Tài liệu ứng dụng đa thức

Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khóa luận của em đến nay đã hoàn thành. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới GVC.Vương Thông – người thầy đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian em làm khóa luận. Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Nhung Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khóa luận của tôi với đề tài: “ỨNG DỤNG ĐA THỨC” đã được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của GVC.Vương Thông, các thầy cô trong tổ Đại số, các bạn sinh viên khoa Toán. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, tôi có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo). Tôi xin cam đoan khóa luận của tôi không trùng lặp hoặc sao chép của bất kì ai. Nếu sai, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, ngày 20 tháng 5 năm 2013 Sinh viên thực hiện Hoàng Thị Nhung Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .......................................................................................... LỜI CAM ĐOAN..................................................................................... MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1 1.1. Vành đa thức một ẩn ................................................................... 3 1.1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn ........................................... 3 1.1.2. Một số tính chất của đa thức ............................................... 4 1.1.3. Đa thức trên trường số ........................................................ 8 1.2. Vành đa thức nhiều ẩn .............................................................. 10 1.2.1. Định nghĩa ........................................................................ 10 1.2.2. Bậc của đa thức ................................................................ 11 1.2.3. Đa thức đối xứng .............................................................. 12 1.2.4. Đa thức đồng dư ............................................................... 13 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC MỘT ẨN............ 15 2.1. Ứng dụng 1: Bài toán xác định đa thức ..................................... 15 2.2. Ứng dụng 2: Chứng minh một số bài toán chia hết ................... 23 2.3. Ứng dụng 3: Tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số................ 26 2.4. Ứng dụng 4: Một số ứng dụng của định lý Viéte ...................... 31 2.5. Ứng dụng 5: Xét tính bất khả quy của một đa thức ................... 40 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC NHIỀU ẨN ........ 45 3.1. Ứng dụng 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ........................... 45 3.2. Ứng dụng 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng ... 51 3.3. Ứng dụng 3: Chứng minh đẳng thức ......................................... 56 3.4. Ứng dụng 4: Chứng minh bất đẳng thức ................................... 59 3.5. Ứng dụng 5: Giải bài toán liên quan đến phương trình bậc hai . 64 3.6. Ứng dụng 6: Giải hệ phương trình ............................................ 68 3.7. Ứng dụng 7: Trục căn thức ở mẫu số ........................................ 73 Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN .......................................................................................... 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 78 Sinh viên: Hoàng Thị Nhung Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, môn toán giữ một vị trí hết sức quan trọng. Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác, là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Muốn học giỏi nói chung và học giỏi toán nói riêng thì phải luyện tập, thực hành nhiều. Tức là ngoài việc nắm vững lý thuyết các em còn phải làm nhiều bài tập. Đối với học sinh bài tập thì rất nhiều và đa dạng nhưng thời gian học tập thì hạn hẹp. Đồng thời các em khó có điều kiện chọn lọc những bài toán hay có tác dụng thiết thực cho việc học tập, rèn luyện và phát triển tư duy toán học của mình. Trong môn Toán, đa thức giữ một vị trí quan trọng không những là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích. Nó được giới thiệu ngay từ những năm đầu của bậc phổ thông ở các dạng đơn giản mà ta thường gọi là các biểu thức chứa chữ đại diện cho các số. Tuy nhiên cho đến nay tài liệu về đa thức chưa có nhiều. Các dạng bài tập về đa thức chưa được phân loại rõ ràng và hệ thống hóa chưa đầy đủ cũng như đưa ra phương pháp giải một cách tường minh. Với những lý do trên em chọn đề tài “Ứng dụng đa thức” nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa thức và ứng dụng của nó để giải các bài toán liên quan. Từ đó giúp các em học sinh có thêm tài liệu về đa thức để luyện tập và thực hành. Bên cạnh đó ta cũng thấy thêm vai trò của đa thức trong môn toán ở nhà trường phổ thông cũng như trong một số môn học khác Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 1 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về đa thức và một số ứng dụng của đa thức. 3. Đối tượng nghiên cứu Đa thức và một số ứng dụng của đa thức. 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa. Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 2 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Chương 1: NHỮNG KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 1.1. Vành đa thức một ẩn 1.1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị ký hiệu là 1. Gọi P là tập hợp các dãy phần tử trong A. Khi đó: P   a0 , a1 ,, an , ; ai  A, i  0,1,...; ai  0 hÇu hÕt Trên P xác định 2 quy tắc sau: Quy tắc cộng:  a0 , a1 ,, an ,   b0 , b1 ,, bn ,   a0  b0 ,, an  bn , ; Quy tắc nhân:  a0 , a1 ,, an ,...   b0 , b1 ,, bn ,...    c0 , c1 ,, ck , , với c0  a0b0 ; c1  a0b1  a1b0 ,; ck  a0bk  a1bk 1  ak b0 ;  k=0,1… Suy ra (P,+,.) là một vành giao hoán, có đơn vị và được gọi là vành đa thức. Mỗi phần tử của P là một đa thức. Đưa cách viết tổng quát về cách viết thông thường: Xét ánh xạ: f : A P a  a,0,...,0  là một đơn cấu vành. Do đó ta đồng nhất a  A với f (a)  P  A  P . Các phần tử của A cũng được gọi là các đa thức. Ký hiệu x   0,1,0, ta có: x 2   0,0,1,0, …. x n  (0,0,...,0,1,0,...) n   P     a0 , a1 ,, an , , ai = 0 hầu hết. Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 3 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2  n Khóa luận tốt nghiệp sao cho an1  an2   0     a0 , a1 ,, an ,0,     a0 ,0,   0, a1 ,0,   0,0,0, an ,0,   a0 ,0, 1,0,..    a1 ,0, ,0,  0,1,0,    an ,0, ,0,   (0,0,...,0,1,0,...) n  a0  a1 x  an x n là cách viết thông thường. Khi đó thay cho P ta viết là A[x], với A là vành cơ sở, x là ẩn. Các phần tử của A[x] thường được ký hiệu là f(x), g(x),…gọi là đa thức ẩn x. Chẳng hạn, cho đa thức f  x   a0  a1 x  an x n , an  0 , trong đó aixi - hạng tử thứ i, ai - hệ tử, a0 - hệ tử tự do và an - hệ tử cao nhất. 1.1.2. Một số tính chất của đa thức 1.1.2.1. Bậc của đa thức Cho f  x   A x  , f  x   a0  a1 x  an x n , an  0. Nếu f(x)= 0 thì ta nói f(x) không có bậc hoặc có bậc –  . Nếu f(x  0 thì n được gọi là bậc của đa thức f(x) và kí hiệu là n = degf(x). Tính chất: Giả sử f(x), g(x) là hai đa thức khác 0. (i ) Nếu deg f  x   deg g  x  thì f  x   g  x   0 và deg  f  x   g  x    max degf  x  , degg ( x ) (ii) Nếu degf(x) = degg(x) và f(x) + g(x)  0 thì deg ( f  x   g  x )  max{degf  x  , degg ( x)} (iii) Nếu f(x).g(x)  0 thì ta có deg  f  x  .g  x    (degf ( x )  degg ( x )). 1.1.2.2. Phép chia đa thức Phép chia có dư Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 4 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Định lý: Cho vành đa thức A[x], A là một trường, với mọi đa thức f(x), g(x) trong A[x], g(x) khác đa thức không thì tồn tại duy nhất hai đa thức q(x), r(x) trong A[x] sao cho f (x) = g(x).q(x) + r(x)  A[x], với degr(x) < degg(x) nếu r(x)  0. Khi đó, q(x) là đa thức thương và r(x) là đa thức dư của phép chia. Phép chia hết Định nghĩa: Cho hai đa thức f  x  , g  x  A x ;g  x   0. Ta nói rằng, đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) trong A[x] nếu tồn tại một đa thức q(x)  A[x], sao cho f(x) = g(x).q(x). Ta kí hiệu là: f  x  g  x  . Một số tính chất cơ bản: i. Với  f (x), α  0 , ta có: α .f(x)  f (x). ii. Nếu f(x)  g(x) và g(x)  f(x) thì f(x)= α g(x), α  0. iii. Nếu f(x)  g(x) và g(x)  h(x) thì f(x)  h(x). iv. Nếu fi(x)  g(x),i= 1, n và h1(x),h2(x),…,hn(x) là những đa thức bất kỳ thì [f(x)h1(x) + f2(x)h2(x) +…+ fn(x)hn(x)]  g(x). v. Nếu f(x)  g(x) thì degf(x)  degg(x). 1.1.2.3. Nghiệm của đa thức Định nghĩa: Cho α là một phần tử tùy ý của vành A và f ( x ) một đa thức tùy ý của vành đa thức A[x]. Khi đó, phần tử α được gọi là nghiệm của đa thức f(x) trong A nếu f( α )= 0 và việc tìm nghiệm của f ( x ) trong A chính là đi giải phương trình đại số f ( x)  0 . Định lý Bezout: Giả sử A là một trường,   A , f  x  A  x . Dư của phép chia f  x  cho x   là f ( ). Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 5 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh: Thực hiện phép chia f(x) cho x – α ta được: f (x) = (x - α ).q(x) + r(x). Nếu r(x)  0 thì degr(x) < deg(x – α ). Suy ra degr(x) = 0  r(x) = r0, với r0  A  f (x) = (x - α ).q(x) + r0, với r0  A. Cho x = α ta được f( α ) = ( α – α ).q( α ) + r0 = r0. (đpcm). Hệ quả định lý Bezout: Số α là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x)  (x - α ). Định lý Viéte: Định lý Viéte cho đa thức bậc n. Định lý Viéte thuận: Cho đa thức f ( x )  A[x], f  x   an x n  an1 x n1  a1 x  a0 ; an  x   0, degf ( x)  n . Gọi x1, x2,…, xn là n nghiệm của f(x) trên trường nghiệm của nó. Khi đó, ta có các hệ thức sau và ta kí hiệu các hệ thức đó là (*): a  x1  x2  ...  xn   1. n  1  an  a  x1 x2  x1 x3  ...  xn  1 xn   12 . n  2  an   x x x  x x x  ...  x x x   13 . an  3 n  2 n 1 n  1 2 3 1 2 4 an  ...........................  a  x1 x2 x3 ...xn   1n . 0  an Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 6 *  Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp n a  S  xi   n 1  1  an i 1  a  S2   xi x j  n  2 Ta kí hiệu:  an 1 i  j  n  ................  k a S k   xi xi ...xi   1 . n  k an  1 i  i  ... i  n 1 1 2 2 k k Định lý Viéte đảo: Nếu có n phần tử x1, x2,…, xn thỏa mãn hệ thức (*) thì x1, x2,…, xn là nghiệm của phương trình: X n – S1 X n1  S2 X n2   1 Sn1 X   1 Sn  0 . n1 n 1.1.2.4. Đa thức bất khả quy Định nghĩa: Cho đa thức f(x) A[x], f(x)  0, f(x) không khả nghịch. Khi đó f(x) gọi là bất khả quy trên A[x] nếu f(x) không có ước thực sự. Định lý 1: Cho f  x  A x  với A là một trường. Khi đó: i. Các đa thức bậc một trên trường A đều là bất khả quy. ii. Các đa thức bậc hai, bậc ba là bất khả quy trên A khi và chỉ khi nó không có nghiệm trong A. Định lý 2: Nếu f ( x ) là một đa thức bất khả quy trên A, g  x  là đa thức bất kỳ với hệ tử trong A thì hoặc là g  x  f  x  hoặc là  g  x  , f  x    1 . Định lý 3: Cho f ( x ) là một đa thức bất khả quy trên A, g ( x ) và h( x ) là những đa thức thuộc A[x]. Nếu f  x  g  x  h  x  thì có ít nhất f ( x ) hoặc g ( x ) chia hết cho h( x ) . Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 7 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Tiêu chuẩn Eisenstein: Cho f  x   an x n  an1 x n1  a1 x a0 ,(n  1) là đa thức với hệ số nguyên, nếu tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện: i. an  p ii. ai p ,  i = 0 , n  1 . iii. a0  p 2 . Khi đó, đa thức f ( x ) bất khả quy trên  x . 1.1.3. Đa thức trên trường số 1.1.3.1. Đa thức với hệ số hữu tỷ Nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số hữu tỷ: Nếu f ( x)  an x n  an1 x n1  a0 ;(an  0) là một đa thức với hệ số hữu tỷ thì f ( x ) có thể viết dưới dạng: f  x   b1.  bn x n  bn1 x n1  b0   b1.g  x  , trong đó b là mẫu số chung của các phân số ai và bi là những số nguyên, với i= 0 , n , g  x   x  . Vì f ( x ) và g ( x ) chỉ khác nhau một nhân tử bậc 0 nên các nghiệm của f(x) là các nghiệm của g ( x ) . Vậy việc tìm nghiệm của một đa thức với hệ số hữu tỷ được đưa về việc tìm nghiệm của đa thức với hệ số nguyên. Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên: Định lý 1: Cho f ( x)  an x n  an1 x n1  a0 ;(an  0) là đa thức với hệ số nguyên. Nếu phân số tối giản p là nghiệm của đa thức f(x) thì p a0, q qan. Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 8 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Hệ quả 1: Cho f ( x)  an x n  an1 x n1  a0 ;(an  0) là đa thức với hệ số nguyên. Nếu số hữu tỷ α là nghiệm của đa thức f ( x ) thì α  a0. Định lý 2: Cho f ( x)  an x n  an1 x n1  a0 ;(an  0) là đa thức với hệ số nguyên. Nếu phân số tối giản p là nghiệm của đa thức f ( x ) thì q  p – m.q  | f  m  . Đặc biệt:   p – q  | f 1        p  q  | f  –1 Hệ quả 2: Nếu α là nghiệm nguyên của đa thức f ( x ) và α  1 thì: f (1)  1 và f ( 1)  . 1 1.1.3.2. Đa thức với hệ số thực và hệ số phức Cho một đa thức với hệ số thực thì chưa chắc đa thức đó có nghiệm trong trường số thực. Tuy nhiên, trong trường số phức thì mọi đa thức bậc n đều có đúng n nghiệm phức. Bổ đề 1: Mọi đa thức với hệ số thực bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực. Bổ đề 2: Mọi đa thức bậc hai ax 2  bx  c với hệ số phức bao giờ cũng có hai nghiệm phức. Bổ đề 3: Mọi đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số thực có ít nhất một nghiệm phức. Định lý 1: Mọi đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức. Hệ quả 1: Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 9 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Các đa thức bất khả quy của vành đa thức  x  , với là trường các số phức là các đa thức bậc nhất. Hệ quả 2: Mọi đa thức bậc n > 0 với hệ số phức có n nghiệm phức. Hệ quả 3: Các đa thức bất khả quy của  x  , với là trường số thực, là các đa thức bậc nhất và các đa thức bậc hai ax 2  bx  c với biệt thức   b2 – 4ac  0 . 1.2. Vành đa thức nhiều ẩn 1.2.1. Định nghĩa Ta xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp. Cho A là vành giao hoán có đơn vị. Ta xây dựng được vành đa thức một ẩn x1 và lấy hệ tử trên A là A[x1]. Ta đặt A1=A[x1]. Trên A1, ta lại xây dựng vành đa thức một ẩn x2 là A1[x2]. Ta đặt A2 = A1[x2]…Tiếp tục quá trình trên ta xây dựng được vành đa thức một ẩn xn lấy hệ tử trên An-1 là An-1[xn], ta đặt An = An-1[xn]. Khi đó vành An được gọi là vành đa thức n ẩn x1, x2,…, xn kí hiệu là A[x1, x2,…, xn]. Mỗi phần tử của An là một đa thức n ẩn x1, x2,…, xn lấy hệ tử trong A, kí hiệu là f(x1, x2,…, xn), g(x1, x2,…, xn),… Cũng bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được mỗi đa thức: f  x1 , x2 ,, xn   c x ... x  ...  c x ... x a11 1 1 a1n n am1 m 1 m amn n   ci x1ai1 ... xnain ,với i 1 ci  A , i  1, m , aij  , j  1, n và ai1 , ai 2 ,...,ain   a j1 , a j 2 ,...,a jn  nếu i  j. Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 10 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Các số ci được gọi là các hệ tử, ci x1a ...xna được gọi là các hạng i1 in tử của đa thức f  x1 , x2 ,, xn  . Đa thức f  x1 , x2 ,, xn  = 0  ci  0; i  1, m . Hai đa thức f  x1 , x2 ,, xn  và g  x1 , x2 ,, xn  được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng hạng tử như nhau. 1.2.2. Bậc của đa thức Định nghĩa: Cho đa thức f  x1 , x2 ,, xn   A[x1,x2,…,xn], f  x1 , x2 ,, xn  là một đa thức khác và f  x1 , x2 ,, xn   c x ... x  ...  c x ... x a11 1 1 a1n n am1 m 1  m amn n   ci x1ai1 ... xnain i 1  với ci  0, i  1, m và ai1 , ai 2 ,...,ain   a j 1 , a j 2 ,...,a jn khi i  j . Ta gọi bậc của đa thức f(x1,x2,…,xn) đối với ẩn xi là số mũ cao nhất mà xi có được trong các hạng tử của đa thức. Nếu trong đa thức f  x1 , x2 ,, xn  ẩn xi không có mặt thì bậc của f  x1 , x2 ,, xn  đối với nó là 0. Ta gọi bậc của hạng tử ci x1a ...xna là i1 in tổng các số mũ ai1  ...  ain của các ẩn. Bậc của đa thức (đối với toàn thể các ẩn) là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử của nó. Nếu các hạng tử của f  x1 , x2 ,, xn  có cùng bậc k thì f  x1 , x2 ,, xn  gọi là đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạng bậc k. Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 11 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt: Nếu k = 1 thì f  x1 , x2 ,, xn  được gọi là dạng tuyến tính. Nếu k = 2 thì f  x1 , x2 ,, xn  được gọi là dạng toàn phương. Nếu k = 3 thì f  x1 , x2 ,, xn  được gọi là dạng lập phương. 1.2.3. Đa thức đối xứng 1.2.3.1. Định nghĩa Cho A là một vành giao hoán có đơn vị, đa thức f  x1 , x2 ,, xn   A x1 , x2 ,, xn  được gọi là một đa thức đối xứng của n  1 2 ... n   , ta có ẩn nếu và chỉ nếu với mọi phép thế τ   τ ( 1 ) τ ( 2 ) ... τ ( n )   f ( x1 , x2 ,..., xn )  f ( x (1) , x (2) ,..., x ( n ) ) , trong đó: τ( 1 ), τ( 2 ),...,τ( n ) là một hoán vị bất kỳ của n phần tử x1 , x2 ,, xn . 1.2.3.2. Đa thức đối xứng cơ bản Trong vành đa thức A[x1,x2,…,xn] các đa thức đối xứng sau được gọi là các đa thức đối xứng cơ bản: n σ 1   xi  x1  x2    xn i 1 σ2  σ3   xi x j  x1 x2  x1 x3    xn -1 xn i j  xi x j xk  x1 x2 x3  x1 x2 x4    xn - 2 xn -1 xn i j k Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 12 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp … σ n = x1x2…xn 1.2.3.3.Định lý cơ bản (về đa thức đối xứng) Mọi đa thức đối xứng f(x1,x2,…,xn)  A[x1,x2,…,xn] đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản với hệ tử trong A. 1.2.4. Đa thức đồng dư 1.2.4.1.Định nghĩa Cho  ( x ) là đa thức khác không ta nói rằng đa thức f ( x ) và g ( x ) là đồng dư theo môđun đa thức  ( x ) nếu  f  x  – g  x   (x) . Kí hiệu: f  x   g  x  mod ( x )  . Nhận xét Cho φ( x ) là đa thức khác không. Nếu f(x) và g(x) là hai đa thức thì f  x   g  x  (mod ( x )) khi và chỉ khi f(x) và g(x) cho cùng một đa thức dư khi chia chúng cho ( x ) . 1.2.4.2.Các tính chất của đồng dư trong vành đa thức Cho φ( x ) là đa thức khác không, ta có: 1. f ( x ) ta có: f(x)  f(x)(mod φ( x ) ). Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 13 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 2. Với hai đa thức f(x), g(x) bất kỳ, nếu f(x)  g(x)(mod φ( x ) ) thì g(x)  f(x)(mod φ( x ) ). 3. Với ba đa thức f  x  , g  x  , h  x  bất kỳ, nếu f  x   g  x  (mod (x)) và g  x   h  x  ( mod (x)) thì f  x   h  x  ( mod (x)) . 4. Cho các đa thức bất kỳ f1(x), f2(x),…, fn(x); g 1 (x), g 2 (x),…, g n (x) và h 1 (x), h 2 (x),…, h n (x). Nếu fi (x)  gi (x)(mod φ( x ) ), i = 1, 2,…, n thì h  x  f1  x   h2  x  f2  x   hn  x fn  x  h1  x  g1  x   h2  x  g2  x   hn  x gn  x ( mod (x)). 5. Với ba đa thức f(x), g(x), h(x) bất kỳ, nếu f(x)+ g(x)  h(x)(mod φ( x ) ) thì f(x)  h(x) – g(x)(mod φ( x ) ). 6. Cho các đa thức bất kỳ f1(x), f2(x),…, fn(x); g 1 (x), g 2 (x),…, g n (x). Nếu fi (x)  gi (x)(mod φ( x ) ), i = 1, 2,…, n thì: f1(x)f2(x)…fn(x)  g1(x)g2(x)…gn(x)(mod φ( x ) ). 7. Với hai đa thức f(x), g(x) bất kỳ và mọi số tự nhiên t, nếu f (x)  g (x)(mod φ( x ) ) thì ft (x)  gt (x)(mod φ( x ) ). 8. Với hai đa thức f(x), g(x) bất kỳ và đa thức P(x), nếu f (x)  g (x)(mod φ( x ) ) thì P(f (x))  P(g (x))(mod φ( x ) ). Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 14 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC MỘT ẨN 2.1. Ứng dụng 1: Bài toán xác định đa thức 2.1.1. Cơ sở lý lý luận Có hai cách để xác định đa thức: - Cách thứ nhất: Dùng ánh xạ đa thức Cho A là vành. Đa thức f ( x ) = a0 + a1x +…+ anxn sinh ra một ánh xạ: f : A A c a0  a1c  an c n  f  c  ;  f (c)  A gọi là ánh xạ đa thức. Ta thường gặp bài toán xác định đa thức khi giải phương trình hàm trên tập các đa thức. Để xác định đa thức ta có thể trước hết xác định bậc của đa thức rồi lần lượt xác định các hệ số của đa thức hoặc cũng có thể sử dụng các tính chất của vành đa thức. - Cách thứ hai: Dùng kết quả của phép chia đa thức 2.1.2. Phương pháp giải Đối với dạng bài tập này ta dùng các phép biến đổi ẩn, hoặc cho ẩn những giá trị đặc biệt x=0,1,… rồi tính giá trị của đa thức tại những giá trị đó. Ta được hệ phương trình mà ẩn là các hệ số của đa thức. Giải hệ phương trình này tìm các hệ số, từ đó xác định được đa thức. 2.1.3. Các ví dụ Ví dụ 1: Xác định đa thức f  x    x  sao cho khi chia f  x  cho (x – 2) dư 5, chia cho (x – 3) dư 7 và chia cho  x – 2  x – 3 thì được   thương là 1 – x 2 và còn dư. Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 15 Lớp: K35B – Khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Giải: Theo giả thiết ta có: f  x    x – 2  q  x   5 (1).  f  x    x – 3 q’  x   5  (2). Gọi thương của phép chia đa thức f  x  cho  x – 2  x – 3 là r ( x ) . Vì  x – 2  x – 3 là đa thức bậc hai nên đa thức dư là đa thức không hoặc nếu khác đa thức không thì có bậc không quá 1. Do đó: r  x   ax  b , với a, b . Theo giả thiết ta có: f  x    x – 2  x – 3  ax  b     (3). Vì (1), (2), (3) đúng với mọi x nên: (1)  f (2)  5 Với x = 2 thì từ   2a +b = 5 (2)  f (2)  2 a  b  (2)  f (3)  7 Với x = 3 thì từ  (3)  f (3)  3a  b ().  3a + b = 7 (). 2 a  b  5 a  2  b  1  3a  b  7 Từ () và () ta có:   r  x   2x  1 .   Vậy đa thức cần tìm là f  x    x – 2  x – 3 1 – x 2  2 x  1 hay f  x   – x 4  5x 3 – 5x 2 – 3x  7 . Ví dụ 2: Tìm đa thức bậc ba f  x    x  , biết rằng f  x  chia cho các đa thức (x – 1), (x – 2), (x – 3) đều được dư là 6 và f(–1) = –18. Giải: Từ giả thiết ta có: f(x) = (x – 1)q(x) f(x) = (x – 2)q’(x) f(x) = (x – 3)q”(x), trong đó, q(x), q’(x), q”(x) là các đa thức với hệ số thực. Sinh viên: Hoàng Thị Nhung 16 Lớp: K35B – Khoa Toán