Tài liệu Toán tử toeplitz

LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tình hướng dẫn để tác giả có thể hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, cùng các thầy giáo, cô giáo phòng sau đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Xin cảm ơn các bạn học viên lớp K13 Toán Giải tích đã giúp đỡ và có những đóng góp quý báu cho bản luận văn này. Hà Nội, ngày 25 tháng 6 năm 2011 Tác giả Đào Thị Hoàng Giang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 25 tháng 6 năm 2011 Tác giả Đào Thị Hoàng Giang Mục lục Mở đầu 1 1 3 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . . . 3 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Tôpô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.5 Không gian Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.6 Đại số Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Các toán tử trong không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Toán tử liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Toán tử compact và toán tử Fredholm . . . . . 20 2 Các toán tử Toeplitz 23 2.1 C ∗ -đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Không gian Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Các toán tử Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 iii iv 2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.2 Định lý bao hàm phổ . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.3 Phổ của toán tử liên hợp và của toán tử giải tích 38 2.3.4 Tính khả nghịch của toán tử Toeplitz với biểu trưng liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.5 Tính liên thông của phổ thực sự . . . . . . . . . 44 2.3.6 Địa phương hóa cho tâm của C* -đại số . . . . 51 2.3.7 Tính địa phương Fredhom cho toán tử Toeplitz 54 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 BẢNG KÝ HIỆU R Tập số thực C Tập số phức Z Tập số nguyên C(X) Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên X T = {z ∈ C : |z| = 1} Đường tròn đơn vị trong tập số phức D = {z ∈ C : |z| < 1} Hình tròn đơn vị mở trong tập số phức clos(A) Bao đóng của tập A kerT Nhân của toán tử T ranT Hạng của toán tử T LF (H) Tập các toán tử hạng hữu hạn trong H LC(H) Tập các toán tử compact trong H σ(f ) Phổ của f ρ(f ) Tập các giá trị chính quy của f X∗ Không gian liên hợp của X (X)1 Hình cầu đơn vị trong X L(X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y L(X) Không gian các toán tử tuyến tính từ X vào X Lp Không gian Lebesgue Hp Không gian Hardy P+ Tập các đa thức lượng giác xác định trên C MB Tập các hàm tuyến tính nhân tính trong B Tϕ Toán tử Toeplitz 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết toán tử là một lĩnh vực phong phú của toán học. Nó được coi như là sự thúc đẩy hay động lực cho sự phát triển của một số lĩnh vực khác của toán. Chẳng hạn, sự nghiên cứu phương trình tích phân ở cuối thế kỉ trước đã được đưa về mô hình của lý thuyết toán tử. Không chỉ thế, hiện nay, việc nghiên cứu các toán tử đã xuất hiện ở nhiều nhánh khác nhau của vật lý và cơ học. Hơn nữa, việc cho ra đời của một số tài liệu chuyên khảo và những nghiên cứu gần đây đã chứng tỏ sức sống và quy mô của lĩnh vực toán học này. Trong lý thuyết toán tử, lớp toán tử Toeplitz đóng một vai trò khá quan trọng. Người đầu tiên nghiên cứu về lớp này những năm đầu thế kỉ XX chính là Toeplitz. Kể từ đó, nó đã nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học và theo đó, một loạt kết quả thú vị và quan trọng đã được phát hiện. Cho dù vậy, vẫn còn nhiều điều về lớp toán tử này cần được nghiên cứu thêm. Nhiều ứng dụng của lớp toán tử này trong những lĩnh vực khác nhau của toán học dẫn tới dự đoán rằng chúng sẽ ngày càng có một vị trí quan trọng hơn. Cùng với mong muốn hiểu biết sâu hơn về vấn đề này, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: "CÁC TOÁN TỬ TOEPLITZ" 2 Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương: Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm và khái niệm liên quan tới lý thuyết về toán tử ở chương sau. Chương 2 của luận văn tập trung trình bày và xây dựng lý thuyết toán tử Toeplitz, từ những định nghĩa đầu tiên cho tới những định lí điển hình về toán tử này. 2. Mục đích nghiên cứu Có một góc nhìn tương đối đầy đủ về lý thuyết toán tử Toeplitz. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ những nội dung cần thể hiện. Qua đó, thấy được lợi ích và tính hữu dụng của lớp toán tử này. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu phương lý thuyết toán tử Toeplitz. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, suy luận logic, phân tích tổng hợp. 6. Dự kiến đóng góp mới Trình bày một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản về lý thuyết toán tử Toeplitz. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương 1 trình bày những kiến thức cơ sở của giải tích hàm để chuẩn bị cho nội dung chương sau. Trong chương này ta sẽ khảo sát về các khái niệm trong các không gian metric, không gian định chuẩn và không gian Hilbert. Thêm vào đó ta sẽ đề cập đến khái niệm đại số Banach và đặc biệt dành một phần cho việc phân loại các toán tử trong không gian Banach và không gian Hilbert. 1.1 1.1.1 Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm Không gian metric Cho X là một tập tùy ý khác rỗng. Định nghĩa 1.1. Một metric trong X là một ánh xạ d:X ×X →R của tích X × X vào đường thẳng thực R, thỏa mãn các điều kiện sau đây: 3 4 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; 2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y; 3) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X; 4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X. Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp ấy. Các phần tử của một không gian metric được gọi điểm của không gian ấy; số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y. Định nghĩa 1.2. Một dãy điểm (xn ), n = 1, 2, ... trong không gian metric X gọi là hội tụ đến điểm a ∈ X nếu lim d(a, xn ) = 0. n→∞ Khi đó, ta kí hiệu lim xn = a hoặc xn → a, khi n → ∞. n→∞ Định nghĩa 1.3. Dãy điểm (xn ) được gọi là dãy cơ bản trong không gian metric X nếu với mọi ε > 0 cho trước , đều tồn tại một số n0 sao cho với mọi n ≥ n0 và m ≥ n0 ta đều có d(xn , xm ) < ε. 5 Nói cách khác, ta có lim d(xn , xm ) = 0. n,m→∞ Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản. Định nghĩa 1.4. Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X. 1.1.2 Không gian định chuẩn Cho X là một không gian vectơ trên trường số phức C . Định nghĩa 1.5. Một chuẩn, kí hiệu || · ||, trong X là một ánh xạ đi từ X vào R thỏa mãn các điều kiện: 1) ||x|| ≥ 0 với mọi x ∈ X ; 2) ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không); 3) ||λx|| = |λ|||x|| với mọi số λ ∈ C và mọi x ∈ X; 4) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với mọi x, y ∈ X. Số ||x|| được gọi là chuẩn ( hay độ dài) của vectơ x ∈ X. Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian định chuẩn. Mệnh đề 1.1. Giả sử X là một không gian định chuẩn. Với mọi x, y ∈ X, đặt d(x, y) = ||x − y|| 6 Khi đó, d là một metric trên X. Định nghĩa 1.6. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x0 ∈ X nếu limn→∞ ||xn − x0 || = 0. Khi đó, ta kí hiệu lim xn = x0 hoặc xn → x0 , khi n → ∞. n→∞ Định nghĩa 1.7. Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơ bản, hay dãy Cauchy, nếu lim ||xm − xn || = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.8. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian metric đầy đủ (với khoảng cách d(x, y) = ||x − y||). Khi đó X được gọi là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach. Định nghĩa 1.9. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường C. Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu A thỏa mãn: 1) A(x + y) = Ax + Ay 2) A(αx) = αAx ∀x, y ∈ X; ∀x ∈ X, α ∈ C. A cũng được gọi là toán tử tuyến tính. Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1) thì A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A được gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y = C thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến tính. 7 Định nghĩa 1.10. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian X vào không gian Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số C ≥ 0 sao cho: ||Ax|| ≤ C||x||∀x ∈ X. Mệnh đề 1.2. Giả sử toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: 1) A bị chặn; 2) A liên tục; 3) A liên tục tại 0. Định nghĩa 1.11. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Kí hiệu L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y . Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán: • Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu A + B, xác định bởi biểu thức (A + B)(x) = Ax + Bx, với mọi x ∈ X; • Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là toán tử, kí hiệu αA, được xác định bởi biểu thức (αA)(x) = α(Ax). 8 Dễ kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành một không gian tuyến tính trên trường C. Trong trường hợp Y = C, thì L(X, C) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu X ∗ . Nếu Y = X thì L(X, Y ) được kí hiệu gọn lại là L(X) Với mỗi A ∈ L(X, Y ), đặt ||A|| = sup x6=0 ||Ax|| . ||x|| Ta có || · || xác định như trên là một chuẩn trong L(X, Y ). Như thế, không gian L(X, Y ) với chuẩn vừa nêu trở thành một không gian định chuẩn. Mệnh đề 1.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là không gian Banach. Từ định lý trên suy ra X ∗ luôn là không gian Banach. Định lý 1.1. (Hahn − Banach) Cho M là một không gian con của không gian Banach X. Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên M , thì tồn tại phiếm hàm tuyến tính bị chặn F trên X sao cho F (x) = f (x) với mọi x ∈ M và ||F || = ||f ||. Mệnh đề 1.4. Nếu A là một toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ 1-1 từ không gian Banach X lên không gian Banach Y , thì toán tử ngược A−1 cũng tuyến tính bị chặn. 9 Định nghĩa 1.12. Ánh xạ A ánh xạ không gian metric X vào không gian metric Y được gọi là mở nếu qua A, ảnh của mỗi tập mở trong X là tập mở trong Y . Định lý 1.2. (Định lý ánh xạ mở) Nếu A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y , thì A là ánh xạ mở. 1.1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.13. Cho không gian tuyến tính X trên trường C . Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường C, kí hiệu (·, ·), thỏa mãn các tiên đề: 1) (y, x) = (x, y) với mọi x, y ∈ X ; 2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) với mọi x, y, z ∈ X; 3) (αx, y) = α(x, y) với mọi số α ∈ C và mọi x, y ∈ X; 4) (x, x) > 0 với mọi x ∈ X, x 6= θ (θ là kí hiệu phần tử không) ; 5) (x, x) = 0, nếu x = θ. Các phần tử x, y, z, ... gọi là các nhân tử của tích vô hướng. Số (x, y) gọi là các tích vô hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề 1), 2), 3), 4), 5) gọi là hệ tiên đề tích vô hướng. Định nghĩa 1.14. Không gian tuyến tính X trên trường C cùng với một tích vô hướng trên X được gọi là không gian tiền Hilbert. 10 Định lý 1.3. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) Cho X là một không p gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ X, ta đặt ||x|| = (x, x). Khi đó, ta có bất đẳng thức sau |(x, y)| ≤ ||x||.||y||, ∀x, y ∈ X. Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau. Mệnh đề 1.5. Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định p chuẩn, với chuẩn ||x|| = (x, x). Định nghĩa 1.15. Hai vectơ x và y trong không gian tiền Hilbert được gọi là trực giao, kí hiệu x ⊥ y, nếu (x, y) = 0. Mệnh đề 1.6. (Pythagore) Giả sử các vectơ x1 , x2 , . . . xn trực giao từng đôi một trong không gian tiền Hilbert H. Thế thì || n X i=1 2 xi || = n X ||xi ||2 . i=1 Định nghĩa 1.16. Ta gọi không gian Hilbert H là không gian tuyến tính H trên trường C thỏa mãn các điều kiện: 1) H là không gian tiền Hilbert; p 2) H là không gian Banach với chuẩn ||x|| = (x, x) với x ∈ X. Định nghĩa 1.17. Giả sử M là một tập con của không gian Hilbert H. Ta gọi phần bù của M , kí hiệu M ⊥ , là tập tất cả những vectơ của H trực giao với mọi phần tử của M . Rõ ràng M ⊥ là một không gian con đóng của M . 11 Định lý 1.4. (Định lý hình chiếu) Giả sử M là một không gian con đóng của không gian Hilbert H. Khi đó, với bất kì vectơ x ∈ H, tồn tại duy nhất các vectơ y ∈ M và z ∈ M ⊥ sao cho x = y + z. Vectơ y được gọi là hình chiếu của vectơ x lên không gian con M . Định lý 1.5. (Định lý biểu diễn Riesz) Giả sử f là phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên không gian H. Thế thì, tồn tại duy nhất phần tử a ∈ H sao cho f (x) = (x, a) với mọi x ∈ H. Định nghĩa 1.18. Hệ vectơ (en )n≥1 trong không gian Hilbert H được gọi là trực chuẩn nếu (en , em ) =   1, n=m  0, n 6= m. Nếu không tồn tại một vectơ khác không nào của H trực giao với tất cả các phần tử của hệ trên, thì hệ trực chuẩn (en )n≥1 được gọi là cơ sở trực chuẩn của không gian Hilbert H. Mệnh đề 1.7. (Bất đẳng thức Bessel) Giả sử hệ vectơ (en )n≥1 là trực chuẩn trong không gian Hilbert H. Với mọi x ∈ H, ta luôn có bất đẳng thức sau ∞ X |(x, en )|2 ≤ ||x||2 . n=1 Đẳng thức trong bất đẳng thức trên xảy ra khi (en )n≥1 là cơ sở trực chuẩn. Và nó được gọi là đẳng thức Parseval. 12 1.1.4 Tôpô yếu Giả sử X là một tập hợp, Y là không gian tôpô và F là họ các hàm ánh xạ X vào Y . Tôpô yếu trên X cảm sinh bởi F là tôpô yếu nhất T trên X sao cho mỗi hàm trong F đều liên tục. Định nghĩa 1.19. [8, Definition 1.18] Với mỗi f thuộc không gian định chuẩn X, kí hiệu fˆ là hàm xác định trên không gian liên hợp X ∗ xác định bởi fˆ(ϕ) = ϕ(f ) với mọi ϕ ∈ X ∗ . Không gian tôpô-yếu∗ trên X ∗ là tôpô yếu trên X ∗ cảm sinh bởi họ các hàm {fˆ : f ∈ X}. Định nghĩa 1.20. [8, Definition 1.22] Hình cầu đơn vị trong không gian định chuẩn X là tập hợp {f ∈ X : ||f || ≤ 1} và được kí hiệu bởi (X)1 . Định lý 1.6. [8, Theorem 1.23] Hình cầu đơn vị (X)∗1 của không gian liên hợp của không gian Banach là compact trong không gian tôpô-yếu∗ . 1.1.5 Không gian Lebesgue Cho µ là một độ đo xác suất trên σ−đại số S những tập con của X. Gọi L1 là không gian tuyến tính những hàm giá trị phức khả tích trên X với phép cộng theo từng điểm và phép nhân vô hướng, và gọi N là không gian của các hàm không. Khi đó, một hàm đo được f trên X là R R thuộc L1 nếu X |f |dµ < ∞ và thuộc N nếu X |f |dµ = 0. Ta đặt L1 R là không gian định chuẩn thương L1 /N với chuẩn ||[f ]||1 = X |f |dµ. Ta cũng có L1 là không gian Banach. Với 1 < p < ∞ gọi Lp là tập tất cả các hàm trong L1 sao cho R X |f |p dµ < ∞ và đặt N p = N ∩ Lp . Thế thì Lp là không gian tuyến 13 tính con của L1 và không gian thương Lp = Lp /N p là không gian Banach với chuẩn Z ||[f ]||p = |f |p dµ
1/p . X Cuối cùng gọi L∞ là không gian con của L1 bao gồm những hàm f sao cho {x ∈ X : |f (x)| > M } có độ đo không với M đủ lớn. Kí hiệu ||[f ]||∞ là giá trị M nhỏ nhất trong số đó. Đặt N ∞ = N ∩ L∞ . Thế thì || ||∞ là một chuẩn của không gian thương L∞ = L∞ /N ∞ . Hơn nữa, với chuẩn đó L∞ là không gian Banach. Dù những phần tử của Lp thực ra là các lớp tương đương, ta vẫn coi chúng như những hàm số. Vì vậy khi ta viết f thuộc Lp thì có nghĩa là f thuộc Lp và f kí hiệu cho lớp tương đương trong Lp bao hàm f . Lp cũng được kí hiệu là Lp (X) hay Lp (µ) tùy theo đối tượng muốn nhấn manh là tập nền X hay độ đo µ. Với ϕ ∈ L∞ , kí hiệu ϕ̂ là hàm tuyến tính xác định bởi Z ϕ̂(f ) = f ϕdµ∀f ∈ L1 . X Định lý 1.7. [8, Theorem 1.45] Ánh xạ ϕ → ϕ̂ là một đẳng cấu đẳng cự của L∞ lên (L1 )∗ . 1.1.6 Đại số Banach Định nghĩa 1.21. Một đại số Banach B là một đại số trên trường C (với phần tử đơn vị trong B là 1) sao cho có một chuẩn biến B trở thành không gian Banach. Hơn nữa, chuẩn phải thỏa mãn các điều kiện ||1|| = 1 và ||f g|| ≤ ||f |||g||| với mọi f, g ∈ B. 14 Ví dụ 1.1. Cho X là không gian Hausdorff compact và kí hiệu C(X) là tập hợp tất cả các hàm giá trị phức liên tục trên X. Với f1 , f2 ∈ C(X) và λ ∈ C, ta định nghĩa: 1) (f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x) ; 2) (λf1 )(x) = λf1 (x); 3) (f1 f2 )(x) = f1 (x)f2 (x). Cùng các phép toán này, C(X) là một đại số có phần tử đơn vị trên trường C. Bởi mỗi f ∈ C(X) đều bị chặn trên X nên ta định nghĩa được ||f ||∞ = sup{|f (x)| : x ∈ X}. Ta có các tính chất sau: 1) ||f ||∞ = 0 ⇔ f = 0 ; 2) ||λf ||∞ = |λ|||f ||∞ ; 3) ||f + g||∞ ≤ ||f ||∞ + ||g||∞ ; 4) ||f g||∞ ≤ ||f ||∞ ||g||∞ . Ba tính chất đầu chứng tỏ || · || là chuẩn trong C(X). Từ tính chất cuối cùng suy ra rằng C(X) là một đại số Banach. Mệnh đề 1.8. [8, Proposition 2.5] Giả sử f là một phần tử trong đại số Banach B thỏa mãn ||1 − f || < 1. Thế thì, f khả nghịch và ||f −1 || ≤ 1 . 1 − ||1 − f || 15 Định nghĩa 1.22. [8, Definition 2.11] Giả sử B là một đại số. Ánh xạ mũ trong B, kí hiệu bởi exp, được định nghĩa như sau ∞ X 1 n exp f = f . n! n=0 Mệnh đề 1.9. [8, Proposition 2.12] Giả sử B là một đại số và f, g là các phần tử trong B giao hoán được với nhau. Thế thì exp(f + g) = exp f exp g. Định nghĩa 1.23. [8, Definition 2.21] Cho B là một đại số Banach. Một phiếm hàm tuyến tính phức ϕ trên B được gọi nhân tính nếu 1) ϕ(f g) = ϕ(f )ϕ(g), ∀f, g ∈ B; 2) ϕ(f ) = 1. Kí hiệu M = MB là tập các phiếm hàm nhân tính trên B. Mệnh đề 1.10. [8, Proposition 2.22] Giả sử ϕ là một phiếm hàm nhân tính trên không gian đại số Banach B. Thế thì, ||ϕ|| = 1. Mệnh đề 1.11. [8, Proposition 2.23] Giả sử B là đại số Banach. Khi đó, M là tập compact-yếu∗ của B∗1 . Như vậy M là không gian compact Hausdorff ứng với topo-yếu*. Với mỗi f ∈ B, kí hiệu fˆ : B∗1 → C là hàm định nghĩa bởi fˆ(ϕ) = ϕ(f ). Định nghĩa 1.24. [8, Definition 2.24] Trong đại số Banach B, biến đổi Gelfand là hàm Γ : B → C(M ) cho bởi Γ(f ) = fˆ|M , tức là, Γ(f )(ϕ) = ϕ(f ) với mọi ϕ ∈ M .