Tài liệu Vành và môđun các thương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Hoàng Thị Loan VÀNH VÀ MÔĐUN CÁC THƯƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội - Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Hoàng Thị Loan VÀNH VÀ MÔĐUN CÁC THƯƠNG Chuyên ngành: Đại số Mã số: ??????? KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Thị Kiều Nga Hà Nội - Năm 2018 Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Lời mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Vành, vành con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Iđêan và vành thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Iđêan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Vành thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Đồng cấu vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Môđun, môđun con, môđun thương . . . . . . . . . . . 12 1.4.1 Môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.3 Môđun thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5 Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Vành các thương 2.1 19 Tập con nhân đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 19 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2 HOÀNG THỊ LOAN Vành các thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Xây dựng vành các thương . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Một số tính chất vành các thương . . . . . . . . 25 2.2.3 Iđêan của vành các thương . . . . . . . . . . . . 30 2.2.4 Một số bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Môđun các thương 40 3.1 Khái niệm môđun các thương . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Một số tính chất của môđun các thương . . . . . . . . 42 3.3 Địa phương hóa và dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận 52 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Lời cảm ơn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đến các Thầy Cô khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 và đặc biệt là cô giáo T.S Nguyễn Thị Kiều Nga. Dưới sự hướng dẫn tận tình của cô và sự nỗ lực nghiên cứu của bản thân, em đã hoàn thành khóa luận của mình. Mặc dù em đã cố gắng song kiến thức của bản thân và thời gian còn hạn chế nên khóa luận của em không thể tránh được những thiếu sót. Em kính mong nhận được sự góp ý của Thầy Cô và các bạn để bài luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15/4/2018 Sinh viên Hoàng Thị Loan 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của em trong quá trình học tập và nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ của các Thầy Cô trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Kiều Nga. Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo. Khóa luận "Vành và môđun các thương" không có trùng lặp với các khóa luận khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 15/4/2018 Sinh viên Hoàng Thị Loan 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Lời mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Như ta đã biết, trong miền nguyên X, chưa chắc mọi phần tử khác không đều có phần tử khả nghịch. Chẳng hạn miền nguyên Z chỉ có hai phần tử khả nghịch là 1, −1. Việc xây dựng trường các thương của miền nguyên X chính là việc mở rộng miền nguyên X thành một trường, để mọi phần tử khác không đều có phần tử khả nghịch. Để mở rộng khái niệm trường các thương của miền nguyên cho một vành giao hoán tùy ý, ta có khái niệm vành các thương. Tương tự như xây dựng vành các thương, ta xây dựng môđun các thương trên vành các thương. Việc nghiên cứu vành các thương và môđun các thương rất quan trọng. Bởi vì các kết quả của nó được sử dụng nhiều trong việc nghiên cứu đại số giao hoán, hình học đại số,... Vì lý do đó, cùng với việc mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề địa phương hóa của vành và môđun trong Đại số, em mạnh dạn chọn đề tài "Vành và môđun các thương" làm đề tài nghiên cứu khóa luận của mình. Nội dung khóa luận gồm ba chương: Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị". Chương này trình bày các kiến thức cần thiết được sử dụng ở 2 chương sau. 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Chương 2 "Vành các thương". Chương này giúp cho người đọc hiểu được cách xây dựng vành các thương, và một số tính chất của vành các thương. Chương 3 "Môđun các thương". Chương này sẽ trình bày cách xây dựng môđun các thương và tính chất của nó. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách xây dựng vành các thương và môđun các thương; một số tính chất của vành các thương, môđun các thương. 3. Đối tượng nghiên cứu Vành giao hoán và môđun. 4. Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Vành, vành con Định nghĩa 1.1. Ta gọi là một vành là tập hợp R 6= ∅ cùng với hai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng và phép nhân thỏa mãn ba điều kiện sau: i) R là một nhóm Aben đối với phép cộng, ii) Phép nhân có tính chất kết hợp, iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là: (x + y).z = x.z + y.z, z.(x + y) = z.x + z.y, ∀x, y, z ∈ R. Định nghĩa 1.2. Vành R được gọi là giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao hoán. Vành R được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị, tức là có phần tử 1 ∈ R sao cho 1.x = x.1 = x, ∀x ∈ R. Ví dụ 1.1. a) Các tập hợp số Z, Q , R, C cùng với phép cộng và nhân các số thông thường là vành giao hoán có đơn vị 1. 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN b) Tập hợp Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1} các số nguyên mod n cùng với phép cộng và phép nhân các số nguyên mod n như sau: a + b = a + b, ab = ab là một vành giao hoán có đơn vị 1, gọi là vành các số nguyên mod n. c) Tập hợp các ma trận vuông cấp n, n > 1 cùng với phép cộng và phép nhân ma trận là một vành có đơn vị, vành này nói chung không giao hoán. Tính chất 1.1. R là một vành. Khi đó: +) 0.x = x.0 = 0, ∀x ∈ R, +) (−x).y = x.(−y) = −(x.y) ∀x, y ∈ R, +) (−x).(−y) = x.y, ∀x, y ∈ R, +) x.(y − z) = xy − xz, (x − y)z = xz − yz, ∀x, y, z ∈ R, +) (x1 + ... + xn ).(y1 + ... + yn ) = m X n X xi .yj , ∀xi , yj ∈ R, i=1 j=1 +) (n.x).y = x.(n.y) = n.(xy), ∀x, y ∈ R, n ∈ Z, +) (x + y)n = n X Cnk xk y n−k , ∀x, y ∈ R, n ∈ N. k=0 Định nghĩa 1.3. Giả sử R là một vành, A là một bộ phận của R ổn định đối với hai phép toán cộng và nhân trong R nghĩa là x + y ∈ A, x.y ∈ A với mọi x, y ∈ A. A là một vành con của vành R nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. Định lí 1.1. Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của vành R. Các điều kiện sau đây là tương đương: 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN i) A là một vành con của R. ii) Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, −x ∈ A. iii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A, xy ∈ A. Ví dụ 1.2. a) Bộ phận {0} chỉ gồm phần tử không và R là hai vành con của R. b) Tập mZ gồm các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một vành con của vành các số nguyên Z. Tính chất 1.2. Giao của họ bất kì những vành con của một vành R là một vành con của R. 1.2 Iđêan và vành thương 1.2.1 Iđêan Định nghĩa 1.4. Cho R là một vành, I là vành con của R. Khi đó: i) I được gọi là iđêan trái của R nếu x.a ∈ I, ∀x ∈ R, ∀a ∈ I. ii) I được gọi là iđêan phải của R nếu a.x ∈ I, ∀x ∈ R, ∀a ∈ I. iii) I được gọi là iđêan của R nếu I vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải. Chú ý: Đối với vành giao hoán, các iđêan trái, iđêan phải là trùng nhau. Định lí 1.2. Cho R là một vành, I ⊂ A, I 6= ∅. Các điều kiện sau là tương đương: 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN i) I là iđêan của R. ii) Với mọi a, b ∈ I, a − b ∈ I, x.a ∈ I, ∀a ∈ I, ∀x ∈ R. Ví dụ 1.3. a) Vành A luôn có các iđêan tầm thường là iđêan {0} và A. b) Tập hợp các số nguyên là bội của một số nguyên m cho trước là một iđêan của vành các số nguyên. Định nghĩa 1.5. Iđêan (trái, phải, hai phía) sinh bởi một phần tử {a} được gọi là iđêan (trái, phải, hai phía) chính sinh bởi a. Cụ thể, iđêan trái chính của R sinh bởi a là Ra = {ra, r ∈ R}. Iđêan phải chính sinh bởi a là Ra = {ra, r ∈ R}. Iđêan chính sinh bởi a là m X RaR = { xi ayi , xi , yi ∈ R, m ∈ N}. i=1 Định nghĩa 1.6. Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị. Ta gọi i) Iđêan I của R được gọi là nguyên tố nếu I 6= R và với mọi x, y ∈ R, xy ∈ A suy ra hoặc x ∈ A hoặc y ∈ A. ii) Iđêan I của R được gọi là cực đại nếu I 6= R và không tồn tại iđêan J ⊃ I sao cho J 6= I và J 6= R; nói cách khác I là cực đại theo quan hệ bao hàm trong tập các iđêan thực sự của R. 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Nhận xét 1.1. Cho R là một vành có đơn vị, I là một iđêan của R. Khi đó I = R khi và chỉ khi 1 ∈ I. Ta kí hiệu SpecR, SpecmR tương ứng là tập hợp các iđêan nguyên tố và tập các iđêan cực đại của R. 1.2.2 Vành thương Định nghĩa 1.7. Giả sử I là iđêan của R. Khi đó R/I = {x+I, x ∈ R} cùng với hai phép toán : (x + I) + (y + I) = x + y + I (x + I)(y + I) = xy + I là một vành gọi là vành thương của R trên I và kí hiệu là R/I. Nhận xét 1.2. Nếu R là vành giao hoán thì R/I giao hoán. Nếu R là vành có đơn vị thì R/I có đơn vị là 1 + I. 1.3 Đồng cấu vành Định nghĩa 1.8. Một đồng cấu vành là một ánh xạ từ một vành X đến một vành Y sao cho: f (a + b) = f (a) + f (b) f (ab) = f (a)f (b), với mọi a, b ∈ X. Nếu X = Y thì đồng cấu f gọi là tự đồng cấu của X. 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Định nghĩa 1.9. i) Một đồng cấu vành đồng thời là một đơn ánh được gọi là một đơn cấu vành (hay một phép nhúng vành). ii) Một đồng cấu vành đồng thời là một toàn ánh được gọi là một toàn cấu vành. iii) Một đồng cấu vành đồng thời là một song ánh được gọi là một đẳng cấu vành. Nếu có một đẳng cấu vành f : R → R0 thì ta nói vành R đẳng cấu với vành R0 , và viết R ∼ = R0 . Ví dụ 1.4. a) Giả sử A là một vành con của vành X. Đơn ánh chính tắc: f : A −→ X a 7−→ a là một đồng cấu gọi là đơn cấu chính tắc. b) Ánh xạ đồng nhất của một vành X là một đồng cấu gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của X. c) Giả sử A là một iđêan của một vành X. Ánh xạ g : X −→ X/A x 7−→ x + A là một đồng cấu từ vành X đến vành thương X/A và được gọi là toàn cấu chính tắc. d) Giả sử X và Y là hai vành, ánh xạ θ : X −→ Y x 7−→ 0 Với 0 là phần tử không của Y là một đồng cấu gọi là đồng cấu không. 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Đồng cấu vành có các tính chất sau: Định lí 1.3. Giả sử X, Y, Z là những vành, f : X → Y và g : Y → Z là những đồng cấu. Khi đó tích ánh xạ g ◦ f : X → Z cũng là một đồng cấu. Định lí 1.4. Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y . Khi đó: i) f (0) = 0. ii) f (−x) = −f (x), ∀x ∈ X. Định lí 1.5. Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y, A là một vành con của X và B là một iđêan cuả Y. Khi đó: i) f (A) là một vành con của Y ; ii) f −1 (B) là một iđêan của X. Hệ quả 1.1. Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y. Khi đó Im f là một vành con của Y và Ker f là một iđêan của X. Định lí 1.6. Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y. khi đó i) f là một toàn cấu nếu và chỉ nếu Im f = Y. ii) f là một đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker f = {0}. 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Định lí 1.7. (Định lí về đồng cấu vành ) Giả sử f : X → Y là một đồng cấu từ một vành X đến một vành Y , p : X → X/Kerf là toàn cấu chính tắc từ vành X đến vành thương của X trên Kerf . Khi đó i) Tồn tại một đồng cấu duy nhất f¯ : X/Kerf → Y sao cho tam giác sau giao hoán f X p $ : / Y f X/ Ker f tức là f = f¯ ◦ p. ii) Đồng cấu f¯ là một đơn cấu và Imf¯ = f (X). Hệ quả 1.2. a) Với mọi đồng cấu f : X → Y từ một vành X đến một vành Y , ta có X/Kerf ∼ = f (X). b) Nếu f : X → Y là toàn cấu vành thì X/Kerf ∼ = Imf. 1.4 1.4.1 Môđun, môđun con, môđun thương Môđun Định nghĩa 1.10. Cho A là vành có đơn vị. Một A− môđun trái là một nhóm cộng Abel M cùng với ánh xạ f : A × M −→ M (α, x) 7−→ αx 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN gọi là phép nhân vô hướng thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi α, β ∈ A, với mọi x, y ∈ M thì M1 : α(x + y) = αx + βy; M2 : (α + β)x = αx + βx; M3 : (αβ)x = α(βx); M4 : 1x = x. Chú ý: Tương tự định nghĩa môđun trái M là nhóm Abel cộng M và ánh xạ f : M × A −→ M (x, α) 7−→ xα thỏa mãn các điều kiện ở trên với phần tử của A viết ở bên phải thì M được gọi là một môđun phải. Ta thấy ngay, nếu A là một vành giao hoán thì các khái niệm môđun trái, môđun phải trên A là trùng nhau. Sau đây ta chỉ xét các A− môđun trái và gọi tắt chúng là các A− môđun và để thuận tiện, ta sẽ dùng từ "môđun" thay cho " A− môđun" khi vành A đã rõ. Ví dụ 1.5. Mỗi iđêan trái của A là một A− môđun. Đặc biệt, mỗi iđêan của A là một A - môđun và bản thân A cũng là một A - môđun. Ví dụ 1.6. K là một trường thì các K - môđun chính là các không gian vectơ trên K. Ví dụ 1.7. Mỗi nhóm Abel cộng M là một Z- môđun với phép nhân vô hướng xác định: nx = x · · + x} ∈ M với mọi n ∈ Z, x ∈ M . | + ·{z n 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN Nhận xét 1.3. Các ví dụ vừa nêu chứng tỏ rằng khái niệm môđun là một khái niệm tổng quát của các khái niệm: Vành, không gian vectơ, nhóm Aben. 1.4.2 Môđun con Định nghĩa 1.11. Một tập con khác rỗng N của một A− môđun M được gọi là một A− môđun con của M nếu bản thân N cùng với hai phép toán trong M thu hẹp vào N là một A− môđun. Khi N là một môđun con của M thì ta nói rằng M là một môđun mở rộng của N. Ví dụ 1.8. Mỗi A− môđun M luôn chứa hai môđun con tầm thường là: môđun con không {0} và bản thân M. Ví dụ 1.9. Cho A− môđun M và x là một phần tử của M. Khi đó tập hợp Ax = {ax|a ∈ A} là một môđun con của M, gọi là môđun con xyclic sinh bởi x. Ví dụ 1.10. Mọi iđêan của một vành A có đơn vị 1 6= 0 đều là một môđun con của A, khi xem A là một môđun trên chính nó. Điều kiện tương đương. Một tập con khác rỗng N của một A− môđun M là một A− môđun con của M nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn: i) x + y ∈ N, với mọi x, y ∈ N , ii) αx ∈ N với mọi α ∈ A, x ∈ N . 14 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.4.3 HOÀNG THỊ LOAN Môđun thương Định nghĩa 1.12. Giả sử N là một môđun con của một A− môđun M. Khi đó, N là một nhóm con của nhóm Aben cộng M. Khi đó ta có nhóm thương M/N là nhóm cộng Aben với phép cộng (x + N ) + (y + N ) = x + y + N. Tương ứng f : A × (M/N ) −→ M/N (α, x + N ) 7−→ αx + N là ánh xạ vì (α, x + N ) = (β, x + N ) ⇔ α = β và z = x − y ∈ N ⇒ α(x − y) = β(x − y) = αz ∈ N do đó αx + N = αy + N = βy + N suy ra f (α, x + N ) = f (β, y + N ). Khi đó M/N cùng với phép cộng ở trên và phép nhân vô hướng α(x + N ) = αx + N là một A− môđun thương của M theo N. Phần tử x + N của M/N thường được kí hiệu là x và được gọi là ảnh của x trong M/N. 1.5 Đồng cấu môđun Định nghĩa 1.13. Một ánh xạ f từ A− môđun M vào A− môđun M 0 được gọi là đồng cấu A− môđun hay ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn 2 tính chất sau: i) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ M . ii) f (αx) = αf (x), ∀α ∈ A, ∀x ∈ M . Nếu một đồng cấu f là một đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì nó tương ứng là một đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Nếu f (M ) = {0M 0 } 15 Khóa luận tốt nghiệp Đại học HOÀNG THỊ LOAN thì f được gọi là đồng cấu không. Ta kí hiệu Ker f = f −1 (0) được gọi là hạt nhân hay hạch của f ; Im f = f (M ) được gọi là ảnh của f .; Cokerf = M 0 / Im f được gọi là đối hạch của f ; Coimf = M/ Ker f được gọi là đối ảnh của f . Nhận xét 1.4. Cho A− đồng cấu môđun f : M → M 0 . Khi đó f là đồng cấu không khi và chỉ khi Ker f = M và f là một toàn cấu khi và chỉ khi Im f = M 0 . Mệnh đề 1.1. Ánh xạ f : M → M 0 là một đồng cấu các A− môđun khi và chỉ khi f (αx + βy) = αf (x) + βf (y), ∀α, β ∈ A và ∀x, y ∈ M . Mệnh đề 1.2. Nếu các ánh xạ f : M → M 0 và g : M 0 → M ” là hai đồng cấu các A− môđun thì ánh xạ tích g ◦ f cũng là một đồng cấu A− môđun từ M vào M ”. Định lí 1.8. Cho f : M → M 0 là một đồng cấu các A− môđun. Khi đó ta có các khẳng định sau: (i) Nếu N 0 là một môđun con của M 0 thì f −1 (N 0 ) là một môđun con của M, trường hợp riêng Ker f là một môđun con của M. (ii) Nếu N là một môđun con của M thì f (N ) là một môđun con của M 0 , trường hợp riêng Im f là một môđun con của M 0 . (iii) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf = {0}. (iv) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf = M 0 . Định lí 1.9. (Định lí đồng cấu môđun) 16