Tài liệu Toán tử hardy cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian morrey có trọng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương TOÁN TỬ HARDY-CESÀRO CÓ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN MORREY CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Kim Hương TOÁN TỬ HARDY-CESÀRO CÓ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN MORREY CÓ TRỌNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Trí Dũng. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả, nội dung từ sách, bài báo được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu trách nhiệm hoàn toàn về luận văn của mình. Lê Thị Kim Hương LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy Trần Trí Dũng, người đã tận tình hướng dẫn và tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng về những góp ý quý báu để tôi có thể hoàn thiện luận văn hơn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị khóa trên và bạn bè trong chuyên ngành Giải tích luôn bên cạnh, động viên và là điểm tựa vững chắc cho tôi trong thời gian làm luận văn. TP. Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Lê Thị Kim Hương MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Danh mục các ký hiệu MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .........................................................................3 1.1 Kiến thức giải tích điều hòa ..............................................................................3 1.2 Hàm trọng 𝝎 .....................................................................................................3 1.3 Toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng và hoán tử của nó ............................5 1.4 Không gian 𝑩𝑴𝑶 có trọng ...............................................................................6 1.5 Không gian Morrey có trọng .............................................................................9 1.6 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood ..................................................................10 Kết hợp các đánh giá trên, ta được ........................................................................13 CHƯƠNG 2. TÍNH BỊ CHẶN CỦA TOÁN TỬ HARDY-CESÀRO CÓ TRỌNG SUY RỘNG VÀ HOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN MORREY TRUNG TÂM CÓ TRỌNG .......................................................................................................................................14 2.1 Không gian Morrey trung tâm có trọng và không gian BMO trung tâm có trọng ...................................................................................................................................14 2.2 Tính bị chặn của toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng trên không gian Morrey trung tâm có trọng ........................................................................................21 2.3 Tính bị chặn của hoán tử toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng trên không gian Morrey trung tâm có trọng.................................................................................24 2.4 Hoán tử bậc cao trên không gian Morrey trung tâm có trọng .........................37 KẾT LUẬN ...................................................................................................................39 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................40 DANH MỤC KÝ HIỆU ℕ Tập hợp số tự nhiên. ℝ Tập hợp số thực. ℝ𝑛 Không gian vector n chiều trên ℝ, mà mỗi phần tử của nó có dạng x   x1, x2 ,..., xn  với 𝑥𝑖 ∈ ℝ, ∀𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑛. ℂ Tập hợp số phức. 𝜒𝐸 Hàm đặc trưng của E. 𝐿𝑝 Không gian các hàm khả tích Lebesgue 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ với chuẩn f 𝐿∞ (𝑋) Lp     1 p  n  f ( s ) ds  .   p Tập hợp các hàm 𝑓 đo được sao cho tồn tại hằng số 𝑐 < ∞ thỏa f ( x)  c hầu khắp nơi trên 𝑋, với chuẩn định bởi ‖𝑓‖∞ = 𝑖𝑛𝑓{𝑐: |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑐 ℎầ𝑢 𝑘ℎắ𝑝 𝑛ơ𝑖 𝑡𝑟ê𝑛 𝑋}. 𝑝 𝐿𝑙𝑜𝑐 (ℝ𝑛 ) Không gian các hàm khả tích Lebesgue bậc p địa phương trên ℝ𝑛 . 𝐿𝑝 (𝜔) Không gian các hàm khả tích Lebesgue đối với độ đo 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥. 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích điều hòa hiện đại là một nhánh quan trọng của Toán học và có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier và tích phân Fourier cổ điển. Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hòa hiện đại phát triển rất mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng đa dạng trong các lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, xử lí tín hiệu. Bất đẳng thức tích phân Hardy và những biến thể của nó đóng vai trò quan trọng trong các nhánh khác nhau của giải tích như lý thuyết xấp xỉ, phương trình vi phân, lý thuyết không gian hàm. Do đó, bất đẳng thức tích phân Hardy cho toán tử và những biến thể của nó đã được nghiên cứu và mở rộng rất nhiều. Carton-Lebrun và Fosset [2] đã định nghĩa toán tử Hardy có trọng 𝑈𝜓 như sau: 1 𝑈𝜓 𝑓(𝑥 ) = ∫0 𝑓 (𝑡𝑥 )𝜓(𝑡)𝑑𝑡, 𝑥 ∈ ℝ𝑛 , trong đó 𝜓: [0,1] → [0, ∞) là hàm đo được và 𝑓 là hàm đo được nhận giá trị phức trên ℝ𝑛 . Các tác giả cũng chỉ ra rằng 𝑈𝜓 bị chặn từ 𝐵𝑀𝑂(ℝ𝑛 ) vào chính nó. Trong [21], Xiao cũng đạt được kết quả tương tự và có thêm kết quả về tính bị chặn của 𝑈𝜓 trên không gian 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 )). Nhận thấy giá trị của 𝑈𝜓 𝑓 tại 𝑥 chỉ phụ thuộc giá trị trung bình trọng lượng của 𝑓 dọc theo tham số 𝑠(𝑡, 𝑥 ) = 𝑡𝑥. Do đó đưa đến việc chúng ta sẽ xem xét toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng 𝑈𝜓,𝑠 𝑓 kết hợp với đường cong tham số 𝑠(𝑡, 𝑥 ): = 𝑠(𝑡)𝑥. Không gian Morrey cổ điển (biến thể tự nhiên của 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 )) được giới thiệu bởi Morrey [15] để khảo sát tính chất địa phương của nghiệm của phương trình đạo hàm riêng elliptic bậc hai. Sau đó, K. Yasuo và S. Satoru [22] đã đưa ra định nghĩa không gian Morrey có trọng lượng 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) để nghiên cứu tính bị chặn của toán tử cổ điển trong giải tích điều hòa như toán tử cực đại Hardy-Littlewood, toán tử Calderon-Zygmund và toán tử tích phân phân số. 2 Gần đây, Z.W. Fu, Z.G. Liu và S.Z. Lu [7] đã thiết lập điều kiện cần và đủ trên hàm trọng 𝜓 đảm bảo hoán tử của toán tử Hardy có trọng 𝑈𝜓 bị chặn trên 𝐿𝑝 (ℝ𝑛 ), 1 < 𝑝 < ∞ với biểu tượng (symbol) trong 𝐵𝑀𝑂(ℝ𝑛 ). Sau đó, tính bị chặn của 𝑈𝜓 cũng được nghiên cứu trên một số không gian như: không gian Morrey, không gian Campanato, 𝛼 không gian loại 𝒬𝑝,𝑞 , không gian loại Triebel-Lizorkin. Do đó, tiếp nối chủ đề này luận văn sẽ nghiên cứu bất đẳng thức chuẩn có trọng cho toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian Morrey có trọng. Các kết quả chủ yếu được tham khảo trong [19]. 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu về sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích. Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: tìm hiểu khái niệm và tính bị chặn của toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian Morrey có trọng. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tôi sẽ thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp và trình bày một số kiến thức cơ bản về toán tử cực đại Hardy-Littlewood, các tính ̇ 𝑝 (𝜔). Công việc đòi hỏi tác giả chất của hàm trọng 𝜔 và các không gian 𝐵𝑀𝑂(𝜔), 𝐶𝑀𝑂 phải vận dụng các kiến thức chuyên sâu của giải tích Fourier, giải tích hàm, độ đo - tích phân và giải tích thực. 4. Cấu trúc luận văn Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương 2. Tính bị chặn của toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng và hoán tử trên không gian Morrey trung tâm có trọng. 3 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích điều hòa Các định lí sau được trích dẫn từ [6], là công cụ được sử dụng trong hầu hết các chứng minh những kết quả của luận văn. Định lí 1.1.1 Bất đẳng thức H𝒐̈ lder 1 1 𝑝 𝑞 Giả sử 1 < 𝑝 < ∞ và + = 1. Nếu 𝑓 và 𝑔 là hai hàm đo được trên 𝑋 ⊂ ℝ𝑛 thì ‖𝑓𝑔‖1 ≤ ‖𝑓‖𝑝 . ‖𝑔‖𝑞 , nghĩa là nếu 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 và 𝑔 ∈ 𝐿𝑞 thì 𝑓𝑔 ∈ 𝐿1 . Trong suốt luận vặn này, khi áp dụng bất đẳng thức H o lder với cặp số ( p, p) thì ta nói p và p’ là hai số liên hợp, tức là 1 1   1. p p Định lí 1.1.2 Bất đẳng thức Minkowski’s Nếu 1 ≤ 𝑝 < ∞ và 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐿𝑝 thì ‖𝑓 + 𝑔‖𝑝 ≤ ‖𝑓‖𝑝 +‖𝑔‖𝑝 . 1.2 Hàm trọng 𝝎 Định nghĩa 1.2.1 Ta nói 𝜔 là hàm trọng nếu 𝜔 đo được trên ℝ𝑛 và ( x)  0 h.k.n (hầu khắp nơi) trên ℝ𝑛 . Với mỗi tập con đo được 𝐸 ⊂ 𝑋, ta định nghĩa  ( E ) :   ( x) dx . E Một hàm trọng 𝜔 được gọi là thỏa tính chất “doubling”, nghĩa là tồn tại hằng số dương 𝐶 sao cho 𝜔(𝐵(𝑥, 2𝑟)) ≤ 𝐶𝜔(𝐵 (𝑥, 𝑟)). 4 Định nghĩa 1.2.2 Cho  là một số thực. Khi đó,  là tập tất cả hàm trọng 𝜔 trên ℝ𝑛 , thuần nhất tuyệt đối bậc  , nghĩa là  (tx) | t |  ( x), t  0    ( y)d ( y)  , Sn  {x  n \ {0}, x  n và :| x | 1}. Sn Nhắc lại rằng, nếu định nghĩa độ đo 𝜌 trên (0, ∞) bởi  ( E )   r n1dr , đồ thị 𝜙(𝑥 ) = E 𝑥 (|𝑥 |, |𝑥|) thì tồn tại duy nhất một độ đo 𝜎 −Borel trên 𝑆𝑛 sao cho 𝜌 × 𝜎 là độ đo Borel cảm sinh từ độ đo Lebesgue trên ℝ𝑛 (𝑛 > 1) (xem trong [6, tr.78], [13, tr.142]). Sau đây, chúng ta sẽ chỉ ra một số ví dụ điển hình và tính chất của  . Chú ý rằng, một hàm trọng 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 thì chưa chắc thuộc 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ𝑛 ). Chúng ta chứng minh được rằng, nếu 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 thì 𝜔 ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ𝑛 ) khi và chỉ khi 𝛼 > −𝑛. Nếu 𝑛 = 1 thì 𝜔(𝑥 ) = 𝑐 |𝑥 |𝛼 với 𝑐 > 0 nào đó. Đối với 𝑛 ≥ 1 thì 𝜔(𝑥 ) = |𝑥 |𝛼 thuộc 𝒲𝛼 và thỏa tính chất “doubling” khi 𝛼 > −𝑛. Đặc biệt, 𝜔1 , 𝜔2 ∈ 𝒲𝛼 thì 𝜃𝜔1 + 𝜆𝜔2 ∈ 𝒲𝛼 ∀𝜃, 𝜆 > 0. Một ví dụ khác khi 𝑛 > 1 và 𝛼 ≠ 0, ấy là 𝜔(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = |𝑥1 |𝛼 . Trong trường hợp 𝑛 > 1 và 𝛼 = 0, chúng ta có thể xây dựng một hàm 𝜔 không tầm thường trong 𝒲0 như sau : cho 𝜙 là hàm dương chẵn và khả tích địa phương trên 𝑆𝑛 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛 : |𝑥 | = 1}, khi đó 𝑥 𝜙 ( ) 𝑛ế𝑢 𝑥 ≠ 0, 𝜔(𝑥 ) = { |𝑥 | 0 𝑛ế𝑢 𝑥 = 0. Bổ đề sau trích dẫn từ [19, Bổ đề 2.2] giúp ta tính được giá trị hàm trọng của một quả cầu có tâm tại gốc. Bổ đề 1.2.3 Cho số thực 𝛼 > −𝑛, nếu 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 thì tồn tại hằng số dương 𝐶 sao cho  ( B(0, R))    ( x)dx  CR n , R  0 . B (0, R ) Chứng minh Lấy R  0 , ta có  ( B (0, R ))   B (0, R ) R  ( x)dx   dr 0  S (0, r ) R  ( y )d ( y )   r n 1dr   ( y )d ( y ). 0 Sn 5 Vì    nên 0  C0    ( y )d ( y )  . Sn Do đó R  ( B(0, R))   C0 r n 1dr  0 với C  C0 R n  CR n , n  C0  0 (   n) n  Vậy ta có điều phải chứng minh. 1.3 Toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng và hoán tử của nó Các định nghĩa trong tiểu mục này được tham khảo trong [19]. Định nghĩa 1.3.1 Cho 𝜓: [0,1] → [0, ∞), 𝑠: [0,1] → ℝ là những hàm đo được. Toán tử Hardy-Cesàro có trọng suy rộng 𝑈𝜓,𝑠 kết hợp với đường cong tham số 𝑠(𝑥, 𝑡) ≔ 𝑠(𝑡)𝑥 được định nghĩa bởi 1 𝑈𝜓,𝑠 𝑓(𝑥 ) = ∫ 𝑓 (𝑠(𝑡)𝑥 )𝜓(𝑡)𝑑𝑡, 0 với 𝑓 là hàm đo được trên ℝ𝑛 . Chú ý rằng, lớp các toán tử 𝑈𝜓,𝑠 chứa cả hai loại toán tử Hardy cổ điển và toán tử 1 Cesàro. Nếu 𝑠(𝑡) = 𝑡 thì 𝑈𝜓,𝑠 suy giảm thành 𝑈𝜓 và nếu 𝑠(𝑡) = thì ta có thể thay thế 𝑡 𝜓(𝑡) bởi 𝑡 −𝑛 𝜓(𝑡). Khi đó, 𝑈𝜓,𝑠 được gọi là toán tử Cesàro có trọng 1 𝑉𝜓 𝑓(𝑥 ) = ∫ 𝑓(𝑥/𝑡)𝑡 −𝑛 𝜓(𝑡)𝑑𝑡. 0 Toán tử 𝑉𝜓 được khái quát thành 1 𝑉𝜓,𝑠 𝑓(𝑥 ) = ∫ 𝑓(𝑠(𝑡)𝑥 )|𝑠(𝑡)|𝑛 𝜓(𝑡)𝑑𝑡. 0 Nhận xét: V ,s f ( x)  U|s (.)|n ,s f ( x) . Do đó, luận văn chỉ chứng minh chi tiết những kết quả cho toán tử 𝑈𝜓,𝑠 , còn toán tử 𝑉𝜓,𝑠 được suy ra một cách tương tự. 6 Định nghĩa 1.3.2 Cho 𝑏 là hàm khả tích địa phương trên ℝ𝑛 . Hoán tử của b và toán tử 𝑈𝜓,𝑠 được định nghĩa như sau: 𝑏 𝑈𝜓,𝑠 ≔ 𝑏𝑈𝜓,𝑠 𝑓 − 𝑈𝜓,𝑠 (𝑏𝑓). Tương tự, hoán tử của toán tử của b và toán tử 𝑉𝜓,𝑠 được định nghĩa như sau: 𝑏 𝑉𝜓,𝑠 ≔ 𝑏𝑉𝜓,𝑠 𝑓 − 𝑉𝜓,𝑠 (𝑏𝑓). 1.4 Không gian 𝑩𝑴𝑶 có trọng Định nghĩa 1.4.1 Cho 𝜔 là hàm trọng trên ℝ𝑛 . Ký hiệu 𝐵𝑀𝑂(𝜔) là không gian các hàm 𝑓 dao động trung bình bị chặn với trọng số 𝜔 được định nghĩa bởi f BMO ( )  sup B (1.1) 1 f ( x)  f B ,  ( x)dx  ,  ( B) B trong đó supremum lấy trên tất cả các quả cầu B trong ℝ𝑛 . Ở đây, 𝑓𝐵,𝜔 là giá trị trung bình của 𝑓 trên B với trọng số 𝜔 được xác định bởi f B ,  1 f ( x) ( x)dx.  ( B) B Trường hợp 𝜔 ≡ 1 khi đó công thức (1.1) tương ứng cho lớp hàm dao động trung bình bị chặn của F. John và L. Nirenberg [12]. Dễ thấy 𝐿∞ (ℝ𝑛 ) ⊂ BMO(ω). Từ bổ đề John-Nirenberg cho độ đo "doubling" trong [11], ta có bổ đề tương tự như sau Bổ đề 1.4.2 Bất đẳng thức John-Nirenberg Cho 𝑓 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) và  thỏa tính chất "doubling". Khi đó, tồn tại các hằng số dương 𝐶1 và 𝐶2 sao cho 𝜔({𝑥 ∈ 𝐵: |𝑓(𝑥 ) − 𝑓𝐵 | > 𝜆}) ≤ 𝐶1 𝑒 𝐶 𝜆 −‖𝑓‖ 2 𝐵𝑀𝑂(𝜔) 𝜔(𝐵), với mọi quả cầu 𝐵 trong ℝ𝑛 và mọi 𝜆 > 0. Ở đây, các hằng số C1 , C2 phụ thuộc vào số chiều không gian và hằng số C trong tính chất "doubling" của . 7 Bổ đề 1.4.3 Giả sử 𝜔 là hàm trọng thỏa tính chất “doubling”, 𝑥 ∈ ℝ𝑛 và 𝑟 > 0. Khi đó, tồn tại hằng số dương 𝐶𝑝 sao cho {x  B :| f ( x)  f B, | }  C1e C2 ‖/ f‖ BMO ( ) ( B), Chứng minh Ta có  p p 1  | f ( x)  f B, |  ( x)dx   p {x  B :| f ( x)  f B, | }d  B 0 𝐶2 𝜆 ≤ − ∞ 𝐶1 𝜔(𝐵) ∫0 𝑝𝜆𝑝−1 𝑒 ‖𝑓‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) 𝑑𝜆, với C1 , C2 là các hằng số tồn tại bổ đề 1.4.2. Đặt 𝑠 = ‖𝑓‖ 𝐶2 𝜆 , ta được 𝐵𝑀𝑂(𝜔) ‖ f ‖ BMO ( ) p  p 1  s 1 p | f ( x)  f B , |  ( x)dx  C1 p( )  s e ds  ( B) B C2 0 𝑝 = 𝐶1 𝑝𝐶2 −𝑝 ‖𝑓‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) . Vậy bổ đề được chứng minh với 𝐶𝑝 = (𝐶1 𝑝𝐶2 −𝑝 Γ(𝑝))1/𝑝 . Nhận xét: từ bổ đề 1.4.3 ta thấy không gian BMO() không phụ thuộc vào p. Dưới đây là một ví dụ điển hình về hàm trong 𝐵𝑀𝑂(𝜔). Bổ đề 1.4.4 Nếu 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 và thỏa tính chất “doubling” thì 𝑙𝑜𝑔|𝑥 | ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔). Chứng minh (trích trong [19]) nhằm đảm bảo tính liên tục của luận văn ta trình bày lại ở đây. Theo nhận xét từ [16, tr.140-141], để chứng minh log|𝑥 | ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔), ta lấy 𝑥0 ∈ ℝ𝑛 và 𝑟 > 0, cần tìm một hằng số 𝑐𝑥0,𝑟 sao cho bị chặn. Từ 1 ∫ 𝜔(𝐵(𝑥0 ,𝑟)) |𝑥−𝑥0 |≤𝑟 |log|𝑥 | − 𝑐𝑥0,𝑟 | 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 8 1 ∫ |log|𝑥 | − 𝑐𝑥0,𝑟 | 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 𝜔(𝐵 (𝑥0 , 𝑟)) |𝑥−𝑥0 |≤𝑟 𝑟 𝑛+𝛼 = ∫ |log|𝑧| + log 𝑟 − 𝑐𝑥0,𝑟 | 𝜔(𝑧)𝑑𝑧 𝜔(𝐵(𝑥0 , 𝑟)) |𝑧−𝑟 −1 𝑥0|≤1 = 1 𝜔(𝐵(𝑟 −1 𝑥0 , 1)) |log|𝑧| + log 𝑟 − 𝑐𝑥0,𝑟 | 𝜔(𝑧)𝑑𝑧, ∫ |𝑧−𝑟 −1 𝑥0 |≤1 với z  r 1x nên ta có thể lấy 𝑐𝑥0,𝑟 = 𝑐𝑟 −1 𝑥0,1 − log 𝑟, và quy về trường hợp 𝑟 = 1 và 𝑥0 tùy ý. Đặt 𝐴𝑥0 = 1 ∫ |log|𝑧| − 𝑐𝑥0,𝑟 |𝜔(𝑧)𝑑𝑧. 𝜔(𝐵(𝑥0 , 1)) |𝑧−𝑥0|≤1 Nếu |𝑥0 | ≤ 2 thì lấy 𝑐𝑥0,𝑟 = 0 ta có 𝐴𝑥0 = ≤ 1 |log|𝑧||𝜔(𝑧)𝑑𝑧. ∫ 𝜔(𝐵(𝑥0 , 1)) |𝑧−𝑥0|≤1 𝜔(𝐵(0,3)) 1 ∫ log 3. 𝜔(𝑧)𝑑𝑧 = log 3. 𝜔(𝐵 (𝑥0 , 1)) |𝑧|≤3 𝜔(𝐵(𝑥0 , 1)) ≤ log 3. 𝜔(𝐵(𝑥0 , 6)) ≤ 𝐶 < ∞, 𝜔(𝐵(𝑥0 , 1)) trong đó bất đẳng thức cuối cùng có được từ tính chất “doubling” của 𝜔. Nếu |𝑥0 | ≥ 2 thì lấy 𝑐𝑥0,𝑟 = log|𝑥0 |. Khi đó 𝐴 𝑥0 = 1 |log|𝑧| − log |𝑥0 |𝜔(𝑧)𝑑𝑧 ∫ 𝜔(𝐵(𝑥0 , 1)) 𝐵(𝑥0,1) = |𝑧 | 1 ∫ |log | 𝜔(𝑧)𝑑𝑧 |𝑥0 | 𝜔(𝐵 (𝑥0 , 1)) 𝐵(𝑥0,1) 9 ≤ |𝑥0 | + 1 |𝑥0 | 1 ∫ max {log , log } . 𝜔(𝑧)𝑑𝑧 |𝑥0 | |𝑥0 | − 1 𝜔(𝐵 (𝑥0 , 1)) 𝐵(𝑥0 ,1) ≤ max {log |𝑥0 | + 1 |𝑥0 | , log } ≤ log 2 < ∞. |𝑥0 | |𝑥0 | − 1 Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có được Ax0   hay log|𝑥 | ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔). Bổ đề sau được trích dẫn từ [19] là một kết quả hỗ trợ cho việc hoàn chỉnh chứng minh các kết quả trong chương sau. Bổ đề 1.4.5 Cho 𝜔 là hàm trọng thỏa tính chất “doubling”. Khi đó, tồn tại 𝐶 > 0 1 sao cho với mọi 𝐵1 = 𝐵(𝑥1 , 𝑟1 ), 𝐵2 = 𝐵(𝑥2 , 𝑟2 ) mà 𝐵1 ∩ 𝐵2 ≠ ∅, 𝑟2 ≤ 𝑟1 ≤ 2𝑟2 thì 2 𝜔(𝐵) ≤ 𝐶𝜔(𝐵𝑖 ), 𝑖 = 1,2. Trong đó, 𝐵 là quả cầu nhỏ nhất mà chứa cả hai quả cầu 𝐵1 và 𝐵2 . Hơn nữa, nếu 𝑏 ∈ 𝐵𝑀𝑂(𝜔) ta có |𝑏𝐵1,𝜔 − 𝑏𝐵2 ,𝜔 | ≤ 2𝐶 ‖𝑏‖𝐵𝑀𝑂(𝜔) . 1.5 Không gian Morrey có trọng Các kết quả trong tiểu mục này được lấy từ [19]. Định nghĩa 1.5.1 Cho 𝜔 là hàm trọng, quả cầu 𝐵(𝑎, 𝑅) tâm tại a bán kính R, 1 ≤ 𝑝 < ∞ và −1⁄𝑝 ≤ 𝜆 ≤ 0. Không gian Morey có trọng 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) định nghĩa bởi 𝑝 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) ≔ {𝑓 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐 (𝜔): ‖𝑓‖𝐿𝑝,𝜆(𝜔) < ∞}, với 1⁄ 𝑝 ‖𝑓‖𝐿𝑝,𝜆(𝜔) 1 |𝑓(𝑥 )|𝑝 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 ) = 𝑠𝑢𝑝 ( ∫ 1+𝑝𝜆 𝑛 ( ) 𝜔(𝐵 𝑎, 𝑅 ) 𝑎∈ℝ ,𝑅>0 𝐵(𝑎,𝑅) (1.2) Bổ đề 1.5.2 (1) Nếu 𝜔 ≡ 1 thì 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔) = 𝐿𝑝,𝜆 (ℝ𝑛 ). (2) Giả sử 𝜔 thỏa tính chất “doubling”. Nếu 𝜆 = −1⁄𝑝 thì 𝐿𝑝,−1⁄𝑝 (𝜔) = 𝐿𝑝 (𝜔); còn 𝜆 = 0 thì theo định lí khả tích Lebesgue đối với 𝜔 ta có 𝐿𝑝,0 (𝜔) = 𝐿∞ (𝜔) . 10 Do bổ đề trên nên ta chỉ xem xét các kết quả cho trường hợp không gian Morrey có trọng Lp , ( ) với 1/ p    0. Dưới đây là một ví dụ điển hình về hàm trong 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔). Bổ đề 1.5.3 Giả sử 𝜔 ∈ 𝒲𝛼 (𝛼 > −𝑛) và có tính chất “doubling”, 1 < 𝑞 < ∞ và −1⁄𝑞 < 𝜆 < 0. Khi đó, ℎ(𝑥 ) = |𝑥 |(𝑛+𝛼)𝜆 ∈ 𝐿𝑞,𝜆 (𝜔) và ‖ℎ‖𝐿𝑞,𝜆(𝜔) > 0. Chứng minh Theo bổ đề 1.5.2, chúng ta thay thế quả cầu 𝐵(𝑎, 𝑅) bởi quả cầu 𝐵(0, 𝑅) trong định nghĩa không gian Morrey có trọng. Do đó, ta có 1 |𝑥 |(𝑛+𝛼)𝑞𝜆 𝜔(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 1+𝑞𝜆 ( ) 𝜔(𝐵 0, 𝑅 ) 𝐵(0,𝑅) = 𝑅 1 ∫ 𝑑𝑟 ∫ 𝑟 (𝑛+𝛼)𝑞𝜆 𝜔(𝑦)𝑑𝜎(𝑦) 𝜔(𝐵(0, 𝑅))1+𝑞𝜆 0 𝑆(0,𝑟) 𝑅 1 = ∫ 𝑟 (𝑛+𝛼)𝑞𝜆+𝑛+𝛼−1 𝑑𝑟 ∫ 𝜔(𝑦)𝑑𝜎(𝑦) 𝜔(𝐵(0, 𝑅))1+𝑞𝜆 0 𝑆𝑛 1 𝑅 (𝑛+𝛼)(𝑞𝜆+1) = ∫ 𝜔(𝑦)𝑑𝜎(𝑦), 𝜔(𝐵(0, 𝑅))1+𝑞𝜆 (𝑛 + 𝛼 )(𝑞𝜆 + 1) 𝑆𝑛 Kết hợp với bổ đề 1.2.3 ta có được điều phải chứng minh. 1.6 Toán tử cực đại Hardy-Littlewood Trong [22], Komori Yasuo và Shirai Satoru định nghĩa toán tử cực đại HardyLittlewood có trọng 𝑀𝜔 bởi 𝑀𝜔 𝑓(𝑥 ) = sup 𝐵 1 ∫ |𝑓(𝑦)|𝜔(𝑦)𝑑𝑦, 𝜔(𝐵) 𝐵 trong đó supremum lấy trên tất cả các quả cầu B chứa 𝑥. Các kết quả sau trích dẫn từ [22]. 11 Bổ đề 1.6.1 Giả sử 1 < 𝑝 < ∞ và 𝜔 thỏa tính chất “doubling”. Khi đó, toán tử 𝑀𝜔 bị chặn trên 𝐿𝑝 (𝜔) nghĩa là tồn tại hằng số 𝐶𝑝 sao cho 𝑝 ∫ (𝑀𝜔 𝑓(𝑥 )) 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 ≤ 𝐶𝑝 ∫ |𝑓(𝑥 )|𝑝 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 ℝ𝑛 ℝ𝑛 , với 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝜔). Định lí 1.6.2 Giả sử 𝜔 thỏa tính chất “doubling”, 1 < 𝑝 < ∞ và −1⁄𝑝 < 𝜆 < 0. Khi đó, toán tử 𝑀𝜔 bị chặn trên 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔). Chứng minh Cố định quả cầu 𝐵 ⊂ ℝ𝑛 . Chúng ta phân tích: 𝑓 ≔ 𝑓1 + 𝑓2 , trong đó 𝑓1 = 𝑓𝜒3𝐵 . Từ 𝑀𝜔 là toán tử tuyến tính dưới, ta có 1⁄𝑝 (∫ 𝑀𝜔 𝑓(𝑥)𝑝 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 ) 𝐵 1⁄𝑝 ≤ {(∫ 𝑀𝜔 𝑓1 (𝑥)𝑝 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 ) 1⁄𝑝 + (∫ 𝑀𝜔 𝑓2 (𝑥)𝑝 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 ) 𝐵 } 𝐵 = 𝐼 + 𝐼𝐼. Xét 𝐼, do 𝑀𝜔 bị chặn trên 𝐿𝑝 (𝜔) (xem bổ đề 1.6.2) nên 1⁄𝑝 𝑝 𝐼 ≤ (∫ 𝑀𝜔 𝑓1 (𝑥) 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥 ) 1⁄𝑝 ≤ 𝐶 (∫ |𝑓(𝑥 ℝ𝑛 )|𝑝 𝜔(𝑥 )𝑑𝑥) 3𝐵 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖𝐿𝑝,𝜆(𝜔) 1 +𝜆 𝑝 𝜔(𝐵) . Đối với số hạng 𝐼𝐼, bằng cách khảo sát hình học đơn giản, với mọi 𝑥 ∈ 𝐵 chú ý rằng 1 với mọi x  B0 : B0  (3B ) c   thì tồn tại R sao cho B  3R và R  B0  R . 3 12 1 1 Khi đó  ( B0 )   ( R)   ( R) ( D1 là hằng số trong tính chất "doubling" của  ) 3 D1 và 1 ∫ |𝑓(𝑦)|𝜔(𝑦)𝑑𝑦 𝑅:𝐵⊂3𝑅 𝜔(𝑅) 𝑅 𝑀𝜔 𝑓2 (𝑥) ≤ sup Để đánh giá vế phải ta áp dụng bất đẳng thức H o lder cho hàm f và hàm hằng 1 với cặp số ( p, p) ta đươc 1/ p 1/ p    1 1  p | f ( y ) |  ( y ) dy  | f ( y ) |  ( y ) dy .  ( y ) dy       ( R) R  ( R)  R  R   1/ p 1 1  ( R) 1 p   p   | f ( y ) |  ( y ) dy  R  1/ p   1  1 p p  | f ( y ) |  ( y ) dy  ( R )    ( R)1/ p   ( R)1 p R  1 1/ p   1 p   | f ( y ) |  ( y ) dy   ( R) 1  p  R   ( R)   C‖ f ‖ Lp , ( )  ( B ) , nếu 𝐵 ⊂ 3𝑅. Vì vậy, chúng ta đạt được 1/ p   1 p II   [ sup | f ( y ) | dy ]  ( x ) dx    B xR  ( R ) R     [C.‖ f ‖ B 1/ p  . ( B ) ]p  ( x)dx  Lp ,  (  )  1/ p    C.‖ f ‖ Lp , ( ) . ( B ) .    ( x)dx  B    C‖ f ‖ Lp ,  (  )  ( B) 1  p . 13 Kết hợp các đánh giá trên, ta được 1/ p   p   M  f ( x)  ( x)dx  B   3C‖ f ‖ Lp , ( )  ( B ) 1  p . 1/ p   1 M  f ( x) p  ( x)dx   1 p  B   ( B)  Vậy toán tử 𝑀𝜔 bị chặn trên 𝐿𝑝,𝜆 (𝜔).  3C‖ f ‖ Lp , ( ) .