Tài liệu Toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều

i LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Trong suốt quá trình thực hiện luận văn Thầy đã truyền đạt cho bản thân tôi những kiến thức quý báu và luôn động viên, hướng dẫn tận tình để tôi hoàn thành công việc. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Trường Đại học Sao Đỏ, Khoa Khoa học Cơ bản và đồng nghiệp và đặc biệt gia đình, người thân những người đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả an tâm học tập và bảo vệ thành công luận văn này! Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Tác giả ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2011 Tác giả Mục lục Mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Tích phân trong không gian nhiều chiều . . . . . . . . . 5 1.1.1 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Tích phân mặt loại hai . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Tích phân giá trị chính . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (En ) . 14 1.3.2 Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 (En ) . 23 2 Toán tử tích phân kỳ dị và các tính chất 2.1 26 Định nghĩa toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Biến đổi Hilbert và kết quả . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Toán tử tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2 Toán tử tích phân kỳ dị với nhân lẻ . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Toán tử tích phân kỳ dị với nhân chẵn . . . . . . . . . . 40 3 Một số ứng dụng của toán tử tích phân kỳ dị 46 3.1 Sự tồn tại vết của hàm vecto trên mặt phẳng . . . . . . 47 3.2 Bất đẳng thức trên biên của hàm điều hòa . . . . . . . . 50 iii 1 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị là một bộ phận của Giải tích điều hòa, là khởi đầu của lý thuyết toán tử giả vi phân và một số phương pháp hiện đại trong Giải tích và Phương trình đạo hàm riêng. Lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị đã xuất hiện hơn một thế kỷ qua. Ban đầu lý thuyết này mới chỉ để cập trong các bài toán một chiều đơn giản. Đến những thập niên 50 và 60 của thế kỷ XX thì sự phát triển của lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị đã mở rộng hơn trong các không gian nhiều chiều. Trong lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng và Lý thuyết hàm, toán tử tích phân kỳ dị đóng một vai trò quan trọng. Nó cho phép mô tả nghịch đảo của các toán tử vi phân đạo hàm riêng tuyến tính loại elliptic với hệ số hằng và giúp mô tả nhiều tính chất định tính của các không gian hàm số khác nhau. Hơn nữa trong các bài toán của cơ học đàn hồi và của lý thuyết thế vị, một số các đại lượng cần tính toán được biểu diễn dưới dạng toán tử tích phân kỳ dị, do đó có thể được xác định một cách hữu hiệu hơn. Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nghiên cứu các tính chất của chúng để làm rõ vai trò của lý thuyết này. Trên đây là những lý do để chúng tôi tiến hành nghiên cứu đề tài: "Toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều " 2 3 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại khái niệm, tính chất của toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều. Chỉ ra mối liên hệ giữa toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều với lý thuyết giả vi phân. Đưa ra các ứng dụng của toán tử tích phân kỳ dị vào các bài toán hàm điều hòa. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Với mục đích đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu chính của luận văn là: Mô tả các khái niệm và tính chất của tích phân kỳ dị và phương trình tích phân kỳ dị cũng như các ứng dụng của chúng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Một số lý thuyết về toán tử tích phân kỳ dị, các không gian hàm liên quan và ứng dụng vào phương trình tích phân. Phạm vi: Nghiên cứu lý thuyết và xây dựng các ứng dụng trên cơ sở các tài liệu chuyên khảo. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận văn chủ yếu dùng các phương pháp nghiên cứu truyền thống của Giải tích hàm: Phân tích, tổng hợp kiến thức. Xuất phát từ toán tử Hilbert trong trường hợp một chiều, luận văn sẽ đưa vào toán tử tích phân kỳ dị nhiều chiều và nghiên cứu các tính chất của chúng. Việc ứng dụng sẽ được mở rộng từ lớp các hàm liên hợp điều hòa và các phương trình tích phân kỳ dị. Ngoài ra luận văn còn nghiên cứu trên các tài liệu liên quan: Giáo trình, tạp chí,... 4 6. Giả thuyết khoa học Luận văn được trình bày một cách có hệ thống và khoa học các vấn đề về toán tử tích phân kỳ dị và các ứng dụng của tích phân kỳ dị về sự tồn tại vết của hàm vecto trên mặt phẳng và bất đẳng thức giữa các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến trên biên của gradient hàm điều hòa. Đây sẽ là một đóng góp quan trọng về lý thuyết để giải quyết triệt để các vấn đề về toán tử tích phân kỳ dị và phương trình tích phân kỳ dị trên các không gian nhiều chiều khác. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Tích phân trong không gian nhiều chiều Tích phân suy rộng Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f là hàm xác định trên Rn và f khả tích trên mọi tập bị chặn. Nếu tồn tại Z Z f (x)dx = lim R→∞ Rn f (x)dx |x|≤R thì ta gọi giới hạn trên là tích phân suy rộng loại 1 của hàm n biến. Tích phân I = R Rn f (x)dx được gọi là hội tụ nếu giới hạn là tồn tại và I là hữu hạn. Ngược lại ta nói tích phân là phân kì. Ví dụ 1.1.1. Trong R1 xét tích phân Z +∞ dx xα 1 với α ∈ R. Trường hợp 1) α = 1 thì với mọi b ∈ R ta có: Z 1 b dx = lnb x 5 6 và lnb → +∞ khi b → +∞. Do đó Z +∞ dx = +∞ x 1 hay tích phân đã cho phân kì. Trường hợp 2) α 6= 1. Khi đó với mọi b > 1, ta có: Z 1 b x1−α b b1−α 1 dx = |1 = − x 1−α 1−α 1−α . Khi đó: +Với α < 1 thì b Z lim b→+∞ do đó R +∞ 1 dx xα 1 dx = +∞ xα = +∞ và tích phân đã cho phân kì. +Với α > 1 thì b Z lim b→+∞ 1 dx 1 = xα α−1 Như vậy ta có kết luận: Tích phân Z 1 +∞ dx xα với α ∈ R sẽ hội tụ nếu α > 1 và phân kì nếu α ≤ 1. Ví dụ 1.1.2. Trong trường hợp tổng quát thì tích phân Z dx m Rn (1 + |x|) sẽ hội tụ nếu m > n và phân kì nếu m ≤ n 7 Định lí 1.1.3. Ta có các khẳng định sau: R R a) Nếu các tích phân suy rộng Rn f (x)dx và Rn g(x)dx hội tụ thì: Z (f (x)+g(x))dx Rn cũng hội tụ và Z Z Z (f (x)+g(x))dx = f (x)dx+ g(x)dx Rn Rn R b) Nếu tích phân Rn f (x)dx hội tụ và λ là một số thực thì: Rn Z λ f (x)dx Rn hội tụ và Z Z λ f (x)dx = λ Rn f (x)dx Rn Định lí 1.1.4. Giả sử f là một hàm số xác định trên Rn và khả tích trên R mọi tập bị chặn. Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ Rn thì tích phân Rn f (x)dx luôn luôn tồn tại (hữu hạn hoặc bằng +∞). Định nghĩa 1.1.2. Giả sử Ω là một tập bị chặn, x0 ∈ Ω và f (x) xác định, liên tục trên Ω \ {x0 }. Khi đó nếu tồn tại: Z Z f (x)dx = lim Ω →0 f (x)dx Ω\B (x0 ) thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của hàm f trên Ω Cũng giống như tích phân suy rộng loại 1 được định nghĩa như ở trên, R nếu tích phân I = Ω f (x)dx có giá trị hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ và ngược lại ta nói tích phân phân kì. 8 Ví dụ 1.1.5. Trong R1 xét tích phân trong Rn : Z 0 √ −1 Ta có Z dx 1 − x2 0 dx √ = lim 1 − x2 c→(−1)+ −1 Z 0 c √ dx 1 − x2 và ta dễ dàng có kết quả Z 0 √ −1 dx π = 2 1 − x2 như vậy tích phân là hội tụ. Ví dụ 1.1.6. Trong trường hợp tổng quát, xét tích phân Z |x|≤1 dx |x|k Khi đó tích phân sẽ hội tụ nếu k < n và phân kì khi k ≥ n. Nhận xét 1.1.7. Tích phân suy rộng loại 2 cũng có các tính chất và kết quả giống với tích phân suy rộng loại 1. 1.1.2 Tích phân mặt loại hai Định nghĩa 1.1.3. Xét mặt cong S là tập hợp các điểm M (x, y, z) thỏa mãn phương trình F (x, y, z) = 0 Mặt S gọi là trơn khi và chỉ khi hàm F (x, y, z) có các đạo hàm riêng Fx0 , Fy0 , Fz0 liên tục và không đồng thời bằng không, hay nói cách khác vecto gradient: 5F (x, y, z) = (Fx0 , Fy0 , Fz0 ) 9 liên tục và khác 0 trên mặt S. Trường hợp mặt S có phương trình tham số: x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) Giả sử vecto r = r(u, v) = ix + jy + kz. Khi đó mặt S gọi là trơn nếu hàm r(u, v) khả vi, liên tục và:   D(x, y, z) rank =2 D(u, v) Định nghĩa 1.1.4. Mặt S gọi là mặt định hướng được (hay gọi là mặt hai phía) nếu tại mỗi điểm M của S xác định được một vecto pháp tuyến −−−→ −−−→ đơn vị n(M ) và hàm vecto n(M ) là liên tục trên S, đồng thời sau khi di chuyển theo đường cong kín bất kỳ trên S và quay về vị trí ban đầu thì vecto pháp tuyến này không đổi hướng. Định nghĩa 1.1.5. Cho các hàm số P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) xác − định trên mặt định hướng S với vecto pháp tuyến đơn vị → n (cosα, cosβ, cosγ). Khi đó tích phân mặt loại hai của các hàm P, Q, R trên mặt định hướng S được tính theo công thức: ZZ (P cosα + Qcosβ + Rcosγ)dS S và ta thường kí hiệu là: ZZ I= P dydz + Qdzdx + Rdxdy S Để tính được tích phân trên, ta cần tính: ZZ ZZ Rdxdy = S RcosγdS S 10 Trong đó S là mặt cong có phương trình z = z(x, y)(trơn hoặc trơn từng khúc) với vecto pháp tuyến định hướng phía trên (phía trên mặt cong tạo với hướng dương trục Oz một góc nhọn). Ta thấy cosγi ∆Si ≈ ∆Di , trong đó: ∆Si : Diện tích mặt cong ∆Si ∆Di : Diện tích hình chiếu mảnh cong ∆Si xuống mặt phẳng Oxy. − Khi đó vecto pháp tuyến → n tạo với trục Oz một góc nhọn, nên cosγ > 0 i và ∆Di lấy dấu dương. Khi đó: ZZ ZZ Rdxdy = + R(x, y, z(x, y))dxdy S D1 trong đó D1 là hình chiếu của S xuống Oxy. Nếu đổi hướng mặt S tức cosγi < 0 và ∆Di lấy dấu âm. Khi đó: ZZ ZZ Rdxdy = − R(x, y, z(x, y))dxdy S D1 Tương tự ZZ ZZ Qdxdz = ± Q(x, y(x, z), z)dxdz S D2 ZZ ZZ P dydz = ± P (x(y, z), y, z)dydz S D3 Ví dụ 1.1.8. Tính tích phân RR S x2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy trong đó S là mặt phía ngoài của nửa mặt cầu x2 + y 2 + z 2 = R2 , z ≥ 0 Ta có: ZZ z 2 dxdy I3 = Z ZS = x2 +y 2 ≤R2 4 = πR 2 (R2 − x2 − y 2 )dxdy 11 ZZ y 2 dxdz I2 = Z ZS ZZ 2 = y 2 dxdz y dxdz + S1 S2 trong đó S = S1 + S2 và nó ứng cho hai giá trị y dương và y âm. Khi đó: ZZ (y 2 )dxdz S1 lấy dấu dương và: ZZ (y 2 )dxdz S2 lấy dấu âm. Do hàm y 2 là hàm chẵn, nên: ZZ ZZ 2 y dxdz = − y 2 dxdz S1 S2 hay I2 = 0. Một cách hoàn toàn tương tự, ta cũng có: ZZ (x2 )dydz = 0 S Vậy I = 1.1.3 πR 2 4 . Tích phân giá trị chính Định nghĩa 1.1.6. Không gian S các hàm thử được định nghĩa bởi lớp tất cả các C ∞ của hàm ϕ trong En (đạo hàm riêng mọi cấp của ϕ tồn tại và liên tục) thỏa mãn:   sup xα (Dβ ϕ)(x) < ∞ x∈En 12 với mọi đa chỉ số α = (α1 , α2 , ..., αn ) và β = (β1 , β2 , ..., βn ) của các số nguyên không âm, trong đó xα = xα1 1 xα2 2 ...xαnn , Dβ = D1β1 D2β2 ...Dnβn , Dj = ∂ ∂xj . Định nghĩa 1.1.7. Trong không gian En thực, S - không gian các hàm thử, ϕ ∈ S, với P (x) là đa thức điều hòa trong En (thuần nhất bậc k). Xét hạch K(x) = P (x) n+k , k |x| ≥ 1. Hàm K(x) không khả tích tại lân cận của gốc tọa độ Khi đó ta định nghĩa hàm suy rộng tăng chậm (phiếm hàm tuyến tính trên không gian các hàm giảm nhanh ở vô cực): Z L(ϕ) = lim →0 K(t)ϕ(t)dt 0<≤|t| với mỗi hàm thử ϕ. Nếu giới hạn ở trên mà tồn tại thì ta gọi nó là tích phân giá trị chính. Người ta thường dùng kí hiệu: Z L(ϕ) = P.V K(t)ϕ(t)dt En để chứng tỏ L là hàm tuyến tính với mọi ϕ ∈ S. 1.2 Tích chập Định nghĩa 1.2.1. Nếu f và g thuộc L1 (En ) thì tích chập của f và g ký hiệu f ∗ g được xác định như sau: Z (f ∗ g)(x) := Z f (y)g(x − y)dy := En f (x − y)g(y)dy En 13 trong đó tích phân trên là tồn tại hầu khắp nơi theo x ∈ En và khi đó f (x − y)g(y) là hàm đo được của hai biến x và y. Định lí 1.2.1. Nếu tích chập f ∗ g tồn tại thì tích chập g ∗ f cũng tồn tại và: f ∗ g = g ∗ f. Mệnh đề 1.2.2. Tích chập của mọi hàm suy rộng f với δ đều tồn tại và: f ∗ δ = δ ∗ f = f. Định lí 1.2.3. Nếu f ∈ Lp (En ), 1 ≤ p ≤ ∞ và g ∈ L1 (En ), thì: h = f ∗ g được xác định và tích chập thuộc Lp (En ). Hơn thế nữa: kf ∗ gkp ≤ kf kp kgk1 . Chứng minh. Định lí này là rất rõ ràng. Thật vậy, ta có: Z |h(x)| ≤ |f (x − y)| |g(y)| dy En Vì vậy ta có thể áp dụng bất đẳng thức tích phân Minkowski chỉ ra rằng: p Z 1 p |h(x)| ≤ 1 q |f (x − y)| |g(y)| |g(y)| dy p dx, En hay Z En |h(x)|p dx ≤ (kgk1 ) p q Z Z En  |f (x − y)|p |g(y)| dy dx. En Mà Z Z |g(y)| En En  |f (x − y)|p dx dy = kf kpp kgk1 . 14 Do đó: khkp ≤ kf kp kgk1 . Định lí 1.2.4. Nếu tích chập f ∗ g tồn tại thì các tích chập Dα f ∗ g và f ∗ Dα g cũng tồn tại. Hơn thế nữa: Dα f ∗ g = Dα (f ∗ g) = f ∗ Dα g. 1.3 1.3.1 Biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (En ) Định nghĩa 1.3.1. Phép biến đổi Fourier của hàm f ∈ L1 (En ) cho bởi công thức: Z fb(x) := f (t)e−2πix.t dt En với x ∈ En . Định lí 1.3.1. Cho f ∈ L1 (En ), ánh xạ: f → fb 1 ∞ là tuyến tính, bị chặn biến đổi từ L (En ) vào L (En ) và ta có: a) fb ≤ kf k1 ∞ b b) f liên tục đều trên En c) Nếu f ∈ L1 (En ) thì fb hội tụ đều d) Nếu đạo hàm f 0 tồn tại và thuộc L1 (En ) thì: fb0 (x) = −2πitfb(x) 15 e) fb(x) → 0 khi x → ±∞ Định lí 1.3.2. Nếu f, g ∈ L1 (En ) thì biến đổi Fourier: \ (f ∗ g) = fbgb Định lí 1.3.3. Nếu f và g ∈ L1 (En ) thì: Z Z fb(x)g(x)dx = f (x)b g (x)dx En En Chứng minh. Định lí này dễ dàng có được dựa vào định lí Fubini. Thật vậy: Z Z  fb(x)g(x)dx = f (t)e dt g(x)dx En En En  Z Z −2πit.x = g(x)e dx f (t)dt En En Z = f (t)b g (t)dt Z −2πit.x En Định lí 1.3.4. Giả sử α là một số phức thỏa mãn 0 < Re(α) < n và P (x) là một đa thức điều hòa trên En (thuần nhất có bậc k). Nếu: K(x) = P (x) |x|n+k−α thì: K̂(t) = n ở đây γ = γk,α = i−k π ( 2 −α) Γ( (k+α) 2 ) Γ( (n+k−α) ) 2 γP (t) |t|k+α 16 Trong trường hợp đặc biệt nếu α → 0 thì ta có định lí sau: Định lí 1.3.5. Giả sử P(x) là một đa thức điều hòa trên En (hàm thuần nhất bậc k ≥ 1). Nếu: K(x) = P (x) |x|n+k thì: ( n i−k π 2 K̂(t) = ) Γ( k2 ) P (t) k Γ( n+k 2 ) |t| = γk,0 P (t) |t|k . Chứng minh. Đầu tiên ta phải chỉ ra: ( Z γk,0 P (t) ) ϕ(t)dt = P.V |t|k En ( Z P (t) ) |t|n+k En ϕ̂(t)dt (1.1) ϕ̂(t)dt, (1.2) với mọi hàm thử ϕ. Theo định lí (1.3.4) ta có: ( Z γk,α En P (t) ) Z ( ϕ(t)dt = |t|k+α P (t) ) |t|n+k−α En ở đây 0 < α < n. Như thế khi α → 0 thì vế trái của (1.2) dần tới vế trái của (1.1). Suy ra ta có thể viết: Z lim α→0 En ( P (t) ) ( Z ϕ̂(t)dt = P.V |t|n+k−α En P (t) |t|n+k ) ϕ̂(t)dt. Vì các tích phân của P(t) trên mặt của tâm hình cầu tại gốc là bằng không và như trên ta thấy: K(t) [ϕ̂(t) − ϕ̂(0)] 17 là khả tích địa phương. Theo định lí về sự hội tụ trội, ta có: ( Z lim α→0 ( Z = lim α→0 |t|≤1 ) P (t) ϕ̂(t)dt = |t|n+k−α En ) P (t) ˆ (ϕ̂(t) − ϕ(0)dt) + n+k−α |t| Z K(t)ϕ̂(t)dt |t|>1 Z Z K(t) [ϕ̂(t) − ϕ̂(0)] dt + = |t|≤1 K(t)ϕ̂(t)dt |t|>1 Nhưng biểu thức cuối cùng mà ta chỉ ra phải là giới hạn: Z ( P.V En P (t) |t|n+k ) ϕ̂(t)dt và như vậy định lí được chứng minh. P Định lí 1.3.6. Giả sử Ω là một hàm trong L2 ( n−1 ) thỏa mãn Z Ω(x0 )dx0 = 0. P n−1 Khi đó tồn tại duy nhất hàm điều hòa cầu Y (k) bậc k thỏa mãn: Ω= ∞ X Y (k) , k=1 P chuỗi hội tụ theo chuẩn của L2 ( n−1 ). Giá trị hàm đó nhận tại x 6= 0 là K(x) = Ω(x0 ) n |x| được định nghĩa một giá trị chính suy rộng biến đổi x Fourier K̂ của nó là một hàm thuần nhất bậc 0. Vì vậy, K̂(x) = Ω0 ( |x| ) P∞ (k) (k) với x 6= 0. Hơn thế nữa, Ω0 = k=1 Y0 , ở đây Y0 = γk,0 Y (k) và chuỗi P là hội tụ theo chuẩn L2 ( n−1 ). Hơn nữa: