Tài liệu Toán cao cấp a1 bài giảng

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (A1) Biên soạn: TS. VŨ GIA TÊ Ths. ĐỖ PHI NGA Chương 1: Giới hạn của dãy số CHƯƠNG I: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1.1. SỐ THỰC. 1.1.1. Các tính chất cơ bản của tập số thực. A. Sự cần thiết mở rộng tập số hữu tỉ Q. Do nhu cầu đòi hỏi của cuộc sống,tập các số tự nhiên N={0,1,2,...}, cơ sở của phép đếm đã được mở rộng sang tập các số nguyên Z={0, ± 1, ± 2,...}. Sau đó, do trong Z không có các phần tử mà tích với 2 hoặc 3 bằng 1, nên nguời ta đã xây dựng tập các số hữu tỉ Q, đó là tập gồm các số được biểu diễn bởi tỉ số của hai số nguyên, tức là số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Nếu chỉ dừng lại trên tập Q thì trong toán học gặp phải nhiều điều hạn chế, đặc biệt là gặp khó khăn trong việc giải thích các hiện tượng của cuộc sống. Chẳng hạn việc tính đường chéo của hình vuông có kích thước đơn vị. Đường chéo đó là 2 không thể mô tả bởi số hữu tỉ. Thật vậy m nếu 2 = ∈ Q trong đó ƯSCLN(m, n)=1 thì m2=2n2 ⇒ m=2p và 4p2=2n2 ⇒ n=2q. Điều này vô n lí vì lúc này m, n có ước chung là 2. Chứng tỏ 2 ∉ Q. Những số xuất hiện và được dùng thường xuyên trong giải tích như e, π cũng không phải là số hữu tỉ. B. Số vô tỉ. Một số biểu diễn dưới dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn,hay không thể biểu diễn dưới dạng tỉ số của hai số nguyên được gọi là số vô tỉ. C. Số thực. Tất cả các số hữu tỉ và số vô tỉ tạo thành tập hợp số thực. Kí hiệu tập số thực là R. Vậy tập số vô tỉ là R\Q. Người ta có thể xây dựng tập số thực R nhờ vào một hệ suy diễn hay nói cách khác nhờ vào một hệ tiên đề.Chúng ta không trình bày ở đây mà coi rằng tập hợp số thực R là quá quen thuộc và kiểm tra lại sự thoả mãn tiên đề đó. Chúng ta coi đó là các tính chất của tập hợp R. Tính chất 1: Tập R là một truờng giao hoán với hai phép cộng và nhân: (R, + , .). 1. ∀a, b ∈ R, a + b ∈ R, a.b ∈ R 2. ∀a, b, c ∈ R, ( a + b) + c = a + (b + c ), ( a.b)c = a (bc ) 3. ∀a, b ∈ R, a + b = b + a, ab = ba 4. R có phần tử trung hoà đối với phép cộng là 0 và đối với phép nhân là 1 ∀a ∈ R , a + 0 = 0 + a = a 3 Chương 1: Giới hạn của dãy số a.1 = 1.a = a 5. Phân phối đối với phép cộng ∀a, b, c ∈ R, a (b + c) = ab + ac (b + c ) a = ba + ca 6. Tồn tại phần tử đối của phép cộng ∀a ∈ R, ∃( − a ), a + ( − a ) = 0 Tồn tại phần tủ nghịch đảo của phép nhân ∀a ∈ R * , R * = R \ {0}, ∃a −1 , a.a −1 = 1 Tính chất 2: Tập R được xếp thứ tự toàn phần và đóng kín đối với các số thực dương. 1. ∀a, b ∈ R, a < b hoặc a = b hoặc a > b 2. ∀a, b, c ∈ R, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀a, b ∈ R, c ∈ R+ , a ≤ b ⇒ ac ≤ bc 3. ∀a, b ∈ R+ , a + b ∈ R+ , ab ∈ R+ Tính chất 3: Tập R là đầy theo nghĩa sau đây: Mọi tập con X không rỗng của R bị chặn trên trong R đều có một cận trên đúng thuộc R và mọi tập con không rỗng X của R bị chặn dưới trong R đều có một cận dưới đúng thuộc R. Cho X ⊂ R và a ∈ R Gọi a là cận trên của X trong R nếu x ≤ a, ∀x ∈ X . Gọi a là cận dưới của X trong R nếu x ≥ a, ∀x ∈ X . Gọi X bị chặn trên trong R(bị chặn dưới) khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một cận trên (cận dưới) của X trong R. Gọi số nhỏ nhất trong các cận trên của X trong R là cận trên đúng của X trong R, kí hiệu số đó là M* hay SupX (đọc là Suprémum của X). Gọi số lớn nhất trong các cận dưới của X trong R là cận dưới đúng của X trong R, kí hiệu số đó là m* hay InfX (đọc là Infimum của X). Nếu M* ∈ X thì nói rằng M* là phần tử lớn nhất của X, kí hiệu M*=SupX=MaxX. Nếu m* ∈ X thì nói rằng m* là phần tử nhỏ nhất của X, kí hiệu m*=InfX= MinX. Gọi X là bị chặn trong R khi và chỉ khi X bị chặn trên và bị chặn dưới trong R. Chú ý: 1. Tập R\Q không ổn định đối với phép cộng và phép nhân, chẳng hạn 4 Chương 1: Giới hạn của dãy số ± 2 ∈ R \ Q nhưng 2 + (− 2 ) ∉ R \ Q 2. 2 ∉ R \ Q 2. ∀x ∈ R \ Q, ∀y ∈ Q, x + y ∈ R \ Q xy ∈ R \ Q 1 ∈R\Q x Nếu M là cận trên của tập X thì SupX ≤ M và nếu m là cận dưới của tập X thì InfM ≥ m. 4. Nếu M*=SupX thì ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ M * − ε < α Nếu m*=InfX thì ∀ε > 0, ∃α ∈ X ⇒ m * + ε > α Ví dụ 1: Chứng minh ( 2 + 3 + 6 ) ∈ R \ Q Giải: Giả sử q= 2 + 3 + 6 ∈ Q ⇒ ( 2 + 3 ) 2 = ( q − 6 ) 2 hay q 2 + 1 = 2( q + 1) 6 , dễ dàng chứng minh 6 ∉ Q (tưong tự như chứng minh và q2+1=0. Điều này là mâu thuẫn. Vậy q ∉ Q. 2 ∉ Q ). Theo chú ý trên suy ra q+1=0 Ví dụ 2: Tìm các cận dưới đúng và cận trên đúng trong R nếu chúng tồn tại của tập ⎧ 1 (−1) n ⎫ X =⎨ n + , n ∈ N * ⎬ = un , n ∈ N * n ⎩2 ⎭ { } Giải: ∀p ∈ N * có 1 1 3 + ⇒ 0 < u2 p ≤ u2 = 2p 2p 4 2 1 1 1 1 1 1 u 2 p +1 = 2 p +1 − ⇒− ≤− ≤ u 2 p +1 ≤ 2 p +1 ≤ 2 p +1 3 2 p +1 8 2 2 1 u1 = − 2 u2 p = suy ra ∀n ∈ N * có − 1 3 = u1 ≤ u n ≤ u 2 = 2 4 InfX=minX= − 1 3 , SupX=maxX= 2 4 Ví dụ 3: Cho A, B là hai tập không rỗng của R và bị chặn trên. a. Chứng minh Sup ( A ∪ B )=Max(Sup(A), Sup(B)). b. Gọi A+B= {x ∈ R, ∃(a, b) ∈ A × B, x = a + b} , chứng minh 5 Chương 1: Giới hạn của dãy số Sup(A+B) = Sup(A) + Sup(B) Giải: a. Kí hiệu α = SupA, β = SupB , γ = Max (α , β ) . Vậy tập hợp các cận trên của A ∪ B chính là X= {x, x ≥ α và x ≥ β } hay X= {x, x ≥ γ } Vậy γ = Sup ( A ∪ B ) b. ∀a ∈ A, a ≤ SupA ∀b ∈ B, b ≤ SupB ⇒ ∀a + b ∈ A + B, a + b ≤ SupA + SupB ⇒ M * = Sup( A + B) ∀ε > 0 ∃a ∈ A, a > SupA − ∃b ∈ B, b > SupB − ε 2 ε 2 ⇒ ∃a + b ∈ A + B, a + b > SupA + SupB − ε ⇒ ∃M * = SupA + SupB = Sup( A + B) 1.1.2. Tập số thực mở rộng Người ta thêm vào tập số thực R hai phần tử kí hiệu là − ∞ và + ∞ . Tập số thực mở rộng kí hiệu là R và R = R ∪ {− ∞,+∞}, các phép toán + và ., quan hệ thứ tự được định nghĩa như sau: 1. ∀x ∈ R x + ( +∞ ) = ( +∞) + x = +∞ x + ( −∞ ) = ( −∞) + x = −∞ (+∞) + (+∞ ) = +∞ 2. ( −∞) + (−∞ ) = −∞ 3. ∀x ∈ R+* , R+* = {x ∈ R, x > 0} x( +∞ ) = (+∞ ) x = +∞ x( −∞ ) = (−∞ ) x = −∞ ∀x ∈ R−* , R−* = {x ∈ R, x < 0} x(+∞ ) = (+∞ ) x = −∞ x(−∞ ) = (−∞ ) x = +∞ 4. (+∞ )(+∞) = ( −∞ )(−∞) = +∞ (+∞ )(−∞) = (−∞ )(+∞) = −∞ 5. ∀x ∈ R 6 Chương 1: Giới hạn của dãy số − ∞ < x < +∞ − ∞ ≤ −∞ + ∞ ≤ +∞ 1.1.3. Các khoảng số thực Cho a, b ∈ R và a ≤ b . Trong R có chín loại khoảng sau đây: [a, b] = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b} được gọi là đoạn hay khoảng đóng bị chặn [a, b ) = {x ∈ R; a ≤ x < b} được gọi là khoảng nửa đóng hoặc nửa mở (a, b] = {x ∈ R; a < x ≤ b} [a,+∞ ) = {x ∈ R; a ≤ x} (− ∞, a] = {x ∈ R; x ≤ a} (a, b ) = {x ∈ R; a < x < b} được gọi là các khoảng mở (a,+∞ ) = {x ∈ R; a < x} (− ∞, a ) = {x ∈ R; x < a} Các số thực a,b gọi là các mút của khoảng. 1.1.4. Giá trị tuyệt đối của số thực A. Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số thực x, kí hiệu x là một số thực không âm xác định như sau ⎧ ⎪x ⎪ x =⎨ ⎪− x ⎪⎩ khi x ≥ 0 khi x ≤ 0 B. Tính chất 1. ∀x ∈ R, x = Max( x,− x) 2. x = 0 ⇔ x = 0 3. ∀x, y ∈ R, * ∀n ∈ N , xy = x y n n i =1 i =1 ∀x1 , x 2 , x3 , K , x n ∈ R, ∏ xi = ∏ xi ∀x ∈ R, x n = x n 7 Chương 1: Giới hạn của dãy số 4. ∀x ∈ R * , 1 1 = x x 5. ∀x, y ∈ R, x + y ≤ x + y ∀n ∈ N * , ∀x1 , x 2 ,K, x n ∈ R, n n i =1 i =1 ∑ xi ≤ ∑ xi 6. ∀x, y ∈ R, Max( x, y ) = 1 (x + y + x − y ) 2 Min( x, y ) = 1 (x + y − x − y ) 2 7. ∀x, y ∈ R, x − y ≤ x− y 1.1.5. Khoảng cách thông thường trong R A. Định nghĩa: Khoảng cách trong R là ánh xạ d : R× R → R ( x, y ) a x− y Đó là hình ảnh trực quan về khoảng cách giữa 2 điểm x và y trên đường thẳng trục số thực R. B. Tính chất 1. d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y 2. ∀x, y ∈ R, d ( x, y ) = d ( y , x ) 3. ∀x, y, z ∈ R, d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) 4. ∀x, y, z ∈ R, d ( x, y ) − d ( x, z ) ≤ d ( y, z ) 8 Chương 1: Giới hạn của dãy số 1.2. SỐ PHỨC Chúng ta đã biết rằng trong trường số thực R không thể phân tích thành thừa số tam thức bậc hai ax 2 + bx + c khi Δ = b 2 − 4ac < 0 .Tuy nhiên sẽ rất tiện lợi nếu có thể thừa số hoá tam thức này thành dạng a(x − α )( x − β ) trong đó α , β ∉ R .Nhằm mục đích này thêm vào R một phần tử mới, kí hiệu là i (gọi là đơn vị ảo) kết hợp với các cặp số thực ( x, y ) ∈ R 2 để tạo ra các số phức. 1.2.1. Định nghĩa và các dạng số phức A. Định nghĩa: Cho ( x, y ) ∈ R 2 , một số biểu diễn dưới dạng z=x+iy, trong đó i = −1 2 gọi là một số phức. Tập các số phức kí hiệu là C. Gọi x là phần thực của z, kí hiệu Rez =x y là phần ảo của z, kí hiệu là Imz =y Gọi môđun của z,kí hiệu z xác định bởi số thực không âm z = x2 + y2 = r ≥ 0 Gọi Acgumen của z , kí hiệu Argz xác định bởi số thực ⎧ Argz= θ ∈ R; ⎨θ ∈ R; cos θ ⎩ = x y ⎫⎪ và sin θ = ⎬ , với z ≠ 0 z ⎪⎭ z Như vậy Acgumen của z sai khác nhau k 2π , k ∈ Z và Arg0 không xác định. Vậy số phức z có các dạng viết: 1. z =x+iy gọi là dạng chính tắc hay dạng đại số của số phức z . 2. z = r (cos θ + i sin θ ) gọi là dạng lượng giác của số phức z. B. Biểu diễn hình học của các số phức y M(z) y r θ 0 x x 9 Chương 1: Giới hạn của dãy số Xét mặt phẳng 0xy với hệ toạ độ trực chuẩn. Ánh xạ ϕ : C → 0 xy đặt mỗi số phức z=x+iy ứng với điểm M có toạ độ (x,y) trên mặt phẳng 0xy.Vậy ϕ là song ánh.Gọi mặt phẳng 0xy là mặt phẳng phức. ∀z ∈ C , ϕ ( z ) gọi là ảnh của z trên 0xy → ∀M ∈ 0 xy, ϕ −1 (M ) gọi là toạ vị của M, đó là số phức z ∈ C . Ngoài ra OM cũng được gọi là véctơ biểu diễn số phức z. Như vậy OM = z và ⎛→ → ⎞ ⎜ Ox, OM ⎟ =Argz ⎝ ⎠ Trên mặt phẳng phức 0xy nhận thấy: Trục 0x biểu diễn các số thực z = x ∈ R , trục này gọi là trục thực,còn trục 0y biểu diễn các số phức z = iy, y ∈ R gọi là các số ảo thuần tuý,người ta gọi trục 0y là trục ảo. 1.2.2. Các phép toán trên tập C A. Phép so sánh bằng nhau ( ) ⎧⎪ x = x x + iy = x ' + iy ' ⇔ ⎨ ⎪⎩ y = y ' ' ∀ x, y , x ' , y ' ∈ R 4 , B. Phép lấy liên hợp Cho z = x + iy ∈ C , liên hợp của z, kí hiệu z cho bởi z = x − iy C. Phép lấy số phức đối Cho z=x+iy ∈ C, số phức đối của z, kí hiệu –z (đọc là trừ z ) được xác định: -z = -x-iy D. Phép cộng Cho z = x+iy, z’= x’+iy’,tổng của z và z’, kí hiệu z+z’ xác định như sau: z+z’=(x+x’)+i(y+y’) E. Phép nhân Cho z=x+iy và z’=x’+iy’, tích của z và z’, kí hiệu z.z’ xác định như sau: z.z’=(xx’-yy’) + i(xy’+x’y) F. Phép trừ và phép chia Là các phép tính ngược của phép cộng và phép nhân z − z ' = z + (− z ' ) z = z" ⇔ z = z '.z" z' 10 Chương 1: Giới hạn của dãy số Từ các phép toán trên, nhận được các tính chất dưới đây: 1. ∀z ∈ C , z = z. 2. ∀( z , z ') ∈ C 2 , z + z' = z + z' 3. ∀(z , z ') ∈ C 2 , z. z ' = z z ' n n i =1 i =1 n n i =1 i =1 ∑ zi = ∑ zi , ∀n ∈ N * , ∀z1 , z 2 ,K, z n ∈ C , ∏ zi = ∏ zi 4. ∀z ∈ C , ∀z '∈ C * , C * = C \ {0} ⎛z⎞ z ⎜ ⎟= ⎝ z' ⎠ z' 5. ∀z ∈ C , z = z ⇔ z∈R z = − z ⇔ z ∈ iR , iR = {iy , y ∈ R} 6. ∀z ∈ C z. z = z 2 G. Phép luỹ thừa, công thức Moavrờ ( Moivre) Cho z = r (cosθ + i sin θ ), ∀k ∈ Z Gọi z k là luỹ thừa bậc k của z. Bằng qui nạp, dễ chứng minh được z k = r k (cos kθ + i sin kθ ) (1.1) Gọi (1.1) là công thức Moivre. H. Phép khai căn bậc n của z ∈ C * . Cho n ∈ N * , z = r (cosθ + i sin θ ) . Gọi ς ∈ C * là căn bậc n của z, kí hiệu như sau: n z ,xác định ςn = z 1 ⎧ρ n = r θ + 2 kπ hay là ρ = r n và Φ= với Nếu gọi ρ = ς và Φ = Arg ς thì ⎨ n Φ = + n θ 2 k π ⎩ k = 0,1,2,..., n − 1 . Vậy số z có đúng n căn bậc n, đó là các số phức có dạng: 1 ⎛ ⎝ ς = r n ⎜ cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ ⎞ n ⎟ ⎠ k = 0,1,2,..., n − 1 (1.2) 11 Chương 1: Giới hạn của dãy số Chú ý: • Trong chương 4, sau khi đã có các khai triển của các hàm số sơ cấp, sẽ nhận được dạng luỹ thừa của số phức z: z = re iθ Khi đó công thức (1.1) sẽ là : z k = r k eikθ , 1 (1.2) sẽ là : n z = r n e i k∈Z θ + 2 kπ n n ∈ N * , k = 0,1,2,..., n − 1 , • Căn bậc n của 1. Vì z=1 có z =1=r, Argz=0.Vậy căn bậc n của 1 là n số phức dạng: ωk = e 2 ikπ n k = 0,1,2,..., n − 1 , Vì e ±2πi = 1 nên các số phức ω k có những tính chất sau: a. ∀k ∈ {0,1,2,..., n − 1}, ω k = ω n−k . . b. ∀k ∈ {0,1,2,..., n − 1}, ω k = ω1k . c. 1 − ω1n ∑ ω k = ∑ ω = 1 − ω = 0, k =0 k =0 1 n −1 ∀n ∈ N \ {0,1}, n −1 k 1 d. Các số phức ω k biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn lượng giác và một trong các đỉnh là điểm có toạ vị bằng 1. Đa giác này nhận 0x làm trục đối xứng, chẳng hạn với n=2, n=3, n=4, biểu diễn hình học các số ω k cho trên hình 1.2 y y − x -1 1 3 +i 2 2 -1 1 x -1 -1 1x 1 − n=2 1 3 −i 2 2 n=3 h.1.2. 12 y n=4 Chương 1: Giới hạn của dãy số Ví dụ 1: Hãy tìm tất cả các ánh xạ C → C sao cho: f: ∀z ∈ C , f ( z ) + zf ( − z ) = 1 + z Giải: Nếu tồn tại f thì f(-z) – zf(z)=1-z đúng (1 + z ) f ( z) = 1 + z 2 suy ra 2 f(z)=1 nếu z ≠ ±i . chứng tỏ Đặt f (i ) = α + iβ ∈ C ,α , β ∈ R thì f (−i ) = 1 − i + iα − β f :C → C Kiểm tra khi z ≠ ±i khi z = i khi z = −i ⎧1 ⎪ z a ⎨α ⎪1 − β + i (α − 1) ⎩ α, β ∈ R Sẽ thấy thoả mãn điều kiện đặt ra. Ví dụ 2. Tính a. b. c. (1 − i )(1 − 3i )( 3 + i) 3 −i 1+ i 4 − 1 + 3i Giải: a. Đặt z = z1 z 2 z 3 trong đó z1 = 1 − i , z 2 = 1 − 3i , z 3 = 3+i Ta đi tìm môđun và acgumen của các số phức này ⎧tgθ 1 = −1 π r1 = z1 = 1 + 1 = 2 , θ1 = arg z1 trong đó ⎨ ⇒ θ1 = − 4 ⎩cos θ 1 > 0 Tương tự nhận được r2 = 2,θ 2 = − Vậy z = 4 2 .e b. Đặt z = −i . 5π 12 π 3 , r3 = 2,θ 3 = π 6 5π 5π ⎤ ⎡ = 4 2 ⎢cos( − ) + i sin( − )⎥ 12 12 ⎦ ⎣ z1 trong đó z1 = 3 − i, z 2 = 1 + i z2 13 Chương 1: Giới hạn của dãy số r1 = z1 = 2,θ1 = Argz1 = − π 6 r2 = z 2 = 2 ,θ 2 = Argz 2 = π π Vậy z = 2e i(− − ) 6 4 = 2e −i π 4 5π 12 c. Đặt ξ k = 4 z , k = 0,1,2,3 ⎧r = z = 2 ⎪ Trong đó z = −1 + 3i ⇒ ⎨ 2π ⎪ϕ = Argz = 3 ⎩ Vậy z = 2(cos ξ 0 = 4 2 (cos 2π 2π + i sin ) 3 3 π π 1 + i sin ) = 4 ( 3 + i ) 6 6 8 ξ1 = 4 2 (cos 2π 2π 1 + i sin ) = 4 (−1 + i 3 ) 3 3 8 ξ 2 = 4 2 (cos 7π 7π + i sin ) = − 6 6 ξ 3 = 4 2 (cos 5π 5π 1 + i sin ) = 4 (1 − i 3 ) 3 3 8 4 1 ( 3 + i) 8 Ví dụ 3. Tìm môđun và acgumen của số phức Giải: Đặt z1 = 1 − i, z 2 = 100 Từ đó có: z = z1 .z 2 −200 . Ta có môđun và acgumen của các số phức trên là: z 2 = 2,θ 2 = Argz 2 = 100 z2 14 100 = 2 50 , Argz1 − 200 (1 − i )100 ( 3 + i ) 200 3+i z1 = 2 ,θ1 = Argz1 = − Vậy z1 z= π π 4 6 = −25π = −π , [2π ] = 2 − 200 , Argz 2 − 200 =− 200π 2 = π , [2π ] 6 3 Chương 1: Giới hạn của dãy số Cuối cùng z = 2 50.2 −200 = 2 −150 Arg z = − π 3 1 ⎡ 1+ z ≥ Ví dụ 4: Chứng minh rằng ∀z ∈ C thì ⎢ 2 ⎣ 1 + z2 ≥ 1 Giải: 1 ⎧ ⎪1 + z < 2 Giả sử ∃z = x + iy ∈ C sao cho ⎨ ⎪1 + z 2 < 1 ⎩ ⎧( x 2 + y 2 ) 2 + 2( x 2 − y 2 ) < 0 ⎧x2 < y2 3 ⎪ ⎪ ⇒⎨ 2 ⇒ 2x2 + 2x + < 0 ⎨ 2 3 3 2 2 4 ⎪x + y + 2x + < 0 ⎪x + y + 2x + < 0 4 4 ⎩ ⎩ 3 1 =− <0 2 2 Chứng tỏ mâu thuẫn. Δ'x = 1 − Ví dụ 5: Cho a,b,c ∈ C và a = b = c = 1, a ≠ c, b ≠ c Chứng minh Arg c−b 1 b = Arg c−a 2 a [π ] Giải: Hãy xét số phức dưới đây, để ý đến 1 = a , a ⎛1 1⎞ ⎜ − ⎟ ⎛c−b⎞ a ⎜ c b ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝c−a⎠ b ⎜1 − 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝c a⎠ 2 2 2 ⎛c−b⎞ a ⇒ Arg ⎜ = kπ = 0 ⎟ ⎝c−a⎠ b c−b a ⇒ 2 Arg + Arg = 0 c−a b c−b 1 b ⇒ Arg = Arg c−a 2 a 1 1 = b, = c c b 1 2 2 a = ⎛⎜ b − c . a ⎞⎟ b = ⎛⎜ c − b ⎞⎟ a 1 ⎝a−c b⎠ a ⎝c−a⎠ b b [π ] [π ] 15 Chương 1: Giới hạn của dãy số Ví dụ 6: Cho a ∈ R hãy tính căn bậc 4 trong tập C của số phức: z = 8a 2 − (1 + a 2 ) + 4a(1 + a 2 )i 2 Giải: [ z = 2a + (1 − a 2 )i Nhận xét [ z = ± 2a + (1 − a 2 )i Vậy ] 2 ] Tiếp tục nhận xét thấy: ⎧ 1 [(1 + a) + (1 − a)i ]⎫⎬ 2a + (1 − a )i = ⎨ ⎩ 2 ⎭ 2 2 ⎧ 1 ⎫ − 2a − (1 − a )i = ⎨ [(1 − a ) − (1 + a )i ]⎬ ⎩ 2 ⎭ 2 2 Suy ra các giá trị của ± 4 z sẽ là: 2 {(1 + a) + (1 − a )i}, 2 ± 2 {(1 − a) − (1 + a)i} 2 Ví dụ 7: Giải phương trình với ẩn số z ∈ C : z4 = z + z Giải: Nhận xét z1=0 là nghiệm Xét z≠0,đặt z = ςe iθ , ς ∈ R *+ , θ ∈ R z 4 = z + z ⇔ ς 3 (cos 4θ + i sin 4θ ) = 2 cosθ ⎧ς 3 cos 4θ = 2 cosθ ⇔⎨ ⎩sin 4θ = 0 ⎧4θ = 0 [2π ] ⎪ hoặc ⇔ ⎨cosθ > 0 ⎪ς 3 = 2 cosθ ⎩ Lấy θ = 0 ⇒ ς = 2 Lấy θ = 16 1 3 1 3π ⇒ ς = 26 4 ⎧4θ = π [2π ] ⎪ ⎨cosθ < 0 ⎪ς 3 = −2 cosθ ⎩ Chương 1: Giới hạn của dãy số Lấy θ = 1 5π ⇒ ς = 26 4 Vậy các nghiệm z ≠ 0 là: z2 = 2 1 3 1 6 1 1 − ⎞ ⎟ = 2 3 ( −1 − i ) ⎠ − 3π 3π ⎞ ⎛ z3 = 2 ⎜ (cos + i sin ⎟ = 2 3 (−1 + i ) 4 4 ⎠ ⎝ 1 5π 5π ⎛ z4 = 2 6 ⎜ cos + i sin 4 4 ⎝ * 1.2.3 . Áp dụng số phức vào lượng giác A. Khai triển cos nθ , sin nθ , tgnθ Cho θ ∈ R, n ∈ N * .Áp dụng công thức Moivre và công thức nhị thức Newton n cos nθ + i sin nθ = (cosθ + i sin θ ) = ∑ Cnk cos n − k θ .i k sin k θ n k =0 Tách phần thực và phần ảo, nhận được cos nθ = cosn θ − Cn2 cos n − 2 θ sin 2 θ + L + sin nθ = Cn1 cos n −1 θ sin θ − Cn3 cosn − 3 θ sin 3 θ + L Sau khi thay sin 2 θ = 1 − cos 2 θ vào các công thức trên sẽ có: 1. cos nθ biểu diễn dưới dạng một đa thức của cosθ , gọi đó là công thức Chebyshev loại 1. 2. sin nθ bằng tích của sin θ với một đa thức của cosθ , gọi là đa thức Chebyshev loại 2. sin nθ n sin nθ Cn1tgθ − Cn3tg 3θ + L = cos θ = 3. tgnθ = cos nθ 1 − Cn2tg 2θ + Cn4tg 4θ − L cos nθ cos n θ B. Tuyến tính hoá cos p θ , sin p θ , cos p θ .sin q θ 1 ⎧ 2 cosθ = ω + ω = ω + ⎪ ⎪ ω Cho θ ∈ R, p ∈ N * ,ω = eiθ ⇒ ⎨ ⎪2i sin θ = ω − ω = ω − 1 ⎪⎩ ω 17 Chương 1: Giới hạn của dãy số p 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ p Vậy 2 p cos p θ = ⎜ ω + ⎟ và (2i ) sin p θ = ⎜ ω − ⎟ ω⎠ ω⎠ ⎝ ⎝ p Sử dụng công thức nhị thức Newton và xét các trường hợp sau đây: a. Trường hợp p = 2m, m ∈ N * 1. 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 2 2 m cos 2 m θ = ⎜ ω 2 m + 2 m ⎟ + C 21m ⎜ ω 2 m − 2 + 2 m − 2 ⎟ + L + C 2mm ω ⎠ ω ⎝ ⎝ ⎠ 1 = 2 cos 2mθ + 2C 2 m cos 2(m − 1)θ `+ L + 2C 2mm−1 cos 2θ + C 2mm m −1 ⎛1 ⎞ cos 2 m θ = 2 −( 2 m −1) ⎜ C 2mm + ∑ C 2km cos 2(m − k )θ ⎟ k =0 ⎝2 ⎠ 2. 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 22 m (−1) m sin 2 m θ = ⎜ ω 2 m + 2 m ⎟ − C21m ⎜ ω 2 m − 2 + 2 m − 2 ⎟ + L + (−1) m C2mm ω ω ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 1 = 2 cos 2mθ − 2C2 m cos 2(m − 1)θ + L + (−1) m C2mm m m −1 ⎞ m ⎛ ( −1) sin 2 m θ = 2− ( 2 m −1) (− 1) ⎜⎜ C2mm + ∑ (−1) k C2km cos 2(m − k )θ ⎟⎟ k =0 ⎝ 2 ⎠ b. Trường hợp p = 2m + 1, m ∈ N 1. ⎛⎛ 1 ⎞ 1 ⎞⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 2 2 m+1 cos 2 m+1 θ = ⎜ ω 2 m+1 + 2 m+1 ⎟ + C 21m+1 ⎜⎜ ⎜ ω 2 m−1 + 2 m−1 ⎟ ⎟⎟ + L + C 2mm+1 ⎜ ω + ⎟ ω⎠ ω ω ⎝ ⎠ ⎠⎠ ⎝ ⎝⎝ = 2 cos(2m + 1)θ + 2C 21m+1 cos(2m − 1)θ + L + 2C 2mm+1 cosθ m cos 2 m+1 θ = 2 −2 m ∑ C 2km+1 cos(2m + 1 − 2k )θ k =0 2. 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ 22 m +1 i (−1) m sin 2 m +1 θ = ⎜ ω 2 m +1 + 2 m +1 ⎟ − C21m +1 ⎜ ω 2 m + − − 2 m −1 ⎟ + L ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 = 2i sin(2m + 1)θ − 2i.C2 m +1 sin(2m − 1)θ + L + 2i (−1) m C2mm +1 sin θ sin 2 m +1 θ = 2− 2 m (− 1) m m ∑ (−1) k =0 k C2km +1 sin(2m + 1 − 2k )θ Để tuyến tính hoá cos θ. sin θ trước hết tuyến tính hoá từng thừa số cos p θ , sin q θ , sau đó thực hiện phép nhân rồi cùng tuyến tính hoá các số hạng thu được. p q Ví dụ 7: Cho ( n, a, b) ∈ N × R × R , tính các tổng: n Cn = ∑ cos( a + kb), k =0 18 n S n = ∑ sin( a + kb) k =0 Chương 1: Giới hạn của dãy số Giải: ( ) n n k =0 k =0 Cn + iS n = ∑ ei ( a + kb ) = eia ∑ eib Nếu b ∈ 2πZ Xét Cn = (n + 1) cos a, k S n = (n + 1) sin a Nếu b ∉ 2πZ C n + iS n = e ia (e ) ib n +1 − 1 ia =e e −1 e i ( n +1) b 2 ib nb ⎞ ⎛ C n = cos⎜ a + ⎟ 2 ⎠ ⎝ n +1 n +1 ⎛ nb ⎞ .b b i .⎜ a + ⎟ sin 2 ⎠ 2 2 ⎝ . =e b b i b 2 sin e 2i sin 2 2 2i sin n +1 b 2 , b sin 2 sin Ví dụ 8: Chứng minh ∀n ∈ N * , n ∑ sin k k =1 nb ⎞ ⎛ S n = sin ⎜ a + ⎟ 2 ⎠ ⎝ ≥ n +1 b 2 b sin 2 sin 1 n +1 − 2 2 sin 1 Giải: Vì sin0 = 0 và sin k ≤ 1 nên n n n 1 n .∑ (1 − cos 2k ) 2 k =0 k =0 k =0 n +1 1 n n + 1 1 sin( n + 1) = − .∑ cos 2k = − . . cos n 2 2 k =0 2 2 sin 1 ∑ sin k = ∑ sin k ≥ ∑ sin 2 k = k =1 Vì sin( n + 1) 1 . cos n ≤ sin 1 sin 1 n nên ∑ sin k ≥ k =1 1 n +1 − 2 2 sin 1 1.3. DÃY SỐ THỰC Sau khi xem xét dãy số thực,chúng ta hoàn toàn có thể mở rộng cho dãy số phức vì rằng một dãy số phức tương đương với một cặp dãy số thực. 1.3.1. Các khái niệm cơ bản của dãy số thực A. Định nghĩa Một dãy số thực là một ánh xạ từ N vào R, kí hiệu: u:N →R 19 Chương 1: Giới hạn của dãy số hay đơn giản nhất,kí hiệu (un) Với n = n0 ∈ N xác định, u n0 gọi là số phần tử thứ n0 của dãy, un thường là một biểu thức phụ thuộc vào n gọi là phần tử tổng quát của dãy, chẳng hạn cho các dãy sau đây: (1), ((−1) ), n +1 ⎛ ⎛ 1 ⎞n ⎞ ⎜ ⎜1 + ⎟ ⎟ ⎜⎝ n ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎜ ⎟, ⎝n⎠ B. Sự hôi tụ, sự phân kì của dãy số 1. Dãy (un) hội tụ về a ∈ R nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n ∈ N , n > n0 ⇒ un − a < ε Kí hiệu lim un = a , rõ ràng (un-a) hội tụ về 0. n→∞ 2. Dãy (un) hội tụ nếu có số a ∈ R để lim un = a n→∞ 3. Dãy (un) phân kì nếu nó không hội tụ, nghĩa là: ∀a ∈ R, ∃ε > 0, ∀n ∈ N , ∃n0 ∈ N , n0 > n, un − a ≥ ε 4. Dãy (un) nhận +∞ làm giới hạn nếu ∀A > 0, ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ un > A Kí hiệu lim un = +∞ , đôi khi nói rằng (un) tiến tới + ∞ n→∞ 5. Dãy (un) nhận -∞ làm giới hạn nếu ∀B < 0 ∃n0 ∈ N , ∀n > n0 ⇒ un < B . Kí hiệu lim un = −∞ n→∞ Dãy có giới hạn là +∞ hoặc -∞ cũng gọi là phân kỳ. C. Dãy số bị chặn 1. Nói rằng (un) bị chặn trên bởi số A ∈ R nếu ∀n ∈ N , un ≤ A . 2. Nói rằng (un) bị chặn dưới bởi số B ∈ R nếu ∀n ∈ N , un ≥ B . 3. Nói rằng (un) là dãy bị chặn nếu tồn tại M ∈ R+ sao cho ∀n ∈ N , un ≤ M . 1.3.2. Tính chất của dãy hội tụ A. Tính duy nhất của giới hạn Định lí: Dãy (un) hội tụ về a thì a là duy nhất Chứng minh: Giả sử lim = a1 , lim = a2 , a1 ≠ a2 n→∞ 20 n→∞ Chương 1: Giới hạn của dãy số 1 a1 − a2 3 Đặt ε = ∀n > n1 ⇒ un − a1 < ε ∃n1 , n2 ∈ N , ∀n > n2 ⇒ un − a2 < ε Gọi n0 = Max(n1 , n2 ), ∀n > n0 sẽ có: a1 − a2 ≤ un − a1 + un − a2 < 2ε = 2 a1 − a2 mâu thuẫn. 3 B. Tính bị chặn 1. Dãy (un) hội tụ thì bị chặn trong R. 2. Dãy (un) tiến đến +∞ thì bị chặn dưới. 3. Dãy (un) tiến đến -∞ thì bị chặn trên. Chứng minh: 1. Giả sử lim un = a ⇔ ∃n0 ∀n > n0 ⇒ un − a < 1 n→∞ ⇒ un ≤ u n − a + a < 1 + a { } Đặt M = Max u0 ,..., un0 ,1 + a ⇒ ∀n ∈ N , un ≤ M . 2. Giả sử lim un = +∞, ∃n0 ∀n > n0 ⇒ un > 1 n→∞ { } Đặt m = Min u0 ,..., un0 ,1 ⇒ un ≥ m 3. Quy về 2. bằng cách xét (-un). Chú ý: 1. Tồn tại các dãy số bị chặn nhưng không hội tụ, chẳng hạn (un ) = ((−1) n +1 ). 2. Mọi dãy không bị chặn sẽ phân kỳ. 3. Một dãy tiến tới +∞ thì không bị chặn trên, điều ngược lại không đúng, chẳng hạn: (un ) = (−1) n n . ( ) C. Tính chất đại số của dãy hội tụ 1. lim un = a ⇒ lim un = a . n →∞ n →∞ 2. lim un = 0 ⇔ lim un = 0 . n →∞ n →∞ 3. lim un = a, lim vn = b ⇒ lim (un + vn ) = a + b n→∞ n→∞ n→∞ . 21