Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m hμ néi 2
Khoa to¸n
*************
NGUYÔN V¡N H¦NG
X¢Y DùNG HÖ THèNG BμI TËP
CHO Lý THUYÕT M¶NH THAM Sè
TRONG KH¤NG GIAN e3
Kho¸ luËn tèt nghiÖp ®¹i häc
Chuyªn ngμnh : H×nh Häc
Ng−êi h−íng dÉn khoa häc
GVC.PGS.TS NGUYÔN N¡NG T¢M
Hμ NéI – 2013
1
Lêi c¶m ¬n
Em xin bμy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c tíi GVC.PGS.TS.NguyÔn N¨ng
T©m, ng−êi thÇy ®· trùc tiÕp tËn t×nh h−íng dÉn vμ gióp ®ì em hoμn
thμnh kho¸ luËn cña m×nh. §ång thêi, em xin ch©n thμnh c¶m ¬n ®Õn c¸c
thÇy c« trong tæ h×nh häc vμ c¸c thÇy c« trong khoa To¸n - Tr−êng §¹i
häc s− ph¹m Hμ Néi 2, ban chñ nhiÖm khoa To¸n ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho
em hoμn thμnh kho¸ luËn nμy.
Trong khu«n khæ cã h¹n cña mét kho¸ luËn, do ®iÒu kiÖn thêi gian,
do tr×nh ®é cã h¹n vμ còng lμ lÇn ®Çu tiªn nghiªn cøu khoa häc nªn
kh«ng tr¸nh khái nh÷ng h¹n chÕ, thiÕu sãt nhÊt ®Þnh. V× vËy, em kÝnh
mong nhËn ®−îc sù gãp ý quý b¸u cña thÇy c« vμ c¸c b¹n.
Em xin ch©n thμnh c¶m ¬n !
Hμ Néi, ngμy 02 th¸ng 05 n¨m 2013
Sinh viªn
NguyÔn V¨n H−ng
2
LêI CAM §OAN
Kho¸ luËn nμy lμ kÕt qu¶ cña b¶n th©n em trong qu¸ tr×nh häc tËp
vμ nghiªn cøu khoa häc. Bªn c¹nh ®ã, em ®−îc sù quan t©m cña c¸c thÇy,
c« trong khoa To¸n ®Æc biÖt sù h−íng dÉn tËn t×nh cña thÇy
GVC.PGS.TS.NguyÔn N¨ng T©m.
Trong khi nghiªn cøu hoμn thμnh b¶n kho¸ luËn nμy em ®· tham
kh¶o mét sè tμi liÖu ®· ghi trong phÇn tμi liÖu tham kh¶o.
Em kh¼ng ®Þnh kÕt qu¶ cña ®Ò tμi "X©y dùng hÖ thèng bμi tËp cho
lý thuyÕt m¶nh tham sè trong kh«ng gian E3" kh«ng cã sù trïng lÆp víi
c¸c kÕt qu¶ cña c¸c ®Ò tμi.
Hμ Néi, ngμy 02 th¸ng 05 n¨m 2013
Sinh viªn
NguyÔn V¨n H−ng
3
MôC LôC
Trang
A.më ®Çu..........................................................................................
1
1. Lý do chän ®Ò tμi..............................................................................
1
2. Môc ®Ých nghiªn cøu........................................................................
2
3. NhiÖm vô nghiªn cøu........................................................................
2
4. Ph¹m vi, ®èi t−îng nghiªn cøu.........................................................
2
5. ý nghÜa khoa häc vμ thùc tiÔn cña ®Ò tμi..........................................
2
6. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu..................................................................
2
B.néi dung.......................................................................................
3
Ch−¬ng 1: C¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ.......................................................
3
1. §¹i c−¬ng lý thuyÕt vÒ m¶nh tham sè trong kh«ng gian 3 ............
3
1.1. §Þnh nghÜa m¶nh tham sè trong kh«ng gian 3 ............................
3
1.2. §Þnh nghÜa ®−êng to¹ ®é, ®−êng vect¬ tiÕp tóc............................
3
1.3. §Þnh nghÜa chÝnh quy, ®iÓm trï dÞ, m¶nh tham sè chÝnh quy........
9
1.4. §Þnh nghÜa tiÕt diÖn cña m¶nh tham sè r t¹i ®iÓm ph−¬ng tr×nh
4
tiÕt diÖn cña v, ph−¬ng ph¸p tuyÕn.....................................................
1.5. §Þnh nghÜa hai m¶nh tham sè t−¬ng ®−¬ng, quan hÖ t−¬ng
5
®−¬ng..................................................................................................
1.6. §Þnh nghÜa m¶nh tham sè kiÓu ®å thÞ..........................................
6
1.7. VÝ dôc t−¬ng øng cho phÇn lý thuyÕt tr×nh bμy.............................
6
Ch−¬ng 2. HÖ thèng bμi tËp cho lý thuyÕt m¶nh tham sè trong kh«ng
gian E3..................................................................................................
9
D¹ng 1. D¹ng bμi tËp viÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña c¸c mÆt trong
kh«ng gian E3.......................................................................................
9
D¹ng 2. D¹y bμi tËp x¸c ®Þnh ¶nh cña c¸c m¶nh tham sè cã ph−¬ng
tr×nh cho tr−íc.....................................................................................
4
14
D¹ng 3. D¹y bμi tËp liªn quan ®Õn mÆt tÞnh tiÕn................................
19
D¹ng 4. D¹y bμi tËp liªn quan ®Õn ®iÓm chÝnh qua, ®iÓm k× dÞ, m¶nh
chÝnh quy, tham sè ho¸ m¶nh...............................................................
22
C.kÕt luËn vμ ®Ò nghÞ...............................................................
38
D.tμi liÖu tham kh¶o................................................................
39
5
A. Më §ÇU
1. Lý do chän ®Ò tμi
To¸n häc lμ m«n khoa häc nghiªn cøu vÒ c¸c sè, cÊu tróc, kh«ng
gian vμ c¸c phÐp biÕn ®æi. Nãi mét c¸ch kh¸c, ng−êi ta cho r»ng ®ã lμ
m«n häc vÒ " H×nh vμ Sè" theo quan ®iÓm chÝnh thèng, nã lμ m«n häc
nghiªn cøu vÒ c¸c cÊu tróc trõu t−îng ®Þnh nghÜa tõ c¸c tiÒn ®Ò, b»ng
c¸ch sö dông luËn lý häc (l«gic) vμ ký hiÖu to¸n häc. C¸c quan ®iÓm
kh¸c cña nã ®−îc miªu t¶ trong tiÕt häc to¸n. Do kh¶ n¨ng øng dông
réng r·i trong nhiÒu khoa häc, to¸n häc ®−îc mÖnh danh lμ "ng«n ng÷
cña vò trô".
H×nh häc lμ mét phÇn cña to¸n häc, h×nh häc lμ ngμnh to¸n häc
nghiªn cøu liªn hÖ kh«ng gian. Trong h×nh häc ng−êi ta chia ra nhiÒu
nh¸nh kh¸c nhau trong ®ã cã h×nh häc vi ph©n.
H×nh häc vi ph©n lμ mét nh¸nh cña h×nh häc sö dông c¸c c«ng cô
vμ ph−¬ng ph¸p cña phÐp tÝnh vi ph©n vμ tÝch ph©n còng nh− ®¹i sè tuyÕn
tÝnh vμ ®¹i sè ®a tuyÕn tÝnh ®Ó nghiªn cøu c¸c vÊn ®Ò cña h×nh häc.
H×nh häc vi ph©n ®−îc ph¸t triÓn m¹nh mÏ tõ ®Çu thÕ kû XIX.
Gauss lμ mét trong nh÷ng nhμ to¸n häc tiªn phong trong lÜnh vùc nμy.
Cuèi thÕ kû XIX tÊt c¶ nh÷ng nghiªn cøu ®−îc tËp hîp vμ hÖ thèng ho¸
l¹i bëi c¸c nhμ to¸n häc Jran Gastan Dar boux vμ Luigi Bian chi.
Lý thuyÕt vÒ c¸c ®−êng cong trong mÆt ph¼ng kh«ng gian còng
nh− vÒ c¸c mÆt cong trong kh«ng gian Euclid ba chiÒu ®· trë thμnh c¬ së
cho sù ph¸t triÓn h×nh häc vi ph©n. ViÖc x©y dùng hÖ thèng bμi tËp cña
m«n häc nμy sÏ gióp em hiÓu râ h¬n b¶n chÊt cña h×nh häc vi ph©n.
Trong khu«n khæ cã h¹n cña mét khãa luËn tèt nghiÖp, em chØ
dõng l¹i ë viÖc "X©y dùng hÖ thèng bμi tËp cho lý thuyÕt m¶nh tham sè
trong kh«ng gian E 3 ".
6
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
§Ò tμi nghiªn cøu viÖc x©y dùng hÖ thèng bμi tËp cho lý thuyÕt
m¶nh tham sè trong kh«ng gian E 3 . Trªn c¬ së ®ã x©y dùng ®−îc hÖ
thèng bμi tËp mét c¸ch khoa häc, râ rμng vμ chÝnh x¸c qua ®ã thÊy ®−îc
ý nghÜa cña viÖc häc tËp m«n häc nμy, hiÓu s©u vμ n¾m v÷ng kiÕn thøc
cña nh− lý thuyÕt trong qu¸ tr×nh gi¶i bμi tËp.
3. NhiÖm vô nghiªn cøu
a. Tr×nh nh÷ng lý thuyÕt c¬ së vÒ lý thuyÕt m¶nh tham sè.
b. Tr×nh bμy nh÷ng vÝ dô dÓ hiÓu lý thuyÕt.
c. Tr×nh bμy hÖ thèng c¸c bμi tËp tõ dÔ ®Õn khã vÒ lý thuyÕt m¶nh
tham sè trong kh«ng gian E 3 .
4. Ph¹m vi vμ ®èi t−îng nghiªn cøu
- VÒ kh¸ch thÓ nghiªn cøu: Do trong khu«n cña mét khãa luËn cho
phÐp em chØ nghiªn cøu lý thuyÕt vμ bμi tËp cho lý thuyÕt m¶nh tham sè
trong kh«ng gian E 3 .
- VÒ ®èi t−îng nghiªn cøu
+ Nghiªn cøu c¸ch x©y dùng lý thuyÕt m¶nh thanh sè trong kh«ng
gian E 3 .
+ Nghiªn cøu hÖ thèng bμi tËp tõ dÔ ®Õn khã lý thuyÕt trªn.
5. ý nghÜa khoa häc vμ thùc tiÔn cña ®Ò tμi
§Ò tμi "X©y dùng hÖ thèng bμi tËp cho lý thuyÕt m¶nh tham sè
trong kh«ng gian E 3 " gióp em hiÓu thªm vÒ h×nh häc vi ph©n vμ biÕt
c¸ch ¸p dông gi¶i bμi tËp vμ cã c¸i nh×n ®óng ®¾n vÒ m«n häc nμy.
6. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu.
Nghiªn cøu s¸ch gi¸o tr×nh, tμi liÖu tham sè vμ c¸c t¹p chÝ to¸n
häc, c¸c bμi gi¶ng chuyªn ®Ò, c¸c gi¸o tr×nh h×nh häc, c¸c tμi liÖu liªn
quan tíi néi dung nghiªn cøu, kiÕn thøc thùc hμnh vμ ®Æc biÖt lμ sù nhiÖt
t×nh gióp ®ì vμ gãp ý cña thÇy gi¶ng viªn h−íng dÉn.
7
b. néi dung
Ch−¬ng 1: c¸c kiÕn thøc chuÈn bÞ.
1.®¹i c−¬ng lý thuyÕt m¶nh tham sè trong kh«ng
gian e3.
1.1.®Þnh nghÜa m¶nh tham sè trong kh«ng gian e 3.
Gi¶ sö U lμ mét tËp më kh¸c cña R2, ¸nh x¹ r tõ tËp më U vμo
kh«ng gian Euclid 3 chiÒu E3 :
r : U E3
(u,v) r(u,v)
lμ mét m¶nh tham sè trong E3 ( r : kh¶ vi ®Õn líp cÇn thiÕt )
tËp U gäi lμ miÒn tham sè hay miÒn x¸c ®Þnh cña m¶nh.
1.2. ®Þnh nghÜa ®−êng to¹ ®é, tr−êng vÐc t¬ tiÕp xóc.
Víi mçi ®iÓm (u0,v0) U th× c¸c tËp hîp A u | (u, v0 ) U } ,
B v | (u0 , v) U } lμ nh÷ng tËp më cña R. do ®ã ¸nh x¹ :
r1 : A E3
u r1(u) = r(u,v0)
r1 : B E 3
v r2(v) = r(u0,v)
lμ nh÷ng cung tham sè cña E3, cung tham sè u r(u,v0) trong E3 ( u thay
®æi mét kho¶ng J R nμo ®ã, u0 J) gäi lμ ®−êng to¹ ®é v v0;
cungtham sè v r2(v) = r(u0,v) trong E3 gäi lμ ®−êng to¹ ®é u u0.theo
®Þnh nghÜa ®¹o hμm th× ru : u ru(u , v0 ) lμ mét tr−êng vÐc t¬ tiÕp xóc
däc theo cung r1 ; v rv(u0 , v) lμ mét tr−êng vÐc t¬ tiÕp xóc däc theo
cung r2.
8
1.3 ®Þnh nghÜa ®iÓm chÝnh quy, ®iÓm k× dÞ, m¶nh tham sè chÝnh quy.
Cho m¶nh tham sè :
r : U E3
(u,v) r(u,v)
®iÓm (u0,v0) U ( hay ®iÓm r(u0,v0) E3) gäi lμ ®iÓm chÝnh quy cña r
nÕu hai vÐc t¬ ru(u0 , v0 ) vμ rv(u0 , v0 ) ®éc lËp tuyÕn tÝnh. ®iÓm kh«ng
chÝnh quy cña r gäi lμ ®iÓm k× dÞ cña r. nÕu mäi ®iÓm cña U ®Òu lμ ®iÓm
chÝnh quy th× r gäi lμ m¶nh chÝnh quy.
1.4 ®Þnh nghÜa tiÕp diÖn cña m¶nh tham sè r t¹i ®iÓm, ph−¬ng tr×nh
tiÕp diÖn cña r t¹i ®iÓm, ph¸p tuyÕn cña m¶nh.
T¹i ®iÓm chÝnh quy (u0,v0) cña m¶nh tham sè r, gäi 2 - ph¼ng trong
E3 ®i qua r(u0,v0) víi kh«ng gian vÐc t¬ chØ ph−¬ng ru(u0 , v0 ), rv(u0 , v0 ) lμ
mÆt ph¼ng tiÕp xóc hay tiÕp diÖn cña r t¹i ®iÓm ( u0,v0) ; ®−êng th¼ng qua
r(u0,v0) th¼ng gãc víi tiÕt diÖn t¹i (u0,v0) lμ ph¸p tuyÕn cña r t¹i (u0,v0).
Trong to¹ ®é afin ( x,y, z) cña E3 viÕt :
r( u,v) (x(u,v), y(u,v), z(u,v)).
(trong ®ã (u,v) x(u,v), y(u,v), z(u,v) lμ nh÷ng hμm sè trªn U) th×
ph−¬ng tr×nh tiÕp diÖn cña r t¹i (u0,v0) lμ :
X x(u0 , v0 ) Y y (u0 , v0 ) Z z (u0 , v0 )
xu (u0 , v0 )
yu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) 0 .
xv (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 )
Vμ khi to¹ ®é ®ã lμ descartes vu«ng gãc th× ph−¬ng ph¸p tuyÕn cña r t¹i
(u0,v0) lμ :
X x(u0 , v0 )
Y y (u0 , v0 )
Z z (u0 , v0 )
yu (u0 , v0 ) zu (u0 , v0 )
zu (u0 , v0 ) xu (u0 , v0 )
xu (u0 , v0 ) yu (u0 , v0 )
yv (u0 , v0 ) zv (u0 , v0 )
zv (u0 , v0 ) xv (u0 , v0 )
xv (u0 , v0 ) yv (u0 , v0 )
9
1.5 ®Þnh nghÜa hai m¶nh tham sè t−¬ng ®−¬ng, quan hÖ t−¬ng ®−¬ng.
Cho hai m¶nh tham sè trong E3 :
r : U E3 vμ r : U E 3
NÕu cã mét vi ph«i :U U ( lμ mét ¸nh x¹ ®ång ph«i kh¶ vi
vμ ¸nh x¹ ng−îc 1 :U U còng kh¶ vi) sao cho r r. th× ta nãi r t−¬ng
®−¬ng víi r vμ gäi lμ mét phÐp tham sè gi÷a U vμ U ( hay tõ r sang
r ). nÕu cã phÐp ®æi tham sè nh− trªn th× tõ U (U ) , r r ta cã
r (U ) r (U ).
s¬ ®å:
U
U
r
r
r (U ) r (U )
Gi¶ sö r : U E 3
(u,v) r(u,v)
Ta ®Æt (u , v) (u (u , v), v (u , v)) U th× u : U R , v : U R lμ hai
hμm kh¶ vi vμ ®Þnh thøc :
u
u
v
u
u
v
0
v
v
NÕu 0 t¹i mäi (u,v) U ta nãi r t−¬ng ®−¬ng b¶o h−íng víi r .
NÕu 0 t¹i mäi (u,v) U ta nãi r t−¬ng ®−¬ng ®¶o h−íng víi r .
* Ta suy ra c¸c tÝnh chÊt tõ hai m¶nh tham sè t−¬ng ®−¬ng :
1. Quan hÖ t−¬ng ®−¬ng gi÷a c¸c m¶nh tham sè trong E3 lμ quan hÖ
t−¬ng ®−¬ng theo nghÜa th«ng th−êng.
10
2. Mçi líp t−¬ng ®−¬ng gäi lμ mét m¶nh. VËy ®Ó cho mét m¶nh ta
chØ cÇn cho mét m¶nh tham sè ®¹i diÖn cho nã trong E3 vμ r gäi lμ mét
tham sè ho¸ cña m¶nh.
3. Quan hÖ t−¬ng ®−¬ng b¶o tån h−íng gi÷a c¸c m¶nh tham sè trong
E3 (®Þnh thøc 0 ) còng lμ quan hÖ t−¬ng ®−¬ng theo nghÜa th«ng
th−êng.
4. Mçi líp t−¬ng ®−¬ng theo quan hÖ Êy gäi lμ mét m¶nh ®Þnh
h−íng. ®Ó cho mét m¶nh ®Þnh h−íng ta còng chØ cÇn cho mét m¶nh tham
sè ®¹i diÖn cho nã.
1.6 ®Þnh nghÜa hai m¶nh tham sè t−¬ng ®−¬ng, quan hÖ t−¬ng ®−¬ng.
Cho U lμ mét tËp më trong mÆt ph¼ng R 2 {( xi , x j ), i j} . Gi¶ sö
trong E3 cho mét hÖ to¹ ®é afin d¹ng (x1, x2, x3). Khi ®ã m¶nh tham sè :
r : U E3 cã biÓu thøc d¹ng r ( xi , x j ) ( f1 ( xi , x j ),......, xi ,......, f3 ( xi , x j )) nghÜa
lμ r ( xi , x j ) ( f1 ( xi , x j ),......., f3 ( xi , x j )) trong ®ã fi ( xi , x j ) xi , f j ( xi , x j ) x j ,
®−îc gäi lμ mét m¶nh tham sè kiÓu ®å thÞ ( hai to¹ ®é xi, x j ®−îc lÊy lμm
hai tham sè).
1.7 : VÝ dô cho phÇn lý thuyÕt ( c¸c hÖ to¹ ®é trong E3 dïng ë ®©y ®Òu
lμ hÖ to¹ ®é trùc chuÈn):
VÝ dô 1.1: trong kh«ng gian E3 cho 2 vect¬ vμ , ®iÓm O E3,
¸nh x¹
2
3
r: R E
(u,v) r(u,v) O u. v.
lμ mét m¶nh tham sè.
Khi hÖ vect¬ { , } ®éc lËp tuyÕn tÝnh th× r lμ mét m¶nh tham sè
chÝnh quy vμ ¶nh cña r lμ mét 2 - ph¼ng trong E3.
11
Khi hÖ vect¬ { , } phô thuéc tuyÕn tÝnh th× mäi ®iÓm cua m¶nh
®Òu lμ ®iÓm k× dÞ.
2
3
VÝ dô 1.2 : ¸nh x¹ r : R E
(u,v) r (u,v) (a.cos u, b.sin u, v) ( a 0, b 0 ).
Lμ mét m¶nh tham sè chÝnh quy, ¶nh cña nã lμ mÆt trô eliptic
x2 y 2
x2 y 2
.
Cung
to¹
®é
v
cã
¶nh
lμ
vÜ
tuyÕn
elip
1
v
{
1, z v0 } .
0
a 2 b2
a 2 b2
Cung
to¹
®é
u u0
cã
¶nh
lμ
kinh
tuyÕn
th¼ng
{x a.cos u0 , y b.sin u0 , z v} .
VÝ dô 1.3 : ¸nh x¹ :
2
3
r : R E , (u,v) (a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, a sin v) ( a 0 ) lμ
mét m¶nh tham sè t¹i c¸c ®iÓm (u,v) mμ u
2
k . ¶nh cña nã lμ mÆt
cÇu t©m O b¸n kÝnh a. cung to¹ ®é r1 (v v0 ) cã ¶nh lμ kinh tuyÕn trßn lín
{x 2 y 2 z 2 a 2 , y (tan v0 ) x} trõ ®i cùc b¾c (0, 0 ,1) vμ cùc nam (0 , 0 ,-1).
Cung
to¹
®é
r2 (u u0 )
cã
¶nh
lμ
vÜ
tuyÕn
trßn
{x 2 y 2 a.cos 2 u0 , z a.sin u0 }.
VÝ dô 1.4 : cho ¸nh x¹ :
2
3
r : R E , (u,v) ( u, v, u 2 v 2 ) lμ m¶nh tham sè chÝnh quy.
¶nh cña nã lμ mÆt parabol«it trßn xoay z x 2 y 2 . Cung to¹ ®é v v0 cã
¶nh lμ parabol { y v0 , z x 2 v0 2 } . Cung to¹ ®é u u0 cã ¶nh lμ parabol
{ x u0 , z y 2 u0 2 } .
V× ru(u0 , v0 ) (1, 0, 2u0 ) vμ rv(u0 , v0 ) (0,1, 2v0 ) nªn ph¸p vect¬ cña
m¶nh t¹i p r (u0 , v0 ) cã thÓ lÊy lμ:
n ru(u0 , v0 ) rv(u0 , v0 ) (2u0 , 2v0 ,1).
VËy tiÕp diÖn cña m¶nh t¹i p cã ph−¬ng tr×nh :
12
2u0 ( x u0 ) 2v0 ( y v0 ) ( z u0 2 v0 2 ) 0 .
Hay lμ 2u0 x 2v0 y z (u0 2 v0 2 ) 0.
Ph¸p tuyÕn l cña m¶nh t¹i p cã ph−¬ng tr×nh :
x u0 y v0 z (u02 v02 )
.
2u0
2v0
1
VÝ dô 1.5 : M¶nh tham sè r : R 2 E 3 , (x, y) r ( x, y ) ( x, y, ax 2 by 2 c)
lμ mét m¶nh tham sè kiÓu ®å thÞ. ¶nh r ( R 2 ) lμ mÆt ph¼ng.
13
Ch−¬ng 2: hÖ thèng bμi tËp cho lý thuyÕt m¶nh
tham sè trong kh«ng gian E3.
D¹ng 1: ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña c¸c mÆt trong kh«ng gian E3.
Bμi 1.1: ViÕt tham sè ho¸( hay ph−¬ng tr×nh tham sè ) cña c¸c mÆt
trßn xoay sau ®©y trong E3:
a) MÆt elipx«it trßn xoay.
b) MÆt hypeb«l«it mét tÇng trßn xoay.
c) MÆt hypeb«l«it hai tÇng trßn xoay.
d) MÆt parab«l«it trßn xoay.
Bμi gi¶i:
a) Ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt elipx«it trßn xoay quanh truc oz
lμ :
x2 y2 z 2
1
a 2 b2 c2
(1)
tham sè ho¸ ph−¬ng tr×nh (1) b»ng c¸ch ®Æt :
x x u , v a.cos u.cos v , y y u , v a.cos u.sin v , z z u , v a.sin u
khi ®ã ph−¬ng tr×nh tham sè ho¸ cña mÆt bËc hai lμ :
r (u , v) a.cos u.cos v, a.cos u.sin v, c.sin u .
b) Ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt hypeb«l«it mét tÇng trßn xoay
quanh trôc Oz lμ :
x2 y2 z 2
1
a 2 b2 c2
tham sè ho¸ ph−¬ng tr×nh (2) b»ng c¸ch ®Æt :
eu e u
x x u , v a.
2
.cos v a.shu.cos v
eu e u
y y u , v a.
2
.sin v a.shu.sin v
14
(2)
eu e u
z z u , v c.
2
c.shu
khi ®ã ph−¬ng tr×nh tham sè cña mÆt bËc hai lμ :
r (u , v) a.shu.cos v, a.shu.sin v, c.shu
c) Ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt hypeb«l«it hai tÇng trßn xoay quanh
trôc Oz lμ :
z2
x2 y 2
(
) 1
c2 a2 a2
(3)
tham sè ho¸ ph−¬ng tr×nh (3) b»ng c¸ch ®Æt :
eu e u
x x u , v a.
.cos v a.shu.cos v
2
eu e u
y y u , v a.
.sin v a.shu.sin v
2
eu e u
z z u , v c.
2
c.shu
khi ®ã ph−¬ng tr×nh tham sè cña mÆt bËc hai lμ :
r (u , v) a.shu.cos v, a.shu.sin v, c.shu
d) Ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña mÆt parab«l«it trßn xoay quay quanh trôc
Oz lμ :
z
x2 y2
a2 a2
tham sè ho¸ ph−¬ng tr×nh (4) b»ng c¸ch ®Æt :
x x u , v a.v.cos u , y y u , v a.v.sin u
khi ®ã :
z z u, v
a 2 .v 2 .cos 2 u a 2 .v 2 .sin 2 u
v2
a2
a2
ph−¬ng tr×nh tham sè cña mÆt parab«l«it trßn xoay lμ :
r u , v a.v.cos u, a.v.sin u, v 2 .
15
(4)
Bμi 1.2 : Trong E 3 cho hÖ to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxyz, mét
®−êng cong n»m trong mÆt ph¼ng Oxy vμ thuéc vÒ mét phÝa cña trôc
Ox. Gi¶ sö khi quay quanh Oz th× quÐt thμnh mét mÆt trßn xoay (S).
a) Cho biÕt ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña , h·y viÕt ph−¬ng tr×nh
tæng qu¸t cña (S)
b) Cho biÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña , h·y viÕt ph−¬ng tr×nh
tham sè cña (S).
Bμi gi¶i:
Gi¶ sö n»m vÒ phÝa x 0 th× ph−¬ng tr×nh tæng qu¸t cña cã d¹ng:
F x, y, z 0
y 0 x 0
h×nh vÏ :
z
I
M x, y , z
M0
X
O
y
Y
M1
M2
x
®iÓm M x, y, z S khi vμ chØ khi cã ®iÓm M 0 x, 0, z quay quanh Oz
t¹o thμnh, tøc lμ khi vμ chØ khi cã ®iÓm M 0 mμ M 0 vμ M n»m trªn
mét mÆt ph¼ng song song víi Oxy, c¾t Oz t¹i ®iÓm I 0, 0, z mμ
IM IM 0 . ®iÒu nμy cã nghÜa lμ cã ®iÓm M 0 x, 0, z sao cho :
16
F x, 0, z 0
( ®Ó M 0 , M , M 0 vμ IM 2 IM 0 2 )
zZ
x2 X 2 Y 2
vËy ph−¬ng tr×nh cña S lμ : F
X 2 Y 2 , 0, Z 0 .
NÕu n»m vÒ phÝa x 0 th× ph−¬ng tr×nh cña (S) lμ :
F X 2 Y 2 , 0, Z 0 .
b) Gi¶ sö cã ph−¬ng tr×nh tham sè t x t , 0, z t víi x t 0 , gäi
M 2 lμ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M 0 lªn trôc Ox, gäi M 1 lμ h×nh chiÕu
cña M lªn trôc Oy th× OM 1 OM 2 x t .
§Æt u Ox, OM th× X OM 1.cos u , Y OM 1.sin u , Z z t . Do ®ã
M S khi vμ chØ khi : X x t .cos u , Y x t .sin u , Z z t 0 u 2 .
VËy ph−¬ng tr×nh tham sè cña (S) lμ :
r u , t x t .cos u , x t .sin u , z t
0 u 2 .
Bμi 1.3 : Trong mÆt ph¼ng E 3 cho hÖ to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxyz.
ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña mÆt trßn xoay S trôc quay Oz, do ®−êng
sau ®©y quay quanh Oz t¹o thμnh :
a) §−êng d©y xÝch u a.ch , 0, u
u
a
b) §−êng truy tÝch u a.sin u, 0, a. ln tan cos u
u
2
c) §−êng trßn kh«ng c¾t Oz u a b.cos u, 0, b.sin u (0 b a)
Bμi gi¶i
¸p dông c©u b) bμi 1.2 ta cã:
a) S cã ph−¬ng tr×nh tham sè :
u
u
r u , t a.ch .cos t , a.ch .sin t , u
a
a
17
0 u 2 .
mÆt S gäi lμ mÆt catªn«it.
b) MÆt S cã ph−¬ng tr×nh tham sè :
u
r u , t a.sin u.cos t , a.sin u.sin t , a. tan cos u
2
mÆt (S) ®−îc gäi lμ mÆt gi¶ cÇu.
c) MÆt (S) cã ph−¬ng tr×nh tham sè :
r u , t a b.cos u .cos t , a b.cos u .sin t , b.sin u
0 u 2
mÆt (S) gäi lμ mÆt xuyÕn.
Bμi 1.4 : Gi¶ sö S lμ mét mÆt trong E 3 t¹o bëi mét ®−êng th¼ng võa
quay xung quanh trôc Oz võa tÞnh tiÕn theo ph−¬ng trôc Oz cña hÖ to¹ ®é
®Ò c¸c vu«ng gãc Oxyz. ViÕt ph−¬ng tr×nh tham sè cña mÆt S trong
nh÷ng tr−êng hîp sau :
a) Tèc ®é quay lμ , tèc ®é tÞnh tiÕn lμ k . k 0 , ®−êng th¼ng
c¾t vu«ng gãc víi trôc Oz. MÆt S t¹o thμnh gäi lμ mÆt ®inh èc ( tæng
qu¸t).
b) Tèc ®é quay lμ , tèc ®é tÞnh tiÕn lμ k . k 0 , ®−êng th¼ng
c¾t vu«ng gãc víi trôc Oz. MÆt S t¹o thμnh gäi lμ mÆt ®inh èc ®øng.
c) Tèc ®é quay lμ , qu·ng ®−êng tÞnh tiÕn lμ mét hμm cña gãc
quay, ®−êng th¼ng c¾t vu«ng gãc víi trôc Oz. mÆt S t¹o thμnh gäi lμ
mÆt c«n«it ®øng.
Bμi gi¶i :
a) Gäi u lμ gãc quay ®−îc sau mét thêi gian t vμ gäi v lμ qu·ng
®−êng tÞnh tiÕn ®−îc sau thêi gian t th× u .t , v k . t . do ®ã s k .u ,
ta xem u lμ gãc ®Þnh h−íng th× u, s R .
Gi¶ sö ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh tham sè :
x x v x0 a.v , y y v y0 b.v , z z v z0 c.v
®iÓm M(x, y, z) sau thêi gian t quay thμnh M * X , Y , Z tho¶ m·n :
18
X x.cos u y.sin u , Y x.sin u y.cos u , Z z
còng sau thêi gian t ®iÓm M * ph¶I tÞnh tiÕn thμnh ®iÓm M X , Y , Z k .u
quü tÝch c¸c ®iÓm M lμ mÆt S nªn ph−¬ng tr×nh cña mÆt S lμ :
r u , v x v .cos u y v .sin u , s v .sin u y v .cos u , z v k .u
b) Gi¶ sö c¾t vu«ng gãc víi trôc Oz t¹i O vμ ®Æt trong mÆt
ph¼ng Oxz th× ph−¬ng tr×nh tham sè cña cã d¹ng : x v, y 0, z 0
do ®ã ph−¬ng tr×nh cña mÆt S lμ :
r u , v v.cos u , v.sin u , k .u .
c) Ta vÉn gi¶ sö c¾t vu«ng gãc víi trôc Oz vμ ®Æt trong mÆt
ph¼ng Oxz th× ph−¬ng tr×nh tham sè cña cã d¹ng : x v, y 0, z 0
do ®ã ph−¬ng tr×nh tham sè ho¸ cña S lμ :
r u , v v.cos u , v.sin u , u .
D¹ng 2 : x¸c ®Þnh ¶nh cña c¸c m¶nh tham sè cã ph−¬ng tr×nh cho
tr−íc.
Bμi 1.5 : X¸c ®Þnh ¶nh cña c¸c m¶nh tham sè : r : U E 3 , u, v r u, v
cã ph−¬ng tr×nh tham sè trong hÖ to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc Oxyz nh− sau:
a) r u, v u 2 , u.v, v 2
b) r(u,v) u v, u v.u.v
c) r u, v u sin v, u cos v, u a (a const )
d) r u, v x0 a.cos u.cos v, y0 b.cos u.sin v, z0 c.sin u
( x0 , y0 , z0 , a, b, c lμ h»ng sè , abc 0 )
e) r u, v
u
v
1
, 2 2 , 2 2 ( víi u 2 v 2 0 ).
2
u v u v u v
2
uv 1 u v uv 1
, b.
, c.
( víi abc 0, u v 0 ).
u v u v
uv
g) r u, v a.
19
Bμi gi¶i :
a) Tr−íc hÕt ta tiÕn hμnh khö u vμ v :
tõ x u 2 , y u.v, z v 2 ta cã : y 2 x.z víi
x 0 , z 0 , v× y 2 x.z lμ
ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt bËc hai nªn nã x¸c ®Þnh mét mÆt nãn (S) ®Ønh O.
vËy ¶nh r U n»m trªn mÆt nãn (S).
Ng−îc l¹i, cho ®iÓm M x, y, z S tho¶ m·n x 0, y 0 th× cã :
u x , v z ®Ó x u 2 , z v 2 , y 2 u 2 .v 2 hay lμ x u 2 , z v 2 , y u.v , suy
ra phÇn cña mÆt nãn (S) tho¶ m·n x 0, z 0 n»m trong ¶nh r U .
VËy ¶nh r U lμ phÇn mÆt nãn (S) : y 2 x.z víi x 0, z 0 .
b) Ta khö tham sè u vμ v :
1
2
1
2
tõ x u v , y u v , z u.v ta cã : u .( x y ) , v . x y , u.v z do ®ã
z
1 2
x y 2 suy ra ¶nh r U n»m trªn mÆt yªn ngùa (S) cã ph−¬ng tr×nh
4
1
1
z . x 2 y 2 . Ng−îc l¹i , cho ®iÓm M x, y, z S , u . x y ,
4
2
1
1
1
2
2
v . x y th× x u v , y u v , z . x 2 y 2 . u v u v do
2
4
4
®ã z u.v . Suy ra S r U . VËy r U lμ mÆt yªn ngùa z . x 2 y 2 .
1
4
c) Ta tiÕn hμnh khö u vμ v :
x u sin v
Ta cã : y u cos v hay lμ
z ua
§æi
to¹
x z a sin v
x z a sin v
y z a cos v
y z a cos v
z ua
x z a y z a
2
®é
x, y , z
2
sin 2 v cos 2 v 1 .
sang
to¹
®é
X ,Y , Z
bëi
:
X x z a, Y y z a, Z z ta ®−îc X 2 Y 2 1 . Suy ra r U n»m trªn
20
- Xem thêm -
.PDF 
44 
82 
88 
