khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội 2
Khoa: toán
*********************
Thân thị thu hà
ỨNG DỤNG ĐA THỨC
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên nghành : Đại số
Hà nội - 2009
ứng dụng đa thức
-1-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội 2
Khoa: toán
*********************
Thân thị thu hà
ỨNG DỤNG ĐA THỨC
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành :Đại số
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:
Giảng viên chính : VƢƠNG THÔNG
Hà nội - 2009
ứng dụng đa thức
-2-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Lời cảm ơn
Sau một thời gian hăng say và miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ
tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoá luận của em đã hoàn
thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Vƣơng ThôngTổ trƣởng tổ Đại số đã chỉ bảo, giúp đỡ em trong quá trình thực hiện và hoàn
thành khoá luận.
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong
khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số trực tiếp giảng dạy đã tạo điều kiện
thuận lợi cho em trong quá trình em làm khoá luận.
Khoá luận của em đã hoàn thành song cũng không tránh khỏi những thiếu
xót, hạn chế. Em rất mong nhận được sự đóng góp chân tình, những ý kiến
phản hồi của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khoá luận của em được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, tháng 05 năm 2009
Sinh viên
Thân Thị Thu Hà
ứng dụng đa thức
-3-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Lời nói đầu
Đa thức chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong toán học, không những
là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của đại số mà còn là phương tiện hữu hiệu
của giải tích.Bên cạnh đó lý thuyết đa thức còn phục vụ cho chương trình toán
phổ thông, toán cao cấp, toán ứng dụng.
Với những ứng dụng đó ngày nay tài liệu về đa thức cũng khá nhiều và đi
sâu vào nhiều dạng toán, các dạng toán được phân loại rõ ràng và có hệ
thống.Song những vấn đề về đa thức chưa đưa ra được phương pháp giải một
cách chi tiết và tường minh.
Với những lí do trên em chọn đề tài “ ứng dụng đa thức” để làm khoá
luận tốt nghiệp
Khoá luận bao gồm nội dung:
Chương 1: Những kiến thức liên quan
Chương 2: ứng dụng đa thức một ẩn
Chương 3: ứng dụng đa thức nhiều ẩn
Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và khả năng của bản thân
còn nhiều hạn chế nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu xót. Kính
mong các thầy cô giáo và các bạn sinh viên nhận xét và đóng góp ý kiến để
khoá luận của em được hoàn thiện hơn.
Hà nội, tháng 05 năm 2009
Sinh viên
Thân Thị Thu Hà
ứng dụng đa thức
-4-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Mục lục
Lời nói đầu: ……………………………………………………………… 1
MỤC LỤC ……………………………………………………………..
2
Chương 1: Những kiến thức liên quan …………………………………
3
1.1. Vành đa thức một ẩn …………….………………………………...
3
1.2. Đa thức với hệ số nguyên …………………………………………
10
1.3. Vành đa thức nhiều ẩn ……………………………………………
13
Chương 2: ứng dụng đa thức một ẩn ………………………………
16
2.1. ỨNG DỤNG 1: Một số bài toán chia hết …………………………
16
2.2 ỨNG DỤNG 2: GIải toán phương trình bậc hai ……………………
19
2.3.ỨNG DỤNG 3: GIải phương trình căn thức …………………...……
22
2.4.ỨNG DỤNG 4: Tâm giá trị của các biểu thức đối xứng đối với các
nghiệm của đa thức …………………………………………
24
2.5. ứng dụng 5: Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng..............................
29
2.6.ỨNG DỤNG 6: Tâm điểm cố định của họ đồ thị hàm số…..……
32
Chương 3: Ứng dụng đa thức nhiều ẩn ………………………………….. 35
3.1. Ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ……………………
35
3.2. ỨNG DỤNG 2: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình đối xứng
38
3.3. ỨNG DỤNG 3: Giải hệ phương trình ….....………………………
45
3.4. ỨNG DỤNG 4: CHứng minh hằng đẳng thức….…………………
47
3.5. ỨNG DỤNG 5:CHứng minh bất đẳng thức …….....………………
51
3.6. ỨNG DỤNG 6: TRục căn thức ở mẫu ………......…………………
54
KẾT LUẬN ……………………………………………………………
58
TàI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………
59
ứng dụng đa thức
-5-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Chƣơng 1 : những kiến thức liên quan
Đ1. vành đa thức 1 ẩn
1. Xây dựng vành đa thức 1 ẩn
Giả sử A là 1 vành giao hoán, có đơn vị.Gọi K là tập hợp các dãy:
K
a , a ,..., a
0
n ,...
1
| ai , i 0,1,...; ai
0 hầu hết
Trên K ta định nghĩa 2 phép toán cộng và nhân như sau
+ ( a0 , a1 ,..., an ,...) (b0 , b1 ,..., bn ,...) (a0 b0 ,..., an bn ,...)
+ ( a0 , a1 ,..., ak ,...).(b0 , b1 ,..., bk ,...) (c0 , c1 ,..., ck ,...)
ab
Với ck i
j k i j
, k 0,1,2...
Khi đó (K,+,.) lập thành 1 vành giao hoán có đơn vị
Xét ánh xạ :
f : AK
a (a, 0,...,...)
+ f là 1 đơn cấu và bảo toàn tổng,tích
f (a b) (a b, 0,...) (a, 0,...) (b, 0,...) f (a) f (b)
f (a.b) (a.b, 0,...) ( a, 0,...)(b, 0,...) f ( a) f ( b)
Nếu f (a) f (b) (a, 0,...) (b, 0,...) a b
+Do f là đơn cấu nên ta thể đồng nhất mỗi phần tử a A với ảnh
f (a) của nó trong K và có thể coi A là một vành con của K
KH:
x (0,1, 0,...) gọi là 1 ẩn
ứng dụng đa thức
-6-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Khi đó ta có x (0, 0,1, 0, ...)
2
…
x (0,
..., 0 ,1, 0, ...)
n
n
Vì các phần tử của K là các dãy ( a 0 , a 1 ,…, a n ,…) trong đó các
a A & a 0 hầu hết trừ 1 số hữu hạn nên ta có thể giả sử n
i
i
là số lớn nhất để an 1 an 2 ... 0 . Khi đó mỗi phần tử trong K có thể
viết :
(
a 0 , a 1 ,…, a n ,0,…)= ( a 0 ,0 ,…)+ (0, a 1 ,…)+ (0,0, a
2
,…)+…+
(0,…,0, a n ,0,…)
=( a 0 ,0 ,…)(1,0 ,…)+ (0, a1 ,…)(0,1,0…)+…+ ( a n ,0,…)(0,…,1,0,…)
= a0 a1 x ... an x
n
Gọi K là vành đa thức ẩn x lấy hệ tử trên A hay vành đa thức một ẩn x trên
A KH: K A x
+Ta thường KH các phần tử của K là f ( x), g ( x)... Và được viết
f ( x) a x a
n
n
n 1
x
n 1
... a x a
1
0
Trong đó các a , i 0, n là các hệ tử của đa thức
i
a x
i
a
a
ứng dụng đa thức
i
0
n
: các hệ tử thứ i của đa thức
: hạng tử tự do
: hệ tử cao nhất
-7-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
2.Các tính chất của đa thức
2.1.Bậc của đa thức
n
Cho
f ( x) a x a
n
n 1
x
n 1
... a x a
n
0
( a n 0, n 0 )
n
+ f ( x ) 0 : Ta nói f ( x) là đa thức không có bậc hoặc bậc là -
+ f ( x) 0 : Cho f ( x) A x , n được gọi là bậc của f ( x) .
KH là n deg f ( x)
Tính chất
1/Nếu deg f ( x) deg g ( x) thì f ( x)
g ( x) 0 và
deg( f ( x) g ( x)) max{deg f ( x), deg g ( x)}
Nếu deg f ( x) deg g ( x) và f ( x) + g ( x)
0 thì
deg( f ( x) g ( x)) max{deg f ( x) deg g ( x)}
2/Nếu f ( x).g ( x) 0 thì deg( f ( x).g ( x)) deg f ( x) deg g ( x)
2.2. Phép chia đa thức
2.2.1. Phép chia có dƣ
Định lí:
Cho vành đa thức A x , A _trường. f ( x) , g ( x) A x , g ( x) 0 thì
! g ( x) , r ( x) A x sao cho f ( x) g ( x) f ( x) r ( x) với r (x) là
phép dư của phép chia f ( x) cho g ( x)
r ( x) 0 deg f ( x) deg g ( x)
r ( x) = 0
ứng dụng đa thức
f ( x ) g ( x)
-8-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
2.2.2. phép chia hết
Định nghĩa:
Ta nói rằng đa thức f ( x) chia hết cho g ( x) nếu tồn tại một đa thức q( x) ,
q( x) A x sao cho f ( x) = g ( x) . q( x)
KH:
f ( x ) g ( x)
Một số tính chất:
i/ Nếu f ( x) g ( x) thì
deg f ( x) deg g ( x)
ii/ Với f ( x ) g ( x ) , 0 thì . f ( x ) g ( x )
iii/ f ( x) g ( x) , g ( x) f ( x) thì f ( x) . g ( x), 0
iiii/ Nếu fi ( x ) g ( x ), i 1, n và q1 ( x), q2 ( x),..., qn ( x) là những đa thức bất kì
thì:
[ f1 ( x) q1 ( x) f 2 ( x) q2 ( x) ... f n ( x) qn ( x)] g ( x)
Lƣợc đồ Hoocner
n
n 1
... an 1x an , A
Cho f ( x) A x : f ( x ) a1x a1x
Giả sử thương của phép chia f ( x) cho x trong A x là :
q( x) b0 x
n 1
b1x
n2
... bn 1 , b A , i 0, n 1
i
i
Khi đó ta biểu diễn :
n
n 1
n 1
a0 x a1x
... an 1x an f ( x )( x ) (b0 x
... bn 1)
So sánh các hệ tử của các luỹ thừa giống nhau của
x
trong hệ thức trên ta có
bảng
ứng dụng đa thức
-9-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
………….
ao
a1
bo ao
b1 ao bo
an
…………..
r ao bn
2.3. Nghiệm của đa thức
Định nghĩa:
Cho f ( x) A x , deg f ( x) 1 , f ( x) = a0 a1 x ... an x .
n
Phần tử được gọi là nghiệm của đa thức nếu
n
f ( ) = a a ... a .Giả sử A _trường,
0
1
n
A là nghiệm của đa
thức f ( x) A x f ( x) ( x ) trong A x .
* Công thức Viét:
Cho f ( x) a0 x a1 x
n
n 1
... a
n 1
xa
n
là đa thức bất kì và
f ( x) a ( x )( x )...( x )
0
1
1
2
n
Với 1 , 2 ,..., n là các nghiệm của đa thức
a
1
...
1
2
n
a
0
a
2
1 2 1 3 ... 1 n 2 3 ... n 1 n a
0
...
a
k
k
... ...
... ( 1)
k
n k 1 n k 2
n
1 2
a
0
a
... ( 1) n n
n
a
1 2
0
ứng dụng đa thức
-10-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
2.4.Đa thức bất khả quy
Định nghĩa:
Đa thức bất khả quy f ( x) trên một miền nguyên A là một đa thức khác 0,
không khả nghịch và không có ước thực sự trong A x . Nghĩa là f ( x) là
phần tử bất khả quy của vành A x .
Định lí:
-Mọi đa thức bậc nhất đều bất khả quy trên mọi trường số.
-Một đa thức bất khả quy trên C là đa thức bậc nhất.
R là đa thức bậc nhất,bậc hai(với
-Một đa thức bất khả quy trên
0 ).
*Tiêu chuẩn Aiden-stainer
Giả sử f ( x) = a0 a1 x ... an x Z x , n 1
n
p P sao cho
p | an
p | ai
2
p
| ao
i 0, n 1
Khi đó f ( x) là bất khả quy trong Q x
*Đa thức không bất khả quy
Cho L R . Đa thức P( x) L( x) được gọi là không bất khả quy trong
L ( x ) nếu tồn tại các đa thức Q( x) L( x) & S ( x) L( x) .Với bậc lớn
hơn một sao cho P( x) Q( x).S ( x)
ứng dụng đa thức
-11-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Đ2. đa thức với hệ số nguyên
1.Định nghĩa:
Đa thức f ( x) Z x được gọi là đa thức nguyên bản nếu các hệ số của nó
nguyên tố cùng nhau.
2.Tính chất:
*Bổ đề Gauss: Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức nguyên bản.
* Khái niệm nguyên tố cùng nhau
Định nghĩa: P( x), Q( x) nguyên tố cùng nhau nếu UCLN của chúng là một
đa thức hằng số hay ( P( x), Q( x)) 1
Định lí: Điều kiện cần và đủ để 2 đa thức P( x), Q( x) nguyên tố cùng nhau là
tồn tại cặp đa thức U ( x), V ( x) sao cho :
U ( x ) P ( x ) V ( x )Q ( x ) 1
Các tính chất:
1/ Nếu P( x), Q( x), R( x) là những đa thức sao cho
( P ( x), Q( x)) 1 R ( x ) P ( x )
R ( x )Q ( x ) P ( x )
2/ Nếu ( P( x), Q( x)) 1 thì tồn tại U ( x), V ( x) sao cho
U ( x ) P ( x ) V ( x )Q ( x ) 1
deg U ( x ) deg Q ( x )
Và
deg V ( x ) deg P ( x )
3/ Nếu ( P( x), Q( x)) 1 , ( P( x), R( x)) 1 thì ( P( x), Q( x), R( x)) 1
ứng dụng đa thức
-12-
khóa luận tốt nghiệp
4/
Thân Thị Thu Hà
P( x) Q( x)
P( x) R( x)
P( x) Q( x) R( x)
( R ( x ), R ( x )) 1
3.Đa thức đồng dƣ
Định nghĩa:
Cho ( x) là đa thức khác không. Ta nói rằng những đa thức P( x), Q( x) là
đồng dư theo môđun đa thức ( x) nếu P ( x ) Q ( x ) ( x )
Nếu P( x), Q( x) đồng dư theo môđun ( x) thì ta kí hiệu :
P( x) Q( x)(mod ( x))
Định lí:
Cho ( x) là đa thức khác không. Chứng minh rằng nếu P( x ) và Q( x) là hai
đa thức thì P( x) Q( x)(mod ( x)) tương đương P( x) và Q( x) cùng một đa
thức dư khi chia cho ( x)
Chứng minh
Nếu P( x) ( x) S1 ( x) R1 ( x), deg R1 ( x) deg ( x)
Q( x) ( x) S ( x) R ( x), deg R ( x) deg ( x)
2
2
2
Thì P( x) Q( x) ( x) R1 ( x) R2 ( x) ( x)
R ( x ) R ( x)
1
2
Vì deg( R1 ( x) R2 ( x)) deg ( x)
Tính chất
1/ P( x), P( x) P( x)(mod ( x ))
2/ P( x ) và Q( x) bất kì, nếu P( x) Q( x)(mod ( x)) thì Q( x) P( x)(mod ( x))
ứng dụng đa thức
-13-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
3/ P( x), Q( x), R( x), nếu P( x) Q( x)(mod ( x)) và
Q( x) R( x)(mod ( x)) thì P( x) R( x)(mod ( x))
4 / P( x), Q( x), R( x), P( x) Q( x)(mod ( x)) thì
P( x) R( x) Q( x) R( x)(mod ( x))
5/ P1 ( x), P2 ( x),..., Pn ( x), Q1 ( x),...Qn ( x) và u1 ( x), u2 ( x),..., un ( x), nếu
P ( x) Q ( x)(mod ( x)), i 1, n thì u ( x) P ( x) ... u ( x) P ( x)
i
i
1
1
n
n
u ( x)Q ( x) ... u ( x)Q ( x)(mod ( x))
1
1
n
n
6/ P( x), Q( x), R( x) bất kì, nếu P( x) Q( x) R( x)(mod ( x)) thì
P( x) R( x) Q( x)(mod ( x))
7/ P1 ( x), P2 ( x ),..., Pn (x ), Q1 (x ),Q2 (x )...Qn (x ) và
u ( x), u ( x),..., u ( x), nếu P ( x) Q ( x)(mod ( x)), i 1, n thì
i
i
1
2
n
P ( x).P ( x)...P ( x) Q ( x).Q ( x)...Q ( x)(mod ( x))
1
2
n
1
2
n
8/ P( x) , Q( x) bất kì , n nếu
n
n
P( x) Q( x)(mod ( x)) thì P ( x) Q ( x)(mod ( x))
9/ P( x) , Q( x) bất kì và F ( x) , nếu P( x) Q( x)(mod ( x)) thì
F ( P( x)) F (Q( x))(mod ( x))
ứng dụng đa thức
-14-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Đ3. Vành đa thức nhiều ẩn
1.Định nghĩa:
Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn A[ x1, , x2 ,..., xn ] bằng quy nạp.
Giả sử
A là vành giao hoán có đơn vị. Đặt
A A[ x ] : vành đa thức ẩn x1 lấy hệ tử trên A
1
1
A A[ x ] : vành đa thức ẩn x2 lấy hệ tử trên A
1
2
2
…
A A [ x ] : vành đa thức ẩn xn lấy hệ tử trên A
n
n 1
n
n 1
Khi đó ta gọi vành A x1 , x2 ,..., xn An là vành đa thức n ẩn
x , x ,..., x
1
2
n
Mỗi phần tử của vành A[ x1 , x2 ,..., xn ] kí hiệu là f ( x1 , x2 ,..., xn ) ;
g ( x , x ,..., x ) ;…gọi là các đa thức n ẩn x , x ,..., x lấy hệ tử trên A
1 2
n
1
2
n
Bằng quy nạp ta cũng có mọi f ( x1 , x2 ,..., xn ) A[ x] đều biểu diễn duy
nhất dưới dạng
f ( x1 , x2 ,..., xn ) c1 x1a11 x2a12 ... xna1n ... cm x1am1 x2am 2 ... xnamn
trong đó
ci A, i 1, n , aij , j 1, n
(ai1 , ai 2 ,...ain ) (a j1 , a j 2 ,...,a jn ), i j
ứng dụng đa thức
-15-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
2. Bậc của đa thức
Cho đa thức
n
a a
a
f ( x1 , x2 , ..., xn ) ci x1 i1 x2 i 2 ...xn in , ci A, i 1, m
1
Ta gọi là bậc của đa thức f ( x1 , x2 ,..., xn ) đối với ẩn xi là số mũ cao nhất có
được trong các hạng tử
Gọi ai1 ai 2 ... ain là bậc của hạng tử thứ i của f ( x1 , x2 ,..., xn )
Gọi số lớn nhất trong các số là bậc của các hạng tử là bậc của đa
thức f ( x1 , x2 ,..., xn )
Nếu các hạng tử của f ( x1 , x2 ,..., xn ) có bậc bằng nhau và bằng k thì
f ( x1 , x2 ,..., xn ) gọi là đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k
3. Đa thức đối xứng
Định nghĩa 1:
Cho A là một miền nguyên. Đa thức f ( x1 , x2 ,..., xn ) A[ x1 , x2 ,..., xn ]
được gọi là đa thức đối xứng nếu và chỉ nếu với mọi phép thế
12...n
i1i2 ...in
i
Ta có f ( x1 , x2 ,..., xn ) f ( xi1 , xi2 ,..., xin ) trong đó i1 , i2 ,..., in là một hoán
vị bất kì của n phần tử x1 , x2 ,..., xn .
Định nghĩa 2: Trong vành A[ x1 , x2 ,..., xn ] các đa thức sau là đa thức
đốixứng gọi là đa thức đối xứng cơ bản hay đa thức đối xứng sơ cấp
n
1 xi x1 x2 ... xn
i 1
ứng dụng đa thức
-16-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
n
2 xi x j x1 x2 x1 x3 ... xn1 xn
i j
n
3 xi x j xk x1 x2 x3 x1 x2 x4 ... xn2 xn1 xn
i j k
...
n x1 x2 ...xn
Định lí cơ bản:
Mọi đa thức đối xứng f ( x1 , x2 ,..., xn ) A[x1 ,x2 ,...,xn ] đều biểu diễn
như đa thức của những đa thức cơ sở đối xứng và sự biểu diễn là duy nhất
Nếu 1 , 2 ,..., n là những đa thức cơ sở đối xứng của n biến, thì
a
1 (1 , 2 ,..., n ) 1
ao
2 (1 , 2 ,..., n )
a2
a0
…
k (1 , 2 ,..., n ) ( 1)
k ak
ao
…
n (1 , 2 ,..., n ) ( 1) n
an
a0
n
n1
Nếu cho P( x) a0 x a1 x ... an1 x an , a0 0 với 1 , 2 ,..., n là nghiệm
của đa thức
ứng dụng đa thức
-17-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Chƣơng 2: ứng dụng đa thức một ẩn
2.1.ứng dụng 1: Một số bài toán chia hết
2.1.1.Cơ sở lí luận
+ Cho f ( x) / f ( x ) ( x ) f ( ) 0
f ( x ) g ( x ), h( x ) f ( x ) g ( x ).h( x)
( g ( x ), h( x)) 1
+ Sử dụng đạo hàm đa thức
+ Sử dụng đồng dư thức về đa thức: f ( x) g ( x)(mod h( x))
2.1.2. Phƣơng pháp giải
+ Chọn sao cho f ( ) 0
+ Khi đó f ( ) g ( ).h( ) với g ( ), h( ) được xem là đa thức của
+ Kết luận f ( x ) g ( x ).h( x )
2.1.3. Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Trong Q( x) .Chứng minh rằng
x
3k
x
3l 1
x
3n 2
(x
2
x 1) , (k , l , n )
Lời giải
Cách 1: áp dụng hệ quả định lí Bơdu: Cho A -trường, f ( x) A[ x] ,
f ( x ) ( x c ) f (c ) 0
Ta có kết quả sau: Nếu mọi nghiệm đơn của g ( x ) và nghiệm bội bậc m của
g ( x ) đều là nghiệm đơn và nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng m của f ( x)
thì f ( x) g ( x)
ứng dụng đa thức
-18-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
Trong A[ x]
2
+ Đặt g ( x) x x 1 thì 3 0 g ( x) có nghiệm đơn
+Giả sử c C là một nghiệm đơn của g ( x) thì
g (c) c 2 c 1 0 c 2 c 1 c 3 c 2 c 0
c 3 c 2 c 1
f (c) c 3k c 3l 1 c 3n 2 (c3 ) k (c 3 )l c (c 3 ) n c 2
=1 c c 0
2
c là nghiệm của f ( x)
Mọi nghiệm đơn của g ( x) đều là nghiệm đơn của f ( x)
f ( x) x3k x3l 1 x3 n2 ( x 2 x 1) g ( x) trong C[ x]
Mọi hệ tử của đa thức thương khi chia f ( x) cho g ( x) là kết quả của việc
cộng,trừ,nhân,chia trong Q[ x] giữa các số hữu tỉ nên là số hữu tỉ.
f ( x) g ( x) trong Q[ x]
Cách 2: Sử dụng đồng dư thức
Ta chứng minh f ( x) 0(mod ( x)) .
Với f ( x) x x
3k
Ta có:
3 l 1
x3 n2 , ( x) ( x 2 x 1)
x3 1 ( x 1)( x 2 x 1)
x3 1(mod ( x))
Khi đó áp dụng tính chất đồng dư ta có:
x 3 k ( x 3 ) k 1k 1(mod ( x))
x3 k 1 ( x3 )l .x 1.l x x(mod ( x))
x3 n2 ( x3 )n .x 2 1n.x 2 x 2 (mod ( x))
ứng dụng đa thức
-19-
khóa luận tốt nghiệp
Thân Thị Thu Hà
x3 k x3l 1 x3 n2 x 2 x 1 ( x) 0(mod ( x))
x3k x3l1 x3n2 x2 x 1
Ví dụ 2: CMR với n
(đpcm)
, đa thức ( x 1)
2 n1
x n2 x 2 x 1
Lời giải
Đặt f ( x) ( x 1)
, ( x) x x 1
x n 2
2
( x 1) x 2 (mod ( x)) ( x 1)2 n1 ( x 2 ) 2 n1 (mod ( x))
Tacó:
Hay
2 n1
( x 1)2 n1 x 4 n2 (mod ( x))
f ( x) ( x 1) 2 n1 x n2 x 4 n2 x n2 (mod ( x))
Lại có x
4 n 2
x n2 x n2 (1 x3 n )
Ta nhận thấy (1 x ) (1 x )
3n
3
Mà (1 x ) (1 x)( x x 1)
3
2
(1 x3 n ) 0(mod ( x))
x 4 n2 x n2 0(mod ( x))
f ( x) 0(mod ( x)) ,
n
Ví dụ 3: Hãy tìm những giá trị của a và b để đa thức
f ( x) ax 4 bx3 1 ( x 1) 2
Lời giải
Đặt f ( x) ( x 1) g1 ( x) r1 , g1 ( x ) ( x 1) g 2 ( x) r2
Khi đó f ( x) ( x 1) g 2 ( x) r2 .x ( r2 r1 )
2
2
Số dư trong phép chia f ( x) cho ( x 1) là r ( x) r2 .x ( r1 r2 )
ứng dụng đa thức
-20-
- Xem thêm -
.PDF 
64 
45 
66 
