Tài liệu Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phương trình mũ logarit cho học sinh lớp 12

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ DUYÊN XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán HÀ NỘI 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ DUYÊN XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học môn Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. ĐÀO THỊ HOA HÀ NỘI 2018 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khóa luận này, bên cạnh sự nỗ lực của bản thân, em đã nhận đƣợc sự giúp đỡ và động viên nhiệt tình của gia đình, thầy cô, bạn bè. - Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trực thuộc khoa Toán của trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã tận tình giúp đỡ và truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho em trong suốt 4 năm học đại học. - Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ths. Đào Thị Hoa - giảng viên hƣớng dẫn khóa luận - ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này. - Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn lắng nghe, chia sẻ và ủng hộ em trong suốt thời gian học tập cũng nhƣ làm khóa luận. Dù đã cố gắng hết sức nhƣng khóa luận vẫn không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Kính mong nhận đƣợc sự góp ý, nhận xét từ phía thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2018 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Duyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu....................................................................................... 2 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu .................................................................. 2 4. Giả thuyết khoa học ........................................................................................ 2 5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 2 6. Phƣơng pháp nghiên cứu ................................................................................ 2 7. Cấu trúc của khóa luận .................................................................................... 3 NỘI DUNG ........................................................................................................... 4 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................. 4 1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục .................................................. 4 1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tƣ tƣởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung, phƣơng pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện........................... 4 1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất ngƣời học ................................................. 4 1.1.3. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn ......................................... 5 1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào tạo, đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế để phát triển đất nƣớc......................................................................................................... 6 1.1.5. Dự thảo môn Toán chƣơng trình giáo dục phổ thông mới ....................... 7 1.2. Tính thực tiễn của Toán học........................................................................... 7 1.1.6. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn ......................................................... 7 1.1.7. Toán học phản ánh thực tiễn..................................................................... 8 1.1.8. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn ........................................ 9 1.2. Bài toán thực tiễn ....................................................................................... 12 1.2.1. Khái niệm bài toán thực tiễn................................................................... 12 1.2.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học ........................... 14 1.3.3. Phƣơng pháp chung giải bài toán thực tiễn ............................................ 17 1.4. Thực trạng xây dựng và sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 ..................................................... 22 1.4.1. Khái quát về khảo sát thực trạng ............................................................ 22 1.4.2. Kết quả khảo sát ..................................................................................... 23 Kết luận chƣơng 1 ............................................................................................... 26 CHƢƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12 ................... 27 2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit trong dạy học Toán ở phổ thông ................................................................................... 27 2.2. Đề xuất hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 ............................................................................................. 31 2.2.1. Nguyên tắc xây dựng................................................................................. 31 2.2.2. Phƣơng pháp xây dựng bài toán thực tiễn................................................. 33 2.2.3. Quy trình xây dựng ................................................................................... 34 2.2.4. Hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học phƣơng trình mũ-logarit ........ 35 2.2.5. Định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán đã xây dựng ................................ 66 2.3. Kiểm nghiệm hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12 ........................................................................... 68 2.3.1. Mục đích kiểm nghiệm.............................................................................. 68 2.3.2. Thời gian kiểm nghiệm ............................................................................. 68 2.3.3. Nội dung kiểm nghiệm .............................................................................. 68 2.3.4. Phƣơng pháp kiểm nghiệm ....................................................................... 68 2.3.5. Kết quả kiểm nghiệm ................................................................................ 68 Kết luận chƣơng 2 ............................................................................................... 72 KẾT LUẬN CHUNG .......................................................................................... 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO DANH MỤC VIẾT TẮT Đ/S: Đáp số GV: Học sinh HS: Học sinh PPDH: Phƣơng pháp dạy học SBT: Sách bài tập SGK: Sách giáo khoa THCS: Trung học cơ sở THPT: Trung học phổ thông MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Hiện nay nhà nƣớc ta đang tiến hành công cuộc công nghiệp hóa, hiện đại hóa, đổi mới tiến tới xây dựng nhà nƣớc xã hội phát triển hòa nhập với khu vực và thế giới. Đổi mới giáo dục và đào tạo là một trong những yếu tố quan trọng quyết định sự thành công của công nghiệp hóa, hiện đại hóa, thực hiện mục tiêu “dân giàu, nƣớc mạnh, công bằng, dân chủ, văn minh”. Nghị quyết 88 của Quốc hội khóa XIII chỉ rõ: “Đổi mới giáo dục phổ thông theo hƣớng tinh giản, hiện đại, thiết thực, phù hợp với lứa tuổi, trình độ và định hƣớng nghề nghiệp, tăng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tích hợp cao ở các lớp dƣới và phân hóa dần ở các lớp trên”[6]. Yếu tố tăng tính thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn đƣợc nhấn mạnh trong định hƣớng đổi mới giáo dục đào tạo nhằm phát triển phẩm chất và năng lực của ngƣời học. Trong chƣơng trình Toán phổ thông, phƣơng trình giữ vị trí quan trọng trong chƣơng trình. Phƣơng trình nói chung và phƣơng trình mũ-logarit nói riêng không chỉ có vai trò trong nội bộ môn Toán mà còn có vai trò quan trọng trong các môn học khác nhƣ Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý,… và cả trong thực tế. Việc vận dụng các kiến thức lý thuyết này vào cuộc sống, việc giải các bài tập gắn liền với thực tiễn sẽ làm phát triển ở các em tính tích cực, tự lập, sự sáng tạo, sự hứng thú nhận thức, tinh thần vƣợt khó, đó là những phẩm chất quý báu đối với cuộc sống, lao động sản xuất. Tuy nhiên, hệ thống bài toán thực tiễn trong chƣơng trình Giải tích 12 nói chung và chủ đề phƣơng trình mũ-logarit nói riêng còn ít, chƣa đa dạng, chƣa đáp ứng đƣợc mục tiêu dạy và học của giáo viên cũng nhƣ học sinh. Học sinh có thể giải thành thạo các bài toán liên quan đến phƣơng trình mũ-logarit nhƣng lại lúng túng với các bài toán ứng dụng của nó trong thực tiễn và các môn học khác. Trên quan điểm đó cùng với sự mong muốn xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn ứng dụng của phƣơng trình mũ-logarit có chất lƣợng tốt, góp phần nâng cao 1 hiệu quả dạy và học, em đã chọn đề tài “XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT CHO HỌC SINH LỚP 12” làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mục đích nghiên cứu - Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit và định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán này nhằm góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này nói riêng và nâng cao chất lƣợng dạy học môn Toán nói chung. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Phƣơng trình mũ-logarit trong chƣơng trình Giải tích 12 nâng cao. 4. Giả thuyết khoa học Trong quá trình dạy học phƣơng trình mũ-logarit, nếu giáo viên xây dựng và sử dụng đƣợc hệ thống bài toán thực tiễn của chủ đề phƣơng trình mũ-logarit thì góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học chủ đề này ở nhà trƣờng phổ thông nói riêng và dạy học môn Toán nói chung. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn. 5.2. Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn về dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12 của giáo viên phổ thông. 5.3. Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12. 5.4. Kiểm nghiệm chất lƣợng của hệ thống bài toán đã xây dựng. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu 6.1. - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận Nghiên cứu các văn bản, nghị quyết của Đảng, Nhà nƣớc về lĩnh vực giáo dục, đào tạo. 2 - Nghiên cứu các sách, báo, khoá luận, tạp chí,… có liên quan đến các bài toán thực tiễn, kiểm tra đánh giá, phƣơng pháp dạy học môn Toán, chủ đề phƣơng trình mũ-logarit. 6.2. - Phƣơng pháp điều tra, quan sát Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng các bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit cho học sinh lớp 12. - Tìm hiểu thái độ học tập, cách nhìn nhận của học sinh, tìm hiểu đánh giá của giáo viên, học sinh về tác dụng của hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy và học chủ đề phƣơng trình mũ-logarit ở chƣơng trình toán 12. 6.3. Phƣơng pháp kiểm nghiệm giáo dục Xác định chất lƣợng của hệ thống bài toán thực tiễn và tính khả thi của những gợi ý cơ bản đã đƣợc trình bày trong khoá luận. 6.4. Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm Tổng kết kinh nghiệm của các giáo viên toán THPT về việc xây dựng và sử dụng bài toán thực tiễn trong dạy và học chủ đề phƣơng trình mũlogarit cho học sinh lớp 12. 7. Cấu trúc của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận bao gồm 2 chƣơng: Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn Chƣơng 2. Hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề phƣơng trình mũlogarit cho sinh lớp 12. 3 NỘI DUNG CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục 1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung, phương pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện Đây là một trong những quan điểm chỉ đạo hàng đầu đƣợc trích trong nghị quyết số 29-NQ/TW, Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ƣơng khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Quan điểm chỉ rõ việc đổi mới về mục tiêu, nội dung và phƣơng pháp dạy học. Nếu nhƣ trƣớc đây, việc dạy học Toán chỉ tập trung vào các khái niệm, định lí, tính chất,… mang đậm tính hàn lâm, lý thuyết và các bài tập toán có độ khó cao, yêu cầu vận dụng các kiến thức đƣợc học để giải quyết các vấn đề phức tạp, trừu tƣợng trong nội bộ môn Toán thì ngày nay, cần phải đƣợc chuyển hƣớng dần sang việc vận dụng các kiến thức toán đƣợc học vào giải quyết các vấn đề liên môn và các vấn đề nảy sinh ngay trong đời sống kinh tế, xã hội. Muốn đạt đƣợc điều đó, cần thay đổi trƣớc hết từ mục tiêu, sau đó điều chỉnh nội dung và phƣơng pháp dạy học để từng bƣớc gắn liền nội dung môn Toán trung học phổ thông vào thực tiễn đời sống. 1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học Trƣớc đây mục tiêu giáo dục toàn diện thƣờng đƣợc hiểu đơn giản là: Học sinh phải học đầy đủ tất cả các môn học thuộc các lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và nhân văn, nghệ thuật, thể dục thể thao,… Không những thế, việc thực hiện mục tiêu giáo dục cũng nghiêng về truyền thụ kiến thức càng nhiều càng tốt; chú trọng truyền bá kiến thức hơn đào tạo, bồi dƣỡng năng lực của ngƣời học; ít yêu cầu ngƣời học vận dụng kiến thức vào thực tế,… Tình hình này đã dẫn đến hiện tƣợng “quá tải”, vừa thừa, vừa thiếu đối với ngƣời học và đối với mục tiêu giáo dục. 4 Mục tiêu giáo dục theo tinh thần đổi mới là: phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất ngƣời học. Toàn diện ở đây đƣợc hiểu là chú trọng phát triển cả phẩm chất và năng lực con ngƣời, cả dạy chữ, dạy ngƣời, dạy nghề. Giáo dục và đào tạo phải tạo ra những con ngƣời có phẩm chất, năng lực cần thiết nhƣ trung thực, nhân văn, tự do sáng tạo, có hoài bão và lí tƣởng phục vụ Tổ quốc, cộng đồng. Đồng thời phải phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân, làm chủ bản thân, làm chủ đất nƣớc và làm chủ xã hội; có hiểu biết và kĩ năng cơ bản để sống tốt và làm việc hiệu quả,… nhƣ Bác Hồ từng mong muốn: “Một nền giáo dục nó sẽ đào tạo các em nên những ngƣời công dân hữu ích cho nƣớc Việt Nam, một nền giáo dục làm phát triển hoàn toàn những năng lực sẵn có của các em”[7]. 1.1.3. Học đi đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn Quan điểm đổi mới này cũng đồng thời là nội dung của nguyên lí giáo dục: “Học đi đôi với hành, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trƣờng gắn liền với gia đình và xã hội”. Chủ nghĩa Mác cho rằng, lí luận và thực tiễn là hai phạm trù có quan hệ biện chứng với nhau. Lý luận không có thực tiễn là lý luận suông, thực tiễn không có lý luận là thực tiễn mù quáng. Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lí. Mục đích cuối cùng của việc học là làm việc. Nhƣ trong bài nói chuyện của Bác Hồ tại Đại học Sƣ phạm Hà Nội ngày 21.10.1964: “Các cháu học sinh không nên học gạo, không nên học vẹt,… Học phải suy nghĩ, học phải liên hệ với thực tế, phải có thí nghiệm và thực hành. Học với hành phải kết hợp với nhau”. Hay Bác cũng đã từng nói: “Học với hành phải đi đôi. Học mà không hành thì học vô ích. Hành mà không học thì hành không trôi chảy”. Nhƣ vậy theo quan điểm đổi mới trên, việc dạy học phải làm thế nào đó, để học sinh có thể vận dụng đƣợc các kiến thức đƣợc học vào giải quyết những vấn đề, nhiệm vụ trong thực tiễn đời sống xã hội. 5 1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào tạo, đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế để phát triển đất nước “Hội nhập quốc tế” là cụm từ không còn xa lạ với sự nghiệp phát triển giáo dục và đào tạo nƣớc ta. Để đáp ứng đủ các yêu cầu hội nhập quốc tế, thì việc đánh giá học sinh cũng cần phải đƣợc thực hiện theo những tiêu chuẩn đánh giá chung của quốc tế. Hiện nay, chƣơng trình “Đánh giá học sinh quốc tế (PISA)” đang đƣợc ngành giáo dục và đào tạo nƣớc ta quan tâm rất nhiều. Đây là bộ phận chính của một hệ thống định hƣớng quy mô lớn đƣợc thực hiện bởi Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD). Hệ thống này phục vụ cho mục đích cung cấp thông tin cho các nƣớc thành viên của tổ chức này về những ƣu điểm và nhƣợc điểm của nền giáo dục nƣớc họ. Đƣợc tổ chức định kì 3 năm một lần, PISA kiểm tra, đánh giá sự chuẩn bị của nhà trƣờng dành cho học sinh để bƣớc vào xã hội tri thức, nói cách khác là khả năng thích nghi của học sinh đối với những thách thức của một xã hội tri thức, tập trung vào 3 mảng kĩ năng: khoa học, đọc hiểu và toán học. Năng lực toán học đƣợc PISA định nghĩa: “Khả năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của Toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có tính xây dựng và có hiểu biết”[4]. Kỳ thi đánh giá năng lực của PISA đƣợc áp dụng cho học sinh ở độ tuổi từ 15 tuổi 3 tháng đến 16 tuổi 2 tháng, tức là độ tuổi của học sinh lớp 9 ở Việt Nam. Đề thi đánh giá năng lực toán học bao gồm 100% các bài toán thực tiễn xuất phát trong đời sống thực tiễn. Vậy Bài hỏi đặt ra cho việc đánh giá học sinh ở lứa tuổi tiếp theo của PISA, tức là học sinh lớp 10 trung học phổ thông thì đƣợc xem xét nhƣ thế nào? Đồng nghĩa với việc cần tăng cƣờng hơn nữa việc vận dụng toán học trong nhà trƣờng phổ thông vào giải quyết các tình huống thực tiễn, các bài toán thực tiễn. 6 1.1.5. Dự thảo môn Toán chương trình giáo dục phổ thông mới Chƣơng trình môn Toán đƣợc xây dựng trên cơ sở quán triệt quan điểm nội dung phải tinh giản, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế hay các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực giáo dục STEM, gắn với xu hƣớng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (nhƣ biến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính,...). Bảo đảm tính chỉnh thể, thống nhất và phát triển liên tục từ lớp 1 đến lớp 12. Có thể hình dung chƣơng trình đƣợc thiết kế theo mô hình gồm hai nhánh song song liên kết chặt chẽ với nhau, một nhánh mô tả sự phát triển của các mạch nội dung kiến thức cốt lõi và một nhánh mô tả sự phát triển của năng lực, phẩm chất của học sinh. Chƣơng trình môn Toán sẽ đƣợc tích hợp xoay quanh ba mạch kiến thức: Số và Đại số; Hình học và Đo lƣờng; Thống kê và Xác suất. 1.2. Tính thực tiễn của Toán học Tính thực tiễn của Toán học đƣợc thể hiện ở chỗ: Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn, Toán học phản ánh thực tiễn, Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. 1.1.6. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn Số học ra đời trƣớc hết do nhu cầu của số đếm. Hình học phát sinh do nhu cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt ở ven bờ sông Nin hàng năm,... Ăng-ghen đã chỉ ra rằng: Trong quá trình tồn tại và phát triển loài ngƣời, do nhu cầu hoạt động thực tiễn của con ngƣời, những khái niệm Toán học ban đầu (khái niệm về số tự nhiên, về đại số và hình học) đƣợc con ngƣời trừu tƣợng hóa từ trong thế giới hiện thực, chứ không phải là do phát sinh từ trí não của con ngƣời, do tƣ duy thần túy, những ngón tay, ngón chân, những hòn đá nhỏ, nhờ đó ngƣời ta học đếm. Từ chỗ biết đếm, con ngƣời có khái niệm đầu tiên về số tự nhiên, khái 7 niệm về 4 phép tính số học, những đối tƣợng có hình dạng khác nhau mà ngƣời ta so sánh, những mảnh đất trên đó ngƣời ta đo diện tích và thể tích,… đƣa đến kiến thức ban đầu về hình học. Con ngƣời đã nghiên cứu tất cả những sự vật đó, số lƣợng, hình dạng, thể tích, diện tích của chúng trong khi giải quyết những bài toán mà họ gặp phải trong hoạt động thực tiễn của họ. Kiến thức toán học thời xƣa đƣợc xây dựng nhờ kinh nghiệm săn bắt, trồng trọt, chăn nuôi, xây dựng,… Có thể nói đây là giai đoạn phát sinh của Toán học. Những kiến thức rời rạc và chỉ dựa vào kinh nghiệm dần dần đƣợc hệ thống hóa và ngƣời ta xây dựng Toán học thành một khoa học suy diễn. Sự phát triển của Toán học có thể chia làm 3 giai đoạn khác nhau tƣơng ứng với trình độ sản xuất và kỹ thuật. Giai đoạn 1: Giai đoạn Toán sơ cấp tƣơng ứng với trình độ sản xuất theo kiểu thủ công với kỹ thuật thô sơ. Giai đoạn 2: Giai đoạn Toán học cao cấp cổ điển tƣơng ứng với trình độ sản xuất kiểu cơ khí đòi hỏi phải có những công cụ Toán học để phục vụ cho cơ học, thúc đẩy sự ra đời của các môn hình học giải tích, phép tính vi phân và tích phân,… Giai đoạn 3: Giai đoạn Toán học hiện đại tƣơng ứng với trình độ sản xuất tự động hóa là với sự ra đời của lý thuyết tập hợp, các lý thuyết thuật toán,… Góp phần phát minh ra máy tính điện tử, phát triển ngành Toán học tính toán. Với 3 giai đoạn phát triển của Toán học chúng ta thấy rằng Toán học có nguồn gốc từ nhu cầu thực tiễn của cuộc sống con ngƣời và do cả nhu cầu của chính bản thân nó. 1.1.7. Toán học phản ánh thực tiễn Toán học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện. Đó là bởi: Toán học là khoa học về cấu trúc tổng quát, các quan hệ đƣợc trừu tƣợng hóa các đối tƣợng của hiện thực khách quan. Chúng ta đi tìm hiểu một số ví dụ sau: 8 Ví dụ 1. Về định nghĩa của hàm số: Các hàm số là chân dung của Toán học của tính qui luật của tự nhiên. Ta hãy để ý đến các hiện tƣợng tự nhiên của thế giới xung quanh mà con ngƣời gọi chúng đó là: “Quy luật tự nhiên”; “chuồn chuồn bay thấp thì mƣa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”; “chớp đông nhay nháy, gà gáy trời mƣa”. Các “quy luật” này diễn tả một sự tƣơng ứng của một hiện tƣợng thứ nhất và hiện tƣợng thứ hai. Ví dụ 2. Trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lƣợng ánh sáng tác động vào phim ảnh cho tƣơng ứng với độ đen của nó. Trong Toán học mọi quy tắc xác định tƣơng ứng đƣợc gọi là một hàm số. Trong ví dụ 2, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh là hàm số của lƣợng ánh sáng. 1.1.8. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng nhƣ trong sản xuất và đời sống. Trong quá trình học tập tại trƣờng phổ thông, HS sẽ đƣợc biết đến các ứng dụng thực tiễn đơn giản của toán học qua các bài toán nhƣ: - Ứng dụng lƣợng giác để đo khoảng cách không tới đƣợc Ví dụ 1. “Tính khoảng cách từ một điểm trên bờ trong đến một gốc cây trên một cù lao ở giữa sông. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, ngƣời ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ sông A sao cho từ A đến B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB, góc CAB và CBA . Chẳng hạn ta đo đƣợc AB 40 m, CAB 45o, CBA= =70o. Khi đó khoảng cách AC đƣợc tính nhƣ sau: Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC , ta có 9 AC sin B AB sin C Vì sinC = sin(α + β) nên AC = ABsinβ 40.sin70o = sin(α + β) sin115o Vậy AC - 41, 47 (m). 41, 47 (m) ”[5]. Ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời của chuyển động. Ví dụ 2. Một ngƣời trƣợt ván trên đƣờng có hình Parabol với phƣơng trình: s 1 2 t ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc của chất điểm tại 4 thời điểm t0 2 (giây). Ta có “vận tốc tức thời v(t0 ) tại thời điểm to của chuyển động có phƣơng trình s s(t) bằng đạo hàm hàm số s s(t) tại điểm t0 , tức v(t 0 ) = s (t 0 ) ”[1]. Nên vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0 v(t0 ) - s (t0 ) 1 t 2 0 2 là 1 .2 2 1 (m). Ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích Ví dụ 3. Một chi đoàn thanh niên đi dựng trại, họ dự định dựng một lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trƣớc, lều trại đƣợc căng thẳng từ trƣớc ra sau, mặt sau trại cũng là parabol có kích thƣớc giống nhƣ mặt trƣớc) với kích thƣớc: nền trại là một hình chữ nhật có chiều rộng là 3 mét, chiều sâu là 6 mét, đỉnh của parabol cách mặt đất là 3 mét. Hãy tính thể tích phần không gian phía trong trại để cử số lƣợng ngƣời tham dự trại cho phù hợp. Giả sử nền trại là hình chữ nhật ABCD có AB 3 mét, BC 6 mét, đỉnh của Parabol là I . Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho: O là trung điểm của cạnh AB , A 3 3 ; 0 , B ; 0 , I 0;3 ; phƣơng trình của parabol có dạng: 2 2 10 ax 2 y b (a 0) . Do I , A, B thuộc (P) nên ta có: y 3 2 tích phần không gian phía trong trại là V = 6.2 0 4 2 x 3 3 . Vậy thể 4 - x 2 + 3 dx = 36 m3 . 3 Ngoài ra, Toán học còn ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác nhƣ: Trong y học, nhờ có những phƣơng tiện kỹ thuật hiện đại và những phƣơng pháp tính toán, sử dụng phƣơng pháp thống kê toán học và máy tính điện tử đã giúp con ngƣời khai thác một cách có hiệu quả các kinh nghiệm để khám và chữa bệnh một cách hiệu quả và chính xác. Trong giao thông vận tải Toán học cũng đóng một vai trò rất quan trọng ngƣời ta dùng phƣơng trình tuyến tính để lựa chọn phƣơng án vận chuyển tiết kiệm nhất, chọn phƣơng án hợp lý để giảm bớt chi phí và đạt hiệu quả tối ƣu nhất. Các nhà Toán học sử dụng góc để thiết kế chỗ đỗ xe vì hầu hết việc sắp xếp vị trí đỗ xe đều liên quan đến không gian đỗ. Các phi công máy bay, các chuyên gia quân sự, các thủy thủ đi trên các chuyến tàu vƣợt đại dƣơng,… đều cần sử dụng khái niệm góc để di chuyển tới đích một cách hiệu quả. Ngoài ra chúng ta đã biết trong giao thông tắc đƣờng là chuyện thƣờng ngày đối với các đô thị lớn, đặc biệt là Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh. Bài toán tắc đƣờng là một bài toán nhỏ cụ thể trong một bài toán lớn tổng quát hơn, trừu tƣợng hơn thuộc lý thuyết vận trù, lý thuyết về graph, lý thuyết về nút,… Trong kinh tế, nhờ sự ra đời của lý thuyết xác suất mà một loạt các lý thuyết mới ra đời ở thế kỷ XX có ý nghĩa thực tiễn vô cùng quan trọng ở các lĩnh vực nhƣ: tổ chức thƣơng mại điện tử, tổ chức sản xuất, vận tải hàng hóa,… Các lý thuyết này đã đƣa vào hƣớng ứng dụng toán học mới gọi là: “Nghiên cứu 11 các thuật toán” nhằm tìm các lời giải tối ƣu theo quan điểm mạo hiểm trong những điều kiện nhất định. Trong quản lý nhân sự có vấn đề phân chia công việc cho n công nhân mà mỗi công nhân ở mỗi vị trí nhất định sao cho khối lƣợng công việc hoàn thành là lớn nhất. Trong quân sự và quốc phòng, Toán học đã làm nên cuộc cách mạng trong công nghệ mật mã. Hiện nay nhiều tổ chức quân sự, kinh tế, tài chính hay các cơ quan chính phủ khi truyền đi các tin tức tối mật của mình thƣờng dùng một loại mật mã gọi là mật mã công khai gọi tắt là RSA. Mật mã RSA đƣợc xây dựng dựa trên một kết quả sơ cấp của số học và một sự kiện là rất khó phân tích ra thừa số nguyên tố. Trong hội họa, những cấu trúc hình học thƣờng có mặt trong tác phẩm của các nhà danh họa. Các biểu đồ với mức độ hiện diện khác nhau trong các bố cục bức tranh cũng thƣờng đƣợc xem xét đến khi xem tranh, tùy thuộc vào hình dáng của hình học đƣợc lấy làm cơ sở cho bố cục bức tranh mà ngƣời ta gọi tên các loại bố cục nhƣ: bố cục hình chóp, bố cục hình tròn, bố cục hình xoắn ốc,… Tóm lại, Toán học có ứng dụng to lớn trong thực tiễn cũng nhƣ trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật, nó là điều kiện thiết yếu để phát triển lực lƣợng sản xuất. Toán học là sợi dây liên hệ ràng buộc các ngành khoa học với nhau, thúc đẩy chúng cùng phát triển. 1.2. Bài toán thực tiễn 1.2.1. Khái niệm bài toán thực tiễn Bài toán đƣợc hiểu là: “Tất cả những câu hỏi cần giải đáp về một kết quả chƣa biết cần tìm bắt đầu từ một số dữ kiện, hoặc về một phƣơng pháp cần khám phá, mà theo phƣơng pháp này sẽ đạt đƣợc những kết quả đã biết”[8]. G. Polya lại viết: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm hiểu một cách có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhƣng không thể đạt đƣợc ngay”[3]. 12 Từ các cách hiểu trên, có thể nói bài toán là các câu hỏi, yêu cầu đặt ra cho ngƣời học để đạt đƣợc mục đích dạy học nào đó thông qua các dữ liệu đã cho. Ví dụ 1. “Tìm m để phƣơng trình y 2 (m 1)y m2 0 có hai nghiệm phân biệt”. Bài toán ở ví dụ 1 đặt ra yêu cầu là xác định tất cả giá trị của tham số m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt. Bài toán này có thể dùng để củng cố hoặc luyện tập giải phƣơng trình bậc hai. Ví dụ 2. Trong thực tế, khi cần phải đo khoảng cách giữa hai điểm B và C mà không thể đo trực tiếp đƣợc vì giữa hai điểm đó có chƣớng ngại, nhƣ một đầm lầy, một cánh rừng,… Để có thể đo đƣợc khoảng cách BC trong những trƣờng hợp đó, ngƣời ta thƣờng chọn một điểm A sao cho từ A có thể nhìn thấy B , C và ta có thể đo đƣợc khoảng cách AB c , AC b và BAC . Làm đƣợc nhƣ vậy, ABC hoàn toàn xác định bởi hai cạnh và góc xen giữa. Khi đó khoảng cách AB sẽ đƣợc tính nhƣ thế nào? Đây là một bài toán dùng để gợi động cơ khi dạy học định lí Cosin trong tam giác. Bài toán cho các dữ liệu là ABC có AB c , AC b , và BAC . Câu hỏi đặt ra là khi đó khoảng cách AB sẽ đƣợc tính nhƣ thế nào? Bài toán thực tiễn là bài toán mà trong giả thiết hay kết luận có chứa những nội dung liên quan đến thực tiễn. Thực tiễn ở đây không chỉ là các sự việc, tình huống trong cuộc sống xã hội mà còn đƣợc hiểu là các tình huống nảy sinh trong các ngành khoa học nhƣ vật lí, hóa học, sinh học,… Trong khóa luận này chủ yếu đề cập đến các bài toán thực tiễn trong đời sống hàng ngày. Ví dụ 3. Một chiếc ôtô chạy trên quãng đƣờng AB dài 250km với vận tốc trung bình là 50 km/h. Hỏi thời gian để chiếc ôtô đó chạy hết quãng đƣờng AB là bao nhiêu, biết rằng ôtô có dừng nghỉ một lần trong 13 1 giờ? 2 Ví dụ 4. Một tên lửa bay vào không trung với quãng đƣờng đi đƣợc là s t (km) là hàm phụ thuộc theo biến t (giây) theo quy tắc sau: s(t) et 2 3 2te3t 1 (km). Hỏi vận tốc của tên lửa sau 1 giây là bao nhiêu (biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm của hàm biểu thị quãng đƣờng tính theo thời gian). Ví dụ 3 và ví dụ 4 đƣa ra hai bài toán thực tiễn, tức là trong giả thiết và kết luận của bài toán đều chứa những yếu tố có liên quan đến thực tiễn. Các bài toán này có thể xuất phát từ thực tiễn nhƣ ví dụ 4, hoặc có thể do tƣởng tƣợng, sáng tạo ra nhƣ ở ví dụ 3. 1.2.2. Vai trò của bài toán thực tiễn trong quá trình dạy học Bài toán có vai trò quan trọng trong môn Toán. Thông qua việc giải bài toán, học sinh thực hiện đƣợc nhiều hoạt động nhƣ nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phƣơng pháp, những hoạt động Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. Cụ thể, bài toán có vai trò: 1.2.2.1. Củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh Khi giải một bài toán học sinh phải đi từ việc nghiên cứu đề bài đến tìm đáp án. Để làm đƣợc điều này học sinh phải trải qua một quá trình quan sát, tổng hợp, phán đoán,… Quá trình giải bài toán không phải bắt đầu từ con số “0” mà phải dựa vào kinh nghiệm thực tiễn, những kiến thức mà học sinh đã tích lũy từ trƣớc. Các em phải nhớ, hiểu và vận dụng đƣợc những kiến thức và kinh nghiệm đó thì mới giải đƣợc bài toán. Nhƣ vậy, khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán, mà cả một hệ thống kiến thức liên quan tới bài toán cũng đƣợc củng cố qua lại nhiều lần,… Qua đó, ngƣời học hiểu sâu hơn kiến thức, đồng thời giúp cho việc hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đã đƣợc trình bày trong phần lý thuyết và biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc giải quyết những tình huống cụ thể. 14