Tài liệu Ứng dụng thặng dư của hàm chỉnh hình để tính một số dạng tính phân

„I HÅC € NŽNG TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M  PH„M THÀ T×ÍNG VY ÙNG DÖNG THNG D× CÕA H€M CHŸNH HœNH š TNH MËT SÈ D„NG TNH PH…N KHÂA LUŠN TÈT NGHI›P Ng÷íi h÷îng d¨n kho¡ luªn: TS. Ho ng Nhªt Quy 4   N®ng, 12/2021 Möc löc MÐ †U 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Sì l÷ñc v· sè phùc v  h m bi¸n phùc . 1.1.1 D¤ng ¤i sè cõa sè phùc . . . . 1.1.2 D¤ng l÷ñng gi¡c cõa sè phùc . . 1.1.3 D¤ng mô cõa sè phùc . . . . . . 1.1.4 H m bi¸n phùc . . . . . . . . . 1.2 Lþ thuy¸t t½ch ph¥n cõa h m ch¿nh h¼nh 1.2.1 ành ngh¾a v  mët sè v½ dö . . . 1.2.2 Mët sè t½nh ch§t cõa t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7 7 7 9 9 10 16 16 18 2 Ùng döng th°ng d÷ cõa h m ch¿nh h¼nh º t½nh t½ch ph¥n 22 2.1 Chuéi 2.1.1 2.1.2 2.1.3 Taylor v  chuéi Laurentz . . . . . . . . . . . . . . . . . Chuéi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chuéi Laurentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mët sè ph÷ìng ph¡p khai triºn chuéi Laurentz cõa h m phùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Th°ng d÷ cõa h m ch¿nh h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 iºm b§t th÷íng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 C¡ch t½nh th°ng d÷ cõa h m ch¿nh h¼nh . . . . . . . . . . . 2.3.1 ành ngh¾a v  c¡ch t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 C¡c ành lþ cì b£n v· th°ng d÷ . . . . . . . . . . . . . 2.4 Mët sè ùng döng cõa th°ng d÷ trong vi»c t½nh mët sè d¤ng t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 22 22 24 25 27 27 30 30 32 33 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 T½nh t½ch ph¥n phùc . . . . . . . . . . . . . . . T½nh t½ch ph¥n cõa mët sè h m l÷ñng gi¡c . . . T½nh t½ch ph¥n suy rëng h m húu t . . . . . . T½nh t½ch ph¥n suy rëng h m húu t a thùc v  gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . l÷ñng . . . . 33 35 37 39 44 3 LÍI CƒM ÌN Líi ¦u ti¶n, em xin ch¥n th nh v  gûi líi tri ¥n s¥u s­c vîi c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o cõa Tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m - ¤i håc   N®ng, °c bi»t l  c¡c th¦y, cæ trong khoa To¡n ¢ t¤o i·u ki»n cho em thüc hi»n Khâa Luªn Tèt Nghi»p n y. Thíi gian vøa rçi, nhí câ sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v  h¸t láng cõa TS. Ho ng Nhªt Quy, em ¢ hiºu th¶m nhi·u ki¸n thùc khæng ch¿ xoay quanh Khâa Luªn m  cán c¡c v§n · thó và kh¡c cõa To¡n håc núa! Mët l¦n núa em xin ch¥n th nh c£m ìn th¦y! Vîi vèn ki¸n thùc cán h¤n hµp cõa b£n th¥n v  thíi gian h¤n ch¸, vi»c ho n th nh khâa luªn khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât. N¶n em mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp v  x¥y düng cõa quþ th¦y cæ º b i Khâa luªn tèt nghi¶p cõa em ÷ñc ho n th nh ch¿nh chu hìn. Em xin ch¥n th nh c£m ìn. 4 MÐ †U 1. Lþ do lüa chån · t i H m bi¸n phùc nâi chung v  h m ch¿nh h¼nh nâi ri¶ng l  mët trong nhúng èi t÷ñng nghi¶n cùu ch½nh cõa chuy¶n ng nh Gi£i t½ch phùc. H m ch¿nh h¼nh vøa thøa k¸ ÷ñc c¡c t½nh ch§t cõa h m thüc kh£ vi, vøa câ nhúng °c iºm ri¶ng do c§u tróc cõa sè phùc mang l¤i khi¸n cho nâ trð n¶n câ nhi·u ùng döng c£ trong lþ thuy¸t to¡n håc v  trong c¡c l¾nh vüc khoa håc, kÿ thuªt kh¡c. Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n håc phê thæng, sè phùc l  mët nëi dung b­t buëc v  câ nhi·u ùng döng trong h¼nh håc. Trong c¡c ch÷ìng tr¼nh to¡n cao c§p, sè phùc v  h m ch¿nh h¼nh ÷ñc ùng döng nhi·u trong c¡c b i to¡n v· lþ thuy¸t (xem th¶m nëi dung [3], [5]) v  trong c¡c b i to¡n kÿ thuªt (xem th¶m nëi dung [6]). Nëi dung ùng döng cõa h m ch¿nh h¼nh trong c¡c ch÷ìng tr¼nh  o t¤o ¤i håc r§t a d¤ng nh÷ lþ thuy¸t h m £o gi¡c, c¡c ph²p bi¸n h¼nh, ph²p t½nh t½ch ph¥n, c¡c ph²p bi¸n êi Laplace, ph²p bi¸n êi Fourier. Vîi mong muèn t¼m hiºu s¥u hìn v· lþ thuy¸t h m ch¿nh h¼nh v  °c bi»t l  c¡c ùng döng cõa nâ trong c¡c b i to¡n t½nh t½ch ph¥n v  ÷ñc sü h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o TS. Ho ng Nhªt Quy, em ¢ chån · t i nghi¶n cùu "Ùng döng th°ng d÷ cõa h m ch¿nh h¼nh º t½nh mët sè d¤ng t½ch ph¥n" cho Khâa luªn tèt nghi»p cõa m¼nh. 2. Möc ½ch nghi¶n cùu Möc ti¶u nghi¶n cùu cõa · t i ùng döng th°ng d÷ cõa h m ch¿nh h¼nh º t½nh mët sè d¤ng t½ch ph¥n th÷íng v  t½ch ph¥n suy rëng r§t khâ t½nh b¬ng c¡c ph÷ìng ph¡p cõa gi£i t½ch thüc. 5 3. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu a. èi t÷ñng nghi¶n cùu èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa · t i l  lþ thuy¸t th°ng d÷ cõa h m ch¿nh h¼nh, c¡c b i to¡n t½ch ph¥n phùc, t½ch ph¥n th÷íng v  t½ch ph¥n suy rëng khâ t½nh b¬ng ph÷ìng ph¡p gi£i t½ch thüc. b. Ph¤m vi nghi¶n cùu Ph¤m vi nghi¶n cùu cõa · t i thuëc l¾nh vüc Gi£i t½ch phùc. 4. C§u tróc luªn v«n C§u tróc cõa luªn v«n gçm c¡c ph¦n ch½nh sau ¥y: • • Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n gçm câ 2 ch÷ìng cö thº nh÷ sau: Mð ¦u: Ph¦n nëi dung: Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  t½nh ch§t cì b£n cõa h m bi¸n phùc, h m ch¿nh h¼nh v  lþ thuy¸t t½ch ph¥n cõa h m ch¿nh h¼nh. C¡c ki¸n thùc cõa ch÷ìng n y s³ bê trñ cho ph¦n nghi¶n cùu cõa Ch÷ìng 2. Ch÷ìng 2: Ùng döng th°ng d÷ cõa h m ch¿nh h¼nh º t½nh t½ch ph¥n Tr¼nh b y v· c¡c chuéi h m Taylor v  Laurentz cõa h m ch¿nh h¼nh, th°ng d÷. V  ¡p döng c¡c t½nh ch§t cõa th°ng d÷ º t½nh mët sè d¤ng t½ch ph¥n nh÷: t½ch ph¥n phùc, t½ch ph¥n l÷ñng gi¡c, t½ch ph¥n suy rëng. • • K¸t luªn T i li»u tham kh£o 6 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Ð ch÷ìng n y chõ y¸u tr¼nh b y v· c¡c ki¸n thùc cì sð v· h m bi¸n phùc v  h m ch¿nh h¼nh. Mët sè ki¸n thùc nêi bªt ÷ñc nh­c ¸n l : Sì l÷ñc v· sè phùc v  h m bi¸n phùc; h m ch¿nh h¼nh v  mët sè t½nh ch§t cì b£n; Lþ thuy¸t t½ch ph¥n cõa h m ch¿nh h¼nh. Düa v o â l m n·n t£ng º nghi¶n cùu ph¡t triºn c¡c ki¸n thùc ÷ñc n¶u ð ch÷ìng 2. Nëi dung cõa ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [3], [5], [6]. 1.1 Sì l÷ñc v· sè phùc v  h m bi¸n phùc 1.1.1 D¤ng ¤i sè cõa sè phùc Sè phùc l  mët biºu thùc câ d¤ng x + iy , trong â : x v  y l  c¡c sè thüc cán i l  ìn và £o. C¡c sè x v  y l  ph¦n thüc v  ph¦n £o cõa sè phùc. Th÷íng ÷ñc k½ hi»u: z = x + iy x = Rez = Re(x + iy) y = Imz = Im(x + iy) Tªp hñp c¡c sè phùc ÷ñc k½ hi»u l  C. Sè phùc z̄ = x − iy ÷ñc gåi l  sè phùc li¶n hñp cõa z = x + iy . Vªy : Re(z̄) = Re(z); Im(z̄) = −Im(z). 7 a. Ph²p cëng Cho hai sè phùc z1 = x1 + iy1 v  z2 = x2 + iy2 . Ta gåi sè phùc z = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) l  têng cõa hai sè phùc z1 v  z2 . Ph²p cëng câ c¡c t½nh ch§t sau: z1 + z2 = z2 + z1 ( Giao ho¡n) z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3 ( K¸t hñp) b.Ph²p trø Cho hai sè phùc: z1 = x1 + iy1 v  z2 = x2 + iy2 . Ta gåi sè phùc z = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ) l  hi»u cõa hai sè phùc z1 v  z2 . c.Ph²p nh¥n Cho hai sè phùc: z1 = x1 + iy1 v  z2 = x2 + iy2 . Ta gåi sè phùc z = z1 .z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) l  t½ch cõa hai sè phùc z1 v  z2 . Ph²p nh¥n công câ t½nh giao ho¡n v  k¸t hñp, hìn núa: z1 (z2 + z3 ) = z1 .z2 + z2 .z3 ( T½nh ph¥n phèi) −1.z = −z z.0 = 0 i.i = −1 d.Ph²p chia Cho hai sè phùc z1 = x1 + iy1 v  z2 = x2 + iy2 . N¸u z ̸= 0 th¼ tçn t¤i mët sè phùc z = x + iy sao cho z.z2 = z1 . Sè phùc: x 1 x 2 + y1 y2 y1 x2 − y2 x1 z1 = + i z= z2 x22 + y22 x22 + y22 ÷ñc gåi l  th÷ìng cõa hai sè phùc z1 v  z2 . f. Ph²p lôy thøa Ta gåi t½ch n cõa sè phùc z l  lôy thøa bªc n cõa z v  k½ hi»u: z n = (x + iy)n Theo ành ngh¾a ph²p nh¥n ta t½nh ÷ñc Rew v  Imw theo x v  y . N¸u z n = w th¼ ng÷ñc l¤i ta nâi z l  c«n bªc n cõa w. √ V  ta vi¸t: z = w. e. Biºu di¹n h¼nh håc Cho sè phùc z = x1 + iy1 . Trong m°t ph¯ng Oxy ta x¡c ành iºm M (x1 ; y1 ) gåi l  tåa và cõa sè phùc z . Ng÷ñc l¤i cho iºm M trong m°t ph¯ng, ta bi¸t tåa ë (x1 ; y1 ) v  lªp ÷ñc sè phùc z = x1 + iy1 . Do â ta gåi xOy l  m°t 8 ph¯ng phùc. Ta công câ thº biºu di¹n sè phùc b¬ng mët vecto tü do câ tåa ë (x1 ; y1 ). f. Modun v  argument cõa sè phùc ⃗ l  modun cõa z v  Sè phùc z câ tåa và l  M. Ta câ ë d i r cõa vecto OM k½ hi»u |z|. Gâc φ x¡c ành sai kh¡c 2kπ ÷ñc gåi l  argument cõa z V  k½ hi»u l  Argz: r = |z| = OM ⃗ OM ⃗ ) = φ + 2kπ Argz = (Ox, Hai sè phùc b¬ng nhau câ mæ un v  argument b¬ng nhau. |z| = |z̄| z.z̄ = |z|2 1.1.2 D¤ng l÷ñng gi¡c cõa sè phùc N¸u biºu di¹n sè phùc z theo r v  φ Ta câ: z = x + iy = r(cos φ + i sin φ) ¥y l  d¤ng l÷ñng gi¡c cõa sè phùc z C¡c ph²p nh¥n chia sè phùc d÷îi d¤ng l÷ñng gi¡c: Ta câ : z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1 ) z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2 ) Suy ra : z = z1 z2 = r1 r2 [cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )] Tø cæng thùc tr¶n ta câ ÷ñc t½ch n thøa sè z , tùc l : z n = [r(cos φ + i sin φ)]n = rn (cos nφ + i sin nφ) 1.1.3 D¤ng mô cõa sè phùc Nhí cæng thùc eiφ = cos φ + i sin φ Ta câ thº biºu di¹n sè phùc d÷îi d¤ng sè mô: z = reiφ = |z|eiArgz Sau ¥y ta s³ nh­c l¤i ành ngh¾a H m bi¸n phùc. 9 1.1.4 H m bi¸n phùc ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû Ω ⊂ C l  mët tªp tòy þ cho tr÷îc. Mët h m bi¸n phùc tr¶n Ω vîi gi¡ trà phùc l  mët ¡nh x¤:f : Ω → C H m nh÷ vªy ÷ñc k½ hi»u l : ω = f (z), z ∈ Ω B¬ng c¡ch vi¸t : ω = u + iv, u = Reω, v = Imω H m f câ thº vi¸t d÷îi d¤ng:f (z) = u(z) + iv(z) Hai h m u v  v ÷ñc gåi l  ph¦n thüc v  ph¦n £o cõa f . u(z) = Ref (z) = (Ref )(z) v(z) = Imf (z) = (Imf )(z) T¼m ph¦n thüc v  ph¦n £o cõa h m phùc z = z1 Ta câ: x−iy iy 1 x = (x+iy)(x=iy) = xx−iy w = z1 = x+iy 2 +y 2 = x2 +y 2 − x2 +x2 y x Vªy: u = x2 +y 2 ; v = − x2 +y 2 Sau ¥y ta s³ nh­c l¤i : X²t d¢y h m bi¸n sè phùc f1 , f2 , ...fn , ...(1) còng x¡c ành tr¶n tªp tòy þ Ω ⊂ C. Trong tr÷íng hñp giîi h¤n cõa d¢y l  húu h¤n tr¶n Ω, b¬ng c¡ch °t : V½ dö 1.1.7 giîi h¤n cõa h m bi¸n phùc f (z) = lim fn (z), z ∈ Ω n→∞ Ta nhªn ÷ñc h m f : Ω → C. H m f nh÷ tr¶n goà l  h m giîi h¤n cõa d¢y (1) v  vi¸t nh÷ sau: f = lim fn n→∞ Sau ¥y ta s³ nh­c l¤i v· H m li¶n töc. ành ngh¾a 1.1.2. Gi£ sû w = f (z) l  mët h m sè x¡c ành trong mët mi·n chùa iºm z0 . H m ÷ñc gåi l  li¶n töc t¤i z0 n¸u lim f (z) = f (z0 ) z→z0 H m w = f (z) li¶n töc t¤i måi iºm trong mi·n G th¼ ÷ñc gåi l  li¶n töc trong mi·n G. 10 D¹ th§y r¬ng n¸u f (z) = u(x, y) + iv(x, y) li¶n töc t¤i z0 = x0 + iy0 th¼ u(x, y) v  v(x, y) l  nhúng h m thüc hai bi¸n, li¶n töc t¤i (x0 , y0 ) v  ng÷ñc l¤i. V½ dö 1.1.9 H m w = z 2 li¶n töc trong to n bë m°t ph¯ng phùc v¼ ph¦n thüc u = x2 −y 2 v  ph¦n £o v = 2xy luæn luæn li¶n töc. Ti¸p töc ta s³ nh­c tîi nh÷ sau: ành ngh¾a ¤o h m ành ngh¾a 1.1.3. X²t h m sè f x¡c ành tr¶n tªp mð U ⊂ C. ¤o h m phùc cõa h m f t¤i z ∈ U , kþ hi»u f ′ (z), l  giîi h¤n sau ¥y n¸u nâ tçn t¤i f (z + ∆z) − f (z) . ∆z→0 ∆z f ′ (z) := lim Cho h m w = f (z) x¡c ành trong mët mi·n chùa iºm z = x + iy . Cho z mët sè gia ∆z = ∆x + i∆y . Gåi ∆w l  sè gia t÷ìng ùng cõa h m: ∆w = f (z + ∆z) − f (z) N¸u khi ∆z → 0 t¿ sè ∆w ∆z d¦n tîi mët giîi h¤n x¡c ành th¼ giîi h¤n â ÷ñc gåi l  ¤o h m cõa h m w t¤i z v  kh½ hi»u l  f ′ (z) hay w′ (z) hay dw dz . Ta câ: ∆w f (z + ∆z) − f (z) = lim ∆z→0 ∆z ∆z→0 ∆z V· m°t h¼nh thùc, ành ngh¾a n y gièng ành ngh¾a ¤o h m cõa h m bi¸n sè thüc. Tuy nhi¶n ð ¥y ái häi ∆w ∆z ph£i câ còng giîi h¤n khi ∆z → 0 theo måi h÷îng trong m°t ph¯ng. f ′ (z) = lim H m sè f câ ¤o h m phùc t¤i z công ÷ñc gåi l  "kh£ vi phùc" hay C-kh£ vi t¤i z . H m f ÷ñc gåi l  C-kh£ vi tr¶n U n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  C-kh£ vi t¤i måi iºm z ∈ U . V½ dö 1.1.10 T½nh ¤o h m cõa w = z 2 t¤i z . 11 Ta câ : ∆w = (z + ∆z)2 − z 2 = 2z.∆z + (∆z)2 ∆w ∆z = 2z + ∆z Khi ∆z → 0 th¼ ∆w ∆z → 2z . Do vªy ¤o h m cõa h m tr¶n l  2z . Do ành ngh¾a ¤o h m phùc ho n to n t÷ìng tü vîi ành ngh¾a ¤o h m cõa h m sè mët bi¸n sè thüc n¶n nâ tuy¸n t½nh v  tu¥n theo quy t­c nh¥n, quy t­c chia v  quy t­c h m hñp. ành lþ 1.1.1. N¸u f (z) v  g(z) l  c¡c h m kh£ vi phùc t¤i z0 th¼ αf (z) + (z) n¸u g(z0) ̸= 0 βg(z), f (z)g(z) v  fg(z) C v  ta câ c¡c cæng thùc sau ¥y: công kh£ vi phùc t¤i z0 vîi måi α, β ∈ i. (αf + βg)′(z0) = αf ′(z0) + βg′(z0). ii. (f g)′(z0) = f ′(z0)g(z0) + f (z0)g′(z0). iii.  ′ f f ′ (z0 )g(z0 ) − f (z0 )g ′ (z0 ) (z0 ) = . g g 2 (z0 ) iv. N¸u ω = f (z) kh£ vi phùc t¤i z0, cán g(ω) kh£ vi phùc t¤i ω0 = f (z0). th¼ h m hñp g ◦ f kh£ vi phùc t¤i z0 v  ta câ cæng thùc (g ◦ f )′ (z0 ) = g ′ (f (z0 ))f ′ (z0 ). Chùng minh. Xem [3]. Sau ¥y ta s³ nh­c l¤i i·u ki»n Cauchy-Rieman ành lþ 1.1.2. H m f l  h m C - kh£ vi t¤i z = x + iy ∈ U n¸u v  ch¿ n¸u f l  R- kh£ vi v  thäa m¢n i·u ki»n Cauchy-Rieman sau ¥y ∂v ∂u ∂v ∂u (x, y) = (x, y), (x, y) = − (x, y). ∂x ∂y ∂y ∂x Chùng minh. Xem [3]. V½ dö 1.2.3 Kiºm tra i·u ki»n Cauchy-Rieman èi vîi c¡c h m a.(z n )′ = nz n−1 . b.(ez )′ = ez . 12 Gi£i: a. Ta câ: z n = rn (cos nφ + iφ) Suy ra : u = ex cos φ ; v = ex sin(nφ) p ta câ:  döng i·u ki»n Cauchy-Rieman,   ∂u = nrn−1 (cos nφ)  ∂v = nrn−1 sin nφ. ∂r ; ∂r  ∂u = rn n(− sin nφ)  ∂v = nrn cos nφ ∂φ ∂φ n−1 Suy ra: (z ) = + = nr cos(nφ) + inrn−1 sin(nφ) = nz n−1 b. Ta câ : ez = ex+iy = ex .eiy = ex (cos y + i sin y) = ex . cos y + iex sin y Suy ra: u = ex cos y ; v = ex sin y p ta câ:  döng i·u ki»n Cauchy-Rieman,   ∂u = cos y.ex .  ∂v = ex sin y. ∂x ; ∂x ∂u x  = e (− sin y)  ∂v = ex cos y n ′ ∂y ∂u ∂r ∂v ∂r i ∂y Suy ra: (e ) = e cos y + iex siny = ex (cos y + i sin y) = ex . Sau ¥y ta s³ biºu di¹n i·u ki»n Cauchy - Riemann d÷îi d¤ng ¤o h m ri¶ng theo bi¸n phùc. Ta câ: ∂f 1 ∂f ∂f 1 ∂u ∂v ∂u ∂v = ( + i ) = [( + i ) + i( + i )] ∂ z̄ 2 ∂x ∂y 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂v 1 ∂u ∂v − ) + i( + )]. = [( 2 ∂x ∂y ∂y ∂x Theo i·u ki»n Cauchy - Riemann ta câ x ′ x =0 Vªy i·u ki»n Cauchy - Riemann ð tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi i·u ki»n sau ¥y ∂f ∂ z̄ (z) = 0. Sau ¥y ta ÷a ra kh¡i ni»m . H ành ngh¾a 1.1.4. Cho f h m phùc x¡c ành tr¶n mi·n Ω ⊂ C. Ta nâi h m f ch¿nh h¼nh t¤i iºm z0 ∈ Ω n¸u tçn t¤i l¥n cªn U thäa m¢n z0 ∈ U ⊂ Ω v  f l  C - kh£ vi t¤i måi iºm thuëc U . H m f ÷ñc gåi l  ch¿nh h¼nh tr¶n mi·n Ω n¸u nâ ch¿nh h¼nh t¤i måi iºm cõa Ω. Nhªn x²t 1.2.5 Cho f (z) l  mët h m ch¿nh h¼nh tr¶n tªp mð U . Khi â, theo i·u ki»n 13 Cauchy - Riemann ta câ ∂f (z) = 0. ∂ z̄ Sau ¥y ta s³ t¼m th¶m cæng thùc t½nh ¤o h m phùc f ′ (z) thæng qua c¡c h m ph¦n thüc v  ph¦n £o cõa nâ. Gi£ sû, f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy ∈ U . Khi â ta câ 1 ∂f ∂f ∂f (z) = ( −i ) ∂z 2 ∂x ∂y 1 = [(u′x + ivx′ ) − i(u′y + ivy′ )] 2 Theo i·u ki»n Cauchy - Riemann ta câ 1 = [(u′x + ivx′ ) − i(−vx′ + iu′x )] 2 1 = (2u′x + 2ivx′ ) = u′x + ivx′ . 2 f ′ (z) = Vªy n¸u f (z) = u(x, y) + iv(x, y) l  h m ch¿nh h¼nh th¼ ¤o h m phùc câ thº ÷ñc t½nh bði cæng thùc: f ′ (z) = u′x + ivx′ . Sau ¥y l  mët sè v½ dö v· h m ch¿nh h¼nh V½ dö 1.2.6 a. X²t h m f (z) = z . Tø ành ngh¾a, ta d¹ d ng t½nh ÷ñc f ′ (z) = 1, ∀z ∈ C. b. X²t h m f (z) = z n , n ∈ N∗ . Ta câ (z + ∆z)n − z n = ∆z[(z + ∆z)n−1 + (z + ∆z)n−2 z + ... + z n−1 ]. Tø â suy ra f (z + ∆z) − f (z) (z + ∆z)n − z n = lim f (z) = lim ∆z→0 ∆z→0 ∆z ∆z n−1 n−2 ∆z[(z + ∆z) + (z + ∆z) z + ... + z n−1 ] = lim ∆z→0 ∆z n−1 = lim [(z + ∆z) + (z + ∆z)n−2 z + ... + z n−1 ] = nz n−1 . ′ ∆z→0 Vªy (z n )′ = nz n−1 . c. Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n ¡p döng cho h m a thùc f (z) = an z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0 . 14 Ta câ cæng thùc ¤o h m l  f ′ (z) = nan z n−1 + (n − 1)an−1 z n−2 + ...2a2 z + a1 . 2 z d. X²t h m f (z) = 2z−3 , z ̸= 32 . B¬ng c¡ch ¡p döng ta câ cæng thùc t½nh f ′ (z) nh÷ sau: iv. v  c¡c k¸t qu£ tr¶n 2z 2 − 6z 3 2z(2z − 3) − 2z 2 = , ∀z = ̸ . f (z) = (2z − 3)2 (2z − 3)2 2 ′ Nh÷ vªy, h m f (z) = Nhªn x²t 1.2.6 z2 2z−3 l  C-kh£ vi t¤i måi z ̸= 32 . Tø c¡c v½ dö tr¶n ta câ thº têng qu¡t r¬ng h m f (z) = tr¶n t¤i måi z ∈ C m  Qm (z) ̸= 0. Sau ¥y ta s³ nhªn x²t mët sè Pn (z) Qm (z) l  C-kh£ vi T½nh ch§t sì c§p cõa h m ch¿nh h¼nh. ành lþ 1.1.3. Gi£ sû Ω ∈ C l  mët mi·n v  H(Ω) l  tªp c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n Ω. Khi â: i. H(Ω) l  mët khæng gian vecto tr¶n C. ii. H(Ω) l  mët v nh. iii. f ∈ H(Ω) v  f (z) ̸= 0, vîi måi z ∈ Ω th¼ fg ∈ H(Ω) iv. N¸u f ∈ H(Ω) v  f ch¿ nhªn gi¡ trà thüc th¼ f khæng êi. Chùng minh. Xem [3]. Ta câ ành lþ v· h m hñp nh÷ sau: ành lþ 1.1.4. N¸u f : Ω → Ω∗ v  g : Ω∗ → C l  c¡c h m ch¿nh h¼nh, trong â Ω v  Ω∗ l  c¡c mi·n trong m°t ph¯ng (z) v  (w) th¼ h m g ◦ f : Ω → C l  h m ch¿nh h¼nh. Chùng minh. Xem [3]. ành lþ 1.1.5. Gi£ sû chuéi lôy thøa P∞i=0 Cnzn câ b¡n k½nh hëi tö l  R > 0. Khi â têng f (z) cõa nâ ch¿nh h¼nh t¤i måi z vîi |z| < R v  ¤o h m phùc cõa nâ l : ∞ ′ f (z) = X nCn z n−1 n=1 15 (∀|z| < R). Chùng minh. Xem [3]. Tø ành lþ tr¶n ta câ h» qu£ sau ¥y nh÷ sau ¥y. H» qu£ 1.1.6. i.(ez )′ = ez . iii.(sin z)′ = (cos z). iii.(cos z)′ = −(sin z). iv.(shz)′ = (chz)′. v.(chz)′ = −shz . Chùng minh. Xem [3]. 1.2 Lþ thuy¸t t½ch ph¥n cõa h m ch¿nh h¼nh 1.2.1 ành ngh¾a v  mët sè v½ dö Cho ÷íng cong C ành h÷îng, trìn tøng khóc v  tr¶n C cho mët h m phùc f (z). T½ch ph¥n cõa f (z) dåc theo C ÷ñc ành ngh¾a v  k½ hi»u l : lim n→∞ n X f (tk )(zk − zk−1 ) = k=1 Z f (z)dz(1) C Trong â: a = z0 , z1 , z2 , .., zn = b l  nhúng iºm k¸ ti¸p nhau tr¶n C; a v  b l  hai mót, tk l  mët iºm tòy þ cõa C n¬m tr¶n cung [zk , zk−1 ]. Giîi h¤n (1) thüc hi»n sao cho max lk → 0 vîi lk l  ë d i cung [zk , zk−1 ]. N¸u ta °t: f (z) = u(x, y) + iv(x, y) v  zk = xk + iyk ∆xk = xk − xk−1 ; ∆yk = yk − yk−1 tk = αk + iβk u(αk , βk ) = uk ; v(αk , βk ) = vk P P P Ta câ : nk=1 f (tk )(zk −zk−1 ) = nk=1 (uk ∆xk − vk ∆yk )+i nk=1 (uk ∆xk + vk ∆yk )(2) N¸u ÷íng cong C trìn tøng khóc v  f (z) li¶n töc tøng khóc, giîi nëi khi n → ∞ v¸ ph£i cõa (2) ti¸n tîi c¡c t½ch ph¥n ÷íng cõa h m bi¸n thüc. Do â tçn t¤i : 16 Z Z f (z)dz = C (udx − vdy) + i C Z (udy + vdx)(3) C N¸u ÷íng cong L câ ph÷ìng tr¼nh tham sè l  x = x(t), y = y(t) v  α ≤ t ≤ β th¼ ta câ thº vi¸t d÷îi d¤ng h m bi¸n thüc: z = x(t) + iy(t) = z(t)α ≤ t ≤ β vîi z(a) = α; z(b) = β. Khi â ta câ cæng thùc ti»n döng: Zβ Z f (z)dz = f [z(t)]z ′ (t)dt(4) α C V½ dö 1.3.1 R T½nh I = 1 + i − 2z̄dz , C l  cung parabol y = x2 , nèi gèc O v  iºm B câ C tåa ë (1; 1). H m f (z) = 1 + i − 2z̄ = 1 + i − 2(x − iy) = 1 − 2x + i(1 + 2y). Ta câ, ph¦n thüc u(x, y) = 1 − 2x, ph¦n £o v(x, y) = 1 + 2y . p döng cæng thùc sè (3) ta câ: R R I = (1 − 2x)dx − (1 + 2y)dy + i 1 + 2ydx + (1 − 2x)dy . C C Chuyºn méi t½ch ph¥n ÷íng lo¤i 2 th nh t½ch ph¥n x¡c ành ta câ: R R1 R1 I = (1 − 2x)dx − (1 + 2y)dy = (1 − 2x)dx − (1 + 2x2 )2xdx = (−4x3 − 4x + 1) 0 C I= R 1 + 2ydx+(1−2x)dy = C R1 0 1 + 2x2 dx+(1−2x)2xdx = 0 0 = 43 Thay v o tr¶n ta câ: I = −2 + Sau ¥y ta s³ nh­c l¤i mët sè R1 4i 3 T½nh ch§t cõa t½ch ph¥n. 17 (−2x2 + 2x + 1)dx 1.2.2 Mët sè t½nh ch§t cõa t½ch ph¥n Tø cæng thùc (3) ta suy ra r¬ng t½ch ph¥n cõa h m bi¸n phùc dåc theo mët ÷íng cong câ t§t c£ c¡c t½nh ch§t thæng th÷íng cõa mët t½ch ph¥n ÷íng lo¤i 2. C¡c t½nh ch§t nh÷ sau: T½nh ch§t khæng phö thuëc t¶n gåi bi¸n sè t½ch ph¥n: R R f (z)dz = dt. AB AB R R R [f (z) + g(z)]dz = f (z)dz + g(z)dz . i. ii.R N¸u a l  h¬ngR sè phùc th¼: AB AB f (z)dz . af (z)dz = a AB R AB R f (z)dz = − AB f (z)dz . iii. N¸u A,B v  C l  3 iºm còng n¬m tr¶n mët ÷íng cong th¼: R R R AB BA f (z)dz = f (z)dz . f (z)dz + iv. Cæng thùc ÷îc l÷ñng t½ch ph¥n: AC AB BC N¸u M l  gi¡ trà lîn nh§t cõa |f (z)| tr¶n ÷íng cong L( ngh¾a l  |f (z)| ≤ M, ∀z ∈ L ) th¼ ta câ: | Z f (z)dz| ≤ L Z |f (z)dz| < M L L Chùng minh: V¼ mæ un cõa mët têng nhä hìn ho°c b¬ng têng c¡c mæ un n¶n: P P | nk=1 f (αk )∆zk | ≤ nk=1 |f (αk )||∆zk | Nh÷ng theo gi£ thuy¸t |f (αk )| ≤ M n¶n : P P P | nk=1 f (αk )∆zk | ≤ nk=1 M |∆zk | = M nk=1 |∆zk | Vªy: n n X X | f (αk )∆zk | ≤ M |∆zk | k=1 k=1 P Chó þ l  nk=1 |∆zk | b¬ng chi·u d i ÷íng g§p khóc câ c¡c ¿nh t¤i z0 , z1 , z2 , ..., zn . P Khi max |∆zk → 0 th¼ nk=1 |∆zk | d¦n tîi ë d i l cõa ÷íng cong L. Sau ¥y ta s³ nh­c l¤i . ành l½ Cauchy cho mi·n ìn li¶n ành lþ 1.2.1. N¸u ω = f (z) ch¿nh h¼nh tr¶n mi·n ìn li¶n D v  L l  mët 18 chu tuy¸n thuëc D th¼: Z f (z)dz = 0 L V½ dö 1.3.4 T½nh Z sin z dz z2 + 1 L ,L l  ÷íng trán |z − 1| = 1 H m sin z z2 + 1 câ hai iºm b§t th÷íng l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh z 2 + 1 = 0 l  ±i Vªy f (z) gi£i t½ch trong mi·n |z − 1| ≤ 1. p döng ành l½ Cauchy ð tr¶n ta câ I = 0. Ta ti¸p töc nh­c ¸n . f (z) = ành lþ Cauchy cho mi·n a li¶n ành lþ 1.2.2. N¸u D l  mi·n (n+1)-li¶n,f l  h m li¶n töc tr¶n D̄ = D∪∂D ch¿nh h¼nh tr¶n D th¼: Z f (z)dz = 0 ∂D Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n ta câ thº suy ra mët sè k¸t qu£ sau ¥y. ành lþ 1.2.3. Cæng thùc t½ch ph¥n Cauchy: Gi£ sû f l  h m ch¿nh h¼nh tr¶n mi·n D v  z0 ∈ D. Khi â vîi måi chu tuy¸n L ⊂ D sao cho z0 ∈ DL ⊂ D ta câ: 1 f (z0 ) = 2πi Z f (t) dt. t − z0 L Gi£ sû L l  mët ÷íng cong Jordan, con f (t) l  h m li¶n töc tr¶n L. Khi â câ thº x¡c ành ÷ñc h m F : C\L → C cho bði: 1 F (z) = 2πi Z L 19 f (t) dt t−z Mët h m nh÷ F ÷ñc gåi l  t½ch ph¥n lo¤i Cauchy. Ti¸p töc ta nh­c l¤i . ¤o h m c§p cao cõa mët h m gi£i t½ch ành lþ 1.2.4. H m F (z) x¡c ành nh÷ tr¶n l  ch¿nh h¼nh tr¶n C\L, v  nâ câ ¤o h m måi c§p v  ÷ñc cho bði cæng thùc: F (n) n! (z) = 2πi Z f (t) dt, (t − z)n+1 L vîi n = 0, 1, 2, .... Gi£ sû f ch¿nh h¼nh tr¶n D. Khi â f câ ¤o h m måi c§p tr¶n D v  c¡c ¤o h m n y công l  c¡c h m ch¿nh h¼nh tr¶n D. C¡c ¤o h m cõa f ÷ñc cho bði cæng thùc: n! f (n) (z) = 2πi Z f (t) dt (t − z)n+1 L vîi n = 0, 1, 2, ..., L l  mët chu tuy¸n tòy þ thuëc D sao cho z ∈ DL ⊂ D. Bi¸t iºm a n¬m trong chu tuy¸n C. T½nh t½ch ph¥n sau: V½ dö 1.3.7 Z I= zez dz (z − a)3 C Gi£i: p döng t½ch ph¥n Cauchy cho h m f (z) = zez t¤i iºm z = a n¬m trong chu tuy¸n C. Ta câ: 3! f = 2πi ′′′ Z 3! f (z)dz = (z − a)3 2πi C Z C 20 zez dz (z − a)3