Tài liệu ứng dụng tính đối xứng trong hạ cấp phương trình vi phân thường cấp cao

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ BÌNH ỨNG DỤNG TÍNH ĐỐI XỨNG TRONG HẠ CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ BÌNH ỨNG DỤNG TÍNH ĐỐI XỨNG TRONG HẠ CẤP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Hoàng Ngự Huấn HÀ NỘI, 2017 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Phương pháp lý thuyết nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Nhóm các phép biến đổi điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Ví dụ giảm cấp của phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Sơ lược về thuật toán giảm nhiều cấp của lý thuyết nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. Tìm toán tử của phương trình vi phân y(IV ) = y−5/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Phương pháp tích phân đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1. Lý thuyết tích phân đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1. Phương trình vi phân thường cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2. Phương trình vi phân thường cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.3. Phương trình vi phân thường cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2. Phương pháp giảm cấp bằng tích phân đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.3. Tìm tích phân đầu của phương trình vi phân y(IV ) = y−5/3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Chương 3. Mối liên hệ giữa toán tử đối xứng và tích phân đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1. Biến đổi của tích phân đầu dưới tác động của toán tử đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.2. Phối hợp hai phương pháp để hạ toàn bộ 4 cấp, giải phương trình vi phân y4 = y−5/3 67 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS. Hoàng Ngự Huấn đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học K19 chuyên ngành Toán giải tích nói riêng, các thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung. Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 8 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Bình Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Hoàng Ngự Huấn. Trong quá trình nghiên cứu khóa luận của mình, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc và đưa vào mục tài liệu tham khảo. Hà Nội, tháng 8 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Bình Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong cuộc sống hàng ngày của chúng ta có một khái niệm mà khi nhắc tới cho ta một cảm giác tỷ lệ vô cùng hài hòa và cân đối. Đó là khái niệm về tính đối xứng. Trong toán học “đối xứng” được định nghĩa chính xác hơn, đó là tính bất biến của đối tượng qua các phép biến đổi. Hiểu dưới góc độ đó thì tính đối xứng là rất phổ biến trong tự nhiên và trong khoa học. Hơn nữa chúng có ứng dụng trong đời sống với nhiều lĩnh vực khác nhau như âm nhạc, kiến trúc hay nghệ thuật. . . Mặt khác, như chúng ta đã biết, các hiện tượng trong tự nhiên lại được mô tả bằng những phương trình vi phân thường. Do đó, các phương trình vi phân thường cũng mang tính đối xứng. Dựa trên đặc điểm đó mà người ta đã nghiên cứu những phương pháp nhằm tìm ra nghiệm của phương trình vi phân thường cấp cao, và trong khóa luận này chúng ta sẽ nghiên cứu và trình bày hai phương pháp dựa trên tích chất đối xứng để hạ cấp phương trình vi phân thường cấp cao, đó là phương pháp lý thuyết nhóm giải tích và phương pháp tích phân đầu. Lý thuyết nhóm giải tích dựa trên cơ sở nền tảng của lý thuyết nhóm Galois, sau đó được nhà toán học người Na Uy (1842 - 1899) có tên là Sophus Lie phát triển và cho ra đời lý thuyết về các nhóm biến đổi liên tục (bây giờ được gọi theo tên ông là nhóm Lie) làm nền tảng cho việc hạ thấp cấp của phương trình vi phân thường sau này. Đối với phương pháp tích phân đầu chúng ta có hai cách đó là phương pháp trực tiếp 1 và phương pháp toán tử Euler (là khái niệm quen thuộc trong phép tính biến phân). Phương pháp trực tiếp đã được nghiên cứu trước đó và trong khóa luận này chúng ta sẽ nghiên cứu việc tìm ra nó bằng toán tử Euler. Với mong muốn trình bày cụ thể lý thuyết nhóm Lie, lý thuyết tích phân đầu và công cụ tìm kiếm tích phân đầu bằng toán tử Euler để hạ cấp phương trình vi phân thường cấp cao, được sự hướng dẫn của TS. Hoàng Ngự Huấn tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng tính đối xứng trong việc hạ cấp phương trình vi phân thường cấp cao” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích. Các bài toán và ví dụ trong khóa luận được trích dẫn từ cuốn “Symmetry and Integration Methods for Differential Equations” của George W. Bluman Stephen C. Anco. Đây là tài liệu chính được sử dụng trong khóa luận này. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hai phương pháp hạ thấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao là: Lý thuyết nhóm giải tích và tích phân đầu. Từ đó áp dụng cụ thể vào giải lớp các phương trình vi phân thường cấp 4. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu phương trình vi phân thường cấp cao. • Tìm hiểu phương pháp lý thuyết nhóm giải tích, phương pháp tích phân đầu và định lý về sự kết hợp hai phương pháp này. 2 • Áp dụng giải phương trình vi phân thường cấp 4 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương trình vi phân thường cấp cao và tính chất đối xứng của nó. • Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết nhóm Lie cổ điển và lớp các phương trình vi phân thường cấp 4 5. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp của lý thuyết phương trình vi phân thường, lý thuyết nhóm giải tích cổ điển, lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và các công cụ của lý thuyết tích phân đầu. 6. Đóng góp của luận văn • Hệ thống hóa nội dung lý thuyết nhóm giải tích. • Xây dựng lý thuyết về phương pháp tích phân đầu dựa trên toán tử Euler để hạ thấp cấp phương trình vi phân thường cấp cao và ứng dụng vào giải lớp các phương trình vi phân thường cấp 4. • Đưa ra cách kết hợp hai phương pháp tìm nghiệm chính xác của phương trình đã cho. 3 Chương 1 Phương pháp lý thuyết nhóm giải tích Như chúng ta đã biết, cách giải phổ biến và hữu dụng nhất đối với phương trình vi phân thường cấp cao đó là hạ thấp cấp của chúng. Xét phương trình vi phân cấp cao không chứa x sau: F(y, y0 , y00 , ..., y(n) ) = 0 (1.0.1) Bây giờ ta tiến hành giảm bậc như sau: Đặt y0 = u, khi đó tất cả các đạo hàm bậc cao đều biểu diễn được qua u nhưng với bậc nhỏ hơn một đơn vị và tương đương với phương trình:   0 00 (n−1) P y, u, u , u , ..., u =0 (1.0.2) Rõ ràng ta thấy rằng phương trình (1.0.2) đã được giảm một bậc so với phương trình ban đầu (1.0.1). Vậy vấn đề đặt ra là nếu như đối với một phương trình vi phân cấp cao bất kì thì quy tắc nào giúp chúng ta đặt hàm để giảm cấp như vậy. Nhà toán học người Nauy có tên là Sophus Lie cũng đã đặt ra câu hỏi như vậy. Và trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp dựa trên lý thuyết nhóm giải tích do ông sáng lập ra. 4 1.1. Nhóm Định nghĩa 1.1.1. ([1]) Một nhóm G là một tập hợp các phần tử với qui tắc hợp thành φ giữa các phần tử thỏa mãn các tiên đề sau: (i) Tính chất đóng. Với bất kì các phần tử a và b của G: φ (a, b) ∈ G. (ii) Tính chất kết hợp. Với bất kì các phần tử a, b, c của G: φ (a, φ (b, c)) = φ (φ (a, b), c). (iii) Phần tử đồng nhất. Tồn tại duy nhất một phần tử đồng nhất e của G sao cho với bất kì phần tử a của G: φ (a, e) = φ (e, a) = a. (iv) Phần tử nghịch đảo. Với bất kì phần tử a của G tồn tại duy nhất một phần tử nghịch đảo a−1 trong G sao cho: φ (a, a−1 ) = φ (a−1 , a) = e. 1.2. Nhóm các phép biến đổi điểm Định nghĩa 1.2.1. ([5]) (Phép biến đổi Lie) Xét phép biến đổi một tham số Ta :     x̄ = ϕ(x, y, a),    ȳ = ψ(x, y, a), thỏa mãn tại a = 0 trở thành phép đồng nhất: ϕ(x, y, a) |a=0 = x và ȳ = ψ(x, y, a) |a=0 = y. 5 Trong đó, ϕ, ψ liên tục với biến x, y khả vi đến cấp vô hạn với tham số a. Ví dụ 1.1. Xét biểu diễn:     x̄ = x + a,    ȳ = y + a, (1.2.3) a ∈ R, (x, y) ∈ R2 , là phép biến đổi một tham số thỏa mãn tại a = 0 thì:     x̄ = x,    ȳ = y. Trang bị thêm phép toán hợp cho các hàm biến đổi x̄, ȳ thì có mối liên hệ:     x̄¯ = ϕ(x̄, ȳ, b) = ϕ(x, y, a + b), (1.2.4)    ȳ¯ = ψ(x̄, ȳ, b) = ψ(x, y, a + b). Dễ thấy, phép biến đổi Ta thỏa mãn các tính chất của nhóm với phần tử đơn vị T . Một nhóm G tập tất cả các phép biến đổi Ta trong một lân cận vô cùng nhỏ của a tại điểm 0 tạo thành một nhóm (nhóm tôpô) 1, Phần tử đơn vị là phép đồng nhất T0 = I ∈ G. 2, Phép hợp hai phép biến đổi Ta Tb = Ta+b ∈ G. 3, Ta −1 = T−a ∈ G. Ví dụ 1.2. Phép biến đổi một tham số (1.2.3) là một nhóm với: 1, Phần tử đơn vị là phép đồng nhất:     x̄ = x,    ȳ = y. 6 2, Tích của hai phép biến đổi chính là phép toán hợp. Rõ ràng (1.2.4) cũng là một phép biến đổi điểm. 3, Phần tử nghịch đảo là phép biến đổi ngược:     x = x̄ − a,    y = ȳ − a. Giả sử ϕ và ψ là các hàm khả vi vô hạn lần với biến a, triển khai chúng bằng cách chuyển sang hàm tuyến tính theo dãy Taylor tại a = 0 (đến cấp 1)  ∂ ϕ(x, y, a)  x̄ ≈ x + ξ (x, y)a, ξ (x, y, a) =  ,  ∂a a=0  ∂ ψ(x, y, a)  ȳ ≈ y + η(x, y)a, η(x, y, a) =  .  ∂a a=0 Như vậy, với mỗi phép biến đổi điểm (x̄, ȳ) ta có cặp véc tơ (ξ , η) tương ứng và ngược lại. Khi đó, toán tử vi phân vô cùng bé của nhóm các phép biến đổi điểm có dạng: X = ξ (x, y) ∂ ∂ + η(x, y) . ∂x ∂y Mỗi nhóm G các phép biến đổi Ta tương ứng toán tử X duy nhất và ngược lại nếu cho mỗi toán tử X ta cũng tìm được các phép biến đổi bằng cách giải hệ phương trình Lie (Bài toán Cauchy hệ phương trình vi phân cấp 1) với điều kiện ban đầu:   dϕ    = ξ (ϕ, ψ), ϕ(a = 0) = x, da   dψ   = η(ϕ, ψ), ψ(a = 0) = y. da Định nghĩa 1.2.2. Hàm F(x, y) được gọi là bất biến của phép biến đổi điểm x̄ = ϕ, ȳ = ψ nếu thỏa mãn điều kiện F(x̄, ȳ) = F(x, y) với mọi x, y. 7 Ví dụ 1.3. Dễ thấy hàm F(x, y) = x − y là bất biến của nhóm các phép biến đổi (1.2.3) vì F(x̄, ȳ) = x̄ − ȳ = (x + a) − (y + a) = x − y = F(x, y). Định lý 1.2.1. F(x, y) được gọi là bất biến với phép biến đổi x̄, ȳ khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng sau: XF = ξ (x, y) ∂F ∂F + η(x, y) ≡ 0. ∂x ∂y (1.2.5) Chứng minh. Ta có: F(x̄, ȳ) = F(ϕ(x, y, a), ψ(x, y, a)) ≈ F(x + ξ (x, y)a, y + η(x, y)a) " # ∂F ∂F ≈ F(x, y) + a ξ (x, y) + η(x, y) . (1.2.6) ∂x ∂y Giả sử F(x̄, ȳ) = F(x, y) với mọi x, y . Theo (1.2.6) ta có: # ∂F ∂F + η(x, y) ≈ F(x, y). F(x, y) + a ξ (x, y) ∂x ∂y " Do đó, " # ∂F ∂F a ξ (x, y) + η(x, y) = 0. ∂x ∂y Với mọi tham số a thì " # ∂F ∂F ξ (x, y) + η(x, y) = 0. ∂x ∂y Ngược lại, giả sử hàm F thỏa mãn XF ≡ 0 với mọi x, y, ta viết dưới dạng x̄, ȳ như sau: ξ (x̄, ȳ) ∂ F(x̄, ȳ) ∂ F(x̄, ȳ) + η(x̄, ȳ) = 0. ∂ x̄ ∂ ȳ 8 Từ phương trình Lie và đẳng thức trên ta thu được: dF(ϕ, ψ) ∂ F(x̄, ȳ) dϕ(x, y, a) ∂ F(x̄, ȳ) dψ(x, y, a) = . + . da ∂ x̄ da ∂ ȳ da ∂ F(x̄, ȳ) ∂ F(x̄, ȳ) = ξ (x̄, ȳ). + η(x̄, ȳ). = 0. ∂ x̄ ∂ ȳ Từ đó dễ thấy F(ϕ, ψ) là hàm bất biến với một tham số a thỏa mãn phương trình vi phân với điều kiện biên: dF = 0, da F |a=0 = F(x, y). Suy ra F(x̄, ȳ) = F(x, y). Phương trình (1.2.5) có một nghiệm độc lập I(x, y) = C cũng là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dx dy = . ξ (x, y) η(x, y) Mỗi phép biến đổi điểm có một hàm độc lập I(x, y) và mọi hàm độc lập khác là một hàm của I, tức là có dạng: φ (I). Định nghĩa 1.2.3. Phương trình F(x, y) = 0 gọi là bất biến với nhóm các phép biến đổi T nếu F(x̄, ȳ) = 0 trên miền (x, y) ∈ R2 thỏa mãn F(x, y) = 0. Hay phép biến đổi này biến mỗi điểm của đường cong F(x, y) = 0 thành một điểm khác của đường cong này, tức là F(x̄, ȳ) = F(x, y). Định lý 1.2.2. Phương trình F(x, y) = 0 gọi là bất biến với nhóm các phép biến đổi G nếu và chỉ nếu thỏa mãn phương trình: XF|F=0 ≡ 0, 9 tức là: ∂F ∂F ξ (x, y) + η(x, y) ∂x ∂y !     ≡ 0. F(x,y)=0 Chứng minh. Nếu phương trình F(x, y) = 0 bất biến (tức là F(x̄, ȳ) = 0), ta chứng minh XF |F=0 ≡ 0. Thật vậy, ta có: " # F(x̄, ȳ) ≈ F(x, y) + a ξ (x, y) ∂F ∂F + η(x, y) . ∂x ∂y (1.2.7) " # ∂F ∂F Vì F(x̄, ȳ) = F(x, y) = 0 nên a ξ (x, y) + η(x, y) = 0. ∂x ∂y Với mọi giá trị của a thì ξ (x, y) ∂F ∂F + η(x, y) =0 ∂x ∂y Do đó, XF |F=0 ≡ 0. Ngược lại, nếu XF |F=0 ≡ 0 ta có: # " ∂F ∂ F  + η(x, y) F(x, y) + a ξ (x, y)  ∂x ∂y  = 0. F(x,y)=0 Từ (1.2.7) suy ra F(x̄, ȳ) = 0. Việc thu hẹp miền xác định của phương trình XF |F=0 ≡ 0 trên miền F = 0 sẽ đem lại kết quả là ta tìm được nhiều nhóm đối xứng hơn. Định lý 1.2.3. Nếu phương trình đại số F(x, y) = 0 có toán tử vi phân X = ξ (x, y) ∂ ∂ + η(x, y) , ∂x ∂y 10 giả sử I(x, y) là bất biến của toán tử X, tức là XI = ξ ∂I ∂I +η ≡ 0 thì phương trình ∂x ∂y F(x, y) = 0 có thể biểu diễn qua I như sau: φ (I) = 0 với φ là hàm số. Ví dụ 1.4. Phép biến đổi điểm     x̄ = ea x,    ȳ = ea y,  ∂ ϕ(x, y, a)  có ξ (x, y) =   ∂a a=0  ∂ ψ(x, y, a)  = x và η(x, y) =   ∂a = y. a=0 Do đó, nó có toán tử ∂ ∂ +y . ∂x ∂y x Ta thấy toán tử này có hàm bất biến I(x, y) = vì y X =x XI = x ∂I 1 −x ∂I + y = x. + y. 2 ≡ 0. ∂x ∂y y y Mặt khác, phương trình đại số F(x, y) = 0 có dạng x + y = 0 cũng có phép biến đổi điểm trên, theo định nghĩa (1.2.3) thì ea x x F(x̄, ȳ) = a = = F(x, y). e y y Khi đó, phương trình x + y = 0 được biểu diễn qua biến I như sau I + 1 = 0. Định lý 1.2.4. ([3])(Qui tắc vị tự) Mọi nhóm một tham số với toán tử X = ξ (x, y) ∂ ∂ + η(x, y) , ∂x ∂y 11 bằng cách đổi biến thích hợp đều có thể qui về nhóm tịnh tiến t¯ = t + a với toán tử X= ∂ . ∂t Phép chuyển được thực hiện theo công thức X → X(t)∂t + X(u)∂ u. Tìm các biến chính tắc t và u từ phương trình     X(t) = 1,    X(u) = 0. Ví dụ 1.5. Nhóm     x̄ = ea x, với toán tử    ȳ = ea y, X =x ∂ ∂ +y ∂x ∂y có các biến chính tắc t và u thỏa mãn:   ∂t ∂t   x + y = 1, ∂x ∂y   ∂u ∂u  x + y = 0. ∂x ∂y     t = ln x, Từ đó suy ra   y  u = . x Vậy ta đã đưa nhóm biến đổi ban đầu về nhóm tịnh tiến t¯ = lnx̄ = lnx + a = t + a với toán tử X = ∂ . ∂t 12 Hai định lí (1.2.3) và (1.2.4) là nền tảng cho cách giảm cấp của phương trình vi phân sau này. Những kết quả trên là nhóm các phép biến đổi một tham số của (x, y). Chúng có thể mở rộng cho phương trình vi phân (x, y, y0 , y00 , y000 ..., y(k) ). Đầu tiên, ta phải kéo dài toán tử ở trên có chứa các biến đạo hàm. Định nghĩa 1.2.4. Toán tử đạo hàm toàn phần được định nghĩa bởi ∂ ∂ ∂ ∂ + y0 + y00 0 + y000 00 + ... ∂x ∂y ∂y ∂y D= Trong đó, ȳ0 = d ȳ Dψ ψx + y0 ψy = = . d x̄ Dϕ ϕx + y0 ϕy Khai triển Taylor cấp 1 ta được h i 0 ȳ ≈ y + D(η) − y D(ξ ) a = y0 + aη (1) 0 0 với η (1) = D(η) − y0 D(ξ ). Tương tự, h i (1) 00 ȳ ≈ y + D(η ) − y D(ξ ) a = y00 + aη (2) 00 00 với η (2) = D(η1 ) − y00 D(ξ ). Do đó, X = ξ ∂ x + η∂ y + η (1) ∂ y0 1 X = ξ ∂ x + η∂ y + η (1) ∂ y0 + η (2) ∂ y00 2 Với hàm lấy vi phân F(x, y, y0 , y00 , ..., y(l) ), đạo hàm toàn phần của nó được cho bởi DF(x, y, y0 , y00 , ..., y(l) ) = Fx + y0 Fy + y00 Fy1 + ... + y(l+1) Fyl . 13 Định lý 1.2.5. Phương trình vi phân F(x, y, y0 ) = 0 có nhóm đối xứng G với toán tử X = ξ (x, y)∂ x + η(x, y)∂ y nếu và chỉ nếu nó bất biến với nhóm mở rộng G của G, tức 1 là X F|F=0 = 1 ∂F ∂F ∂F ξ +η + η (1) 0 ∂x ∂y ∂y !     ≡ 0. F=0 Tương tự đối với phương trình vi phân cấp hai F(x, y, y0 , y00 ) = 0 !  ∂F ∂F (2) ∂ F  (1) ∂ F +η ≡ 0. +η +η  X F|F=0 = ξ ∂x ∂y ∂ y0 ∂ y00  2 (1.2.8) F=0 Phương trình (1.2.8) cho phép tìm toán tử đối xứng điểm của phương trình vi phân thường cấp 2 dạng y00 = f (x, y, y0 ) bằng phương pháp bóc tách. Đó là phương pháp dựa trên cơ sở nếu có một đa thức bằng 0 thì tất cả các hệ số phải bằng 0. Ví dụ 1.6. Toán tử X = y ∂ có ∂x ∂ 2 ∂ − y0 . ∂x ∂ y0 1 ∂ 2 ∂ 0 00 ∂ − 3y y . X = y − y0 ∂x ∂ y0 ∂ y00 2 X =y Toán tử X có một bất biến u: Xu = ξ ∂u ∂u +η ≡ 0. ∂x ∂y Toán tử X có hai bất biến u, v (cấp 1): 1 Xv=ξ 1 ∂u ∂v ∂u +η + η (1) 0 ≡ 0. ∂x ∂y ∂y Toán tử X có ba bất biến u, v (cấp 1) và w (cấp 2): 2 Xw=ξ 2 ∂u ∂u ∂v ∂w +η + η (1) 0 + η (2) 00 ≡ 0. ∂x ∂y ∂y ∂y 14 Định lý 1.2.6. Bất biến cấp 2 và cấp cao hơn được tìm như sau Bất biến cấp 2: w = dv . du d 2v Bất biến cấp 3: 2 . du d 3v Bất biến cấp 4: 3 . du 1.3. Ví dụ giảm cấp của phương trình vi phân Giảm cấp của phương trình vi phân y0 + y2 = 2 x2 Lý thuyết của Lie chỉ tìm được X cho phương trình vi phân từ cấp hai trở lên. Giả sử có phương trình có nhóm đối xứng là nhóm co dãn: 2 y0 + y2 = 2 x     x̄ = xea , (1.3.9) với toán tử    ȳ = ye−a , X =x ∂ ∂ −y . ∂x ∂y Toán tử này có biến chính tắc t = lnx và u = xy. Thay t và u vào phương trình (1.3.9) ta được: du + u2 − u − 2 = 0. dt Đây là phương trình phân li biến số, ta dễ dàng tìm được nghiệm ln u+1 = 3t − lnC. u−2 Thay u,t bởi các biến x, y cuối cùng ta có nghiệm 2x3 +C y= . x(x3 −C) 15