Tài liệu Toán tử tuyến tính trong không gia l2[a,b] và ứng dụng

Trêng ®¹i häc sƯ ph¹m hµ néi 2 Khoa to¸n ************* HOµNG THÞ DUY£N TO¸N Tö TUYÕN TÝNH TRONG KH¤NG GIAN L2[a,b] Vµ øng dông Kho¸ luËn tèt nghiÖp ®¹i häc Chuyªn ngµnh : Gi¶i tÝch Hµ NéI – 2013 1 LỜI CẢM ƠN Khóa luận với đề tài: “Toán tử tuyến tính trong không gian L2 [a,b] và ứng dụng” được thực hiện tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự động viên, khích lệ của các thầy cô, bạn bè và gia đình. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong khoa Toán đã đào tạo và trang bị cho em những kiến thức cơ bản giúp em thực hiện khóa luận này. Đồng thời, em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã động viên, khuyến khích, tạo mọi điều kiện để em có thể hoàn thành khóa luận thành công. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS Phùng Đức Thắng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa luận. Trong quá trình thực hiện khóa luận, em không tránh khỏi những thiếu xót, kính mong các thầy cô nhận xét và góp ý để bài nghiên cứu của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện Hoàng Thị Duyên 2 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những vấn đề tôi trình bày trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân tôi, được sự hướng dẫn tận tình của ThS Phùng Đức Thắng, không trùng với kết quả của các công trình nghiên cứu khác. Nếu sai xót tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm. Sinh viên thực hiện Hoàng Thị Duyên 3 MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................ 1 1. Lí do chọn đề tài ................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ........................................ 1 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ............................................ 2 4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................... 2 5. Cấu trúc khóa luận................................................................ 2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị ......................................................... 4 1.1. Tích vô hướng ................................................................... 4 1.2. Không gian Hilbert ............................................................ 5 1.3. Không gian L2 [a,b] ............................................................ 6 Chương 2. Toán tử tuyến tính trong không gian L2 [a,b] ................ 8 2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn ................................................. 8 2.2. Toán tử compact ................................................................ 12 2.3. Toán tử tự liên hợp ............................................................ 20 2.4. Toán tử compact tự liên hợp .............................................. 22 2.5. Toán tử dương ................................................................... 24 2.6. Toán tử chuẩn tắc .............................................................. 28 2.7. Toán tử Unita .................................................................... 29 Chương 3. Ứng dụng: Giải phương trình tích phân....................... 32 KẾT LUẬN ....................................................................................... 42 Tài liệu tham khảo............................................................................ 43 4 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Vào đầu thế kỉ này, nhiều nhà toán học đã dành thời gian của họ cố gắng sử dụng những ý tưởng và những kĩ thuật trừu tượng để giải quyết hầu hết những vấn đề thực tiễn. Lí do cho sự sử dụng trừu tượng này trở nên rõ ràng hơn khi tái cấu trúc toán tử trong 1 không gian Hilbert. Ví dụ như 1 toán tử được coi như là 1 điểm trong không gian thích hợp và 1 toán tử tích phân được xem như là 1 ánh xạ từ 1 điểm vào điểm khác. Khái niệm về 1 điểm dẫn đến việc hiểu về đối tượng đơn giản hơn so với đã tưởng tượng về nó. Với cách này chúng ta có thể hình dung ra những cấu trúc tổng quát và đạt được sự hiểu biết sâu sắc hơn về vấn đề phức tạp đã nói tới. Với mong muốn tìm hiểu sự trừu tượng hóa trong những vấn đề như: phương trình tích phân và giải tích hàm, em đã lựa chọn đề tài “Toán tử tuyến tính trong không gian L2 [a,b] và ứng dụng” để nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận sẽ chú ý vào 6 loại toán tử tuyến tính khác nhau trong không gian L2 [a,b] . Đó là các toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử compact, toán tử tự liên hợp, toán tử dương, toán tử chuẩn tắc và toán tử Unita. Sáu toán tử này có những tính chất rất đặc biệt. Mục đích của chúng ta là đưa ra nền tảng cho 6 loại toán tử khác nhau đã được đề cập ở trên. Để thực hiện điều này, khóa luận đưa ra những ví dụ cho mỗi loại toán tử với những kết quả nhất định từ những phương trình tích phân và giải tích hàm. Điều này cho phép chúng ta có động lực để tiếp tục nghiên cứu những toán tử này. Chúng ta bắt đầu bởi việc xem xét toán tử bị chặn, mà ở đó đặt ra cơ sở cho việc nghiên cứu những toán tử về sau. Toán tử tiếp theo được 5 kiểm tra là toán tử compact. Toán tử compact được trình bày với sự chi tiết vì nó rất hữu dụng. Chúng ta cũng chú ý đến những toán tử vừa compact và tự liên hợp. Sự kết hợp này trong 1 toán tử đưa cho chúng ta những định lí nói về những tính chất của những hàm riêng và giá trị riêng của toán tử. Tiếp theo khóa luận trình bày về toán tử dương, mà ở đó đưa ra kết quả quan trọng là định lí Mercer. Những toán tử chuẩn tắc có 1 tính chất tuyệt vời được đưa ra dưới dạng 1 định lí giúp chúng ta sử dụng lí thuyết của những toán tử tự liên hợp trên những toán tử chuẩn tắc. Kết thúc mục II là phần trình bày về toán tử Unita và chúng liên quan đến các toán tử khác như thế nào. Sau phần nội dung là việc trình bày về phương trình tích phân, bao gồm sự phân loại các phương trình tích phân và các định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là không gian L2  a, b và các tính chất của những toán tử trên không gian này cùng ứng dụng của nó ở phương trình tích phân. Phạm vi nghiên cứu là các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert. 4. Phương pháp nghiên cứu -Nghiên cứu sử dụng các lí luận, công cụ toán học. -Nghiên cứu sách tham khảo và các tài liệu liên quan. -Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá. 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương và có bố cục như sau: 6 Chương I. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Tích vô hướng 1.2. Không gian Hilbert 1.3. Không gian L2 [a,b] Chương II. Toán tử tuyến tính trong không gian L2 [a,b] 2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn 2.2. Toán tử compact 2.3. Toán tử tự liên hợp 2.4. Toán tử compact tự liên hợp 2.5. Toán tử dương 2.6. Toán tử chuẩn tắc 2.7. Toán tử Unita Chương III. Ứng dụng: Giải phương trình tích phân 7 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Tích vô hướng Định nghĩa 1.1. Cho không gian tuyến tính X trên trường P ( P là hoặc ). Gọi tích vô hướng trên không gian X là một ánh xạ từ tích Descartes X x X vào P, kí hiệu .,. thỏa mãn: i)  y, x   x, y x, y  X ii)  x  y, z   x, z   y, z x, y, z  X iii)  x, y    x, y x, y  X ,   P iv)  x, x  0 x  X  x, x  0  x   Định lý 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Với mỗi x  X đặt x   x, x Chứng minh rằng:  x, y  x y , x, y  X . Chứng minh Nếu x, y  0 thì bất đẳng thức trên đúng. Nếu x, y  0 thì    ta có 0  x   x, y y, x   x, y y  x, x   x, y y   x, y y, x   x, y y  x, x   x, y x, y   x, y y, x   2 x, y x, y 2  x  2 x, y 2   2 x, y 2 y y, y 2 Ta nhận được một tam thức bậc 2 đối với  không âm với   . 8 Do đó: x, y 4  x, y 2  x  X , x  x 2 2 y  0  x, y 2  x 2 2 y  0  x, y  x y x, x xác định một chuẩn trên X . Thật vậy x, x  0  x    P :  x  x, x  0; x  0  x, x  0  x  0  x,  x   x, x   x 2 2 x  y  x  y, x  y  x, x  y  y, x  y  x  x, y  x, y  y 2 2 2 2 2  x  2 x, y  y  x  2 x y  y  ( x  y )2 . Vậy x  y  x  y x, y  X 1.2. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tuyến tính trên hoặc được trang bị tích vô hướng, X được gọi là không gian Hilbert nếu mỗi dãy Cauchy trong X hội tụ đến một phần tử của X . Định nghĩa 1.3. Những phần tử x , y của không gian Hilbert là trực giao với nhau nếu x, y  0 , kí hiệu là x  y và là trực chuẩn nếu có thêm x  1, y  1 Định nghĩa 1.4. Một hệ trực chuẩn en , n  1, 2, 3... trong một không gian Hilbert X là đủ nếu phần tử duy nhất của X trực giao với tất cả en là vectơ 0. Định lí 1.2. Cho en , n  1, 2, 3... là một hệ trực chuẩn đủ trong không gian Hilbert X . Khi đó  x  X ta có  x   x, en en và n 1 2  x   x, en n 1 9 2 Định nghĩa 1.5. Cho A là một tập hợp những vectơ trong không gian Hilbert X .Khi đó Lin ( A) là giao của tất cả những không gian con của X mà chứa A và Clin( A) là bao đóng của Lin ( A) . Cách khác Lin ( A) là tập hợp tất cả những tổ hợp tuyến tính của những phần tử của A. Nếu A hữu hạn thì Clin ( A)  Lin ( A) . Định lí 1.3. Cho en , n  1, 2, 3... là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert X . Khi đó những phát biểu sau là tương đương i) en là đủ. ii) X  Clin e , n 1 n 2  iii) x  X , x   x, en 2 n 1 1.3. Không gian L2  a, b Định nghĩa 1.6. Không gian L2  a, b là tập hợp những hàm bình phương khả tích Lesbegue trên  a, b  , có giá trị thực hoặc phức và đo được Borel: b 2 f  t   L2  a, b    f  t  dt   a Không gian này được trang bị tích vô hướng b f , g   f  t  g  t dt a với chuẩn, metric tương ứng là b f   2 f  t  dt b d  f ,g  a  a  Kết luận: L2  a, b là một không gian Hilbert. 10 2 f  t   g  t  dt Định lí 1.4. (Bất đẳng thức Schwarz) Cho f , g  L2  a, b . Khi đó b fg  L2  a, b và  f  t  g  t  dt  f g . a Chứng minh   b b 2 b b 2 0    f   g  dt   f dt  2  fg dt   a a 2 a g 2 dt a b  f 2  2  fg dt   2 g 2 a Với g  0 , đặt    0 f 2 f . Khi đó g f 2 g b  b fg dt  f a 2   fg dt  f g . a 11 CHƯƠNG 2 TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN L2 [a,b] 2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 2.1. Cho X là không gian Hilbert trên trường vô hướng F . Một toán tử tuyến tính là một hàm K : X  X thỏa mãn điều kiện sau K  f   g    K  f    K  g  với f , g  X ;  ,   F . Định nghĩa 2.2. Một toán tử tuyến tính K trên không gian Hilbert X được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số M  0 sao cho Kf  M f (*), f  X . Số M  0 nhỏ nhất thỏa mãn (*) được gọi là chuẩn của K , kí hiệu là K . Định lí 2.1. Xét không gian L2  a, b ở đó  a , b  là một đoạn hữu hạn. Giả sử K  x, y  liên tục từ  a, b   a, b vào . Khi đó toán tử K được xác định bởi b ( Kf )( x)   K ( x, y ) f ( y )dy a là một toán tử tuyến tính bị chặn trên L2  a, b . Chứng minh Vì K  x, y  liên tục trên một tập compact nên nó phải bị chặn. Nếu K  x, y   M thì b b b ( Kf )( x)   K ( x, y ) f ( y )dy   K ( x, y ) f ( y ) dy  M  f ( y ) dy a a a 1 b 1  2 2  M (b  a) f ( y) dy   M (b  a) 2 f a   12 1 b 2 2  Kf    ( Kf )( x) dx   M (b  a) f a  Do đó K bị chặn và có K  M (b  a) . Ví dụ 2.1. Cho không gian L2 [0,1] và hạt nhân K  x, y   sin  xy  . Nếu b f  x   L2[0,1] thì ( Kf )( x)   sin( xy) f ( y)dy là toán tử tuyến tính bị a chặn. Chứng minh Vì hạt nhân K  x, y   sin  xy  liên tục nên theo định lí 2.1 suy ra K là toán tử tuyến tính bị chặn. Ví dụ 2.2. Giả sử a, b và a  b . Xét không gian vectơ định chuẩn của L2  a, b tất cả những hàm giá trị phức đo được Lesbegue và bình phương khả tích trên  a, b  với chuẩn b f   f t  2 dt a Cho   C  a, b đã chọn và cố định, xét một ánh xạ T : L2  a, b  L2  a, b ở đó với mọi f  L2  a, b , hàm T  f   L2  a, b được xác định bởi: T  f    t     t  f  t  với t   a, b  Không khó để kiểm tra rằng T : L2  a, b  L2  a, b là một toán tử tuyến tính. Hơn nữa với f  L2  a, b , ta có b 2 2 T ( f )    (t ) f (t ) dt a 13     sup  (t )   t[a ,b ]      sup  (t )   t[a ,b ]  Dẫn đến T : L2  a, b  L2  a, b 2 b 2 f (t ) dt  a 2 f 2 bị chặn vì T( f )  M f với f  L2  a, b . Ở đó M  sup  (t )   t[a ,b ]  (Chuẩn cận trên đúng của  trong C  a, b ). Ví dụ 2.3. Giả sử a, b, c, d  với a  b  c  d . Xét 2 không gian vectơ định chuẩn L2  a, b và L2  c, d  với 2 chuẩn tương ứng 1 1 b 2 d 2 2 2 f    f (t ) dt  và h    h(s ) ds  a  c  Cho  :  c, d    a, b   là một hàm liên tục vô định và xét một ánh xạ : T : L2  a, b  L2  c, d  ở đó với f  L2  a, b , hàm T  f   L2  c, d  b (T ( f ))( s )    ( s, t ) f (t )dt với s c, d  a Không khó để kiểm tra rằng T : L2  a, b   L2  c, d  là một phép biến đổi tuyến tính. Hơn nữa với f  L2  a, b và s   c, d  , áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được b  b  b  2 2 2 (T ( f ))( s )     ( s, t ) dt   f (t ) dt      ( s, t ) dt  f a  a  a  2 Do đó d d b  2 2 2 T ( f )   (T ( f )( s ) ds     ( s, t ) dtds  f c ca  14 2 Dẫn đến T : L2  a, b  L2  c, d  bị chặn vì T( f )  M f với  f  L2 [a,b] , ở đó 1 2 d b   2 M     (s, t ) dtds  . c a  Ví dụ 2.4. Giả sử K :  a, b   a, b  là 1 hàm đo được và có hằng số A và B sao cho b i) x   a, b  thì  K  x, t  dt A a b ii) t   a, b  thì  K  x, t  dx B a Khi đó toán tử tích phân sinh ra từ K được cho bởi b  K  x    K  x, t   t  dt a 1 là 1 toán tử bị chặn từ L2  a, b vào chính nó và K   AB  2 Chứng minh Đây chỉ là vấn đề sử dụng khéo léo bất đẳng thức Schwarz. Ta chú ý rằng 1 1    K  x , t   t    K  x , t  2   K  x , t  2   t      Bây giờ áp dụng bất đẳng thức Schwarz đối với tích ở vế phải. Với x  a, b ,   L2  a, b ta có  K   x  2 2 b   K  x, t   t  dt a 15 b     K  x, t   t  dt  a  2 b  b  2    K  x, t  dt   K  x, t    t  dt  a  a  b 2  A K  x, t    t  dt a Do đó b K 2 2    K  x  dx a b b  2  A   K  x, t    t  dt dx aa  b b  2  A   K  x, t    t  dx dt aa  b 2  A B   t  dt  AB  2 a Do đó 1   L2  a, b  : K    AB  2  2.2. Toán tử compact Định nghĩa 2.3. Cho K là 1 toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert X và  fn  là một dãy bị chặn vô hạn trong X . Nghĩa là tồn tại M sao cho fn  M với  n . K được gọi là toán tử compact nếu từ dãy  Kf n  có thể lấy ra 1 dãy     con Kfnk là một dãy Cauchy. Dãy Kfnk cũng hội tụ vì X là không gian Hilbert. 16 Định nghĩa 2.4. Giả sử K  x, y  là một hạt nhân được xác định trên hình vuông  a, b   c, d  và có hữu hạn các hàm a1 ,..., a n , b1 ,..., bn sao cho n K ( x, y )   ai ( x )bi ( y ), ( a  x, y  b) i 1 Trong trường hợp này hạt nhân K được gọi là suy biến. Định lí 2.2. Cho X là L2  a, b , K là một toán tử tích phân suy biến được xác định bởi m b ( Kf )( x )   ai ( x )  bi ( y ) f ( y ) dy i 1 a Khi đó K là một toán tử compact nếu ai  x  và bi  y  thuộc L2  a, b với i  1; m . Chứng minh Xét một dãy bị chặn của những hàm  fn  và m b ( Kf n )( x )   ai ( x )  bi ( y ) f n ( y ) dy i 1 a Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có b  b ( y) f ( y)dy  i n bi f n  M bi a b  Nên dãy   bi ( y ) f n ( y )dy  là một dãy bị chặn của những số phức. Do đó a  nó phải có 1 điểm hội tụ và có 1 dãy con hội tụ đến điểm đó. Cho f  1 n  b  là một dãy con của  f n sao cho   b1 ( y ) f n1 ( y ) dy  hội a  tụ đến số phức c1 . 17 Cũng lập luận tương tự, chúng ta có thể cũng lấy ra một dãy con f  2 n  f  của 1 n  b  sao cho   b2 ( y ) f n 2 ( y )dy  hội tụ đến c2 . Bằng việc a  lấy ra những dãy con liên tiếp, cuối cùng chúng ta được  f  với tính m n  b chất lim n( m )    b ( y) f i m n  ( y ) dy  ci , i  1, 2,..., m . a Từ đó chúng ta có dây chuyền bao hàm sau  f n    f n     f n    .....   f n   1 2 m Giới hạn trên tồn tại với mọi i.   Ta chú ý rằng dãy Kf n m  là một dãy con của Kf n  và cũng là một dãy Cauchy. m Thực ra (lim Kf n m  ( x )   ci ai ( x ) m) n  i 1 Nên K là một toán tử compact. Định lí 2.3. Cho K ( x, y) liên tục trên  a, b   a, b vào . Khi đó toán tử tích phân 1 ( Kf )( x )   K ( x , y ) f ( y ) dy 0 là một toán tử compact trên L2 [0,1] . Chứng minh Vì K ( x, y) liên tục nên nó bị chặn, do đó  M  0 sao cho K ( x, y)  M . Toán tử trên rõ ràng là bị chặn theo định lí 2.1: Kf  M f . Bây giờ, ta lấy 1 dãy bị chặn  f n  x  sao cho fn  1. 18 Xét họ những hàm  g n  x  , ở đó g n  Kf n . Ta sẽ chỉ ra rằng có một dãy con hội tụ  g n  x  hội tụ đến một hàm trong L2  0;1 . Để thực hiện điều này, chúng ta chọn một tập hợp trù mật đếm được của những điểm trên đoạn [0,1]. Những số hữu tỉ có thể chấp nhận được. Chúng ta kí hiệu là rk  . Bây giờ chúng ta xét dãy  g n  r1  . Từ những tính chất của K ( x, y) và  f n  x  suy ra g n ( x)  M f n  M Đặc biệt chúng ta có g n (r1 )  M sao cho dãy  g n  r1  có một điểm hội tụ trong đoạn   M ; M  .   theo chúng ta xét dãy những hàm  g  x  , tại x  r Chúng ta kiểm tra  g  r  hội tụ đến b . Bây giờ chúng ta có thể chọn một dãy con g n 1  r1  hội tụ đến b1 . Tiếp 1 n  2 n  2 1 nó hội đến b1 . 2 Chúng ta lặp lại quá trình này tại tất cả các số hữu tỉ. Cuối cùng xét   họ những hàm g n  n   x  . Dãy này hội tụ tại tất cả các số hữu tỉ.   Để thuận tiện chúng ta coi dãy g n  n   x  là dãy  g n  x  và có lim g n (rk )  g ( rk ) n sao cho g  x  chỉ được xác định cho những giá trị hữu tỉ của x . Chúng ta có thể chỉ ra rằng trên những số hữu tỉ g  x  liên tục. Cho x1 và x2 là 2 số hữu tỉ. 19 Khi đó: g ( x1 )  g ( x2 )  lim gn ( x1 )  gn ( x2 ) n 1  lim   K ( x1 , y )  K ( x2 , y )  f n ( y ) dy n  0 1 1 2 2  lim   K ( x1, y)  K ( x2 , y ) dy  f n n 0  1 1 2 2    K ( x1 , y )  K ( x2 , y ) dy  0  Bây giờ chúng ta có thể xác định g  x  với  0  x  1 . Cho x là bất kì và  xk  là một dãy những số hữu tỉ sao cho lim xk  x . k  Khi đó g ( x)  lim g ( xk ) k  Giả sử  xk  là dãy những số hữu tỉ thứ 2 hội tụ đến x và giả sử lim g ( xk )  g ( x) . k  Khi đó g ( x)  g ( x)  g ( x)  g ( xk )  g ( xk )  g ( xk )  g ( xk )  g ( x) Bây giờ cho k  k ò  thì 2 số hạng thứ nhất và thứ ba bên phải nhỏ hơn ò . Vì g  x  liên tục trên những số hữu tỉ nên số hạng ở giữa cũng nhỏ hơn ò và dẫn đến g( x)  g ( x) , suy ra g  x  được xác định tốt như một hàm liên tục với x   0;1 . Mà g  x  liên tục trên một tập compact 20