Tài liệu Vành số nguyên gauss

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Kim Lanh VÀNH SỐ NGUYÊN GAUSS KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Kim Lanh VÀNH SỐ NGUYÊN GAUSS Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC Phan Văn Lộc Hà Nội – Năm 2018 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các Thầy Cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các Thầy Cô trong tổ bộ môn Đại số cũng như các Thầy Cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận. Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Phan Văn Lộc, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này. Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, em rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các Thầy Cô và các bạn. Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Lanh 1 Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận "Vành số nguyên Gauss" là công trình nghiên cứu của riêng em dưới sự hướng dẫn của Thầy Phan Văn Lộc. Các nội dung nghiên cứu trong khóa luận là hoàn toàn trung thực. Ngoài ra, trong đề tài còn sử dụng một số tài liệu có ghi rõ trong danh mục tài liệu tham khảo. Nếu phát hiện có bất kỳ sự gian lận nào, em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về khóa luận nghiên cứu của riêng mình! Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Kim Lanh 2 Mục lục Lời mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 1.2 Một số kiến thức cơ bản về nhóm, vành . . . . . . . . . 3 1.1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Một số lớp vành đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Vành chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Vành Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3 Vành Gauss (vành nhân tử hóa) . . . . . . . . . 20 2 Vành số nguyên Gauss và một số ứng dụng 25 2.1 Vành số nguyên Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Tính chất của vành số nguyên Gauss . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Vành số nguyên Gauss là một miền Euclid . . . 27 2.2.2 Tính chất chia hết trong tập số nguyên Gauss . 28 2.2.3 Số nguyên tố Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.4 Đồng dư trong tập số nguyên Gauss . . . . . . . 41 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh Kết luận 50 Tài liệu tham khảo 51 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh Lời mở đầu Số nguyên Gauss là một số phức mà phần thực và phần ảo của nó là các số nguyên. Nó là một dạng tổng quát của số nguyên thông thường, do đó rất có ích trong việc tìm hiểu xem các tính chất nào của các số nguyên là mở rộng được cho lớp rộng hơn. Và từ việc tìm hiểu tính chất của các số nguyên Gauss ta có thể trực tiếp suy ra một số tính chất của số nguyên thông thường. Các số nguyên Gauss cùng với phép toán cộng và phép toán nhân các số phức cảm sinh thành một vành, gọi là vành các số nguyên Gauss, kí hiệu là Z[i]. Trong vành số nguyên Gauss, ta có thể xây dựng các khái niệm tương tự như trong vành số nguyên Z như: chia hết, phần tử nguyên tố, đồng dư thức. Vành số nguyên Gauss là một nội dung rất quan trọng của lý thuyết số. Nó là một công cụ để giải quyết nhiều bài toán số học. Chính vì thế, dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy giáo Phan Văn Lộc, em chọn đề tài "Vành số nguyên Gauss" làm đề tài nghiên cứu khóa luận của mình. Khóa luận gồm hai chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ bản về nhóm, vành. Chương 2 trình bày khái niệm vành số nguyên Gauss, các tính chất và một số ứng dụng của nó trong Số học. Do thời gian có hạn và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của các Thầy Cô và các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn! 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh Hà Nội, tháng 5 năm 2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Kim Lanh 2 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức cơ bản về nhóm, vành 1.1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp X. Một phép toán hai ngôi trên X là một ánh xạ f : X × X −→ X (x, y) 7−→ f (x, y). Giá trị f (x, y) là cái hợp thành của x và y. Thông thường ta biểu diễn phép toán hai ngôi như phép nhân và thay cho f (x, y) ta viết x ◦ y, x ∗ y hay đơn giản là xy, và gọi là tích của x và y. Đôi khi ta cũng kí hiệu phép toán hai ngôi bởi dấu + và gọi x + y là tổng của x và y. Ví dụ 1.1.1. 1. Trong tập hợp N các số tự nhiên, phép cộng,phép nhân là những phép toán hai ngôi; các hợp thành của x ∈ N và y ∈ N bởi các phép toán đó kí hiệu theo thứ tự bằng x + y, xy. 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh 2. Phép trừ không phải là một phép toán hai ngôi trong N, nhưng là một phép toán hai ngôi trong tập hợp Z các số nguyên. Định nghĩa 1.2. (i) Một tập hợp X cùng với phép toán hai ngôi ◦ trên X được gọi là một nửa nhóm nếu phép toán hai ngôi ◦ thỏa mãn luật kết hợp, nghĩa là x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z với mọi x, y, z ∈ X. (ii) Nửa nhóm X được gọi là vị nhóm nếu trong X có phần tử e, gọi là phần tử đơn vị sao cho e ◦ x = x ◦ e = x với mọi x ∈ X. (iii) Nửa nhóm X được gọi là giao hoán nếu phép toán ◦ của nó là giao hoán, nghĩa là x ◦ y = y ◦ x với mọi x, y ∈ X. Định nghĩa 1.3. Một nửa nhóm X được gọi là nhóm nếu nó có các tính chất sau: (i) Có phần tử đơn vị e, (ii) Với mọi x ∈ X, có một x0 sao cho x0 x = xx0 = e (phần tử x0 gọi là một phần tử đối xứng hay nghịch đảo của x). Nếu tập hợp X là hữu hạn thì ta có một nhóm hữu hạn và số phần tử của X gọi là cấp của nhóm. Nếu phép toán hai ngôi trong X giao hoán thì ta có một nhóm giao hoán hay nhóm aben. Ví dụ 1.1.2. Tập hợp các số nguyên Z cùng với phép toán cộng thông thường là một nhóm giao hoán mà ta gọi là nhóm cộng các số nguyên. 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh Cũng vậy, ta có nhóm cộng các số hữu tỉ, nhóm cộng các số thực, nhóm cộng các số phức. Định lí 1.1. Mỗi phần tử của một nhóm chỉ có một phần tử đối xứng Chứng minh. Giả sử x0 , x” là hai phần tử đối xứng của x . Ta có xx0 = e. Nhân hai vế về bên trái với x , ta được x0 (x.x”) = x0 .e. Vậy (x0 x).x” = e hay e.x” = x0 .e, tức là x = x0 . Định lí 1.2. Trong một nhóm, đẳng thức xy = xz(yx = zx) kéo theo đẳng thức y = z. Chứng minh. Nhân bên trái hai vế của đẳng thức xy = xz với x−1 , ta được x−1 (xy) = x−1 (xz) hay (x−1 x)y = (x−1 x)z hay ey = ez. Tức là y = z. Định lí 1.3. Trong một nhóm, phương trình ax = b(xa = b) có nghiệm duy nhất x = a−1 b (x = b.a−1 ). Chứng minh. Ta thấy ngay giá trị x = a−1 b là nghiệm của phương trình vì a(a−1 b) = (aa−1 )b = eb = b. Đó là nghiệm duy nhất vì nếu c cũng là một nghiệm của phương trình nghĩa là ac = ax = b, ta suy ra c = x theo luật giản ước. Chứng minh tương tự cho phương trình xa = b. Định lí 1.4. Trong một nhóm ta có: (xy)−1 = y −1 .x−1 , với x,y là hai phần tử bất kì của nhóm. Chứng minh. Ta có: (xy)(y −1 .x−1 ) = x(yy −1 )x−1 = xx−1 = e, (y −1 x−1 )xy = y −1 (x−1 x)y = yy −1 = e, tức là (xy)−1 = y −1 x−1 . 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.2 nguyễn thị kim lanh Vành Định nghĩa 1.4. Tập hợp X cùng với hai phép toán hai ngôi, được viết như phép cộng (+) và phép nhân (·) thông thường, được gọi là vành nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (i) X cùng với phép cộng là một nhóm aben, (ii) X cùng với phép nhân là một nửa nhóm, (iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: Với các phần tử tùy ý x, y, z ∈ X, ta có: x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + yz. Phần tử trung lập của phép cộng thì kí hiệu là 0 và gọi là phần tử không. Phần tử đối xứng đối với phép cộng của một phần tử x thì kí hiệu là −x và gọi là đối của x. Nếu phép nhân là giao hoán thì vành X là giao hoán. Nếu phép nhân có phần tử trung lập thì phần tử đó là phần tử đơn vị của X và thường kí hiệu là e hoặc 1. Ví dụ 1.1.3. Tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân thông thường là vành giao hoán có đơn vị gọi là vành các số nguyên. Ta có vành các số hữu tỉ, các số thực, các số phức (các phép toán vẫn là phép cộng và phép nhân thông thường). Ngoài các tính chất là một nhóm cộng giao hoán và nửa nhóm nhân, một vành còn có các tính chất sau: Định lí 1.5. Cho X là một vành, với mọi x, y, z ∈ X ta có: (i) x(y − z) = xy − xz, (y − z)x = yx − zx, 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh (ii) 0x = x0 = 0, (iii) x(−y) = (−x)y = −xy , (−x)(−y) = xy. Chứng minh. (i) Theo luật phân phối, ta có: xy = x((y − z) + z) = x(y − z) + xz. Suy ra x(y − z) = xy − xz. Đẳng thức thứ hai chứng minh tương tự. (ii) Theo (i) ta có 0x = (y − y)x = yx − yx = 0 = xy − xy = x(y − y) = x0. (iii) Từ (i) và (ii) ta được: x(−y) = x(0 − y) = x0 − xy = −xy = 0y − xy = (0 − x)y = (−x)y. Suy ra (−x)(−y) = xy. Định nghĩa 1.5. Giả sử X là một vành giao hoán. Ta bảo một phần tử a ∈ X là bội của một phần tử b ∈ X hay a chia hết cho b, kí hiệu . a..b, nếu có c ∈ X sao cho a = bc; ta còn nói rằng b là ước của a hay b chia hết a, kí hiệu b|a. Định nghĩa 1.6. Ta gọi ước của 0 mọi phần tử a 6= 0 sao cho có b 6= 0 thỏa mãn quan hệ ab = 0. Định nghĩa 1.7. Một vành giao hoán có nhiều hơn một phần tử, có đơn vị, không có ước của 0 được gọi là một miền nguyên. Ví dụ 1.1.4. Vành các số nguyên Z là một miền nguyên. Định nghĩa 1.8. Cho A là một tập con ổn định đối với phép cộng và phép nhân của vành X. Nếu A cùng với các phép toán cảm sinh là một vành thì A được gọi là một vành con của vành X. 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh Định nghĩa 1.9. Giả sử X là một vành. Vành con A của X gọi là iđêan trái của X nếu xa ∈ A, ∀x ∈ X và a ∈ A. Vành con A của X gọi là iđêan phải của X nếu ax ∈ A, ∀x ∈ X và a ∈ A. Vành con A của X gọi là iđêan của X nếu A vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải của X. Ví dụ 1.1.5. 1, Bộ phận {0} và bộ phần X là hai iđêan của vành X. 2, Bộ phần mZ gồm các số nguyên là bội của số nguyên m cho trước là một iđêan của vành số nguyên Z. Định nghĩa 1.10. Cho M là một tập con của vành X. Giao của họ tất cả các iđêan của X chứa M là một iđêan bé nhất của X, chứa M . Iđêan này được gọi là iđêan sinh bởi M , kí hiệu (M ). Nếu M là một tập hữu hạn thì iđêan sinh bởi M được gọi là iđêan hữu hạn sinh. Nếu M = {a} thì iđêan sinh bởi M được gọi là iđêan chính sinh bởi phần tử a và kí hiệu là (a). 1.2 1.2.1 Một số lớp vành đặc biệt Vành chính Giả sử A là một miền nguyên mà phần tử đơn vị kí hiệu là 1. Các ước của đơn vị còn gọi là các phần tử khả nghịch, chúng lập thành một nhóm nhân U mà 1 là phần tử đơn vị. Sau đây là một số tính chất về chia hết trong một miền nguyên. Mệnh đề 1.1. Với mọi a, b, c, x, x0 ∈ A, u ∈ U , ta có: (i) a|a, 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh (ii) c|b và b|a kéo theo c|a, (iii) u khả nghịch, u|a với mọi a, (iv) Nếu b|u với u khả nghịch, thì b khả nghịch, (v) Quan hệ S xác định như sau: xSx0 khi x0 = ux với u khả nghịch, là một quan hệ tương đương; x và x0 gọi là liên kết. Mệnh đề 1.2. x và x0 là liên kết khi và chỉ khi x|x0 và x0 |x. Bổ đề 1.1. a|b khi và chỉ khi Aa ⊃ Ab. Hệ quả 1.1. x và x0 liên kết khi và chỉ khi Ax = Ax0 . Đặc biệt u là khả nghịch khi và chỉ khi Au = A. Định nghĩa 1.11. Các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch là các ước không thực sự của x, còn các ước khác của x là ước thực sự của x. Ví dụ 1.2.1. ±2 và ±3 là các ước thực sự của 6, còn ±1 và ±6 là các ước không thực sự. Định nghĩa 1.12. Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch của A; x gọi là phần tử bất khả quy của A nếu x không có ước thực sự. Ví dụ 1.2.2. Các số nguyên tố và số đối của chúng là các phần tử bất khả quy của vành Z. Định nghĩa 1.13. Nếu c|a và c|b thì c gọi là ước chung của a và b. Phần tử c gọi là ước chung lớn nhất của a và b nếu mọi ước chung của a và b là ước chung của c. 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh Định nghĩa 1.14. (Vành chính) Miền nguyên X gọi là vành chính nếu mọi iđêan của nó là iđêan chính. Ví dụ 1.2.3. Vành Z các số nguyên là vành chính. Thật vậy, giả sử I là một iđêan của Z. Nếu I = {0} thì I là iđêan sinh bởi 0. Nếu I 6= {0}, giả sử a là số nguyên dương bé nhất của I và b là một phần tử tùy ý của I. Ta có thể giả sử b ≥ 0, vì nếu b < 0 thì −b > 0 và −b cũng thuộc I, do đó ta lấy −b. Lấy b chia cho a, ta được b = aq + r với r là dư, nên 0 ≤ r < a. Mặt khác r = b − aq ∈ I. Nếu r 6= 0 thì a không phải số nguyên dương bé nhất của I, mâu thuẫn. Do đó r = 0 và b = aq, tức là I = aZ là iđêan sinh ra bởi a. Định nghĩa 1.15. Một dãy tăng những iđêan của miền nguyên A J1 ⊂ J2 ⊂ ... ⊂ Jn ... (1.1) được gọi là dãy dừng nếu tồn tại số nguyên dương no sao cho Jn = Jno với mọi n > no . Định nghĩa 1.16. (i) Một dãy dừng các phần tử khác 0 của một miền nguyên A a1 , a2 , ..., an , ... được gọi là một dãy giảm những ước nếu an+1 |an với n = 1, 2, ... 10 (1.2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh (ii) Dãy (1.2) được gọi là dừng nếu tồn tại số nguyên dương no sao cho an liên kết với ano với mọi n > no . Sau đây, ta sẽ tìm hiểu một số tính chất cơ bản của vành chính. Giả sử miền nguyên A là một vành chính, các phần tử mà ta xét là thuộc A. Mệnh đề 1.3. Trong vành chính A, mọi dãy tăng iđêan đều dừng. Chứng minh. Giả sử J1 ⊂ J2 ⊂ ... ⊂ Jn ... (1.1) là một dãy tăng những iđêan của vành chính A. Khi đó J = ∪+∞ i=1 Ji là một iđêan của A. Thật vậy, hiển nhiên 0 ∈ J. Bây giờ nếu a, b ∈ J thì tồn tại Jk , Jl sao cho a ∈ Jk , b ∈ Jl . Giả sử l ≥ k, thế thì a, b đều thuộc Jl , và bởi vậy a − b ∈ Jl . Giả sử x ∈ A và a ∈ J, thế thì a ∈ Jk với k nào đó và vì vậy ax ∈ Jk suy ra ax ∈ J. Vì A là một vành chính nên tồn tại d ∈ J sao cho J = dA. Theo định nghĩa của hợp, tồn tại số tự nhiên m sao cho f ∈ Jm . Vậy dãy (1.1) dừng. Mệnh đề 1.4. Vành chính A thỏa mãn điều kiện dừng những ước. Chứng minh. Giả sử đã cho một dãy giảm những ước của vành chính A a1 , a2 , ..., an , ... (1.2) Khi đó, ta có dãy tăng những iđêan của R (a1 ) ⊂ (a2 ) ⊂ ... ⊂ (an ) ⊂ ... 11 (1.3) Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh Dây chuyền này dừng theo Mệnh đề 1.3, từ đó suy ra dãy (1.2) dừng. Bổ đề 1.2. Ước chung lớn nhất của hai phần tử a và b bất kì tồn tại. Chứng minh. Gọi I là iđêan sinh ra bởi a và b. Các phần tử của I có dạng ax + b với x, y ∈ A. Mặt khác vì A là vành chính nên I sinh ra bởi một phần tử d nào đó, phần tử d cũng thuộc I nên d có dạng: d = ax + by; x, y ∈ A. (1.4) Ta hãy chứng minh d là ước chung của a và b. Vì a, b ∈ I = dA, nên a = da0 , b = db0 ; a0 , b0 ∈ A. Do đó d là ước chung của a và b. Thêm nữa nếu c là một ước chung của a và b, tức là có a00 , b00 ∈ A sao cho a = ca00 , b = cb00 thì (1.4) trở thành d = c(a00 x + b00 y). Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b. Hệ quả 1.2. Nếu e là một ước chung lớn nhất của a và b thì có r, s ∈ A sao cho e = ar + bs. Chứng minh. Xét ước chung lớn nhất d của Bổ đề 1.2 và e là liên kết, tức là có một phần tử khả nghịch u sao cho e = du. Nhân hai vế của (1.4) với u ta được 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh e = du = axu + byu = ar + bs, r = xu, s = yu. Định nghĩa 1.17. a và b nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng là 1. Mệnh đề 1.5. Nếu a, b nguyên tố cùng nhau thì có r, s ∈ A sao cho 1 = ar + bs. Hệ quả 1.3. Nếu c|ab và c, a nguyên tố cùng nhau thì c|b. Chứng minh. Vì c, a nguyên tố cùng nhau nên theo Mệnh đề 1.5 có r, s ∈ A sao cho 1 = ar + cs. Nhân hai vế với b ta được b = bar + bcs. Vì c|ab nên có q ∈ A sao cho ab = cq. Do đó, b = c(qr + bs), tức là c|b. Bổ đề 1.3. Giả sử x là một phần tử bất khả quy và a là một phần tử bất kì. Thế thì hoặc x|a hoặc x và a là nguyên tố cùng nhau. Chứng minh. Vì x là bất khả quy nên các ước của x là các phần tử liên kết với x và các phần tử khả nghịch, do đó một ước chung lớn nhất của x và a chỉ có thể là một phần tử liên kết với x hoặc một phần tử khả nghịch. Trong trường hợp thứ nhất ta có x|a, trong trường hợp 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị kim lanh thứ nhất ta có x|a, trong trường hợp thứ hai x và a là nguyên tố cùng nhau. Bổ đề 1.4. Giả sử x là một phần tử khác 0 và không khả nghịch. Các mệnh đề sau đây là tương đương: (i) x là bất khả quy. (ii) x|ab thì x|a hoặc x|b. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Theo Bổ đề 1.3 ta có hoặc x|a hoặc x và a nguyên tố cùng nhau. Nếu x và a nguyên tố cùng nhau theo Hệ quả 1.3 ta có x|b. (ii) ⇒ (i). Giả sử a là một ước của x, thế thì có b ∈ A sao cho x = ab. Vì x|x, nên x|ab = x. Theo (ii) x|a hoặc x|b. Nếu x|a thì kết hợp với b|x ta có x = ub, u là khả nghịch. Do đó x = ab = ub. Nhưng x 6= 0, nên b 6= 0, do đó ta suy ra a = u vì A là miền nguyên. Do đó một ước a của x chỉ có thể hoặc là là liên kết với x hoặc là khả nghịch, vậy x là bất khả quy. Bổ đề 1.5. Trong một họ không rỗng bất kỳ F những iđêan của A sắp thứ tự theo quan hệ bao hàm, có một iđêan M của họ F là tối đại trong F . 14