Tài liệu ứng dụng phương trình sai phân trong xử lý tín hiệu và lọc số

1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình, chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bạn bè và người thân đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 9 năm 2011 Tác giả Trần Thị Thắm 2 LỜI CAM ĐOAN Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo , đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình và chu đáo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng. Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Luận văn với đề tài “Ứng dụng phương trình sai phân trong xử lí tín hiệu và lọc số” không có sự trùng lặp. Người cam đoan Trần Thị Thắm 3 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Mục lục 3 Mở đầu 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Dãy số 7 1.2. Sai phân 7 1.2.1. Định nghĩa 7 1.2.2. Tính chất 8 1.2.3. Một số ứng dụng 11 Chương 2. Phương trình sai phân tuyến tính 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính 16 2.1.1. Định nghĩa 16 2.1.2. Nghiệm 17 2.2. Dạng tổng quát của phương trình sai phân 24 2.3. Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số hằng số 26 2.3.1. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng số 26 2.3.2. Phương trình sai phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng số 31 Chương 3. Một số ứng dụng của phương trình sai phân trong xử lý tín hiệu và lọc số 3.1. Các hệ thống tuyến tính 35 3.1.1. Định nghĩa 35 3.1.2. Khái niêm hệ thống tuyến tính 35 3.1.3. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính 36 3.2. Các hệ thống tuyến tính bất biến 37 4 3.3. Hệ thống tuyến tính và nhân quả 3.3.1. Định nghĩa 37 3.3.2. Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính và nhân quả 37 3.4. Hệ thống tuyến tính ổn định 38 3.5. Phương trình sai phân với hệ số hằng và đáp ứng xung của 35 hệ thống 3.6. Các hệ thống đệ quy và không đề quy 47 3.6.1. Hệ thống rời rạc đệ quy 47 3.6.2. Hệ thống rời rạc không đệ quy 51 3.7. Biến đổi Z 56 3.7.1. Khái niệm biến đổi Z một phía và hai phía 56 3.7.2. Phương trình sai phân với hệ số hằng và biến đổi Z 59 3.7.3. Hàm truyền đạt 61 3.8. Độ ổn định 61 3.8.1. Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến 61 3.8.2. Sự ổn định của một hệ thống tuyến tính bất biến và nhân 62 quả 3.8.2. Tiêu chuẩn Jurry 63 3.9. Phân tích hệ thống LTI trong miềm Z 65 3.9.1. Hàm truyền đạt của hệ thống LIT 65 3.9.2. Đáp ứng quá độ 72 3.9.3. Hệ thống ổn định và nhân quả 74 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 82 5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan tới phương trình sai phân. Vì vậy việc nghiên cứu phương trình sai phân đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học và toán học ứng dụng. Nhiều hiện tượng khoa học và kĩ thuật dẫn đến các bài toán phương trình sai phân, giải các bài toán đó dẫn đến giải các phương trình sai phân. Chúng ta đều biết rằng việc số hóa các thiết bị Điện tử - Viễn thông đã và đang được thực hiện rất mạnh mẽ trên toàn thế giới cũng như ở Việt Nam. Chính vì vậy mà xử lý thông tin và lọc số đã trở thành một ngành khoa học và kĩ thuật. Để tiếp cận với ngành khoa học này chúng ta cần được trang bị những kiến thức cơ bản không thể thiếu được của xử lý tín hiệu và lọc số. Vấn đề này đã được PGS. TS. Nguyễn Quốc Trung đề cập đến trong cuốn sách: “Xử lý tín hiệu và lọc số” nhưng trong luận văn của mình tôi muốn đề cập và đi sâu hơn về ứng dụng của phương trình sai phân trong xử lý tín hiệu và lọc số. Qua luận văn này tôi hy vọng bước đầu làm quen với việc nghiên cứu ứng dụng của toán học vào các ngành khoa học và kĩ thuật mới trong đó có ngành xử lý tín hiệu và lọc số. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô! 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình sai phân và ứng dụng của phương trình sai phân trong xử lý tín hiệu và lọc số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Các cách giải phương trình sai phân. Dựa vào phương trình sai phân để xét tính đệ quy hay không đệ quy của hệ thống, tìm đáp ứng xung và sự ổn định của hệ thống, tìm hàm truyền đạt của hệ thống, xét tính nhân quả của hệ thống, xét sự tương quan của hai hệ thống. 6 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Cách giải các dạng phương trình sai phân và các ứng dụng của trong xử lý tín hiệu và lọc số. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về phương trình sai phân và ứng dụng của nó trong xử lý tín hiệu và lọc số. 6. Giả thuyết khoa học (hoặc Dự kiến đóng góp mới, nếu đề tài không thuộc chuyên ngành Giáo dục học). 7 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Dãy số Gọi M là tập hợp n  1 số tự nhiên đầu tiên: M  0,1,2,..., n . Một hàm số x xác định trên tập M được gọi là một dãy số hữu hạn và tập giá trị của dãy số hữu hạn này là: x(0)  x , x(1)  x ,..., x(n)  x  0 Một hàm số x xác định trên tập 1 n N được gọi là dãy số vô hạn ( gọi tắt là dãy số) và tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử là: x(0)  x , x(1)  x ,..., x(n)  x ,... 0 1 n Vậy ta có thể xem dãy số là một hàm số của đối số tự nhiên n , với kí hiệu: x(n)  xn , n  N 1.2. Sai phân 1.2.1. Định nghĩa Hàm số x : Z  R . Ta gọi hiệu: xn  xn1  xn là sai phân cấp 1 của hàm số x  n   xn , n  N Ta gọi sai phân của sai phân cấp 1 của hàm số xn là sai phân cấp 2 của hàm xn , kí hiệu  2 xn    xn     xn 1  xn   xn1  xn   xn  2  xn 1    xn1  xn   xn  2  2x n 1  xn Định nghĩa theo quy nạp: Sai phân cấp k của hàm xn là sai phân của sai phân cấp k  1 của hàm số đó. 8 i k i  k xn   k 1 xn 1   k xn   ( 1) .C k.xn  k i (1.1) i 0 Trong đó C i k  k! i ! k  i ! Từ nay về sau, ta gọi tắt sai phân cấp 1 là sai phân. 1.2.2. Tính chất Tính chất 1. Sai phân các cấp đều có thể biểu diễn qua các giá trị của hàm số. Chứng minh: Ta chứng minh công thức (1.1) bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy: Với n  1 , ta có xn  xn1  xn  C10 xn1  C11 xn Giả sử (1.1) đúng với n  k , có nghĩa là: k i  k xn   ( 1)i .C k.xn  k i i 0 Ta chứng minh (1.1) đúng với n  k  1 , tức là chứng minh: k 1 i  k 1 xn   ( 1)i .C k 1.xn k 1i (1.2) i 0 Vế phải của (1.2) là:  k 1 xn   k xn 1   k xn k = k i i k   (1)i Cki xn k i n 1 k  i  (1) C x i 0 i 0 k 1 k =  ( 1)iCki xn 1 k i   ( 1)i 1 Cki1 xn  k i 1 i 0 i 1 k k 1 =  ( 1)iCki xn 1 k i   ( 1)i 1 Cki1 xn  k 1i i 0 i 1 k k 1 i 0 i 1 = xn k 1   (1)iCki xn 1 k i   ( 1)i 1 Cki1 xn  k 1i   1 k 1 xn 9 k = xn k 1   ( 1)i (Cki  Cki 1 ) xn 1 k i   1 k 1 xn i 1 k = ( 1) 0 Ck01 xn 1 k  0   (1) i Cki 1 xn k 1i  (1) k 1 Ckk11 xn k 1i 1 i 1 k 1 = i  (1) C i k 1 n  k 1 i x i 0 Đây là vế phải của (1.2). Suy ra (1.2) đúng k  N * . Vậy công thức (1.1) đúng với k  N * (ĐPCM) . Hệ quả. Nếu xn  c thì xn  c  c  c  0, n  N Tính chất 2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính, nghĩa là:  k  ax n  byn   a k xn  b k yn , a, b  R, k  1,2,... Chứng minh: Với a, b  R, k  1,2,... ta có: i k k  (axn  byn )   ( 1) ( axn k i  byn k i ) i 0 i k = i k  (1) Cki axnk i    1 byn k i i 0 i 0 k i k i = a. ( 1) C .xn  k i  b.  1 . yn k i i k i 0 i 0 = a k xn  b k yn Đây là điều phải chứng minh. Tính chất 3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là: i) Đa thức bậc m  k , nếu k  m ii) Hằng số, nếu k  m iii) Bằng 0 , nếu k  m Chứng minh: Theo tính chất 2 thì sai phân cấp k cũng là toán tử tuyến tính, nên ta chỉ việc chứng minh cho đơn thức Pm (n)  nm là đủ. 10 i) Ta có: m n m   n  1  n m  Cm0  Cn1 .n  Cn2 .n 2  ...  Cmm .n m  n m  Cm0  Cn1 .n  Cn2 .n 2  ...  Cmm 1.n m1  Pm1 ( n) Giả sử k  s  m thì  s nm  Pm  s  n  (1.3) Ta chứng minh k  s  1  m thì  s 1n m  Pm s 1  n  Thật vậy: m  s 1n m   s  n  1   s n m  Pm s  n  1  Pm  s  n   Pm s 1  n  Suy ra  k n m  Pm k  n  , k  m. ii) Theo chứng minh trên khi k  m ta có:  m n m  Pm m  n   P0  n   c (hằng số). iii) Khi k  m ta có:  k n m   k  m ( m n m )   k  m .c   k  m1  c   0 ( Theo hệ quả tính chất 1) Kết thúc chứng minh. Tính chất 4 N  k xn   k 1 xN 1   k 1 xa , k  N * n a Chứng minh: Ta có N N  Δ k x n =  Δ(Δ k-1x n ) n =a n =a  (  k 1 xa )  ( k 1 xa1 )  ...     k 1 xN  11   k 1 xa 1   k 1 xa   k 1 xa  2   k 1 xa 1  ...   k 1 xN 1    k 1 xN    k 1 xN 1   k 1 xa , k  N * Suy ra điều phải chứng minh. 1.2.3.Một số ứng dụng 1.2.3.1. Tính tổng Ví dụ 1.2.3.1. Tính tổng sau: k 1 ,n N * k 1 k ! n S  Giải: Ta có k 1 1 1 1 1    (  ) k! ( k  1)! k ! k ! ( k  1)!  1  =    ( k  1)!  k 1 n  1 1  1  0 =   k 1 k ! n! k 1  (k  1)!  n! n Vậy S  Ví dụ 1.2.3.2. Tính các tổng sau: n 1. A   sin kx k 1 n 2. B   coskx k 1 Giải: 1. Ta có 1 1 1    cos  k   x  cos  k   x  cos  k   x 2 2 2    = 2sin kx.sin x 2 12 1  cos  k   x 2  sin kx   x 2sin 2 Suy ra n n  sin kx = Vậy 1     cos  k  2  x k 1 k 1 2sin x 2 1 x  cos  n   x  cos 2 2   x 2sin 2 2sin  sin  n 1 nx x sin 2 2 x sin 2 sin n Kết quả n 1 nx x sin 2 2 x 2sin 2 A   sin kx  k 1 n 1 nx x sin 2 2 x sin 2 2. Ta có 1 1 1    sin  k   x  sin  k   x  sin  k   x 2 2 2    = 2coskx.sin n n Suy ra  coskx = k 1 1      sin  k  2  x k 1 2sin x 2 x 2 13 1 x  sin  n   x  sin 2 2   x 2sin 2 2cos  cos  n Kết quả B   coskx  k 1 n 1 nx x sin 2 2 x 2sin 2 n 1 nx x sin 2 2 x sin 2 cos n 1 nx x sin 2 2 x sin 2 Ví dụ 1.2.3.3. Tính tổng: S  1 1 1   ...  ,  n  2, n  N  A22 A32 A32 Giải: Ta có An2   n!  n ( n  1) ( n  2)! 1 1 1 1 1      2 An n(n  1) n  1 n n 1 n 1 1 1 n 1    1 =  2 k 2 A k 1 n 1 n n k n  Vậy S 1 1 1 n 1  2  ...  2  2 A2 A3 A3 n 1.2.3.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số Ví dụ 1.2.3.4. Cho dãy số: 1, 2, 2,1, 7,16, 28,... Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó. 14 Giải: Để tìm số hạng tổng quát ( hay quy luật) của dãy số ta lập bảng sai phân sau: un  f  n  1 u n  2u n 2 3 2 0 3 7 1 3 3 6 3 16 9 3 28 12 3 Do  2un  3 là hằng số nên u n  f ( n) là đa thức bậc 2 . Giả sử f (n)  an 2  bn  c(a  0) , n là số thứ tự của các phần tử trong dãy. Cho n  0,1,2 ta được hệ pương trình sau: 3  a   2 c  1  9   a  b  c  2  b  2 4a  2b  c  2   c  1  3 9 Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: u n  n 2  n  1; n  0,1,2... 2 2 3 9 hay u n  (n  1) 2  ( n  1)  1; n  1,2,3... 2 2 Ví dụ 1.2.3.5. Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1,3,11,31,69,131,... Giải: Để tìm số hạng tổng quát (hay quy luật) của dãy số ta lập bảng sai phân sau: 15 un  f  n  1 u n  2u n  3un 3 2 31 11 8 6 20 12 6 38 18 6 131 69 62 24 6 Do 3un  6 là hằng số nên u n  f ( n) là đa thức bậc 3 . Giả sử f (n)  an3  bn 2  cn  d (a  0) , n là số thứ tự của các phần tử trong dãy. Cho n  0,1,2,3 ta được hệ pương trình sau: c  1 a  1 a  b  c  d  3 b  0     8a  4b  2c  d  11 c  1  27a  9b  3c  d  31  d  1 Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: u n  n3  n  1; n  0,1,2... hay u n  n 3  3n 2  4n  1; n  1,2,3... 16 Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính 2.1.1. Định nghĩa Định nghĩa 1. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính giữa sai phân các cấp F  xn , xn ,  2 xn ,...,  k xn   0 trong đó xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn ; cấp lớn nhất (ở đây là bằng k ) của sai phân là bậc của phương trình sai phân tuyến tính. Định nghĩa 2. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau Lh xn  a0 xn k  a1 xn  k 1  ...  ak xn  f n (2.1) trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên hàm xn , xác định trên lưới có bước lưới h ; ai  i  0,1,2,..., k  với a0  0, ak  0 là các hằng số hoặc các hàm số của n , được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là hàm số của n được gọi là vế phải; xn là các giá trị cần tìm được gọi ẩn. Phương trình (2.1) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính bậc k vì để tính được tất cả các giá trị xn , ta phải cho trước k giá trị liên tiếp của xn rồi tính các giá trị còn lại của xn theo công thức truy hồi. Định nghĩa 3. Nếu f n  0 thì (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất. Nếu f n  0 thì (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất. 17 Nếu f n  0 và a0 , a1 ,..., ak là các hằng số với a0  0, ak  0 thì (2.1) gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng số: Lh xn  a0 xn k  a1 xn k 1  ...  ak xn  0 (2.2) 2.1.2. Nghiệm Hàm số xn biến n thỏa mãn (2.1) được gọi là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (2.1).  Hàm số x n thỏa mãn (2.2) được gọi là nghiệm tổng quát của (2.2), nếu với mọi tập giá trị ban đầu x0 , x1 ,..., xk 1 ta đều xác định được duy nhất các tham  số C1 , C2 ,..., Ck để nghiệm x n trở thành nghiệm riêng của (2.2), tức là vừa    thỏa mãn (2.2) vừa thỏa mãn x0  x0 , x1  x1 ,..., x k 1  xk 1 .  Định lí 1. Nghiệm xn của (2.1) bằng tổng xn và xn* , với xn* là nghiệm riêng bất kì của (2.1).  Chứng minh: Giả sử x n và xn* là 2 nghiệm của (2.1), ta có: Lh xn  f n ; Lh xn*  f n . Do Lh tuyến tính nên :  Lh xn  Lh xn*  L  xn  xn*   0 hay xn  xn* thỏa mãn (2.2). Do   đó: xn  xn  xn*  xn  xn  xn* ( điều phải chứng minh).  2.1.2.1. Nghiệm tổng quát x n Định lí 2. Nếu xn1 ,..., xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2) thì nghiệm tổng quát của (2.2) có dạng:  xn  C1 xn1  C2 xn 2  ...  Ck xnk với C1 , C2 ,..., Ck là các hằng số tùy ý. Chứng minh. 18 Do Lh tuyến tính nên  k k Lh xn  Lh  Ci xni   Ci Lh xni  0 i 1 i 1  Vì xni là nghiệm của (2.2) nên Lh xni  0 . Suy ra x n là nghiệm của (2.2). Giả sử x0 , x1 ,..., xk 1 là k giá trị ban đầu tùy ý, ta chứng minh có thể xác    định duy nhất các tham số C1 , C2 ,..., Ck để x0  x0 , x1  x1 ,..., x k 1  xk 1 , tức là hệ C1 x01  C2 x02  ...  Ck x0 k  x0 C x  C x  ...  C x  x  1 11 2 12 k 1k 1  ............................................. C1 xk 1,1  C2 xk 1,2  ...  Ck xk 1,k  xk có nghiệm duy nhất C1 , C2 ,..., Ck với mọi x0 , x1 ,..., xk 1 Muốn vậy định thức x01 x02 ...............x0 k  x11 x12 ...............x1k .............................. xk 1,1 xk 1,2 ........xk 1,k  0 , điều này luôn đúng do tính độc lập tuyến tính của các vectơ nghiệm xn1 , xn 2 ,..., xnk đã cho ở giả thiết.  Ta đi tìm nghiệm x n của (2.2) và xn* của (2.1), từ đó ta tìm nghiệm xn của (2.1). Do phương trình (2.2) luôn có nghiệm xn  0 nên để tìm nghiệm tổng quát ta tìm nghiệm xn của (2.2) dưới dạng xn  C  n , C  0,   0 , thay xn  C n , C  0,   0 vào (2.2) và giản ước cho C n  0 ta thu được: Lh   a0 k  a1 k 1  ...  ak  0 (2.3) 19 Ta gọi (2.3) là phương trình đặc trưng của (2.2) (cũng là phương trình đặc trưng của (2.1)). Nghiệm x n của (2.2) và x.n của (2.1) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (2.3). Định lí 3. (Từ các trường hợp về cấu trúc nghiệm của (2.3) cho ta nghiệm xn của (2.2)). Trường hợp 1: Nếu (2.3) có k nghiệm thực phân biệt 1 , 2 ,..., k thì nghiệm tổng quát của xn của (2.2) có dạng: xn = C1 1n +C2 2n + ……………+ Ck kn k = k i i C  , (i  1, 2,..., k ) và với i 1 Ci là các hằng số tùy ý. Chứng minh Thật vậy: Ta có Lh xn = k k i i C  = 0 (vì Lhin  in (a0 k  a1 k 1  ...  ak )  0 ) Ta lại có: i 1 11........................1  12 ....................k  (i   j )  0(vì i . j  0, i  j ) ............................. 1 j i  k 1k 12k 1...........kk 1  k Theo định lí 2 ta có : x n   Ci ik ( i  1,2,..., k ) là nghiệm tổng quát của i 1 (2.2). Điều phải chứng minh. Trường hợp 2: Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm thực  j bội s thì ngoài nghiệm  j ta lấy thêm các véc tơ bổ sung n jn , n2 jn ,..., n s1 nj cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2) và do đó s 1 x   C ij ni  j  i 0 k n i i  C i 1,i  j , với Ci j , Ci là các hằng số tùy ý. 20 Trường hợp 3: Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức  j  a  bi  r  cos  isin  b r   j  a 2  b 2 ;  acgumen j (tan   ) a trong đó thì (2.3) cũng có nghiệm liên hợp phức  j  a  bi  r (cos  i sin  ) . Khi đó  jn  r n (cos n  isin n );  jn  r n (cos n  isin n ) là các nghiệm của (2.2) Ta lấy x1nj  1 n 1 ( j   jn )  r n cos n ; xnj2  ( jn   jn )  r n sin n 2 2 là các nghiệm độc lập tuyến tính của (2.2), khi đó xn  k n i i  C  r n (C1j cos n  C 2j sin n ) trong đó C1j , Ci , C 2j là các i 1,i  j hằng số tùy ý. Trường hợp 4: Nếu phương trình đặc trưng (2.3) có nghiệm phức  j bội s thì nó cũng có nghiệm liên hợp phức  j bội s , ngoài nghiệm  j1  r nc os n , j 2  r n sin n ta cần lấy thêm 2n  2 véc tơ nghiệm bổ sung  j 2  r n nc os n ;  j 3  r n n 2 c os n ;...;  js  r n n n1c os n  j 2  r n n sin n ;  j 3  r n n 2 sin n ;...;  js  r n n n1 sin n Và theo định lý 2 ta có xn  k n i i  C i 1, i  j  r n ( A1  A2 n  ...  An n s 1 ) cos n  ( B1  B2 n  ...  Bn n s 1 ) sin n  , trong đó Ci , A1 , A2 ,..., As , B1 , B2 ,..., Bs là các hằng số tùy ý.