Tài liệu Xây dựng phép biến đổi fourier trong không gian các hàm suy rộng l. schwartz

Lêi ¶m ¬n B¶n khãa luËn tèt nghiÖp nµy lµ b­í ®Çu tiªn em lµm quen víi «ng viÖ nghiªn øu khoa hä . §­î sù gióp ®ì vµ ®éng viªn ña ¸ thÇy « vµ ¸ b¹n sinh viªn trong khoa. Em xin h©n thµnh ¶m ¬n sù gióp ®ì ña ¸ thÇy « trong khoa To¸n ïng toµn thÓ ¸ thÇy « trong Tr­êng §¹i Hä S­ Ph¹m Hµ Néi 2 ®· d¹y b¶o, truyÒn ®¹t kiÕn thø ho em trong suèt thêi gian hä tËp t¹i Tr­êng. §Æ biÖt, em xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾ tíi TS. T¹ Ngä TrÝ, ng­êi ®· gióp ®ì em tËn t×nh, h­íng dÉn ®Ó em ã thÓ hoµn thµnh khãa luËn nµy Hµ Néi, th¸ng 5 n¨m 2013 Sinh viªn NguyÔn ThÞ Ph­¬ng Lêi am ®oan D­íi sù h­íng dÉn ña TS. T¹ Ngä TrÝ ïng víi sù è g¾ng nç lù ña b¶n th©n, em ®· hoµn thµnh bµi khãa luËn ña m×nh. Trong qu¸ tr×nh nghiªn øu vµ thù hiÖn Khãa luËn tèt nghiÖp, em ã tham kh¶o mét sè tµi liÖu tham kh¶o ña ¸ t¸ gi¶ ®· ®­î nªu trong m Tµi liÖu tham kh¶o. Em xin am ®oan nh÷ng kÕt qu¶ trong Khãa luËn lµ kÕt qu¶ nghiªn øu ña em, kh«ng trïng víi kÕt qu¶ ña t¸ gi¶ kh¸ . NÕu sai em xin hÞu hoµn toµn tr¸ h nhiÖm. Hµ Néi, th¸ng 5 n¨m 2013 Sinh viªn NguyÔn ThÞ Ph­¬ng M l Trang Më ®Çu 5 1 KiÕn Thø huÈn bÞ 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Mét vµi kÝ hiÖu vµ kh¸i niÖm 1.1.1. Mét vµi kÝ hiÖu 1.1.2. Mét vµi kh¸i niÖm 1.2. Kh«ng gian ¸ hµm thö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Kh«ng gian ¸ hµm suy réng 8 9 13 2.1. Kh«ng gian ¸ hµm suy réng D ′ (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Kh«ng gian ¸ hµm gi¶m nhanh vµ kh«ng gian ¸ hµm suy réng t¨ng hËm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 BiÕn ®æi Fourier 3.1. BiÕn ®æi Fourier trong 19 21 L1 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2. Php biÕn ®æi Fourier trong L2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3. Php biÕn ®æi Fourier trong S (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.4. Php biÕn ®æi Fourier trong S ′ (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 KÕt luËn 37 Tµi liÖu tham kh¶o 38 Më ®Çu 1. Lý do hän ®Ò tµi Hµm suy réng gãp phÇn quan träng vµo viÖ nghiªn øu ¸ ph­¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng. Hµm suy réng lµ mét kh¸i niÖm ®­î më réng tõ kh¸i niÖm ña hµm sè æ ®iÓn , trong ®ã ngoµi líp ¸ hµm th«ng th­êng, ng­êi ta thªm vµo ¸ hµm ®o ®­î , kh¶ tÝ h ®Þa ph­¬ng vµ ¸ hµm th«ng th­êng kh¸ mµ mét ®¹i diÖn lµ hµm Delta Dira δ (x). Nh÷ng hiÓu biÕt vÒ hµm suy réng vÉn ßn kh¸ xa l¹ ®èi víi sinh viªn. §Ó t×m hiÓu thªm vÒ ¸ vÊn ®Ò ña hµm suy réng, ®­î sù h­íng dÉn ña T.S "X©y dùng php biÕn ®æi Fourier trong kh«ng gian ¸ hµm suy réng L. S hwartz". T¹ Ngä TrÝ, em ®· hän ®Ò tµi : Php biÕn ®æi Fourier kh«ng hØ ®­î x©y dùng trªn kh«ng gian ¸ hµm "L 1 , L2 " ( ¸ hµm kh¶ tÝ h Lebesgue) mµ ßn ®­î nghiªn øu trong kh«ng gian ¸ hµm suy réng. Bè  Khãa luËn gåm 3 h­¬ng: Ch­¬ng1: KiÕn thø huÈn bÞ Ch­¬ng nµy giíi thiÖu mét sè kÝ hiÖu vµ kh¸i niÖm Çn thiÕt ho néi dung ña luËn v¨n. Nªu kh¸i niÖm vµ ®Þnh nghÜa, tÝnh hÊt ña kh«ng gian ¸ hµm thö Nªu ®Þnh nghÜa vµ tÝnh hÊt ña kh«ng gian ¸ hµm suy réng D (Ω). D′ (Ω). C¸ php to¸n, tÝnh hÊt ña hµm suy réng. Ch­¬ng 2. Kh«ng gian ¸ hµm suy réng Ch­¬ng nµy giíi thiÖu ®Þnh nghÜa hµm suy réng, kh«ng gian ¸ hµm suy réng. Nªu ®Þnh nghÜa vµ tÝnh hÊt ña kh«ng gian ¸ hµm gi¶m nhanh vµ kh«ng gian ¸ hµm t¨ng hËm Ch­¬ng 3: BiÕn ®æi Fourier S ′ (Rn ). S (RRn ) 6 Ch­¬ng nµy nãi vÒ ¸ php biÕn ®æi Fourier trong L1 vµ L2 ®Æ biÖt ®i s©u vµo php biÕn ®æi Fourier trong kh«ng gian ¸ hµm suy réng. 2. M ®Ý h nghiªn øu Nghiªn øu vÊn ®Ò hµm suy réng. Nghiªn øu vÒ php biÕn ®æi Fourier trong kh«ng gian ¸ hµm suy réng. 3. NhiÖm v nghiªn øu Nghiªn øu vÒ hµm suy réng S hwartz. Nghiªn øu php biÕn ®æi Fourier. 4. Ph­¬ng ph¸p nghiªn øu Ph­¬ng ph¸p ph©n tÝ h, so s¸nh,tæng hîp kiÕn thø . §ä tµi liÖu, tra øu. Ch­¬ng 1 KiÕn thø huÈn bÞ 1.1. Mét vµi kÝ hiÖu vµ kh¸i niÖm 1.1.1. Mét vµi kÝ hiÖu Zn+ = {x = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ Z+}. Rn = {x = (x1, x2, ..., xn) : xi ∈ R}. C (Ω): TËp ¸ hµm liªn t trong Ω. C k (Ω): TËp hîp ¸ hµm liªn t ã ®¹o hµm riªng liªn t tíi Êp k trªn Ω. C ∞ (Ω):Lµ tËp hîp ¸ hµm kh¶ vi v« h¹n, liªn t trªn Ω. Lp (Ω) : TËp hîp ¸ hµm ®o ®­î theo nghÜa Lebesgue trong Ω sao ho:   1p Z kf k =  |f (x)|p  < ∞. Ω Lploc (Ω): TËp hîp ¸ hµm kh¶ tÝ h ®Þa ph­¬ng bË hay tËp ¸ hµm f f x¸ ®Þnh trªn Ω p, 1 ≤ p ≤ ∞ trªn sao ho víi mäi V ompa t trong Ω Ω th× kh¶ tÝ h trong V. Mét v t¬ ã d¹ng: α = (α1 , α2, ..., αn) , αj ∈ Z+, j = 1, 2, ..., n gäi lµ mét ®a hØ sè (hay n- hØ sè) víi ®é dµi (hay Êp ña |α| = α1 + α2 + ... + αn . 7 α) lµ ®­î 8 To¸n tö vi ph©n liªn kÕt víi ®a hØ sè α lµ Dα = D1α1 .D2α2 .....Dnαn trong ®ã : √ ∂ αj , j = 1, 2, ..., n, i = Dj = −1 α i∂xj j hoÆ ∂ α = ∂1α1 .∂2α2 ...∂nαn VÝ d 1.1. Cho hµm víi ∂ ∂xj ∂j = ϕ (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 , α = (1; 2; 3) ∈ Z+3 . Khi ®ã ∂ α = ∂xα1 ∂yα2 ∂zα3 = ∂x1∂y2∂z3 = 108x2y. Cho Ω lµ mét tËp më kh¸ rçng trong Rn . Mét hµm sè: f : Ω → C, x 7→ f (x), nÕu to¸n tö vi ph©n th× ta nãi: f ∈ C ∞(Ω). ∂ αf tån t¹i vµ liªn t víi mäi ®a hØ sè §iÒu nµy òng ã nghÜa lµ f ∈ C ∞ (Ω) α ∈ Zn+ nÕu f lµ hµm kh¶ vi vµ liªn t mäi Êp. Gi¸ ña mét hµm liªn t f : Ω → C: lµ bao ®ãng trong Ω ña tËp hîp {x ∈ Ω : f (x) 6= 0} ®­î kÝ hiÖu lµ suppf . Hay: Supp f = cl {x ∈ Ω : f (x) 6= 0} ⊂ Ω. 1.1.2. Mét vµi kh¸i niÖm Mét kh«ng gian v t¬ t«p« X mét kh«ng gian v t¬ trªn tr­êng x¹ (x, y) 7→ x + y vµ trªn tr­êng K (víi K = R hoÆ K = C) lµ K ®­î trang bÞ mét t«p« sao ho ¸ ¸nh (λ, y) 7→ λy liªn t . Trong kh«ng gian ve t¬ t«p« X, mét tËp hîp nÕu víi mäi l©n Ën V ña gè O, ã mét sè E ⊂X s > 0 gäi lµ tËp bÞ hÆn sao ho ∀t > s th× E ⊂ tV . NÕu gè O ã mét l©n Ën bÞ hÆn th× kh«ng gian X gäi lµ bÞ hÆn ®Þa ph­¬ng. Mét tËp hîp E ⊂ X ∀x ∈ X, ∃t = t(x) 6= 0 ã:αE ⊂E ña kh«ng gian ve t¬ t«p« X gäi lµ tËp hót nÕu sao ho x ∈ tE . NÕu th× E ®­î gäi lµ tËp on ©n ña X. ∀α ∈ C mµ |α| ≤ 1 , ta 9 Mét kh«ng gian ve t¬ t«p« X gäi lµ kh«ng gian låi ®Þa ph­¬ng nÕu ã mét ¬ së l©n Ën ña gè O gåm nh÷ng tËp låi. Mét kh«ng gian låi ®Þa ph­¬ng gäi lµ kh«ng gian Fr het nÕu nã lµ mét kh«ng gian metri ®ñ víi metri ¶m sinh d tháa m·n:d(x + z, y + z) = d(x, y) (d bÊt biÕn víi php tÞnh tiÕn). Mét kh«ng gian ve t¬ t«p« X gäi lµ ã tÝnh hÊt Heine- Borel nÕu mäi tËp ®ãng vµ bÞ hÆn ña X ®Òu lµ tËp ompa t. 1.2. Kh«ng gian ¸ hµm thö NÕu K lµ tËp ompa t trong Rn D (Ω) th× ta kÝ hiÖu Dk lµ kh«ng gian ¸ hµm f ∈ C ∞ (Rn ) sao ho supp f ⊂ K . NÕu K ⊂ Ω th× Dk = {f ∈ C ∞ (Ω) : supp f ⊂ K} . §Ó x©y dùng mét t«p« τ trªn C ∞ (Ω) sao ho C ∞ (Ω) trë thµnh mét kh«ng gian Fr het ã tÝnh hÊt Heine- Borel vµ víi mçi vµ Dk lµ mét tËp on ®ãng ña C ∞ (Ω) K ⊂ Ω ta hän ¸ tËp ompa t kj (j = 1, 2...) sao ho kj ⊂ int kj+1 Ω = ∪ j kj vµ ®Þnh nghÜa mét hä nöa huÈn pN trªn C ∞ (Ω), N = 1, 2... bëi: pN (f ) = max {|Dα f (x)| : x ∈ kN , |α| ≤ N } . Khi ®ã, pN Víi mçi x¸ ®Þnh mét t«p« låi ®i¹ ph­¬ng, kh¶ mªtri trªn x ∈ Ω, hµm sè x 7→ f (x) C ∞ (Ω) . lµ liªn t theo t«p« nµy. V× giao ña kh«ng gian ¸ hµm kh¸ 0 t¹i x nªn Dk lµ ®ãng trong Dk lµ C ∞ (Ω) . Mét ¬ së ®Þa ph­¬ng ña kh«ng gian nµy ®­î ho bëi ¸ tËp hîp: VN =  NÕu f ∈ C ∞(Ω) : pN (f ) < 1 N , (N = 1, 2...). {fi} lµ d·y au hy trªn C ∞ (Ω), N è ®Þnh th× fi − fj ∈ VN ®ñ lín . Do ®ã: |Dα fi − Dα fj | < 1 N trªn kN nÕu |α| ≤ N . víi i, j 10 biÖt D α fi Ω tíi gα , fi(x) → go (x). HiÓn nhiªn:go ∈ C ∞ (Ω) sao ho gα = Dα go vµ f i → go §iÒu nµy høng tá theo t«p« ña héi t trªn ¸ tËp ompa t ña C ∞(Ω) . Do ®ã, C ∞ (Ω) lµ kh«ng gian Fr het. §iÒu nµy òng ®óng víi mçi kh«ng gian on ®ãng Gi¶ sö: ®Æ E ⊂ C ∞ (Ω) Dk . lµ tËp ®ãng vµ bÞ hÆn. V× E bÞ hÆn nªn tån t¹i MN < ∞ sao ho pN (f ) ≤ MN , N = 1, 2, 3... víi mäi f ∈ E . |Dα f | ≤ MN ®óng trªn kN khi |α| ≤ N , lµ liªn t ®ång  β D (f ) : f ∈ E trªn kN −1 nÕu |β| ≤ N − 1. Theo ®Þnh lÝ As oli BÊt ®¼ng thø bË ña vµ nguyªn lÝ antor th× mäi d·y trong E ®Òu høa mét d·y on {fi} héi t theo t«p« ña C ∞ (Ω) , høng tá E lµ tËp ompa t. VËy C ∞(Ω) ã tÝnh hÊt Heine- {fi } sao ho Borel. §Þnh nghÜa 1.1. Hîp ña tÊt ¶ kh«ng gian Dk khi k h¹y trªn tËp tÊt ¶ ¸ tËp ompa t ña ¬ b¶n) trªn Ω , gäi lµ kh«ng gian ¸ hµm thö (hay kh«ng gian ¸ hµm Ω , kÝ hiÖu lµ D (Ω). HiÓn nhiªn D (Ω) lµ mét kh«ng gian ve t¬ víi php éng vµ php nh©n víi v« h­íng th«ng th­êng ña ¸ hµm nhËn ¸ gi¸ trÞ phø . Ta òng thÊy r»ng hµm lµ tËp ompa t trong Ω th×: φ ∈ D(Ω) nÕu vµ hØ nÕu φ ∈ C ∞ (Ω) vµ Suppφ Ω. Víi mçi φ ∈ C ∞(Ω) vµ Suppφ lµ tËp ompa t trong kφkN = Max {|Dα φ(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N } , N = 1, 2... §Þnh nghÜa 1.2. a, Cho Ω lµ Víi mäi tËp ompa t Dk . b, β K ⊂ Ω, τk lµ tËp tÊt ¶ ¸ tËp låi ©n ®èi mäi tËp ompa t , τ mét tËp kh«ng rçng vµ më trong K⊂Ω. lµ hä tÊt ¶ ¸ hîp φ+W Rn : kÝ hiÖu lµ t«p« ña kh«ng gian Fr het W ⊂ D(Ω) ã d¹ng , víi sao ho Dk ∩ W ∈ τk φ ∈ D(Ω) vµ W ∈ β . víi 11 §Þnh lý 1.1. a, τ Ta ã lµ mét t«p« ña kh«ng gian b, D (Ω) ïng víi τ Chøng minh. D (Ω) vµ β lµ mét ¬ së ®Þa ph­¬ng ña τ . lµ mét kh«ng gian ve t¬ t«p« låi ®Þa ph­¬ng. Ta høng minh tõng phÇn mét a) Gi¶ sö : V1 ∈ τ, V2 ∈ τ, φ ∈ V1 ∩ V2 . §Ó høng minh (a), ta Çn høng minh: φ + W ⊂ V1 ∩ V2, ∀W ∈ β Theo ®Þnh nghÜa ña τ th× tån t¹i ¸ φ ∈ φi + Wi ⊂ Vi , (i = 1, 2). Chän K sao ho Dk høa (1.1) φi ∈ D(Ω) φ1 , φ2 , φ. V× Dk ∩ Wi φ − φi ∈ (1 − δi )Wi, ∀δi > 0. Do tÝnh låi ña Wi Wi ∈ β vµ sao ho: lµ më trong Dk nªn nªn: φ − φi + δi Wi ⊂ (1 − δi)Wi + δi Wi = Wi . ⇒ φ + δiWi ⊂ φi + Wi ⊂ Vi (i = 1, 2) Do ®ã: (1.1) ®óng víi b) Gi¶ sö: W = (δ1 W1) ∩ (δ2W2). VËy (a) ®­î høng minh. φ1 , φ2 ∈ D(Ω). §Æt W = {φ ∈ D(Ω) : kφk0 < kφ1 − φ2 k0} víi kφk0 = Max |φ(x)| th× W ∈ β x∈Ω φ1 lµ tËp ®ãng t­¬ng ®èi trong Php éng lµ τ τ vµ φ1 kh«ng n»m trong . liªn t , do tÝnh låi ña mäi tËp
ϕ2 + 12 W = (ϕ1 + ϕ2) + W, ∀ϕ1 , ϕ2 ∈ D(Ω) . W ∈β Víi php nh©n v« h­íng, hän mét v« h­íng th×:αφ − α0 φ = α(φ − φ0 ) + (α − α0 )φ0 δφ0 ∈ 12 W hän sao ho: φ2 + W . NÕu 2c(|α0 | + δ) = 1. α0 nªn vµ mét W ∈β th× . Do ®ã:
ϕ1 + 21 W + φ0 ∈ D(Ω) ∃δ > 0 sao ho V× W lµ tËp låi ©n ®èi nªn: 12 αφ − α0 φ0 ∈ W víi |α − α0 | < δ vµ φ − φ0 ∈ cW . VËy (b) ®­î høng minh. §Þnh lý 1.2. a) Mét tËp on låi, ©n ®èi V ña V ∈ β. b) C¸ t«p« τk ña Dk D (Ω) lµ më khi vµ hØ khi trïng víi t«p« ña kh«ng gian on Dk ¶m sinh tõ D (Ω). ) NÕu E lµ mét tËp on bÞ hÆn ña ¸ sè MN ≤ ∞ sao ho ∀φ ∈ E D (Ω) th× E ⊂ D(Ω),∀k ⊂ Ω vµ ã tháa m·n bÊt ®¼ng thø : kφk ≤ MN , (N = 0, 1, 2...) . d) NÕu {φj } lµ mét d·y Cau hy trong NÕu {φj } ⊂ Dk víi mäi tËp i,j→∞ {φj } → 0 trong t«p« ña D (Ω) th× ã mét tËp ompa t K ⊂ Ω nµo ®ã høa tÊt ¶ hØ sè f) th× K ⊂ Ω vµ lim kφi − φj kN = 0 (N = 0, 1, 2...). ompa t e) D (Ω) Trong suppφj vµ Dα φj héi t ®Òu tíi 0 khi α. j→0 víi mäi ®a D (Ω), mäi d·y Cau hy ®Òu héi t. Chøng minh. §Þnh lÝ ®­î høng minh trong [5℄ trang 140. HÖ qu¶ 1.1. Mäi to¸n tö vi ph©n hÝnh nã. Dα lµ mét ¸nh x¹ liªn t tõ D (Ω)vµo Ch­¬ng 2 Kh«ng gian ¸ hµm suy réng 2.1. Kh«ng gian ¸ hµm suy réng §Þnh nghÜa 2.1. D ′ (Ω) Mét d¹ng tuyÕn tÝnh (hay mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh): u : D (Ω) → C u (φ) 7→ u (φ) = hu, φi gäi lµ mét hµm suy réng (theo nghÜa S hwartz) x¸ ®Þnh trªn tËp ompa t K ⊂ Ω, ã mét sè thù sao ho: |hu, φi| ≤ C. Víi suppφ ⊂ K . X |α|≤N c≥0 Ω,nÕu víi mäi vµ mét sè nguyªn kh«ng ©m N sup |∂ α φ|, ∀ φ ∈ D (Ω) . TËp tÊt ¶ ¸ hµm suy réng x¸ ®Þnh trªn lËp thµnh mét kh«ng gian, gäi lµ kh«ng gian ¸ hµm suy réng trªn Ω , vµ kÝ hiÖu lµ D′ (Ω) . Dùa vµo ®Þnh nghÜa (2.1) ta xt mét sè vÝ d sau: VÝ d f 2.1. C¸ hµm sè liªn t trªn lµ mét hµm liªn t trªn Ω Ω lµ ¸ hµm suy réng. ThËt vËy, gi¶ sö . Khi ®ã 13 f lµ mét hµm kh¶ tÝ h trªn Ω. H¬n 14 n÷a, ta ã: f : D (Ω) → C φ 7→ hf, φi = ThËt vËy, R f (x) φ (x) dx Ω   Z  Z   |hf, φi| =  f (x) φ (x) dx ≤ |f (x)| |φ (x)| dx   Ω Ω   Z ≤  |f (x)| dx sup |φ (x)| , ∀φ ∈ D (Ω) Ω Ω §Æt hay c= f VÝ d R |f (x)| dx ⇒ c ≥ 0. V× vËy: |hf, φi| ≤ c sup |φ (x)| , ∀φ ∈ D (Ω) Ω lµ hµm suy réng theo nghÜa S hwartz. 2.2. C¸ hµm f Lp (Ω) , 1 ≤ p < ∞ trong víi hf, φi = Z Ω òng lµ ¸ hµm suy réng f (x) φ (x) dx, ∀φ ∈ D (Ω) Ω VÝ d 2.3. Hµm ë ®©y δ -Dira δ : D (Rn ) → C φ ∈ D (Rn ) K- ompa t trong Rn nªn φ x¸ ®Þnh bëi δ (φ) = hδ, φi = δ (0) lµ hµm kh¶ vi liªn t mäi Êp vµ suppφ ⊂ K òng lµ mét hµm suy réng (gäi lµ hµm suy réng Dira hay hµm Delta Dira ). V× |hδ, φi| = |φ (0)| ≤ 1. sup |φ (x)| , ∀φ ∈ D (Rn ) mµ suppφ ⊂ K , K− ompa t trong VÝ d Rn . Do ®ã δ lµ hµm suy réng, 2.4. Hµm |x| : D (R) → C φ 7→ h|x| , φi = Z |x| φ (x) dx R víi suppφ ⊂ K , K lµ tËp ompa t trong R. 15 Ta ã    Z Z   |h|x| , φi| =  |x| φ (x) dx ≤ |x| |φ (x)| dx   R R   Z Z ≤ |x| sup |φ (x)| dx = sup φ (x)  |x|dx R R R  = sup |φ (x)|  K Z K §Æt c= R K R  |x|dx . |x|dx ≥ 0 hay |h|x| , φi| ≤ c sup |φ (x)| , ∀φ ∈ D (R) . K vËy |x| lµ mét hµm suy réng. §Þnh lý 2.1. Mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh u x¸ ®Þnh trªn D (Ω) lµ mét hµm suy réng khi vµ hØ khi lim hu, φj i = 0. j→∞ víi mäi d·y {φ}j §Þnh nghÜa 2.2. héi t tíi 0 trong Cho 1. Hµm suy réng f D (Ω), khi j → ∞. f ∈ D′ (Ω) ®­î gäi lµ b»ng 0 trªn tËp më f |K = 0 nÕu hf, φi = 0, ∀φ ∈ D (K). 2. Gi¸ ña hµm suy réng f ®­î kÝ hiÖu suppf K ⊂ Ω ký hiÖu lµ ®­î x¸ ®Þnh bëi supp f = Ω\ (∪ {K ⊂ Ω, f |K = 0}) trong ®ã K më vµ K- ompa t. NÕu f ã suppf lµ tËp ompa t trong Ω th× ta nãi f lµ hµm suy réng ã gi¸ ompa t. TËp hîp ¸ hµm suy réng ã gi¸ ompa t ®­î kÝ hiÖu bëi ε′ (Ω). 16 Nh­ vËy, ã thÓ thÊy D′ (Ω) lµ kh«ng gian liªn hîp ña D (Ω) trªn ®ã ®­î trang bÞ ¸ php to¸n sau: 1. Php éng ¸ hµm suy réng: Cho f, g ∈ D′ (Ω) th× f + g ∈ D′ (Ω) ®­î x¸ ®Þnh theo quy t¾ hf + g, ϕi = hf, ϕi + hg, ϕi , ∀ϕ ∈ D (Ω) 2. Php nh©n mét sè víi mét hµm suy réng: Cho f ∈ D′ (Ω) vµ λ ∈ R th× λf ∈ D′ (Ω) ®­î x¸ ®Þnh theo quy t¾ hλf, ϕi = λ hf, ϕi , ∀ϕ ∈ D (Ω) Víi hai php to¸n trªn th× D′ (Ω) trë thµnh mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh. 3. Hai hµm suy réng b»ng nhau Hai hµm suy réng f, g ∈ D′ (Ω) ®­î gäi lµ b»ng nhau nÕu hf, ϕi = hg, ϕi , ∀ϕ ∈ D (Ω) 4. §¹o hµm ña hµm suy réng §Þnh nghÜa 2.3. hµm tuyÕn tÝnh Cho hDα f, ϕi = (−1)|α| hf, Dα ϕi , ϕ ∈ D (Ω) ®¹o hµm suy réng Êp NÕu f ∈ D′ (Ω) , α = (α1 , α2, ..., αn) ∈ Zn+ . α ña hµm suy réng f |hf, ϕi| ≤ c kφk víi mäi φ ∈ Dk trong PhiÕm ®­î gäi lµ Ω. KhÝ hiÖu lµ Dα f th× |hDα f, φi| ≤ ckDα φkN ≤ ckφkN +|α| Do ®ã Dα f f ∈ D′ (Ω), mäi α, β ∈ Zn+,
Dβ f = Dβ (Dα f ) Víi mäi Dα lµ hµm suy réng ta ã «ng thø : Dα+β f = 17 VÝ d 2.5. Hµm Heaviside   1, x > 0 H (x) =  0, x ≤ 0 ë ®©y H : R → {0, 1}, Ω = R. Ta thÊy H (x) ∈ L1loc (R) x¸ ®Þnh hµm suy réng H ∈ D′ (R) vµ H (x) kh¶ tÝ h ®Þa ph­¬ng trªn R nªn: Z+∞ Z+∞ H (x) φ (x) dx = hH, φi = φ (x) dx −∞ Ta ã: 0 hDα H, φi = (−1)|α| hH, Dα φi , φ ∈ D (R) hay Z+∞ H (x) Dφ (x) dx hDH, φi = (−1)1 hH, Dφi = − =− Z0 −∞ −∞ Z+∞ 0.Dφ (x) dx − 0 Z+∞ 1.Dφ (x) dx = − 1.Dφ (x) dx 0 = φ (0) = hδ, φi , ∀φ ∈ D (R) = φ (x)|+∞ 0 DH = δ VËy VÝ d 2.6. Hµm khi ®ã f f (x) = log |x| Ta ã f : R∗ → R víi x 7→ log |x| lµ hµm kh¶ tÝ h ®Þa ph­¬ng trªn víi R. Do ®ã f Z+∞ f (x) φ (x) dx, ∀φ ∈ D (R) hf, φi = −∞ Ta tÝnh lµ mét hµm suy réng Df . BiÕn ®æi nµy th­êng ®­î ký hiÖu bëi 1 . Ta ã: x hDα f, φi = (−1)|α| hf, Dα φi , ∀φ ∈ D (R) 18 Nªn Z+∞ f (x) Dφ (x) dx hDf, φi = (−1)1 hf, Dφi = − =− −∞ Z+∞ log |x| Dφ (x) dx −∞ Z0 Z+∞ log |x| Dφ (x) dx − log |x| Dφ (x) dx =− −∞  = − lim+  ε→0 0 Z−ε −∞ §Æt u = log |x|, dv = phÇn ta thu ®­î : R  Z+∞ log |x| Dφ (x) dx + log |x| Dφ (x) dx ε Dφ (x) dx vµ ¸p dng «ng thø tÝ h ph©n tõng  hDf, φi = lim+ [φ (ε) − φ (−ε)] log ε + ε→0  = lim+  ε→0 Z−ε −∞ Trong ®ã φ (x) dx + x Z+∞ ε Z−ε ε φ (x) dx + x  Z+∞ ε  φ (x)  dx x φ (x)  dx x lim+ [φ (ε) − φ (−ε)] log ε = 0, ë ®©y hµm ε→0 1 x kh«ng thué L1loc (R). 1 x ë d¹ng tÝ h ph©n. Tuy nhiªn 1 ′ nh­ ë trªn th× hóng ta ã thÓ biÕn ®æi x ∈ D (R) lµ Dlog |x|, nã thué D′ (R) \L1l og (R).  +∞ +∞ −ε R φ(x) R φ(x) R φ(x) dx + dx BiÓu thø lim ®­î kÝ hiÖu bëi x x dx, ®­î ε→0+ −∞ x ε −∞ +∞ R φ(x) gäi lµ gi¸ trÞ hÝnh ña tÝ h ph©n x dx. −∞ Nªn hóng ta kh«ng thÓ thù hiÖn biÕn ®æi 19 2.2. Kh«ng gian ¸ hµm gi¶m nhanh vµ kh«ng gian ¸ hµm suy réng t¨ng hËm §Þnh nghÜa 2.4. Kh«ng gian S (Rn ) lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh on ña C0∞ (Rn ) x¸ ®Þnh bëi tËp ¸ hµm sè víi mçi f trªn Rn sao ho xα Dβ f (x) bÞ hÆn trªn Rn α, β ∈ Zn+.    S (Rn ) = f ∈ C ∞ (Rn ) | xα Dβ f (x) < cα,β , ∀x ∈ Rn , ∀α, β ∈ Z+n Kh«ng gian S (Rn ) ®­î trang bÞ bëi hä ¸ huÈn:   kf kα,β = sup xα Dβ f (x) , ∀α, β ∈ Z+n . x∈Rn C¸ phÇn tö ña S (Rn ) ®­î gäi lµ ¸ hµm gi¶m nhanh . Kh«ng gian S (Rn ) ®­î gäi lµ kh«ng gian ¸ hµm gi¶m VÝ d 2.7. Hµm sè §Þnh nghÜa 2.5. 2 f (x) = xn e−x thué nhanh. S (R) víi mçi n ∈ Z+ C¸ phiÕm hµm tuyÕn tinh liªn t trªn S (Rn ) ®­î gäi lµ ¸ hµm suy réng t¨ng hËm. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh ña ¸ hµm suy réng t¨ng hËm ®­î kÝ hiÖu lµ: VËy trªn S ′ (Rn ) T ∈ S ′ (Rn ) khi vµ hØ khi hµm T : S (Rn ) → C liªn t vµ fn → f S (Rn ), nghÜa lµ hµm T (fn ) → T (f ) trªn C. Bæ ®Ò 2.1. hi khi Tõ T (fn) − T (f ) = T (fn − f ) vµ fn → f trªn S (Rn ) (fn − f ) → 0 trªn S (Rn ), ta thÊy mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh trªn S (Rn ) lµ liªn t khi vµ hØ khi nã liªn t tai 0 ∈ S (Rn ). MÖnh ®Ò 2.1. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh T : S (Rn ) → S (Rn ) tháa m·n |T (f )| ≤ kf kα,β , ∀f ∈ S (Rn ) , ∀α, β ∈ Z+n th× khi vµ T ∈ S ′ (Rn ). 20 Chøng minh. ¸p dng bæ ®Ò (2.1), hóng ta hØ Çn høng minh T liªn t t¹i 0. ThËt vËy, nÕu khi fn → 0 trªn S (Rn ) th× kfnkα,β → 0 vµ kT f k ≤ kf kα,β → 0 n → ∞, nghÜa lµ T VËy liªn t t¹o 0. T ∈ S ′ (Rn ). §Þnh nghÜa 2.6. Víi mçi k, m ∈ Z+ , f ∈ S (Rn ). §Æt X kf kk,m = kf kα,β |α|≤k |β|≤m huÈn nµy trªn S (Rn ) ã tÝnh hÊt ®Þnh h­íng, nghÜa lµ víi mçi (k ′, m′ ) vµ (k ′′ , m′′ ) th× tån t¹i (k, m) tháa m·n n o max kf kk′ ,m′ , kf kk′′ ,m′′ ≤ kf kk,m , ∀f ∈ S (Rn ) víi mäi (k, m) mµ k ≥ max {k ′, k ′′ } , m ≥ max {m′ , m′′ }. Bæ ®Ò 2.2. kfn − f kα,β → 0 víi mçi α, β ∈ Zn+ khi vµ hØ khi kfn − f kk,m → 0 víi mçi k, m ∈ Z+ , nghÜa lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh trªn S (Rn ) lµ hµm suy réng t¨ng hËm khi vµ hØ khi k, m ∈ Z+. MÖnh ®Ò 2.2. T (fn ) → 0 víi Mét phiÕm hµm tuyÕn tÝnh T trªn réng t¨ng hËm khi vµ hØ khi tån t¹i c>0 S (Rn ) víi mçi |T (f )| ≤ ckf kk,m , ∀f ∈ S (Rn ) MÖnh ®Ò 2.3. trªn Cho kfn kk,m → 0 g ∈ L2 (Rn ) th× ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh Z T g : f 7→ g (x) f (x) dx S (Rn ) lµ hµm suy réng t¨ng hËm MÖnh ®Ò trªn ®­î høng minh trong [6℄ trang 9. víi mçi lµ mét hµm suy k, m ∈ Z+ tháa m·n Ch­¬ng 3 BiÕn ®æi Fourier 3.1. BiÕn ®æi Fourier trong §Þnh nghÜa 3.1. L1 (R) BiÕn ®æi Fourier ña hµm f ∈ L1 (R), kÝ hiÖu lµ Ff lµ hµm sè x¸ ®Þnh bëi: 1 fb(λ) = √ 2π hay fb Z+∞ e−iλt f (t) dt, λ ∈ R. −∞ §Þnh lý 3.1. Gi¶ sö f ∈ L1 (R) th× fb ∈ C0, víi C0 lµ kh«ng gian ¸ hµm sè liªn t tiÕn dÇn vÒ 0 t¹i v« ù . H¬n n÷a: b f ∞ Chøng minh. 1 ≤ √ kf k1. 2π BÊt ®¼ng thø suy trù tiÕp tõ ®Þnh nghÜa (3.1) khi tn → t th× Z+∞     1  b |f (x)| e−itx  dx. f (tn ) − fb(t) ≤ √ 2π −∞ Hµm d­íi dÊu tÝ h ph©n ë trªn bÞ hÆn bëi 0 khi |f (x)| vµ héi t tõng ®iÓm tíi n → ∞. V× vËy fb(tn ) → fb(t) do ®Þnh lý vÒ sù héi t bÞ hÆn. Do ®ã f liªn t . 21