Tài liệu Về sự hội tụ của phương pháp kiểu newton và ứng dụng trong giải phương trình tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHÍ THỊ PHƯƠNG THẢO VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Khuất Văn Ninh Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Khuất Văn Ninh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả Phí Thị Phương Thảo Lời cam đoan Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Khuất Văn Ninh. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã thừa kế thành quả khoa học của các nhà khoa học và các đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào. Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả Phí Thị Phương Thảo Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Không gian mêtric, không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3. Không gian Banach, một số không gian hàm, nguyên lý ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3. Khái niệm về phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1. Phương trình toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2. Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Ứng dụng phương pháp Newton-Kantorovich để giải phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1. Phương pháp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1. Phương pháp làm trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2. Phương pháp Newton-Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2. Phương pháp Newton-Kantorovich giải phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1. Thuật toán giải phương trình tích phân phi tuyến theo phương pháp NewtonKantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2. Thuật toán giải phương trình tích phân phi tuyến theo phương pháp NewtonKantorovich cải biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1 2.3. Sự kết hợp của phương pháp Newton-Kantorovich và phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1. Phương pháp cầu phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.2. Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . 44 2.4. Sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Chương 3. Sự kết hợp phương pháp cầu phương và phương pháp Newton-Raphson để giải phương trình tích phân phi tuyến 59 3.1. Phương pháp Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2. Sự kết hợp phương pháp cầu phương và phương pháp NewtonRaphson để giải phương trình tích phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến) là một phương pháp được sử dụng rộng rãi trong việc giải phương trình phi tuyến. Phương pháp đó được nhà toán học Raphson phát triển để giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến. Vào giữa thế kỉ trước phương pháp Newton được nhà toán học Kantorovich phát triển để giải phương trình toán tử trong các không gian Banach. Tư tưởng chính của phương pháp Newton là tuyến tính hóa bài toán giải phương trình phi tuyến. Nghĩa là đưa bài toán giải phương trình phi tuyến về giải một dãy các phương trình tuyến tính, nghiệm của phương trình tuyến tính là nghiệm xấp xỉ của phương trình phi tuyến đã cho. Hơn nữa tốc độ hội tụ của dãy nghiệm là tốc độ bình phương. Lí thuyết phương trình tích phân phi tuyến là lĩnh vực quan trọng trong ngành toán học cả về phương diện lí thuyết và ứng dụng. Có nhiều phương pháp giải phương trình tích phân phi tuyến, trong đó việc giải đúng phương trình tích phân phi tuyến nói chung là việc làm khó khăn. Người ta chỉ giải đúng được một số phương trình đặc biệt, còn đa số là phải giải xấp xỉ. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp Newton và các mở rộng của nó (phương pháp kiểu Newton) cả về lí thuyết và ứng dụng trong việc giải phương trình tích phân phi tuyến nên tôi chọn nghiên cứu đề tài "Về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình tích phân ". 1 2 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến, ứng dụng vào giải một số phương trình tích phân cụ thể, giải số trên máy tính. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải một số phương trình tích phân phi tuyến. Phân tích các ưu nhược điểm của từng phương pháp. Nêu ứng dụng của từng phương pháp vào giải một số phương trình tích phân cụ thể. 4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu - Phương pháp cầu phương; - Phương pháp Newton - Raphson; - Phương pháp Newton - Kantorovich; - Sự kết hợp của phương pháp cầu phương và phương pháp NewtonRaphson, sự kết hợp của phương pháp Newton-Kantorovich và phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến; - Một số ứng dụng vào các phương trình tích phân cụ thể và giải số trên máy tính phần mềm Maple. 5. Phương pháp nghiên cứu Vận dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, các phương pháp của giải tích cổ điển, lí thuyết phương trình tích phân, giải tích hàm, giải tích số và lập trình cho máy tính. Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan 3 6. Đóng góp mới của đề tài Hệ thống những điều kiện hội tụ của các phương pháp kiểu Newton và một số ứng dụng vào giải phương trình tích phân phi tuyến. Lập trình trên Maple để giải một số phương trình tích phân phi tuyến cụ thể. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian mêtric, không gian định chuẩn 1.1.1. Không gian mêtric Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một tập hợp tuỳ ý và X 6= ∅, một mêtric trong X là một ánh xạ d : X × X → R thoả mãn các điều kiện sau: 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y 2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X. Tập X và một metric d trong X gọi là một không gian metric, ký hiệu là (X, d), số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x, y. Ví dụ 1.1.1. Một tập M bất kỳ của đường thẳng R, với các khoảng cách thông thường d (x, y) = |x − y| là một không gian mêtric. Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm {xn } trong không gian metric (X, d) được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim d(xn , x) = 0. n→∞ Kí hiệu lim xn = x hay xn → x khi n → ∞. n→∞ 4 5 Định nghĩa 1.1.3. Một dãy điểm {xn } trong không gian metric (X, d) được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim d(xm , xn ) = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử của X. Định lý 1.1.1. Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là không gian metric đầy đủ. Chứng minh. Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy đủ (X, d). Giả sử {xn } là một dãy cơ bản trong F tức là lim d(xm , xn ) = 0. m,n→∞ Suy ra {xn } là một dãy cơ bản trong X. Do X là không gian đầy đủ nên dãy {xn } hội tụ, tức là ∃x0 ∈ X : xn → x0 , n → ∞. Như vậy (xn ) ⊂ F : xn → x0 ∈ X, n → ∞. Do F là tập đóng nên x0 ∈ F. Vậy F là không gian metric đầy đủ. Ví dụ 1.1.2. Trong không gian metric đầy đủ (X, d), tập hợp S (x0 , r) = {x ∈ X : d (x, x0 ) ≤ r} , r > 0 là hình cầu đóng. 1.1.2. Không gian định chuẩn Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C). Định nghĩa 1.1.5. Một chuẩn, kí hiệu k · k, trong X là một ánh xạ đi từ X vào R thoả mãn các điều kiện: 6 1) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X; 2) kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không ); 3) kλxk = |λ| kxk với mọi số λ ∈ P và mọi x ∈ X; 4) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X. Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy được gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tuỳ theo P là thực hay phức). Định lý 1.1.2. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X, đặt d (x, y) = kx − yk . Khi đó, d là một metric trên X. Định nghĩa 1.1.6. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu lim kxn − x0 k = 0. n→∞ Khi đó, ta kí hiệu lim xn = x0 hoặc xn → x0 , khi n → ∞. n→∞ Định nghĩa 1.1.7. Dãy {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản nếu lim kxm − xn k = 0. m, n→∞ 1.1.3. Không gian Banach, một số không gian hàm, nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.1.8. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. 7 Ví dụ 1.1.3. Không gian vectơ Euclide n chiều E n là không gian Banach với chuẩn v uX u n kxk = t |xj |2 , ∀x ∈ Rn . j=1 Ví dụ 1.1.4. Không gian vectơ L[a;b] . Đối với hàm số bất kỳ x (t) ∈ L[a;b] ta đặt Zb kxk = (L) |x (t)|dt, a dễ thấy L[a;b] là không gian Banach. Ví dụ 1.1.5. Không gian vectơ C[a;b] . Đối với hàm số bất kỳ x (t) ∈ C[a;b] ta đặt kxk = max |x (t)| , a≤t≤b dễ thấy C[a;b] là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.9. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu thoả mãn: 1) A (x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X; 2) A (αx) = αAx với mọi x ∈ X, α ∈ P. A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thoả mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = P thì toán tử A gọi là phiếm hàm tuyến tính. Định nghĩa 1.1.10. Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c ≥ 0 sao cho: kAxk ≤ c kxk với mọi x ∈ X. 8 Định nghĩa 1.1.11. Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiệu L(X, Y ) là tập tất cả toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y. Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán: 1) (A + B)(x) = Ax + Bx, với A, B ∈ L(X, Y ), ∀x ∈ X. 2) α ∈ P, A ∈ L(X, Y ), toán tử kí hiệu là αA được xác định bởi biểu thức (αA) (x) = α (Ax) . Dễ dàng kiểm tra được A + B ∈ L (X, Y ) , αA ∈ L (X, Y ) và hai phép toán trên thoả mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L (X, Y ) trở thành một không gian tuyến tính trên trường P. Ta trang bị một chuẩn như sau trên L (X, Y ) kAk = sup kAxk, ∀A ∈ L (X, Y ) . kxk≤1 Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn. Định lý 1.1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không gian Banach. Ví dụ 1.1.6. Các không gian hàm sau là các không gian Banach: • C[a;b] -không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b]; • L2[a;b] -không gian các hàm đo được bình phương khả tích theo độ đo Lebesgue trên [a; b]; • Lp[a;b] -không gian các hàm x(t) đo được theo độ đo Lebesgue trên [a; b] Rb sao cho |x (t)|p dt < +∞, 1 ≤ p ≤ +∞. a Định nghĩa 1.1.12. Cho hai không gian metric tuỳ ý (X, d1 ) và (Y, d2 ). Ánh xạ A : X → Y gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại một số α ∈ [0; 1) sao cho 9 ∀x1 , x2 ∈ X ta đều có d2 (A (x1 ) , A (x2 )) ≤ αd1 (x1 , x2 ) α gọi là hệ số co của ánh xạ co A. Định lý 1.1.4. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm x∗ ∈ X thoả mãn Ax∗ = x∗ , x∗ là giới hạn của dãy {xn }, xn = Axn−1 , n = 1, 2, . . . , x0 ∈ X tuỳ ý và αn d (Ax0 , x0 ) , n = 1, 2, . . . d (xn , x ) ≤ 1−α ∗ trong đó α là hệ số co của ánh xạ co A. Chứng minh. Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X và lập dãy xn = Axn−1 , n = 1, 2, . . . , ta được d(x2 , x1 ) = d (Ax1 , Ax0 ) ≤ αd (x1 , x0 ) = αd (Ax0 , x0 ) , d(x3 , x2 ) = d (Ax2 , Ax1 ) ≤ αd (x2 , x1 ) ≤ α2 d (Ax0 , x0 ) , ... d(xn+1 , xn ) = d (Axn , Axn−1 ) ≤ αd (xn , xn−1 ) ≤ αn d (Ax0 , x0 ) , n = 1, 2, .... Từ đó suy ra ∀n, p = 1, 2, ... ta có d (xn+p , xn ) ≤ p X d (Axn+k , Axn+k−1 ) ≤ d (Ax0 , x0 ) k=1 n = p X αn+k−1 k=1 n+p α −α 1−α n d (Ax0 , x0 ) ≤ α d (Ax0 , x0 ) . 1−α Vì 0 ≤ α < 1 nên lim d (xn+p , xn ) = 0, ∀p ∈ N∗ n→∞ nghĩa là {xn } là dãy cơ bản trong không gian metric đầy (X, d). Từ đó tồn tại lim xn = x∗ ∈ X. n→∞ 10 Ta có d (Ax∗ , x∗ ) ≤ d (Ax∗ , xn ) + d (xn , x∗ ) = d (Ax∗ , Axn−1 ) + d (xn , x∗ ) ≤ αd (xn−1 , x∗ ) + d (xn , x∗ ) , ∀n = 1, 2, .... Cho n → ∞ ta được d(Ax∗ , x∗ ) = 0 hay Ax∗ = x∗ , nghĩa là x∗ là điểm bất động của ánh xạ A. Giả sử tồn tại điểm y ∗ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A thì d(x∗ , y ∗ ) = d (Ax∗ , Ay ∗ ) ≤ αd (x∗ , y ∗ ) ⇒ (1 − α) d (x∗ , y ∗ ) ≤ 0 ⇒ d (x∗ , y ∗ ) = 0, (0 ≤ α < 1) ⇒ x∗ = y ∗ Vậy x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A. Từ bất đẳng thức αn d (Ax0 , x0 ) d (xn+p , xn ) ≤ 1−α cho p → ∞ ta được d (xn , x∗ ) ≤ αn d (x1 , x0 ) , n = 1, 2, . . . . 1−α Định lý được chứng minh. 1.2. Đạo hàm Fréchet Định nghĩa 1.2.1. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, U là một tập mở của X, toán tử f : U → Y. Khi đó, toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y là đạo hàm Fréchet của f tại x0 ∈ U nếu và chỉ nếu


∀h ∈ X, f x0 + h − f x0 = T (h) + α x0 , h , và
α x0 , h lim = 0. khk khk→0 11
T (h) gọi là vi phân của f tại x0 , ký hiệu T (h) = df x0 , h . Toán tử T gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x0 , ký hiệu T = f 0 (x0 ). Như vậy
df x0 , h = f 0 (x0 ) (h) . Người ta còn gọi đạo hàm Fréchet, vi phân Fréchet là đạo hàm mạnh, vi phân mạnh. Định nghĩa 1.2.2. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn f : X → Y, x0 ∈ X, h ∈ X, t ∈ R. Nếu tồn tại toán tử A ∈ L(X, Y ) sao cho f (x0 + th) − f (x0 ) = A (h) t→0 t lim thì A(h) gọi là vi phân yếu của f (vi phân Gâteaux), ký hiệu là dfw (x0 , h) . A gọi là đạo hàm yếu của f (đạo hàm Gâteaux), ký hiệu là fw0 (x0 ) . Mối liên hệ giữa hai khái niệm đạo hàm mạnh, đạo hàm yếu (vi phân mạnh, vi phân yếu). Định lý 1.2.1. Nếu f khả vi Fréchet tại x0 thì f khả vi Gâteaux tại x0 và fw0 (x0 ) = f 0 (x0 ) , dfw (x0 , h) = df (x0 , h) . Chứng minh. Theo giả thiết hàm f khả vi Fréchet tại x0 cho nên, mọi h cố định, t ∈ R ta có: f (x0 + th) − f (x0 ) = df (x0 , th) + α (x0 , h) kα (x0 , th)k = o (kthk) = o (|t| khk) khi t → 0. Theo giả thiết df (x0 , th) tuyến tính đối với h nên df (x0 , th) = tdf (x0 , h) o (kthk) = o (|t| . khk) = o (|t|) khi t → 0. (1.2.1) 12 Đẳng thức (1.2.1) tương đương với 1 f (x0 + th) − f (x0 ) = df (x0 , h) + α (x0 , th) , t t hay 1 f (x0 + th) − f (x0 ) − df (x0 , h)k = lim k α (x0 , th)k t→0 t t→0 t o (kthk) o (|t|) = lim = lim = 0. |t| |t|→0 |t|→0 |t| lim k Vậy f (x0 + th) − f (x0 ) = df (x0 , h) t→0 t lim hay là dfw (x0 , h) = df (x0 , h) . Vậy f khả vi yếu và dfw (x0 , h) = df (x0 , h) . Định lý được chứng minh. Định lý 1.2.2. Nếu trong hình cầu kx − x0 k ≤ r tồn tại vi phân yếu dfw (x, h) liên tục đều theo x và liên tục theo h thì tồn tại vi phân mạnh df (x, h) và df (x, h) = dfw (x, h) . Tính chất của đạo hàm Fréchet và vi phân Fréchet 1)
i) d(f + g) x0 , h = f 0 (x0 ) (h) + g 0 (x0 ) (h) ;
ii) d(αf ) x0 , h = αf 0 (x0 ) (h) , α ∈ R; iii) (f 0 + g 0 )(x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ); 13 iv) (αf 0 )(x0 ) = αf 0 (x0 ), α ∈ R. 2) Nếu f là toán tử tuyến tính từ X vào Y thì tại mọi điểm ta có df (x, h) = f (h) , ∀x ∈ X, ∀h ∈ X. Định nghĩa 1.2.3. Cho X1 , X2 , ..., Xn , n ≥ 2, Y là các không gian định chuẩn và ánh xạ f : X1 × X2 × · · · × Xn → Y. Với mọi x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ X1 × X2 × ... × Xn ta cố định
x0 = x01 , x02 , ..., x0n ∈ X1 × X2 × ... × Xn . Xét các ánh xạ f i : Xi → Y, i = 1, ..., n
i 0 0 0 0 0 f(x = f x , x , ..., x , x , x , ..., x 1 2 i−1 i i+1 n . i) Nếu f i có đạo hàm Fréchet tại điểm x0i thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm riêng Fréchet của f theo xi tại điểm x0 , ký hiệu
0
∂f 0
x = f i x0i . ∂xi Khi X1 = X2 = · · · = Xn = Y = R thì đạo hàm riêng Fréchet trùng với đạo hàm riêng thông thường. Ví dụ 1.2.1. Ánh xạ f : R → R, ∀x0 ∈ R đạo hàm Fréchet f 0 (x0 ) là đạo hàm theo nghĩa thông thường của f tại x0

o (h) = 0. f x0 + h − f x0 = f 0 (x0 )h + o (h) , với lim h→0 h Suy ra
f x0 + h − f (x0 ) = f 0 (x0 ) lim h→0 h
và vi phân df x0 , h = f 0 (x0 )h. Ví dụ 1.2.2. 14 Ánh xạ f : Rn → R, ∀x0 ∈ Rn , ∂f x0 , ai = ∂xi
0 x0 = x01 , x02 , ..., xn
i = 1, n, với A là ma trận (a1 , a2 , ..., an ) , h ∈ R, h = (h1 , h2 , ..., hn )T . Đặt Ah = n X ai hi . i=1 Ta có n

X
0 f x +h −f x = ai hi + α x0 , h 0 (1.2.2) i=1 và
α x0 , h lim = 0. khk khk→0 Ánh xạ f thoả mãn (1.2.2) khi và chỉ khi f khả vi theo nghĩa thông thường và ta có 0 f (x )(h) = n X ai hi , 0 0  f (x ) = i=1 ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) , ..., ∂x1 ∂xn Ví dụ 1.2.3. Ánh xạ f : Rn → Rn , ∀x0 ∈ Rn xác định bởi f (x) = (f1 (x) , f2 (x) , ..., fn (x))T
T , h ∈ Rn , h = (h1 , h2 , ..., hn )T và
∂fi x0 aij = i, j = 1, n. ∂xj trong đó x0 = x01 , x02 , ..., x0n Đặt A : Rn → Rn là ma trận "
# 0 ∂fi x i, j = 1, n ∂xj với Ah = n X j=1 a1j hj , n X j=1 a2j hj , ..., n X j=1 !T anj hj .  . 15 Ta có


f x0 + h − f x0 = Ah + α x0 , h và (1.2.3)
α x0 , h = 0. lim khk khk→0 Vậy vi phân n X
df x0 , h = f 0 (x0 ) (h) = Ah = a1j hj , j=1 n X a2j hj , ..., j=1 n X !T anj hj , j=1 và đạo hàm Fréchet f 0 (x0 ) = A. Ví dụ 1.2.4. Ánh xạ f : C[a;b] → R, x ∈ [a; b] Zb f (x) = x2 (t)dt ∈ R. a Tìm đạo hàm và vi phân Fréchet của f. Giải Giả sử h ∈ C[a;b] , x0 ∈ C[a;b] . Ta có

f x0 + h − f x0 = Zb
2 x0 (t) + h (t) dt − a Zb
2 x0 (t) dt a Zb =2 a x0 (t) h (t) dt + Zb h2 (t) dt. a Đặt Zb A (h) = 2 a
x0 (t) h (t) dt, α x0 , h = Zb h2 (t)dt. a Ta chứng minh rằng: +) A là toán tử tuyến tính A : C[a;b] → R, thật vậy ∀α, β ∈ R, ∀h1 , h2 ∈