Tài liệu ứng dụng phương pháp newton kantorovich giải phương trình tích phân phi tuyến

LÍI CƒM ÌN T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi th¦y gi¡o PGS. TS. Khu§t V«n Ninh, ng÷íi ¢ h÷îng d¨n v  gióp ï tªn t¼nh º t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n n y. T§m g÷ìng am m¶ nghi¶n cùu khoa håc, nghi¶m tóc trong cæng vi»c cõa th¦y ¢ gióp cho t¡c gi£ câ þ thùc tr¡ch nhi»m v  quy¸t t¥m cao khi ho n th nh luªn v«n cõa m¼nh. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y gi¡o d¤y cao håc chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch, Ban gi¡m hi»u, Pháng Sau ¤i håc Tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ truy·n thö ki¸n thùc v  t¤o måi i·u ki»n gióp ï trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n n y. T¡c gi£ c£m ìn Sð GD-T Qu£ng Ninh, Ban gi¡m hi»u tr÷íng THPT Tr¦n Phó ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi º t¡c gi£ an t¥m håc tªp v  ho n th nh tèt luªn v«n. Xin gûi líi c£m ìn gia ¼nh v  b¤n b± ¢ còng çng h nh, gióp ï t¡c gi£ trong suèt khâa håc th¤c s¾ n y. H  Nëi, th¡ng 11 n«m 2011 T¡c gi£ LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan luªn v«n l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS. TS. Khu§t V«n Ninh. Trong khi nghi¶n cùu luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøa th nh qu£ khoa håc cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn. Mët sè k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc trong luªn v«n l  mîi v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t ký cæng tr¼nh khoa håc n o cõa ai kh¡c. H  Nëi, th¡ng 11 n«m 2011 T¡c gi£ Möc löc Mð ¦u 1 Ch÷ìng 1. Ki¸n thùc bê trñ 4 1.1. Khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. To¡n tû tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. ¤o h m Fr²chet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. Ph÷ìng ph¡p t½nh t½ch ph¥n li¶n quan . . . . . . . . . . 14 1.6.1. Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p . . . . . . . . . . . 14 1.6.2. Ph÷ìng ph¡p nh¥n suy bi¸n . . . . . . . . . . . . 15 Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovich 18 2.1. Ph÷ìng ph¡p l m trëi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. To¡n tû kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. To¡n tû khæng kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovich . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovich . . . . . . . 26 iii 2.2.2. Mët sè ành lþ cì b£n cõa ph÷ìng ph¡p Newton Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Ch÷ìng 3. Ùng döng gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n 37 3.1. Ùng döng ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n Fredholm d¤ng Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n Volterra . . . . 39 3.1.3. Thuªt to¡n gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n theo ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich . . . . . . 41 3.2. V½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3. Ùng döng gi£i g¦n óng tr¶n m¡y t½nh i»n tû b¬ng ph¦n m·m Maple 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 K¸t luªn 61 T i li»u tham kh£o 62 BƒNG KÞ HI›U C Tªp sè phùc C[a;b] Tªp t§t c£ c¡c h m sè thüc li¶n töc tr¶n [a, b] L2[a;b] Tªp t§t c£ c¡c h m sè thüc b¼nh ph÷ìng kh£ t½ch tr¶n [a, b] Dk[a;b] Tªp t§t c£ c¡c h m sè x¡c ành v  câ ¤o h m li¶n töc ¸n c§p k tr¶n [a, b] l2 Tªp t§t c£ nhúng d¢y sè thüc (ho°c phùc) x = (xn ) sao cho ∞ P |xn |2 hëi tö chuéi n=1 L(X, Y ) Tªp t§t c£ c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc tø X v o Y N Tªp sè tü nhi¶n N∗ Tªp sè tü nhi¶n kh¡c khæng R Tªp sè thüc Rk Khæng gian thüc k chi·u Ø Tªp hñp réng k.k Chu©n  K¸t thóc chùng minh MÐ †U 1. Lþ do chån · t i Gi¡o s÷ Kantorovich ¤t gi£i th÷ðng Nobel kinh t¸ n«m 1975 vîi c¡c cæng tr¼nh nghi¶n cùu v· "Ph¥n bè tèi ÷u nguçn nh¥n lüc", æng công l  nh  nghi¶n cùu to¡n håc vîi c£ hai l¾nh vüc To¡n lþ thuy¸t v  To¡n ùng döng vîi c¡c v§n · nh÷ Gi£i t½ch h m tr¶n c¡c khæng gian ành chu©n, c¡c ph÷ìng ph¡p x§p x¿,... Æng ¢ mð rëng ph÷ìng ph¡p Newton gi£i ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n d¤ng f (x) = 0 cho ph÷ìng tr¼nh d¤ng F (x) = 0 (1) ÷ñc ành ngh¾a giúa hai khæng gian Banach F : X −→ Y , theo ph÷ìng ph¡p mð rëng â x¥y düng ÷ñc d¢y l°p hëi tö tîi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1) xn+1 = xn − [F 0 (xn )]−1 F (xn ), n = 0, 1, 2, ... (2) v  ph÷ìng ph¡p n y ÷ñc gåi l  ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich. Trong ành lþ mang t¶n m¼nh, Kantorovich ¢ ch¿ ra ÷ñc c¡c i·u ki»n cõa gi¡ trà ban ¦u x0 º d¢y (2) hëi tö ¸n nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1). âng gâp ch½nh cõa GS. Kantorovich l  sû döng c¡c cæng cö Gi£i t½ch h m º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n cõa Gi£i t½ch sè. Æng công ÷a ra ÷ñc cæng thùc têng qu¡t cõa b i to¡n vîi nhi·u ùng döng: h» ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n, ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v  t½ch ph¥n, b i to¡n bi¸n ph¥n,... 2 Sau khi Fredholm ÷a ra ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tuy¸n t½nh trong mët b i b¡o cõa m¼nh n«m 1903, lþ thuy¸t to¡n tû t½ch ph¥n ¢ ph¡t triºn r§t m¤nh m³ v  câ ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc, trong â câ c£ lþ thuy¸t chuéi Fourier v  t½ch ph¥n Fourier. Tuy vªy, to¡n tû t½ch ph¥n tuy¸n t½nh v¨n ch÷a ¡p ùng ÷ñc mët sè b i to¡n trong thüc t¸ công nh÷ trong c¡c ng nh khoa håc kh¡c. Mët thíi gian sau â lþ thuy¸t to¡n tû t½ch ph¥n phi tuy¸n ÷ñc · cªp v  ¢ ¡p ùng ÷ñc y¶u c¦u cõa To¡n håc v  thüc ti¹n. Vi»c gi£i x§p x¿ c¡c b i to¡n câ þ ngh¾a thüc t¸ quan trång, °c bi»t trong giai o¤n hi»n nay vîi sü hé trñ cõa m¡y t½nh i»n tû vi»c n y c ng trð l¶n câ hi»u lüc. Ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich x¥y düng ÷ñc d¢y x§p x¿ hëi tö ¸n nghi»m vîi tèc ë hëi tö tèt, câ thuªt to¡n rã r ng, câ thº c i °t ÷ñc c¡c ch÷ìng tr¼nh cho m¡y t½nh i»n tû thüc hi»n. Vîi c¡c lþ do nh÷ tr¶n chóng tæi mong muèn ÷ñc t¼m hiºu, nghi¶n cùu s¥u hìn v· Ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich v  ùng döng v o gi£i mët lîp b i to¡n câ nhi·u ùng döng trong khoa håc tü nhi¶n, kinh t¸, kÿ thuªt - ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n. D÷îi sü ành h÷îng v  h÷îng d¨n cõa PGS. TS. Khu§t V«n Ninh, chóng tæi quy¸t ành chån · t i "Ùng döng ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n " l m · t i khâa luªn tèt nghi»p th¤c s¾ ng nh To¡n gi£i t½ch. 3 2. Möc ½ch nghi¶n cùu Tr¼nh b y lþ thuy¸t cõa ph÷ìng ph¡p Newton-Kantorovich v  ùng döng º gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n, çng thíi nghi¶n cùu gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n tr¶n m¡y t½nh i»n tû. 3. Nhi»m vö nghi¶n cùu - Ph÷ìng ph¡p Newton  Kantorovich. - Ùng döng ph÷ìng ph¡p Newton  Kantorovich gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n. 4. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu Ùng döng ph÷ìng ph¡p Newton - Kantorovich gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n. 5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu - Nghi¶n cùu lþ luªn, t i li»u chuy¶n kh£o. - Ph¥n t½ch, têng hñp ki¸n thùc. 6. âng gâp mîi cõa luªn v«n - Gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n tr¶n m¡y t½nh i»n tû. Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc bê trñ 1.1. Khæng gian Banach ành ngh¾a 1.1.1. (Khæng gian ành chu©n) Mët khæng gian ành chu©n (hay khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n) l  khæng gian tuy¸n t½nh X tr¶n tr÷íng P (P = R ho°c P = C) còng vîi mët ¡nh x¤ X → R, ÷ñc gåi l  chu©n v  kþ hi»u l  k.k thäa m¢n c¡c ti¶n · sau: 1) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) kαxk = |α| kxk; 3) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk. Sè kxk gåi l  chu©n cõa v²c tì x. Ta công kþ hi»u khæng gian ành chu©n l  X . C¡c ti¶n · 1), 2), 3) gåi l  h» ti¶n · chu©n. ành ngh¾a 1.1.2. (Sü hëi tö trong khæng gian ành chu©n) D¢y iºm cõa khæng gian ành chu©n X ÷ñc gåi l  hëi tö tîi iºm x ∈ X n¸u n→∞ lim kxn − xk = 0. Kþ hi»u lim xn = x hay xn → x (n → ∞). n→∞ {xn } ành ngh¾a 1.1.3. (D¢y cì b£n) D¢y iºm {xn} trong khæng gian ành chu©n X ÷ñc gåi l  d¢y cì b£n n¸u n,m→∞ lim kxn − xm k = 0. ành ngh¾a 1.1.4. (Khæng gian Banach) Khæng gian ành chu©n X 5 ÷ñc gåi l  gåi l  khæng gian Banach, n¸u måi d¢y cì b£n trong X ·u hëi tö. V½ dö 1.1.1. X²t khæng gian v²c tì k - chi·u Rk , vîi méisx ∈ Rk , x = (x1 , x2 , ..., xk ) trong â xi ∈ R, i = 1, 2, .., k . °t kxk = k P |xi |2 . i=1 Khi â R l  khæng gian Banach. k V½ dö 1.1.2. Khæng gian l2 bao gçm t§t c£ nhúng d¢y sè thüc s (ho°c phùc) x = (xn ) sao cho chuéi ∞ P 2 |xn | hëi tö vîi chu©n kxk = n=1 ∞ P |xn |2 n=1 l  khæng gian Banach. V½ dö 1.1.3. Cho khæng gian v²c tì C[a,b]. Vîi h m sè b§t ký x(t) ∈ C[a,b] ta °t kxk = max |x(t)|. Khi â C[a,b] l  khæng gian Banach. [a,b] 1.2. Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach ành ngh¾a 1.2.1. Cho hai khæng gian metric M1 = (X, d1) ; M2 = (X, d2 ). nh x¤ khæng gian M1 v o khæng gian M2 gåi l  ¡nh x¤ co, n¸u tçn t¤i sè α, 0 ≤ α < 1 sao cho: d2 (Ax, Ax0 ) ≤ αd1 (x, x0 ) , ∀x, x0 ∈ X Trong mët ph²p ¡nh x¤ tø X v o ch½nh nâ câ thº câ nhúng iºm m  £nh cõa nâ tròng vîi ch½nh nâ: nhúng iºm nh÷ th¸, tùc l  nhúng iºm x sao cho Ax = x gåi l  iºm b§t ëng trong ¡nh x¤. Vi»c t¼m iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ l  v§n · câ nhi·u ùng döng trong gi£i t½ch, nh§t l  trong lþ thuy¸t c¡c ph÷ìng tr¼nh (vi ph¥n, ¤o h m ri¶ng, t½ch ph¥n), 6 v¼ mët iºm x b§t ëng trong ¡nh x¤ A ch½nh l  líi gi£i cõa ph÷ìng tr¼nh Ax = x ành lþ 1.2.1. (Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach) Måi ¡nh x¤ co A ¡nh x¤ khæng gian metric õ (¦y õ) M b§t ëng x∗ duy nh§t. = (X, d) v o ch½nh nâ ·u câ iºm Chùng minh. Xem [5] 1.3. To¡n tû tuy¸n t½nh Cho X , Y l  hai khæng gian ành chu©n. ành ngh¾a 1.3.1. (To¡n tû tuy¸n t½nh) Mët to¡n tû A : X → Y gåi l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: 1) (∀x, y ∈ X) A (x + y) = A (x) + A (y) ; 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) A (αx) = αA (x) . Ð ¥y º cho gån ta vi¸t Ax thay cho A(x). N¸u X ≡ Y ta nâi A l  to¡n tû trong X . Ta kþ hi»u : ImA = {y ∈ Y | y = Ax, ∀x ∈ X} l  mi·n gi¡ trà cõa to¡n tû A; KerA = {x ∈ X| Ax = 0} l  h¤ch (h¤t nh¥n) cõa to¡n tû A. V½ dö 1.3.1. Cho A : Rn → Rm x¡c ành bði: A (x1 , x2 , ..., xn ) = (y1 , y2 , ..., ym ) vîi yi = n X j=1 aij xj , i = 1, m (1.1) 7 trong â aij l  nhúng h¬ng sè. Ma trªn (aij )m×n gåi l  ma trªn cõa to¡n tû A. D¹ th§y (1.1) l  d¤ng têng qu¡t cõa måi to¡n tû tuy¸n t½nh tø Rn → Rm . k V½ dö 1.3.2. X ≡ Y ≡ D[a;b] (Khæng gian c¡c h m sè câ ¤o h m li¶n töc ¸n c§p k tr¶n [a; b]) Ax (t) = a0 x (t) + a1 x0 (t) + ... + ak x(k) (t) trong â a0 , a1 , ..., ak l  nhúng h¬ng sè (ho°c nhúng h m sè cho tr÷îc k ) l  to¡n tû tuy¸n t½nh. A gåi l  to¡n tû vi ph¥n. cõa t thuëc D[a;b] V½ dö 1.3.3. X ≡ Y ≡ C[a;b] , Ax (t) = Rb K (t, s)x (s) ds, trong â a K (t, s) l  h m li¶n töc theo 2 bi¸n t, s trong h¼nh vuæng a ≤ t, s ≤ b. A l  to¡n tû tuy¸n t½nh v  ÷ñc gåi l  to¡n tû t½ch ph¥n. ành ngh¾a 1.3.2. (To¡n tû li¶n töc) Gi£ sû X, Y l  hai khæng gian ành chu©n. To¡n tû A : X → Y gåi l  li¶n töc t¤i x0 ∈ X n¸u: ∀ {xn } ⊂ X, xn → x0 (n → ∞) th¼ Axn → Ax0 (n → ∞) To¡n tû A gåi l  li¶n töc tr¶n X n¸u nâ li¶n töc t¤i måi iºm thuëc X . ành ngh¾a 1.3.3. (To¡n tû bà ch°n) To¡n tû A : X → Y gåi l  bà ch°n n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè K > 0 sao cho: kAxk ≤ K kxk , (∀x ∈ X) ành ngh¾a 1.3.4. (To¡n tû ng÷ñc) To¡n tû A gåi l  câ to¡n tû ng÷ñc khi v  ch¿ khi KerA = {θ} tùc l  ph÷ìng tr¼nh Ax = 0 ch¿ câ mët nghi»m duy nh§t x = θ. Kþ hi»u A−1. 8 Nhªn x²t 1.1. A−1 l  to¡n tû tuy¸n t½nh tø ImA l¶n X v  1) (∀x ∈ X) A−1 Ax = x; 2) (∀y ∈ ImA) AA−1 y = y. ành ngh¾a 1.3.5. (Chu©n cõa to¡n tû) Sè K nhä nh§t trong ành ngh¾a 1.3.3 gåi l  chu©n cõa to¡n tû A. Kþ hi»u l  kAk. Nh÷ vªy: 1) (∀x ∈ X) kAxk ≤ kAk kxk; 2) (∀x ∈ X) kAxk ≤ K kxk th¼ kAk ≤ K . ành lþ 1.3.1. Cho X, Y l  hai khæng gian ành chu©n. To¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y . Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng: 1) A li¶n töc; 2) A li¶n töc t¤i x0 ∈ X ; 3) A bà ch°n. Chùng minh. Xem [5] ành lþ 1.3.2. Cho A : X → Y l  to¡n tû tuy¸n t½nh. N¸u to¡n tû A bà ch°n, th¼ kAk = sup kAxk (1.2) kxk≤1 hay kAk = sup kAxk (1.3) kxk=1 Chùng minh. Xem [5]. ành lþ 1.3.3. To¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y câ to¡n tû ng÷ñc A−1 li¶n töc khi v  ch¿ khi tçn t¤i h¬ng sè α > 0 sao cho: kAxk ≥ α kxk , (∀x ∈ X) . (1.4) 9 Khi â A−1 ≤ α1 Chùng minh. Xem [5]. 1.4. ¤o h m Fr²chet Cho X, Y l  hai khæng gian Banach. To¡n tû f : X → Y (khæng nh§t thi¸t tuy¸n t½nh). ành ngh¾a 1.4.1. Cho x l  mët iºm cè ành trong khæng gian Banach X. To¡n tû f : X → Y gåi l  kh£ vi (theo ngh¾a Fr²chet ) t¤i x n¸u tçn t¤i mët to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc A : X → Y sao cho : f (x + h) − f (x) = A (h) + Φ (x, h) , (∀h ∈ X) (x)−A(h)k = 0 (hay t÷ìng ÷ìng lim kf (x+h)−f = 0 ). v  khk→0 lim kΦ(x,h)k khk khk khk→0 A(h) gåi l  vi ph¥n c§p mët cõa to¡n tû f t¤i x. Kþ ki»u l  df (x, h). To¡n tû A gåi l  ¤o h m c§p mët (theo ngh¾a Fr²chet ) cõa f t¤i x. Kþ hi»u l : f 0 (x). Vªy df (x, h) = f 0 (x) .h (chó þ r¬ng f 0 (x) l  mët to¡n tû n¶n kþ hi»u ð v¸ ph£i câ ngh¾a l  trà cõa to¡n tû f 0 (x) t¤i h, æi khi º tr¡nh nh¦m l¨n ta vi¸t [f 0 (x)] (h)). ành lþ 1.4.1. Mët to¡n tû ÷ñc ành ngh¾a tr¶n mët tªp con mð cõa mët khæng gian Banach l  kh£ vi Fr²chet t¤i mët iºm th¼ nâ li¶n töc t¤i iºm â. Chùng minh. Cho Ω l  mët tªp mð trong khæng gian Banach X . To¡n tû f : Ω → Y . L§y x ∈ Ω v  ε > 0 thäa m¢n x + h ∈ Ω, ð â khk < ε 10 th¼ kf (x + h) − f (x)k = kA (h) + Φ (x, h)k → 0 khi khk → 0. i·u n y chùng tä r¬ng f li¶n töc t¤i x. ành lþ 1.4.2. (T½nh duy nh§t cõa ¤o h m Fr²chet) N¸u mët to¡n tû câ ¤o h m th¼ ¤o h m â l  duy nh§t. Chùng minh. Cho X, Y l  hai khæng gian Banach. Vîi méi x ∈ X , gi£ sû A, B l  hai to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc còng l  ¤o h m cõa to¡n tû f : X → Y t¤i x. Khi â (∀h ∈ X) ta câ: f (x + h) − f (x) = A (h) + ΦA (x, h) f (x + h) − f (x) = B (h) + ΦB (x, h) Suy ra A (h) − B (h) ΦB (x, h) − ΦA (x, h) = → θ khi khk → 0 khk khk Nh÷ng (∀k ∈ X), (∀ε > 0) ta câ: A(k)−B(k) kkk = A(εk)−B(εk) . kεkk Khi ε → 0 th¼ εk → θ n¶n v¸ ph£i d¦n tîi θ do â A (k) = B (k) , ∀k ∈ X hay A≡B ành lþ 1.4.3. Cho X, Y, Z l  nhúng khæng gian Banach thüc. N¸u l  kh£ vi Fr²chet t¤i x ∈ X v  f : Y → Z kh£ vi Fr²chet t¤i y = g (x) ∈ Y th¼ φ = f ◦ g công kh£ vi Fr²chet t¤i x v  φ0 (x) = f 0 (g (x)) g 0 (x). g :X →Y Chùng minh. Vîi x, h ∈ X , ta câ: φ (x + h) − φ (x) = f (g (x + h)) − f (g (x)) = f (g (x + h) − g (x) + g (x)) − f (g (x)) = f (d + y) − f (y), 11 trong â d = g (x + h) − g (x). Do â kφ (x + h) − φ (x) − f 0 (y) dk = o (kdk), trong biºu di¹n cõa kd − g 0 (x) hk = o (khk). Suy ra kφ (x + h) − φ (x) − f 0 (y) g 0 (x) hk = o (khk) + o (kdk) Khi â g li¶n töc t¤i x, bði ành lþ 1.3.1 ta câ kdk = o (khk) v  v¼ vªy φ0 (x) .h = f 0 (g (x)) g 0 (x) .h . V½ dö 1.4.1. N¸u f : R → R th¼ ¤o h m, vi ph¥n Fr²chet tròng vîi kh¡i ni»m ¤o h m v  vi ph¥n theo ngh¾a thæng th÷íng. V½ dö 1.4.2. X²t f : Rn → R, vîi x = (x1, x2, ..., xn), h = (h1, h2, ..., hn) n P ∂f (x) ∈ Rn . Vi ph¥n Fr²chet cõa f t¤i x l : df (x, h) = ∂xi hi v  ¤o h m i=1   ∂f ∂f ∂f 0 cõa f t¤i x l : f (x) = ∂x1 , ∂x2 , ..., ∂xn . V½ dö 1.4.3. N¸u méi to¡n tû fi (x1, x2, ..., xn) : Rn → R, i = 1, m kh£ vi t¤i x = (x1 , x2 , ..., xn ) th¼ to¡n tû f = (f1 , f2 , ..., fm ) : Rn → Rm kh£ vi t¤i x v  df (x, h) = (df1 (x, h) , df2 (x, h) , ..., dfm (x, h)). ¤o h m cõa f trong tr÷íng hñp n y l  mët ma trªn cï m × n vîi   ∂fi 0 0 dáng thù i b¬ng fi (x), ngh¾a l : f (x) = ∂x (ma trªn Jacobi cõa f ). j ành ngh¾a 1.4.2. Gi£ sû to¡n tû f kh£ vi t¤i måi iºm thuëc tªp mð Ω ⊂ X . ¤o h m n y nh÷ ¢ ành ngh¾a ð tr¶n l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc tø X v o Y , tùc l  f 0 : Ω → L (X, Y ). Ta nâi to¡n tû f hai l¦n kh£ vi t¤i x n¸u f 0 kh£ vi t¤i x ngh¾a l  tçn t¤i mët to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc Q : Ω → L (X, Y ) sao cho vîi x, k ∈ Ω câ f 0 (x + k) − f 0 (x) = Q (k) + Φ (x, k) vîi kΦ(x,k)k → 0 khi kkk → 0. kkk Vîi måi h ∈ X ta câ: f 0 (x + k) .h − f 0 (x) .h = Q (k) .h + Φ (x, k) .h : X → Y 12 hay df (x + k, h) − df (x, h) = Q (k) .h + Φ (x, k) .h °t Q (k, h) = Q (k) .h, ta th§y Q (k, h) l  to¡n tû song tuy¸n t½nh li¶n töc tø X × X → Y . To¡n tû Q gåi l  ¤o h m c§p hai cõa f t¤i x, kþ hi»u l  f 00 (x). Q (k, h) gåi l  vi ph¥n Fr²chet c§p hai cõa to¡n tû f t¤i x, kþ hi»u l  d2 f (x; k, h). Vªy d2 f (x; k, h) = f 00 (x) . (k, h). 1.5. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Cho A l  to¡n tû tø khæng gian Banach X v o ch½nh nâ. Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû: Ax = f (1.5) x = λAx + f (1.6) trong â f ∈ X cho tr÷îc, λ l  væ h÷îng tr¶n tr÷íng K(K = C ho°c K = R). Ph÷ìng tr¼nh (1.5) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh lo¤i I, ph÷ìng tr¼nh (1.6) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh lo¤i II. • N¸u A l  to¡n tû t½ch ph¥n tuy¸n t½nh th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.5), (1.6) l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n tuy¸n t½nh. • N¸u A l  to¡n tû t½ch ph¥n nh÷ng khæng gi£ thi¸t tuy¸n t½nh th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.5), (1.6) l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n t½nh. 13 ành ngh¾a 1.5.1. Ph÷ìng tr¼nh d¤ng: Zx K[x, t, y(t)]dt = f (x) (1.7) a Zx y(x) = K[x, t, y(t)]dt + f (x) (1.8) a trong â K[x, t, y(t)](t, s ∈ [a, b]) l  h m sè ba bi¸n li¶n töc; y(x) l  h m sè ch÷a bi¸t, li¶n töc tr¶n o¤n [a, b]; ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n Volterra, t÷ìng ùng lo¤i I v  lo¤i II d¤ng Urysohn. K[x, t, y(t)] l  nh¥n cõa to¡n tû t½ch ph¥n. ành ngh¾a 1.5.2. Ph÷ìng tr¼nh d¤ng: Zb K[x, t, y(t)]dt = f (x) (1.9) a Zb K[x, t, y(t)]dt + f (x) y(x) = (1.10) a trong â K[x, t, y(t)](t, s ∈ [a, b]) l  h m sè ba bi¸n li¶n töc; y(x) l  h m sè ch÷a bi¸t, li¶n töc tr¶n o¤n [a, b]; ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n phi tuy¸n Fredholm, t÷ìng ùng lo¤i I v  lo¤i II d¤ng Urysohn. Ta nâi nh¥n K[x, t, y(t)] cõa to¡n tû t½ch ph¥n l  suy bi¸n n¸u K[x, t, y(t)] = n X gi (x)hi [t, y(t)] i=1 V½ dö 1.5.1. Ph÷ìng tr¼nh x(t) = λ R1 (t + s)x(s)ds+t2 l  ph÷ìng tr¼nh −1 t½ch ph¥n tuy¸n t½nh vîi nh¥n suy bi¸n. 14 1.6. Ph÷ìng ph¡p t½nh t½ch ph¥n li¶n quan 1.6.1. Ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p X²t ph÷ìng tr¼nh (1.6), °t T x = λAx + f . T li¶n töc Lipschitz: kT x − T x0 k = kλA(x − x0 )k ≤ |λ| kAk kx − x0 k X l  khæng gian Banach v  n¸u |λ| kAk < 1 th¼ theo nguy¶n lþ ¡nh x¤ co, ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ nghi»m x∗ duy nh§t, ngo i ra, ph²p l°p: xn+1 = λAxn + f (vîi n ≥ 0) (1.11) vîi måi x§p x¿ ban ¦u x0 ·u hëi tö ¸n nghi»m x∗ , hìn núa, chóng ta câ c¡c ÷îc l÷ñng sau: qn kx1 − x0 k 1−q q kxn − x∗ k ≤ kxn − xn−1 k 1−q kxn − x∗ k ≤ qu¡ tr¼nh t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.6) b¬ng c¡ch x¥y düng d¢y l°p (1.11) gåi l  ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p. V½ dö 1.6.1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh sau b¬ng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p Zx y(x) = [ty 2 (t) − 1]dt 0 Gi£ sû chóng ta chån x§p x¿ ban ¦u y0 (x) = 0 th¼ Zx (−1)dt = −x y1 (x) = 0 15 Zx y2 (x) = 1 (t3 − 1)dt = −x + x4 4 0   Zx   1 8 1 5 1 1 1 10 2 y3 (x) = t t − t + t − 1 dt = −x + x4 − x7 + x 16 2 4 14 160 0 Vªy nghi»m x§p x¿ l  y(x) = −x + 41 x4 − 1 7 14 x + 1 10 160 x . 1.6.2. Ph÷ìng ph¡p nh¥n suy bi¸n X²t ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n (1.10) Zb y(x) = K[x, t, y(t)]dt + f (x) a vîi h¤t nh¥n suy bi¸n K[x, t, y(t)] = n P gi (x)hi [t, y(t)] i=1 y(x) = n X Zb hi [t, y(t)]dt + f (x) gi (x) i=1 a °t Zb ci = (1.12) hi [t, y(t)]dt a ta câ ÷ñc y(x) = n X (1.13) ci gi (x) + f (x) i=1 thay tø ph÷ìng tr¼nh (1.13) v o ph÷ìng tr¼nh (1.12) chóng ta thu ÷ñc h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh Zb cj = Zb hi [t, y(t)]dt = a " hi t, a n X i=1 # ci gi (t) + f (t) dt (1.14)