Tài liệu ứng dụng phƣơng phấp điểm bất động trong sự tổn tại nghiệm của phƣơng trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SỰ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------------ LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHẤP ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG SỰ TỔN TẠI NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 1. 01. 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DÂN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ HOÀN HÓA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2007 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả luận án Lê Thị Phƣơng Ngọc LỜI CÁM ƠN Tôi vô cùng biết ơn PGS. TS. Lê Hoàn Hoa, Khoa Toán - Tin học, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thầy đã giảng dạy, hƣớng dẫn và tận tình giúp đỡ tôi về mọi mặt trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy thật sự là Ngƣời Cha nghiêm khắc của tôi trong việc chỉ bảo và rèn luyện cho tôi những đức tính cần có của ngƣời làm khoa học. Tôi biết ơn sâu sắc TS. Nguyễn Thành Long, Khoa Toán - Tin học, Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp. HCM, về sự giúp đỡ tận tình và sự chỉ bảo vô cùng quý báu cũng nhƣ rất nghiêm khắc của Thầy cho tôi trong nghiên cứu khoa học. Thầy đã cho tôi cơ hội để tham gia đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ bản và sinh hoạt học thuật theo các hƣớng nghiên cứu mà Thầy đang chủ trì, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt luận án. Tôi xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Nhà Khoa học là các thành viên trong các Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn và cấp Nhà nƣớc, là các chuyên gia Phản biện độc lập và chính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xét, đánh giá và bình luận quý báu cùng với những chỉ bảo, đề nghị quan trọng tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận án một cách tốt nhất. Tôi kính gửi đến Quý Thầy Cô trong và ngoài Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh đồng kính gửi đến Ban Tổ chức các hội nghị khoa học về Toán học lời cám ơn trân trọng, trong suốt thời gian qua, tôi luôn nhận đƣợc sự giúp đỡ của Quý Thầy Cô trong học tập, trong nghiên cứu cũng nhƣ cho tôi điều kiện thuận lợi để tìm kiếm tài liệu và tham dự các hội nghị khoa học. Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Toán Giải tích và Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học của Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và bảo vệ luận án, những lời cám ơn chân thành và trân trọng. Tôi chân thành và trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô và các chuyên viên ở Vụ Đại học và Sau Đại học của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn tất các thủ tục quan trọng trong quá trình bảo vệ luận án. Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trƣờng, Ban Chủ nhiệm Khoa Tự nhiên và các Phòng Ban khác của Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Nha Trang, nơi tôi giảng dạy, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về vật chất cũng nhƣ tinh thần để tôi hoàn thành tốt các nhiệm vụ của nghiên cứu sinh, những lời cám ơn sâu sắc và trân trọng. Tôi thành thật cám ơn các Anh Chị đồng nghiệp và các Ngƣời thân của tôi đã giúp đỡ tôi về mọi mặt. Gia đình tôi cũng là nguồn động viên to lớn của tôi. Tôi thật sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tất cả những Ngƣời đã chỉ bảo, quan tâm. động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt. Nghiên cứu sinh Lê Thị Phƣơng Ngọc MỤC LỤC BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG MỞ ĐẦU ................................................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1:ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL'SKII VÀO PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN ............................................................................................................................ 10 1.1 Giới thiệu. .................................................................................................................... 10 1.2 Định lý điểm bất động kiểu KrasnosePskii. ................................................................. 11 1.3 Sự tồn tại nghiệm. ........................................................................................................ 14 1.4 Nghiệm ổn định tiệm cận. ............................................................................................ 22 1.5 Tính compact, liên thông của tập hợp nghiệm. ............................................................ 28 1.6 Một trƣờng hợp tổng quát. ........................................................................................... 35 Chƣơng 2: ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU LERAY-SCHAUDER VÀ NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM CẤP HAI CÓ CHẬM............................. 47 2.1 Giới thiệu. .................................................................................................................... 47 2.2 Các kiến thức chuẩn bị. ................................................................................................ 48 2.3 Khảo sát bài toán giá trị biên 3 điểm có đối số chậm (2.1.1)-(2.1.2)........................... 49 2.4 Khảo sát bài toán giá trị biên "hỗn hợp" có đối số chậm (2.1.1)-(2.1.3). .................... 61 2.5 Khảo sát bài toán giá trị đầu có đối số chậm. ...................................................... 67 Chƣơng 3: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ CO VÀO BÀI TOÁN HỖN HỢP CHO PHƢƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF ........................... 75 3.1 Giới thiệu. .................................................................................................................... 75 3.2 Các không gian hàm và kết quả chuẩn bị. ................................................................... 78 3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. .................................................................................... 81 3.4 Sự hội tụ cấp hai với f = f(r, u),B = B(z). .................................................................... 95 3.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé. ............................................... 107 KẾT LUẬN ............................................................................................................................ 123 DANH MỤC CỒNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ...................................................................... 126 Tài liệu tham khảo ................................................................................................................. 127 BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG * + n ∂Ω ̅ coM A× B (X, |.|n) (X, d) (E, |.|) || . ||x X C[a,b] C1[a,b] C0(Ω) ≡ C(Ω) Cm(Ω) Cm( ̅ ) C([a, b]; E) C( +; E) f : X → Y, f |A L1[a, b] Lp(0, T; X), 1 ≤ ≤∞ u + f(t, ut, u (t)) = 0 u(t) ≡ u(r, t) u (t) = ut(t) = ̇ (t) u (t) = utt(t) = ̈ (t) ur(t) = u(t) urr (t) □  Tập hợp các số tự nhiên. Tập hợp các số tự nhiên khác 0. Tập hợp các số thực. Tập hợp các số thực không âm. Không gian Euclide thực n-chiều. Biên của Ω . Bao đóng của Ω Bao lồi của M . Tích Đềcác của hai tập hợp A và B. Không gian vectơ X với họ nửa chuẩn đếm đƣợc |.|n. Không gian metric X với metric d. Không gian Banach E với chuẩn |.|. Chuẩn trên không gian Banach X . Không gian đối ngẫu của X . Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [ a , b] . Không gian các hàm số thực khả vi liên tục trên đoạn [ a , b]. Không gian gồm các hàm số u : Ω → liên tục trên Ω . n Ω là tập mở trong . Không gian các hàm số u ∈ C0(Ω ) sao cho D α u ∈ C0(Ω ), với mọi đa chỉ số α , | α | ≤ m . Không gian các hàm số u ∈ C m ( Ω ) sao cho D α u bị chặn và liên tục đều trên Ω , với mọi đa chỉ số α , | α | ≤ m . Không gian các hàm liên tục u : [ a , b ] → E . Không gian các hàm liên tục u : R+ → E . Anh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập A ⊂ X . Không gian các hàm số thực x ( t ) sao cho |x(t)| khả tích Lebesgue trên [ a , b] . Không gian các hàm đo đƣợc u : (0, T ) → X sao cho ∞ với 1 ≤ p < ∞ với p = ∞ Phƣơng trình vi phân hàm cấp hai đƣợc xét trong chƣơng 2, u là ẩn hàm theo t, ut là hàm có đối số chậm, u', u" lần lƣợt chỉ đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2 của u theo t . Ham theo hai biến r , t xét trong chƣơng 3, Kết thúc chứng minh. Kết luận của chƣơng. 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của Giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder (1930). Nguyên lý điểm bất động Brouwer đƣợc Broirvver chứng minh dựa trên lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều. Đây cũng là một định lý đƣợc xem là thành tựu sớm nhất của tôpô đại số và làm nền móng cho các hƣớng nghiên cứu tiếp theo của nhiều nhà Toán học, dẫn đến các kết quả cơ bản khác. Định lý điểm bất động Schauder chính là một mở rộng của nguyên lý điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chiều (áp dụng cho không gian Banach). Một mở rộng khác là định lý Tychonoff (1935, áp dụng cho không gian vectơ tôpô lồi địa phƣơng),v.v. Định lý điểm bất động Brouwer còn đƣợc mở rộng cho ánh xạ đa trị bởi các nhà Toán học nhƣ Kakutani (1941), Bohnenblust và Karlin (1950), Ky Fan (1960/61). Năm 1929, ba nhà Toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng, Bổ đề KKM, đem đến một cách chứng minh đơn giản nguyên lý điểm bất động Brouwer và đặc biệt hơn nữa, bổ đề KKM và nguyên lý điểm bất động Brouwer là hai kết quả tƣơng đƣơng nhau. Từ sự xuất hiện của bổ đề KKM, cùng những kết quả sâu sắc trong các công trình nghiên cứu của Ky Fan làm nền tảng, lý thuyết KKM hình thành, phát triển và đƣợc sử dụng rộng rãi nhƣ một công cụ hữu ích cho lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị, lý thuyết biến phân, toán kinh tế. v.v. Với việc chỉ ra tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ và thiết lập đƣợc một dãy lặp hội tụ về điểm bất động đó, nguyên lý điểm bất động Banach cùng các hệ quả và các mở rộng của nó đã đƣợc vận dụng rất phổ biến và thành công trong chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực của giải tích. Trên cơ sở nghiên cứu ứng dụng của các định lý điểm bất động và tìm cách mở rộng chúng để giải các bài toán trong các lớp không gian khác nhau, lý thuyết điểm bất động đƣợc phát triển không ngừng thành một lý thuyết đa dạng, phong phú bao gồm nhiều định lý điểm bất động của các ánh xạ nhƣ ánh xạ co, nén, ánh xạ không giãn, ánh xạ tăng, v.v., cùng nhiều mở rộng 2 của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị, trong mối liên hệ chặt chẽ với nguyên lý biến phân Ekland, nguyên lý min-max, lý thuyết KKM, lý thuyết bậc tôpô, V.V., tổng quan về các vấn đề này có thể tìm thấy trong các tài liệu nhƣ [12, 17, 18, 44] và trong nhiều công trình nghiên cứu của các nhà Toán học mà tiêu biểu là s. Park [48, 50, 54], s. Park, Đ. H. Tân [51, 52], s. Park , B.G. Rang [49], L.A.Dung, D. H. Tân [15]. Chính từ sự phát triển đó, cùng với các tác động tích cực của các lý thuyết khác, mà lý thuyết điểm bất động luôn đƣợc xem là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu định lƣợng và định tính nhiều lớp phƣơng trình xuất phát từ vật lý học, hoa học, sinh học, cơ học. Việc ứng dụng lý thuyết điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm của các phƣơng trình vi phân và tích phân đƣợc mở đầu bằng những kết quả nổi tiếng của Picard và Peano vào cuối thế kỷ 19, trong đó xét bài toán Cauchy cho phƣơng trình vi phân với vế phải thoa mãn điều kiện Lipschitz (định lý Picard) hoặc điều kiện liên tục (định lý Peano). Ứng với hai bài toán này, hai định lý điểm bất động của Banach và Schauder thật sự là công cụ hữu hiệu. Nguyên lý ánh xạ co của Banach: [17] Cho (M, ρ) là không gian metric đầy đủ và T : M → M là ánh xạ co, nghĩa là: Tồn tại k ∈ [0,1) sao cho ρ(Tx, Ty) ≤ k ρ (x, y), ∀x, y ∈ M. Khi đó T có duy nhất một điểm bất động x* ∈ M. Hơn nữa với mỗi x0 ∈ M cho trước, dãy lặp {Tnx0} hội tụ về x*. Định lý Schauder: [25] Cho K là tập con khấc rỗng, lồi, đóng của không gian Banach E và T : K → K là ánh xạ liên tục sao cho bao đóng ̅̅̅̅̅̅ của T(K) là tập compact. Khi đó T có ít nhất một điểm bất động. Kết hợp hai định lý đó, Krasnosel'skii đã chứng minh đƣợc: Định lý Krasnosel'skii: [61] Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của không gian Banach X. Giả sử U : M → X là ánh xạ co và C : M → X là toán tử compact, nghĩa là: c liên tục và C(M) chứa trong một tập compact, sao cho U(x) + C(y) ∈ M, ∀x, y ∈ M. Khi đó U + C có điểm bất động. Sau khi xuất hiện định lý Krasnosel'skii, ngƣời ta đã xét đến sự tồn tại nghiệm của các phƣơng trình tích phân chứa tổng hai số hạng với các hàm dƣới dấu tích phân tƣơng ứng thoa điều kiện Lipschitz và điều kiện liên tục, mở ra nhiều công trình nghiên cứu về các định lý điểm bất động kiểu 3 Krasnosel'skii và ứng dụng, chẳng hạn nhƣ [3, 4, 7, 8, 13, 21, 53]. Áp dụng định lý Schauder, lý thuyết bậc và lý thuyết dựa trên các ánh xạ cốt yếu "Topological Transversality", Leray và Schauder đã chứng minh các định lý điểm bất động kiểu Leray-Schauder, trong đó nguyên lý về sự loại trừ phi tuyến cho ánh xạ compact "Nonlinear alternative" là công cụ quan trọng để thiết lập các nguyên lý tồn tại nghiệm của một số bài toán giá trị biên [46]. Các ứng dụng cụ thể khác của các định lý điểm bất động trong việc nghiên cứu tính giải đƣợc của các lớp phƣơng trình nhƣ phƣơng trình vi phân, tích phân, đạo hàm riêng đã đƣợc trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn nhƣ [12, 17, 18, 25, 46, 61], trong các công trình khoa học công bố trên nhiều tạp chí của rất nhiều tác giả, nhƣ: Abdou [1], Avramescu [3, 4], Burton [7, 8], Henriquez [20], Liu, Naito, N.v. Minh [28], Pavlakos, Stratis [55], Raffoul [13], còn có thể tìm thấy nhiều công trình khác đăng trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nƣớc đã sử dụng phƣơng pháp điểm bất động để chứng minh tồn tại nghiệm. Để dễ truy cập, chúng tôi xin nêu các bài số 06/2000, 24/2001, 71/2002, 04/2003, 22/2004, 79/2005, hay 3, 8, 13, 19, 21, 22, 24, 34, 36, 57 thuộc Voi. 2006, v.v., trong "Electronic J. Differential Equations" làm ví dụ, ở đó các định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định lý Krasnosel'skii trên một nón, định lý Darbo, V.V., đƣợc áp dụng. Ngoài ra, còn có các tạp chí chuyên về lĩnh vực này mới đƣợc xuất bản gần đây, chẳng hạn nhƣ 'Tixed Point Theory and Applications" năm 2004 của nhà xuất bản Hindawi, "Journal of Fixed Point Theory and Applications" năm 2007 của nhà xuất bản Springer. Chính vì vậy, đề tài luận án của chúng tôi nghiên cứu là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng. Trong luận án này, chúng tôi áp dụng phƣơng pháp điểm bất động kết hợp với lý luận về tính compact thông dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm và các vấn đề liên quan đến nghiệm cho ba bài toán thuộc lý thuyết phƣơng trình tích phân, vi phân và đạo hàm riêng sau đây: Phƣơng trình tích phân phi tuyến dạng Volterra; Bài toán giá trị biên và giá trị đầu cho phƣơng trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm; Bài toán hỗn hợp cho phƣơng trình sóng phi tuyến chứa toán Lử Kirchhoff trẽn màng tròn đơn vị. Sau đây là phần giới thiệu tổng quát về ba bài toán nói trên. 4 1. Bài toán thứ nhất đề cập đến phƣơng trình tích phân phi tuyến dạng Volterra: (0.0.1) ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|,R+ = [0, ∞), q : R+ → E; f : R+ E → E;G, V : ∆ = {(t,s) ∈R+ E → E đƣợc giả sử là các hàm liên tục và R+,s≤ t}. Trƣờng hợp E = Rd và hàm V(t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba, phƣơng trình (0.0.1) đã đƣợc nghiên cứu bởi Avramescu và Vladimirescu [4]. Các tác giả đã áp dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii trong [3, Định lý K'"] để chứng minh sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phƣơng trình tích phân: (0.0.2) q : R+ → Rd; f : R+ ∆ = {(t, s) ∈ R+ Rd → Rd; V : ∆ → Md(M), G:∆ Rd→Rd đƣợc giả sử là liên tục, R+,s ≤ t} và Md(R) là tập hợp các ma trận thực cấp d d. Trƣờng hợp (0.0.1) có f = 0 và V(t, s, x(s)) = V(s, x(s)), sự tồn tại nghiệm của phƣơng trình đã đƣợc nghiên cứu bởi Hóa và Schmitt [21], cũng bằng cách sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii. Phƣơng trình (0.0.1) có tính tổng quát hơn cho lớp phƣơng trình tích phân phi tuyến dạng Volterra đƣợc xét trong [4, 21]. Để thu đƣợc sự tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, chúng tôi đã chứng minh một định lý kiểu Krasnosel'skii làm công cụ kết hợp với việc sử dụng định lý Banach trong không gian Préchet và giải các bất phƣơng trình tích phân Volterra phi tuyến. Kết quả này chứa các kết quả tƣơng ứng trong [4, 21] nhƣ các trƣờng hợp riêng và đã đƣợc công bố trong [N4]. Một ví dụ minh hoa về sự tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (0.0.1) trong không gian Banach E — C[0,1], trong đó f ≠ 0 V(t,s,x) không tuyến tính theo biến thứ ba, cho thấy kết quả đạt đƣợc mạnh hơn kết quả trƣớc đó. 5 Ngoài ra, áp dụng định lý Krasnosel'skii - Perov về tính compact và liên thông của tập các điểm bất động, chúng tôi nghiên cứu tính compact và liên thông của tập nghiệm hay còn gọi là tính chất Hukuhara-Kneser. Kiểu cấu trúc này của tập nghiệm cũng đƣợc nghiên cứu trong [5, 11, 43, 58, 59] dựa trên định lý Aronszajn hoặc định lý về tính compact và liên thông của tập các điểm bất động đƣợc nêu bởi Deimling, [12, tr. 212]. Kết quả thu đƣợc ở đây chứa đựng một kết quả đã công bố trong [N3] nhƣ một trƣờng hợp riêng, ứng với q = 0, f = 0, V(t, s, x(s)) = V(s, x(s)), và đã gửi công bố trong [N8]. Nhờ tính chất của tập liên thông trong không gian Banach ([25, tr.316]), tính liên thông của tập nghiệm của (0.0.1) có một ý nghĩa quan trọng. Đó là, nếu (0.0.1) có hai nghiệm phân biệt thì sẽ có một lực lƣợng continuum các nghiệm khác nhau. về điều này, một ví dụ minh hoa đƣợc trình bày, trong đó nêu ra đƣợc 3 nghiệm phân biệt. Mặt khác, sự mở rộng của bài toán đang xét cũng đƣợc nghiên cứu. Chúng tôi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phƣơng trình: (0.0.3) và với π(t) = t, hay nói cách khác f(t,x(t),x(w(t))) = f(t,x(t)) sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, đồng thời tính compact, liên thông của tập nghiệm của (0.0.3) cũng đƣợc chỉ ra. Kết quả này đã trình bày trong [N4, N8]. 2. Bài toán thứ hai đề cập đến phƣơng trình vi phân hàm cấp hai có chậm: (0.0.4) ở đây f : [0,1] X C X R → R là hàm liên tục, với một trong những điều kiện biên (0.0.5) (0.0.6) hoặc với điều kiện đầu = , (0) = 0, trong đó ϕ ∈ C = C{[-r, 0]; R), 0 < ε < 1, α ∈ R. Bài toán giá trị biên cho phƣơng trình vi phân thƣờng hoặc phƣơng trình (0.0.7) 6 vi phân hàm đã đƣợc nhiều tác giả nghiên cứu bằng các phƣơng pháp khác nhau trong đó có sử dụng phƣơng pháp điểm bất động, chúng tôi xin giới thiệu các tác giả của [19, 39, 45, 46, 57, 62] và các tài liệu tham khảo nêu ra ở đó. Trong [45], Ntouyas chứng minh sự tồn tại nghiệm cho phƣơng trình vi phân hàm ở đây f : [0,1] × C × n → n ,g : [0,1] × C → n là các hàm liên tục, ϕ ∈ C,ε ∈ n . Trong [62], sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào một tham số thực a của bài toán sau đây đã đƣợc Bo Zhang thiết lập trong đó A(t) là một ma trận thực cấp n × n phụ thuộc liên tục theo t trên [0,T], A và B là các ma trận hằng cấp n × n,v ∈ n, ϕ ∈ C = C([-r, 0}] n). Và gần đây, Ma [39] và Yong-Pin Sun [57] đã nghiên cứu bài toán giá trị biên ở đây f : [0,1] X R → R là hàm liên tục, liên kết với một trong những điều kiện biên hoặc Các bài toán cho phƣơng trình vi phân hàm cấp hai có chậm: (0.0.4)-(0.0.5), (0.0.4)- (0.0.6) là các bài toán ba điểm biên ở một dạng khác, có thể xem đó là một mở rộng của [39, 57] - / chứa thêm thành phần có chậm, trên cơ sở dạng bài toán có chậm đƣợc nêu trong [45, 62]. Ở các bài báo [45, 62], các tác giả đã nghiên cứu bài toán có chậm với vế trái tổng quát hơn và với điều kiện biên dạng khác. So với [45]- chỉ xét vấn 7 đề tồn tại nghiệm, và [62]- xét sự tồn tại duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cho bài toán hai điểm biên, thì vấn đề chúng tôi nghiên cứu ở đây có phần đa dạng hơn. Tiếp thu ý tƣởng và kỹ thuật trong các bài báo nói trên, ngoài nghiên cứu về tồn tại nghiệm bằng cách áp dụng định lý Leray-Schauder, chúng tôi còn đề cập đến sự tồn tại duy nhất nghiệm - bằng cách áp dụng nguyên lý ánh xạ co và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cho bài toán ba điểm biên (0.0.4)- (0.0.5) và bài toán giá trị đầu (0.0.4)- (0.0.7). Sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên hỗn hợp (0.0.4)- (0.0.6) cũng đƣợc thiết lập. Ngoài ra, tiếp tục sử dụng định lý Krasnosel'skii - Perov, chúng tôi nghiên cứu tính chất Hukuhara-Kneser của tập hợp nghiệm của bài toán giá trị đầu. Toàn bộ các kết quả này đã đƣợc công bố trong [N2]. 3. Bài toán thứ ba là bài toán hỗn hợp cho phƣơng trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff: (0.08) trong đó hằng số h > 0, và các hàm số B, f, ̃0, ̃1 là cho trƣớc. Đây là một sự tiếp nối của các công trình nghiên cứu về phƣơng trình sóng nhƣ [6, 14, 23, 32, 33, 35, 36, 37, 38, 40, 47]. Trong các công trình này, các tác giả đã sử dụng phƣơng pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với phƣơng pháp điểm bất động và lý luận về tính compact thông dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán. Sự tồn tại nghiệm địa phƣơng đƣợc chứng minh dựa vào định lý Schauder và nói chung chƣa đƣợc trình bày tƣờng minh. Bài toán (0.0.8) đƣợc xét gồm hai phần. Phần thứ nhất về tồn tại và duy nhất nghiệm đƣợc nghiên cứu bằng phƣơng pháp tƣơng tự trên nhƣng ở bƣớc xấp xỉ tuyến tính (hoặc không tuyến tính khi xét một trƣờng hợp riêng) thì đƣợc thực hiện theo nguyên lý ánh xạ co, thu đƣợc nghiệm duy nhất trên 8 toàn đoạn [0,T]. Trƣờng hợp tổng quát, chúng tôi thu đƣợc một dãy lặp hội tụ mạnh (cấp một) về nghiệm của bài toán trong các không gian hàm Sobolev có trọng thích hợp. Để có đƣợc sự hội tụ và đánh giá sai số là cấp hai, chúng tôi đã xét một trƣờng hợp riêng và xây dựng một dãy lặp phi tuyến. Phần thứ hai chỉ ra một khai triển tiệm cận theo một tham số nhiễu xuất hiện ở các số hạng phi tuyến thuộc vế phải và vế trái của phƣơng trình sóng đến một cấp phụ thuộc vào cấp của tính trơn của dữ kiện. Kết quả nhận đƣợc tổng quát tƣơng đối các kết quả trong [14, 33, 36, 37, 38] và đƣợc công bố trong [N5, N6], gửi công bố trong [N7]. Cấu trúc của luận án gồm phần mở đầu, 3 chƣơng chính (1-3), kết luận, danh mục các công trình của tác giả luận án và tài liệu tham khảo. Kết quả chúng tôi thu đƣợc ở trên cho ba bài toán sẽ đƣợc trình bày lần lƣợt trong các chƣơng Ì, 2 và 3 với nội dung tóm tắt nhƣ sau: Chƣơng Ì trình bày một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii và định lý này đƣợc áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phƣơng trình tích phân dạng Volterra. Kết quả đạt đƣợc mạnh hơn những kết quả trƣớc đó, điều này đƣợc minh họa bởi một ví dụ, đồng thời vẫn còn đúng trong trƣờng hợp tổng quát. Mặt khác, tính chất Hukuhara-Kneser của phƣơng trình tích phân nói trên cũng đƣợc đề cập và một ví dụ đƣợc nêu ra về phƣơng trình có nhiều hơn hai nghiệm. Trong chƣơng 2, áp dụng định lý điểm bất động Leray-Schauder về sự loại trừ phi tuyến và nguyên lý ánh xạ co, chúng tôi chứng minh sự tồn tại, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của bài toán ba điểm biên cho phƣơng trình vi phân hàm cấp hai có đối số chậm. Cũng với phƣơng pháp này, sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên với điều kiện biên hỗn hợp và bài toán giá trị đầu cho phƣơng trình đang xét cũng đƣợc nghiên cứu. Đối với bài toán giá trị đầu, sự duy nhất nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cũng đƣợc thiết lập và hơn nữa, với các điều kiện đã cho, tập nghiệm không chỉ khác rỗng, mà còn là tập compact và liên thông. Chƣơng 3 xét bài toán giá trị biên-ban đầu cho phƣơng trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff. Trƣớc hết, bài toán đƣợc liên kết với một dãy quy nạp tuyến tính mà sự tồn tại nghiệm địa phƣơng đƣợc chứng minh bằng phƣơng pháp Galerkin, nguyên lý ánh xạ co và lý luận về tính compact thông dụng trong các không gian Sobolev có trọng thích hợp. Từ đó, tính giải đƣợc và giải đƣợc duy nhất của bài toán đƣợc thiết lập. Tiếp theo, chúng tôi sẽ 9 đặt các điều kiện để thu đƣợc một thuật giải lặp cấp hai hội tụ. Sau hết là khai triển tiệm cận theo tham số bé £ đến cấp N + 1 cho nghiệm yếu của bài toán. Toàn bộ các kết quả nêu ra trong luận án đƣợc công bố trong [N2-N6] và gửi công bố trong [N7, N8]. Ngoài ra, các nội dung và phƣơng pháp nghiên cứu của luận án cũng đƣợc thể hiện, vận dụng cho các phƣơng trình dạng khác và đã đƣợc công bố trong [NI, N9, N10]. Một phần kết quả của luận án và các kết quả liên quan đã đƣợc báo cáo trong các hội nghị: - Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin học ĐHSP Tp. HOM, 22/12/2002. - The International Conference ôn Differential Equations and Applications, HCM City 2225/08/2004. - Hội nghị toàn quốc lần thứ hai về Ƣng dụng Toán học, Hà Nội 23-25/12/2005. 10 CHƢƠNG 1:ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ KIỂU KRASNOSEL'SKII VÀO PHƢƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 1.1 Giới thiệu. Trong chƣơng này, chúng tôi xét phƣơng trình tích phân Volterra phi tuyến: (1.1.1) ở đây E là không gian Banach với chuẩn |.|,K+ = [0,∞), q : R+ → E; f : R+ ∆ E → E đƣợc giả sử là các hàm liên tục và A = {(t,s) ∈ R+ E→ E;G,V : R+,s ≤ t}. Chƣơng này gồm 6 mục. Trong mục 1.2, một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii đƣợc chứng minh. Áp dụng định lý này, các mục 1.3, 1.4 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (1.1.1). Cuối mục 1.4 chúng tôi trình bày một ví dụ minh hoa các kết quả thu đƣợc khi các điều kiện đặt ra là đúng. Trong mục 1.5, với các giả thiết nhƣ ộ mục 1.3, tập hợp tất cả các nghiệm của phƣơng trình (1.1.1) đƣợc chứng tỏ là tập hợp compact, liên thông. Một ví dụ về phƣơng trình (1-1.1) có nhiều hơn hai nghiệm cũng đƣợc nêu. Cuối cùng, trong mục 1.6, một sự mở rộng của bài toán đang xét cũng đƣợc nghiên cứu. Chúng tôi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phƣơng trình: (1.1.2) 11 và với π(t) = t, sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận đồng thời tính compact, liên thông của tập nghiệm của (1.1.2) cũng đƣợc trình bày. Kết quả thu đƣợc là tổng quát hơn các kết quả tƣơng ứng trong [4, 21]. Phần lớn nội dung của chƣơng đã đƣợc công bố trong [N4], riêng kết quả về cấu trúc tập nghiệm thì đƣợc công bố trong [N3] nhƣ một trƣờng hợp riêng và gửi công bố trong [N8]. 1.2 Định lý điểm bất động kiểu KrasnosePskii. Các định lý điểm bất động kiểu Krasnosel'skii, nhƣ ([3, Định lý K'"]) và ([21, Định lý 3]), là sự mở rộng của định lý Krasnosel'skii. Một trong những hƣớng mở rộng định lý Krasnosel'skii là thay thế không gian Banach bởi một không gian tổng quát hơn, chẳng hạn là không gian Fréchet. Đó là không gian vectơ tôpô lồi địa phƣơng X với tôpô đƣợc sinh ra bởi một metric ả bất biến qua một phép tịnh tiến và (X, d) là đầy đủ. Một cách thuận lợi để xây dựng không gian Fréchet là dựa trên khái niệm nửa chuẩn [3, lo, 12, 60]. Mỗi một không gian vectơ X với một họ nửa chuẩn |.|„ đếm đƣợc có tính chất: ∀x ∈ X, x ≠ 0,∃ n ∈ N*, |x|n ≠ 0, sẽ là một không gian metric đầy đủ với metric và ta có [X,|.|n) là không gian Fréchet. Trong không gian này, định lý Banach đƣợc phát biểu nhƣ sau: Định lý Banach trong không gian Eréchet: ([3, Dinh lý B]) Cho (X, |.|n) là một không gian Fréchet, M ⊂ X đóng và U : M → M là ánh xạ co, nghĩa là: Khi đó U có duy nhất một điểm bất động. Kết hợp hai định lý ([3, Định lý K'"]) và ([21, Định lý 3]), chúng tôi thu đƣợc định lý sau: Định lý 1.2.1. Giả sử (X, |.|n) là không gian Fréchet và U, C : X → X là hai toán tử thoa mãn các điều kiện sau: 12 (i) U là toán tử co, ứng với họ nửa chuẩn ||.||n tƣơng đƣơng với họ nửa chuẩn |.|n. (ii) C hoàn toàn liên tục nghĩa là C liên tục và biến các tập bị chặn thành tập compact tƣơng đối. (iii) Khi đó U + C có điểm bất động Chứng minh định lý 1.2.1. Trƣớc hết ta chú ý rằng, từ điều kiện (i), toán tử (I — U) -1 đƣợc xác định và liên tục. Hai họ nửa chuẩn ||.||n ,|.| n tƣơng đƣơng nên tồn tại các số thực K 1n , K 2n > 0 sao cho Suy ra (a) Tập hợp {|x| n ,x ∈ A) bị chặn khi và chỉ khi {||x|| n ,x ∈ A} bị chặn, với A ⊂X,∀n∈ N * ; (b) Với mọi dãy (x m ) trong X, với mọi n ∈ N * , vì nên (x m ) hội tụ về X ứng với |.| n khi và chỉ khi (x m ) hội tụ về x ứng với || . || n . Từ đó (ii) cũng đƣợc thoa mãn ứng với (X, || . ||n). Mặt khác, ta cũng có: Suy ra tƣơng đƣơng với Bây giờ ta chứng minh U+C có điểm bất động. Với mỗi a ∈ X. ta định nghĩa toán tử Ua : X → X bởi Ua(x) = U(x) + a. Dễ thấy rằng Ua là toán tử co và do đó, với mỗi a ∈ X,Ua có duy nhất một điểm bất động, ký hiệu là (a), thế thì 13 Gọi U0 là điểm bất động của U. Với mỗi x ∈ X, xét ở đây Với mỗi n ∈ N* cố định, với mọi m ∈ N*, ta có từ đó bằng phƣơng pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh đƣợc với mọi ra ∈ N*, (1.2.1) trong đó số Nhƣ đã nói ở trên, (iii) đƣợc thỏa mãn ứng với (X, ||.||n), nên với > 0, tồn tại ̃ > 0, (ta chọn ̃ > ||u0||n) sao cho Chọn một hằng số dƣơng r1n > ̃ + ||u0||n- Thế thì, với mọi x ∈ X, có hai trƣờng hợp sau xảy ra. Trƣờng hợp 1: ||x – u0||n > r1n. Vì nên (1.2.2) Trƣờng hợp 2: Do điều kiện (ii) cũng đúng ứng với ||.||n, ta suy ra rằng có một hằng số dƣơng β sao cho (1.2.3) Ta tiếp tục chọn r2n > αβ. Đặt 14 Khi đó u0 ∈ D và D là tập con lồi đóng và bị chặn của X. Với mỗi X ∈ D và với mỗi n ∈ N*, ứng với hai trƣờng hợp trên, ta thấy: Nếu ||x-u0||n ≤ r1n thì bởi (1.2.1), (1.2.3) ta có (1.24) Nếu thì bởi (1.2.1), (1.2.2) ta lại có (1.2.5) Ta thu đƣợc ,(u0) ∈ D với mọi x ∈ D. Hơn nửa, do Uc(x) là toán tử co, dãy {u0) hội tụ về điểm bất động duy nhất ϕ (C(x) ) của UC(x) , khi ra m→ ∞ , ta suy ra đƣợc ϕ(C(x)) ∈ D,∀x ∈ D). Nhƣ vậy, (I - U)-1 C(D) ⊂ D. Áp dụng định lý Schauder, toán tử (I — U)-1 C có điểm bất động trong D, đó cũng chính là điểm bất động của U + C trong D. Định lý 1.2.1 đƣợc chứng minh. □ 1.3 Sự tồn tại nghiệm. Giả sử X = C(R+ ; E) là không gian gồm tất cả các hàm liên tục từ R+ vào E. Trên X xét họ nửa chuẩn Khi đó (x, |x|n) là không gian metric đầy đủ với metric và (x, |x|n) là không gian Fréchet. Xét trên X một họ nửa chuẩn khác là ||x||n đƣợc định nghĩa nhƣ sau: