Tài liệu Ứng dụng phần mềm geogebra trong thống kê

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THẢO TRANG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG THỐNG KÊ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ THẢO TRANG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG THỐNG KÊ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn TS. TÔN THẤT TÚ Đà Nẵng - 2021 LỜI CẢM ƠN Bài báo cáo này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS.Tôn Thất Tú. Trước hết, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy của mình là TS.Tôn Thất Tú, người đã đặt bài toán và định hướng nghiên cứu cho tôi. Thầy đã tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện để tôi học tập và hoàn thành báo cáo. Cảm ơn thầy đã luôn chia sẻ, động viên tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn khoa Toán học của trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn chia sẻ, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình nghiên cứu. Trần Thị Thảo Trang-18ST 1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 3 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Thống kê mô tả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Khái niệm mẫu và tổng thể . . . . . . . . . . . 1.1.2 Bảng tần số và tần suất . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Các chỉ số đặc trưng của mẫu . . . . . . . . . 1.1.4 Biểu đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Các bài toán kiểm định . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình . . . 1.2.2 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ . . . . . . . . . . 1.2.3 Kiểm định Mann-Whitney . . . . . . . . . . . 1.2.4 Phân tích phương sai một nhân tố . . . . . . . 1.3 Phần mềm Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Giới thiệu phần mềm Geogebra . . . . . . . . . 1.3.2 Một số lệnh, công cụ quan trọng được sử dụng 2 Ứng dụng phần mềm Geogebra trong thống kê 2.1 Xây dựng các biểu đồ thống kê . . . . . . . . . . 2.1.1 Biểu đồ cột . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Biểu đồ đường . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Biểu đồ tròn . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Tính các số đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Cách thực hiện . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Các bài toán kiểm định . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình 2.3.2 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ . . . . . . . 2.3.3 Kiểm định Mann-Whitney . . . . . . . . 2.3.4 Phân tích phương sai một nhân tố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 5 6 7 10 10 12 13 14 16 16 17 . . . . . . . . . . . . 19 19 19 24 26 28 28 29 30 30 31 32 34 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay, công nghệ thông tin phát triển nhanh chóng, tác động đến mọi mặt trong đời sống kinh tế xã hội loài người, trong đó có mảng ngành kinh tế, đặc biệt là thống kê đã được đẩy mạnh nhờ những tính toán bằng máy tính. Chính vì lý do đó, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã và đang đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy và học tập ở tất cả các cấp học, bậc học và ngành học nhằm đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước. Các phần mềm hỗ trợ dạy học ra đời nhằm đáp ứng nhu cầu phát triển của ngành giáo dục. Việc sử dụng công nghệ thông tin để đổi mới phương pháp dạy học ở các môn học là yêu cầu đặt ra cho người giáo viên trong giai đoạn đổi mới giáo dục. Thống kê xác suất là một môn đòi hỏi tư duy trừu tượng cao. Chính vì vậy, các phần mềm toán học sẽ là công cụ hỗ trợ đắc lực cho người giáo viên minh họa một số tri thức trừu tượng, khám phá mô hình thống kê, phân phối , tính chất của các thống kê,...Phần mềm GeoGebra có nhiều tính năng vượt trội và hoàn toàn miễn phí nên rất phù hợp với hoạt động giáo dục, đặc biệt đối với các nước đang phát triển với nguồn tài chính đầu tư cho giáo dục hạn hẹp. Phần mềm này tích hợp các chức năng cơ bản chẳng hạn như nhập trực tiếp của các phương trình và vẽ đồ thị, vẽ bảng, vẽ hình động 2D và 3D, hỗ trợ ngôn ngữ Latex và lập trình cơ bản,.... Trong kinh tế ứng dụng, bộ môn thống kê là một bộ môn nền tảng và cơ bản. Khi nói đến các kiểm định trong thống kê, người ta nghĩ ngay đến các công thức, kỹ thuật tính mà ít để ý đến ý nghĩa đằng sau của nó (cũng như mô hình thống kê thường gặp). Vì những lý do kể trên, chúng tôi lựa chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của mình là: "Ứng dụng phần mềm Geogebra trong thống kê". 2. Mục tiêu nghiên cứu Ứng dụng phần mềm Geogebra để minh hoạ các biểu đồ, tính các mẫu số đặc trưng, thực hiện các bài toán kiểm định trong thống kê. 3. Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu và tổng hợp các kiến thức liên quan, trao đổi với những người quan tâm và tham vấn giáo viên hướng dẫn. 4. Đối tượng nghiên cứu - Các vấn đề về thống kê (các chỉ số đặc trưng, biểu đồ, các bào toán kiểm định,...) 3 - Khả năng ứng dụng của Geogebra trong thống kê. - Phân tích dữ liệu và xây dựng các biểu đồ. 5. Phạm vi nghiên cứu Các chức năng của Geogebra hỗ trợ minh hoạ vẽ biểu đồ, tính toán và phân tích thống kê. 6. Ý nghĩa khoa học của nghiên cứu Công nghệ thông tin đặc biệt là các phần mềm dạy học đóng một vai trò quan trọng trong việc xây dựng các tình huống sư phạm nhằm tạo ra một môi trường học tập chủ động, sáng tạo. Người học có điều kiện phát huy khả năng phân tích, suy đoán và xử lý thông tin một cách có hiệu quả. Khoá luận có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên có nhu cầu bồi dưỡng, nâng cao kỹ năng ứng dụng công nghệ thông tin vào môi trường dạy - học. 7. Tổng quan và cấu trúc báo cáo - Chương 1 hệ thống lại các kiến thức về thống kê mô tả, các bài toán kiểm định, giới thiệu phần mềm GeoGebra và các lệnh thường được sử dụng trong khoá luận. - Chương 2 trình bày việc ứng dụng phần mềm GeoGebra trong thống kê, bao gồm: vẽ biểu đồ, tính toán các số đặc trưng và thực hiện các bài toán kiểm định. 4 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Thống kê mô tả Khái niệm mẫu và tổng thể - Tổng thể là tập hợp tất cả các phần tử của Ω mà ta cần nghiên cứu tính chất X nào đó. Tổng thể có thể hữu hạn hoặc vô hạn. - Việc chọn một tập con của tổng thể được gọi là phép lấy mẫu. Tập con đó được gọi là một mẫu. Số lượng phần tử của mẫu được gọi là kích thước mẫu hay cỡ mẫu. 1.1.2 Bảng tần số và tần suất 1.1.2.1 Mẫu không ghép lớp Giả sử ta thu được một mẫu dữ liệu rời rạc với số lượng các phần tử trong mẫu khác nhau không quá nhiều. Lúc đó, để thuận lợi cho việc trình bày mẫu cũng như các công việc tính toán và phân tích về sau, ta có thể sử dụng bảng tần số và tần suất như sau: - Bảng tần số: Giá trị x1 x2 x3 ... xm Tần số n1 n2 n3 ... nm trong đó x1 , x2 , ..., xm là các giá trị khác nhau trong mẫu với số lần xuất hiện tương ứng là n1 , n2 , ..., nm - Bảng tần suất: Giá trị x1 x2 x3 ... xm Tần suất f1 f2 f3 ... fm P trong đó fi = nni với n = m i=1 ni . Giá trị fi thường được gọi là tần suất xuất hiện của xi trong mẫu. Nhận xét: Từ bảng tần số ta dễ dàng chuyển về bảng tần suất. Ngoài ra, P dễ thấy rằng m i=1 fi = 1 nên ta có thể quy đổi các giá trị fi về dạng phần trăm trong thực hành. 1.1.2.2 Mẫu ghép lớp Khi ta thu được mẫu dữ liệu với nhiều giá trị khác nhau thì việc sử dụng ngay các bảng tuần số và tần suất đã nêu ở mục trước tỏ ra kém hiệu quả vì 5 bảng thu được quá dài và mục đích của chúng ta nhằm tóm tắt thông tin về mẫu dữ liệu cũng không đạt được. Để khắc phục tình trạng này người ta tiến hành chia nhiều miền giá trị thành nhiều khoảng [ai−1 , ai ) không giao nhau (phân hoạch) và đếm số lượng ni các giá trị trong mẫu rơi vào các khoảng này. Khi đó, ta cũng thu được bảng tần số và tần suất tương tự cho mẫu ghép lớp. - Bảng tần số: Khoảng giá trị [a0 , a1 ) [a1 , a2 ) [a2 , a3 ) ... [am−1 , am ) Tần số n1 n2 n3 ... nm - Bảng tần suất: Khoảng giá trị [a0 , a1 ) [a1 , a2 ) [a2 , a3 ) ... [am−1 , am ) Tần suất f1 f2 f3 ... fm Khi thực hiện phân hoạch miền giá trị, số khoảng cần chia thường được chọn √ từ 5 đến 20 khoảng, có thể chọn xấp xỉ bằng n (hoặc 1 + log2 (n)). Nếu ta chia thành m khoảng thì độ dài mỗi khoảng xấp xỉ (max{xk }−min{xk })/m với max{xk }, min{xk } là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong mẫu dữ liệu. 1.1.3 Các chỉ số đặc trưng của mẫu 1.1.3.1 Trung bình mẫu Kí hiệu là x và được tính theo công thức: n x1 + x2 + ... + xn 1X x= = xi n n i=1 1.1.3.2 Phương sai mẫu: Kí hiệu là s2 và được tính theo công thức: n n i 1 X 1 hX 2 2 2 s = (xi − x) = x − n(x) n − 1 i=1 n − 1 i=1 i 2 1.1.3.3 Độ lệch chuẩn mẫu v u √ u s = s2 = t n i 1 hX 2 2 x − n(x) n − 1 i=1 i 6 1.1.3.4 Trung vị mẫu Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần, giả sử x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn . Trung vị mẫu, kí hiệu là xmed , xác định bởi: ( x n+1 , nếu n lẻ xmed = x n 2+x n +1 2 2 , nếu n chẵn 2 1.1.3.5 Số mốt Số mốt là giá trị có tần số lớn nhất trong dãy giá trị. Số mốt được kí hiệu là M0 . 1.1.4 Biểu đồ 1.1.4.1 Biểu đồ cột Đây là loại biểu đồ được sử dụng thường xuyên nhất để mô tả dữ liệu thu được từ biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử ta có bảng tần số của số liệu đã cho như sau: Giá trị x1 x2 x3 ... xm Tần số n1 n2 n3 ... nm Sử dụng hệ trục tọa độ Descartes vuông góc để vẽ biểu đồ. Trên trục hoành tại các giá trị x1 , x2 , ..., xm ta vẽ các cột có độ rộng bằng nhau và chiều cao tương ứng với các giá trị tần số n1 , n2 , ..., nm hoặc tần số tương ứng (tần suất). Trong thực hành, người ta thường vẽ các cột tại các điểm có hoành độ 1, 2,..., m. Lúc đó, ta xem x1 , x2 , ..., xm như là các nhãn. Ví dụ 1.1. Trong một cuộc thi game online có 10 màn được tổ chức với 1022 game thủ tham gia, kết quả cho bởi bảng sau: Vượt qua màn Số game thủ Tỉ lệ 0 20 0.017 1 72 0.061 2 209 0.176 3 356 0.3 4 171 0.144 5 97 0.082 6 53 0.045 7 19 0.016 8 13 0.011 9 8 0.007 10 4 0.003 7 Thực hiện vẽ biểu đồ trên phần mềm Geogebra với dữ liệu trên, kết quả thu được thể hiện ở hình ảnh bên dưới. 350 300 250 200 150 100 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Hình 1.1: Biểu đồ cột thể hiện tần số của cuộc thi game online 1.1.4.2 Biểu đồ đường gấp khúc Đây là loại biểu đồ được sử dụng thường xuyên nhất để mô tả dữ liệu thu được từ biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử ta có bảng tần số của số liệu đã cho như sau: Giá trị x1 x2 x3 ... xm Tần số n1 n2 n3 ... nm Biểu đồ đường có thể được hiển thị với các điểm đánh dấu trong hình dạng của hình tròn, hình vuông hoặc các định dạng khác. Ví dụ 1.2. Với dữ liệu từ ví dụ 1.1, thực hiện vẽ biểu đồ trên phần mềm Geogebra, kết quả thu được thể hiện ở hình ảnh bên dưới. 8 350 300 250 200 150 100 50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Hình 1.2: Biểu đồ đường gấp khúc thể hiện tần số của cuộc thi game online 1.1.4.3 Biểu đồ tròn Đây cũng là loại biểu đồ thường được dùng để mô tả dữ liệu thu được từ biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử ta có bảng tần số hoặc tần suất của số liệu đã cho như sau: Giá trị x1 x2 x3 ... xm Giá trị x1 x2 x3 ... xm hoặc Tần số n1 n2 n3 ... nm Tần suất f1 f2 f3 ... fm Để vẽ biểu đồ tròn, ta chia một hình tròn cho trước thành các hình quạt sao cho hình quạt tương ứng với giá trị xi có góc ở tâm tỉ lệ ni (hoặc fi ). Cụ thể, nếu kí hiệu αi (tính theo radian) là góc ở tâm tương ứng với giá trị xi thì αi = trong đó n = 2πni hay αi = 2πfi , n Pm i=1 ni Ví dụ 1.3. Để đảm bảo công tác phòng, chống dịch Covid-19 theo quy định, xã A đã tiến hành tiêm Vaccine phòng Covid-19 cho người dân ở xã với 4 thôn: thôn 1, thôn 2, thôn 3, thôn 4. Kết quả thu được như sau: Thôn Thôn Thôn Thôn 1 2 3 4 Số lượng (người) Tỉ lệ (%) 322 29.43 258 23.58 347 31.72 167 15.27 9 Thực hiện vẽ biểu đồ trên phần mềm Geogebra với dữ liệu trên, kết quả thu được thể hiện ở hình ảnh bên dưới. Hình 1.3: Biểu đồ tròn thể hiện tỉ lệ số người đã tiêm Vaccine phòng Covid-19 ở xã A 1.2 Các bài toán kiểm định 1.2.1 Kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình 1.2.1.1 Khi phương sai đã biết Cho biến ngẫu nhiên X của một tổng thể có phân phối chuẩn N (µ; σ 2 ) với kì vọng µ chưa biết và phương sai σ 2 đã biết. Xét bài toán kiểm định giả thuyết: ( H0 : µ = µ0 H1 : µ 6= µ0 . Trong đó µ0 là một số thức đã cho. Giả sử rằng H0 đúng, tức là µ = µ0 . Gọi {X1 ; X2 ; ...; Xn } là mẫu ngẫu nhiên của X . Khi đó: X − µ0 √ Z= σ/ n có phân phối chuẩn tắc. Vì vậy, với α ∈ (0; 1) cho trước, lấy zα/2 = Φ−1 (1 − α2 ) ta có: P (Z ∈ (−zα/2 ; zα/2 )) = 1 − α suy ra: P (Z ∈ / (−zα/2 ; zα/2 )) = α Với α là một số khá bé (gần như bằng 0) thì biến cố chọn được một mẫu kích thước n và Z ∈ / (−zα/2 ; zα/2 ) hầu như sẽ không xảy ra. 10 Vì vậy, nếu có kết quả chọn ngẫu nhiên được một mẫu {x1 ; x2 ; ...; xn } thỏa mãn: x − µ0 √ ∈ (−∞; −zα/2 ] ∪ [zα/2 ; +∞) z= σ/ n thì bác bỏ H0 . Miền Wα = (−∞; −zα/2 ] ∪ [zα/2 ; +∞) được gọi là miền bác bỏ H0 . p−giá trị= 2(1 − Φ(|z|)) Lý luận tương tự, ta có: - Đối với bài toán kiểm định giả thuyết: ( H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 . Miền bác bỏ H0 là Wα = [zα ; +∞) p−giá trị= 1 − Φ(z) - Đối với bài toán kiểm định giả thuyết: ( H0 : µ = µ0 H1 : µ < µ0 . Miền bác bỏ H0 là Wα = (−∞; −zα ] p−giá trị= Φ(z) 1.2.1.2 Khi phương sai chưa biết Cho biến ngẫu nhiên X của một tổng thể có phân phối chuẩn N (µ; σ 2 ) với kì vọng µ chưa biết và phương sai σ 2 chưa biết. Xét bài toán kiểm định giả thuyết: ( H0 : µ = µ0 H1 : µ 6= µ0 . Trong đó µ0 là một số thức đã cho. Giả sử rằng H0 đúng, tức là µ = µ0 . Gọi {X1 ; X2 ; ...; Xn } là mẫu ngẫu nhiên của X . Khi đó: X − µ0 √ T = S/ n có phân phối Student n-1 bậc tự do. Vì vậy, với α ∈ (0; 1) cho trước, lấy tn−1;α/2 thỏa mãn: P (Tn−1 > tn−1;α/2 ) = 11 α 2 Trong đó Tn−1 là phân phối Student n-1 bậc tự do. Khi đó ta có: P (T ∈ (−∞; −tn−1;α/2 ] ∪ [tn−1;α/2 ; +∞)) = α Với α là một số khá bé (gần như bằng 0) thì biến cố chọn được một mẫu kích thước n và T ∈ (−∞; −tn−1;α/2 ] ∪ [tn−1;α/2 ; +∞) hầu như sẽ không xảy ra. Vì vậy, nếu có kết quả chọn ngẫu nhiên được một mẫu {x1 ; x2 ; ...; xn } thỏa mãn: x − µ0 √ ∈ (−∞; −tn−1;α/2 ] ∪ [tn−1;α/2 ; +∞) t= s/ n thì bác bỏ H0 . Miền Wα = (−∞; −tn−1;α/2 ] ∪ [tn−1;α/2 ; +∞) được gọi là miền bác bỏ H0 . p−giá trị= 2P (Tn−1 > |t|) Lý luận tương tự, ta có: - Đối với bài toán kiểm định giả thuyết: ( H0 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 . Miền bác bỏ H0 là Wα = [tn−1;α ; +∞) p−giá trị= P (Tn−1 > t) - Đối với bài toán kiểm định giả thuyết: ( H0 : µ = µ0 H1 : µ < µ0 . Miền bác bỏ H0 là Wα = (−∞; −tn−1;α ] p−giá trị= P (Tn−1 < t) 1.2.2 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ Giả sử biến cố ngẫu nhiên X của một tổng thể có phân phối Bernoulli với tham số p là tỷ lệ phần tử trong tổng thể có tính chất A nào đó. Xét bài toán kiểm định giả thuyết ( H0 : p = p0 H1 : p 6= p0 . Giả sử H0 đúng, khi đó p = p0 . Gọi X1 , X2 , ..., Xn là mẫu ngẫu nhiên của X . Đặt: P̂ = X1 + X2 + ... + Xn n 12 Với n đủ lớn, theo Định lí giới hạn trung tâm ta có biến ngẫu nhiên Z=p P̂ − p0 p0 (1 − p0 )/n có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn tắc N (0; 1). Với một số α ∈ (0; 1) cho trước, lấy zα/2 = Φ−1 (1 − α2 ) ta có: P (Z ∈ (−zα/2 ; zα/2 )) ≈ 1 − α Suy ra P (Z ∈ / (−zα/2 ; zα/2 )) ≈ α. Với α là một số khá bé thì biến cố chọn được một mẫu kích thước n có Z ∈ / (−zα/2 ; zα/2 ) hầu như không xảy ra khi thực hiện một lần thử. Do đó nếu chọn ngẫu nhiên được một mẫu dữ liệu {x1 ; x2 ; ...; xn } có: pb = x1 + x2 + ... + xn k = n n thỏa mãn: z=p k/n − µ0 ∈ (−∞; −zα/2 ] ∪ [zα/2 ; +∞) p0 (1 − p0 )/n thì ta bác bỏ H0 . Vì vậy, miền bác bỏ H0 là Wα = (−∞; −zα/2 ]∪[zα/2 ; +∞). p−giá trị= 2(1 − Φ(|z|)) Lý luận tương tự như trên ta có: - Đối với bài toán kiểm định giả thuyết: H0 : p = p0 và H1 : p > p0 miền bác bỏ H0 là Wα = [zα ; +∞) p−giá trị= 1 − Φ(z) - Đối với bài toán kiểm định giả thuyết: H0 : p = p0 và H1 : p < p0 miền bác bỏ H0 là Wα = (−∞; −zα ] p−giá trị= Φ(z) 1.2.3 Kiểm định Mann-Whitney Giả sử x1 , x2 , ..., xn1 và y1 , y2 , ..., yn2 lần lượt là các mẫu ngẫu nhiên độc lập của hai biến ngẫu nhiên liên tục X và Y . Giả thiết H0 : Hai biến ngẫu nhiên X và Y có cùng phân phối, với đối thiết H1 : Hai biến ngẫu nhiên X và Y không có cùng phân phối. Lúc này, ta có thể sử dụng tiêu chuẩn Mann-Whitney để tiến hành kiểm định. Tiến hành góp hai mẫu đó lại thành một mẫu có kích thước mẫu n = n1 + n2 , sau đó sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Kí hiệu ri và sj là hạng của xi và yj trong mẫu được gộp lại. 13 Tổng hạng của mẫu x1 , x2 , ..., xn1 là Rx = r1 + r2 + ... + rn1 . Tổng hạng của mẫu y1 , y2 , ..., yn1 là Ry = s1 + s2 + ... + sn1 . Ta có định lí sau: Định lý 1.1. Nếu X và Y có cùng phân phối xác suất thì Rx là biến ngẫu nhiên có vọng và phương sai lần lượt là: µRx = n1 n2 (n1 + n2 + 1) n1 (n1 + n2 + 1) 2 , σRx = V (Rx ) = 2 12 Hơn nữa, khi n1 ≥ 10 và n2 ≥ 10 thì Z= Rx − µRx σRx có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn tắc N (0; 1). Áp dụng định lý trên, miền bác bỏ với mức ý nghĩa α là: W = (−∞, −zα/2 ]∪ [zα/2 , +∞). Ta cũng có thể tính p−giá trị = 2(1 − Φ(|z|)). 1.2.4 Phân tích phương sai một nhân tố Giả sử ta cần quan tâm tác động của nhân tố A lên biến số ngẫu nhiên X ở k mức A1 , A2 , ..., Ak . Kí hiệu Xij là kết quả của tác động mức Aj lên phần tử thứ i. A1 A2 X11 X12 X21 X22 ... ... Xm1 Xm2 ... Ak ... X1k ... X2k ... ... ... Xmk Mô hình phân tích phương sai một nhân tố: Xij = µ + αj + ij ; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., k Trong đó ij là các biến ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân phối chuẩn N (0; σ 2 ); αj là tác dụng của mức nhân tố Aj ; µ là trung bình chung. Bài toán kiểm định giả thuyết:  H0 : α1 = α2 = ... = αk = 0, (*) H1 : α12 + α22 + ... + αk2 6= 0. Từ giả thiết của mô hình ta có Xij là các biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với: µj = E(Xij ) = µ + αj 14 V (Xij ) = σ 2 Bài toán kiểm định giả thuyết (*) cũng có thể phát biểu dưới dạng sau: ( H0 : µ1 = µ2 = ... = µk = 0, H1 : có ít nhất 2 giá trị trung bình khác nhau. Gọi Xij : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ k là mẫu ngẫu nhiên thu được từ thí nghiệm. Đặt: m m X k m X k X X X Tj = Xij , T = Xij , Q = Xij2 i=1 i=1 j=1 i=1 j=1 Ta đưa ra một số kí hiệu sau: - Trung bình mẫu thứ j(j = 1, 2, ..., k): m 1 X Xj = Xij m i=1 - Trung bình chung: m k 1 XX X= Xij mk i=1 j=1 - Ước lượng giá trị Xij từ mô hình: bij = X j X - Phần dư: eij = Xij − X j , i = 1, ..., m; j = 1, ..., k - Tổng bình phương chung: SST = m X k X (Xij − X)2 = Q − i=1 j=1 T2 mk - Tổng bình phương do nhân tố: m X k k X 1 X 2 T2 2 SSF = (X j − X) = Tj − m mk i=1 j=1 j=1 - Tổng bình phương do sai số: SSE = m X k X i=1 j=1 15 (Xij − X j )2 - Trung bình bình phương của nhân tố: M SF = SSF k−1 - Trung bình bình phương của sai số: M SE = SSE mk − k - Tỉ số F: M SF M SE Các kết quả nói trên được trình bày trong bảng sau đây gọi là bảng ANOVA: F = Nguồn Nhân tố Sai số Tổng Bậc tự do Tổng bình phương k−1 mk − k n−1 SSF SSE SST Trung bình Tỉ số F bình phương M SF M SF M SE M SE M SF Người ta chứng minh được rằng nếu H0 đúng thì: F = M SE có phân phối F với hai tham số k − 1 và n − k . Vì vậy, miền bác bỏ H0 với mức ý nghĩa α là: W = [fk−1,mk−k (α); +∞) p−giá trị= P (Fk−1,mk−k ≥ F ) 1.3 1.3.1 Phần mềm Geogebra Giới thiệu phần mềm Geogebra GeoGebra là phần mềm miễn phí, là phần mềm toán học động được thiết kế cho việc dạy và học môn Toán. Nó cũng cung cấp các tính năng điển hình của các phần mềm hệ thống đại số máy tính và hình học động. Mặt khác, GeoGebra được sử dụng để xây dựng tình huống dạy học khám phá và là phương pháp trực quan thay thế cho phương pháp dạy học toán truyền thống. GeoGebra là công cụ để thúc đẩy học tập tích cực và bồi dưỡng năng lực cho học sinh thông qua việc đặt câu hỏi, quan sát, giải thích, chứng minh và đưa ra dự đoán để áp dụng trong thực tiễn. Tác giả phần mềm là Markus Hohenwarter, giảng viên trường Đại học Salzburg, Cộng hòa Áo. Phần mềm GeoGebra được khởi tạo năm 2001 và liên tục được phát triển. Người dùng có thể thoải mái tải xuống phần mềm này từ trang web chính thức GeoGebra tại http://www.geogebra.org. 16 1.3.2 Một số lệnh, công cụ quan trọng được sử dụng - Dãy điểm: Sequence(, , , ) - Lấy giá trị trong danh sách: Element( , ) - Hợp các danh sách Join() - Vẽ biểu đồ cột: BarChart(, , ) Histogram (, ) - Đoạn thẳng: Segment (, ) - Vẽ biểu đồ tròn: PieChart(, , ) - Kích thước mẫu: Sum() - Tính giá trị trung bình mẫu: Mean() - Tính phương sai mẫu: Variance() - Tính trung vị mẫu: Median() - Tính mod của dấu hiệu: Mode() 17 - Tính hạng: TiedRank() - Sắp xếp danh sách: Sort() - Bổ sung đối tượng vào danh sách: Append(