Tài liệu Toán tử định vị trong không gian biến điệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HỒ HẢI HÀ TOÁN TỬ ĐỊNH VỊ TRONG KHÔNG GIAN BIẾN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2011 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HỒ HẢI HÀ TOÁN TỬ ĐỊNH VỊ TRONG KHÔNG GIAN BIẾN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn khoa học TS. BÙI KIÊN CƯỜNG Mã số: 60 46 01 Hà Nội-2011 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của TS Bùi Kiên Cường. Thầy đã tận tình hướng dẫn và cho tác giả những lời khuyên quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Tác giả xin trân trọng cảm ơn UBND Tỉnh Yên Bái, sở GD&ĐT Tỉnh Yên Bái, Ban giám hiệu trường THPT Trần Nhật Duật Tỉnh Yên Bái. Tác giả cũng xin được cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện cho giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt luận văn. Hà Nội, ngày 25 tháng 5 năm 2011 Tác giả Hồ Hải Hà. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, ngày 25 tháng 5 năm 2011 Tác giả Hồ Hải Hà. iii Mục lục Bảng kí hiệu và viết tắt v Mở đầu x 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 1.2 1.3 1.4 Không gian hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Không gian hàm cơ bản D(Ω) . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Không gian hàm suy rộng D0 (Ω) . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) . . . . . 3 1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 (Rn ) 5 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược . . . . 7 1.2.2 Biến đổi Fourier và đạo hàm . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng . . . . . . . . 14 1.2.4 Biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . 16 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.1 Không gian Sobolev cấp nguyên . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Không gian Sobolev cấp thực . . . . . . . . . . . 23 Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1 Không gian hỗn hợp chuẩn . . . . . . . . . . . . 25 1.4.2 Hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.3 Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng . . . . . . . . 30 iv 1.5 Không gian biến điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Toán tử định vị trong không gian Lp 2.1 2.2 37 Toán tử giả vi phân Tσ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Một số định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2 Tính bị chặn của toán tử giả vi phân . . . . . . . 43 2.1.3 Toán tử giả vi phân trên không gian Sobolev . . . 52 Biến đổi Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2.2 Biến đổi Weyl với biểu trưng thuộc Lp (R2n ), 1 ≤ p≤2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.3 Biến đổi Weyl với biểu trưng thuộc L∞ (R2n ) . . . 69 2.2.4 Biến đổi Weyl với biểu trưng thuộc Lp (R2n ), 2 < p<∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Phép biến đổi Weyl Compact . . . . . . . . . . . 76 Toán tử định vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3.2 Toán tử định vị bị chặn . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3.3 Toán tử định vị và phép biến đổi Weyl . . . . . . 85 2.3.4 Toán tử định vị compact . . . . . . . . . . . . . . 86 2.2.5 2.3 34 3 Toán tử định vị trong không gian biến điệu 88 3.1 Định nghĩa toán tử định vị trong không gian biến điệu . 88 3.2 Tính bị chặn của toán tử định vị . . . . . . . . . . . . . 89 3.3 Tính bị chặn của Toán tử định vị trên không gian Sobolev 95 3.4 Toán tử định vị compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Kết luận 103 Tài liệu tham khảo 104 v Bảng kí hiệu và viết tắt N: Tập hợp các số tự nhiên. N∗ : Tập hợp các số nguyên dương. |α| : Bậc của đa chỉ số α, n X |α| = αi , α = (α1 , ..., αn ) ∈ N∗ . i=1 R: Rn : C: Tập hợp các số thực. Không gian Ơclit n chiều. Tập hợp các số phức. z, |z| : Số phức liên hợp, mô đun của số phức z. Dα f : Đạo hàm cấp α của f, Dα f = (−1)|α| ∂ α f . ∂ αu : Đạo hàm riêng cấp α của u, (∂ α u)(ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ). C∞ : Không gian các hàm khả vi vô hạn. C0∞ (Ω) : Tập hợp các hàm khả vi vô hạn giá compact. C0 (Rn ) : Không gian các hàm liên tục có giá compact. D (Ω) : S (Rn ) : Không gian các hàm cơ bản. Không gian các hàm giảm nhanh. vi S 0 (Rn ) : Tx f : Không gian các hàm tăng chậm. Phép tịnh tiến theo x của hàm f, Tx f (t) = f (t − x) . Mω f : Sự điều biến theo ω của hàm f, Mω f (t) = e2πit·ω f (t) . f∗ : Phép đối hợp của f, f ∗ (x) = f (−x). fe : Phép đối xứng của f, f (x) = f (−x). (f ∗ g)(x) : Tích chập của f và g, Z (f ∗ g)(x) = f (y)g(y − x)dy. Rn fb, F (f ) : F −1 (f ) , fˇ : F, fˆ : X α f (x) : Biến đổi Fourier của hàm f . Biến đổi Fourier ngược của hàm f . Liên hợp của biến đổi Fourier f . Toán tử nhân, X α f (x) = xα f (x) . span{A} : Bao tuyến tính của tập A. Ap : Hằng số Babenko-Beckner,  p1/p 1/2 Ap = . (p0 )1/p0 Vg f : Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với hàm cửa sổ g, Z Vg f (x, ω) = f (t) g (t − x)e−2πit·ω dt. Rn F2 : Biến đổi Fourier của hàm F theo biến thứ 2, Z F2 F (x, ω) = F (x, t)e−2πit·ω dt. Rn vii Lp : Không gian các hàm đo được Lebesgue, có chuẩn Lp hữu hạn.   p1 Z kf kLp (Ω) =  |f (x)|p dx . Ω H s (Rn ) : Không gian Sobolev cấp s, H s (Rn ) = {u ∈ S 0 (Rn )| hξis Fu(ξ) ∈ L2 (Rn )}. H s,p (Ω) : Không gian các hàm Lp -Sobolev cấp s. H0m (Ω) : Bao đóng của C0∞ (Ω) trong H m (Ω). Lp,q (Rn ) : Không gian hỗn hợp chuẩn. kF kLp,q : Chuẩn trong không gian Lp,q (Rn ),  pq ! 1q Z Z kF kLp,q = |F (x, ω)|p dx dω . Rn 2n Lp,q m (R ) : kF kLp,q : m kF kLp,q m p,q Mm (Rn ) : p,q Mm (Rn ) kukMmp,q (Rn ) : kukMmp,q (Rn ) Tσ : Tσ ϕ(x) Rn Không gian hỗn hợp chuẩn có trọng. 2n Chuẩn trong không gian Lp,q m (R ), Z Z q 1 =( ( |F (x, ω)|p m(x, ω)p dx) p dω) q . Rn Rn Không gian biến điệu, 2n = {u ∈ S 0 (Rn )kVg u ∈ Lp,q m (R )}. p,q Chuẩn trong không gian Mm (Rn ), p,q n = kVg ukLp,q 2n , u ∈ Mm (R ). m (R ) Toán tử giả vi phân với biểu trưng σ, Z = (2π)−n/2 eix·ξ σ(x, ξ)ϕ̂(ξ)dξ, ϕ ∈ S(Rn ). Rn viii Tσ∗ : Liên hợp hình thức của toán tử Tσ . Js : Thế vị Bessel bậcs, s ∈ R, Js W (f, g) : W (f, g)(x, ξ) = F −1 (1 + |ξ|2 )−s/2 Fu, u ∈ S 0 (Rn ). Biến đổi Wigner của hai hàm f, g ∈ S(Rn ), Z p p = (2π)−n/2 e−iξ·p f (x + )g(x − )dp. 2 2 Rn V (f, g)(q, p) : V (f, g)(q, p) Wσ ϕ :
Wσ ϕ (x) Biến đổi Fourier-Wigner của f, g, = (2π)−n/2 hρ(q, p)f, gi , f, g ∈ S(Rn ). Biến đổi Weyl với biểu trưng σ của ϕ, Z Z x+y −n = (2π) ei(x−y)ξ σ( , ξ)ϕ(y)dydξ. 2 Rn Rn B(L2 (Rn )) : Là C ∗ − đại số của tất cả những toán tử bị chặn từ L2 (Rn ) vào L2 (Rn ). k.k∗ : Chuẩn trong B(L2 (Rn )). Sh f : Toán tử Hilbert-Schmidt trên L2 (Rn ), Z = h(x, y)f (y)dy, x ∈ Rn , f ∈ L2 (Rn ). (Sh f )(x) Rn 0 Lp∗ (R2n ) : với Lp∗ (R2n ) = {σ ∈ Lp (R2n )kσ̂ ∈ Lp (R2n )}. (W H)n : Nhóm Weyl-Heisenberg. Qs : Không gian các thế vị Bessel, Qs = {u ∈ S 0 (Rn ) : Λs u ∈ L2 (Rn )}. ix X[a,b] : ϕa (x) : Ta : Hàm đặc trưng trên [a, b]. Là hàm Gauss với ϕa (x) = e− πx2 a . Phép biến đổi tọa độ không đối xứng với Ta f (x, t) = f (t, t − x). Ts : f ⊗g : Phép biến đổi tọa độ đối xứng   t t . với Ts f (x, t) = f x + , x − 2 2 Tích ten sơ của hàm f và g, (f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t). x Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Toán tử định vị, hay còn gọi là toán tử Toeplitz hoặc toán tử antiWick, xuất hiện trong toán học lý thuyết và toán học ứng dụng, có xuất xứ từ những lĩnh vực nghiên cứu tương đối khác nhau, chúng có vị trí quan trọng nhất trong lớp các toán tử không tự liên hợp. Để thấy được sự tồn tại tự nhiên của toán tử định vị trong không gian biến điệu, chúng ta bắt đầu trong ngữ cảnh của giải tích thời gian-tần số, từ những vấn đề đơn giản sau: Nếu u(t) biểu diễn một tín hiệu, đó là một hàm của thời gian t, thì biến đổi Fourier û(ω) của nó biểu diễn hàm suy rộng của những tần số ω được chứa trong tín hiệu. Tuy nhiên, những kiến thức về tần số được chứa trong toàn bộ tín hiệu mà lại không có thông tin về thời gian tại thời điểm mà chúng xuất hiện thì không có ích cho việc phân tích những tín hiệu thay đổi theo thời gian nói chung. Để khắc phục vấn đề này, một ý tưởng rất cơ bản đầu tiên là của Gabor, là tập trung vào những khoảng thời gian nhỏ và phân tích tần số xuất hiện trong những khoảng thời gian này. Điều này có thể làm được bằng cách nhân hàm u(t) bởi một hàm phạt hoặc một hàm cửa sổ φ(t) trước khi nói đến khai triển Fourier. Việc phân tích những tần số tập trung ở trong một khoảng thời xi gian cố định x dẫn đến phép tính của tích phân Z Vφ u(x, ω) = e−2πit·ω φ(t − x)u(t)dt. (1) Rn Không gian Rnx ×Rnω được gọi là phẳng thời gian-tần số và hàm Vφ u(x, ω) còn được gọi là biến đổi Fourier thời gian ngắn của u (viết tắt là STFT), thể hiện các thời gian-tần số của tín hiệu. Theo nguyên lý không chắc chắn của Heisenberg thì kích cỡ của hàm cửa sổ không thể co lại một cách tùy ý mà không làm mất ý nghĩa của thông tin thu được về những tần số, cho nên một phân tích "tần số tức thời" trong thực tế là không có ý nghĩa. Tín hiệu u có thể tái xây dựng lại từ phân bố tín hiệu của nó bởi công thức 1 u(t) = kφkL2 Z Vφ u(x, ω)e2πit·ω φ(t − x)dxdω. (2) R2n Trước khi được tái xây dựng, tín hiệu được trải qua một quá trình xử lý hay là một quá trình lọc có trong một biến điệu STFT Vφ u của nó. Điều này có thể thu được bằng việc nhân nó với một hàm số F (x, ω), hàm số này hoạt động như một bộ lọc và khuyếch đại hay triệt tiêu những phần khác của sóng nằm trong những phần không cần thiết của mặt phẳng thời gian-tần số theo nhu cầu của quá trình này. Điều này dẫn đến việc xem xét những toán tử của tích phân sau: Z F Lφ u(x) = F (x, ω)Vφ u(x, ω)e2πit·ω φ(t − x)dxdω. (3) R2n Toán tử tích phân (3) được gọi là toán tử định vị. Có một thực tế là những cấu trúc toán học tương tự cũng làm nền tảng của việc xây dựng cơ học lượng tử. Đấy là một trạng thái của một hệ thống vật lý được thể hiện bởi một hàm số u(t) ∈ Lp (Rn ) và (2) phân tích trạng thái u(t) xii thành những trạng thái được khái quát bởi e2πit·ω φ(t − x). Những trạng thái này được xác định là phép tịnh tiến và điều biến, nghĩa là tích e2πit·ω φ(t − x) của một trạng thái cố định φ(t). Nghiên cứu về toán tử định vị đã chủ yếu tập trung vào nghiên cứu tác động của chúng trên L2 (Rn ), trong khi đó, với những gì chúng ta biết, rất ít kết quả về toán tử địa phương hóa hoạt động trong những không gian Banach khác nhau được biết đến. Một số kết quả theo hướng nghiên cứu này có nói về việc nghiên cứu tính chất bị chặn và tính compact của toán tử định vị trong không gian Lp . Với toán tử Weyl, người ta đã chứng minh không gian biến điệu p,q (Rn ), p, q ∈ (1, +∞) với m là hàm trọng, là lớp các đặc trưng của Mm những toán tử loại này, với lớp đặc trưng đó, tính bị chặn và tính chất Schatten-Von Newmann của toán tử Weyl đã được chứng minh. Một vấn đề tự nhiên là nghiên cứu về những đặc điểm cơ bản của toán tử định vị hoạt động trong không gian biến điệu, là xem xét một số khái niệm và tính chất, nghiên cứu tính bị chặn của toán tử định vị trong những không gian biến điệu khác nhau, với những biểu trưng trong không gian Lp . Sau đó sẽ nghiên cứu mở rộng các kết quả đó đối với các không gian thế vị Bessel và không gian Sobolev. Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về những toán tử định vị trên không gian biến điệu, cùng với sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường tôi lựa chọn đề tài: "Toán tử định vị trong không gian biến điệu " 2. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu về không gian biến điệu Nghiên cứu về một số toán tử định vị trong không gian Lp . Nghiên cứu về toán tử định vị trong không gian biến điệu. xiii 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày về không gian biến điệu Trình bày về một số toán tử định vị trong không gian Lp . Trình bày về toán tử định vị trong không gian biến điệu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Toán tử định vị trong không gian biến điệu. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến toán tử định vị trong không gian biến điệu. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết. Phương pháp phân tích, tổng hợp. 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm suy rộng Các nội dung trong phần này được tham khảo chủ yếu trong ([2],[5],[11],[12][19]). Ký hiệu Ω là một con tập mở của Rn . 1.1.1 Không gian hàm cơ bản D(Ω) Định nghĩa 1.1.1. Không gian hàm cơ bản được kí hiệu là D(Ω) là không gian gồm các hàm khả vi vô hạn trên Ω và có giá compact trong Ω với topo xác định bởi sự hội tụ như sau: Dãy {ϕj }∞ j=1 các hàm trong D(Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ D(Ω) nếu thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii): i, Có một tập compact K ⊂ Ω mà supp ϕj ⊂ K, j = 1, 2, . . . ii, lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ(x)| = 0, j→∞ với α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn . Khi đó ta viết là ϕ = D_ lim ϕj . j→∞ Ở đây với mọi đa chỉ số α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn α D ϕ= D1α1 D2α2 . . . Dnαn ϕ ∂ αn ∂ α1 ∂ α2 . . . αn ϕ. = (−i) ∂xα1 1 ∂xα2 2 ∂xn |α| Định lí 1.1.1. Không gian các hàm cơ bản D(Ω) là đầy đủ. 2 1.1.2 Không gian hàm suy rộng D0 (Ω) Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trên Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω). Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên Ω, kí hiệu là D0 (Ω). Hàm suy rộng f ∈ D0 (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là hf, ϕi. Ví dụ 1.1.2. Cho f ∈ L1loc (Ω), khi đó phiếm hàm liên tục trên D(Ω) được xác định bởi: Z f : ϕ 7→ hf, ϕi = f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ D(Ω) (1.1) Ω là một hàm suy rộng. Hàm suy rộng biểu diễn như (1.1) được gọi là hàm suy rộng chính quy. Hàm suy rộng không chính quy được gọi là hàm suy rộng kỳ dị. Ví dụ 1.1.3 (Hàm suy rộng Delta Dirac). Ký hiệu δ là phiếm hàm xác định bởi: δ : ϕ 7→ hδ, ϕi = ϕ(0), ϕ ∈ D(Ω), 0 ∈ Ω. Nhận xét 1.1.4. Hàm suy rộng δ còn được gọi là hàm suy rộng Delta Dirac và hàm suy rộng Delta Dirac là hàm suy rộng kỳ dị. Thật vậy, với mọi ϕ1 , ϕ2 ∈ D(Ω) thì: hδ, ϕ1 + ϕ2 i = (ϕ1 + ϕ2 )(0) = ϕ1 (0) + ϕ2 (0) = hδ, ϕ1 i + hδ, ϕ2 i . hδ, λϕi = (λϕ)(0) = λ ϕ(0) = λ hδ, ϕi . Giả sử tồn tại một hàm khả tích địa phương u sao cho: Z ϕ(0) = hδ, ϕi = u(x)ϕ(x)dx, ϕ ∈ D(Ω). Rn Lấy dãy ϕk ∈ D(Ω) được xác định bởi ϕk (x) = ϕ(kx) và ϕ(0) = c 6= 0. 3 Khi k → ∞ theo Định lí hội tụ bị chặn Lebesgue thì: Z u(x)ϕk (x)dx → 0. ϕ(0) = lim k→∞ Rn Điều này là mâu thuẫn với ϕ(0) = c 6= 0. Nên không tồn tại hàm khả tích địa phương u để Z hδ, ϕi = ϕ(0) = u(x)ϕ(x)dx. Rn Vậy δ là hàm suy rộng kì dị. Định nghĩa 1.1.3. Cho f ∈ D0 (Ω), α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn . Đạo hàm cấp α của hàm suy rộng f trong Ω, kí hiệu là Dα f là hàm suy rộng trên Ω được xác định bởi: hDα f, ϕi = (−1)|α| hf, Dα ϕi , ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + . . . + αn . Định nghĩa 1.1.4. Cho fk , f ∈ D0 (Ω), k = 1, 2, . . . 0 Ta nói rằng, dãy {fk }∞ k=1 hội tụ đến f trong D (Ω) khi k → ∞ nếu lim hfk , ϕi = hf, ϕi , ∀ϕ ∈ D (Ω) . k→∞ Kí hiệu D0 _ lim fk = f . k→∞ Với khái niệm hội tụ đó chúng ta có Định lí 1.1.5 ([13],[14]). Không gian hàm các hàm suy rộng D0 (Ω) là đầy đủ. 1.1.3 Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) Với mọi α, β ∈ Nn . 4 Định nghĩa 1.1.5. Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là S (Rn ) là tập hợp được xác định bởi:     S(Rn ) = ϕ ∈ C ∞ (Rn )| sup xα Dβ ϕ(x) < ∞, ∀x ∈ Rn Rn cùng với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau: n n Dãy {ϕk }∞ k=1 trong S (R ) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S(R ) nếu:   lim sup xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ (x) = 0. Kí hiệu S_ lim ϕk = ϕ. k→∞ k→∞ x∈Rn Chú ý 1.1.6. 1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) là giảm nhanh khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa mãn: a) Với mỗi m ∈ N, β ∈ Nn có m    2 Dβ ϕ (x) ≤ Cm,β , với mọi x ∈ Rn . 1 + |x| b) Với mỗi m ∈ N∗ có  m X   2 Dβ ϕ (x) ≤ Cm , với mọi x ∈ Rn . 1 + |x| |β|≤m 2. Với mỗi λ, µ ∈ C, ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ S (Rn ) , k = 1, 2, . . . Nếu S_ lim ϕk = ϕ và lim ψk = ψ thì k→∞ k→∞ S_ lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ. k→∞ 3. Với mỗi α ∈ Nn , phép toán đạo hàm Dα là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S (Rn ) vào S (Rn ). 4. Không gian các hàm cơ bản D(Ω) trù mật trong không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ). Bổ đề 1.1.1. Nếu ϕk → 0 trong S(Rn ) thì ϕk → 0 trong Lp (Rn ) khi k → ∞, 1 ≤ p ≤ ∞. 5 Hệ quả 1.1.1. Nếu f ∈ S(Rn ) và một dãy {gk }∞ k=1 gồm những hàm trong S(Rn ) sao cho gk → 0 trong S(Rn ) thì Z  p
 p
  δ |α| |β|  γ |x| |p| (∂ f ) x +  (∂ gk ) x −  dp, 2 2 Rn với mọi α, β, γ, δ ∈ Nn là hội tụ đều về 0 theo x trên Rn khi k → ∞. Định lí 1.1.7 ([5]). Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) là đầy đủ. Nhận xét 1.1.8. Chúng ta có D(Rn ) ⊂ S(Rn ) ⊂ C ∞ (Rn ). 1.1.4 Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 (Rn ) Định nghĩa 1.1.6. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 (Rn ) là không gian topo đối ngẫu của S (Rn ), nói cách khác S 0 (Rn ) là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (Rn ) . Mệnh đề 1.1.9 ([19]). Hàm suy rộng f là hàm suy rộng tăng chậm khi và chỉ khi f là một phiếm hàm tuyến tính trên S (Rn ) và tồn tại một số dương C và với mọi đa chỉ số α, β ∈ Nn sao cho   |hf, ϕi| ≤ C sup xα ∂ β ϕ(x) với mọi ϕ ∈ S(Rn ). x∈Rn 0 n Định nghĩa 1.1.7. Dãy {uk }∞ k=1 trong S (R ) được gọi là hội tụ về 0 trong S 0 (Rn ) nếu uk (ϕ) → 0 khi k → ∞, với mọi ϕ ∈ S(Rn ). Khi đó kí hiệu uk → 0. Định nghĩa 1.1.8. Cho u là một hàm suy rộng tăng chậm, với mọi đa chỉ số α đạo hàm của u ký hiệu ∂ α u được xác định bởi: (∂ α u)(ϕ) = (−1)|α| u(∂ α ϕ), ϕ ∈ S(Rn ).