Tài liệu Ứng dụng vectơ trong giải các bài toán hình học không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN ---------- Đề tài: Ứng dụng vectơ trong giải các bài toán hình học không gian Giảng viên hƣớng dẫn : Th.S Ngô Thị Bích Thủy Sinh viên thực hiện : Trần Văn Tú Mã số sinh viên : 3110118046 Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM – ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG KHOA TOÁN ---------- Đề tài: Ứng dụng vectơ trong giải các bài toán hình học không gian Giảng viên hƣớng dẫn : Th.S Ngô Thị Bích Thủy Sinh viên thực hiện : Trần Văn Tú Mã số sinh viên : 3110118046 Lớp : 18ST Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong khoa Toán của Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp. Đặc biệt, cho phép tôi được gởi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin gởi lời cảm ơn những ý kiến quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, bạn bè, nhất là các bạn lớp 18ST trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này. Trong suốt thời gian nghiên cứu, bản thân tôi đã cố gắng khắc phục mọi khó khăn để hoàn thành khóa luận. Tuy nhiên vì thời gian có hạn, kiến thức còn hạn chế nên không tránh khỏi sai sót. Vì vậy kính mong các thầy cô giáo và các bạn góp ý, bổ sung, giúp đỡ để bản thân tôi hoàn thiện hơn nữa đề tài nghiên cứu của mình. XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022 Sinh viên Trần Văn Tú Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN........................................................................................................ MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 3 2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 3 3. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 3 4. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 3 5. Bố cục khóa luận ........................................................................................... 4 CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................ 5 1.1.Vectơ....................................................................................................... ….5 1.2. Các phép toán vectơ .................................................................................... 7 1.3. Tích vô hướng của hai vectơ ..................................................................... 10 1.4. Một số hệ thức vectơ trọng tâm ................................................................ 13 1.5. Ba vectơ đồng phẳng................................................................................. 15 CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG VÉCTƠ TRONG GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ........................................................................................ 17 2.1. Chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức về vectơ ............................ 17 2.2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng ............................................................. 22 2.3. Chứng minh hai điểm trùng nhau ............................................................ 27 2.4. Chứng minh các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng ......................... 29 2.5. Quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng ............................... 36 2.6. Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng .............................. 43 1 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp 2.7. Khoảng cách ............................................................................................ 44 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 51 2 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán THPT, hình học không gian là một mảng kiến thức vô cùng quan trọng chứa nhiều yếu tố trừu tượng. Học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc phân tích bài toán để tìm lời giải. Đặc biệt, việc ứng dụng vectơ để giải các bài toán hình học không gian là một vấn đề mà học sinh ít được rèn luyện trong quá trình học trên lớp. Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị kiến thức vững chắc cho bản thân nói riêng và sinh viên sư phạm toán nói chung về kĩ năng vận dụng vectơ vào giải các bài toán hình học không gian, do đó tôi đã chọn đề tài nghiên cứu của mình là: “Ứng dụng vectơ trong giải các bài toán hình học không gian” 2. Mục đích nghiên cứu Đưa ra các phương pháp vận dụng vectơ để giải quyết một số dạng toán hình học không gian trong chương trình THPT. 3. Phạm vi nghiên cứu Chương trình hiện hành về hình học không gian toán lớp 11 và lớp 12 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến phương pháp ứng dụng vectơ vào việc giải quyết các bài toán hình học không gian. Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với một số giáo viên THPT dạy chương vectơ trong không gian – Hình học lớp 11 (SGK hiện hành) để tham khảo các kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh vận dụng vectơ vào việc giải quyết các bài toán hình học không gian. 3 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp 5. Bố cục khóa luận: Khóa luận gồm có 2 chương sau: Chương 1. Cơ sở lí luận 1.1. Vectơ 1.2. Các phép toán vectơ 1.3. Tích vô hướng của hai vectơ 1.4. Một số hệ thức vectơ trọng tâm 1.5. Ba vectơ đồng phẳng Chương 2: Ứng dụng vectơ trong giải các bài toán hình học không gian. 2.1. Chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức về vectơ 2.2. Chứng minh ba điểm thẳng hàng 2.3. Chứng minh hai điểm trùng nhau 2.4. Chứng minh các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng 2.5. Quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng 2.6. Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 2.7. Khoảng cách 4 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1. Vectơ 1.1.1. Định nghĩa vectơ Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng, một đầu được xác định làm gốc, một đầu được xác định làm điểm ngọn. uuur Ví dụ: AB điểm ngọn (điểm đầu) là A, điểm gốc (điểm cuối) là B. Chú ý: uuur uuur + Cho 2 điểm A, B phân biệt thì ta có 2 vectơ AB và BA khác nhau. uuur uuur + Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau như: AA , BB ,... được gọi là vectơ – không. 1.1.2. Hai vectơ cùng phương Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. uuur uuur Hai vectơ AB và CD được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì chỉ có cùng hướng hoặc ngược hướng. uuur uuur Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là cùng hướng, nếu chiều từ A đến B trùng với chiều từ C đến D. 5 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp uuur uuur Hai vectơ cùng phương AB và CD được gọi là ngược hướng, nếu chiều từ A đến B ngược với chiều từ C đến D. Chú ý: Khi đó ta cũng có các kết quả sau: + Vectơ - không được xem là cùng hướng với mọi vectơ. + Hai vectơ cùng hướng với một vectơ khác vectơ – không thì hai vectơ đó cùng hướng với nhau. + Ta chỉ có thể nói hai vectơ nào đó cùng hướng hay ngược hướng khi đã có hai vectơ đó cùng phương. 1.1.3. Độ dài của vectơ Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. uuur uuur Độ dài của vectơ AB là độ dài của đoạn thẳng AB và kí hiệu là: AB . uuur Như vậy: AB  AB  BA Theo đó, độ dài vectơ – không có độ dài bằng 0. Vectơ có độ dài bằng 1 được gọi là vectơ đơn vị. 1.1.4. Hai vectơ bằng nhau Định nghĩa uuur uuur Hai vectơ AB và CD được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có uuur uuur cùng độ dài. Kí hiệu: AB  CD Chú ý: + Quan hệ bằng nhau giữa hai vectơ là một quan hệ tương đương trên tập các vectơ. Tập hợp các vectơ bằng nhau tạo thành một lớp tương đương và được kí hiệu bằng một chữ cái thường và có mũi tên trên đầu. r + Hiển nhiên, mọi vectơ – không đều bằng nhau. Kí hiệu: 0 6 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp r + Khi cho trước vectơ a và điểm O thì có một điểm A duy nhất sao cho: uuur r OA  a 1.1.5. Góc giữa hai vectơ Định nghĩa r r r uuur r Cho hai vectơ a , b đều khác 0 . Từ một điểm O nào đó, ta vẽ OA  a và uuur r $ được gọi là số đo của của góc giữa hai OB  b . Khi đó số đo của góc AOB r r r r vectơ a , b . Kí hiệu (a,b) Nhận xét: $ có số đo từ 0o đến 180o + Hiển nhiên góc AOB r r r r + Nếu (a,b)  0o thì a và b cùng hướng. r r r r + Nếu (a,b)  180o thì a và b ngược hướng. r r r r o (a,b)  90 + Nếu thì ta nói rằng hai vectơ a và b vuông góc với nhau. Kí r r r r hiệu là a  b hoặc b  a . r r r Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai vectơ a và b là 0 thì ta có thể xem góc r r r r r (a,b) có giá trị tùy ý trong đoạn 0  (a,b)  180o 1.2. Các phép toán vectơ 1.2.1. Phép cộng vectơ 1.2.1.1. Định nghĩa r r Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A tùy ý, sau đó xác định các điểm B uuur r uuur r và C sao cho: AB  a và BC  b uuur r r Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b . 7 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp r r r r uuur r r Ta kí hiệu tổng của vectơ a và b là: a + b hay AC  a  b Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. Chú ý r r r r r r Nếu a  b  0 thì vectơ b được gọi là vectơ đối của vectơ a và kí hiệu là a r r r Vectơ a luôn ngược hướng với vectơ a và có độ lớn bằng vectơ a , tức là: r r a  a . Mỗi vectơ có một vectơ đối là duy nhất. r r r 1.2.1.2. Tính chất: Với mọi vectơ a , b và c tùy ý ta có: + Tính chất giao hoán: r r r r a+b  b  a + Tính chất kết hợp: r r r r r r (a  b)  c  a  (b  c) + Tính chất của vectơ – không: r r r r r a 00a a 1.2.1.3. Các quy tắc cần nhớ Từ định nghĩa tổng của hai vectơ ta có các quy tắc sau: + Quy tắc ba điểm Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB  BC  AC hoặc BC  AB  AC + Quy tắc hình bình hành 8 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp uuur uuur uuur Nếu ABCD là hình bình hành thì ta luôn có: AB  AD  AC uuur uuur uuuur Nếu E là trung điểm của BD thì: AB  AD  2AE + Quy tắc trung tuyến uuuur 1 uuur uuur Nếu AM là trung tuyến của tam giác ABC thì: AM  (AB  AC) 2 + Quy tắc hình hộp Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì ta uuur uuur uuuur uuuur luôn có: AB  AD  AA'  AC' 1.2.2. Hiệu của hai vectơ 1.2.2.1. Định nghĩa r r r r r Hiệu của vectơ a và b kí hiệu là a  b , là tổng của vectơ a và vectơ đối r r r r r của vectơ b . Tức là: a  b  a  (b) r Phép toán tìm hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ hai vectơ (vectơ a trừ r đi vectơ b ) 1.2.2.2. Quy tắc ba điểm đối với phép trừ uuur uuur uuur Với ba điểm O, A, B tùy ý ta có: AB  OB  OA 1.2.3. Phép nhân vectơ với một số 1.2.3.1. Định nghĩa r r Cho số thực k  0 và vectơ a  0 . Khi đó tích của vectơ a với số k là một ur vectơ, kí hiệu là k.a , được xác định như sau: ur r + Nếu k  0 thì vectơ k.a cùng hướng với a r ur r + Nếu k  0 thì vectơ k.a ngược hướng với a và có độ dài bằng k a 9 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp Phép lấy tích của một vectơ với một số còn được gọi là phép nhân vectơ với số thực. 1.2.3.2. Các tính chất của phép nhân vectơ với một số r r Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số thực h và k, ta có: r r r r r r r r + k(a  b)  ka  kb ; k(a  b)  ka  kb r r r r r + (h  k)a  ha  ka ; h(ka)  (hk)a r r r r r r r r + 1. a  a ; (-1). a  a ; k.a  0 khi và chỉ khi k  0 hoặc a  0 1.3. Tích vô hƣớng của hai vectơ 1.3.1. Định nghĩa r r rr Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là: a.b , được xác rr r r r r định bởi công thức: a.b  a . b .cos(a,b) Chú ý + Từ định nghĩa ta suy ra công thức tính góc giữa hai vectơ: rr r r a.b cos(a,b)  r r a.b + Biểu thức tích vô hướng của hai vectơ còn được viết dưới dạng sau: rr 1 r r2 r2 r2  Dạng độ dài: a.b  .( a  b  a  b ) 2 rr 1 r r2 r r2 a.b  .( a  b  a  b ) 4  Dạng tọa độ: r Trong hệ tọa độ Đề - các vuông góc Oxy, cho hai vectơ a(x1; y1 ) và r rr b(x 2 ; y 2 ) . Khi đó: a.b  x1.x 2  y1.y 2 r Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxyz, cho hai vectơ a(x1; y1;z1 ) và r rr b(x 2 ; y 2 ;z 2 ) . Khi đó: a.b  x1.x 2  y1.y 2  z1.z 2 10 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp r r r ur ur r  Dạng hình chiếu: a.b  a.b' ; trong đó b ' là hình chiếu của b trên r đường thẳng chứa vectơ a 1.3.2. Các tính chất cơ bản của tích vô hướng rr r  a.0  0 rr rr  a.b  b.a r r rr  a.(k b)  k.(a.b) r r r rr rr  a.(b  c)  a.b  a.c r2 r2 r r r r  a  b  (a  b).(a  b) r r r2 r2 rr  (a  b)2  a  b  2.a.b r r r r 2 r 2 r2 rr rr rr  (a  b  c)2  a  b  c  2.a.b  2.b.c  2.c.a r r rr r2 r2  (a.b)2  a .b , Dấu "  " xảy ra  a,b cùng phương 1.3.3. Một số ứng dụng của tích vô hướng r r rr r r  Nếu a  0 và b  0 ta có: a  b  a.b  0  Công thức tính độ dài của một vectơ: r r Cho a  (a1;a 2 ) thì a  a12  a 22 r r r  Công thức tính góc giữa hai vectơ a  (a1;a 2 ), b  (b1;b 2 ) đều khác 0 uuur uuur 2  Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng: AB  AB  AB 1.3.4. Góc giữa hai vectơ trong không gian 1.3.4.1. Định nghĩa: r r Trong không gian, u và v là hai vectơ khác vectơ – không. Lấy một 11 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp uuur r uuur r điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho AB  u , AC  v . Khi đó ta gọi $  180o ) là góc giữa hai vectơ ur và vr trong không gian, $ ( (0o  BAC góc BAC r r kí hiệu là ( u , v ). 1.3.4.2. Góc giữa hai đường thẳng r r  Định nghĩa 1: Vectơ a khác vectơ 0 được gọi là vectơ chỉ phương r của đường thẳng d nếu giá của vectơ a song song hoặc trùng với đường thẳng d. Nhận xét r r  Nếu a là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ k.a với k  0 cũng là là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.  Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu r biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương a của nó.  Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương.  Định nghĩa 2: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a ' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b. 12 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp Nhận xét  Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. r r  Nếu u và v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b, đồng thời r r (u, v)   thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng  nếu 0o    90o và bằng 180o   nếu 90o    180o  Nếu a và b là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng 0o 1.4. Một số hệ thức vectơ trọng tâm 1.4.1. Trọng tâm, tâm tỉ cự Cho n điểm phân biệt A1,A2 ,...,An và n số thực 1, 2 ,..., n (1  2  ...  n  0) thì tồn tại duy nhất điểm G thỏa mãn: ur uuuur uuuur r 1 GA1   2 GA 2  ...   n GA n  0 () và mọi điểm O ta có: uuuur uuuur uuuur uuur  OA   OA  ...   OA 2 2 n n OG  1 1 ( ) 1   2  ...   n Điểm G thỏa mãn (  ) được gọi là tâm tỉ cự của hệ n điểm {A1,A2 ,...,An } ứng với hệ {1, 2 ,..., n } . uuuur uuuur uuuur r GA  GA  ...  GA Khi 1  2  ...  n   ta có 1 2 n  0. Khi đó điểm G gọi là trọng tâm của hệ n điểm {A1,A2 ,...,An } Đặc biệt: 13 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp  I là trung điểm của đoạn AB uur uur r  IA  IB  0 uuuur uuur uuur  MA  MB  2MI, M  G là trọng tâm của tam giác ABC uuur uuur uuur r  GA  GB  GC  0 uuuur uuur uuur uuuur  MA  MB  MC  3MG, M uuur 2 uuur  AG  AE (với M là một điểm bất kì, E là trung điểm BC) 3  G là trọng tâm của tứ diện ABCD uuur uuur uuur uuur r  GA  GB  GC  GD  0 uuuur uuur uuur uuuur uuuur  MA  MB  MC  MD  4MG, M uuur 3 uuur  AG  AE (với điểm M bất kì, E là trọng tâm của BCD ) 4 uuur uuur r  GK  GH  0 (với G, H là trung điểm của cặp cạnh đối diện) 1.4.2. Một số hệ thức vectơ khác 14 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp r r r  a và b  0 cùng phương: r r  k  R : a  k.b r r r  a và b  0 cùng hướng: r r  k  R : a  k.b r r r  a và b  0 ngược hướng: r r  k  R : a  k.b  Ba điểm A, B, C thẳng hàng: uuur uuur  k  R : AB  k.AC 1.5. Ba vectơ đồng phẳng 1.5.1. Định nghĩa r r r Trong không gian cho ba véc-tơ a , b và c tùy ý. Nếu từ một điểm O bất kì uuur r uuur r uuur r ta vẽ: OA  a ; OB  b ; OC  c thì có thể xảy ra hai trường hợp:  Nếu bốn điểm O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói ba vécr r r tơ a , b và c đồng phẳng.  Nếu bốn điểm O, A, B, C không cùng nằm trên một mặt phẳng, ta nói r r r ba vectơ a , b và c không đồng phẳng. Hay ta định nghĩa như sau: Trong không gian, ba véc-tơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó. 1.5.2. Hệ quả  Hệ quả 1. Nếu có một mặt phẳng chứa vectơ này đồng thời song song với giá của hai vectơ kia thì ba véctơ đó đồng phẳng. r r r r  Hệ quả 2. Nếu một trong ba véc-tơ a , b và c là véc-tơ 0 thì ba véc-tơ đó đồng phẳng. r r r  Hệ quả 3. Nếu hai trong ba véc-tơ a , b và c cùng phương với nhau thì ba véctơ đó đồng phẳng. 1.5.3. Định lí 15 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp 1.5.3.1. Định lí 1 r r r Trong không gian cho hai véc-tơ a và b không cùng phương và véc-tơ c r r r Khi đó a , b và c được gọi là đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số thực r r r (m;n) duy nhất sao cho c  m.a  n.b . Chú ý: Bốn điểm phân biệt A, B, C , D đồng phẳng: uuur uuur uuur uuur uuur uuur  AB, AC, AD đồng phẳng  AB  m.AC  n.AD 1.5.3.2. Định lí 2 r r r r Nếu ba véc-tơ a , b và c không đồng phẳng. Với mọi véc-tơ x , ta đều r r r r tìm được duy nhất một bộ số (m;n;p) sao cho x  m.a  n.b  p.c r r r Nhận xét: Nếu ba vectơ a , b và c không đồng phẳng thỏa mãn: k  k'  r r r r r r  k.a  l.b  m.c  k '.a  l'.b  m'.c thì:  l  l'   m  m '  16 Trường ĐHSP Đà Nẵng Khóa luận tốt nghiệp CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG VÉCTƠ TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1. Chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức về vectơ 2.1.1. Phƣơng pháp chung: Để chứng minh các đẳng thức véctơ ta thường lựa chọn một trong các hướng biến đổi sau đây:  Hướng giải quyết 1: Biến đổi VT thành VP hoặc ngược lại. Khi đó: + Nếu xuất phát từ vế phức tạp hơn ta cần thực hiện đơn giản biểu thức. + Nếu xuất phát từ vế đơn giản ta cần thực hiện việc phân tích véctơ.  Hướng giải quyết 2: Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về một đẳng thức đã biết là luôn đúng.  Hướng giải quyết 3: Biến đổi đẳng thức đã biết là luôn đúng thành đẳng thức cần chứng minh.  Hướng giải quyết 4: Tạo dựng hình phụ + Trong quá trình biến đổi ta thường sử dụng các quy tắc ba điểm (đối với phép cộng hoặc phép trừ), quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, các phép toán véctơ,... + Khi gặp dạng toán chứa bình phương độ dài các đoạn thẳng ta chuyển uuur 2 hệ thức cần chứng minh về dạng bình phương vô hướng như: AB2  AB + Khi gặp dạng toán chứa chứa bình phương tích độ dài đoạn thẳng ta chuyển về tích độ dài véctơ hoặc sử dụng định nghĩa tích vô hướng để giải. 2.1.2. Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: uuuur uuur uuur uuuur uuuur MA  MB  MC  MD  4.MG , với mọi điểm M.  Lời giải: 17