Tài liệu Toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---OOO--- TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH Mà S Ố : 1.01.01 NGƯỜI THỰC HIỆN : HOÀNG ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1997 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---OOO--- TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI HỆ SỐ BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN GIẢI TÍCH Mà S Ố : 1.01.01 NGƯỜI THỰC HIỆN : HOÀNG ANH TUẤN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 1997 LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Người hướng dẫn: Phó giáo sư Tiến sĩ TRẦN HỮU BỔNG Khoa Toán Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Người phản biện 1: Phó tiến sĩ DƯƠNG LƯƠNG SƠN Khoa Giáo dục Tiểu học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Người phản biện 2: Phó tiến sĩ ĐẬU THẾ CẤP Khoa Khoa học Cơ bản Trường Cao đẳng Kỹ thuật Vinhempic Người thực hiện: HOÀNG ANH TUẤN Khoa Thống kê - Toán Kinh tế - Tin học Đại học Kinh Tế Tp Hồ Chí Minh LUẬN VĂN KHOA HỌC ĐƯỢC BẢO VỆ TẠI HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH. LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong luận văn này, tôi xin kính gửi đến Phó Giáo sư Tiến sĩ TRẦN HỮU BỔNG - Khoa Toán Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc. Xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Quí thầy : Phó tiến sĩ DƯƠNG LƯƠNG SƠN Khoa Giáo dục Tiểu học Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Phó tiến sĩ ĐẬU THẾ CẤP Khoa Khoa học Cơ bản Trường Cao đẳng Kỹ thuật Vinhempic đã đọc bản thảo, phê bình và phản biện cho luận văn. Xin chân thành cảm ơn Quí Thầy cô trong Khoa Toán đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập và Quí Thầy cô thuộc Phòng Nghiên cứu Khoa học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này. Xin cảm ơn gia đình, bạn hữu, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Thành phố Hồ chí Minh, 1997 Hoàng Anh Tuấn MỤC LỤC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH ........... 1 I Phổ của toán tử tuyến tính ............................................................................................... 1 II Cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính ....................................................................... 1 III. Ứng dụng. ......................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 2: SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ NGƯỢC CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH........................................................................................................................................ 9 I Hàm liên tục đều bị chặn. .................................................................................................. 10 II Hàm đầu tuần hoàn ........................................................................................................... 10 III Hàm truy đồi.................................................................................................................... 11 IV Các bổ đề ......................................................................................................................... 12 V Điều kiện tồn tại toán tử ngược. ....................................................................................... 22 CHƯƠNG 3: VỀ SỰ BẢO TOÀN TÍNH FREDHOLM CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH ........................................................................................................................ 33 I Định nghĩa và kết quả. ....................................................................................................... 33 II Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa hội tụ tích phân tại vô cực. .................................. 34 III Sự bảo toàn tính Fredholm theo nghĩa đinh vị tại vô cực ..................................... 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................................... 51 KÝ HIỆU R, p là tập hợp các số thực và số phức. Rn(Pn) là không gian thực (phức) với chuẩn Mn là không gian (vành) các ma trận thực cấp n với chuẩn C(Rn),C(Pn) là không gian Banach phức của các hàm liên tục, bị chặn trên R, có giá trị trong Rn, pn với chuẩn : C1(Rn) là không gian Banach phức các hàm liên lục, bị chặn x(t ) có đạo hàm cấp 1 (t) liên tục, bị chặn trên R ( C(Rn) ) với chuẩn C*(Rn) là không gian con của C(Rn) gồm tất cả các hàm liên tục đều. bị chặn trên R, có giá trị trong Rn. C(Mn) là không gian Banach các hàm ma trận A(t ) liên tục, bị chặn với chuẩn C*(Mn) là không gian Banach các hàm ma trận A(t ) liên tục đều, bị chặn với chuẩn như trên. MỞ ĐẦU Lý thuyết toán tử vi phân tuyến tính với hệ số bị chặn trên trục số đã được nhiều tác giả quan tâm, bắt đầu từ những công trình cổ điển của Bohl P. , Person O. , Favard J. ... về sau lý thuyết này được các nhà toán học nghiên cứu theo những hướng khác nhau : Về tính chất nghiệm, về dáng điệu nghiệm, về tính giải được của phương trình không thuần nhất ... và cũng được xét trên những không gian hàm khác nhau. Luận văn của chúng tôi nghiên cứu về toán tử vi phân tuyến tính có dạng với A(t) là ma trận hàm liên tục bị chặn trên trục số và phương trình thuần nhất Từ tính chất của toán tử L ta sẽ thu được những tính chất của phương trình không thuần nhất Luận văn gồm ba chương: Chương 1 nghiên cứu cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính L. (Định lý 1.1) Chúng tôi đã thiết lập các mối liên hệ giữa khái niệm khả qui và hầu khả qui của phương trình thuần nhất. Kết quả chính của chương là định lý 1.2, có thể xem như một ứng dụng, xác định một điều kiện cần và đủ dưới dạng phổ để phương trình (2) hầu khả qui về phương trình có hệ số hằng. Chương 2 trình bày về điều kiện tồn tại toán tử ngược của toán tử vi phân tuyến tính. Chúng tôi đã nhắc lại các khái niệm hàm hầu tuần hoàn, hàm truy hồi và các hàm cùng nhau truy hồi và chứng minh ba bổ đề mang tính chất kỹ thuật. Kết quả chính của chương là chỉ ra rằng toán tử L:C1(Rn) C(Rn) có toán tử ngược bị chặn trong hai trường hợp sau : (a) Hệ số ma trận hàm A(t) là truy hồi (hay hầu tuần hoàn) và tất cả các phương trình giới hạn thuần nhất không có nghiệm khác không bị chặn trên R. (Định lý 2.1, 2.2) (b) Toán tử L là giải chuẩn tắc và A là ma trận hàm truy hồi. (Định lý 2.4) Ngoài ra với một vài giả thiết bổ sung, chúng tôi cũng xác định được tính chất nghiệm của phương trình không thuần nhất Lx = f (Định lý 2.3) Chương 3 nói về sự bảo toàn tính Fredholm của toán tử L phụ thuộc tham số bé dựa trên hai khái niệm : ma trận hệ số hội tụ tích phân tại vô cực và định vị tại vô cực. Kết quả chính của chương là chỉ ra với α > 0 đủ bé thì Lα Fredholm trong hai trường hợp sau đây : (a) Ma trận hàm A(t,α) hội tụ tích phân tại vô cực đến A0(t) khi α⟶0. (Định lý 3.1) (b) Ma trận hàm A(t,α) định vị tại vô cực khi α⟶0 và với mỗi dãy { ̃ ̃ }, với α k ⟶ 0 tồn tại dãy con , ̃ - hội tụ đến ma trận B không có giá trị riêng thuần ảo. (Định lý 3.2) Trong chương còn có hai hệ quả, có thể xem như phần ứng dụng, khá thú vị suy ra từ các kết quả chính trên. (Hệ quả 3.1,3.2) Phương pháp chứng minh trong hai chương 2 và 3 dựa trên phương pháp của Mukhamadiev[4] mà cơ sở là sử dụng toán tử giới hạn tại vô cực xuất phát từ toán tử L ban đầu CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH I Phổ của toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.1. Cho không gian Banach phức E và toán tử tuyến tính liên tục L : E->E Số phức λ, gọi là giá trị chính qui của toán tử L nếu toán tử L-λI có toán tử ngược liên tục, xác định trên toàn bộ E. Một số phức không phải là giá trị chính qui của L gọi là giá trị phổ của L. Tập hợp tất cả các giá trị phổ của L gọi là phổ của L, đó là phần bù (L) trong P của các giá trị chính qui của L. Đinh nghĩa 1.2. Các toán tử tuyến tính L1, L 2 gọi là đồng dạng nếu tồn tại một toán tử tuyến tính U liên tục và khả nghịch liên tục sao cho Mệnh đề 1.1. Các toán tử đồng dạng có cùng phổ. II Cấu trúc phổ của toán tử vi phân tuyến tính Xét phương trình thuần nhất: L là toán tử vi phân tuyến tính từ C 1 R n ) vào C ( R n ) định bởi : Bổ đề 1.1, Với số thực α , toán tử L α định bởi đồng dạng với toán tử L trong C( P n ). 1 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHỨNG MINH Xây dựng toán tử Uα trong C(Pn) như sau : Thì Uα là toán tử tuyến tính, liên tục, khả nghịch liên tục. Với y C(Pn) Vậy L và Lα đồng dạng, do đó chúng có cùng phổ. Bổ đề được chứng minh. □ Đinh lý 1.1. Phổ của toán tử L gồm các đường thẳng song song với trục ảo trong mặt phẳng phức. CHỨNG MINH Giả sử L có giá trị phổ α + iβ trong P. Ta chứng minh rằng α + iβ/ cũng là giá trị phổ của L Theo bể đề 1.1 , α + iβ cũng là giá trị phổ của Lβ nên Lp - (a + ip)l không có toán tử ngược liên tục. Mặt khác do đó Lβ/ - ( α + iβ/ ) I không có toán tử ngược liên tục suy ra α + iβ/ là giá trị phổ của Lβ/ Theo bổ đề 1.1, α + iβ/ cũng là giá trị phổ của L. Vậy phổ của toán tử L gồm các đường thẳng song song với trục ảo trong mặt phẳng phức. 2 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Định lý được chứng minh. III. Ứng dụng. Phần này trình bày một điều kiện cần và đủ về phổ của toán tử vi phân tuyến tính để phương trình thuần nhất (1) hầu khả qui về phương trình thuần nhất có hệ số hằng. Đinh nghĩa 1,3, Phép biến đổi tuyến tính x(t) = U(t)y(t) gọi là phép biến đổi Liapunov nếu U(t) là hàm ma trận khả nghịch thỏa U C1(Mn) và U-1 C(Mn). Đinh nghĩa 1.4. Cho hai phương trình thuần nhất: Phương trình (1) gọi là khả qui về phương trình (2) nếu (1) có thể đưa về (2) bằng một phép biến đổi Liapunov Khi đó x(t) = U(t)y(t). Gọi L và L 1 là các toán tử từ C 1 ( R n ) vào C( R n ) tương ứng với các phương trình (1) và (2), định bởi : Mệnh đề 1.2. Hai toán tử L và L 1 đồng dạng với nhau. Do đó, theo bổ đề 1.1, chúng có cùng phổ. Định nghĩa 1.5, Cho hai phương trình thuần nhất : (1) (2) Phương trình (1) gọi là hầu khả qui về phương trình (2) nếu với mỗi đổi Liapunov x(t) = U (t)y(t) 3 > 0, tồn t ạ i phép biến CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH chuyển (1) về phương trình sau (3) trong đó Gọi L, L 1 , L là các toán tử từ C 1 ( R n ) vào C ( R n ) tương ứng với các phương trình (1), (2), (3) định bởi : D là toán tử từ C 1 ( R n ) vào C( R n ) định bởi : Ta có Với ɛ > 0 cố định thì phương trình (1) khả qui về phương trình (3) Theo định nghĩa 1.4 Theo mệnh đề 2.1, L1 + Dɛ và L có cùng phổ. Bổ để 1.2. Phổ toán tử L là tập con của phổ toán tử L1 . CHỨNG MINH Do mệnh đề 1.2, hai toán tử L và Lɛ đồng dạng, do đó chúng có cùng phổ. Nếu là một lân cận bất kỳ của phổ (L1)(lân cận này gồm các đường thẳng song song với trục ảo). Khi đó với (L) khá bé, ta có (L1 +Dɛ) , cho nên (L) (L1) . Bổ đề được chứng minh. □ 4 . Từ bao hàm thức cuối suy ra CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Đinh lý 1.2. Phương trình (1) hầu khả qui về phương trình (2) với hệ số hằng khi và chỉ khi phổ của toán tử L gồm hữu hạn các đường thẳng song song với trục ảo. CHỨNG MINH Điều kiên cần. Giả sử phương trình (1) hầu khả qui về phương trình (2) với hệ số là ma trận hằng A 1 Gọi λ k , k = là các giá trị riêng của ma trận A1. Theo định lý Bohl, phổ của L 1 trùng với tập các đường thẳng Reλk (k = ) Do đó, theo bổ đề 1.2, phổ của toán tử L gồm một số hữu hạn các đường thẳng song song với trục ảo. Điều kiên đủ. Giả sử phổ của L gồm một số hữu hạn các đường thẳng song song với trục ảo αk, k = trong đó α1 α2 αr Ta chứng minh rằng phương trình (1) hầu khả qui về một phương trình có hệ số là ma trận hằng. Chon > 0 sao cho Với mỗi k = Với mỗi k = Vậy αk+ , αk- k= là các giá trị chính qui của L. Do đó các toán tử trong C(Rn) có toán tử ngược bị chặn. 5 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Theo định lý về lưỡng phân mũ (Demidovich [1] ), không gian nghi ệmX của (1) là không gian n chi ều được phân tích thành t ổngtrực tiếp với X k , k= là không gian con có s ố chiều là sao cho với nghiệm x X k thỏa mãn ước lượng (5) Từ (5) suy ra (Demidovich [1]) t ồn tại α 0 > 0 sao cho (6) Trong đó x Giả sử { , y +1, , x + 2,…. , y , k1 k2 } là cơ sở trong không gian Xk+1 (k = 0,1,…r-1, n0 = 0, nr = n ). Khi đó X(t) = [X1(t), X2(t),…Xr(t)] = [ x1(t), x2(t),…, (t),…, xn(t)] là ma trận cơ bản của phương trình (1) Gọi G[X(t)] và G[X k + 1 (t)], k = 0, 1, ... , r-1 là những định thức Grama của hệ các vectơ Khi đó từ (6) suy ra ước lượng (7) Từ (7) suy ra (Krasnocelski [2]) t ồn tại phép biến đổi Liapunov x = Q(t)y chuyển (1) về phương trình ̇ + B(t)y = 0 với B(t) = diag[B 1 (t) , B 2 (t),...,Br(t)] trong đó B k (t) là h à m ma trận tam giác cấp n k - n k - 1 , k = Ngoài ra bất kỳ nghiệm khác không y k ( t ) của phương trình 6 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH (8) dựa vào (5) thỏa mãn ước lượng (9) Gọi Uk(t,s) là ma trận Cauchy của phương trình (8) (Uk(s,s)= Ik ) yk(t)=Uk(t,s)y k(s) vớit > s Từ (9) suy ra các ước lượng sau đối với ma trận Cauchy Uk(t,s) (Uk (s,s)= I k ) của phương trình (8) (10) Ma trận Uk(t,s) có dạng Uk(t,s) = Vì hệ phương trình (8) có dạng tam giác, nên các phần tử uij (t,s) của Uk(t,s) được xác định bởi công thức với bij(t)là các phần tử của ma trận Bk(t) và bij(t) = 0 khi i > j Do từ bất đẳng thức (10) suy ra ước lượng sau Kết hợp hai bất đẳng thức cuối, ta có với t s 7 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Từ ( 11) với ɛ’ 0 tùy ý, ta chọn và dựa vào kết quả trên suy ra các phần tử trên đường chéo bjj(t) của ma trận Bk(t) là khả tích gần đến số αk (Zabreiko,Krasnocelski, Strưgin [3]), do đó tất cả các hệ (8) là hầu khả qui đến hệ phương trình với hệ số hằng. Vậy phương trình (1) h ầ u khả qui đến phương trình với hệ số hằng. Định lý được chứng minh. □ 8 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 2 SỰ TỒN TẠI TOÁN TỬ NGƯỢC CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chương này trình bày một điều kiện đủ để phương trình không thuần nhất hay có nghiệm duy nhất trong C1(Rn), với A C*(Mn) là hàm hầu tuần hoàn hay truy hồi. Nói cách khác là trình bày một điều kiện tồn tại toán tử ngược của toán tử L tương ứng từ C1(Rn) vào C( Rn) định bởi Trong trường hợp đó (Mukhamadiev [4]) sẽ tồn tại các tập : theo thứ tự là tập hợp các ma trận hàm giới hạn (theo nghĩa hội tụ đều trên từng khoảng hữu hạn của R) của tất cả các dãy ma trận hàm dạng {A(t + hk)}. Đặt H(A) = H+(A) H_(A) thì Cùng với (1) và L, xét các phương trình giới hạn thuần nhất Hay với ̃ là toán tử tương ứng từ C1( Rn) vào C( Rn) định bởi ̃ gọi là toán tử giới hạn tại vô cực xuất phát từ toán tử L Favard [5] đã khảo sát tính chất của nghiệm phương trình không thuần nhất với định lý sau đây: 9 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Định lý Favard [5]. Giả sử (i) Ma trận hàm A(t) hầu tuần hoàn, (ii) Tất cả các phương trình (2) không có nghiệm khác không bị chặn trên R. (iii) Phương trình không thuần nhất ̇ +A(t)x = f (3) có nghiệm x khác không bị chặn trên R với mỗi hàm f hầu tuần hoàn. Khi đó x sẽ hầu tuần hoàn. Định lý Favard được nhiều tác giả mở rộng theo nhiều hướng khác nhau, song Mukhamadiev.E đã phát hiện giả thiết "tồn tại nghiệm bị chặn của phương trình (3)" là thừa. Việc tiếp tục mở rộng lý thuyết Favard - Mukhamadiev đã đạt được những kết quả lý thú trong các công trình của Shubin M.A [8], Kurbatov V.G [9], Sljusartruc V.E [10], Trần Hữu Bổng [11] và các tác giả khác. Ở đây ta xét các kết quả của Mukhamadiev đối với toán tử (1). I Hàm liên tục đều bị chặn. Mệnh đề 2.1. Nếu f C*(Rn) thì tồn tại các tập : H+(f) và H_(f) theo thứ tự là tập hợp các hàm giới hạn (theo nghĩa hội tụ đều trên từng khoảng hữu hạn của R) của tất cả các dãy hàm dạng {f(t + hk)} Mệnh đề 2.2. Nếu g H(f) thì H(g) H(f). II Hàm đầu tuần hoàn 10 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Định nghĩa 2.1. Hàm f {f(t + hk)}, hk C(Rn) gọi là hầu tuần hoàn ( theo nghĩa Bochner ) nếu từ mọi dãy R có thể chọn ra một dãy con hội tụ đều trên R. Nói cách khác, hàm f là hầu tuần hoàn nếu họ các hàm {f(t + h)/t,h R} là tập compac trong C(Rn) theo nghĩa hội tụ đều. C ( M n ) gọi là hầu tuần hoàn nếu các phần tử Định nghĩa 2.2. Hàm ma trận F(t) = (fij(t))n fij, i,j = đều hầu tuần hoàn. Mệnh đề 2.3. Mọi hàm hầu tuần hoàn đều thuộc C*(Rn). III Hàm truy đồi Định nghĩa 2.3. (Millionshikov [7] Hàm f C*(Rn) gọi là truy hồi nếu : • f H(f) • Với mọi ̃ H(f), ta có H(f) = H( ̃) Định nghĩa 2,4. Hàm ma trận A C*(Mn) gọi là truy hồi nếu : • A H(A) • Với mọi à H(A), ta có H( ̃) = H(A) Mệnh đề 2.4. Mọi hàm hầu tuần hoàn đều là hàm truy hồi. Mệnh đề 2.5. Giả sử f C*(Rn) là hàm truy hồi. Khi đó các hàm ̃ H(f)cũng truy hồi. Chú ý rằng tính truy hồi của các hàm vectơ nói chung không suy ra được từ tính truy hồi của các thành phần của nó. Định nghĩa 2.5. Cho một họ hữu hạn các hàm 11 CẤU TRÚC PHỔ CỦA TOÁN TỬ VI PHÂN TUYẾN TÍNH Các h à m n à y gọi là cùng nhau truy hồi nếu h à m vectơ truy hồi. IV Các bổ đề Xét toán tử L với A C (Mn) và dãy các toán tử vi phân dạng (4) Bổ đề 2.1. Giả sử các toán tử Lk có các toán tử ngược bị chặn và thỏa điều kiện ⟶ ‖ k(t) –A ‖=0 đều trên từng khoảng hữu hạn. Khi đó với mọi f C(Rn), phương trình Lx = f có ít nhất một nghiệm X f C1(Rn). CHỨNG MINH Cho f C(Rn). Theo giả thiết, phương trình Có nghiệm Với mọi t R, mọi k N Vậy dãy hàm {xk} bị chặn đều. Vì xk thỏa đẳng thức 12