Tài liệu Trạng thái kết hợp của các dao động tử para boson biến dạng

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 MẪN VĂN NGỮ tr¹ng th¸i kÕt hîp cña c¸c dao ®éng tö Para-boson biÕn d¹ng Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán Mã số : 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÍ Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LƯU THỊ KIM THANH HÀ NỘI, NĂM 2011 2 LỜI CẢM ƠN Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh, PGS.TS đã hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền đạt cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm và phương pháp nghiên cứu khoa học để tôi hoàn thành tốt luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết - Khoa Vật lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Trường Cao đẳng Công nghiệp Hưng Yên đã điều kiện giúp tôi hoàn thành khoá học này. LỜI CAM ĐOAN 3 Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh. Luận văn không hề trùng lặp với những đề tài khác. Hà Nội, ngày tháng Tác giả Mẫn Văn Ngữ năm 2011 4 5 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ SINH - 3 HỦY BOSON 1.1. Biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa tuyết tính 3 1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh - hủy Boson 11 CHƯƠNG II: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ 16 PARA – BOSON 2.1. Trạng thái kết hợp 16 2.1.1. Hiện tượng ngư tụ Bose-Einstein 16 2.1.2. Trạng thái kết hợp 22 2.2. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson 24 2.2.1. Dao động tử Boson 24 2.2.2. Dao động tử Para Boson 25 2.2.3. Thống kê Para Boson 27 2.2.4. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson 28 CHƯƠNG 3: TRẠNG THÁI KẾT HỢP CỦA CÁC DAO ĐỘNG TỬ 32 PARA BOSON BIẾN DẠNG 3.1. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q 32 3.1.1. Lý thuyết q số 32 3.1.2. Dao động tử điều hòa biến dạng q 34 3.1.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Boson biến dạng q 36 3.1.4. Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát 39 3.2. Dao động tử có thống kê vô hạn 40 3.2.1. Phân bố thống kê của dao động tử có thống kê vô hạn 41 3.2.2. Trạng thái kết hợp của dao động tử có thống kê vô hạn 42 3.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson biến dạng q 44 tổng quát 3.3.1. Dao động tử Para – Boson biến dạng q tổng quát 44 6 3.3.2. Phân bố thống kê Para – Boson biến dạng q tổng quát 45 3.3.3. Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para – Boson 46 biến dạng q tổng quát MỞ ĐẦU 7 1. Lý do chọn đề tài Ngµy nay lý thuyÕt tr­êng l­îng tö ®· t¹o nªn c¬ së cña thÕ giíi quan vËt lý ®Ó lý gi¶i b¶n chÊt cña c¸c h¹t vi m« vÒ mÆt cÊu tróc vµ c¸c tÝnh chÊt cña nã. Tõ ®ã lý thuyÕt tr­êng l­îng tö ®· më ra con ®­êng ®Ó nhËn biÕt c¸c qu¸ tr×nh vËt lý x¶y ra trong thÕ giíi vi m«, thÕ giíi cña c¸c ph©n tö, nguyªn tö h¹t nh©n vµ c¸c h¹t c¬ b¶n. Tr¹ng th¸i kÕt hîp diÔn t¶ tr¹ng th¸i ng­ng tô Bose - Einstein lµ mét tr¹ng th¸i ®Æc biÖt cña vËt chÊt vµ cña c¸c h¹t vi m«. Trong tr¹ng th¸i kÕt hîp hÖ thøc bÊt ®Þnh Heisenbeg ®¹t gi¸ trÞ cùc tiÓu (dÊu b»ng). ViÖc nghiªn cøu tr¹ng th¸i kÕt hîp cña c¸c dao ®éng tö ®· gãp phÇn gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n phi tuyÕn cña quang häc l­îng tö, lý thuyÕt chuyÓn pha l­îng tö… lµm chÝnh x¸c vµ phong phó thªm nh÷ng hiÓu biÕt vÒ thÕ giíi h¹t vi m«. Víi mong muèn t×m hiÓu râ h¬n vÒ tr¹ng th¸i kÕt hîp cña c¸c dao ®éng tö, t«i ®· chän ®Ò tµi '' Tr¹ng th¸i kÕt hîp cña c¸c dao ®éng tö Para-Boson biÕn d¹ng'' . 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiªn cøu c¸c dao ®éng tö Para-Boson trong lý thuyÕt tr­êng l­îng tö vµ c¸c tr¹ng th¸i kÕt hîp cña c¸c dao ®éng tö Para-Boson biÕn d¹ng q -tæng qu¸t. 3. Nh÷ng vÊn ®Ò chÝnh ®­îc nghiªn cøu - TÝnh ph©n bè thèng kª cña c¸c hÖ dao ®éng tö biÕn d¹ng. - X©y dùng tr¹ng th¸i kÕt hîp cña c¸c dao ®éng tö Para-Boson biÕn d¹ng q tæng qu¸t. - C¸c hÖ thøc vÒ ph­¬ng sai cña to¹ ®é vµ xung l­îng. - Sè h¹t trung b×nh trong tr¹ng th¸i kÕt hîp vµ x¸c suÊt ®Ó tr¹ng th¸i kÕt hîp cã n h¹t. 4. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 8 - HÖ c¸c dao ®éng tö Para-Boson. 5. Phương pháp nghiên cứu - Ph­¬ng ph¸p lý thuyÕt tr­êng l­îng tö. - Ph­¬ng ph¸p lý thuyÕt nhãm l­îng tö. - Ph­¬ng ph¸p gi¶i tÝch to¸n häc. - Sö dông h×nh thøc luËn c¸c dao ®éng tö ®iÒu hßa vµ h×nh thøc luËn c¸c tr¹ng th¸i kÕt hîp cho c¸c hÖ h¹t vi m«. 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài - §Ò tµi cã ý nghÜa gãp phÇn vµo viÖc n©ng cao chÊt l­îng d¹y vµ häc trong nhµ tr­êng s­ ph¹m, n©ng cao n¨ng lùc nghiªn cøu khoa häc cña gi¶ng viªn, häc viªn cao häc. - X©y dùng c¸c tr¹ng th¸i kÕt hîp cña c¸c dao ®éng tö Para-Boson biÕn d¹ng q tæng qu¸t, thu ®­îc c¸c hÖ thøc vÒ ph­¬ng sai cña täa ®é vµ xung l­îng, tÝnh ®­îc sè h¹t trung b×nh cña hÖ trong tr¹ng th¸i kÕt hîp vµ x¸c suÊt ®Ó tr¹ng th¸i kÕt hîp cã n h¹t. 7. Kết cấu của luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm ba chương: Chương 1: Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh - hủy Boson Chương 2: Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para - Boson Chương 3: Trạng thái kết hợp của các dao động tử Para Boson biến dạng NỘI DUNG 9 CHƯƠNG I: BIỂU DIỄN MA TRẬN CỦA CÁC TOÁN TỬ SINH - HỦY BOSON 1.1. Biểu diễn số hạt của dao động từ điều hòa tuyến tính Dao động từ điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi f = -kx dọc theo một đường thẳng nào đó. Ta có biểu thức toán tử Hamiltonian của dao động từ điều hòa một chiều:  H  P  m x 2m 2 2 2 (1.1) x Ký hiệu: x̂  qˆ là toán tử tọa độ pˆ  pˆ  i d là toán tử xung lượng. dx x Hệ thức giao hoán giữa p̂ và q̂ ˆ ˆ   pq ˆ ˆ  qp ˆ ˆ  i  p,q ˆ ˆ    i  p,q d x  x  i  d  i d x  ix d dx dx dx dx d  x   ix d   i dx dx ˆ ˆ   i   p,q (1.2) Do đó ta có thể biểu diễn toán tử Hamiltonian theo p̂ và q̂ như sau: 2 H Ta đặt: p̂  m qˆ 2m 2 2 2 pˆ  i m  aˆ  aˆ  2  qˆ  h  aˆ  aˆ  2m  (1.3) 10  Khi đó ta biểu diễn Ĥ theo â và â như sau: 2 H p̂  m qˆ  1 .i . m . aˆ  aˆ 2m 2 2m 2 2 2 2  1 .   aˆ  aˆ    aˆ  aˆ   2 2  1 .   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ    aˆ  aˆ 2 2 ˆ ˆ  2aˆ aˆ   1 .   2aa 2 2  2      2  m .   aˆ  aˆ 2 2m 2  2 2    aˆ  aˆ    ˆ ˆ  aˆ aˆ     aa 2    (1.4)  Ta biểu diễn các toán tử â và â ngược lại qua p̂ và q̂ : p̂ 2 pˆ  i m  aˆ  aˆ   aˆ  aˆ   ipˆ 2 m i m 2     aˆ  aˆ   aˆ  aˆ  2m qˆ    q̂  qˆ 2m   2m Từ đó ta thu được: m  qˆ  i p̂    2   m aˆ  (1.5) m  qˆ  i p̂    2  m  aˆ  (1.6)  Dễ dàng chứng minh được các toán tử â và â thỏa mãn hệ thức giao hoán: ˆ ˆ  1 a,a  (1.7) 11 Thật vậy: ˆ ˆ   aa ˆˆ a,a   pˆ  m  qˆ  i pˆ  m  q-i    ˆ  2  m  2   m  aˆ aˆ   m  qˆ  i pˆ  m  qˆ  i pˆ      2  m  2  m  1  2ipq ˆ ˆ  2iqp ˆ ˆ   i  pq ˆ ˆ  qp ˆˆ  1 2   Vậy ta thu được toán tử Hamiltonian có dạng: H   aˆ aˆ  1    2  (1.8) ˆ  aˆ aˆ . [2] Ta đưa vào toán tử mới N  (1.9)  Hệ thức giao hoán giữa toán tử N với các toán tử â và â là: ˆ ˆ   Na ˆ ˆ  aN ˆ ˆ  aˆ aa ˆ ˆ  aa ˆ ˆ aˆ   aˆ aˆ  aa ˆ ˆ  aˆ  1.aˆ  aˆ +  N,a        ˆ ˆ  aˆ N ˆ 1 Hay: Na (1.10) ˆ ˆ   Na ˆ ˆ  aˆ N ˆ  aˆ aa ˆ ˆ  aˆ aˆ aˆ  aˆ  aa ˆ ˆ  aˆ aˆ   aˆ .1  aˆ +  N,a                ˆ ˆ  aˆ N ˆ 1 Hay Na   (1.11) Ta ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng n. Khi đó ta có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử N̂ như sau: N̂ n  n n (1.12) ˆ n  n n n n n n  nN ˆ n nN n aˆ aˆ n n  nn nn    Vì: n n     r  dr  0 2 n   n aˆ aˆ n   aˆ   r  dr  0 2  n (1.13) 12 Kết luận 1: Các trị riêng của toán tử N̂ là các số không âm. Xét véc tơ trạng thái thu được â n bằng cách tác dụng toán tử â lên véc tơ trạng thái n . Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N̂ và sử dụng công thức (1.10) ta có:   ˆ ˆ n  aˆ N ˆ  1 n  aN ˆ ˆ n  aˆ n Na (1.14)  aˆ  n  1 n   n  1 aˆ n Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái â n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n - 1). Tương tự như vậy aˆ n ;aˆ n ... cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán 2 3 tử N̂ ứng với trị riêng (n - 2), (n - 3)…  Ta tiếp tục xét véc tơ trạng thái â n , tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử N̂ , sử dụng công thức (1.11) ta có:   ˆ ˆ n  aˆ N ˆ  1 n  aˆ N ˆ n  aˆ n Na     (1.15)  aˆ  n  1 n   n  1 aˆ n    Hệ thức trên có ý nghĩa là: Véc tơ trạng thái â n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n + 1). Tương tự như vậy aˆ n ;aˆ n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán 2 3 tử N̂ ứng với trị riêng (n + 2), (n + 3)… Kết luận 2: Nếu n là một véc tơ trạng thái riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng n p thì â n cũng là một véc tơ riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n – p), 13 (p = 1,2,3…) và  â   p n cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng (n+p). Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy n là một trị riêng của toán tử N̂ thì chuỗi các số không âm n – 1, n – 2, n – 3… cũng là trị riêng của toán tử N̂ . Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất, thỏa mãn: â n Vì nếu â n min 0 min (1.16)  0 thì đó là véc tơ trạng thái ứng với trị riêng (n  1) min trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất. Từ (1.16) ta có: aˆ aˆ n  min ˆ n N min 0 Mặt khác theo định nghĩa N̂ n min  n min n min (1.17) (1.18) So sánh hai phương trình (1.17) và (1.18) ta đi đến kết luận như sau: Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N̂ là nmin có giá trị bằng 0. Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N̂ được ký hiệu 0 . Véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện â 0  0 . Ta có:  + â 0 tỉ lệ với véc tơ riêng l của N̂ ứng với trị riêng n = 1. Thật vậy ta có: N̂ 1  1 1 *  Mà â 0 là một véc tơ riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng 0 + 1 = 1, ˆ ˆ  0  1aˆ  0 .** tức là Na Từ (*) và (**) ta thấy: 1 là véc tơ riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng là 1. 14  â 0 là véc tơ riêng của toán tử N̂ ứng với trị riêng là 1.  Vì vậy â 0 phải tỉ lệ với véc tơ riêng l của toán tử N̂ ứng với trị riêng n = 1. 2 + Tương tự â 0 tỉ lệ với véc tơ riêng 2 của toán tử N̂ ứng với trị n riêng n = 2, …, â 0 tỉ lệ với véc tơ riêng n của toán tử N̂ ứng với trị riêng n. ˆ   aˆ aˆ  1     N ˆ  1    N ˆ   Từ biểu thức: H  2  2 2  ˆ 0  N ˆ 0   0 . Vì N̂ 0  0 0  0 H 2 Ĥ 0   0  E 0 2 0 Nên: 0 là véc tơ riêng của Ĥ ứng với trị riêng E  1  2 0 1 là véc tơ riêng của Ĥ ứng với trị riêng E 1  1  1    2 ………………………………………………………….. n là véc tơ riêng của Ĥ ứng với trị riêng E   n  1    2 n Vậy các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn với các giá trị cách đều nhau, hiệu số năng lượng giữa hai trạng thaí kề nhau luôn luôn bằng một lượng tử năng lượng  . E   2  1    5   2 2 E  1  1    3   2 2 2 1  E  E  E   12 2 1 15 Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là E0, trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E   có thể được xem như là kết quả việc thêm một lượng tử 0 năng lượng  vào trạng thái 0 . Trạng thái tiếp theo 2 ứng với năng lượng E    E  2 có thể được xem như là kết quả của việc thêm một 1 0 lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 . Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E0, thì có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào. Vì vậy 0 được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2 là trạng thái chứa hai lượng tử … n là trạng thái chứa n lượng tử. Toán tử N̂ có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số năng lượng. Toán tử â khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng. Toán tử â  khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng. Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử N̂ sẽ là toán tử số hạt, â sẽ là toán tử hủy hạt, â  sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng E   sẽ là trạng n thái chứa n hạt, đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa. Trong cơ học lượng tử trạng thái dừng của một dao động tử điều hóa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng bằng  . Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử â tác dụng lên n cho một trạng  thái tỉ lệ với n  1 và toán tử â khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 . Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ  ,  ,  trong các hệ thức: n n n 16 â n   n  1 n  â n   n  1 n n   aˆ 0 n n Để cho các véc tơ là trực giao và chuẩn hóa thì: m,n   m ,n 1  0 khi m  n khi m  n + Tìm n: Chúng ta có n  ˆ n ˆ n nN nN  nn  n ,n ˆ n  n aˆ aˆ n n n N  Mặt khác n aˆ   n  1  * n * 2 2 n n Do đó: n   n  1  n  1   n  1 n  1   n n Coi n là thực nên   n n + Tìm n: ˆ n  n aˆ  aˆ n  n aa ˆˆ 1 n Ta có n  n N Mặt khác: n aˆ   n  1 * n ˆ n  n aa ˆ ˆ  1 n Do đó: n  n N * 2   n 1  n 1 1   1 n n n 2 Coi n là số thực nên   n  1    n  1 n n + Tìm n: n 1 Ta có n   n aˆ  n 0   n  aˆ   aˆ  0  n    aˆ n   n 1  1     aˆ 0 n 0   n 2 aˆ 1     aˆ  n 0   n 2  2 1 17  n      aˆ n 0  1  n 2  n      ... n 0 1 3 2 ... n n 1  n   1.2.3...n n   n n n! n   1 n! n Vậy ta thiết lập được các công thức sau: N̂ n  n n (1.19) â n  n n  1  â n  n  1 n  1 (1.20) n  1 aˆ n! (1.21) n 0 1.2. Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy Boson Ta đã tìm được các hệ thức giao hoán của toán tử sinh hạt và toán tử hủy hạt [2]: ˆ ˆ  1 a,a ˆ ˆ    aˆ ,aˆ   0 a,a    (1.22) Mở rộng các hệ thức này cho hệ nhiều hạt ở nhiều trạng thái khác nhau như sau:  aˆ ,aˆ      (1.23) v aˆ ,aˆ   aˆ ,aˆ   0     v  (1.24) Hệ thức giao hoán trên được thực hiện trong không gian Fock với véc tơ cơ sở riêng đã chuẩn hóa của toán tử số dao động tử N̂ . n  1 aˆ 0 n! n  Tác dụng toán tử â , â lên các véc tơ trạng thái n ta được: 18 â n  n n  1  â n  n  1 n  1 Với toán tử số hạt N̂ được biểu diễn theo các toán tử sinh hạt và hủy hạt: ˆ  aˆ aˆ N  Ta sẽ xem xét là đối với các hạt Boson là các hạt có Spin nguyên thì nó có tuân theo các hệ thức giao hoán hay không? Để trả lời câu hỏi này ta xây dựng véc tơ trạng thái của hệ hai hạt ở hai trạng thái khác nhau  và :   aˆ aˆ 0 (1.25)   aˆ aˆ 0 (1.26)   v     v Trong đó 0 là trạng thái chân không không chứa hạt nào. Từ biểu thức (1.22) ta có: aˆ aˆ  aˆ aˆ do đó ta suy ra    .  v      v Như vậy véc tơ trạng thái của hệ hai hạt đồng nhất có tính chất đối xứng với phép hoán vị hai hạt. Và ta biết rằng những hạt được mô tả bởi hàm sóng đối xứng là những hạt có Spin nguyên, tức là các hạt Boson. Kết luận 4: Các toán tử sinh hạt, hủy hạt Boson phải tuân theo hệ thức giao hoán: ˆ ˆ  1 a,a  aˆ aˆ  v  ,aˆ    ,aˆ   aˆ ,aˆ   0         Ta đi tìm biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson â , hủy Boson â và toán tử số hạt N̂ :  Giả sử biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson â , hủy Boson â là: 19 a a â   a   ...  a 00 a â    a 20   ... 00 10 20 a a a 11 21 ...    12 22  a  02  a a 21 a a 22 ... ... 11  02 ... a 01 10  a a a 01  12  ...  ...  ...   ...  ...  ...  ...   ...  (1.27) Ta có:  n ' aˆ n  n ' n  1 n  1  n  1 n ' n  1 = n  1. ' n ,n 1 1 khi n '  n  1  0 khi n '  n  1 Tương tự ta cũng có: n ' aˆ n  n ' n n  1  n n ' n  1  n. ' n ,n 1 1 khi n '  n  1  0 khi n '  n  1  Vậy biểu diễn ma trận của các toán tử sinh Boson â , hủy Boson â và toán tử số hạt N̂ có dạng: 0 1 0  2 0 0 â   0 0 0  ... ... ...  0 0  0  1 0 0 â   2 0  0  ... ... ...   ...   ...   3 ...  ...   ...   ...  ...  (1.28) 20 0 0 ˆ N  aˆ aˆ   0   ...  0 1 0 ...  0 ...  0 2 ...   ... ... ... 