Tài liệu Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân cho học sinh lớp 11

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* ĐÀO THỊ MAI PHƢỢNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN CHO HỌC SINH LỚP 11 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán HÀ NỘI - 2018 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************* ĐÀO THỊ MAI PHƢỢNG XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN CHO HỌC SINH LỚP 11 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học Toán Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. DƢƠNG THỊ HÀ HÀ NỘI - 2018 LỜI CẢM ƠN Với tất cả tấm lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, những ngƣời đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trƣờng. Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn ThS. Dƣơng Thị Hà, ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo cùng học sinh trƣờng THPT Đa Phúc và THPT Thuận Thành số 1 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho em trong quá trình thực hiện khóa luận. Và cuối cùng em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và những ngƣời thân đã quan tâm, động viên, giúp đỡ, đóng góp ý kiến, giới thiệu tài liệu giúp em hoàn thành khóa luận. Mặc dù bản thân đã hết sức cố gắng trong quá trình tiến hành làm khóa luận, song do năng lực của bản thân còn hạn chế nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu sót. Vì vậy, em rất mong đƣợc sự góp ý chân thành của quý thầy cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên thực hiện Đào Thị Mai Phượng LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân với sự hƣớng dẫn của ThS. Dƣơng Thị Hà. Kết quả khóa luận không trùng khớp với các công trình nghiên cứu khác, nếu sai sót, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Sinh viên thực hiện Đào Thị Mai Phượng DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN BTTT Bài toán thực tiễn CSC Cấp số cộng CSN Cấp số nhân GV Giáo viên HD Hƣớng dẫn HS Học sinh L Loại SGK Sách giáo khoa THPT Trung học phổ thông TM Thỏa mãn MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 3 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 3 4. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 3 5. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 3 6. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 3 7. Cấu trúc của đề tài ......................................................................................... 4 NỘI DUNG ....................................................................................................... 5 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ......................................... 5 1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục ................................................ 5 1.2. Tính thực tiễn của Toán học phổ thông ..................................................... 8 1.3. Bài toán thực tiễn ..................................................................................... 14 1.4. Thực trạng sử dụng bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân trong dạy học môn Toán ở phổ thông ............................................................. 25 Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 29 CHƢƠNG 2. HỆ THỐNG BÀI TOÁN THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN CHO HỌC SINH LỚP 11 ...................................... 30 2.1. Mục tiêu và nội dung chủ yếu của dạy học chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân trong dạy học Toán ở phổ thông ............................................................ 30 2.2. Đề xuất hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân. .... 32 2.3. Định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân............................................................................................................. 60 2.4. Kiểm nghiệm hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân cho HS lớp 11 .................................................................... 62 Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 68 KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................... 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 70 PHỤ LỤC MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI, trong thời đại đòi hỏi cao về tri thức và năng lực của con ngƣời. Hiện nay, giáo dục và đào tạo đƣợc coi là quốc sách hàng đầu của mỗi quốc gia. Xã hội càng phát triển, con ngƣời ta càng đòi hỏi giáo dục phải làm thế nào giúp ích nhiều nhất cho sự phát triển của mỗi cá nhân, khả năng thích ứng, đƣơng đầu cũng nhƣ phát triển không ngừng trƣớc thực tế luôn thay đổi. Nghị quyết hội nghị Trung ƣơng VIII khóa XI chỉ đạo: “Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu, là sự nghiệp của Đảng và Nhà nước và của toàn dân. Đầu tư cho giáo dục là đầu tư phát triển, được ưu tiên đi trước cho các chương trình, kế hoạch phát triển kinh tế - xã hội; phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”. Nghị quyết hội nghị Trung ƣơng VIII khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối với giáo dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh (HS). Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, phát triển khả năng sáng tạo và tự học, khuyến khích học tập suốt đời, hoàn thành đào tạo giáo dục phổ thông giai đoạn sau 2015”. Trong nhà trƣờng phổ thông, toán là môn học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhƣ khoa 1 học, công nghệ, sản suất, đời sống,… Toán học vẫn luôn là thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, làm cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại, văn minh hơn. Tuy nhiên, những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chƣơng trình sách giáo khoa (SGK) cũng nhƣ trong thực tế dạy học môn Toán chƣa đƣợc quan tâm một cách thƣờng xuyên. Số lƣợng ví dụ bài toán có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động và sản suất còn đƣợc trình bày rất ít và hạn chế trong chƣơng trình toán phổ thông. Mặt khác, môn Toán trong kì thi Trung học phổ thông (THPT) Quốc gia bắt đầu sử dụng hình thức thi trắc nghiệm từ năm học 2016-2017. Với toàn bộ kiến thức nằm trong chƣơng trình lớp 12. Đến nay, năm học 20172018 nội dung thi bao gồm cả chƣơng trình khối lớp 11 và 12. Với khối lƣợng kiến thức lớn, cùng với sự thay đổi hình thức thi sang trắc nghiệm đã gây không ít khó khăn đối với cả giáo viên (GV) và học sinh (HS). Để giúp GV và HS giải quyết khó khăn này thì Bộ Giáo dục và Đào tạo đã giới thiệu đề thi minh họa, trong cấu trúc đề thi có nhiều câu về bài toán thực tiễn (BTTT). Vì vậy, việc tăng cƣờng các BTTT cho các em HS trong quá trình giảng dạy ngay từ lớp 11 là rất cần thiết. Giúp cho các em có kiến thức sâu rộng và tạo hứng thú trong học tập. Hơn nữa, trong chƣơng trình Toán học 11 chƣơng dãy số, cấp số cộng (CSC) và cấp số nhân (CSN) số lƣợng, cũng nhƣng nội dung các BTTT còn ít và hạn chế, chƣa đa dạng, phong phú. Đặc biệt HS có thể giải thành thạo các bài toán liên quan đến CSC, CSN với những yêu cầu cụ thể nhƣ tính tổng của CSC, CSN hay tính số hạng tổng quát,... nhƣng những bài có nội dung liên quan đến thực tiễn hoặc các môn học khác thì HS còn loay hoay và lúng túng. Qua nghiên cứu chƣơng trình SGK và các tài liệu liên quan đến toán học và đời sống, bản thân em nhận thấy có một số bài toán liên quan đến thực tiễn trong chủ đề CSC, CSN và em muốn cung cấp thêm cũng nhƣ hệ thống 2 lại các bài toán thực tiễn chủ đề này nhằm góp phần nâng cao chất lƣợng dạy và học môn Toán lớp 11 của GV và HS. Trên quan điểm đó cùng với sự mong muốn xây dựng đƣợc hệ thống BTTT có chất lƣợng tốt, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học toán phổ thông, phù hợp với việc đổi mới phƣơng pháp dạy và học, em đã chọn đề tài: “Xây dựng hệ thống bài toán thực tiễn trong dạy học chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân cho học sinh lớp 11”. 2. Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống BTTT trong dạy học chủ đề CSC, CSN và định hƣớng sử dụng hệ thống bài toán này nhằm góp phần nâng cao chất lƣợng hiệu quả dạy học chủ đề này nói riêng và nâng cao chất lƣợng hiệu quả của việc học tập môn Toán ở phổ thông nói chung. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu CSC, CSN trong chƣơng trình toán Giải tích 11 nâng cao. 4. Giả thuyết khoa học Nếu GV xây dựng và sử dụng đƣợc hệ thống BTTT chủ đề CSC, CSN thì sẽ góp phần nâng cao chất lƣợng hiệu quả dạy học chủ đề này ở Nhà trƣờng phổ thông nói riêng và dạy học môn Toán nói chung. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu cơ sở lý luận về BTTT 5.2. Tìm hiểu thực trạng về việc xây dựng và sử dụng hệ thống BTTT chủ đề CSC, CSN ở trường phổ thông 5.3. Xây dựng hệ thống BTTT trong dạy học chủ đề CSC, CSN cho HS lớp 11 và hướng dẫn giải 5.4. Kiểm nghiệm chất lượng hệ thống bài toán đã được xây dựng 6. Phƣơng pháp nghiên cứu 6.1. Phương pháp nghiên cứu lí luận 3 - Nghiên cứu các văn bản, nghị quyết của Đảng, Nhà nƣớc về lĩnh vực giáo dục, đào tạo. - Nghiên cứu các sách, báo, khoá luận, tạp chí,… có liên quan đến bài tập trắc nghiệm khách quan, kiểm tra đánh giá, phƣơng pháp dạy học môn Toán, chủ đề phƣơng trình mũ và phƣơng trình lôgarit. 6.2. Phương pháp điều tra, khảo sát - Tìm hiểu thực trạng xây dựng và sử dụng hệ thống BTTT chủ đề CSC, CSN cho HS lớp ở trƣờng phổ thông. - Tìm hiểu thái độ học tập của HS, tìm hiểu đánh giá của GV, HS về tác dụng của hệ thống BTTT chủ đề CSC, CSN trong việc dạy học môn Toán cũng nhƣ tính khả thi của việc sử dụng hệ thống BTTT chủ đề này vào dạy học Giải tích 11. 6.3. Phương pháp kiểm nghiệm giáo dục Xác định chất lƣợng của hệ thống BTTT và tính khả thi của những gợi ý cơ bản đƣợc trình bày trong khoá luận. 6.4. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Tổng kết kinh nghiệm của các GV toán THPT về việc xây dựng và sử dụng BTTT. 7. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 2 chƣơng: Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2. Hệ thống bài toán thực tiễn chủ đề cấp số cộng, cấp số nhân 4 NỘI DUNG CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Một số vấn đề cơ bản về đổi mới giáo dục 1.1.1. Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo là đổi mới những vấn đề lớn, cốt lõi, cấp thiết, từ quan điểm, tư tưởng chỉ đạo đến mục tiêu, nội dung, phương pháp, cơ chế, chính sách, điều kiện bảo đảm thực hiện Đây là một trong những quan điểm chỉ đạo hàng đầu đƣợc trích trong nghị quyết số 29 Hội nghị lần thứ 8 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo. Quan điểm chỉ rõ việc đổi mới về mục tiêu, nội dung và phƣơng pháp dạy học. Nếu nhƣ trƣớc đây, việc dạy học môn Toán chỉ tập trung vào các khái niệm, định lí, tính chất,… mang đậm tính hàn lâm, lý thuyết và các bài tập toán có độ khó cao, yêu cầu vận dụng các kiến thức đƣợc học để giải quyết các vấn đề phức tạp, trừu tƣợng trong nội bộ môn Toán thì ngày nay, cần phải đƣợc chuyển hƣớng dần sang việc vận dụng các kiến thức toán đƣợc học vào giải quyết các vấn đề liên môn và các vấn đề nảy sinh ngay trong đời sống kinh tế, xã hội. Muốn đạt đƣợc điều đó, cần thay đổi trƣớc hết từ mục tiêu, sau đó điều chỉnh nội dung và phƣơng pháp dạy học để từng bƣớc gắn liền nội dung môn Toán THPT vào thực tiễn đời sống. 1.1.2. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học Trƣớc đây mục tiêu giáo dục toàn diện thƣờng đƣợc hiểu đơn giản là: HS phải học đầy đủ tất cả các môn học thuộc các lĩnh vực khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và nhân văn, nghệ thuật, thể dục thể thao,… Không những thế, việc thực hiện mục tiêu giáo dục cũng nghiêng về truyền thụ kiến thức càng nhiều càng tốt; chú trọng truyền bá kiến thức hơn đào tạo, bồi dƣỡng năng lực của ngƣời học; ít yêu cầu ngƣời học vận dụng kiến thức vào thực tế,… 5 Tình hình này đã dẫn đến hiện tƣợng "quá tải", vừa thừa, vừa thiếu đối với ngƣời học và đối với mục tiêu giáo dục. Mục tiêu giáo dục theo tinh thần đổi mới là: phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học. Toàn diện ở đây đƣợc hiểu là chú trọng phát triển cả phẩm chất và năng lực con ngƣời, cả dạy chữ, dạy ngƣời, dạy nghề. Giáo dục và đào tạo phải tạo ra những con ngƣời có phẩm chất, năng lực cần thiết nhƣ trung thực, nhân văn, tự do sáng tạo, có hoài bão và lí tưởng phục vụ Tổ quốc, cộng đồng. Đồng thời phải phát huy tốt nhất tiềm năng, khả năng sáng tạo của mỗi cá nhân, làm chủ bản thân, làm chủ đất nước và làm chủ xã hội; có hiểu biết và kĩ năng cơ bản để sống tốt và làm việc hiệu quả,… nhƣ Bác Hồ từng mong muốn: “Một nền giáo dục nó sẽ đào tạo các em nên những người công dân hữu ích cho nước Việt Nam, một nền giáo dục làm phát triển hoàn toàn những năng lực sẵn có của các em”[7]. 1.1.3. Học đi đôi với hành, lý luận gắn với thực tiễn Quan điểm đổi mới này cũng đồng thời là nội dung của nguyên lí giáo dục: “Học đi đôi với hành, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trƣờng gắn liền với gia đình và xã hội”. Chủ nghĩa Mác cho rằng, lí luận và thực tiễn là hai phạm trù có quan hệ biện chứng với nhau. Lý luận không có thực tiễn là lý luận suông, thực tiễn không có lý luận là thực tiễn mù quáng. Thực tiễn là tiêu chuẩn của chân lí. Mục đích cuối cùng của việc học là làm việc. Nhƣ trong bài nói chuyện của Bác Hồ tại Đại học Sƣ phạm Hà Nội ngày 21.10.1964: “Các cháu HS không nên học gạo, không nên học vẹt,… Học phải suy nghĩ, học phải liên hệ với thực tế, phải có thí nghiệm và thực hành. Học với hành phải kết hợp với nhau”. Hay Bác cũng đã từng nói: “Học với hành phải đi đôi. Học mà không hành thì học vô ích. Hành mà không học thì hành không trôi chảy”. 6 Nhƣ vậy theo quan điểm đổi mới trên, việc dạy học phải làm thế nào đó, để HS có thể vận dụng đƣợc các kiến thức đƣợc học vào giải quyết những vấn đề, nhiệm vụ trong thực tiễn đời sống xã hội. 1.1.4. Chủ động, tích cực hội nhập quốc tế để phát triển giáo dục và đào tạo, đồng thời giáo dục và đào tạo phải đáp ứng yêu cầu hội nhập quốc tế để phát triển đất nước “Hội nhập quốc tế” là cụm từ không còn xa lạ với sự nghiệp phát triển giáo dục và đào tạo nƣớc ta. Để đáp ứng đủ các yêu cầu hội nhập quốc tế, thì việc đánh giá HS cũng cần phải đƣợc thực hiện theo những tiêu chuẩn đánh giá chung của quốc tế. Hiện nay, chƣơng trình “Đánh giá HS quốc tế” PISA đang đƣợc ngành giáo dục và đào tạo nƣớc ta quan tâm rất nhiều. Đây là bộ phận chính của một hệ thống định hƣớng quy mô lớn đƣợc thực hiện bởi Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD). Hệ thống này phục vụ cho mục đích cung cấp thông tin cho các nƣớc thành viên của tổ chức này về những ƣu điểm và nhƣợc điểm của nền giáo dục nƣớc họ. Đƣợc tổ chức định kì 3 năm một lần, PISA kiểm tra, đánh giá sự chuẩn bị của nhà trƣờng dành cho HS để bƣớc vào xã hội tri thức, nói cách khác là khả năng thích nghi của HS đối với những thách thức của một xã hội tri thức, tập trung vào 3 mảng kĩ năng: khoa học, đọc hiểu và toán học. Năng lực toán học đƣợc PISA định nghĩa: “Khả năng của một cá nhân có thể nhận biết và hiểu vai trò của Toán học trong đời sống, phán đoán và lập luận dựa trên cơ sở vững chắc, sử dụng và hình thành niềm đam mê tìm tòi khám phá toán học để đáp ứng những nhu cầu trong đời sống của cá nhân đó với vai trò là một công dân có ý thức, có tính xây dựng và có hiểu biết” [3]. Kỳ thi đánh giá năng lực của PISA đƣợc áp dụng cho HS ở độ tuổi từ 15 tuổi 3 tháng đến 16 tuổi 2 tháng, tức là độ tuổi của HS lớp 9 ở Việt Nam. Đề thi đánh giá năng lực toán học bao gồm 100% các BTTT xuất phát trong đời sống thực tiễn. Vậy câu hỏi đặt ra cho việc đánh giá HS ở lứa 7 tuổi tiếp theo của PISA, tức là HS lớp 10 trung học phổ thông thì đƣợc xem xét nhƣ thế nào? Đồng nghĩa với việc cần tăng cƣờng hơn nữa việc vận dụng toán học trong nhà trƣờng phổ thông vào giải quyết các tình huống thực tiễn, các BTTT. 1.1.5. Môn Toán trong chương trình giáo dục phổ thông mới Chƣơng trình môn Toán đƣợc xây dựng trên cơ sở quán triệt quan điểm nội dung phải tinh giản, chú trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn kết với đời sống thực tế hay các môn học khác, đặc biệt với các môn học thuộc lĩnh vực giáo dục STEM, gắn với xu hƣớng phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có tính toàn cầu (nhƣ biến đổi khí hậu, phát triển bền vững, giáo dục tài chính,...). Bảo đảm tính chỉnh thể, thống nhất và phát triển liên tục từ lớp 1 đến lớp 12. Có thể hình dung chƣơng trình đƣợc thiết kế theo mô hình gồm hai nhánh song song liên kết chặt chẽ với nhau, một nhánh mô tả sự phát triển của các mạch nội dung kiến thức cốt lõi và một nhánh mô tả sự phát triển của năng lực, phẩm chất của HS. Chƣơng trình môn Toán sẽ đƣợc tích hợp xoay quanh ba mạch kiến thức: Số và Đại số; Hình học và Đo lƣờng; Thống kê và Xác suất. 1.2. Tính thực tiễn của Toán học phổ thông 1.2.1. Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn Số học ra đời trƣớc hết do nhu cầu của số đếm. Hình học phát sinh do nhu cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt ở ven bờ sông Nin hàng năm,… Ăng-ghen đã chỉ ra rằng: Trong quá trình tồn tại và phát triển loài ngƣời, do nhu cầu hoạt động thực tiễn của con ngƣời, những khái niệm Toán học ban đầu (Khái niệm về số tự nhiên, về đại số và hình học) đƣợc con ngƣời trừu tƣợng hóa từ trong thế giới hiện thực, chứ không phải là do phát sinh từ trí não của con ngƣời, 8 do tƣ duy thần túy, những ngón tay, ngón chân, những hòn đá nhỏ, nhờ đó ngƣời ta học đếm. Từ chỗ biết đếm, con ngƣời có khái niệm đầu tiên về số tự nhiên, khái niệm về 4 phép tính số học. Và ngƣời ta học cả những đối tƣợng có hình dạng khác nhau mà ngƣời ta so sánh, những mảnh đất trên đó họ đo diện tích,… Nhu cầu về đo đạc diện tích và thể tích,… đƣa đến kiến thức ban đầu về hình học. Đó chính là một bộ phận của nhiều sự vật cụ thể đã giúp con ngƣời hoàn thiện đƣợc khái niệm về số tự nhiên, về đại lƣợng về hình học. Con ngƣời đã nghiên cứu tất cả những sự vật đó, số lƣợng, hình dạng, thể tích, diện tích của chúng trong khi giải quyết những bài toán mà họ gặp phải trong hoạt động thực tiễn của họ. Những khái niệm Toán học đầu tiên đƣợc phát sinh do nhu cầu về đếm và đo đạc đơn giản nhất. Kiến thức toán học thời xƣa đƣợc xây dựng nhờ kinh nghiệm săn bắt, trồng trọt, chăn nuôi, xây dựng,… Có thể nói đây là giai đoạn phát sinh của Toán học. Những kiến thức rời rạc và chỉ dựa vào kinh nghiệm dần dần đƣợc hệ thống hóa và ngƣời ta xây dựng Toán học thành một khoa học suy diễn. Sự phát triển của Toán học có thể chia làm 3 giai đoạn khác nhau tƣơng ứng với trình độ sản xuất và kỹ thuật nhƣ sau: - Giai đoạn 1: Giai đoạn Toán sơ cấp: Tƣơng ứng với trình độ sản xuất theo kiểu thủ công với kỹ thuật thô sơ không đòi hỏi những công cụ tinh vi hơn. - Giai đoạn 2: Giai đoạn Toán học cao cấp cổ điển. Tƣơng ứng với trình độ sản xuất kiểu cơ khí đòi hỏi phải có những công cụ Toán học để phục vụ cho cơ học, thúc đẩy sự ra đời của các môn hình học giải tích, phép tính vi phân và tích phân,… - Giai đoạn 3: Giai đoạn Toán học hiện đại: Tƣơng ứng với trình độ sản xuất tự động hóa với sự ra đời của lý thuyết tập hợp, các lý thuyết thuật toán,… Góp phần phát minh ra máy tính 9 điện tử, phát triển ngành Toán học tính toán. Với 3 giai đoạn phát triển của Toán học chúng ta thấy rằng Toán học có nguồn gốc từ nhu cầu thực tiễn của cuộc sống con ngƣời và do cả nhu cầu của chính bản thân nó. 1.2.2. Toán học phản ánh thực tiễn Toán học là khoa học về cấu trúc tổng quát, các quan hệ đƣợc trừu tƣợng hóa các đối tƣợng của hiện thực khách quan. Do đó, Toán học không chỉ bắt nguồn từ thực tiễn mà đồng thời nó cũng có khả năng phản ánh thực tiễn một cách rất đa dạng, toàn diện. Chúng ta đi tìm hiểu một số ví dụ sau: - Ví dụ về định nghĩa hàm số: Các hàm số là chân dung của Toán học, của tính qui luật, của tự nhiên. Ta hãy để ý đến các hiện tƣợng tự nhiên của thế giới xung quanh mà con ngƣời gọi chung đó là: “quy luật tự nhiên”: “chớp đông nhay nháy, gà gáy trời mƣa”, “chuồn chuồn bay thấp thì mƣa, bay cao thì nắng, bay vừa thì râm”. Các “quy luật” này diễn tả một sự tƣơng ứng của một hiện tƣợng thứ nhất và hiện tƣợng thứ hai. Trong Toán học mọi quy tắc xác định tƣơng ứng đƣợc gọi là một hàm số. - Ví dụ trong nghệ thuật nhiếp ảnh thì lƣợng ánh sáng tác động vào phim ảnh cho tƣơng ứng với độ đen của nó. Trong ví dụ này, theo cách nói của Toán học thì độ đen của phim ảnh là hàm số của lƣợng ánh sáng. 1.2.3. Toán học có ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng nhƣ trong sản xuất và đời sống. Ứng dụng lƣợng giác để đo những khoảng cách không tới đƣợc, ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời, ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích,… 10 Ví dụ 1: Ứng dụng lƣợng giác trong việc đo chiều cao Đo chiều cao của một cái tháp mà không thể đến đƣợc chân tháp. Giả sử CD  h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B và C thẳng hàng. Ta đo khoảng cách AB và các góc CAD, CBD. Chẳng hạn ta đo đƣợc AB  24m, CAD    63o , CBD    48o. Khi đó chiều cao h của tháp đƣợc tính nhƣ sau: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD ta có AD AB  . sin  sin D Ta có   D   nên D      63o  48o  15o. Do đó AD  AB sin  24sin 48o   68,91. sin     sin15o Trong tam giác vuông ACD ta có h  CD  AD sin   61,4  m . [5] Ví dụ 2: Ứng dụng của đạo hàm để tính vận tốc tức thời Một ngƣời trƣợt ván trên đƣờng có hình parabol với phƣơng trình: 1 s  t 2 ( t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tính vận tốc trƣợt của ngƣời đó 4 tại thời điểm to  2  s  Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm: “Vận tốc tức thời v  t0  tại thời điểm 11 t0 (hay vận tốc tại t0 ) của một chuyển động có pƣơng trình s  s  t  bằng đạo hàm của hàm số s  s  t  tại điểm t0 , tức là v  t0   s '  t0  ”[1]. 1 Ta có s '  t   t  Vận tốc trƣợt của ngƣời đó tại thời điểm to  2  s  là 2 1 v  2   s '  2   .2  1 (m / s). 2 Ví dụ 3: Ứng dụng của tích phân để tính thể tích Tính thể tích thùng chứa rƣợu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình tròn bằng nhau và chiều cao bình là 16cm. Đƣờng cong của bình là một cung tròn của đƣờng tròn bán kính là 9. Giải: Không mất tính tổng quát, ta coi tâm của đƣờng tròn là tâm O của gốc tọa độ, khi đó ta có phƣơng trình là x 2  y 2  81, do đó thể tích của thùng là hình tròn xoay bị giới hạn bởi đƣờng tròn x 2  y 2  81 và y  0, x  8, x  8. Vậy thể tích của thùng chứa rƣợu là 8 V   8  81  x 2   dx    81  x  dx  2864 3 2 8 2 8 Theo [4], “Do tính trừu tƣợng cao độ mà toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng vào rất nhiều ngành khoa học: Vật lí, Hóa học, Ngôn ngữ học, Thiên văn học, Địa lí, Sinh học, Tâm lí học v.v… và trở thành một công cụ có hiệu lực của các ngành đó”. Trong Hóa học và Sinh học trƣớc đây ít khi dùng đến toán và chỉ dùng đến toán cổ điển. Hiện nay, Hóa học và Sinh học đã sử dụng những nội dung của toán tôpô,… Ngƣời ta đã có thể dự đoán đƣợc ngày càng chính xác các tính chất của nhiều hợp chất hóa học, có thể tính đƣợc công thức của nhiều hợp chất và các tính chất của nó bằng những phƣơng pháp toán học. Những 12 bí mật của sự sống, về di truyền, cơ cấu hoạt động của hệ thần kinh, sinh lý ngƣời,… trong sinh học đã và đang đƣợc nghiên cứu bằng những phƣơng tiện toán học tinh vi, hiện đại. Ngoài ra, trong cuộc sống cũng có những lĩnh vực với sự đóng góp to lớn của Toán học đó là Y học, nhờ có những phƣơng tiện kỹ thuật hiện đại và những phƣơng pháp tính toán, sử dụng phƣơng pháp thống kê toán học và máy tính điện tử đã giúp con ngƣời khai thác một cách có hiệu quả các kinh nghiệm để khám và chữa bệnh một cách hiệu quả, chính xác. Bên cạnh đó, trong kinh tế và quản lý, một loạt các thuật toán gia công thống kê các dữ liệu đƣợc sử dụng rộng rãi và từ đó tạo ra các thƣ viện chƣơng trình bao gồm các bài toán nhƣ: Các tính toán cơ bản để quan sát tính đồng nhất, phân tích phƣơng sai một biến, phân tích phƣơng sai nhiều biến, tính xác suất đối với các phân bố khác nhau,… Một số lƣợng rất lớn các bài toán kinh tế trong thực tiễn đƣợc mô tả bằng phƣơng trình đại số tuyến tính do đó phép tính ma trận đƣợc ứng dụng rất rộng rãi để giải các bài toán kinh tế. Trong giao thông vận tải, ngƣời ta dùng phƣơng trình tuyến tính để lựa chọn phƣơng án vận chuyển tiết kiệm nhất, chọn phƣơng án hợp lý để giảm bớt chi phí và đạt hiệu quả tối ƣu nhất. Các phi công máy bay, các thủy thủ đi trên các chuyến tàu vƣợt đại dƣơng, các chuyên gia quân sự,… đều cần sử dụng khái niệm góc để di chuyển tới đích một cách hiệu quả. Trong quân sự và quốc phòng, Toán học đã làm nên cuộc cách mạng trong công nghệ mật mã. Hiện nay nhiều tổ chức quân sự, kinh tế, tài chính hay các cơ quan chính phủ khi truyền đi các tin tức tối mật của mình thƣờng dùng một loại mật mã gọi là mật mã công khai gọi tắt là RSA. Mật mã RSA đƣợc xây dựng dựa trên một kết quả sơ cấp của số học và một sự kiện là rất 13