Tài liệu Véctơ riêng dương của một lớp toán tử phi tuyến compact

  1  BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO  TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2       TRƯƠNG THỊ THÌN       VÉCTƠ RIÊNG DƯƠNG CỦA MỘT LỚP TOÁN TỬ PHI TUYẾN COMPACT Chuyên ngành : To¸n Gi¶i tÝch Mã số : 60 46 01 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2010   2 Më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Nhµ to¸n häc Nga næi tiÕng M.A.Kraxn«xelxki ®· nghiªn cøu líp to¸n tö phi tuyÕn: To¸n tö lâm 1956  . Sau ®ã gi¸o s­ tiÕn sÜ khoa häc I.A.Bakhtin më réng c¸c kÕt qu¶ cho líp to¸n tö phi tuyÕn u0  lâm. N¨m 1987 PGS - TS NguyÔn Phô Hy ph¸t triÓn c¸c kÕt qu¶ cña c¸c nhµ to¸n häc kÓ trªn cho líp to¸n tö phi tuyÕn míi: To¸n tö lâm chÝnh quy, trong ®ã kh«ng yªu cÇu to¸n tö cã tÝnh chÊt u0  ®o ®­îc. Trong bµi b¸o viÕt cho t¹p chÝ to¸n häc n¨m 1987, PGS - TS NguyÔn Phô Hy ®· nghiªn cøu vÒ c¸c bµi to¸n: Ax  tx  0 Trong ®ã: A lµ to¸n tö cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn X , x là phÇn tö ph¶i t×m, t lµ tham sè thùc hay phøc. Nh­ chóng ta ®· biÕt mét trong c¸c vÊn ®Ò c¬ b¶n ®èi víi bµi to¸n 1 lµ nghiªn cøu vÒ phæ, cña to¸n tö A nãi chung nghiªn cøu vÒ vÐct¬ riªng cña to¸n tö A nãi riªng vµ ®iÒu kiÖn tån t¹i vÐct¬ riªng cña to¸n tö A . Khi A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh ®· cã rÊt nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu cña nhiÒu nhµ khoa häc vÒ vect¬ riªng cña A . Tuy nhiªn ch­a cã nhiÒu c«ng tr×nh nghiªn cøu cho lý thuyÕt to¸n tö, ®iÒu kiÖn tån t¹i cña vÐct¬ riªng cña A khi A lµ to¸n tö phi tuyÕn. Trong bµi b¸o viÕt cã t¹p chÝ to¸n häc sè 2 n¨m 1987 cña PGS - TS NguyÔn Phô Hy t¸c gi¶ ®· tr×nh bµy vÒ nh÷ng kÕt qu¶ cña vÐct¬ d­¬ng vµ ®iÒu kiÖn tån t¹i cña vÐct¬ d­¬ng trªn líp c¸c to¸n tö lâm chÝnh quy.   3 Tõ bµi b¸o ®ã cã thÓ më réng h­íng nghiªn cøu xem xÐt vÒ lý thuyÕt vÐct¬ d­¬ng cho mét líp kh¸c ®ã lµ líp c¸c to¸n tö phi tuyÕn compact. VÊn ®Ò ®Æt ra lµ trªn líp c¸c to¸n tö phi tuyÕn compact th× vÐct¬ d­¬ng cã nh÷ng tÝnh chÊt g× vµ ®iÒu kiÖn vÒ sù tån t¹i cña to¸n tö compact. §Ò tµi "Vect¬ riªng d­¬ng cña mét líp to¸n tö phi tuyÕn compact" nh»m môc ®Ých t×m hiÓu vÒ tÝnh chÊt, ®Æc tr­ng, ®iÒu kiÖn tån t¹i cña vÐct¬ d­¬ng trªn líp c¸c to¸n tö phi tuyÕn compact. §Ò tµi ®­îc hoµn thµnh sÏ lµ mét c©u tr¶ lêi cô thÓ cho c©u hái võa nªu ra ë trªn. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu §Ò tµi luËn v¨n më réng mét sè kÕt qu¶ cña c¸c líp to¸n tö u0  lâm cho mét líp to¸n tö míi: To¸n tö lâm chÝnh quy compact, trong ®ã kh«ng yªu cÇu to¸n tö cã tÝnh chÊt u0  ®o ®­îc. 3. NhiÖm vô nghiªn cøu LuËn v¨n tËp trung nghiªn cøu mét sè tÝnh chÊt vÒ vÐct¬ riªng d­¬ng vµ sù tån t¹i vÒ vect¬ d­¬ng cña to¸n tö lâm chÝnh quy compact. 4. §èi t­îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu §Ò tµi tËp trung nghiªn cøu trªn líp c¸c to¸n tö lâm chÝnh quy, c¸c to¸n tö phi tuyÕn compact. 5. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu Sö dông ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu gi¶i tÝch hiÖn ®¹i, lý thuyÕt to¸n tö vµ c¸c bÊt biÕn. 6. Gi¶ thuyÕt khoa häc (hay c¸c ®ãng gãp míi) NÕu gi¶i quyÕt ®­îc vÊn ®Ò ®· nªu ra trong môc lý do chän ®Ò tµi th× ®©y cã thÓ sÏ lµ ®ãng gãp míi vÒ lý thuyÕt to¸n tö dùa trªn c¬ së c¸c bÊt biÕn.   4 Néi dung Ch­¬ng 1 kiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 Kh¸i niÖm vÒ kh«ng gian ®Þnh chuÈn thùc 1.1.1 C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1.1. Ta gäi lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn (hay kh«ng gian tuyÕn tÝnh ®Þnh chuÈn) mäi kh«ng gian tuyÕn tÝnh X trªn tr­êng sè P (tr­êng sè thùc hoÆc phøc) cïng víi mét ¸nh x¹ tõ X vµo tËp hîp sè thùc R , ký hiÖu lµ  vµ ®äc lµ chuÈn, tháa m·n c¸c tiªn ®Ò sau ®©y: 1)  x  X  x  0, x  0  x   (ký hiÖu phÇn tö kh«ng lµ  ); 2)  x  X     P   x   x ; 3)  x, y  X  x  y  x  y . C¸c hÖ tiªn ®Ò 1) 2) 3) trªn ®­îc gäi lµ hÖ tiªn ®Ò vÒ chuÈn, sè x gäi lµ chuÈn cña vÐct¬ x . §Þnh nghÜa 1.2. D·y ®iÓm  xn  cña kh«ng gian ®Þnh chuÈn X gäi lµ héi tô tíi x thuéc X, nÕu lim xn  x  0, n ký hiÖu lim xn  x n hay xn  x ( n  ) . §Þnh nghÜa 1.3. Trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn X d·y ®iÓm  xn  gäi lµ d·y c¬ b¶n, nÕu lim xn  xm  0. m ,n   5 §Þnh nghÜa 1.4. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn X gäi lµ kh«ng gian Banach, nÕu mäi d·y c¬ b¶n trong X ®Òu héi tô (trong kh«ng gian X ). §Þnh nghÜa 1.5. Kh«ng gian Banach X trªn tr­êng P  R   gäi lµ kh«ng gian Banach thùc. 1.1.2 Mét sè kh«ng gian Banach thùc VÝ dô 1.1. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc R n víi mçi x   x1 ,, x n   R n ta ®Æt 1.1 x  x12    x n2 . 1) DÔ dµng kiÓm tra c«ng thøc 1.1 x¸c ®Þnh mét chuÈn trªn R n . 2) R n cïng víi chuÈn 1.1 lµ kh«ng gian Banach. ThËt vËy: Gi¶ sö x  k  k 1  R n lµ d·y c¬ b¶n bÊt kú trong R n ta cã   0, N  0 : n * k, s  N :  x k i  1.2   xis   . i 1 1.3  x k  xis   , i  1, n.   HÖ thøc 1.2  chøng tá xik  k 1 lµ d·y Cauchy trong R víi mçi i  1, n. 1.4   xi0  R : lim xik  xi0 víi i  1, n. k    §Æt x  x10 , x20 ,, xn0 . n Tõ 1.4  vµ 1.2  suy ra  x k i  xi0  2  . i 1 Do ®ã lim x k  x trong Rnn . k  n VËy, Rn cïng víi chuÈn 1.1 lµ kh«ng gian Banach. VÝ dô 1.2. Trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc C[ a, b ] víi mçi x  x  t  ta ®Æt x  max x  t  . t a , b 1.5    6 1) DÔ dµng kiÓm tra ®­îc c«ng thøc 1.5  lµ mét chuÈn trªn C[ a, b ] . 2) C[ a, b] cïng víi chuÈn 1.5  lµ kh«ng gian Banach. ThËt vËy: Gi¶ sö   x  t  n k 1 lµ d·y c¬ b¶n bÊt kú trong C[ a, b ] ta cã    0   N  0  :  m, n  N  : max x n  t   x m  t    . t a , b  xn  t   xm  t     t   a, b   m, n  N  .    HÖ thøc 1.6  chøng tá xn  t  1.6  lµ d·y c¬ b¶n víi mçi t cè ®Þnh tïy ý k 1 thuéc  a, b  . Nªn víi mçi t   a, b  tån t¹i lim x n  t   x  t  . Ta nhËn ®­îc hµm sè n x  t  x¸c ®Þnh trªn  a, b . V× hÖ thøc 1.6  kh«ng phô thuéc t   a, b  , cho m   ta ®­îc x n  t   x  t      n  N   t   a, b  . HÖ thøc 1.7  chøng tá x n  t   1.7  héi tô ®Òu tíi x  t  trªn  a, b  , nªn x  t  liªn tôc trªn  a, b  . Suy ra max xn  t   x  t    . t a , b  VËy, C[ a, b] lµ mét kh«ng gian Banach thùc víi chuÈn 1.5  . VÝ dô 1.3. Cho kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc c0 gåm tÊt c¶ d·y sè thùc héi tô  vÒ 0 , víi mçi d·y x   x n  n1 thuéc c0 ta ®Æt x  sup  xn  . n 1 DÔ dµng kiÓm tra c«ng thøc 1.8  cho mét chuÈn trªn c0 . Ta chøng minh kh«ng gian c0 lµ kh«ng gian Banach. 1.8   7    ThËt vËy, gi¶ sö x k  x nk  k 1 lµ d·y c¬ b¶n bÊt kú trong c0 , theo ®Þnh nghÜa d·y c¬ b¶n,    0   k0  N*   k, p  k0  :    x k  x p  sup xnk  xnp  . 2 n 1 Suy ra    0   k0  N*   k, p  k0  : xnk  xnp   2  n  1,2,3,... . 1.9  Theo tiªu chuÈn héi tô Cauchy cho d·y sè thùc, víi mçi n  1, 2, 3,... th× d·y   xnk  k 1 héi tô tíi x n  R . V× hÖ thøc 1.9  kh«ng phô thuéc n, chuyÓn qua giíi h¹n p   trong 1.9  ta cã    0   k0  N*   k  k0  : x nk  xn   2  n  1,2,3,... . 1.10  §Æt x   xn  , ta chøng minh d·y x   xn   c0 c. ThËt vËy, nhê x n  x nk1  xn  x nk1  hÖ  2  x nk1 thøc 1.10   n  1, 2, 3,... k1  k0 víi ta vµ lim x nk1  0,   0 nhá n tïy ý, nªn lim x n  0 hay x   x n   c0 c. Tõ 1.10  ta cã sup xnk  xn  n    tøc lµ x k k 1 x cã n1  2 ,  k    trong kh«ng gian c0 . VËy kh«ng gian c0 lµ kh«ng gian Banach thùc. 1.2 Mét sè ®Þnh lÝ vÒ gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh compact trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn thùc   8 1.2.1. C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1.6. Cho hai kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc X vµ Y . ¸nh x¹ A tõ kh«ng gian X vµ kh«ng gian Y gäi lµ tuyÕn tÝnh, nÕu ¸nh x¹ A tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: A  x1  x2   Ax1  Ax2  x1 , x2  X  , A( x )   Ax    R   x  X  . NhËn xÐt. Ta th­êng gäi ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh. Khi Y  P th× to¸n tö tuyÕn tÝnh A th­êng gäi lµ phiÕm hµm tuyÕn tÝnh. §Þnh nghÜa 1.7. Cho hai kh«ng gian ®Þnh chuÈn thùc X vµ Y . To¸n tö tuyÕn tÝnh A tõ kh«ng gian X vµ kh«ng gian Y gäi lµ bÞ chÆn, nÕu tån t¹i h»ng sè C  0 sao cho  x  X  :   Ax  C x . §Þnh nghÜa 1.8. Cho to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn A tõ kh«ng gian ®Þnh chuÈn thùc X vµo kh«ng gian ®Þnh chuÈn thùc Y . Ta gäi chuÈn cña to¸n tö A , ký hiÖu A , lµ sè inf C  0 : Ax  C x  x  X . §Þnh lÝ 1.1. Cho A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh tõ kh«ng gian ®Þnh chuÈn thùc X vµo kh«ng gian ®Þnh chuÈn thùc Y . Ba mÖnh ®Ò sau t­¬ng ®­¬ng: 1) To¸n tö A liªn tôc; 2) To¸n tö A liªn tôc t¹i phÇn tö x 0 nµo ®ã thuéc X ; 3) To¸n tö A bÞ chÆn. Chøng minh. 1)  2) Gi¶ sö to¸n tö A liªn tôc. Theo ®Þnh nghÜa, to¸n tö A liªn tôc t¹i mçi ®iÓm x thuéc X , do ®ã to¸n tö A liªn tôc t¹i ®iÓm x0 thuéc X . 2)  3) Gi¶ sö to¸n tö A liªn tôc t¹i ®iÓm x 0 thuéc X , nh­ng to¸n tö A   9  kh«ng bÞ chÆn. Khi ®ã n  N* x n   , ®Æt yn  xn n xn   x th× yn  n   suy ra yn  x 0  x 0 n  X  : Ax n  n xn . HiÓn nhiªn 1  0  n    , nghÜa lµ yn   khi n n   . Theo gi¶ thiÕt, ta cã A  yn  x 0   Ax0  0  n     Ayn  0  n    .  xn  n xn Nh­ng Ayn  A    1 Axn  1 . §iÒu nµy m©u thuÉn víi chøng   n x  minh trªn. V× vËy to¸n tö A liªn tôc t¹i ®iÓm x0 thuéc X th× bÞ chÆn. 3)  1) Gi¶ sö to¸n tö A bÞ chÆn. Theo ®Þnh nghÜa, tån t¹i C  0 sao cho Ax  C x  x  X  . 1.11 LÊy mét ®iÓm bÊt kú x thuéc X vµ d·y ®iÓm tïy ý  xn  trong X héi tô tíi x. Nhê hÖ thøc 1.11 ta cã Ax n  Ax  A  xn  x   C xn  x  0  n    . Do ®ã A liªn tôc t¹i x . VËy A liªn tôc. §Þnh nghÜa 1.9. PhÇn tö x  0 gäi lµ vÐct¬ riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn A t¸c dông trong kh«ng gian thùc X nÕu tån t¹i   R sao cho Ax   x. Khi ®ã  gäi lµ gi¸ trÞ riªng t­¬ng øng víi vÐct¬ riªng x cña A. §Þnh nghÜa 1.10. Sè   R gäi lµ gi¸ trÞ chÝnh quy cña to¸n tö A nÕu tån t¹i to¸n tö ng­îc R cña to¸n tö A   I lµ to¸n tö bÞ chÆn trªn toµn kh«ng gian X , trong ®ã I lµ to¸n tö ®ång nhÊt cña to¸n tö A. Sè  gäi lµ gi¸ trÞ phæ cña A nÕu  kh«ng lµ gi¸ trÞ chÝnh quy . §Þnh nghÜa 1.11. TËp hîp tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ phæ cña to¸n tö A gäi lµ phæ cña to¸n tö A . NhËn xÐt. Phæ cña to¸n tö A chøa tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö A .   10 1.2.2 C¸c ®Þnh lÝ vÒ gi¸ trÞ riªng cña to¸n tö tuyÕn tÝnh Compact §Þnh lÝ 1.2. NÕu A lµ to¸n tö compact t¸c dông trong kh«ng gian Banach thùc X , th× mçi sè   0 to¸n tö A chØ cã h÷u h¹n vÐct¬ riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh t­¬ng øng víi gi¸ trÞ riªng  mµ    . Chøng minh. Gi¶ sö to¸n tö compact A cã mét d·y v« h¹n  xn  c¸c vÐct¬ riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh øng víi d·y gi¸ trÞ riªng  n  mµ n   víi mäi n  1, 2, 3,... . Ta ký hiÖu X n lµ kh«ng gian con ®ãng sinh bëi c¸c vÐct¬ x1 , x2 , x3 ,..., x n  n  1, 2, 3,... . Do ®ã, víi mçi sè tù nhiªn n  1, 2, 3,... tån t¹i phÇn tö yn  X n , yn  1 sao cho 1 d  yn , X n1   inf yn  x  . xX n 1 2  yn   yn   bÞ chÆn, nh­ng d·y  A  kh«ng chøa d·y con nµo héi tô.  n   n  Khi ®ã d·y  n thËt vËy, gi¶ sö yn  a x k k th× k 1 A yn n n  k 1 ak n n 1 Ax k   k 1 n 1 trong ®ã zn   k  a   k k 1 n ak k n n 1 n  k  xk  an x n   ak   1  xk   ak xk zn  yn k 1 k 1  n    1 xk  X n1  n  1,2,3,... .  Víi hai sè tù nhiªn bÊt k× p, q : p  q ta cã: A yp p A yq 1  y p  zp   yq  zq   y p   yq  zq  z p   , q 2   11 trong ®ã yq  zq  z p  X p 1. BÊt d¼ng thøc trªn m©u thuÉn víi tÝnh compact cña to¸n tö A . V× vËy, chØ cã h÷u h¹n vÐct¬ riªng ®éc lËp tuyÕn tÝnh t­¬ng øng víi gi¸ trÞ riªng  mµ    . §Þnh lÝ 1.3. Gi¶ sö A lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh compact t¸c dông trong kh«ng gian Banach thùc X . Khi ®ã, víi sè   0 bÊt kú ta cã hai kh«ng gian N   ker  A  .I  vµ R  im  A  .I  lµ hai kh«ng gian con h÷u h¹n chiÒu vµ ®ãng cña kh«ng gian Banach X . Trong ®ã I lµ to¸n tö ®ång nhÊt t¸c dông trªn X . Chøng minh. Gäi S1 lµ h×nh cÇu ®¬n vÞ cña N  th× víi mäi x thuéc S1 ta cã  A  .I  x  0   Ax   x.   Suy ra A S1   S . Do h×nh cÇu ®¬n vÞ S1 lµ tËp bÞ chÆn vµ to¸n tö A lµ to¸n tö compact nªn tËp  S1 lµ tËp compact t­¬ng ®èi trong N  . Theo ®Þnh lý Riesz th× dim N   , ta gi¶ sö dim N   n vµ N  cã c¬ së lµ e1 ,, en  . Theo ®Þnh lý Hahn-Banach tån t¹i c¸c phiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc f1 ,, f n x¸c ®Þnh trªn X sao cho: 1, fi  e j    0, khi i  j; khi i  j. n DÔ thÊy ¸nh x¹ P . cho bëi c«ng thøc P  x  =  f ( x )e i i lµ ¸nh x¹ tuyÕn i 1 tÝnh liªn tôc. HiÓn nhiªn P 2  P vµ imP  N  , theo kÕt qu¶ cña ®¹i sè tuyÕn tÝnh ta thu ®­îc X  ker P  imP  ker P  N  . Do P lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc nªn im N  lµ kh«ng gian con ®ãng cña X . Ta cã im  A   .I    A   .I  ker P     A   .I  imP    A   .I  ker P  .   12 Do ®ã, ®Ó kiÓm tra R lµ ®ãng ta chØ cÇn kiÓm tra  A    .I  ker P  lµ ®ãng. ThËt vËy, gi¶ sö víi mäi n  1 ta lu«n t×m ®­îc xn  ker P sao cho: xn  1:  A    .I  xn 1 1  . xn  . n n   A   .I  xn  0  khi  n  .   Do  xn  bÞ chÆn suy ra tån t¹i xnk  k 1    xn  sao cho Axnk    k 1 héi tô khi  n  , gi¶ sö lim( Axnk )  z0 . Ta cã lim Axnk   xnk  0 v×   0 suy ra k  k  xnk  z0    x0 . Khi ®ã x0  ker P  N        x0   . Do ®ã, 0  x0  lim xnk  lim xnk  1 (m©u thuÉn). Nh­ vËy, tån t¹i k  k  r  0, x  M :   Ax   x  r x . Khi ®ã,   yn   ( A  .I )  ker P  héi tô tíi y th× tån t¹i  xn   ker P sao cho Axn   xn  yn . Ta cã  Axn   xn    Axm   xm    A    .I    xn  xm   r xn  xm . V×  yn  héi tô nªn víi m,  n ®ñ lín ta cã  A    .I   xn  xm   0. Suy ra  r xn  xm  0 víi n,  m ®ñ lín. Do ®ã d·y  xn n1 lµ d·y c¬ b¶n. Nªn tån t¹i x  X sao cho xn héi tô vÒ x . V× ker P lµ ®ãng nªn x  ker P nªn chuyÓn qua giíi h¹n biÓu thøc Axn   xn  yn suy ra y  Ax   x   A  .I  ker P  . VËy  A   .I  ker P  là kh«ng gian con ®ãng. §Þnh lÝ 1.4. Gi¶ sö A  L  X  lµ to¸n tö compact trªn kh«ng gian Banach thùc X . Sè   0,    R, kh«ng lµ gi¸ trÞ riªng cña A th×  kh«ng lµ gi¸ trÞ   13 phæ cña A . Nãi c¸ch kh¸c phæ cña A chØ gåm c¸c gi¸ trÞ riªng cña A . Chøng minh. Gi¶ sö   0  kh«ng lµ gi¸ trÞ riªng cña A mµ  lµ gi¸ trÞ phæ cña A . Khi ®ã theo ®Þnh nghÜa th× A    .I cã ¸nh x¹ ng­îc  A    .I   A   .I  1 1 vµ h¬n n÷a lµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh liªn tôc tõ i m  A    .I  lªn kh«ng gian X . KÝ hiÖu A  A   .I . Theo ®Þnh lý 1.4. ta cã imA lµ kh«ng gian con ®ãng cña X , theo ®Þnh lý ¸nh x¹ më Banach suy ra A :  X  imA lµ ®¼ng cÊu. Mäi n  0,  1,  2, . §Æt X n  imAn . Ta cã: X n1  X n    n  0,  1,  2, . H¬n n÷a X n1  X n . ThËt vËy: hiÓn nhiªn v×  lµ gi¸ trÞ phæ cña A nªn imA  E.  imA1  E  imA0 . Gi¶ sö X m1  X m , 0  m  n mµ X n 2  X n1 . Chän x  X n \ X n1. Do X n 2  X n1 nªn tån t¹i y  X n1 sao cho X n1  A x  A y  X n 2 . V× A lµ ®¬n cÊu  x  y. Tøc lµ  x  X n \ X n1   x  X n1 . (m©u thuÉn).  X n  X n1  n  0,  1,  2, . Ta cã A lµ ®¼ng cÊu gi÷a X vµ Im A nªn X n  im An lµ kh«ng gian con ®ãng cña X ,  n  0,  1,  2,. Do vËy tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn tÝnh f sao cho: f X n 1  0 vµ f Xn  1. 1  Tån t¹i xn  X n :  xn  1 vµ f  xn   . 2   14 (Tõ ®Þnh nghÜa chuÈn cña to¸n tö)  xn     x  f  xn  x   f  xn   f  x     x  X n1  .  xn     x  1    x  X n1  . 2 Mäi m  n : V× X n lµ kh«ng gian con ®ãng cña X vµ v× m  n nªn A xn   xm  A xm   X n1.    X n 1 X m X n 1  A xn  Axm   xn   A xn   xm  A xm    xn    2 1   A xm   xm  A xn   0. Do ®ã  Axn  kh«ng cã chøa bÊt kú d·y con héi tô nµo. VËy A kh«ng lµ to¸n tö compact (m©u thuÉn). §Þnh lÝ 1.5. Phæ cña to¸n tö tuyÕn tÝnh compact A t¸c dông trong kh«ng gian Banach thùc X chØ cã mét sè h÷u h¹n hay ®Õm ®­îc gi¸ trÞ riªng kh¸c nhau. Chøng minh. XÐt d·y  n  c¸c gi¸ trÞ phæ cña A . Theo hÖ qu¶ trªn mçi gi¸ trÞ phæ cña A lµ gi¸ trÞ riªng cña A nªn víi mäi n  1 tån t¹i xn  X sao cho: xn  1 vµ Axn  n xn .  Gi¶ sö víi n :   n  r  0,  n   m , n  m th×  xn n1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh. ThËt vËy: + n  1 : HiÓn nhiªn ®óng. + Gi¶ sö ®óng víi n  k , ta chøng minh víi n  k  1,   15 k 1 k 1  n1  Gi¶ sö   i xi  0   i i x i  A    i xi   0. i 1 i 1  i1   k 1  k 1 Do ®ã k 1    i xi    i i x i  0.  i 1  i 1 n k    k 1  i  i xi  0, tõ tÝnh chÊt ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña  xi i 1 . i 1  k 1  i  i  0 v× k 1  i  0 i  1, k .  i  1, k       i  0 i  1, k . k 1 Do vËy tõ k i xi  0  i xi   k 1 xk 1  0. i 1 i 1   ak 1 xk 1  0, do xk 1  1 nªn xk 1  0    k 1  0. V× vËy  xi i1 ®éc lËp tuyÕn tÝnh. Ta cã mçi n   1,  2,..., gäi X n b»ng kh«ng gian sinh bëi X n1  X n . Cho nªn tån t¹i phiÕm hµm tuyÕn tÝnh f : X  f Xn  0 vµ f X n 1 sao cho:  1 mçi n   1,  2, . 1  Tån t¹i  yn1  X n1 :   yn1  1 vµ f  yn1   . 2  x  X n :   x   yn1  f  x   yn1  1  f  yn1   f  x   .  2 0 V× yn1  X n1  yn1  1 x1  ...   n xn   n1 xn1 . Do xi trùc giao x j vµ i  j nªn  A  n1I  xn1  0.   xk k 1 thÕ th×   16 n  ( A  n1 I ) yn1    i i xi  X n . i 1 Gi¶ sö m  n tïy ý. Mäi yn  X m :  Aym  X m  X n1. Do ®ã: x  ( A  n I ) yn – Aym  X n1 .   X n 1 X n 1 Khi ®ã: Ayn  Aym  n yn   A  n I  yn   A  m I  ym  m ym  n . yn  Do ®ã x n  n 2  0.   Ayn n1 kh«ng chøa bÊt kú d·y con héi tô nµo. Mµ d·y  yn  bÞ chÆn v× yn  1, m©u thuÉn víi tÝnh compact cña A . 1.3 Kh«ng gian Banach thùc nöa s¾p thø tù 1.3.1. Kh¸i niÖm vÒ nãn ®Þnh nghÜa 1.12. Cho kh«ng gian Banach thùc X , mét tËp con K kh¸c rçng cña X ®­îc gäi lµ nãn nÕu tËp K tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn: - K lµ tËp ®ãng trong kh«ng gian X ; - x, y    K    x  y  K; - x  K ,  t  R   tx  K ; - x  K ,  x  0   x  K. Nhê nãn K ta cã thÓ ®­a vµo X mét quan hÖ s¾p thø tù nh­ sau: Víi x, y  E ta viÕt x  y (t­¬ng øng x  y ) nÕu y  x  K (t­¬ng øng y  x  K \   ). Khi ®ã quan hÖ "  " lµ mét quan hÖ thø tù, thËt vËy: - Quan hÖ "  " cã tÝnh chÊt ph¶n x¹ v× x  E :   x  x    K  x  x.   17 - Quan hÖ "  " cã tÝnh chÊt ph¶n xøng v× víi x, y  X mµ  y  x  K x  y y  x  K       y  x   K . y  x x  y  K Theo ®Þnh nghÜa nãn: y  x    y  x. Quan hÖ "  " cã tÝnh chÊt b¾c cÇu v× víi x, y, z thuéc E mµ x  y y  x  K   y  z  z  y  K . Theo ®Þnh nghÜa nãn, ta cã:  x  y  y  x  K  z  x  K  x  z. VËy quan hÖ "  " lµ quan hÖ s¾p thø tù trong X theo nãn K . T­¬ng tù quan hÖ "  " lµ quan hÖ s¾p thø tù chÆt (nghiªm ngÆt) trong X theo nãn K . ®Þnh nghÜa 1.13. Kh«ng gian Banach thùc X cïng víi quan hÖ s¾p thø tù "  " nhê nãn K  X ë trªn gäi lµ mét kh«ng gian Banach thùc nöa s¾p thø tù. Chó ý: Trong ch­¬ng 1, 2, 3 ta chØ xÐt nãn K  X . 1.3.2 Mét sè tÝnh chÊt ®¬n gi¶n TÝnh chÊt 1.1.     xn n1  E ,    yn n1  E    xn  yn    n  1, 2, , vµ x  lim xn , y  lim yn th× x  y; n n Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt xn  yn ,    n  1, 2,  xn  yn  K    n  1, 2, . Do K lµ tËp ®ãng nªn lim  yn  xn   y  x  K , tøc lµ x  y. TÝnh chÊt 1.2. NÕu cã u0  K vµ x  E tån t¹i   th×    ®Òu cã x   u0 ; sao cho  x   u0   18 Chøng minh. Tõ         0       u0  K . Do ®ã  u0  x   u0   u0   u0  x       u0    u0  x  . Theo gi¶ thiÕt  u0  x  K nªn  u0  x  K . Suy ra x   u0 . TÝnh chÊt 1.3. Gi¶ sö cã u0  K vµ x0  E :  0    xo  0u0 . Khi ®ã t×m ®­îc  lµ sè nhá nhÊt sao cho x 0   u0 ; Chøng minh. XÐt tËp A    R : x0   u0  .  Khi ®ã A lµ tËp ®ãng, thËt vËy:   n n1 lµ d·y trong A héi tô tíi  . Ta cã víi mçi n  N* : n u0  x0  K . 1.13 Do K lµ tËp ®ãng nªn cho n   trong 1.13  ta ®­îc: u0  x0  K   u0  x0    A. H¬n n÷a A bÞ chÆn d­íi, thËt vËy gi¶ sö A kh«ng bÞ chÆn d­íi, tøc lµ tån t¹i N  0 : n  N ta ®Òu cã 0  2n  A.   0  2 n  u0  x0  0  2n u0  0u0  x0 .  u0  1 1 0u0  n x0 . n 2 2 Cho n   trong 1.14  ta ®­îc u0  0. (M©u thuÉn) M©u thuÉn nµy chøng tá A lµ tËp bÞ chÆn d­íi. VËy A lµ tËp ®ãng vµ bÞ chÆn d­íi nªn tån t¹i sè   min A . 1.14    19 TÝnh chÊt 1.4. Gi¶ sö cã u0  K vµ x0  E : 0  : xo   0u0 . Khi ®ã t×m ®­îc  lµ sè nhá nhÊt d­¬ng sao cho x0    u0 . Chøng minh. T­¬ng tù tÝnh chÊt 1.3. 1.3.2 Kh«ng gian Eu0 ®Þnh nghÜa 1.14. Cho kh«ng gian Banach thùc X nöa s¾p thø tù nhê nãn K  X vµ u0 lµ phÇn tö kh¸c  cña nãn K. PhÇn tö x thuéc X gäi lµ u0  ®o ®­îc nÕu tån t¹i c¸c sè  1  0 vµ  2  0 sao cho: 1.15     1u0  x   2u0 . §Æt inf  1    x  vµ inf  2    x  . Khi ®ã 1.15  trë thµnh:   x  u0  x    x  u0 . KÝ hiÖu Eu0 lµ tËp tÊt c¶ c¸c phÇn tö cña kh«ng gian X cã tÝnh chÊt u0  ®o ®­îc. §Þnh lÝ 1.6. Eu0 lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc con cña kh«ng gian X . Chøng minh. + Mäi x,  y  Eu0 ta cã c¸c sè  1 ,  2 ,   3 ,   4  0 sao cho:    1u0  x   2u0    3u0  y   4u0    1   2   u0  x  y   2   4  u0       0 0 Do ®ã x  y  Eu0 . + Mäi x  Eu0 ,    ,   1 ,  2  0 :   1u0  x   2u0      1 u0   x   2u0      0       2u0   x   1u0     0  .   20 Do ®ã x  Eu0 ,    ta lu«n cã  x  Eu0 . VËy Eu0 lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc con cña kh«ng gian X . Sau ®©y ta coi Eu0 lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc ®éc lËp. Eu0 cã thÓ trë thµnh mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn víi chuÈn  u ®­îc x¸c ®Þnh 0 nh­ sau: x  Eu0 mµ   x  u0  x    x  u0 ta ®Æt x u0  max   x  ,   x . 1.16  §Þnh lÝ 1.7. HÖ thøc 1.16  lµ mét chuÈn trªn Eu0 . Chøng minh. ThËt vËy, ta cã: +  u lµ mét ¸nh x¹ tõ kh«ng gian E vµo R ; 0 + Mäi x  Eu0 :   x  x u0 u0  0;  0  max   x  ,   x   0 trong ®ã   x   0,   x   0 nªn   x    x  0 .   x   inf  1    x   inf  2 Ng­îc l¹i nÕu x   , do  Suy ra    x     x   0    x u0 trong ®ã  1u0  x   2u0 .  0. + x, y  Eu0 tån t¹i  i  0, i  1, 4 sao cho  1u0  x   3u0      1   2  u0  x  y   2   4  u0 .   2u0  y   4u0   MÆt kh¸c inf          inf      inf   inf  . Do ®ã x y u0  inf  1  inf  2 , inf  3  inf  4 