Tài liệu ứng dụng phương pháp newton kantorovich giải phương trình vi phân

LỜI CẢM ƠN Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Khuất Văn Ninh, người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Khuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2010 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của T.S Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 11 năm 2010 Tác giả Mục lục Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Phương pháp Newton - Kantorovich 14 2.1. Phương pháp làm trội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Toán tử khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Toán tử không khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . . 21 2.2.1. Phương pháp Newton - Kantorovich . . . . . . . 21 2.2.2. Một số định lý cơ bản của phương pháp Newton Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Chương 3. Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich iii giải phương trình vi phân thường 32 3.1. Pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.1. 32 Xét bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Thuật toán giải phương trình vi phân thường cấp một theo phương pháp Newton - Kantorovich . . 34 3.2. Pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3. Giải gần đúng phương trình vi phân thường bằng lập trình Maple 12 theo phương pháp Newton - Kantorovich cải biên 44 3.3.1. Giải gần đúng phương trình vi phân thường cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2. Giải gần đúng phương trình vi phân thường cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67 BẢNG KÝ HIỆU C Tập số phức C[a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] Dk[a;b] Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp k trên [a, b] l2 Tập tất cả những dãy số thực (hoặc phức) x = (xn ) sao cho ∞ P |xn |2 hội tụ chuỗi n=1 L(X, Y ) Tập tất cả các toán tử tuyến tính từ X vào Y N Tập số tự nhiên N∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực Rk Không gian thực k chiều Ø Tập hợp rỗng ∞ Dương vô cùng (tương ứng với +∞) −∞ Âm vô cùng θ Phần tử không k.k Chuẩn  Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Rất nhiều bài toán trong khoa học tự nhiên, trong kinh tế, kỹ thuật dẫn đến việc nghiên cứu giải phương trình có dạng: Ax = y (1) trong đó A là một toán tử từ tập X đến tập Y , x ∈ X, y ∈ Y . Phương trình có dạng (1) được gọi là "phương trình toán tử ". Đã có nhiều nhà khoa học nổi tiếng đề cập đến phương trình toán tử dưới dạng tổng quát như phương trình (1) hoặc những dạng đặc biệt, cụ thể khi A là toán tử vi phân thường, toán tử đạo hàm riêng, toán tử tích phân, . . . Toán tử A có thể là tuyến tính hoặc phi tuyến tính, đơn trị hoặc đa trị. Chính vì vậy, phạm vi ứng dụng của lý thuyết phương trình toán tử là rất rộng lớn. Phạm vi ứng dụng này càng có hiệu lực với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện tử và các công trình nghiên cứu giải gần đúng các phương trình dạng (1). Khởi đầu ta có thể nói đến các công trình của Newton về phương pháp tiếp tuyến giải gần đúng phương trình f (x) = 0. Tiếp theo, ta có thể kể đến các công trình của Kantorovich trong việc xây dựng phương pháp Newton - Kantorovich. Mỗi phương pháp có cách tính toán riêng để tìm nghiệm gần đúng của phương trình (1), trong đó việc xây dựng dãy các xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao được nhiều tác giả quan tâm. Phương pháp Newton - Kantorovich nhằm giải phương trình (1) khi A 2 là toán tử phi tuyến, khả vi. Bản chất của phương pháp này là thay thế phương trình (1) bởi một phương trình tuyến tính, từ đó xây dựng dãy các xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao đến nghiệm của phương trình (1). Trên cở sở lý thuyết của phương pháp Newton - Kantorovich, chúng tôi đi sâu vào nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giải phương trình vi phân thường. Tính hữu dụng của phương pháp Newton - Kantorovich không chỉ ở tốc độ hội tụ cao mà còn thiết lập được thuật toán, từ đó chúng tôi quan tâm đến việc lập trình trên máy tính điện tử giải phương trình vi phân thường. Với những lý do trên, cùng với sự hướng dẫn tận tình của TS. Khuất Văn Ninh, tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: "Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường" 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày lý thuyết của phương pháp Newton – Kantorovich sau đó ứng dụng để giải phương trình vi phân thường, đồng thời nghiên cứu giải phương trình vi phân thường trên máy tính điện tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích nghiên cứu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là: - Phương pháp Newton – Kantorovich. 3 - Ứng dụng phương pháp Newton – Kantorovich giải phương trình vi phân thường. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Ứng dụng phương pháp Newton - Kantorovich giải phương trình vi phân thường. 5. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo. - Phân tích, tổng hợp kiến thức. 6. Đóng góp mới của luận văn - Giải phương trình vi phân thường trên máy tính điện tử. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1. (Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ X → R, được gọi là chuẩn và ký hiệu là k.k thỏa mãn các tiên đề sau: 1) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) kαxk = |α| kxk; 3) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk. Số kxk gọi là chuẩn của véc tơ x. Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định nghĩa 1.1.2. (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim kxn − xk = 0. Ký hiệu lim xn = x hay xn → x (n → ∞). n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.3. (Dãy cơ bản) Dãy điểm {xn } trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu lim kxn − xm k = 0. n,m→∞ Định nghĩa 1.1.4. (Không gian Banach) Không gian định chuẩn X 5 được gọi là gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Ví dụ 1.1.1. Xét không gian véc tơ k - chiều Rk , với mỗisx ∈ Rk , k P x = (x1, x2, ..., xk ) trong đó xi ∈ R, i = 1, 2, .., k. Đặt kxk = |xi|2 . i=1 Khi đó Rk là không gian Banach. Ví dụ 1.1.2. Không gian l2 bao gồm tất cả những dãy số thực s (hoặc ∞ ∞ P P |xn |2 hội tụ với chuẩn kxk = phức) x = (xn ) sao cho chuỗi |xn|2 n=1 n=1 là không gian Banach. Ví dụ 1.1.3. Cho không gian véc tơ C[a,b] . Đối với hàm số bất kỳ x(t) ∈ C[a,b] ta đặt kxk = max |x(t)|. Khi đó C[a,b] là không gian Ba[a,b] nach. 1.2. Toán tử tuyến tính Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.2.1. (Toán tử tuyến tính) Một toán tử A : X → Y gọi là một toán tử tuyến tính nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1) (∀x, y ∈ X) A (x + y) = A (x) + A (y) ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) A (αx) = αA (x) . Ở đây để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x). Nếu X ≡ Y ta nói A là toán tử trong X. Ta ký hiệu : 6 ImA = {y ∈ Y | y = Ax, ∀x ∈ X} là miền giá trị của toán tử A; KerA = {x ∈ X| Ax = 0} là hạch (hạt nhân) của toán tử A. Ví dụ 1.2.1. Cho A : Rn → Rm xác định bởi: n X A (x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., ym) với yi = aij xj , i = 1, m (1.1) j=1 trong đó aij là những hằng số. Ma trận (aij )m×n gọi là ma trận của toán tử A. Dễ thấy (1.1) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến tính từ Rn → Rm . k (Không gian các hàm số có đạo hàm liên Ví dụ 1.2.2. X ≡ Y ≡ D[a;b] tục đến cấp k trên [a; b]) Ax (t) = a0 x (t) + a1 x0 (t) + ... + ak x(k) (t) trong đó a0 , a1 , ..., ak là những hằng số (hoặc những hàm số cho trước k ) là toán tử tuyến tính. A gọi là toán tử vi phân. của t thuộc D[a;b] Rb Ví dụ 1.2.3. X ≡ Y ≡ C[a;b] , Ax (t) = K (t, s) x (s) ds, trong đó a K (t, s) là hàm liên tục theo 2 biến t, s trong hình vuông a ≤ t, s ≤ b. A là toán tử tuyến tính và được gọi là toán tử tích phân. Định nghĩa 1.2.2. (Toán tử liên tục) Giả sử X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử A : X → Y gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu: ∀ {xn } ⊂ X, xn → x0 (n → ∞) thì Axn → Ax0 (n → ∞) Toán tử A gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X. Định nghĩa 1.2.3. (Toán tử bị chặn) Toán tử A : X → Y gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số K > 0 sao cho: kAxk ≤ K kxk , (∀x ∈ X) 7 Định nghĩa 1.2.4. (Toán tử ngược) Toán tử A gọi là có toán tử ngược khi và chỉ khi KerA = {θ} tức là phương trình Ax = 0 chỉ có một nghiệm duy nhất x = θ. Ký hiệu A−1. Nhận xét 1.1. A−1 là toán tử tuyến tính từ ImA lên X và 1) (∀x ∈ X) A−1Ax = x; 2) (∀y ∈ ImA) AA−1y = y. Định nghĩa 1.2.5. (Chuẩn của toán tử) Số K nhỏ nhất trong định nghĩa 1.2.3 gọi là chuẩn của toán tử A. Ký hiệu là kAk. Như vậy: 1) (∀x ∈ X) kAxk ≤ kAk kxk; 2) (∀x ∈ X) kAxk ≤ K kxk thì kAk ≤ K. Định lý 1.2.1. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn. Toán tử tuyến tính A : X → Y . Khi đó các mệnh đề sau tương đương: 1) A liên tục; 2) A liên tục tại x0 ∈ X; 3) A bị chặn. Chứng minh. 1) ⇒ 2) Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa, toán tử A liên tục tại mỗi điểm x ∈ X, do đó A liên tục tại điểm x0 ∈ X. 2) ⇒ 3) Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0 ∈ X, nhưng toán tử A không bị chặn. Khi đó (∀n ∈ N∗ ) (∃xn ∈ X) kAxnk > n kxnk. Hiển nhiên xn 6= θ, đặt yn = xn , nkxn k thì kyn k = 1 n → 0 (n → ∞), nghĩa là yn → θ khi n → ∞ suy ra yn + x0 → x0 (n → ∞). Theo giả thiết, ta có kA (yn + x0) − Ax0k → 0 (n → ∞) ⇒ kAynk → 0 (n → ∞) 8   xn Nhưng kAyn k = A nkxn k = 1 nkxn k kAxnk > 1. Điều này mâu thuẫn với chứng minh trên. Vì vậy toán tử A liên tục tại x0 thì A bị chặn. 3) ⇒ 1) Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa ∃ K > 0 sao cho kAxk ≤ K kxk , ∀x ∈ X. Lấy một điểm bất kỳ x ∈ X và dãy điểm tùy ý {xn } ⊂ X hội tụ tới x. Ta có kAxn − Axk = kA (xn − x)k ≤ K kxn − xk → 0 (n → ∞). Do đó A liên tục tại điểm x. Do tính chất bất kỳ của x ∈ X nên A liên tục trên X. Định lý 1.2.2. Cho A : X → Y là toán tử tuyến tính. Nếu toán tử A bị chặn, thì kAk = sup kAxk (1.2) kAk = sup kAxk (1.3) kxk≤1 hay kxk=1 Chứng minh. Đặt α = sup kAxk. Với mọi x ∈ X mà kxk ≤ 1 ta có kxk≤1 kAxk ≤ kAk kxk ≤ kAk, do đó α = sup kAxk ≤ kAk. Lấy một điểm x ∈ X mà x 6= θ, đặt y = x kxk kxk≤1 ⇒ kyk = 1 ⇒ kAyk ≤ α ⇒ kAxk ≤ α kxk. Hiển nhiên, bất đẳng thức trên đúng với cả x = θ. Suy ra kAxk ≤ α kxk , (∀x ∈ X) ⇒ kAk ≤ α. Vì vậy, α = kAk. Vậy công thức (1.2) được chứng minh. Bây giờ ta chứng minh công thức (1.3). Đặt β = sup kAxk ≤ kAk. kxk=1 Với mọi x ∈ X mà kxk = 1 ta có kAxk ≤ kAk kxk = kAk, do đó β = sup kAxk ≤ kAk. Lấy một điểm x ∈ X mà x 6= θ, đặt y = kxk=1 x kxk ⇒ kyk = 1 ⇒ kAyk ≤ β ⇒ kAxk ≤ β kxk. Rõ ràng, bất đẳng thức trên 9 đúng với cả x = θ. Suy ra kAxk ≤ β kxk , (∀x ∈ X) ⇒ kAk ≤ β. Vì vậy, β = kAk. Định lý 1.2.3. Toán tử tuyến tính A : X → Y có toán tử ngược A−1 liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số α > 0 sao cho: kAxk ≥ α kxk , (∀x ∈ X) . Khi đó A−1 ≤ (1.4) 1 α Chứng minh. Trước hết, ta chứng minh toán tử ngược A−1 của toán tử tuyến tính A là toán tử tuyến tính. Thật vậy, lấy hai phần tử y1 , y2 ∈ Y và hai số tùy ý a, b. Khi đó ∃ x1, x2 ∈ X sao cho y1 = Ax1, y2 = Ax2. Do đó A (ax1 + bx2) = aAx1 + bAx2 = ay1 + by2 Suy ra A−1 (ay1 + by2) = ax1 + bx2 = aA−1y1 + bA−1y2 Điều kiện cần Giả sử toán tử tuyến tính A có toán tử ngược A−1 liên tục. Theo chứng minh trên, A−1 là toán tử tuyến tính. Do đó theo định lý 1.2.1, A−1 bị chặn. Suy ra tồn tại hằng số C > 0 sao cho −1 A y ≤ C kyk , (∀y ∈ Y ) nên C kAxk ≥ A−1 (Ax) = kxk ⇒ kAxk ≥ Đặt α = 1 C ta nhận được (1.4) Điều kiện đủ 1 C kxk , (∀x ∈ X) . 10 Giả sử toán tử tuyến tính A thỏa mãn điều kiện (1.4). Khi đó ∀x1 , x2 ∈ X; x1 6= x2 ta có: α kx1 − x2k ≤ kA (x1 − x2)k = kAx1 − Ax2k ⇒ Ax1 6= Ax2. Do đó A có toán tử ngược A−1. Theo chứng minh trên, toán tử A−1 tuyến tính nên (∀y ∈ Y ) ta có: −1 −1 1
−1 kyk = A A y ≥ α A y ⇒ A y ≤ kyk . α Suy ra, A−1 là toán tử tuyến tính bị chặn. Vậy A−1 liên tục và −1 1 A ≤ α 1.3. Đạo hàm Fréchet Cho X, Y là hai không gian Banach. Toán tử f : X → Y (không nhất thiết tuyến tính). Định nghĩa 1.3.1. Cho x là một điểm cố định trong không gian Banach X. Toán tử f : X → Y gọi là khả vi (theo nghĩa Fréchet) tại x nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục A : X → Y sao cho : f (x + h) − f (x) = A (h) + Φ (x, h) , (∀h ∈ X) kΦ(x,h)k khk khk→0 và lim kf (x+h)−f (x)−A(h)k khk khk→0 = 0 (hay tương đương lim = 0 ). A(h) gọi là vi phân cấp một của toán tử f tại x. Ký kiệu là df (x, h). Toán tử A gọi là đạo hàm cấp một (theo nghĩa Fréchet) của f tại x. Ký hiệu là: f 0 (x). Vậy df (x, h) = f 0 (x) .h (chú ý rằng f 0 (x) là một toán tử nên ký hiệu ở vế phải có nghĩa là trị của toán tử f 0 (x) tại h, đôi khi để tránh nhầm lẫn ta viết [f 0 (x)] (h)). 11 Định lý 1.3.1. Một toán tử được định nghĩa trên một tập con mở của một không gian Banach là khả vi Fréchet tại một điểm thì nó liên tục tại điểm đó. Chứng minh. Cho Ω là một tập mở trong không gian Banach X. Toán tử f : Ω → Y . Lấy x ∈ Ω và ε > 0 thỏa mãn x + h ∈ Ω, ở đó khk < ε thì kf (x + h) − f (x)k = kA (h) + Φ (x, h)k → 0 khi khk → 0. Điều này chứng tỏ rằng f liên tục tại x. Định lý 1.3.2. (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet) Nếu một toán tử có đạo hàm thì đạo hàm đó là duy nhất. Chứng minh. Cho X, Y là hai không gian Banach. Với mỗi x ∈ X, giả sử A, B là hai toán tử tuyến tính liên tục cùng là đạo hàm của toán tử f : X → Y tại x. Khi đó (∀h ∈ X) ta có: f (x + h) − f (x) = A (h) + ΦA (x, h) f (x + h) − f (x) = B (h) + ΦB (x, h) Suy ra A (h) − B (h) ΦA (x, h) − ΦB (x, h) = → θ khi khk → 0 khk khk Nhưng (∀k ∈ X), (∀ε > 0) ta có: A(k)−B(k) kkk = A(εk)−B(εk) . kεkk Khi ε → 0 thì εk → θ nên vế phải dần tới θ do đó A (k) = B (k) , ∀k ∈ X hay A≡B Định lý 1.3.3. Cho X, Y, Z là những không gian Banach thực. Nếu g : X → Y là khả vi Fréchet tại x ∈ X và f : Y → Z khả vi Fréchet 12 tại y = g (x) ∈ Y thì φ = f ◦ g cũng khả vi Fréchet tại x và φ0 (x) = f 0 (g (x)) g 0 (x). Chứng minh. Với x, h ∈ X, ta có: φ (x + h) − φ (x) = f (g (x + h)) − f (g (x)) = f (g (x + h) − g (x) + g (x)) − f (g (x)) = f (d + y) − f (y), trong đó d = g (x + h) − g (x). Do đó kφ (x + h) − φ (x) − f 0 (y) dk = o (kdk), trong biểu diễn của kd − g 0 (x) hk = o (khk). Suy ra kφ (x + h) − φ (x) − f 0 (y) g 0 (x) hk = o (khk) + o (kdk) Khi đó g liên tục tại x, bởi định lý 1.3.1 ta có kdk = o (khk) và vì vậy φ0 (x) .h = f 0 (g (x)) g 0 (x) .h Ví dụ 1.3.1. Nếu f : R → R thì đạo hàm, vi phân Fréchet trùng với khái niệm đạo hàm và vi phân theo nghĩa thông thường. Ví dụ 1.3.2. Xét f : Rn → R, với x = (x1, x2, ..., xn), h = (h1 , h2 , ..., hn) n P ∂f (x) ∈ Rn . Vi phân Fréchet của f tại x là: df (x, h) = ∂xi hi và đạo hàm i=1   ∂f ∂f ∂f 0 của f tại x là: f (x) = ∂x1 , ∂x2 , ..., ∂xn . Ví dụ 1.3.3. Nếu mỗi toán tử fi (x1, x2, ..., xn) : Rn → R, i = 1, m khả vi tại x = (x1, x2, ..., xn) thì toán tử f = (f1, f2, ..., fm) : Rn → Rm khả vi tại x và df (x, h) = (df1 (x, h) , df2 (x, h) , ..., dfm (x, h)). Đạo hàm của f trong trường hợp này là một ma trận cỡ m × n với   ∂fi 0 0 (ma trận Jacobi của f ) dòng thứ i bằng fi (x), nghĩa là: f (x) = ∂x j Định nghĩa 1.3.2. Giả sử toán tử f : X → Y khả vi tại mọi điểm thuộc tập mở Ω ⊂ X. Đạo hàm này như đã định nghĩa ở trên là một toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y , tức là f 0 : Ω → L (X, Y ). Ta nói 13 toán tử f hai lần khả vi tại x nếu f 0 khả vi tại x nghĩa là tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục Q : Ω → L (X, Y ) sao cho với x, k ∈ Ω có f 0 (x + k) − f 0 (x) = Q (k) + Φ (x, k) với kΦ(x,k)k kkk → 0 khi kkk → 0. Với mọi h ∈ X ta có: f 0 (x + k) .h − f 0 (x) .h = Q (k) .h + Φ (x, k) .h hay df (x + k, h) − df (x, h) = Q (k) .h + Φ (x, k) .h Đặt Q (k, h) = Q (k) .h, ta thấy Q (k, h) là toán tử song tuyến tính liên tục từ X × X → Y . Toán tử Q gọi là đạo hàm cấp hai của f tại x, ký hiệu là f 00 (x). Q (k, h) gọi là vi phân Fréchet cấp hai của toán tử f tại x, ký hiệu là d2f (x; k, h). Vậy d2 f (x; k, h) = f 00 (x) . (k, h) 1.4. Kết luận Trong chương này đã trình bày định nghĩa, một số tính chất cơ bản của không gian Banach, toán tử tuyến tính, đạo hàm Fréchet và một số ví dụ minh họa. Đây là chương rất cần thiết nhằm hỗ trợ, bổ sung những kiến thức cơ bản phục vụ cho nội dung các chương sau, đặc biệt là chương 2. Nội dung chương 2 sẽ trình bày phương pháp Newton Kantorovich và một số định lý cơ bản của phương pháp đó. Chương 2 Phương pháp Newton - Kantorovich Giả sử P là toán tử tác động trong không gian Banach X. Trong chương này chúng ta xét phương trình toán tử P (x) = 0 và giải gần đúng phương trình này bằng phương pháp Newton - Kantorovich. 2.1. Phương pháp làm trội Phương pháp làm trội đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu phương pháp Newton - Kantorovich. Chính vì vậy, trong mục này ta sẽ trình bày phương pháp làm trội và các mở rộng của nó. Xét phương trình: x = A (x) (2.1) trong đó A là toán tử xác định trong hình cầu S (x0, r) của không gian Banach X. Cùng với phương trình (2.1), ta xét phương trình: u = ϕ (u) (2.2) trong đó ϕ (u) là hàm số xác định trên đoạn [u0; u0 ] , (u0 = u0 + r). 2.1.1. Toán tử khả vi Định nghĩa 2.1.1. Ta nói rằng phương trình (2.2) là phương trình làm 15 trội của phương trình (2.1) nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) kA (x0) − x0k ≤ ϕ (u0 ) − u0 ; 2) kA0 (x)k ≤ ϕ0 (u) nếu kx − x0k ≤ u − u0. trong đó A0 (x) là đạo hàm Fréchet của toán tử A (x). Các xấp xỉ liên tiếp của phương trình (2.1) và (2.2) được xây dựng như sau: xn = A (xn−1) , n = 1, 2, ... (2.3) un = ϕ (un−1 ) , n = 1, 2, ...; u0 = u0 (2.4) Bổ đề 2.1. Nếu hàm số ϕ (u), γ1 ≤ u ≤ γ2 liên tục, không giảm và phương trình (2.2) có ít nhất một nghiệm. Khi đó: 1) Nếu ϕ (γ1) ≥ γ1 thì dãy {un } hội tụ đến nghiệm u của phương trình (2.2); 2) Nếu ϕ (γ2) ≤ γ2 thì dãy {un } hội tụ đến nghiệm u của phương trình (2.2); 3) Nếu γ1 ≤ ϕ (γ1) ≤ ϕ (γ2) ≤ γ2 và phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất thì các dãy {un }, {un } hội tụ tới nghiệm đó. Chứng minh. 1) Trước hết ta chứng minh rằng un ≤ u∗, trong đó u∗ là nghiệm của phương trình (2.2). Từ đó suy ra un có nghĩa với mọi n. Thật vậy, ta có u0 ≤ γ1 ≤ u∗. Giả sử un−1 ≤ u∗. Khi đó un = ϕ (un−1) ≤ ϕ (u∗) = u∗, do đó un ≤ u∗, ∀n. Bây giờ ta chứng minh dãy {un } không giảm. Ta có u1 = ϕ (u0 ) = ϕ (γ1) ≥ γ1 = u0 . Giả sử un ≥ un−1. Khi đó un+1 = ϕ (un ) ≥ ϕ (un−1) = un . Vậy dãy {un } không giảm, bị chặn trên nên nó hội tụ. Giả sử lim un = u. Chuyển qua giới n→∞