Tài liệu Toán tử dương trong không gian banach và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM THỊ TIẾN TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM THỊ TIẾN TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI, 2017 1 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại Trường. Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 8 năm 2017 Phạm Thị Tiến i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Toán tử dương trong không gian Banach và ứng dụng" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm và nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác. Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi cũng xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 8 năm 2017 Phạm Thị Tiến Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan i Các kí hiệu 1 Lời mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Nón và thứ tự bộ phận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 2 Toán tử dương 2.1 Toán tử dương tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Nén nón và toán tử mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 26 3 Một số ứng dụng 3.1 Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân cấp 2 . . 3.2 Phương trình tích phân Hammerstein trên nửa đường thẳng 3.3 Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 47 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 ii 57 1 Các kí hiệu kxk C[a, b] max C 1 [a, b] Min intP B(x0 , r) limx→∞ f (x) à supX f l1 inf X f diam(Ω) conv(Ω) iX (F, Ω) Lp (I, m) l∞ ∂Ω conv(Ω)  ≤ lp Chuẩn của x Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] Giá trị lớn nhất Tập tất cả các hàm khả vi liên tục trên [a, b] Giá trị nhỏ nhất Phần trong của P Hình cầu mở tâm x0 bán kính r Giới hạn của hàm f khi x → ∞ Phức hóa của A Cận trên đúng của f trên X Không gian các dãy hội tụ về 0 Cận dưới đúng của f trên X Đường kính của Ω Bao lồi đóng của Ω Chỉ số điểm cố định của F trên Ω Không gian các hàm p-khả tích Lesbesgue trên I với hàm trọng số m Không gian các dãy Biên của Ω Bao lồi của Ω Quan hệ thứ tự Nhỏ hơn hoặc bằng Không gian các dãy số mà tổng lũy thừa cấp p của các hạng tử là hữu hạn 2 Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết các toán tử dương đóng vai trò quan trọng trong nhiều chủ đề của Giải tích hàm. Những phương pháp dựa vào lý thuyết này rất hiệu quả, chính xác và có nhiều ứng dụng rộng rãi (xem [3] và những tài liệu dẫn trong đó). Trong những năm qua việc nghiên cứu các tính chất và ứng dụng của toán tử dương đã được quan tâm nhiều. Vì vậy, sau khi học được các kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các kiến thức đã học và ứng dụng của chúng, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Toán tử dương trong không gian Banach và ứng dụng” để thực hiện luận văn của mình. Luận văn gồm ba chương: Chương 1 "Một số kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức cơ bản về Không gian Banach, Nón và thứ tự bộ phận. Chương 2 "Toán tử dương" trình bày một số khái niệm và tính chất của toán tử dương tuyến tính, sự nén nón và toán tử mở rộng. Chương 3 "Một số ứng dụng" đưa ra các bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân cấp 2, phương trình tích phân Hammerstein trên nửa đường thẳng,bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân trong không gian Banach. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về toán tử dương và ứng dụng của toán tử dương trong không gian Banach. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Tìm hiểu một cách hệ thống về lý thuyết toán tử dương và ứng dụng của toán tử dương trong không gian Banach. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Toán tử dương và ứng dụng của toán tử dương trong không gian Banach. 5. Phương pháp nghiên cứu. 3 Tìm hiểu các tài liệu, sách, báo liên quan đến kết quả đã có về toán tử dương trong khôn gian Banach. Tổng hợp kiến thức và trình bày một cách hệ thống. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài. Hệ thống các kiến thức về một số tính chất và ứng dụng của toán tử dương trong không gian Banach để góp phần làm phong phú hơn các kết quả, sự hiểu biết về toán tử dương trong không gian Banach. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm cơ bản sẽ cần đến trong các chương sau. 1.1 Không gian Banach Mục đích của phần này là ta nhắc lại một số khái niệm về không gian Banach. Chủ yếu được lấy từ [1]. Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là k·k và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) (∀x ∈ X)kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇐⇒ x = θ (ký hiệu phần tử không là θ); 2) (∀x ∈ X)(∀α ∈ P )kαxk = |α|kxk; 3) (∀x, y ∈ X)kx + yk ≤ kxk + kyk. Số kxk gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng ký hiệu khôn gian định chuẩn là X. Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề của chuẩn. Định nghĩa 1.1.2. Dãy điểm (xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ đến điểm x ∈ X, nếu limn→∞ kxn − xk = 0. Ký hiệu lim xn = x hay xn −→ x khi n −→ ∞. n→∞ Định nghĩa 1.1.3. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu lim kxn − xm k = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.1.4. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. 4 5 1.2 Nón và thứ tự bộ phận Mục đích của phần này là cung cấp một vài thông tin về nón và thứ tự bộ phận trong không gian Banach. Định nghĩa 1.2.1. ([3], tr.9) Một tập P khác rỗng, P 6= {θ}, của không gian Banach thực E gọi là một nón nếu P là đóng, lồi và i) λx ∈ P với mọi x ∈ P và λ ≥ 0, ii) Nếu x, −x ∈ P thì x = θ. Rõ ràng, P + P ⊂ P . Nó được biết đến rằng mỗi nón sinh ra một quan hệ thứ tự trong E như sau: Với x, y ∈ E và P là nón trong E ta nói rằng x  y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P. Hơn nữa, ta sẽ viết x ≺ y nếu y − x ∈ P \ {θ} và x  y nếu y − x ∈ / P. Bây giờ ta đi đến nón được bổ sung một vài tính chất. Đầu tiên, ta thảo luận về nón chuẩn. Định nghĩa 1.2.2. ([3], tr.10) Một nón P được gọi là chuẩn nếu tồn tại γ > 0 sao cho nếu θ  x  y, thì kxk ≤ γkyk. Số γ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hằng số chuẩn của P . Hiển nhiên, γ ≥ 1. Nói cách khác, một nón là chuẩn nếu chuẩn trong E là nửa đơn điệu. Khái niệm khác về nón chuẩn là rất hữu ích và sẽ thường xuyên được sử dụng sau này là: Bổ đề 1.2.1. ([3], tr.10) Một nón P là chuẩn nếu và chỉ nếu tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ P kx + yk ≥ δkxk. Chứng minh. Giả sử rằng P là nón chuẩn. Lấy x, y ∈ P . Từ θ  x  x + y, 6 theo chuẩn của P ta có kx + yk ≥ 1 kxk. γ Bây giờ ta giả sử rằng tồn tại δ > 0 sao cho kx + yk ≥ δkxk với mọi x, y ∈ P . Nếu θ  x  y thì y − x ∈ P . Kết quả là kyk = kx + y − xk ≥ δkxk, Điều đó có nghĩa rằng P là chuẩn. Bây giờ đã sẽ đưa ra một vài ví dụ về nón chuẩn. Ví dụ 1.2.1. Trong không gian Banach C[a; b] tất cả các hàm liên tục trên [a; b] với chuẩn kxk = max |x(t)|, t∈[a;b] xét tập P := {x ∈ C[a; b] : x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b]}. Dễ dàng kiểm tra P là nón trong C[a; b]. Quan hệ thứ tự cảm sinh P được cho ở dưới x  y nếu và chỉ nếu x(t) ≤ y(t) trên [a; b]. Do đó, nếu 0  x  y thì kxk ≤ kyk. Rõ ràng P là nón pháp với hằng số pháp γ = 1 Ví dụ sau đây chỉ ra một nón không phải là nón pháp. Ví dụ 1.2.2. Xét không gian Banach C 1 [0; 1] của các hàm khả vi liên tục trên [0; 1] với chuẩn kxk = max |x(t)| + max |x0 (t)|. t∈[0;1] t∈[0;1] Đặt P = {x ∈ C 1 [0; 1] : x(t) ≥ 0 trên [0; 1]}. Chắc chắn P là nón trong C 1 [0; 1]. Giả sử tồn tại γ > 0 thỏa mãn 0  x  y thì kxk ≤ γkyk. 7 Đặt xn (t) = sin nπt + 1 và yn (t) ≡ 2 trên [0; 1]. Khi đó 0  xn  yn , kxn k = 2 + nπ và kyn k = 2 với mọi n ∈ N. Ở kết quả 2 + nπ ≤ 2γ với mọi n ∈ N, điều này dẫn đến P không là nón pháp. Bổ đề 1.2.2. ([3], tr.12) Cho P là nón trong E. Khi đó, với u ∈ P \ {θ} tồn tại số thực dương σ(u) sao cho kx + uk ≥ σ(u)kxk với mọi x ∈ P. Chứng minh. Cố định u ∈ P \ {θ}. Giả sử phản chứng rằng với n ∈ N tồn tại xn ∈ P sao cho 1 kxn + uk < kxn k. (1) n Nếu dãy {kxn k} bị chặn thì từ (1) suy ra lim = −u. n→∞ Suy ra −u ∈ / P . Điều này mâu thuẫn với tính đóng của P . Nếu {kxn k} không bị chặn, ta có thể chọn dãy con (xnk ) ⊂ P \ {θ} thỏa mãn lim kxnk k = ∞ k→∞ Khi đó, từ (1) ta nhận được với mọi k ∈ N 1 kxnk + uk < . kxnk k nk Ở đó 1− kuk 1 < kxnk k nk với mọi k ∈ N, điều đó là vô lý. Dễ dàng chỉ ra σ(u) ≤ 1(xem [3], tr.12). Vì vậy, để chính xác, ta có thể xác định σ(u) như là số thực dương lớn nhất thỏa mãn bổ đề 1.2.2 Hệ quả 1.2.1. ([3],tr.13) Cho P là nón trong E và u ∈ P \ {θ}. Nếu σ(u) > 0 thỏa mãn kx + uk ≥ σ(u)kxk với mọi x ∈ P , thì với mọi λ > 0 có kx + λuk ≥ σ(u)kxk. 8 Chứng minh. Với λ > 0. Từ bổ đề 1.2.2 1 1 kx + λuk = λk x + uk ≥ λσ(u)k xk = σ(u)kxk. λ λ Ví dụ 1.2.3. Cho P là nón được xét đến trong ví dụ 1.2.2, thỏa mãn P = {x ∈ C 1 [0; 1] : x(t) ≥ 0, t ∈ [0; 1]} cố định u(t) ≡ 1 trên [0; 1]. Khi đó σ(u) = 1 Tiếp theo, ta sẽ đề cập tới lớp quan trọng khác của nón. Định nghĩa 1.2.3. ([3], tr.13) Nón P được gọi là nón khối nếu nó có phần trong khác rỗng, tức là intP 6= ∅ Quan sát thấy nón P được xét ở ví dụ 1.2.1 là nón khối. Nó có phần trong là tập tất cả các hàm x(t) ∈ C[a; b] mà min[a;b] x(t) > 0. Kết luận tương tự cho hình nón trong ví dụ 1.2.2. Bổ đề 1.2.3. ([3], tr.13) Cho P là nón khối trong E và x0 ∈ intP . Khi đó với mỗi x ∈ E tồn tại β(x) > 0 thỏa mãn −β(x)x0  x  β(x)x0 . Chứng minh. Từ x0 ∈ intP , tồn tại r > 0 thỏa B(x0 , r) ⊂ P , ở đó B(x0 , r) là hình cầu mở tâm tại x0 với bán kính r. Cho x ∈ E \ {θ}. Khi đó r r x0 − x, x0 + x ∈ B(x0 , r). 2kxk 2kxk Vì thế − 2kxk 2kxk x0 ≤ x ≤ x0 . r r Hệ quả 1.2.2. ([3], tr.14) Nếu P là nón khối trong E và x0 ∈ intP , thì với mỗi x ∈ E tồn tại δ(x) > 0 thỏa mãn x0 − δ(x)x ∈ P. 9 Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.3, với mỗi x ∈ E tồn tại β(x) > 0 thỏa mãn β(x)x0 − x ∈ P . Vì thế x ∈ P. x0 − β(x) Từ đó, ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.2.4. ([3], tr.14) Nón P được gọi là nón sinh, nếu E = P − P , ở đó P − P = {x ∈ E : x = u − v, u, v ∈ P }. Bây giờ ta sẽ nghiên cứu sự liên hệ giữa nón khối và nón sinh Bổ đề 1.2.4. ([3],tr.14) Nếu P là nón khối thì P là nón sinh. Chứng minh. Cho x0 ∈ intP . Khi đó tồn tại r > 0 thỏa mãn B(x0 , r) ⊂ P . Như trong bổ đề 1.2.3 ta có r r x, x0 + x ∈ B(x0 , r) x0 − 2kxk 2kxk với mọi x ∈ E \ {θ}. Nhưng     kxk r r kxk u= x0 + x0 − x và v = x . r 2kxk r 2kxk Khi đó u, v ∈ P và x = u − v, vì x ∈ P − P . Quan sát thấy θ ∈ P − P . Do đó E = P − P , chứng minh kết thúc. Từ bổ đề trên, các hình nón được xét trong ví dụ 1.2.1 và 1.2.2 là sinh.Đặc biệt, với mọi x ∈ C[a; b] ta có x = u − v, ở đó u(t) = max{x(t), 0}, v(t) = max{−x(t), 0}, t ∈ [a; b]. Ta kết thúc phần này với ví dụ về nón sinh với phần trong khác rỗng. Ví dụ 1.2.4. Cho c0 là không gian Banach tất cả các dãy số thực x = {xi } hội tụ về không với chuẩn kxk = sup |xi |. i∈N Tập P = {x ∈ c0 : xi ≥ 0i ∈ N} 10 là nón trong c0 . Ta thấy rằng với x ∈ c0 có thể biểu diễn ở dạng x = u−v, ở đó ui = max{xi , o}, vi = max{−xi , 0}, i ∈ N. Do đó, P là nón sinh. Ta sẽ chỉ ra rằng P là nón khối. Với x = {xi } ∈ P . Từ limi→∞ xi = 0, ta có xi − ∀r > 0, ∃i0 ∈ N, ∀i > i0 i r 2 < 0. Đối với r > 0 tùy ý, đặt yi = ( xi , xi − 2r i i , = i 1, 2, ..., i0 , > i0 . Khi đó, y = {yi } ∈ c0 và r ∀ |xi − yi | ≤ . i∈N 2 Vì thế y ∈ B(x; r). Nhưng y ∈ / P bởi vì yi < 0 với i > i0 . Từ x và r là tùy ý, ta kết luận rằng intP = ∅. Chương 2 Toán tử dương 2.1 Toán tử dương tuyến tính Trong mục này ta sẽ nghiên cứu các tính chất bán kính phổ của toán tử tuyến tính bị chặn. Đặc biệt ta sẽ quan tâm tới ước lượng của bán kính phổ và bán kính phổ địa phương với tổng và hợp thành của các toán tử tác động trong không gian Banach được sắp thứ tự bộ phận. Định nghĩa 2.1.1. ([3], tr.16) Cho P là nón trong E và A : E → E là toán tử tuyến tính. Ta nói rằng A là toán tử dương nếu A(P ) ⊂ P . Dễ dàng thấy rằng từ định nghĩa trên A(P ) ⊂ P tương đương với A đơn điệu tăng, tức là, nếu x  y thì Ax  Ay Định nghĩa 2.1.2. ([3], tr.16) Cho P là nón trong E và u0 ∈ P \ {θ}. Toán tử tuyến tính dương A gọi là u0 -bị chặn trên nếu với mọi x ∈ P đều có B(x) > 0 thỏa mãn Ax  B(x)u0 Chứng minh của kết quả dứơi đây tương tự như trong Bổ đề 1.2.3 Bổ đề 2.1.1. ([3], tr.16) Giả sử P là nón khối trong E, u0 ∈ intP và A là toán tử dương bị chặn. Khi đó A là u0 - bị chặn trên. Ta kí hiệu L(E) là không gian Banach tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào E. Định nghĩa 2.1.3. ([3], tr.16) Cho A ∈ L(E). Số 1 r(A) = lim kAn k n x→∞ được gọi là bán kính phổ của A. 11 (2) 12 Cần chú ý rằng giới hạn 1 lim kAn k n x→∞ luôn tồn tại và 1 1 lim kAn k n = inf kAn k n . x→∞ x∈N Đây là kết quả của bất đẳng thức sau kAm+n k ≤ kAm k.kAn k, m, n ∈ N. Điều đó có nghĩa dãy an = kAn k là nhóm nhân tính, thỏa mãn am+n ≤ am an , m, n ∈ N. Nó có thể được chứng tỏ rằng với ε > 0 tồn tại chuẩn k.kε tương đương với chuẩn k.k thỏa mãn r(A) ≤k A kε ≤ r(A) + ε. Nhận xét. Bán kính phổ có thể được định nghĩa theo cách khác. Cho E là không gian Banach phức và A ∈ L(E) . Kí hiệu σ(A) là mật độ phổ của A. Khi đó số r(A) = max {|λ| : λ ∈ σ(A)} (3) được gọi là bán kính phổ của A. Với không gian Banach thực r(A) = r(Ã) theo định nghĩa, trong đó à là kí hiệu cho phức hóa của A. Nhắc lại rằng phức hóa Ẽ của không gian Banach thực E được xác định như không gian phức gồm tất cả các cặp (x;y), biểu thị bởi x + iy, x, y ∈ E. Phép cộng và phép nhân vô hướng được xác định một cách tự nhiên. Chuẩn k.kẼ trong Ẽ được cho bởi kx + iykẼ = max k(cos t)x + (sin t)yk. [0;2π] Bằng cách phức hóa A ∈ L(E) ta nhận được à ∈ L(Ẽ) xác định bởi Ã(x + iy) = Ax + iAy, x, y ∈ E. Dễ dàng chỉ ra kÃkẼ = kAk. Mật độ phổ của A được xác định như sau: σ(A) = σ(Ã) . Có thể chỉ ra rằng 1 lim k An k n = max {|λ| : λ ∈ σ(A)} . n→∞ 13 Chứng minh đẳng thức trên có thể được tìm thấy, (xem [3] trang 18). Trong nghiên cứu của ta chỉ xét tới không gian Banach thực và sử dụng công thức (2) là chủ yếu. Từ (2) ta nhận ngay được các công thức dưới đây của r(A): a) r(A) ≤ kAk, b) r(λA) = |λ|r(A) với mọi λ ∈ R, c) r(Ak ) = [r(A)]k với mọi k ∈ N. Trong trường hợp tổng quát, không dễ dàng tìm kiếm r(A) bởi (2). do đó, để tính r(A) ta thường sử dụng về khái niệm bán kính phổ địa phương của toán tử tuyến tính bị chặn. Định nghĩa 2.1.4. ([3], tr.18) Cho A ∈ L(E) và x ∈ E. Số 1 r(A, x) = lim supkAn xk n n→∞ (4) gọi là bán kính phổ địa phương của A tại x. Dễ dàng xác nhận được r(A, x) ≤ r(A) với mọi x ∈ E. Ta hãy chỉ ra rằng giới hạn 1 lim kAn xk n n→∞ có thể không tồn tại. Không giống như dãy {kAn k} , dãy {kAn xk} với x cố định thuộc E, trong trường hợp tổng quát, không nhân con. Ví dụ 2.1.1. ([3],tr.19) Với k, n ∈ N. Xét dãy ak = e−2n Ở đó 2n−1 ≤ k < 2n . Dễ thấy dãy {ak } là giảm. Hơn nữa, nếu kn = 2n−1 thì 1 lim (ak ) kn = e−2 , n→∞ trong khi với kn0 = 2n − 1. Khi đó, ta nhận 1 lim (akn0 ) kn0 = e−1 . n→∞  1 Do đó dãy akk là phân kỳ. Với x = {xk }, xác định bởi xk = ak − ak+1 , 14 Ở đó k ∈ N, ta có ∞ X |xk | = ∞ X (ak − ak+1 ) = a1 . k=1 k=1 Ở đó x ∈ l1 . Cho A là toán tử dịch chuyển trên l1 , tức là, Ax = (x2 , x3 , x4 , ...) Với x = {xk } ∈ l1 . Khi đó An x = (xn+1 , xn+2 , xn+3 , ...), và n kA xk = ∞ X |xn+k | = an+1 k=1 1 với mọi n ∈ N . Như là kết quả, giới hạn limn→∞ kAn xk n không tồn tại. Bây giờ ta chuyển qua một vài định lý quan trọng liên quan đến r(A) và r(A, x). Đầu tiên ta nhắc lại kết quả sau đây, (xem [3],tr.19). Định lý 2.1.1. ([3], tr.19) Cho A ∈ L(E). Nếu tồn tại a ≥ 0 thỏa mãn r(A, x) ≤ a với mọi x ∈ E, Khi đó r(A) ≤ a. Chứng minh. Giả sử 1 lim sup|An xk n ≤ a với mọi x ∈ E. n→∞ Do đó với mỗi ε > 0 tùy ý và mỗi x ∈ E có 1 số δ(x) ≥ 1 thỏa mãn với mọi n ∈ N k(a + ε)−n An xk ≤ δ(x). Theo định lý Banach - Steinhaus tồn tại δ ≥ 1 thỏa mãn k(a + ε)−n An k ≤ δ với mọi n ∈ N. Điều này cho thấy 1 lim supkAn k n ≤ a + ε. n→∞  1 Do chuỗi kAn k n hội tụ, ta nhận được r(A) ≤ a + ε , vì ε > 0 tùy ý, suy ra điều phải chứng minh. 15 Trong [3],tr.20, Danẽs đã đạt được sự cải thiện của định lý 2.1.1 . Cụ thể, ông chứng minh rằng tập các phần tử x ∈ E với r(A, x) = r(A) là tập thuộc phạm trù thứ hai trong E. Trong trường hợp đặc biệt, r(A) = max r(A, x) : x ∈ E (5) Các chứng minh của (5) cùng được đưa ra trong [3],tr.20. Trong đó, Förster và Nagy thu được mở rộng sau đây của (5) cho các toán tử dương tương ứng với nón sinh. Định lý 2.1.2. ([3],tr.20) Nếu P là nón sinh trong E và A ∈ L(E) là toán tử dương thì r(A) = max{r(A, x) : x ∈ P }. Chứng minh. Theo (5) , ta có x0 ∈ E thỏa mãn r(A, x0 ) = r(A) . Từ P là nón sinh, tồn tại u0 , v0 ∈ P thỏa mãn x0 = u0 = v0 . Do đó  1 1 1 1 1 kAn x0 k n = kAn (u0 − v0 )k n ≤ 2 n max kAn u0 k n , kAn v0 k n với mọi n ∈ N . Vì vậy r(a, x0 ) ≤ max{r(A, u0 ), r(A, v0 )} ≤ r(A), suy ra r(A) = max{r(A, x) : x ∈ P } Bây giờ ta đưa ra 2 điều kiện đủ để r(A, x) = r(A) . Các kết quả thảo luận nói về toán tử tuyến tính dương bị chặn. Định lý 2.1.3. ([3] trang 21) Cho nón P là nón sinh và nón pháp trong E, u0 ∈ P \ {θ} và A ∈ L(E) là toán tử dương u0 - bị chặn trên. Thì r(A, u0 ) = r(A). Chứng minh. Rõ ràng r(A, u0 ) ≤ r(A). Vì vậy ta cần chỉ ra r(A) ≤ r(A, u0 ). Lấy u ∈ P . Khi đó tồn tại số β(u) > 0 thỏa mãn Au ≤ β(u)u0 . Vì A là toán tử dương và tăng, ta đạt được An u ≤ β(u)An−1 u0