Tài liệu Tổng hợp kiến thức toán 11

TOÁN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN LUYỆN ĐI ĐẠI HỌC 2018 TOÁN 11 CHUYÊN ĐỀ 1: LƢỢNG GIÁC ................................................................................ 2 VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC ...................................................................... 2 VẤN ĐỀ 2: CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC .............................................................. 3 VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC ....................................................... 4 CHUYÊN ĐỀ 2 : TỔ HỢP XÁC SUẤT ...................................................................... 7 VẤN ĐỀ 1 : PHÉP ĐẾM ........................................................................................... 7 VẤN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON .......................................................................... 9 VẤN ĐỀ 3: XÁC SUẤT............................................................................................ 9 CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ............................................... 11 VẤN ĐỀ 1: PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC ......................................... 11 VẤN ĐỀ 2: DÃY SỐ ............................................................................................... 11 VẤN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN ..................................................... 12 CHUYÊN ĐỀ 4 : GIỚI HẠN ...................................................................................... 14 VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ........................................................................... 14 VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ ........................................................................... 15 VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC ........................................................................... 16 VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ............................. 16 CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM ...................................................................................... 17 VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC ĐẠO HÀM .................................................................. 17 VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ....................................................... 18 VẤN ĐỀ 3: VI PHÂN ............................................................................................. 18 CHUYÊN ĐỀ 6 : HÌNH HỌC .................................................................................... 19 VẤN ĐỀ 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM .............................................. 19 VẤN ĐỀ 2: MẶT PHẲNG VÀ ĐƢỜNG THẲNG ............................................... 19 VẤN ĐỀ 3: GÓC ..................................................................................................... 23 VẤN ĐỀ 4: KHOẢNG CÁCH ................................................................................ 23 LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 1 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT TOÁN 11 CHUYÊN ĐỀ 1: LƢỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 1: HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Hàm số TXĐ: và Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là Hàm số TXĐ: và Hàm số chẵn và là hàm số tuần hoàn chu kì là Hàm số Hàm số TXĐ: { Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là VD: Tập xác định của TXĐ: VD: Tập xác định của ĐK: , ) TXĐ: * TXĐ: } Hàm số lẻ và là hàm số tuần hoàn chu kì là . VD: Tập xác định củ / √ ĐK: { { { TXĐ: VD: Tìm GTLN và GTNN của Có khi khi + VD: Tìm GTLN và GTNN của Có ( ( } ) khi ) ( ) hi ( VD: Xét tính chẵn lẻ của Kí hiệu ( ) và TXĐ: ) Nhắc lại: ( ) là hàm số chẵn { ( ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI ( ) 2 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) là hàm số lẻ Do đó đây là hàm số lẻ. { ( ) ( ) VẤN ĐỀ 2: CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN ) ) ) ) ) ) ) ( ( ) ) ) ) ) ) ( ( ) ) CUNG LIÊN KẾT ĐỐI ( ( ( ( BÙ ) ( ) ( ( ( ) ) (cos đối) PHỤ ) ) ) ) . / . / . / . / (phụ chéo) (sin bù) HƠN KÉM ( ( ) ) ( ( HƠN KÉM ) ) (tan cot hơn kém ) . / . / . / . / (sin lớn bằng cos nhỏ) CỘNG ( ( ) ) (sin thì sin cos cos sin) (cos thì cos cos sin sin dấu trừ) NHÂN ĐÔI ( ) NHÂN BA (sin3a bằng 3 sin trừ 4 sỉn) (cos3a bằng 4 cổ trừ 3 cô) CÔNG THỨC HẠ BẬC TÍCH – TỔNG T NH THEO LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 3 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT , ( ) ( )- (cos c n c n cos t ừ , ( ) ( )- (cos t ừ t ừ cos c n , ( ) ( )- (s n c n c n s n t ừ TỔNG – TÍCH (cos c ng cos bằng 2 cos cos) (sin c ng sin bằng 2 sin cos) (cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin) (sin trừ sin bằng 2 cos sin) ( ) (tình mình c ng vớ tình ta, s nh a 2 đứa con mình con ta) √ . / √ . / NHỚ ( ) VẤN ĐỀ 3: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN ( 0 ) (cos đối) ( 0 )(sin bù) ( ) ( ) ĐẶC BIỆT ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ( ( ) ) hoặc ( ) ) ) ( ) . / ( ) . / ( ) . / ( ) . / √ VD: VD: . [ [ ( / ) [ VD: ( ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 4 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT ( [ [ ( ) ) PHƢƠNG TRÌNH CỔ ĐIÊN Cách giải: Chia 2 vế phƣơng trình cho √ VD: √ , s u đó áp dụng công thức cộng. Chia 2 vế pt cho √(√ ) √ . ( / ) PHƢƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Dạng Cách giải PHƢƠNG TRÌNH CHỨA VÀ s Cách giải X t Đặt Thay vào pt (nhớ với ) √ . / √ . / [ √ √ ] X t Chia 2 vế pt cho , giải pt theo . Ghi chú  Có thể giải bằng cách dùng công thức hạ bậc đƣ về dạng . VD: Xét (vô lý) Xét ( pt VD: Đặt [ √ √ ] với ) ( ) . √ [ . ( [ ( ) [ ) / / . . [ ĐIỀU KIỆN Phƣơng trình chứa thì Phƣơng trình chứa . / / ( thì / ) Phƣơng trình chứa LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 5 √ TOÁN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. thì { LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 6 TOÁN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. CHUYÊN ĐỀ 2 : TỔ HỢP XÁC SUẤT VẤN ĐỀ 1 : PHÉP ĐẾM QUI TẮC CỘNG Công việc chi làm 2 trƣờng hợp: - Trƣờng hợp 1: có cách. - Trƣờng hợp 2: có cách. Khi đó, tổng số cách thực hiện là . HOÁN VỊ vật sắp xếp vào chổ, số cách xếp là: QUI TẮC NHÂN Sự vật 1 có cách. Ứng với 1 cách chọn trên ta có cách chọn sự vật 2. Khi đó, tất cả số cách chọn liên tiếp 2 sự vật là . CHỈNH HỢP vật, lấy ra vật rồi sắp xếp thứ tự, số cách xếp là: ( GIAI THỪA ( ) ) ) ( ) Qui ƣớc: Lƣu ý: ( ( TỔ HỢP vật, lấy ra vật nhƣng không sắp xếp thứ tự, số cách xếp là: ) ( NHỚ Số chi Số chi Số chi Số chi hết cho : tận cùng là hết cho : tận cùng là hết cho : tận cùng là hết cho hi tận cùng là VD: Trong một lớp có 18 bạn n m, 12 bạn nữ. Có b o nhiêu cách chọn . Một bạn phụ trách quỹ lớp. b. H i bạn, trong đó có một n m và một nữ. Giải: a. Có cách chọn b. Chọn 1 nam: 18 cách. Chọn 1 nữ: 12 cách. Do đó có cách. VD: Có bao nhiêu cách xếp bốn bạn A; B; C; D vào bốn chiếc ghế thành hàng ngang? Giải: Số cách xếp là cách. VD: Cho 6 đƣờng thẳng song song với nh u và 8 đƣờng thẳng hác cũng song song với nh u đồng thời cắt 6 đƣờng thẳng đã cho. Hỏi có b o nhiêu hình bình hành đƣợc tạo nên bởi 14 đƣờng thẳng đã cho? Giải: ) Số chi hết cho : tổng các chữ số chi hết cho . Số chi hết cho : tổng các chữ số chi hết cho . Khi gặp bài tập số tự nhiên mà trong đó có liên qu n số nên chi trƣờng hợp. VD: Có 5 bông hồng, 7 bông cúc, 3 bông l n. Tìm số cách . Chọn 3 bông từ các bông trên. b. Chọn 3 bông ho trong đó có đầy đủ các loại. c. Chọn 3 bông có trong đó phải có ít nhất 2 bông cúc. Giải: a. Chọn 3 bông từ 15 bông, số cách là . b. Có 5 cách chọn 1 bông hồng Có 7 cách chọn 1 bông cúc. Có 3 cách chọn 1 bông lan. Do đó có cách chọn 3 bông hoa trong đó có đầy đủ các loại. c. TH1: 2 bông cúc. Có cách chọn 2 bông cúc từ 7 bông cúc. Có cách chọn 1 bông còn lại từ 8 bông. LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 7 TOÁN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. Một hình bình hành đƣợc tạo nên từ 2 đƣờng thẳng trong 6 đƣờng thẳng b n đầu và 2 đƣờng thẳng trong 8 đƣờng thẳng còn lại. Chọn 2 đƣờng từ 6 đƣờng b n đầu có cách. Chọn 2 đƣờng từ 8 đƣờng còn lại có cách. Do đó, số hình bình hành là . Do đó có cách. TH2: 3 bông cúc. Có cách chọn 3 bông cúc. Vậy có tất cả cách chọn 3 bông trong đó có ít nhất 2 bông cúc. VD: Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5 có thể lập đƣợc b o nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số và . Khác nh u. b. Là số lẻ. c. Là số chẵn. d. Là số chia hết cho 5 Giải: Gọi ̅̅̅̅̅̅̅ là số tự nhiên thỏ đề bài ( ) a. Chọn : 5 cách. Chọn cách. Do đó có số b. Chọn : 3 cách. Chọn : 4 cách. Chọn cách. Do đó có c. TH1: là 0. Chọn : 1 cách. Chọn : 5 cách. Chọn cách. Do đó có TH2: là 2; 4. Chọn : 2 cách. Chọn : 4 cách. Chọn cách. Do đó có Vậy có d. TH1: là 0. Chọn : 1 cách. Chọn : 5 cách. Chọn cách. Do đó có TH2: là 5. Chọn : 1 cách. Chọn : 4 cách. Chọn cách. Do đó có Vậy có VD: Tìm biết Giải: Điều kiện: { ( số. ) ( ( ) ( ) ) ( ( )( ) ) ( ) ( ) [ số. { Vậy VD: Tìm biết Giải: Điều kiện: { số. số. ( ( ) { ) ( ( [ ) ) ( ) ( ) Vậy số. số. số. LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 8 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT VẤN ĐỀ 2: NHỊ THỨC NEWTON NHỊ THỨC NEWTON ( ) ∑ Chú ý: x .x  x m n mn x   x  m n n , m m xm  xm  n , n x m m 1  xm xm 1  x1 , x  x m.n , xm  x    , ym  y  x .y  (xy) , m 1 n , x  x2 , m ( ) ( xn  x m (với điều kiện x, y đều có nghĩ trong tất cả các công thức trên). NHỚ ( ( ) ) ( VD: Khai triển ( ( , ) ) ( ( ) )) ( VD: Tìm số hạng hông chứ ) trong h i triển củ ( ) ( ) ) Giải: ( ) ( ∑ Ycbt Số hạng không chứa VD: Chứng minh ) ( ) ∑ ∑ là Giải: Ta có: ( Thay ) VẤN ĐỀ 3: XÁC SUẤT XÁC SUẤT ( ) ( ) ( ) Lƣu ý: ( ) ( ) ( ̅) VD: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứ 20 thẻ đƣợc đánh số từ 1 đến 20. Tính xác suất để thẻ đƣợc lấy ghi số a. Chẵn. b. Chia hết cho 3. c. Lẻ và chia hết cho 3. Giải: * + ( ) Không gian mẫu .Kí hiệu lần lƣợt là biến cố trong câu a; b; c. LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 9 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT * + * * ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 10 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT CHUYÊN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN VẤN ĐỀ 1: PHƢƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC PHƢƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Có nhiều cách để chứng minh một biểu thức ( ) đúng. Một trong những cách chính là qui nạp toán học: 1. Kiểm tra với ( ) đúng h y hông. 2. Giả sử với ( ) đúng. 3. Với , ta chứng minh ( ) đúng. ( ) ( ) với VD: Chứng minh với Giải: ( ) Với : Với : Đặt ( ) ( ) Giả sử ( ) ( ) Với : Ta chứng minh ( ), ( ) ( ) ( )( ) Thật vậy, ( )( ) ( ) ( ) Vậy hệ thức đúng với mọi . VẤN ĐỀ 2: DÃY SỐ DÃY SỐ Dãy số ( ) là hàm số đi từ đến . Có 3 cách xác định dãy số: cho số hạng tổng quát; mô tả; cho hệ thức truy hồi. DÃY SỐ TĂNG – DÃY SỐ GIẢM ( ) là dãy số tăng ( ) là dãy số tăng Khi Khi , t có thể dùng , t có thể dùng VD: X t tính tăng, giảm củ dãy số cho bởi ( ( )( ) )( ( Giải: ) ( )( ( )( ) ( )( ) . Vậy ( ) là dãy số tăng. DÃY SỐ BỊ CHẶN  ( ) bị chặn trên  ( ) bị chặn dƣới  ( ) bị chặn ( ) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dƣới )( ) ) )( ) ( VD: Chứng minh dãy số cho bởi | | bị chặn. LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 11 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT Giải: ( Do đó ( ) ) bị chặn. VẤN ĐỀ 3: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN CẤP SỐ CỘNG 1. Định n hĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai) 2. Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  2 3. Tính chất các số hạng: uk  uk 1  uk 1 với k  2 2 Sn  u1  u2  ...  un  4. Tổng n số hạn đầu tiên: n(u1  un ) n  2u1  (n  1)d  = 2 2 CẤP SỐ NHÂN 1. Định n hĩa: (u n ) là CSN, q là công bội un1  un .q 2. Số hạng tổng quát: un  u1.q n 1 với n  2 3. Tính chất các số hạng: uk2  uk 1.uk 1 với k  2  S n  nu1 4. Tổng n số hạn đầu tiên:  u1 (1  q n ) S   n 1 q VD: Cho dãy số ( ) với a. Viết 5 số hạng đầu của dãy. b. Chứng minh ( ) là cấp số cộng. Chỉ rõ c. Tính tổng của 100 số hạng đầu. Giải: a. ( ) b. Có Do đó . Suy ra ( ) là cấp số cộng với , c. VD: Tìm và ( )( của CSC ( )- ) biết { Giải: ( { { { , { ) và . . khi q  1 khi q  1 ( ) VD: Cho dãy số ( ) với a. Chứng minh ( ) là cấp số nhân. b. Lập công thức truy hồi của dãy số. c. Hỏi số là số hạng thứ mấy của dãy số? Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) . Do đó ( ) là cấp số nhân với . b. c. Giả sử là số hạng thứ của dãy số. Khi đó . VD: Tìm và của CSN ( - ) biết { Giải: { { { ( ( ) ( ) ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 12 TOÁN THẦY THẬT NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. [ LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 13 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT CHUYÊN ĐỀ 4 : GIỚI HẠN VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN DÃY SỐ NHỚ với nguyên dƣơng. với ( ( ) ( hi | | hi với là hằng số. TÍNH CHẤT lim un ;lim vn ) TÍNH CHẤT (áp dụng khi tồn tại ) ) { nguyên dƣơng. ) ) } ) ) ) hi ) Khi thì √ √ } ) } PHƢƠNG PHÁP T NH GIỚI HẠN DÃY SỐ  Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu và tử đều chứa luỹ thừa của , ta chia tử và mẫu cho với là số mũ cao nhất. ( )  Nếu biểu thức đã cho có chứa dƣới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với cùng một biểu thức liên hợp. VD: √ .√ VD: (√ / . √ √ √ )(√ √ √ √ √ . / ] √ . / VD: [ ) / √ [. / √ . / . / ] . / TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Khi | | t có VD: Tính tổng √ √ Giải: √ T có | | √ nên à một cấp số nhân với công bội ( √ ) √ √ √ LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 14 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ NHỚ ) ) ) ) với là hằng số. TÍNH CHẤT (dùng khi tồn tại ) ( ) ( { với nguyên dƣơng. hi chẵn hi l ) ) ) ) ( ) ) Khi hi thì √ √ TÍNH CHẤT ( } (bằng hay của và coi ) } } ta phải xem dấu hay (bằng dấu của ) ) hay và coi ta phải xem hay GIỚI HẠN BÊN TRÁI – GIỚI HẠN BÊN PHẢI Giới hạn bên trái, tức khi Giới hạn bên phải, tức khi PHƢƠNG PHÁP T NH GIỚI HẠN HÀM SỐ (dạng ) Dạng  Dùng lƣợc đồ Hoocne.  Nếu chứa biến trong căn, t nhân tử mẫu cho biểu thức liên hợp. Dạng ( ) (dạng ) Dạng ( ) (dạng )  Nhân và chia với biểu thức liên hợp hoặc qui đồng mẫu. √ ( VD: VD: )  Chia tử, mẫu cho với là số mũ cao nhất.  Nếu chứa biến trong căn, t đƣ ra ngoài dấu căn (với là số mũ cao nhất trong căn), rồi chia tử và mẫu cho luỹ thừa của . ( )( ) ( )( ) VD: VD (dạng Dạng √ )(√ ) √ . / . / √ √ . / LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 15 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT .√ VD: ( / √ ( VD: ) √ ) (do ( VD: (do { ( √ ) ) ( ) ) ( ) ) VẤN ĐỀ 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN TRÁI liên tục trái tại HÀM SỐ LIÊN TỤC BÊN PHẢI liên tục phải tại ( ) ( ) HÀM SỐ LIÊN TỤC ( ) (áp dụng cho các hàm số có dấu [ liên tục tại ) ( ) (áp dụng cho các hàm số có dấu VD: X t tính liên tục củ ( ) hi { ) tại hi Giải: TXĐ: và ( ) VD: Tìm ( để ( ) ) hi { ( ) ( ( ) ) hàm số không liên tục tại tại hi Giải: TXĐ: ( ) và ( ( ) )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH liên tục trên , } phƣơng trình ( ) ( ) VD: Chứng minh phƣơng trình CÓ ÍT NHẤT 1 NGHIỆM TRONG KHOẢNG ( có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng ( ). luôn có nghiệm. Giải: Xét ( ) liên tục và xác định trên ( ) và ( ) nên ( ) ( ) Do đó phƣơng trình luôn có nghiệm. LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 16 ) NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM VẤN ĐỀ 1: CÔNG THỨC ĐẠO HÀM ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM ( ) ( ) ( ) ( (ở đây ) ( )) ( ) ( ) ( ) Hoặc BẢNG ĐẠO HÀM ( ĐẠO HÀM BÊN TRÁI – ĐẠO HÀM BÊN PHẢI ( ) ( ) Đạo hàm bên trái ( ) ( Đạo hàm bên phải ( ) ) QUI TẮC ĐẠO HÀM ( ) ( ( ) ( ) (√ ) ( ) ) ( ) ( ) ) ( Thay bởi , nhân thêm ( ( ) ) ( ) ( ) (√ ) √ ) ( ( ) ) ( ) ( ) √ . / VD: Bằng định nghĩ , tính đạo hàm của ( ) √ tại Giải: ( ) ( ) ( ) √ ( )(√ ) √ VD: ( VD: VD: ) ) ( ( ) ) ( ( ) VD: ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) )√ )√ ) .√ ( ( √ ) ( ( VD: ( )( ( ) √ / ) ( ) √ √ VD: ( )( ) ( ( )( ) ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 17 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT ( )( ) ( ( ) ) ( ( VD: ) ) √ ( ) . / (√ ) √ √ √ VẤN ĐỀ 2: PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Giải ( ) ( ) Thay vào ) DẠNG: ( ) ( PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ( Tiếp tuyến ( ) Giải pt Phƣơn t ình t ếp tuyến của đồ thị ( ) biết tiếp tuyến qua (  Giả sử tiếp điểm là ( ). Phƣơng trình tiếp tuyến là ( ) ( ) ( )( )  (pt ẩn ) ) VD: ( ) . Lập pttt tại ( VD: ( ) Giải: Pttt là VD: ( ) ) Nhớ: Tiếp tuyến ( ) ( ) Thay vào ( ) ( )( )( ( ) Pttt là ) . Lập pttt qua ( ( ) ( ) ( ) ). ( )( ) . Lập pttt có hệ số góc là . Giải: ( )( ) ) Giải: Pttt là Có ( )( ) ( ( )( )( ) ) ( ) ( ) VẤN ĐỀ 3: VI PHÂN VI PHÂN Ví dụ: ( ) ( ) NHỚ ( ( ) ) ( với ) là hằng số. . / DÙNG VI PHÂN TÍNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG ( ) ( ) ( ) LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 18 NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. TOÁN THẦY THẬT CHUYÊN ĐỀ 6 : HÌNH HỌC 11 VẤN ĐỀ 1 : MỘT SỐ KIẾN THỨC TRỌNG TÂM NHỚ - Trọng tâm: gi o điểm 3 đƣờng trung tuyến. - Trực tâm: gi o điểm 3 đƣờng cao. - Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp: gi o điểm 3 đƣờng trung trực. - Tâm đƣờng tròn nội tiếp: gi o điểm 3 đƣờng phân giác. ĐỊNH LÍ TALES TRỌNG TÂM TAM GIÁC HỆ THỨC LƢỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG sin = đối/huyền cos = kề/huyền t n = đối/kề cot = kề/đối (S n đ học - Cứ khóc hoài - Thô đừng khóc - Có kẹo đây DIỆN T CH Tam ác đều Đƣờng c o Tam giác vuông cân Cạnh huyền Hình vuông Đƣờng ch o cạnh √ cạnh góc vuông √ cạnh √ VẤN ĐỀ 2: MẶT PHẲNG VÀ ĐƢỜNG THẲNG CÁCH XÁC ĐINH MỘT MẶT PHẲNG   3 điểm không thẳng hàng. ● 1 đƣờng thẳng và 1 điểm không thuộc đƣờng thẳng. 2 đƣờng thẳng cắt nhau. ● 2 đƣờng thẳng song song. VỊ TR TƢƠNG ĐỐI GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 19 TOÁN THẦY THẬT ( ) NẾU BẠN CHƢA TỪNG CỐ GẮNG, THÌ CŨNG ĐỪNG BUỒN NẾU THẤT BẠI. ( ) cắt ( ) ( ) ( ) ( ) VỊ. TR TƢƠNG ĐỐI GIỮA HAI MẶT PHẲNG ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cắt ( ) ( ) ( ) VỊ TR TƢƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG { ( ) ( ) chéo nhau hông đồng phẳng. cắt CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN GIỮA HAI MẶT PHẲNG Cách 1: Tìm h i điểm chung của hai mặt Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phẳng. phƣơng gi o tuyến (tức tìm trong hai mặt phẳng hai ( ) đƣờng thẳng song song với nhau). ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Chú ý: Để tìm điểm chung củ h i mặt phẳng với { ( ) ( ) t thƣờng tìm h i đƣờng thẳng đồng phẳng lần lƣợt nằm trong h i mặt phẳng. Gi o điểm, nếu có, củ h i đƣờng thẳng này chính là điểm chung cần tìm. CÁCH XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM GIỮA ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Để tìm gi o điểm của và ( ), ta tìm trong ( ) một đƣờng thẳng cắt ( ). tại . Khi đó: ( ) ( ) chƣ có sẵn thì ta chọn ( ) qua và lấy { Chú ý: Nếu ( ) ( ). LỚP TOÁN THẦY THẬT – 0901222686 – NGÕ 13 LĨNH NAM – HOÀNG MAI – HÀ NỘI 20