colombeau . . 41 3.1. Giới thiệu chung về tôpô trên tập số Colombeau . . . . . . . . . . 41 3.2. Tôpô trên tập các số Colombeau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3. Định lí Fermat-Reyes trong G (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 Bảng kí hiệu Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng những kí hiệu sau: N = {0, 1, 2...}: tập các số tự nhiên. N∗ : tập các số tự nhiên khác 0. R: tập số thực R+ : tập các số thực không âm. R∗+ : tập các số thực dương. C: tập số phức với đơn vị ảo i (i2 = −1). Với mỗi số tự nhiên n khác 0, ta ký hiệu: • Nn = {α = (α1 , α2 , ..., αn ) |αj ∈ N , j = 1, 2, ..., n}. • Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) |xj ∈ R , j = 1, 2, ..., n} là không gian thực 1 P n 2 2 n chiều với chuẩn Euclid kxk = . j=1 xj n! = n(n − 1)...1: n giai thừa, là tích của n số nguyên dương đầu tiên. Cnk = n! k!.(n−k)! (k, n ∈ N, 0 ≤ k ≤ n, n ≥ 1): số tổ hợp chập k của tập có n phần tử. 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong toán học việc lấy đạo hàm các hàm số là việc làm thường gặp. Tuy nhiên không phải với hàm số nào ta cũng làm được điều đó. Ví dụ như hàm số f (x) = |x| là hàm số liên tục trên toàn bộ R nhưng nó chỉ có đạo hàm tại những điểm x 6= 0. Điều này làm nảy sinh vấn đề là cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm để có những lớp hàm mới luôn có thể lấy đạo hàm đồng thời hàm đó bao hàm những hàm đã biết. Từ đó trong Toán học đã xuất hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi là "Hàm suy rộng". Tiêu biểu phải kể đến lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz và lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau. Lý thuyết hàm suy rộng được phát triển bởi Schwartz đã mở ra cánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng. Với lý thuyết đó, L.Schwartz đã được nhận Huy chương Fields vào năm 1950. Lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz đóng vai trò quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Tuy nhiên những bài toán phi tuyến dẫn đến việc xem xét lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ. Về vấn đề này L.Schwartz đã đưa ra kết luận về một "kết quả không thể" trong việc lấy tích hai hàm suy rộng tổng quát. Trong kết luận đó L.Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ mà vẫn thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích. Tuy nhiên rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai 4 hàm suy rộng, điều này làm cho rất nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu để có thể giải quyết vấn đề này. Vào năm 1980, một lý thuyết mới về hàm suy rộng đã được nhà toán học người Pháp là J.F.Colombeau giới thiệu. Trong lý thuyết này, hàm suy rộng Schwartz được coi như một tập con và trong đó có thể lấy tích hai hàm suy rộng tùy ý. Sau khi lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau ra đời, nhiều nhà toán học đã ứng dụng và có những kết quả quan trọng trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Hiện nay, việc nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau vẫn thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới và có những kết quả quan trọng. Đối với hàm suy rông Schwartz nói chung, ta không thể xác định được giá trị tại mỗi điểm. Với hàm suy rộng Colombeau, dựa trên việc mở rộng tập số phức C ta có thể xác định được giá trị tại mỗi điểm. Điều này dẫn tới việc cần xây dựng trên tập số phức suy rộng (số Colombeau) các tôpô sao cho một số kết quả trong giải tích cổ điển cũng đúng với hàm suy rộng Colombeau. Một vấn đề quan tâm của luận văn này là kết quả trong bài báo "New topologies on Colombeau generalized numbers and the Fermat-Reyes theorem" của các tác giả Paolo Giordano và Michael Kunzinger (đường link http://arxiv.org/pdf/1201.3887 ). Trong bài báo này, các tác giả đề cập một cách chi tiết đến việc xây dựng một số tôpô như tôpô mịn, tôpô Fermat, ω-tôpô. Số Colombeau có ý nghĩa quan trọng trong việc xác định giá trị của hàm suy rộng Colombeau, nó có tác dụng giống như tập số phức đối với các hàm thông thường. Vì vậy, việc thiết lập và nghiên cứu các tính chất trên tập các số 5 Colombeau đặt ra nhiều bài toán mới cho các nhà toán học nghiên cứu về lý thuyết hàm suy rộng Colombeau. Bài báo trên góp một phần vào việc tìm hiểu sâu sắc hơn tập số Colombeau bằng cách xây dựng tôpô trên đó, từ đó chúng ta có thể nghiên cứu được các vấn đề tiếp theo liên quan đến hàm suy rộng Colombeau. Đây cũng chính là một phần quan tâm của luận văn này ngoài việc tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Colombeau. Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, dưới sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn đề tài "Xây dựng tôpô trên tập các số Colombeau" cho luận văn tốt nghiệp khoá học thạc sĩ của mình. Trong luận văn này, chúng tôi cũng sẽ tóm tắt các kiến thức cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau, cuối cùng luận văn sẽ trình bày xây dựng tôpô mịn, tôpô Fermat, ω-tôpô trên tập các số Colombeau và các kết quả liên quan. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau, xây dựng tôpô mịn, tôpô Fermat, ω-tôpô trên tập các số Colombeau. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng Schwartz; • Tìm hiểu các lý thuyết hàm suy rộng Colombeau; • Xây dựng tôpô mịn, tôpô Fermat, ω-tôpôtrên tập các số Colombeau; 6 • Định lý Fermat - Reyes. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau, tôpô trên tập các số Colombeau. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, một số bài báo liên quan đến các lý thuyết hàm suy rộng và số Colombeau. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức, phương pháp và các công cụ của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về tôpô trên tập các số Colombeau. 6. Dự kiến đóng góp mới Luận văn là tài liệu liên quan đến một số kết quả mới trên tập các số Colombeau, từ đó có thể là cơ sở cho việc phát triển những kết quả tiếp theo. 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Để thuận lợi cho việc theo dõi, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết hàm suy rộng Schwartz. Các kiến thức sau đây được tham khảo trong [3], [5], [9]. 1.1. Một số khái niệm và thuật ngữ Ta gọi mỗi phần tử α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn là một n-chỉ số (hay đa chỉ số) với bậc |α| = α1 + α2 + · · · + αn . Với mỗi đa chỉ số α, toán tử vi phân ký hiệu ∂ α = ∂1α1 ∂2α2 ...∂nαn , ở ∂ ∂ và toán tử Dα = D1α1 D2α2 ...Dnαn , trong đó Dj = = đây ∂j = ∂xj i∂xj −i∂j , j = 1, 2, ..., n. n Nếu không có gì đặc biệt thì ta hiểu Ω là một tập mở  trong R .  R Với mỗi 1 ≤ p < ∞ ta ký hiệu Lp (Ω) = f : Ω → C  |f (x)|p dx < +∞ . Ω Lp (Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn  p1  Z kf kp =  |f (x)|p dx . Ω Khi p = ∞ thì L∞ (Ω) =     f : Ω → C esssup |f (x)| < +∞ , trong đó x∈Ω esssup|f (x)| = inf {M > 0 sao cho µ {x ∈ Ω ||f (x)| > M } = 0} . x∈Ω 8 Khi đó chuẩn trong L∞ (Ω) là kf k∞ = esssup|f (x)|. x∈Ω Với mỗi α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Nn , β = (β1 , β2 , ..., βn ) ∈ Nn thì β ≤ α nghĩa là βj ≤ αj , j = 1, 2, ..., n. Nếu β ≤ α ta viết Cαβ = Cαβ11 Cαβ22 · · · Cαβnn , trong đó Cαβjj = αj ! ; j = 1, 2, ..., n. βj ! (αj − βj )! Ta ký hiệu C k (Ω) là tập hợp các hàm khả vi liên tục tới cấp k. Với f, g ∈ C k (Ω) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz ∂ α (f g) = X β≤α Dα (f g) = X β≤α α! ∂ β f ∂ α−β g, β! (α − β)! (1.1) α! Dβ f Dα−β g, β! (α − β)! (1.2) trong đó α! = α1 !α2 !...αn !. 1.2. Không gian các hàm thử Cho Ω là một tập khác rỗng và Ω ⊂ Rn . Ta ký hiệu C ∞ (Ω) là tập hợp những hàm f giá trị phức xác định trên Ω sao cho ∂ α f tồn tại với mọi đa chỉ số α. Giá của hàm liên tục f : Ω → C là tập hợp, ký hiệu suppf , được xác định bởi suppf = cl {x ∈ Ω : f (x) 6= 0}. Nếu K là một tập compact trong Rn , ta ký hiệu DK là tập hợp {f ∈ C ∞ (Rn ) : suppf ⊆ K}. Ta thừa nhận các bổ đề sau (chi tiết xin xem trong [9]). 9 Bổ đề 1.2.1. Cho Ω ⊂ Rn và Ω 6= ∅. Khi đó tồn tại các tập compact ∞ S {Kj }, (j = 1, 2, 3, ...) thỏa mãn Kj ⊂ intKj+1 và Kj = Ω. j=1 Vì vậy, kể từ đây, trong luận văn này ta ký hiệu K là một tập compact của Ω và Kj là một trong các tập compact trong họ Kj nói trong bổ đề trên. Bổ đề 1.2.2. C ∞ (Ω) là một không gian Fréchet và DK là không gian con đóng của C ∞ (Ω) với mọi K ⊂ Ω. Như vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω thì DK (Ω) là một không gian Fréchet. Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử. Định nghĩa 1.2.1. Ta ký hiệu D (Ω) là tập hợp  D (Ω) = φ ∈ C ∞ (Ω) : suppφ là tập compact trong Ω . Khi đó ta gọi D (Ω) là không gian các hàm thử (test function). Ta thấy D (Ω) = ∞ S DKj (Ω), nên D (Ω) là không gian vectơ, đó còn j=1 là không gian vectơ lồi địa phương. Điều này được thể hiện qua định lý sau: Định lý 1.2.1. Không gian các hàm thử D (Ω) là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương. Chứng minh. Theo nhận xét trên ta có DK (Ω) là không gian Fréchet. Ký hiệu τK là tôpô trên không gian DK (Ω), β là họ tất cả các hợp W tập cân, lồi của D (Ω) sao cho DK ∩W ∈ τK với mọi tập compact K ⊂ Ω. Gọi τ là họ tất cả các tập hợp có dạng φ + W với φ ∈ D (Ω) và W ∈ β. 10 a) Ta chứng minh τ là một tôpô trên D (Ω) và β là một cơ sở lân cận của τ . Thật vậy, với V1 , V2 ∈ τ và φ ∈ V1 ∩ V2 ta chỉ cần chứng minh tồn tại W ∈ β sao cho φ + W ⊂ V1 ∩ V2 . Ta có, do φ ∈ Vi , (i = 1, 2) nên tồn tại φi ∈ D (Ω) và Wi ∈ β sao cho φ ∈ φi + Wi , (i = 1, 2). Chọn tập compact K ⊂ Ω sao cho φ, φi ∈ DK , (i = 1, 2). Do DK ∩ Wi mở trong DK nên tồn tại δi > 0, i = 1, 2 sao cho φ − φi ∈ (1 − δi ) Wi . Do Wi là tập lồi nên φ − φi + δi Wi ⊂ (1 − δi ) Wi + δi Wi = Wi , suy ra φ + δi Wi ⊂ φi + Wi ⊂ Vi , (i = 1, 2). Từ đó ta chọn W = (δ1 W1 ) ∩ (δ2 W2 ) thì φ + W ⊂ V1 ∩ V2 . Vậy τ là một tôpô trong D (Ω). Hiển nhiên β là một cơ sở của τ . Giả sử φ1 , φ2 là hai phần tử phân biệt tùy ý của D (Ω). Với mỗi φ ∈ D (Ω) ta đặt kφk0 = sup |φ(x)| x∈Ω và W = {φ ∈ D (Ω) : kφk0 < kφ1 − φ2 k0 } 11 thì W ∈ β và φ1 6⊂ φ2 + W . Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong D (Ω) theo tôpô τ . b) Bây giờ ta chứng minh các phép toán trên D liên tục với tôpô τ . Với mọi φ1 , φ2 ∈ D (Ω) và φ1 + φ2 + W ∈ τ với W ∈ β. Khi đó do 1 1 1 W là cân, nên W ∈ β, suy ra φ1 + W ∈ τ và φ2 + W ∈ τ và 2 2 2 1 1 φ1 + W ∈ τ + φ2 + W ∈ τ ⊆ φ1 + φ2 + W . Vậy phép cộng hai phần 2 2 tử trong D (Ω) là liên tục theo τ . Với α0 ∈ C và φ0 ∈ D (Ω) ta có αφ − α0 φ0 = α (φ − φ0 ) + (α − α0 ) φ0 . 1 1 W . Đặt c = 2 2 (|α0 | + δ) thì do W là tập lồi và cân nên ta có αφ − α0 φ ∈ W với mọi |α − α0 | < δ Với mọi W ∈ β tồn tại δ > 0 sao cho δφ0 ∈ và φ ∈ φ0 + cW . Vậy phép nhân với phần tử vô hướng là liên tục trong D (Ω) theo tôpô τ . Điều này chứng tỏ không gian các hàm thử D (Ω) là không gian vectơ tôpô và hơn nữa còn là không gian lồi địa phương. Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích hiện đại. Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như mở rộng các khái niệm đã có. Sau đây ta thừa nhận các tính chất của D (Ω). Định lý 1.2.2. Cho không gian D (Ω) với tôpô τ . Ta có 1. Dãy các hàm thử {φl }∞ l=1 hội tụ theo tôpô τ tới φ0 trong D (Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho suppφl ⊂ Kj với mọi l ∈ N∗ và φl → φ0 trong DKj (Ω), nghĩa là sup |∂ α φl (x) − ∂ α φ0 (x)| → 0 khi l → ∞, x∈Kj 12 (1.3) với mọi đa chỉ số α. 2. Tập E ⊂ D (Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho E là tập con bị chặn trong DKj (Ω). Đặc biệt, nếu {φl }∞ l=1 là dãy Cauchy trong D (Ω) thì tồn tại j ∈ N∗ sao cho φl hội tụ trong DKj (Ω) và do đó hội tụ trong D (Ω). 3. Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D (Ω) → C liên tục khi và chỉ khi với mọi j ∈ N tồn tại Nj ∈ N và hằng số cj > 0 sao cho sup φ∈DKj (Ω) |Λ (φ)| ≤ cj sup {|∂ α φ(x)| : |α| ≤ Nj } . (1.4) x∈Kj Định lý 1.2.3. Trong không gian các hàm thử 1. Phép lấy vi phân ∂ α : φ 7→ ∂ α φ là tuyến tính và liên tục trên D (Ω) với mọi đa chỉ số α. 2. Với mọi f ∈ C ∞ (Ω) thì ánh xạ Mf : φ 7→ f φ cũng là tuyến tính liên tục trên D (Ω). 1.3. Hàm suy rộng Schwartz Định nghĩa 1.3.1. Mỗi phiếm hàm u : D (Ω) → C tuyến tính và liên tục với tôpô trên D (Ω) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz. Không gian các hàm suy rộng trên Ω được ký hiệu D0 (Ω). Với mỗi hàm suy rộng u ta viết u (φ) là hu, φi với φ ∈ D (Ω). Như vậy D0 (Ω) là không gian đối ngẫu của D (Ω). Dựa vào tính liên tục của phiếm hàm trên D (Ω) ta có 13 Mệnh đề 1.3.1. Cho u là một phiếm hàm tuyến tính trên D (Ω). Các mệnh đề sau là tương đương i) u ∈ D0 (Ω) ii) Với mỗi tập compact K ⊂ Ω, tồn tại một số thực c > 0 và một số nguyên không âm N sao cho |hu, φi| ≤ X sup |∂ α φ| (1.5) |α≤N | với mọi φ ∈ D (Ω) và suppφ ⊂ K. iii) Mọi dãy {φj }∞ j=1 hội tụ về 0 trong D (Ω) thì lim hu, φi = 0. j→0 Ta biết rằng trong (1.5) nếu ta thay N bởi N 0 > N thì vẫn đúng. Ta gọi số N nhỏ nhất trong (1.5) là cấp của hàm suy rộng. Chú ý. D0 (Ω) là không gian vectơ với các phép toán được xây dựng trên C như sau • Phép cộng. Với mọi u, v ∈ D0 (Ω) ta định nghĩa u + v như sau: hu + v, φi = hu, φi + hv, φi , ∀φ ∈ D (Ω). Khi đó u + v ∈ D0 (Ω). • Phép nhân với phần tử vô hướng. Với mọi u ∈ D0 (Ω) và mọi số λ ta định nghĩa λu như sau: hλu, φi = λ hu, φi , ∀φ ∈ D (Ω). Khi đó λu ∈ D0 (Ω). Ví dụ 1.3.1. 1. Mỗi hàm f ∈ Lloc (Ω) là một hàm suy rộng f : φ 7→ R hf, φi = Ω f (x)φ(x)dx. Thật vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω và mọi hàm φ ∈ D (Ω) sao cho 14 suppφ ⊂ K ta có   Z Z     |hf, φi| =  f (x)φ(x)dx =  f (x)φ(x)dx K ZΩ Z ≤ |f (x)| |φ(x)| dx ≤ sup |φ(x)| |f (x)| dx. K K Vậy với N = 0 và c = R K (1.6) K |f (x)| dx thì f là hàm suy rộng cấp 0. 2. Tương tự, mọi hàm f ∈ Lp (Ω) cũng là một hàm suy rộng. Ví dụ 1.3.2. (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hiệu là δ được xác định như sau δ : D (Rn ) → C và hδ, φi = φ(0) là một hàm suy rộng cấp 0. Thật vậy, với mọi tập compact K ⊂ Rn và mọi φ ∈ D (Rn ) sao cho suppφ ⊂ K ta có |hδ, φi| = |φ(0)| ≤ 1. supK |φ(x)|. Ví dụ 1.3.3. Với mỗi f ∈ L1loc (Ω) và với α ∈ Nn , ánh xạ uf,α : φ 7→ R α Ω f (x) (D φ) (x)dx là một hàm suy rộng. Ví dụ 1.3.4. Trên R xét hàm suy rộng f xác định như sau hf, φi = +∞ X φ(j) (j), ∀φ ∈ D(R), j=0 thế thì f là hàm suy rộng có cấp vô hạn.   1 1 Thật vậy, chọn φ ∈ D(R) sao cho φ(x) = 1, x ∈ − ; , suppφ ⊂ 2 2   x − j (−1, 1). Đặt φj (x) = (x − j)j φj , với j > 0 chọn thích hợp. Ta  có Dk φj (k) = 0 nếu k 6= j và Dj φj (j) = j! nên hf, φj i = j!.   Nhưng nếu |x − j| > j thì φj (x) = 0, nên sup Dk φj (x) ≤ cj−k j , k < j, x∈R 15 ta chọn j sao cho |hf, φj i| = j! > j j−1 X l=1 j−1 X    l    sup Dl φj (x). sup D φj (x) > c x∈R l=1 x∈R Bởi vậy f có cấp vô hạn. Định nghĩa 1.3.2. Cho u ∈ D0 (Ω). 1. Hàm suy rộng u được gọi bằng 0 trên tập mở K ⊂ Ω, ký hiệu u |K = 0, nếu hu, φi = 0, ∀φ ∈ D(K). 2. Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu suppu và được xác định bởi [    suppu = Ω\ K K mở ⊂ Ω và u |K = 0 . Nếu u có suppu là tập compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy rộng có giá compact. Tập hợp các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu bởi E 0 (Ω). 1.4. Đạo hàm của hàm suy rộng Trong không gian D0 (Ω) ta có: Bổ đề 1.4.1. Cho u ∈ D0 (Ω) là một hàm suy rộng. Khi đó, với mỗi đa chỉ số α ∈ Nn toán tử tuyến tính được ký hiệu ∂ α u xác định bởi h∂ α u, φi = (−1)|α| hu, ∂ α φi , φ ∈ D (Ω) (1.7) là một hàm suy rộng. Định nghĩa 1.4.1. Cho u ∈ D0 (Ω). Hàm suy rộng xác định bởi (1.7) được gọi là đạo hàm cấp α của hàm suy rộng u. 16 Ví dụ 1.4.1. Hàm Heaviside xác định bởi  1 nếu x ≥ 0, H(x) = 0 nếu x < 0 có ∂H = δ. Thật vậy, với Ω = R, với mọi φ ∈ D (Ω) ta có h∂H, φi = (−1)1 hH, ∂φi = − Z∞ ∂φ(x)dx = −φ(x) |∞ 0 = φ(0) = hδ, φi , 0 do đó ∂H = δ. Ví dụ 1.4.2. Với f (x) = ln |x|, ta có f ∈ L1loc (R), do đó f có thể được xem như một hàm suy rộng theo cách sau Z +∞ hf, φi = ln |x| φ(x)dx. −∞ Ta có Z +∞ h∂f, φi = − ln |x| ∂φ(x)dx −∞ 0 Z Z +∞ =− ln |x| ∂φ(x)dx − ln |x| ∂φ(x)dx −∞ 0 Z −  Z +∞ = − lim+ ln |x| ∂φ(x)dx + ln |x| ∂φ(x)dx →0 −∞    Z +∞ Z − φ(x) φ(x) dx + dx = lim+ [φ() − φ(−)] ln || + →0 x  −∞ x Z −  Z +∞ φ(x) φ(x) = lim+ dx + dx →0 x  −∞ x 1 không phụ thuộc vào x 1 không gian L1loc (R), nên ta không thể xem hàm suy rộng ở dạng tích x vì [φ() − φ(−)] ln || → 0 khi  → 0+ . Thực tế 17 1 phân. Tuy nhiên, ta có thể định nghĩa hàm suy rộng ∈ D0 (R) là đạo x 1 0 1 hàm của hàm ln |x| và ∈ D (R)\Lloc (R). Như vậy x 1 ∂ ln |x| = . x Z −  Z +∞ φ(x) φ(x) Biểu thức lim+ dx + dx thường được ký hiệu là →0 x x −∞  Z +∞ Z +∞ φ(x) φ(x) p.v. dx được gọi là tích phân chính của dx. x x −∞ −∞ 1.5. Vấn đề tích hai hàm suy rộng 1.5.1. Tích chập của hai hàm suy rộng Định nghĩa 1.5.1. Cho u, v ∈ D0 (Rn ), tích chập của hai hàm suy rộng u và v là một phiếm hàm tuyến tính, ký hiệu u ∗ v, xác định bởi hu ∗ v, φi = hu(y), hv(x), φ(x + y)ii , φ ∈ D (Rn ) . Chú ý. a) u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D0 (Rn ). Thật vậy ta có δ có giá compact và hu(y), hδ(x), φ(x + y)ii = hu(y), φ(y)i = hu, φi. Mặt khác hδ(y), hu(x), φ(x + y)ii = hu(x), φ(x)i. Vậy nên u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D0 (Rn ). b) Định nghĩa tích chập ở trên cũng hợp lệ với f, g ∈ L1 (Rn ). Thật vậy với φ ∈ D(Rn ) tùy ý đặt: Z h(y) = g(x)φ(y + x)dx Rn 18