Tài liệu ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích

Trường đại học sư phạm hà nội 2 Khoa toán ****o0o**** đinh thị len ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành : Hình học Người hướng dẫn khoa học T.S nguyễn năng tâm Hà nội - 2008 -1- Trường đại học sư phạm hà nội 2 Khoa toán ****o0o**** đinh thị len ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành : Hình học Người hướng dẫn khoa học T.S. Nguyễn Năng Tâm Hà nội – 2008 ơ -2- Lời cảm ơn Khoá luận này trình bày về việc sử dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích. Ngoài việc làm rõ tính ưu việt của phép biến hình, khoá luận còn cố gắng khai thác, mở rộng một số bài toán . Để hoàn thành khoá luận này em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Hình học, đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Năng Tâm đã tạo điều kiện, giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu. Tuy có nhiều cố gắng, song năng lực bản thân còn có hạn cũng như điều kiện về tài liệu và thời gian còn hạn chế nên bài khoá luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các thầy cô và các bạn để khoá luận của em hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2008 Sinh viên Đinh Thị Len -3- Lời cam đoan Em xin cam đoan bản khoá luận này được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu của bản thân và sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo trong tổ Hình học, đặc biệt là sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Năng Tâm. Các kết quả trong bản khoá luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác và các kết quả đó là chân thực. Hà Nội, tháng 5 năm 2008 Sinh viên Đinh Thị Len -4- Mục lục Nội dung Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu Chương 1. Hệ thống các kiến thức cơ bản 1 1.1. Phép biến hình 1 1.2. Mặt phẳng định hướng, góc định hướng 2 1.3. Phép dời hình trong mặt phẳng 3 1.4. Một số phép biến hình đặc biệt 6 1.5. Bài toán quỹ tích 8 Chương 2. ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích 9 2.1. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình 9 2.2. Phép đối xứng tâm với bài toán quỹ tích 9 2.3. Phép đối xứng trục với bài toán quỹ tích 13 2.4. Phép tịnh tiến với bài toán quỹ tích 17 2.5. Phép quay với bài toán quỹ tích 23 2.6. Phép vị tự với bài toán quỹ tích 29 2.7. Phép đồng dạng với bài toán quỹ tích 36 Kết luận 42 Bài tập luyện tập 43 Tài liệu tham khảo 48 -5- Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn học khó đối với học sinh. Bởi vì hình học có tính chặt chẽ, tính logíc và tính trừu tượng cao hơn các môn học khác của toán học. Các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học vì nó là một công cụ hữu ích đối với các bài toán trong hình học phẳng. Tính ưu việt của phép biến hình trong mặt phẳng thể hiện rất rõ khi ta vận dụng nó để giải quyết các bài toán về dựng hình, quỹ tích, chứng minh và tính toán. Tuy nhiên, việc giải bài toán hình học bằng phép biến hình không phải là dễ dàng, thực tế nó là một phần khó đối với cả giáo viên và học sinh . Trong khuôn khổ của một khoá luận tốt nghiệp, em chỉ trình bày những kiến thức cơ bản về phép biến hình và ứng dụng của nó để giải bài toán quỹ tích. Đó chính là lý do em chọn đề tài : “ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép biến hình trong việc giải bài toán quỹ tích. 2.2. Xây dựng hệ thống các ví dụ minh hoạ và bài tập luyện tập thể hiện phương pháp sử dụng phép biến hình vào giải bài toán quỹ tích. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3.1. Đối tượng nghiên cứu Kiến thức về phép biến hình trong mặt phẳng. 3.2. Phạm vi nghiên cứu -6- Các bài toán quỹ tích trong mặt phẳng giải bằng phép biến hình. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu SGK, các sách tham khảo, các tài liệu có liên quan đến nội dung này. -7- Chương 1 : Hệ thống các kiến thức cơ bản 1.1. Phép biến hình 1.1.1. Định nghĩa Phép biến hình của một mặt phẳng là một song ánh từ mặt phẳng vào chính nó . 1.1.2. Phép biến hình đảo ngược Cho phép biến hình f : E2  E2. Khi đó ánh xạ ngược f-1 của f cũng là một song ánh từ E2 vào E2 nên cũng là một phép biến hình của mặt phẳng . Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f ( hay là phép nghịch đảo của phép biến hình f ) . 1.1.3. Phép biến hình tích Cho f và g là hai phép biến hình của mặt phẳng, dễ thấy ánh xạ tích f và g là một song ánh của mặt phẳng vào mặt phẳng nên tích đó cũng là phép biến hình của mặt phẳng. Ta nói phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g. Kí hiệu: g  f . 1.1.4. Phép biến hình đối hợp Cho phép biến hình f : E2  E2 được gọi là phép biến hình đối hợp nếu f2 = id E2 hay f = f-1. 1.1.5. Phép biến hình một đối một Nếu một phép biến hình f biến một hình H thành một hình G thỏa mãn điều kiện : tạo ảnh f 1 ( M ) của mọi điểm M thuộc hình G đều chỉ gồm có một điểm M của hình F thì ta gọi nó là phép biến hình một đối một. Như vậy ứng với mọi điểm M của hình F ta có một điểm M của hình G và chỉ một mà thôi và ngược lại, ứng với mỗi điểm M của hình G ta có một điểm M của hình F và chỉ một mà thôi. -8- 1.1.6. Các phần tử bất biến trong một phép biến hình Cho phép biến hình f : E2  E2, với mỗi điểm M  E2 mà f(M) =M thì điểm M được gọi là điểm bất động (điểm kép) đối với phép biến hình f . Hình H được gọi là hình bất biến đối với phép biến hình f của E2 nếu f(H)=H. Hình H được gọi là hình bất động (cố định) đối với f của E 2 nếu với mỗi điểm M  H mà f(M)=M. 1.2. Mặt phẳng định hướng, góc định hướng 1.2.1. Mặt phẳng định hướng Xung quanh mỗi điểm trong một mặt phẳng có hai chiều quay: chiều quay theo chiều của kim đồng hồ và chiều ngược lại. Nếu chọn một trong hai chiều quay đó là chiều dương thì chiều ngược lại gọi là chiều âm và khi đó ta bảo rằng mặt phẳng đã được định hướng. Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều của kim đồng hồ làm chiều dương. 1.2.2. Góc định hướng của hai đường thẳng Trong mặt phẳng P đã được định hướng, xét hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Người ta gọi góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b lấy theo thứ tự đó là góc mà đường thẳng phải quay theo một chiều xác định để đến trùng với vị trí của đường thẳng b. Góc định hướng đó kí hiệu (a,b), trong đó a là cạnh đầu, b là cạnh cuối của góc. Số đo của góc đó là dương và âm tuỳ theo chiều quay của a xung quanh O đến trùng với b theo chiều dương hay âm của mặt phẳng. Do đó nếu (a,b)=  thì (b,a)=-  . Góc định hướng của hai đường thẳng a,b xác định sai khác một góc k radian, (a,b)=  + k (  tính bằng radian). Kí hiệu (a,b)=  ( mod  ). -9- 1.3. Phép dời hình trong mặt phẳng 1.3.1. Định nghĩa Phép biến hình của mặt phẳng E2 bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tuỳ ý được gọi là phép dời hình, nghĩa là với mỗi M  E2 ; N  E2 có f(M) = M’, f(N)=N’ thì đều có M’N’=MN . 1.3.2. Tính chất - Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó . Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó. Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn bằng nó, trong đó tâm biến thành tâm. - Phép dời hình f có ba điểm bất động không thẳng hàng thì f là một phép đồng nhất . 1.3.3. Một số phép dời hình cơ bản 1.3.3.1. Phép đối xứng tâm a. Định nghĩa N’ M’ M O N - 10 - Trong E2 cho điểm O, phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành   điểm M’ thoả mãn OM ' =- OM , được gọi là phép đối xứng qua tâm O. Kí hiệu là Đo hoặc Xo . b. Tính chất - Trong mặt phẳng phép đối xứng tâm là phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình . - Phép đối xứng qua tâm O có điểm bất động duy nhất là O . - Tích của ba phép đối xứng tâm với ba tâm phân biệt là một phép đối xứng tâm - Tích của hai phép đối xứng tâm với hai tâm đối xứng phân biệt là một phép tịnh tiến, với hai tâm đối xứng trùng nhau là một phép đồng nhất. 1.3.3.2. Phép đối xứng trục a. Định nghĩa d M’ M Trong E2, cho đường thẳng d, phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đường thẳng d là trung trực của MM’ được gọi là phép đối xứng qua d và kí hiệu Đd hoặc Sd .Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng. b. Tính chất - 11 - - Trong mặt phẳng phép đối xứng tâm là phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời hình . - Phép đối xứng trục có duy nhất một đường thẳng bất động . - Cho hai đường thẳng phân biệt a , b . Gọi c là ảnh của b qua phép đối xứng trục Sa . Khi đó phép biến hình S = Sa .Sb .Sa là phép đối xứng qua đường thẳng c .  v 1.3.3.3. Phép tịnh tiến a. Định nghĩa  Trong E2, cho vectơ v , phép biến M M’ hình của mặt phẳng E2 biến mỗi điểm M    thành điểm M’ thoả mãn MM ' = v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v . Kí hiệu Tv . b. Tính chất - Phép tịnh tiến là một phép dời hình nên nó có đầy đủ tính chất của một phép dời hình .   - Nếu v = 0 thì T0 = i d E2    - Nếu v  0 thì phép tịnh tiến theo vectơ v không có điểm bất động .    - Tích của hai phép tịnh tiến Tu và Tv với u và v khác 0 là một phép tịnh tiến: Tu . Tv = Tu  v . 1.3.3.4. Phép quay a. Định nghĩa Trong mặt phẳng định hướng E2, M cho điểm O cố định và góc định hướng  , phép biến hình của mặt phẳng E2 cho tương ứng mỗi điểm M - 12 -  O M’   thành điểm M’ sao cho OM=OM’ và ( OM , OM ) =  , được gọi là phép quay quanh điểm O và góc quay là  . Kí hiệu : QO hay Q(O,  ) . b. Tính chất - Phép quay QO là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của một phép dời hình . - Nếu  =k2  thì QOk2  = i d E2 Nếu  =(2k+1)  thì QO =ĐO Nếu   k2  thì QO có điểm bất động duy nhất là O . - ( QO ) -1 = QO . - QO : a  a’ thì ( a , a ' ) =  ' - QO . QO' = Q O - Cho hai phép quay QO11 và QO22 với O1  O2 Nếu  = 1 + 2  k2  thì Q = QO22  QO11 a là một phép quay với góc quay  , tâm quay O được xác định như sau : Q 1 2 O1 : O1O2  a Q 2 2 O2 : O2O1  b O2 2 2 2  1 O’ O là giao điểm của a và b Nếu  =k2  thì tích QO22  QO11 là một phép tịnh tiến. 1.4. Một số phép biến hình đặc biệt - 13 - b O 1 2 O1 1.4.1. Phép vị tự a. Định nghĩa Trong E2 cho điểm O cố định và M’ O M M’ O M một số thực k  0 , phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao   cho OM' = k OM được gọi là phép vị tự tâm O , tỉ số k . Kí hiệu VOk hay V(O,k) . b. Tính chất - Phép vị tự V(O,k) với k  1 có một điểm bất động duy nhất đó là điểm O . - Nếu M’, N’ là ảnh của hai điểm phân biệt M, N trong phép vị tự   V(O,k) thì M'N' = k MN . - Phép vị tự V(O,k) biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó . - Phép vị tự V(O,k) biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó , biến tia thành tia , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k , biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng k , biến góc thành góc bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có bán kính gấp k lần đường tròn đó . - k =-1 thì V(O,k) là phép đối xứng tâm . - k =1 thì V(O,k) là phép đồng nhất . 1.4.2. Phép đồng dạng a. Định nghĩa Phép biến hình của E2 biến mỗi điểm M thành điểm M’sao cho với mỗi cặp điểm bất kì M, N và cặp ảnh tương ứng M’, N’ thì ta có M’N’ = kMN (k >0 cho trước ) được gọi là phép đồng dạng tỉ số k. Kí hiệu : Z k . - 14 - b. Tính chất - Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng đầu , biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR . - Bảo tồn độ lớn của góc phẳng . - Tích của một phép vị tự và một phép dời hình hoặc tích của một phép dời hình và một phép vị tự là một phép đồng dạng . - Trong mặt phẳng mọi phép đồng dạng khác phép đẳng cự có duy nhất một điểm bất động. 1.5. Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích là bài toán tìm tập hợp những điểm (hay còn gọi là một hình) có tính chất  cho trước với những điều kiện nhất định . Việc khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất  là hình ( H ) nào đó, ta phải thực hiện hai bước : Bước 1 : (Phần thuận) Chứng minh điểm M có tính chất  thuộc (H). Bước 2 : (Phần đảo) Chứng minh mỗi điểm thuộc hình (H) đều có tính chất  . - 15 - Chương 2 : ứng dụng phép biến hình để giảI bài toán quỹ tích 2.1. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình Giả sử f : E2  E2 là một phép biến hình của mặt phẳng M  M' Lúc đó, do tính chất 1-1 của phép biến hình ta suy ra được : Quỹ tích của điểm M là hình (H) thì ta có quỹ tích điểm M’ là hình f(H). Ngược lại, nếu quỹ tích của các điểm M’ là hình (H’) thì quỹ tích những điểm M là hình f -1(H’) . Do đó, nếu sử dụng phép biến hình vào giải bài toán quỹ tích thì cùng lúc cả hai phần thuận và đảo đều được giải quyết . Như vậy để giải các bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình ta có thể chọn một phép biến hình thích hợp f biến điểm M thành điểm M’ sao cho quỹ tích những điểm M’ tìm được dễ dàng hơn để rồi từ đó suy ra quỹ tích điểm M . Nguyên tắc chung áp dụng phép biến hình vào giải toán tìm tập hợp điểm M thoả mãn tính chất  nào đó : nếu ta chứng minh được mỗi điểm M’ là ảnh của một điểm M qua một phép biến hình f xác định và nếu tập hợp các điểm M là hình ( H ) thì tập hợp các điểm M’ là hình ( H’) = f( H ) . 2.2. Phép đối xứng tâm với bài toán quỹ tích 2.2.1. Phương pháp chung Ta thực hiện theo các bước: Bước 1 : Tìm một phép đối xứng tâm Đo biến mỗi điểm M di động thành điểm M’ . Bước 2 : Tìm tập hợp ( H ) các điểm M . - 16 - Bước 3 : Kết luận tập hợp các điểm M’ là ảnh của ( H ) trong phép đối xứng tâm Đo . 2.2.2. Ví dụ Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và dây cung AB cố định, M là một điểm di động trên (O), M khác A, B . Hai đường tròn (O1) và (O2) qua M theo thứ tự tiếp xúc với AB tại A và B . Gọi N là giao điểm thứ hai của (O 1) và (O2) . Tìm tập hợp N khi M di động trên (O) . Lời giải M O2 O1 .O N I A B P Gọi I là giao điểm của MN và AB P là giao điểm của MN với (O) Ta có : IA2 = IM . IN = IB2 (1)  IA = IB  I là trung điểm của AB .Mà A, B cố định  I cố định. Mặt khác, ta có : IP . IM = IA . IB = - IA 2 (2) Từ (1) ,(2) suy ra : IP . IM =- IM . IN  IP =- IN  N= ĐI (P) Vì tập hợp các điểm P là đường tròn (O) qua hai điểm A, B nên tập hợp các điểm N là đường tròn (O’) bỏ đi hai điểm A, B với (O’) = ĐI(O) . Kết luận : Tập hợp điểm N khi M di động trên (O) là đường tròn ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm I. - 17 - Ví dụ 2. Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O), bán kính R cố định. Tìm quỹ tích trực tâm H của  ABC khi A chuyển động trên ( O). Lời giải A O H B C I A1 Giả sử AA1 là đường kính của (O;R) Gọi I là trung điểm của BC  I cố định . Ta có : BH  AC và A1C  AC  BH // A1C .  BHI =  CA1 I vì :   ICA  ( so le trong ) HBI 1 BI = IC  A  IC ( đối đỉnh ) BIH 1  HI = A1 I  ĐI : A1  H . Do điểm A thay đổi trên đường tròn (O;R) nên A1 thay đổi trên (O;R) Do đó quỹ tích trực tâm H là đường tròn ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng tâm I . Kết luận : quỹ tích trực tâm H là đường tròn ảnh của đường tròn (O;R) qua ĐI Ví dụ 3. Cho ba phép đối xứng tâm ĐA, ĐB , ĐC . Với M là điểm bất kì, gọi M1 là ảnh của M qua ĐA; gọi M2 là ảnh của M qua ĐB ; gọi M3 là ảnh của M qua ĐC . Tìm quỹ tích điểm M3 khi M chạy trên (O) hay đường thẳng d. - 18 - Lời giải Do ĐB : M1  M2  B là trung điểm của M1M2 M3 M1 D A M Tương tự C là trung điểm của M2 M3 C B Theo tính chất đường trung bình Trong  M1 M2 M3 có BC = 1 M1 2 M2 M3 và BC// M1 M3 Tương tự, có AD = 1 M1 M3 và AD// M1 M3 2  BC = AD và BC//AD ( với D là trung điểm của MM3 ) Do A, B, C cố định  D cố định Ta có ĐD : M  M3 . Do đó nếu M chạy trên đường tròn (O) thì quỹ tích M3 là đường tròn (O’) là ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm D . Nếu M chạy trên đường thẳng d thì quỹ tích M3 là ảnh của đường thẳng d qua ĐD . Ví dụ 4. Cho  ABC . Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA , AB . Tìm tập hợp điểm M trong tam giác sao cho ảnh của M trong các phép biến đổi ZA' , ZB' , ZC' nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Lời giải Ta kí hiệu M1, M2 lần lượt là ảnh của M trong phép đối xứng tâm A’ và B’ .    Khi đó ta có : CM = - AM 2 = - BM1 - 19 - A M2 B’ M A’ C B M1 Do đó, tứ giác AB M1 M2 là hình chữ nhật và CM  AB . Tương tự ta có : BM  AC .  M là giao điểm ba đường cao của  ABC Nếu  ABC nhọn thì tập hợp điểm M gồm một điểm là trực tâm của ABC. Tập hợp điểm M là tập rỗng nếu  ABC không nhọn . 2.3. Phép đối xứng trục với bài toán quỹ tích 2.3.1 Phương pháp chung Ta thực hiện theo các bước : Bước 1 : Tìm một phép đối xứng trục Đd, biến điểm E di động thành điểm M . Bước 2 : Tìm tập hợp ( H ) của các điểm E . Bước 3 : Kết luận tập hợp các điểm M là ảnh của ( H ) trong phép đối xứng trục Đd . 2.3.2. Ví dụ Ví dụ 1. Cho ( O;R ) trên đó có hai điểm A,B . Một đường tròn (O1;R1) tiếp xúc ngoài (O) tại A. Một điểm M di động trên ( O ), tia MA cắt đường tròn (O1) tại điểm thứ hai A1. Qua A1 vẽ đường thẳng song song với AB cắt tia MB tại B1. Tìm tập hợp điểm B1 . Lời giải - 20 -