Tài liệu Tuyệt chiêu xử lí bài toán đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Cộng đồng học sinh lớp 11 : https://www.facebook.com/congdonghocsinhlop11/ CÁC VẤN ĐỀ CỐT LÕI VỀ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG Môn : Toán 11 Biên soạn : Cộng đồng học sinh lớp 11 Vấn đề 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG a ① Định nghĩa 5: Đường thẳng gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt phẳng đó. b a  ( )  a  ( )  a  b, b  ( ) ; a b b  ( )  ② Định lí 3: Nếu đường thẳng d vuông góc  a b, c  ( )   b caét c   a  ( ) a  b, a  c  với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng ( ) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ) . b O  c a O  ① Tính chất 4: ⓐ Có duy nhất một mặt phẳng  P  đi qua một điểm O  O  cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước. ⓑ Có duy nhất một đường thẳng  đi qua một điểm O cho trước và M vuông góc với một mặt phẳng  P  cho trước. ② Định nghĩa 6: Mặt phẳng đi qua trung điểm O của đoạn AB và vuông A  góc với AB là mặt phẳng trung trực của đoạn AB . O B M  maët trung tröïc cuûa AB  MA = MB ① Tính chất 5: ⓐ Nếu mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại. Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt    ( )  b ( )  a  a //b Tổng đài tư vấn: 1900 69 33 a b  - Trang | 1 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Cộng đồng học sinh lớp 11 : https://www.facebook.com/congdonghocsinhlop11/ ⓑ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì chúng song song với nhau. a  ( )   b  ( )   a //b a  b   a ② Tính chất 6: ⓐ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì  cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. ( )//(  )    a  ( ) a  ( )  ( )  a   (  )  a   ( )//(  ) ( )  (  )    ⓑ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. ③ Tính chất 7: ⓐ Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( ) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với ( ) thì cũng vuông góc với a . a //( )  b a b  ( )  a a  ( )   a  b   a //( ) ( )  b    b ⓑ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau. ① Định nghĩa 7: Phép chiếu song song lên mặt phẳng ( ) theo phương l vuông góc với mặt phẳng ( ) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng ( ) . ② Định lí 4: (Định lí 3 đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) và đường thẳng b nằm trong ( ) . Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a của a B trên ( ) . a A a b  ( )   a  ( )  thì b  a  b  a ' a' Ch a  a '  B' A' b   Định nghĩa 8: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. ⓐ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( ) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 69 33 - Trang | 2 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Cộng đồng học sinh lớp 11 : https://www.facebook.com/congdonghocsinhlop11/ và mặt phẳng ( ) bằng 900 . a  ( )  [a, ( )]  900 ⓑ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( ) thì góc giữa a và hình chiếu a của a trên ( ) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )  a, ( )   (a , a)  AOH  A a  a' O H  Chú ý: 00   a,( )   900 Dạng 1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong  P  . ② Chứng minh a nằm trong một trong hai mặt phẳng vuông góc và d vuông góc với giao tuyến  d vuông góc với mặt còn lại (ĐL7). ③ Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt thứ 3 (HQ2). ④ Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a   P  . ⑤ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại. (TC6). ⑥ Chứng minh d là trục của tam giác ABC nằm trong  P  C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.1 Cho tứ diện ABCD có hai mặt  ABC  và  BCD  là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC . Gọi I là trung điểm của BC . a) Chứng minh rằng BC   ADI  . b) Gọi AH là đường cao của ADI , chứng minh rằng AH   BCD  . 3.2 Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng  ABC  . Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 69 33 - Trang | 3 - Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam Cộng đồng học sinh lớp 11 : https://www.facebook.com/congdonghocsinhlop11/ a) Chứng minh rằng BC   OAH  , CA   OBH  , AB   OCH  . b) Chứng minh rằng H là trực tâm của ABC . 1 1 1 1    c) Chứng minh rằng . 2 2 2 OH OA OB OC 2 d) Chứng minh rằng S2ABC  S2OAB  S2OBC  S2OCA . e) Chứng minh rằng các góc của ABC đều nhọn. 3.3 Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi và có SA  SB  SC  SD . Gọi O là giao điểm của AC và BD . a) Chứng minh SO   ABCD  b) Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AB , BC . Chứng minh IJ   SBD  . c) Gọi G là trọng tâm ACD và H ở trên cạnh SD sao cho HD  2HS . Cm HG   ABCD  . 3.4 Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi và có SA  SC và SB  SD . a) SO   ABCD  b) AC   SBD  và BD   SAC  . 3.5 Trên mặt phẳng ( ) cho hình bình hành ABCD . Gọi O là giao điểm của AC và BD , S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng ( ) sao cho SA  SC , SB  SD . Chứng minh rằng: a) SO  ( ) . b) Nếu trong mặt phẳng  SAB  kẻ SH  AB tại H thì AB   SOH  . 3.6 Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có cạnh SA vuông góc với  ABCD  . Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho a) BD  SC . 3.7 b) IK   SAC  SI SK  . Chứng minh: SB SD Cho tứ diện SABC có SA   ABC  và có ABC vuông tại B . Trong mặt phẳng  SAB  kẻ SM SN  . Chứng minh rằng: SB SC b) MN   SAB  , từ đó suy ra SB  AN . AM  SB tại M . Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho a) BC   SAB  và AM   SBC  . 3.8 Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  và tam giác ABC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trục tâm của tam giác ABC và SBC . Chứng minh: a) AH , SK và BC đồng qui. b) SC   BHK  3.9 c) HK   SBC  Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với  ABCD  . Gọi H , I , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB , SC và SD . a) Chứng minh rằng BC   SAB  , CD   SAD  . b) Chứng minh rằng  SAC  là mặt trung trực của đoạn BD . c) Chứng minh rằng AH , AK cùng vuông góc với SC . Từ đó suy ra ba đường thẳng AH , AI , AK cùng nằm trong một mặt phẳng. d) Chứng minh rằng  SAC  là mặt trung trực của đoạn HK . Từ đó suy ra HK  AI . e) Tính diện tích tứ giác AHIK biết SA  AB  a . Hocmai – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 69 33 - Trang | 4 -