Tài liệu Vai trò của tham số tự do và tính hội tụ của sơ đồ vòng lặp trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hyđrô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giáo viên hướng dẫn: TS. NGUYỄN VĂN HOA Sinh viên thực hiện: MAI THỊ ĐẮC KHUÊ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH THÁNG 4/2010 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa LỜI CẢM ƠN Em xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn khóa luận này – thầy đã tận tình hướng dẫn, truyền thụ cho em những kiến thức bổ ích và đóng góp những kinh nghiệm quý báu để em thực hiện khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn PGS.TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý kiến quý báu cho khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn thầy Lữ Thành Trung đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm. Em xin chân thành cảm ơn thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật Lý đã tận tình dạy bảo em trong suốt bốn năm đại học, để em có được những kiến thức như ngày hôm nay và cụ thể là qua những kết quả khóa luận này đã phần nào thể hiện. Em xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Lý khóa 32 cũng như các bạn khác và những người thân đã giúp đỡ em trong suốt thời gian làm khóa luận. Trong quá trình thực hiện đề tài không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót, em rất mong nhận được sự góp ý tận tình của quý thầy cô. Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúc sức khỏe và thành công! Sinh viên thực hiện Mai Thị Đắc Khuê SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 1 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ 1 MỤC LỤC ..................................................................................................... 2 MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 4 1 Tình hình nghiên cứu ........................................................................ 4 2 Lí do chọn đề tài ............................................................................... 4 3 Mục tiêu của đề tài............................................................................ 6 4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được ...................... 6 5 Cấu trúc của luận văn....................................................................... 7 NỘI DUNG.................................................................................................... 9 Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO ......................................................................................................... 9 1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro................................ 9 1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro ................................ 9 1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro .................................................... 11 1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro ....................................................... 12 1.2 Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro ......................... 13 1.2.1 Toán tử động năng .......................................................................... 14 1.2.2 Toán tử thế năng ............................................................................. 15 1.2.3 Toán tử hamilton............................................................................. 16 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính............................................. 17 Chương 2 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO............... 19 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn............................................................... 19 2.2 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử.............................................. 22 SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 2 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 2.2.1 Tính bổ chính bậc một..................................................................... 22 2.2.2 Tính bổ chính bậc hai...................................................................... 22 2.3 Nhận xét ......................................................................................... 35 Chương 3 VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO ..... 36 3.1 Vai trò của tham số tự do trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro .......................................................... 36 3.2 Sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến phân .................................................................................... 36 3.3 Nhận xét ......................................................................................... 40 Chương 4 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO ........................................ 42 4.1 Mục đích sử dụng sơ đồ vòng lặp.................................................... 42 4.2 Thiết lập sơ đồ vòng lặp.................................................................. 42 4.3 Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro ứng với k=4,6,8,10 theo sơ đồ vòng lặp ....................................................... 44 4.4 Nhận xét ............................................................................................... 46 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI ....................................... 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 48 PHỤ LỤC..................................................................................................... 48 Phụ lục 1 Các toán tử sinh – hủy một chiều.................................................. 48 Phụ lục 2 Dạng chuẩn (Normal) của một số biểu thức trong luận văn ........... 51 Phụ lục 3 Toán tử thế năng .......................................................................... 53 Phụ lục 4 Tính các yếu tố ma trận của Ĥ .................................................... 58 Phụ lục 5 Chương trình viết bằng Fortran ..................................................... 61 SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 3 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa MỞ ĐẦU 1 Tình hình nghiên cứu Ngày nay, Vật lý thực nghiệm đã có những bước phát triển mạnh mẽ, đòi hỏi phải có những tính toán lý thuyết chính xác. Trong khi đó, phương pháp gần đúng chủ yếu sử dụng cho hệ vi mô là phương pháp nhiễu loạn không sử dụng được cho bài toán không có nhiễu loạn. Trước tình hình đó, việc tìm ra một phương pháp mới hiệu quả, có phạm vi áp dụng rộng rãi rất được quan tâm trong những năm gần đây. Phương pháp toán tử với những tính toán thuần đại số, được xây dựng cho nhóm các bài toán nguyên tử là một phương pháp đang được các nhà Vật lý lý thuyết quan tâm nghiên cứu. Ý tưởng về phương pháp toán tử xuất hiện vào những năm 1979. Tuy nhiên phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 do nhóm nghiên cứu của giáo sư Kamarov L. I. thuộc trường đại học tổng hợp Belarus và được áp dụng thành công cho một nhóm các bài toán trong vật lý chất rắn, vật lý nguyên tử, lý thuyết trường,… Qua việc nghiên cứu và khai thác trong nhiều bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã tỏ ra là một phương pháp nổi trội hơn hẳn phương pháp truyền thống như:  Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân các hàm đặc biệt. Trong suốt quá trình tính toán, ta sử dụng các phép biến đổi đại số và những chương trình tính toán như Maple, Mathematica,…để tự động hóa quá trình tính toán.  Cho phép giải các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ. Với phương pháp toán tử, bước đầu đã giải quyết một phần những khó khăn về phương pháp của Vật lý lý thuyết, góp phần vào sự phát triển không ngừng của nền khoa học kỹ thuật toàn cầu. SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 4 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 2 Lí do chọn đề tài Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng. Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu… Bằng cách biểu diễn tất cả các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý qua các toán tử sinh hủy có chứa thông số biến phân, phương pháp toán tử đã cho kết quả bước đầu đáng tin cậy và có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của trường ngoài nếu kết hợp với phương pháp nhiễu loạn. Tính năng lượng của nguyên tử hydro bằng phương pháp toán tử kết hợp áp dụng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn dẫn đến kết luận: chuỗi các bậc bổ chính là hội tụ. Nếu muốn tăng độ chính xác của năng lượng, chúng ta có thể điều chỉnh thông số biến phân trong các toán tử sinh hủy hoặc thêm các bổ chính bậc cao hơn cho đến khi đạt kết quả chính xác. Tuy nhiên, tốc độ hội tụ chậm vì các bổ chính bậc càng cao thì càng giảm nhanh. Xuất phát từ nhu cầu muốn tìm ra một phương pháp để thu được năng lượng hội tụ về giá trị chính xác nhanh hơn bằng tính số trên máy tính, mà không cần phải tính đến các bổ chính bậc cao cũng như sự điều chỉnh thông số biến phân. Chúng tôi đi tới ý tưởng xây dựng một sơ đồ vòng lặp, mà cứ sau mỗi vòng lặp thu được một giá trị năng lượng gần đúng, lại tiếp tục cho lặp lại, để được một giá trị gần đúng hơn nữa. Quá trình lặp cứ tiếp, cho tới khi giá tri SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 5 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa sau khác giá trị ngay trước đó trong khoảng sai số mong muốn thì dừng lại. Kết quả cuối cùng thu được hội tụ về một giá trị, chính là giá trị năng lượng cần tìm ứng với sai số đã chọn. Nội dung bài khóa luận này sẽ trình hai hướng tiếp cận bài toán nguyên tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. 3 Mục tiêu của đề tài Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:  Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm… Kết hợp phương pháp toán tử, lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro.  Tìm hiểu vai trò của thông số biến phân được đưa vào trong toán tử sinh, hủy cũng như khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến đó.  Xây dựng sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận bài toán nguyên tử hydro là: lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Từ đó nhận định xem hướng tiếp cận nào tốt hơn để lựa chọn cho những bài toán có phức tạp hơn. 4 Phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt được Từ những khó khăn của lý thuyết nhiễu loạn khi giải quyết bài toán nguyên tử hydro trong trường ngoài trung bình và những ưu điểm vượt trội của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn, nên phương pháp toán tử là phương pháp chính được sử dụng trong quá trình thực hiện khóa luận này. Lập trình bằng ngôn ngữ fortran theo sơ đồ vòng lặp để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro từ đó so sánh tốc độ hội tụ của hai hướng tiếp cận: lý thuyết nhiễu loạn kết hợp với nguyên lý biến phân và sơ đồ vòng SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 6 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa lặp trong phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Dự kiến kết quả đạt được:  Tính bổ chính bậc hai cho mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử.  Thấy được vai trò của tham số tự do đưa vào trong toán tử sinh hủy trong việc tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Dùng lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân để tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi tính tới bổ chính bậc hai.  Tính toán bằng số trên máy tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo sơ đồ vòng lặp. Qua đó thấy được sự hội tụ và tính ưu thế của hướng tiếp cận này so với hướng tiếp cận lý thuyết nhiễu loạn có sử dụng nguyên lý biến phân bằng phương pháp toán tử cho việc tìm năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. 5 Cấu trúc của luận văn Từ mục tiêu và dự kiến kết quả đạt đuợc, em xây dựng cấu trúc luận văn gồm 3 phần chính:  Phần mở đầu: Nêu lên tình hình nghiên cứu vấn đề, lý do chọn đề tài, phương pháp nghiên cứu và dự kiến kết quả đạt đuợc.  Phần nội dung: gồm 4 chương Chương 1: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Chương này trình bày những kết quả mà cơ học luợng tử đã đạt đuợc về bài toán nguyên tử hydro: năng lượng, hàm sóng… Giới thiệu về phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro và dùng phương pháp toán tử kết hợp với lý thuyết nhiễu loạn tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính. Chương 2: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 7 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Xây dựng sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn. Tính bổ chính năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo lý thuyết nhiễu loạn bằng phương pháp toán tử. Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG VIỆC ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO Vai trò của thông số biến phân trong việc ứng dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro. Khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro theo thông số biến phân. Chương 4: SỬ DỤNG SƠ ĐỒ VÒNG LẶP TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO Nêu mục đích của sơ đồ lặp. Thiết lập sơ đồ vòng lặp. Dùng sơ đồ vòng lặp tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Nhận xét kết quả thu được.  Phần kết luận: tóm tắt lại kết quả đã đạt đuợc của luận văn, huớng phát triển sắp tới của đề tài. SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 8 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa NỘI DUNG Chương 1 PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO 1.1 Lời giải chính xác cho bài toán nguyên tử hidro[2], [4], [6] 1.1.1 Phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro Thế năng của một hạt khối lượng mo chuyển động trong một trường lực đối xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc khoảng cách r từ hạt đến tâm lực: U=U(r). Do đó hamilton của hạt có dạng:  2 2 Hˆ    U (r ) 2mO (1.1) Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r1  r2 giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toán chuyển động hai hạt với định luật tương tác U ( r1  r2 ) rút về bài toán chuyển động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực U(r). Trong trường hợp nguyên tử hydro   me .m p me  m p với mp, mn tương ứng là khối lượng của proton và electron. Vì m p  me nên   me . Nếu bỏ qua kích thước của proton, nguyên tử hydro sẽ được coi như gồm hạt electron chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng yên. Chọn gốc thế năng tại tâm hạt nhân và gọi r là khoảng cách từ tâm hạt nhân đến electron thì thế năng tương tác giữa electron và hạt nhân là: U (r )   Ze2 (CGS) r (1.2) Trong đó: Ze là điện tích của hạt nhân. U(r) chỉ phụ thuộc vào r, không phụ thuộc vào thời gian nên đối với nguyên tử hydro phương trình Schrodinger là phương trình dừng. SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 9 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng:   2 me  E  U (r )  0 2 (1.3) Trong tọa độ cầu, toán tử  có dạng 1  , r2 1     r  2  r 2  r r  r    r   , 1     1 2   sin   2 sin      sin   2    r  (1.4) 1 1     1 2 sin     r 2 sin      sin 2   2 Thay vào ta được: 1  2  1 2m (r )  2  ,  2 e  E  U (r )   0 2 r r r r  Do  ,   (1.5) L̂2 ta viết lại như sau: 2 2m 1  2  Lˆ2 ( r )    2 e  E  U (r )   0 2 2 2 r r r r  (1.6) Trước hết chúng ta chứng minh rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài định luật bảo toàn năng lượng, còn hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo toàn mômen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn của hình chiếu mômen theo trục z định hướng tùy ý trong không gian. Muốn vậy ta xét các điều kiện giao hoán của các toán tử L̂2 và Lˆz với Ĥ . Trong trường hợp này Ĥ có dạng: 2 1  2  Lˆ2 Hˆ   ( r )   U (r ) 2 r 2 r r 2me r 2 Ta thấy SVTT: Mai Thị Đắc Khuê ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  0 ˆ ˆ2  Lˆ2 Hˆ  0 ; HL HL Z Z (1.7) (1.8) Trang 10 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Vì các toán tử và chỉ tác động lên các biến góc  ,  nên giao hoán với các toán tử lấy vi phân theo r. Như vậy cũng giống như trong cơ học cổ điển, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm có ba đại lượng bảo toàn: năng lượng, bình phương mômen L̂2 và hình chiếu mômen LˆZ . Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này. Một cách tương ứng ta, ta viết nghiệm của phương trình dưới dạng (1.9)  nlm ( r , , )  Rn ( r ).Yl ,m ( ,  ) Năng lượng của hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các trị riêng của các toán tử và được đặc trưng bằng các số lượng tử quĩ đạo l và số lượng tử từ m. Thay (1.2) và (1.6) vào phương trình (1.9) và chú ý rằng ˆ   2l (l  1)Y ta đi tới phương trình cho thành phần xuyên tâm R (r ) của LY lm lm nl hàm sóng  nlm (r , , ) : 1 d  2 dR  2me  Ze 2  2 l  l  1  r  E     R(r )  0   r 2 dr  dr  2  r 2me r 2  (1.10) 1.1.2 Năng lượng của nguyên tử hydro Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của nguyên tử hydro En   E   me4 Z 2 2 2 n 2 (CGS) (1.11) Trong hệ không thứ nguyên m  e    1 thì: En   E   Z2 2n2 (1.12) Công thức (1.11) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử hydro. Theo (1.11) thì năng lượng này gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên. Tính gián đoạn này là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở vô cực. Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất E1  13, 6eV . Khi n càng tăng thì các mức En liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n   thì En  0 . SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 11 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Một số mức năng lượng kích thích: E2  3, 4eV ; E3  1,5eV ;...  Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên kết, bắt đầu ứng với năng lượng  m Z 2e 4 và kết thúc ứng với năng lượng 0. 2 2  Ứng với một giá trị đã cho của n (số lượng tử chính) thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2,... , n- 1. Như vậy có tất cả n giá trị của l ; l gọi là lượng tử số quỹ đạo và nó xác định độ lớn moment xung lượng L  l  l  1  (1.13)  Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng  nlm  r , ,    Rnl  r  Ylm  ,   gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ. Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị m  l , l  1,..., 1, 0,1,..., l  1, l . Tất cả có  2l  1 giá trị của m. Lượng tử số m xác định độ lớn hình chiếu moment xung lượng trên trục z Lz  m Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau  nlm , ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng giá trị năng lượng En là n 1   2l  1  n 2 (1.14) l 0 Nếu không tính đến spin, mức năng lượng cơ bản E1 không suy biến, mức kích thích thứ nhất E2 suy biến bậc 4, mức kích thích thứ hai E3 suy biến bậc 9... Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 2 n 2 . 1.1.3 Hàm sóng của nguyên tử hydro Hàm sóng chuẩn hóa của nguyên tử hydro có dạng:  nl m  r, ,   Rnl  r  Ylm  ,  Với 2Zr 2  và ao  2 nao me SVTT: Mai Thị Đắc Khuê (1.15) Trang 12 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa a0: là bán kính Bohr thứ nhất Bảng 1.1 Hàm sóng toàn phần  nl m  r , ,   của các hệ giống hydro ứng với các giá trị n=1, 2, 3,… n l m 1 0 0 2 0 0 2 1 0  nl m  r , ,   1 ( Z / a 0 ) 3 / 2 exp(  Zr / 2 a 0 )  1 ( Z / a 0 ) 3 / 2 (1  Z r / 2 a 0 ) exp(  Z r / 2 a 0 ) 2 2 1 4 2 2 3 1 0 1  1 8  ( Z / a 0 ) 3 / 2 ( Z r / a 0 ) exp(  Z r / 2 a 0 ) cos  ( Z / a 0 ) 3 / 2 ( Zr / a 0 ) exp(  Zr / 2 a0 ) sin  exp(  i ) 0 1 ( Z / a0 ) 3/ 2 (1  2 Zr / 3a0  2 Z 2 r 2 / 27 a02 ) exp( Zr / 3a0 ) 3 3 3 1 0 2 2 ( Z / a0 )3/ 2 (1  Zr / 6a0 )( Zr  a0 ) exp(  Zr / 3a0 ) cos  27  3 1 1  3 2 0 3 2 1 1 81 6  3 2 2 (Z / a0 )3/ 2 (1  Zr / 6a0 )(Zr / a0 )exp(Zr /3a0 )sin  ei 27  1 81  1 2 162  SVTT: Mai Thị Đắc Khuê ( Z / a 0 )3 / 2 ( Z 2 r 2 / a 02 ) exp(  Zr / 3a 0 )(3 cos 2   1) ( Z / a0 )3/ 2 ( Z 2 r 2 / a02 ) exp(  Zr / 3a0 ) sin  cos  e  i ( Z / a 0 ) 3 / 2 ( Z 2 r 2 / a 02 ) exp(  Zr / 3a 0 ) sin 2  e  2 i Trang 13 Khóa luận tốt nghiệp 1.2 GVHD: Nguyễn Văn Hoa Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro[12] Xét bài toán nguyên tử hydro, phương trình Schrodinger viết cho nguyên tử đồng dạng hydro trong hệ SI có dạng:  2  Ze2   Δψ(r )   (r )  E (r ) 2m 4 0 r (1.16) Trong đó m, e – lần lượt là khối lượng và điện tích của điện tử; Z là số điện tích. Ta sẽ viết phương trình trên theo hệ đơn vị nguyên tử, đặt x  a0 x , y  a0 y , z  a0 z với a0  4 0  2 / me 2 là bán kính Bohr. Khi đó phương trình (1.17) có dạng không thứ nguyên: Z    1   Δ   ψ(r )   ( r ) r  2 (1.17) Với tọa độ và năng lượng lần lượt có đơn vị là a0 và ma02 /  2 . Ta có thể viết dưới dạng tường minh như sau: Hˆ ( x, y, z )    ( x, y, z ) Với: 1  2 2 2  Z Hˆ    2  2  2   2  x y z  x2  y2  z 2 (1.18) (1.19) Ta định nghĩa các toán tử sinh huỷ dưới dạng:   1   a      , 2        1   a       2     (1.20) với   x, y, z , trong đó  là các tham số thực dương, ta sẽ xác định nó sau. Dễ dàng thấy rằng  a  , a    1   (1.21) (Phụ lục1trang 51) Các giao hoán này chính là công cụ chính cho các tính toán đại số. Ta viết lại các thành phần trong hamilton Ĥ trong biểu thức (1.19) qua biểu diễn các toán tử sinh huỷ này. SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 14 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 1.2.1 Toán tử động năng 1  2 2 2  1 T ˆ H   2  2  2 2  x y z  2 2   2 (1.22) Từ (1.20) ta có: 2  a   a    Suy ra 2  2     a   a  2          a  a 2      a  a   2  a  a   1  2a a  (1.23)     2 2      Ta thay (1.23) vào (1.22) ta được 2 2  1 Hˆ T      a   a   1  2a  a    4  (1.24)    a  , A (1.25)  2 Đặt     a  , A      a  a  N 2  Thay (1.25) vào (1.24), ta được: 1 1 Hˆ T    1  2 Nˆ       Aˆ  Aˆ  4  4  (1.26) với   x, y, z 1.2.2 Toán tử thế năng Với số hạng liên quan đến tương tác Coulomb thì các toán tử sinh huỷ sẽ nằm ở mẫu số và trong dấu căn cho nên cần phải đưa về dạng chuẩn để có thể sử dụng trong tính toán. Dùng phép biến đổi laplace ta có thể viết thành phần thế năng dưới dạng: Hˆ U   Z x2  y2  z 2 Z     0 dt 1 et ( x t 2 2 2  y z ) (1.27) (Phụ lục 2 trang 51) Từ đó ta có thành phần thế năng được viết dưới dạng: Z Hˆ nU,k    SVTT: Mai Thị Đắc Khuê   0 dt 1 Sˆ    Sˆ   t 0   '   (1.28) Trang 15 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa với: 0 0 Sˆx  : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử Sˆx  khi tác dụng lên vector trạng thái sẽ thu được trạng thái không đổi.  m 2i m 1    1 m ˆ m  1 2i ˆ i ˆi   1 2i m ˆ i ˆ m ˆ i  Sx  x Nx   2x Ax Ax   2 x x Ax Nx Ax  1  1 2x  m1 m! i1  i! i,m1  i! m!   il l i ˆ0 (1.29) Sˆx' : là toán tử chứa những số hạng trung hòa, toán tử Sˆ x' khi tác dụng lên vector trạng thái sẽ làm thay đổi trạng thái đang xét. Sˆx'  ml l i  1 l ˆl   1 i ˆi 1    1  l m ˆ m ˆl xx Nx Ax  x Ax   x Ax  1 2x ml, 1 m!l! l1 l! i1 i! (1.30)  1 il ˆi ˆl 1 i m ˆi ˆ m 1    il m ˆ i ˆ m ˆ l   x Ax Ax   xx Ax Nx   x x Ax Nx Ax  i,l1 i!l! i,m1 i!m! i,l,m1 i!l!m!  li li  il  im ilm  (Phụ lục 3 trang 53) 1.2.3 Toán tử hamilton Thay (1.26), (1.28) vào biểu thức Hˆ  Hˆ T  Hˆ U , ta được: 1 1 Z  1 0 Hˆ   12Nˆ   Aˆ  Aˆ   dt Sˆ  Sˆ' 0 4 4  t  1 1 Z  1   12Nˆ   Aˆ Aˆ   dt Sˆx0 Sˆy 0 Sˆz0 Sˆx 0 Sˆy0 Sˆz' Sˆx0 Sˆy' Sˆz0 4 4  0 t    Sˆx  Sˆy' Sˆz' Sˆx' Sˆy  Sˆz  Sˆx' Sˆy  Sˆz' Sˆx' Sˆy' Sˆz  Sˆx' Sˆy' Sˆz' 0 0 0 0 0 (1.31)  Toán tử hamilton trong bài toán nguyên tử hydro được chia thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ 0  Vˆ (1.32)  Thành phần toán tử chứa các toán tử trung hòa, xem như loại toán tử  0 trong bài toán không nhiễu loạn, với: hamilton H 1 Z Hˆ 0    (2 Nˆ   1)  4   x, y , z  SVTT: Mai Thị Đắc Khuê   0 1 ˆ (0) ˆ (0) ˆ (0) ( S x S y S z ) dt t (1.33) Trang 16 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa  Thành phần toán tử chứa các toán tử không trung hòa, xem như loại toán tử nhiễu loạn V , với: 1  2  2 Z SˆxSˆySˆz SˆxSˆySˆz SˆxSˆySˆz Sˆx SˆySˆz SˆxSˆySˆz SˆxSˆySˆz SˆxSˆySˆz Vˆ    a   a    dt 1 4   0 2 t  0 ' '    ' 0 ' ' ' 0 0 0 ' 0 ' 0 ' 0 0 ' ' ' (1.34) Dùng các toán tử aˆ , aˆ  , Aˆ , Aˆ  , Nˆ và qua quá trình tính toán ta tính được H nk  n Hˆ k các yếu tố ma trận của Ĥ :  2i (-1) m m m  1 2 i 2i-1 Sˆn(0)  {1+  k   [ ( k   ) (k  2i   )]1/2      2     , k m! (i!) m=1 i=1  =0  =1 2i   n ,k (-1) 2i 2 i 2i-1 (-1) m 1/2   [ ( k   ) ( k  2 i   )] ( k  2i) m }       2 1  2 i=1 (i!) m=1 m!  =0  =1  k  Suy ra  2k | S 0 |2k   m  l  (2k )!  2i 2  2 i )!( i !)   (2k i 0 (1  2 ) 2 k (1.35) k 1 , k   1/ 2 (1  2 ) 2 2l-1 (-1) m (-1) l Sˆ'  {    [(k  )]1/2 (k  2l )m  n ,k 2l m! l! m=0 l=1  =0 (-1)i i  (-1)m m m 2i    k [(k  )]1/2 n ,k 2i   i! m! i=1 m=0  =1   2i (-1)i i  (-1)m m  (-1)l l 2l-1 1      [(k  )]1/2 (k -2l)m[(k  2l  )]1/2 n ,k 2 l2i }   l! 1+2 i=1 i! m=0 m! l=1  =0  =1   (Phụ lục 4 trang 58) (1.36) Suy ra min( k ,n )  2n Sˆ ' 2k  i 0 1/ 2 k  n 2 i  (2k )! (1)   (k  i)!(n  i)!  (2i)!  SVTT: Mai Thị Đắc Khuê (1  2 ) k n k  , n  2 2 k  n 1/ 2  (2n )! k  n  2i  (2i)!  .   . 1 (1  2 )1/ 2 Trang 17 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa 1.3 Sử dụng phương pháp toán tử tính mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi chưa có bổ chính  0 000  000 1 E0(0)  000 H   2 N   1 000 4   x, y ,z  000 Sˆx0 Sˆ y0 Sˆz0 000 Z  dt 1  0 2 1/ 2 t  (1  2 )    x, y,z Do tính chất đối xứng x y z nên biểu thức năng lượng bậc không trở thành: 3 Z E0(0)    4  Ta đã đặt     0 1   t  t 1       3 Z t  dt  2 d  E0(0)    4 2  3    1 2 dt  2  0 1 1 2 3 2 d  (1  2 )    2 3 2  E0(0)    4  Suy ra (1.37) Vì mức là mức năng lượng thấp nhất nên ta tiến hành cực tiểu hóa năng lượng: dE0(0) 3 Z 16 0  0   0.56588424210451677 d 4 9   Thay   16 vào E0(0) ta được: 9 E0(0)   SVTT: Mai Thị Đắc Khuê 4  -0.42441318157838759 . 3 (1.38) Trang 18 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Nguyễn Văn Hoa Chương 2 SỬ DỤNG SƠ ĐỒ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN TÍNH CÁC BỔ CHÍNH NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO 2.1 Sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn[6], [10] Phương trình Schrodinger là phương trình vi phân tuyến tính với các đạo hàm riêng phần và các hệ số biến đổi. Nghiệm chính xác của nó có thể tìm được trong một số tương đối nhỏ các trường hợp đơn giản nhất như: nguyên tử hydro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động trong hố thế vuông góc,… Sự phức tạp của việc giải phụ thuộc vào dạng của thế năng và số chiều của không gian trong bài toán cần giải. Phần lớn các bài toán của cơ học lượng tử dẫn tới những phương trình rất phức tạp về mặt toán học, và không thể giải được một cách chính xác. Do đó thường phải ứng dụng những phương pháp gần đúng để giải bài toán, nghĩa là phải tìm một cách gần đúng các trị riêng và hàm riêng của nó. Một trong những phương pháp gần đúng rất quan trọng để giải bài toán cơ học lượng tử là lý thuyết nhiễu loạn. Nội dung lý thuyết nhiễu loạn như sau: Xét phương trình Schrodinger: Hˆ  ( x )  E  ( x) (2.1) ta tách toán tử hamilton của bài toán thành hai thành phần: Hˆ  Hˆ 0  Vˆ (2.2) Trong đó: Thành phần Ĥ 0 là toán tử hamilton có nghiệm riêng chính xác Hˆ 0 n   n n (2.3) Thành phần Vˆ còn lại được gọi là thế nhiễu loạn, điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là thành phần nhiễu loạn Vˆ phải “nhỏ” so với Ĥ 0 , SVTT: Mai Thị Đắc Khuê Trang 19