Tài liệu Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử

  • Số trang: 168 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 1522 |
  • Lượt tải: 15
hoangdieu

Đã đăng 252 tài liệu

Mô tả:

Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử
Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử Biên tập bởi: Nguyễn Văn Hiệu Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử Biên tập bởi: Nguyễn Văn Hiệu Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu Phiên bản trực tuyến: http://voer.edu.vn/c/d4aa7723 MỤC LỤC 1. Cơ sở lý thuyết nhóm 1.1. Khái niệm về nhóm 1.2. Các ví dụ về nhóm 1.3. Nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều 1.4. Nhóm SU(2) các biến đổi unita với định thức bằng 1 trong không gian Euclide phức 2 chiều 1.5. Nhóm Lie và đại số Lie 1.6. Phụ lục cơ sở lý thuyết nhóm 2. Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm 2.1. Khái niệm về biểu diễn nhóm 2.2. Các phép tính đối với các biểu diễn 2.3. Hàm đặc trưng của biểu diễn 2.4. Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm 3. Các nhóm điểm tinh thể học 3.1. Phân loại các nhóm điểm tinh thể học 3.2. Họ các điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci 3.3. Họ các nhóm điểm Sn 3.4. Họ các nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd 3.5. Họ các nhóm điểm T, Th, Td 3.6. Họ các nhóm điểm O , Oh 3.7. Sự đối xứng của các phân tử 3.8. Sự đối xứng của các tinh thể 3.9. Nhóm đối xứng của các điểm đặc biệt trong các ô Wigner - Seitz của các mạng hệ lập phương Tham gia đóng góp 1/166 Cơ sở lý thuyết nhóm Khái niệm về nhóm Định nghĩa nhóm Tập hợp G các yếu tố a, b, c,… được gọi là một nhóm nếu có các tính chất sau đây: 1) Trên tập hợp G tồn tại một phép tính gọi là phép nhân của nhóm. Phép tính này đặt tương ứng với mỗi cặp hai yếu tố a và b bất kỳ của tập hợp G một yếu tố c cũng thuộc tập hợp này, gọi là tích của a và ba và ký hiệu là ab : a ∈ G, b ∈ G tendsto: 2 args.ab = c ∈ G 2) Phép nhân của nhóm có tính chất kết hợp, nghĩa là với mọi yếu tố a, b, c của tập hợp G ta luôn có (ab) c = a (bc) 3) Trân tập hợp G tồn tại một yếu tố e, gọi là yếu tố đơn vị, mà với mọi yếu tố a ∈ G ta luôn luôn có ea=ae=a 4) Với mọi yếu tố a ∈ G bao giờ cũng có một yếu tố (a−1) ∈ G , gọi là nghịch đảo của a, sao cho a -1a = a a -1 = e Do tính chất kết hợp của phép nhân ta có thể viết Các định nghĩa khác Nếu phép nhân của nhóm G có tính chất giao hoán, nghĩa là với mọi cặp yếu tố a ∈ G, b ∈ G ta luôn luôn có hệ thức a b = b a, 2/166 thì nhóm G được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel. Nếu nhóm G chỉ có một số hữu hạn các yếu tố khác nhau thì nhóm này được gọi là nhóm hữu hạn, còn số lượng các yếu tố khác nhau được gọi là cấp của nhóm. Trong trường hợp ngược lại, khi nhóm G có vô số yếu tố khác nhau, nó được gọi là nhóm vô hạn. Với các nhóm hữu hạn ta có thể trình bày quy tắc phân nhóm một cách cụ thể dưới dạng một bảng nhân nhóm được thiết lập như sau. Ta kẻ một bảng vuông với số hằng và số cột bằng số yếu tố của nhóm. Ở phía trái của bảng, đầu mỗi hang, và ở trên của bảng, đầu mỗi cột, ta ghi tất cả các yếu tố khác nhau của nhóm theo một thứ tự nào đó g1, g2, …, gn. Sau đó trên ô chung của hang thứ j và cột thứ j ta ghi yếu tố là tích gjgi. Nhìn bảng phân nhóm ta thấy ngay quy tắc nhân nhóm đối với từng cặp yếu tố. Bảng nhân nhóm Nếu trong nhóm G có một tập hợp các yếu tố a1, a2, …, an với tính chất sau đây: mọi yếu tố của nhóm G đều có thể viết dưới dạng một tích mà mỗi thừa số là một trong các yếu tố này (một yếu tố có thể được dùng làm thừa số nhiều lần), thì ta nói rằng nhóm G được sinh ra bởi các yếu tố a1, a2, …, an, còn các yếu tố này được gọi là các yếu tố sinh. Nhóm hữu hạn được sinh ra bởi một yếu tố a, nghĩa là gồm các yếu tố có dạng a, a2, …, an = e, được gọi là nhóm vòng. 3/166 Nếu mọi yếu tố của nhóm G đều là một hàm liên tục của những thông số nào đó và hoàn toàn được xác định bởi giá trị của những thông số này, thì nhóm G gọi là nhóm liên tục. Ta quy ước rằng các thông số này là các biến số độc lập. Nếu mọi yếu tố của nhóm liên tục G đều là hàm khả vi của các thông số độc lập, thì nhóm G được gọi là nhóm Lie. Từ định nghĩa nhóm phát biểu ở trên suy ra ngay một số mệnh đề sau đây. 1. Mỗi nhóm chỉ có một yếu tố đơn vị. 2. Nghịch đảo của tích của hai yếu tố bằng tích các nghịch đảo của chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là (a b)-1 = b-1 a-1 3. Mỗi yếu tố của nhóm chỉ có một yêu tố nghịch đảo. Định nghĩa yếu tố liên hợp Yếu tố a của nhóm G được gọi là liên hợp với yếu tố b của nhóm này nếu có một yếu tố nào đó c G mà a c a-1 = b Có thể chứng minh được rằng quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương, nghĩa là 1o) Nếu a liên hợp với b thì b liên hợp với a (tính chất đối xứng). 2o) Yếu tố a liên hợp với chính nó (tính tự liên hợp). 3o) Nếu a liên hợp với b, b liên hợp với c thì a liên hợp với a (tính chuyển tiếp). Lớp các yếu tố liên hợp Vì rằng mối quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương cho nên tất cả các yếu tố của nhóm G liên hợp với một yếu tố xác định nào đó đều liên hợp với nhau, và do đó ta có thể chia nhóm G thành các tập hợp con mà tất cả các yếu tố trong mỗi tập hợp con đều liên hợp với nhau. Mỗi tập hợp con các yếu tố liên hợp với nhau của nhóm G được gội là một lớp các yếu tố liên hợp. Chú ý rằng hai lớp khác nhau không có một yếu tố chung nào cả, nghĩ là không giao nhau. 4/166 ⇒ Định nghĩa nhóm con Một tập hợp con G1 của nhóm G được gọi là nhóm con của nhóm G nếu đối với phép nhân của nhóm G tập hợp G1 này cũng tạo thành một nhóm, nghĩa là nếu G1 thỏa mãn những điều kiện sau đây: 1) Nếu a và b là hai yếu tố của G1 thì tích ab cũng là một yếu tố của G1: a ∈ G1 ,b ∈ G1implies: 2 args. a b ∈ G1 Ta nói rằng tập hợp con G1 là kín đối với phép nhân nhóm: G1G1 G1 2) Tập hợp con G1 chứa yếu tố đơn vị e của nhóm G: e ∈ G1 3) Nếu a là một yếu tố của G1 thì a-1 cũng là một yếu tố của G1: a ∈ G1 a -1 in: 2 args.G 1 Ta nói rằng tập hợp G1 là kín đối với phép nghịch đảo: G−11 G1 Dễ thấy rằng từ các điều kiện 1) và 3) suy ngay ra điều kiện 2). Thực vậy, lấy một yếu tố tùy ý a của tập hợp con G1. Theo điều kiện 3) ta có a ∈ G1 ⇒ a -1 in: 2 args. G1 Theo điều kiện 1) thì a ∈ G1 , a -1 in: 2 args. G1 ⇒ e = a a -1 in: 2 args. G1 Đó là điều kiện 2). Chú ý rằng phép nhân của nhóm con G1 chắc chắn có tính chất kết hợp, vì đó là phép nhân của nhóm G. Định nghĩa tích trực tiếp của hai nhóm Cho hai nhóm G1 và G2 hoàn toàn độc lập với nhau, với các yếu tố a1, b1, c1, … G1 và a2, b2, c2, … G2. Xét tập hợp G1 ⊗ G2 mà mỗi yếu tố là một cặp {a1,a2}, {b1,b2}, {c1,c2} 5/166 , … gồm hai yếu tố của hai nhóm. Ta định nghĩa tích của hai yếu tố của G1 ⊗ G2 như nhau: {a1,a2}{b1,b2} = {a1b1,a2b2} Gọi e1 và e2 là hai yếu tố đơn vị của G1 và G2, a1-1 và a2-1 là hai yếu tố nghịch đảo của a1 và a2 trong G1 và G2. Ta coi là yếu tố đơn vị của G1 ⊗ G2, {a1-1 và a21} là yếu tố nghịch đảo của {a1, a2}trong G1 ⊗ G2. Tập hợp G1 ⊗ G2 với phép nhân nhóm, với yếu tố đơn vị và yếu tố nghịch đảo định nghĩa như vậy tạo thành một nhóm, gọi là tích trực tiếp G1 ⊗ G2 của hai nhóm đã cho. Tính chất kết hợp của phép nhân trên G1 ⊗ G2 suy ra từ tính chất kết hợp của phép nhân trên từng nhóm G1 và G2. Có những nhóm mà các yếu tố có bản chất khác nhau nhưng các phép tính toán dưới dóc độ là các yếu tố của nhóm thì lại tương tự nhau. Sự tương tự đó được phát biểu như sau. Định nghĩa sự đồng cấu và sự đẳng cấu Nhóm G1 gọi là đồng cấu với nhóm G2 nếu có một phép tương ứng giữa các yếu tố a1, b1, c1… của G1 với các yếu tố a2, b2, c2… của G2, G1 ∋ a1 → a2 ∈ G2 , Sao cho ứng với mỗi yếu tố a1 in: 2 args. G1 có một yếu tố duy nhất a2 in: 2 args. G2 gọi là ảnh hưởng của a1 trong G2, mỗi yếu tố a2 in: 2 args. G2 là ảnh hưởng của ít nhất một yếu tố a1 in: 2 args. G1, và phép tương ứng này bảo toàn phép nhân nhóm, nghĩa là nếu tương ứng với a1 in: 2 args. G1 có a2 in: 2 args. G2, tương ứng b1 in: 2 args. G1 có b2 in: 2 args. G2 , thì tương ứng có a1b1 in: 2 args. G1 , có a2b2 in: 2 args. G2 : Nếu sự tương ứng nói trên là duy nhất theo cả hai chiều, nghĩa là nếu mỗi yếu tố a2 in: 2 args. G2 chỉ là ảnh hưởng của một yếu tố duy nhất a1 in: 2 args. G1, và do đó có phép tương ứng ngược lại G2 ∋ a2 → G1 ∈ a1 thì gọi là có phép tương ứng 2 chiều G1 ∋ a1↔a2 ∈ G2 6/166 thì ta gọi hai nhóm G1 và G2 là đẳng cấu. Từ điều kiện bảo toàn phép nhân nhóm suy ra rằng ảnh hưởng của yếu tố đơn vị e1 trong G1 phải là yếu tố đơn vị e2 trong G2, ảnh hưởng của hai yếu tố nghịch đảo với nhau a1 và a2-1 của G2. Về phương diện cấu trúc đại số thì hai nhóm đẳng cấu có cấu trúc đại giống hệt nhau và có thể xem là cùng một nhóm, nghĩa là ta không phân biệt các nhóm đẳng cấp với nhau khi ta chỉ quan tâm đến cấu trúc đại số của chúng. 7/166 Các ví dụ về nhóm 1. Tập hợp R các số thực tạo thành các nhóm với phép nhân nhóm là phép cộng thông thường: tổng x + y của hai số thực x và y được xem là tích của hai yếu tố x và y của nhóm. Ta biết rằng phép cộng các số thực có tính chất kết hợp. Yếu tố đơn vị của nhóm là số 0. Nghịch đảo của yếu tố x là yếu tố -x. Vì phép cộng các số thực có tính chất giao hoán nên R là một nhóm giao hoán. Tương tự như vậy, tập hợp Rn các vectơ trong không gian vectơ thực n chiều tạo thành nhóm với phép nhân nhóm là phép cộng các vectơ: tổng x+y của hai vectơ được xem là tích của hay yếu tố x và y, yếu tố đơn vị là vectơ 0 (tất cả các thành phần đều bằng không), nghịch đảo của yếu tố x là yếu tố -x. Đây là một nhóm giao hoán. Nhóm các số nguyên là một nhóm con của nhóm các số thực đối với phép cộng. 2. Tập hợp R – {0} các số thực khác không cũng như tập hợp C – {0} các số phức khác không đều tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm là phép nhân thông thường có tính kết hợp. Yếu tố đơn vị của nhóm là số 1. Nghịch đảo của x là 1x . Các nhóm này cũng là các nhóm giao hoán. Nhóm các số dương khác không là nhóm con của nhóm các số thực khác không đối với phép nhân, nhóm các số thực khác không là nhóm con của nhóm các số phức khác không đối với phép nhân. 3. Tập hợp các ma trận n x n có nghịch đảo tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận. Ta nhắc lại rằng nếu A và B là hai ma trận với các yếu tố ma trận Aij và Bij, i, j = 1, 2, …, n, thì AB là ma trận với các yếu tố ma trận (AB)ik = ∑nk = 1 AikBkj ≡ AikBkj Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nhưng nói chung không giao hoán. Yếu tố đơn vị của nhóm là ma trận đơn vị I mà các yếu tố ma trận bằng Iij = δij Yếu tố nghịch đảo của ma trận A là ma trận nghịch đảo A − 1 A − 1A = AA − 1 = I Chú ý rằng ma trận tích AB có nghịch đảo là (AB) − 1 = B − 1A − 1 Tùy theo các yếu tố ma trận là các số thực hay các số phức mà nhóm này được ký hiệu là GL(n, R) hay GL (n, C). Vì các ma trận trên có thể thay đổi liên tục cho nên các nhóm 8/166 này những nhóm liên tục. Khi không cần chỉ rõ các yếu tố ma trận là các số thực hay số phức thì ta viết GL(n). Nhóm GL (n, R) là nhóm con của nhóm GL (n, C). Tập hợp các ma trận n x n với định thức bằng 1 cũng tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận, vì rằng nếu A có định thức bằng 1 thì A-1 cũng vậy, detA − 1 = 1 detA =1 nếu A và B đều có định thức bằng 1 thì tích AB cũng vậy, det (AB) = (det A) (det B) = 1 Tùy theo các yếu tố ma trận là các số thực hay số phức mà ta ký hiệu nhóm này là SL (n, R) hay SL (n, C), còn khi không cần chỉ rõ số thực hay số phức thì ta ký hiệu là SL (n). Nhóm SL (n) là nhóm con của nhóm GL (n). 4. Tập hợn các ma trận trực giao n x n tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận. Ta nhắc lại rằng ma trận chuyển vị AT của ma trận A có các yếu tố ma trận sau đây (AT)ij= Aij Từ định nghĩa này suy ra rằng (A B)T = BT AT Ma trận thực n x n, ký hiệu là O, có tính chất OT O = O O T = I gọi ma trận trực giao. Từ đây ta có ngay (O-1)T = O = (O-1)-1, Nghĩa là O-1 cũng là ma trận trực giao. Dễ thử lại rằng nếu O1 và O2 là hai ma trận trực giao OT = O − 1, OT = O − 1 1 1 2 2 Thì tích O1O2 cũng là ma trận trực giao (O1O2)T = OT OT = O − 1 O − 1 = (O1O2)-1. 2 1 2 1 9/166 Quả thật các ma trận trực giao n x n tạo thành nhóm, ký hiệu là O(n). Tương tự, các ma trận trực giao n x n với định thức bằng 1 cũng tạo thành nhóm ký hiệu là SO(i). 5. Tập hợp các ma trận unita n x n tạo thành nhóm đối với phép nhân ma trận. Ta nhắc lại rằng ma trận liên hợp hermitic A+ của ma trận A có các yếu tố ma trận sau đây (A+)ij = (Aji)*, nghĩa là A + = (A T ) * Từ định nghĩa này suy ra rằng (A B) + = B + A + . Ma trận phức n x n, ký hiệu là U, có tính chất U+ U = UU+ = I nghĩa là U+ =U-1 gọi là ma trận của unita. Từ đây ta có ngay (U-1)+ = U = (U-1)-1, Nghĩa là U-1 cũng là mà trạn unita. Dễ thử lại nếu U1 và U2 là hai ma trận unita, U+=U 1 ,U+=U −1 1 2 , −1 2 thì tích U1U2 cũng là ma trận unita, (U1U2)+ = U + U + = U 2 1 U −1 2 −1 1 = (U1U2)-1 Quả thật là các ma trận unita n x n tạo thành nhóm, gọi là nhóm U(n). 10/166 Tương tự, các ma trận unita n x n với định thức bằng 1 cũng tạo thành nhóm, gọi là nhóm SU(n). Nhóm SU(n) là nhóm con của nhóm U(n). 6. Tập hợp các phép tịnh tiến của một không gian thực n chiều tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm định nghĩa như sau: thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến, ta được phép tịnh tiến gọi là tích của chúng. Ký hiệu là Ta và Tb hai phép tịnh tính không gian trong đó điểm r bất kỳ chuyển thành r + a và r + b, Ta: r → r + a, Tb: r → r + b. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến này, ta có Tb ∙Ta : r → r + a → r + b + a Hai phép tịnh tiến này cho kết quả tương đương với phép tịnh tiến Tb+a Tb+a: r → r + b + a. Vậy ta có T b+a = T b ∙ T a Yếu tố đơn vị của nhóm là T0=I Dễ thử lại rằng T -a = (T a ) -1 Các nhóm tịnh tiến không gian thực n chiều tạo thành nhóm tịnh tiến T(n). Đó là một nhóm giao hoán. Nhóm tịnh tiến đẳng cấu với nhóm các vectơ trong không gian mà phép nhân nhóm là phép cộng các vectơ. 7. Tập hợp các phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị của một không gian vectơ n chiều tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm định nghĩa như sau: thực hiện liên tiếp hai phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị A rồi đến B, ta được kết quả tương đương với thực hiện một phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị ký hiệu là BA và được coi là tích của A và B. Xét hệ các vectơ cơ sở độc lập tuyến tính e1, e2, …, en của không gian n chiều đã cho. Biến đổi tuyến tính A chuyển các vectơ này thành các vectơ e' , e' , .., e' 1 2 n 11/166 Aei = e' i gọi là không kỳ dị nếu có biến đổi tuyến tính ký hiệu là A-1 chuyển ngược lại các vectơ e' thành ei, i A-1e' = ei i Định nghĩa tích của hai phép biến đổi mà ta phát biểu vắn tắt ở trên được cụ thể hóa như sau. Xét một vectơ bất kỳ r trong không gian vectơ n chiều đã cho. Phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị A chuyển vectơ này thành vectơ r’: ’ r→ A r = Ar. Tiếp theo sau phép biến đổi A ta thực hiện phép biến đổi tuyến tính không kỳ dị B. Phép biến đổi này chuyển thành vectơ r’ thành vectơ r’’ ’’ ’ r’ → B r = Br = B (Ar). Kết quả là ta thu được một phép biến đổi tuyến tính chuyển vectơ r thành vectơ r’’ ký hiệu là (BA): ’’ ’ r’ → AB r = Br = B (Ar) = (BAr) Ta coi biến đổi (BA) này là tích của hai biến đổi A và B và còn ký hiệu nó là BA. Yếu tố đơn vị của nhóm là phép đồng nhất I: Iei = ei Vì các vectơ cơ sở e1, e2, …, en là độc lập tuyến tính cho nên tất cả các vectơ e' đều có i thể được biểu diễn dưới dạng các tổ hợp tuyến tính của các vectơ cơ sở này e'i = ej Aji Ma trận với các yếu tố ma trận Aij hoàn toàn xác định phép biến đổi A Ae i = e j A ji Ta cũng ký hiệu ma trận này là A. Tương tự như vậy, phép biến đổi B được diễn tả bởi ma trận B với các yếu tố ma trận Bkj, 12/166 Bej= ek Bkj Tác dụng liên tiếp hai phép biến đổi A và B, ta có B Ae i = B (e j A ji ) = (Be j ) A ji = e k B kj A ji = e k (B A) ki Vậy biến đổi tích B A có ma trận là tích của hai ma trận của hai phép biến đổi B và A. Biến đổi đồng nhất có ma trận là ma trận đơn vị. Biến đổi nghịch đảo có ma trận là ma trận nghịch đảo. Vậy nhóm các biến đổi tuyến tính không kỳ dị của không gian vectơ n chiều đẳng cấu với nhóm GL(n) các ma trận n x n có nghịch đảo mà ta đã xét ở trên. Ta cũng gọi đó là nhóm GL (n). 8. Tập hợp các phép quay của không gian Euclide thực n chiều quanh gốc tọa độ tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm định nghĩa như sau: thực hiện hai phép quay liên tiếp ta được một phép quay thứ ba là tích của chúng. Phép biến đổi đồng nhất (không quay tí nào cả) là yếu tố đơn vị. Phép quay ngược lại là yếu tố nghịch đảo. Ta nhắc lại rằng trong không gian Euclide thực n chiều ta có thể chọn hệ vectơ đơn vị cơ sở e1, e2, …, en trực giao chuẩn hóa, nghĩa là thỏa mãn điều kiện (ei, ej) = δij, i, j = 1, 2, …, n Trong phép quay O các vectơ này chuyển thành e' , e' , .., e' cũng trực giao chuẩn hóa 1 2 n (e' , e' ) = δij 1 2 Thay vào đây các biểu thức viết ở trên biểu diễn e'i qua ej và dùng tính chất trực giao chuẩn hóa của các vectơ ei , ta thu được hệ thức Oki Okj = δij Vậy ma trận O với các yếu tố ma trận Oij thỏa mãn điều kiện OT O = I Nhân từ bên phải cả hai vế với O-1, ta có OT = O-1 nghĩa là ma trận của phép quay phải là ma trận trực giao. Từ điều kiện ma trận trực giao còn suy ra rằng det OT ∙ det O = (det O)2 = 1 13/166 nghĩa là det O = ± 1 Vì mà trận của phép biến đổi đồng nhất có định thức bẳng +1, mà các phép quay lại là các phép biến đổi liên tục, cho nên định thức không thể nhảy từ +1 sang -1. Vậy ta phải có det O = 1 Tóm lại, nhóm các phép quay trong không gian Eucide thực n chiều đẳng cấu với nhóm SO(n). Ta cũng gọi nhóm quay này là nhóm SO(n). 9. Trong không gian Euclide phức n chiều với tích vô hướng xác định dương có các tính chất sau đây (b, a1 + a2) = (b, a1) + (b, a2) (b1 + b2, a) = (b1, a) + (b2, a) (b, a) = (a, b)*, (b, λa) = λ(b, a) với mọi số phức λ và do đó ( λb, a) = λ* (b, a) tập hợp các phép biến đổi tuyến tính từ u bảo toàn tích vô hướng của hai vectơ bất kỳ (ua, ub) = (a, b) Tạo thành nhóm đối với phép nhân của hai phép biến đổi được định nghĩa là sự thực hiện liên tiếp hai phép biến đổi đó. Trong không gian vectơ đang xét ta hãy chọn hệ vectơ đơn vị cơ sở trực giao chuẩn hóa e1, e2, …, en, (ei, ej) = δij, i, j = 1, 2, …, n Phép biến đổi từ U chuyển các vectơ này thành các vectơ đơn vị mới e' , e' , .., e' 1 2 n e' = Uei= ejuji i 14/166 Vì biến đổi U bảo toàn các tính vô hướng cho nên (e ' e ' ) = ( U ei , U ej )= (e k , e i ) U U ij = U U kj = U + u kj = δ ij i j ki ki ik Trong đó U + là ma trận liên hợp hermitic của U. Do đó ta có hệ thức U +U = I hay là U + = U -1 Ma trận của các phép biến đổi U bảo toàn tích vô hướng trong không gian Euclide phức n chiều là các ma trận unita n x n. Vậy nhóm các phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng trong không gian Euclide phức n chiều đẳng cấu với nhóm U (n). Ta cũng gọi đó là nhosmm U (n). Nếu ta đặt thêm điều kiện định thức của các phép biến đổi phải bằng 1 thì ta có nhóm SU(n). 15/166 Nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều Trong mục này ta khảo sát chi tiết nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều, vì đây là nhóm đối xứng rất thường gặp trong nhiều lĩnh vực vật lý lượng tử: vật lý nguyên tử, vật lý hạt nhân, vật lý hạt sơ cấp. Ta bắt đầu từ việc nghiên cứu các phép quay của mặt phẳng xOy quanh gốc tọa độ, tạo thành nhóm SO(2). Đó chính là nhóm quay không gian ba chiều quanh trục cố định Oz, một nhóm con của nhóm SO(3). Mỗi phép quay của mặt phẳng xOy được đặc trưng bởi góc quay φ và ký hiệu là O(φ). Thực hiện liên tiếp hai phép quay các góc φ1 và φ2, ta được phép quay góc φ1 + φ2 là tích của hai phép quay nói trên O(φ1) O(φ2) = O (φ1 + φ2) Tất cả các phép quay này giao hoán với nhau cho nên SO(2) là nhóm giao hoán. Mọi yếu tố O(φ) của nhóm này đều hoàn toàn được xác định bởi giá trị của thông số φ thay đổi liên tục từ 0 đến 2 Π. Do đó SO (2) là nhóm liên tục một thông số. Trong phép quay O(φ) các vectơ đơn vị cơ sở i và j chuyển thành vectơ đơn vị mới i’ và j’ liên hệ với i và j bởi các hệ thức (xem hình 1.1) i ' = i cos φ + j sin φ j ' = -i sin φ + j cos φ Hai công thức này có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau: (i ' j ')=(i j ) [ cos φ −sin φ sin φ cos φ ] 16/166 Vậy ma trận của phép biến đổi O (φ) là O (φ)= [ cos φ −sin φ sin φ cos φ ] Dễ dàng thử lại rằng O (φ) là ma trận trực giao O (φ)TO (φ) = O (φ)O (φ)T = I có định mức bằng 1, det O (ϕ) = 1, và thỏa mãn điều kiện O (φ1) O (φ2) = O (φ1 + φ2) Ma trận O (φ) hoàn toàn xác định phép quay tương ứng. Vì các yếu tố ma trận của nó là các hàm khả vi của φ cho nên O (φ) là nhóm Lie. Trong phép quay O (φ)vectơ r với các thành phần x và y, r= xi + yj, chuyển thành vectơ r’ với các thành phần x’ và y’, r ’ = x i ’ + y j ’. Mặt khác, vì r ’, i ’, j ’ thu được từ r, i, j sau cùng một phép quay cho nên hệ thức giữa r ’ và i ’, j ’ có dạng giống hệt như hệ thức giữa r và i, j, cụ thể là r’=xi’+yj’ Thay vào đây các biểu thức diễn tả i ’ và j ’ theo ivà j, ta suy ra x ’ = cos φ x - sin φy y ’ = sin φx + cos φy Các công thức này còn được viết dưới dạng ma trận như sau 17/166 [ ][ x' y' = cos φ −sin φ sin φ cos φ ][ ] x y Các phép quay mặt phẳng xOy xung quanh gốc tọa độ O đồng thời cũng là các phép quay của không gian ba chiều quanh trục Oz. Ký hiệu các vectơ đơn vị cơ sở của không gian Euclide ba chiều là i, j, k, phép quay góc φ quanh trục Oz là Cz(φ). Phép quay này chuyển các vectơ đơn vị cơ sở nói trên thành các vectơ đơn vị cơ sở mới sau đây. i ’ = i cos φ + j sin φ, j ’ = -i cos φ + j cos φ, k’=k Do đó ma trận của phép quay Cz(φ) có dạng Cz(φ)= [ cos φ −sin φ 0 sin φ cos φ 0 0 0 1 ] Tương tự như vậy, ma trận của các phép quay góc φ quanh các trục Ox và Oy, ký hiệu là Cz(φ) và Cy(φ), có dạng [ 1 0 0 Cx(φ)= 0 cos φ −sin φ Cy(φ)= [ 0 sin φ cos φ 0 cos φ 0 sin φ 1 0 −sin φ 0 cos φ ] ] Xét nhóm quay trong không gian ba chiều SO(3). Mọi phép quay không gian ba chiều quanh gốc tọa độ O đều có thể được thực hiện dưới dạng tổ hợp của ba phép quay liên tiếp sau đây: phép quay góc φ quanh trục Oz chuyển các trục tọa độ Ox và Oy thành Ox’ và Oy’, phép quay góc θ quanh trục mới Ox’ chuyển các trục mới Oy’ và Ox thành Oy’’ và Oz’’, phép quay góc ψ quanh trục mới Oz’’ (xem hình 1.2). Ba thông số φ, θ, ψ gọi là ba góc Euler. Ký hiệu phép quay với ba góc Euler. 18/166 φ, θ, ψ là O( ψ, θ,φ). Ma trận của phép quay này là tích của ba ma trận tương ứng với các phép quay quanh các trục Oz, Ox’ và Oz’’, cụ thể là O( ψ, θ,φ) = Cz( ψ) Cx( θ) Cz(φ). Thay vào đây các biểu thức của Cx(φ), Cz( ψ) và Cx( θ), ta thu được O (ψ, θ, φ) = Các góc ψ và φ thay đổi từ 0 đến 2 π, còn góc θ thay đổi từ 0 đến π. Nhóm SO(3) là nhóm Lie ba thông số. Trong đoạn trước ta đã định nghĩa các yếu tố liên hợp. Bây giờ ta hãy chứng minh tính chất liên hợp của hai phép quay cùng một góc quanh hai trục khác nhau. 19/166 Mệnh đề . Trong nhóm quay SO(3) hai phép quay cùng một góc quanh hai trục quay khác nhau luôn luôn liên hợp với nhau. Chứng minh. Ký hiệu các vectơ đơn vị cơ sở i, j, k của hệ tọa độ Descartes là ei, i = 1, 2, 3 và giả sử n và n’ là hai vectơ đơn vị có chung điểm đầu là gốc tọa độ O. Có một phép quay R nào đó chuyển vectơ n thành vectơ n’ và giả sử rằng trong phép quay này các vectơ đơn vị cơ sở ei chuyển thành e' . Các phép quay góc φ quanh các trục n và n’ ký i hiệu là Cn(φ) và Cn’(φ). Trong hệ tọa độ với các vectơ đơn vị cơ sở e' phép quay Cn’(φ) i có các yếu tố ma trận giống hệt như các yếu tố má trận của phép quay Cn(φ) trong hệ tọa độ với các vectơ đơn vị cơ sở ei. Nói khác đi, nếu C n(φ) ei=ej A ji thì C n' (φ) ei '=ej ' A ji Thay e ' = R ei i vào hệ thức (4) Cn’ (φ) R ei = Rej Aji rồi nhân cả hai vế với R-1 từ bên trái, ta thu được R-1Cn’ (φ) Rei = ej Aji So sánh với hệ thức (3), ta suy ra rằng R-1Cn’ (φ) R = Cn(φ) hay là Cn’(φ) = RCn(φ)R-1 Ta còn viết lại hệ thức này như sau CRn (φ)=RCn (φ)R -1 20/166 Vậy CRn (φ) và Cn (φ) là hai yếu tố liên hợp với nhau của nhóm SO(3). Bây giờ bẳng những lập luận tổng quát chúng ta hãy thiết lập biểu thức của phép quay Cn(δφ) một góc vô cùng bé δφ quanh trục quay hướng theo vectơ đơn vị n trong phép gần đúng cấp 1 theo δφ. Ta hãy đặc trưng phép quay góc δφ quanh trục quay hướng theo vectơ n bằng vectơ δφ có giá trị bằng δφ và hướng theo trục quay, δφ = nδφ. Ma trận Cn (δφ) phải quy về ma trận đơn vị I khi đặt δφ = 0, cho nên nó có dạng Cn (δφ) = I + X (δφ) Trong đó ma trận X (δφ) là đại lượng bé cấp 1 theo δφ. Bỏ qua số hạng cấp 2, ta có [Cn(δφ)] −1 = I − X(δφ) Mặt khác T [Cn(δφ)] = I + [X(δφ)] T Từ điều kiện ma trận Cn( δφ) là ma trận trực giao T [Cn(δφ)] = [Cn(δφ)] −1 suy ra rằng ma trận X (δφ) phải là ma trận phản đối xứng T [X(δφ)] = − X(δφ) T Ta thấy rằng trong số chín yếu tố ma trận của X (δφ) thì ba yếu tố chéo phải bằng không [X(δφ)]ii = 0 sáu yếu tố không nằm trên đường chéo chia thành ba cặp, mỗi cặp gồm hai yếu tố bằng nhau về độ lớn và ngược dấu nhau, [X(δφ)]ij = − [X(δφ)]ji,i ≠ j Vậy ma trận X( δφ) chỉ chứa ba thông số độc lập. Ta có thể chọn ba thàn phần δφk, k = 1, 2, 3, của vectơ δφ làm ba thông số độc lập này và viết X( δ φ) = - i δ φ S = - i δ φ k S k 21/166 trong đó Sk, k = 1, 2, 3, là ba ma trận phản đối xứng 3 x 3 độc lập tuyến tính với nhau. Ta đưa them đơn vị ảo –i vào công thức vừa viết để cho thuận tiện sau này. Vì các yếu tố ma trậ của X( δφ) phải là các số thực cho nên các yếu tố ma trận của các ma trận Sk phải là các số ảo. Từ các biểu thức vừa viết ở trên của Cn (δφ) và X (δφ) suy ra rằng các phép quay góc vô cùng bé δφ quanh các trục Ox, Oy, và Oz có các ma trận sau đây Cx (δφ)= I - i δφ S1 Cy (δφ)= I - i δφ S2 Cz (δφ)= I - i δφ S3 Các ma trận Sk, k = 1, 2, 3, gọi là các vi tử của các phép quay quanh ba trục tọa độ. Ta lại cũng đã biết các biểu thức (1a) - (1c) của các phép quay Cx( φ), Cy( φ), Cz( φ) với các góc quay φ bất kỳ. Dùng các biểu thức này rồi thay φ bằng δφ vô cùng bé và chỉ giữ lại các số hạng cấp 1 theo δφ, ta suy ra [ [ [ 1 0 Cx(δφ)= 0 1 0 0 δφ 1 1 0 δφ 0 1 0 −δφ 0 1 Cy(δφ)= 1 ] ] ] −δφ , −δφ 0 , Cz(δφ)= δφ 1 0 , 0 0 1 So sánh các biểu thức này với các công thức biểu diễn các ma trận Cx( δφ), Cy( δφ) và Cz( δφ) qua các vi tử S1, S2, S3 mà ta đã viết ở trên, ta thu được [ ] 0 0 0 S1 = 0 0 −i 0 i 0 22/166 [ ] [ ] 0 0 i S2 = 0 0 0 −i 0 0 0 −i 0 S3 = i 0 0 0 0 0 Dễ thử lại rằng ba ma trận S1, S2, S3 thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau đây [S1,S2]= i S3, [S2,S3]= i S1, [S3,S1]= i S2 hay là dưới dạng thu gọn [Si,Sj]= i εijk Sk, Trong đó εijk là tenxơ hoàn toàn phản đối xứng hạng 3 trong không gian ba chiều, với ε123 = 1 23/166 Nhóm SU(2) các biến đổi unita với định thức bằng 1 trong không gian Euclide phức 2 chiều Trong đoạn này chúng ta khảo sát chi tiết về nhóm SU(2) các biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng và có định thức bằng 1 của không gian Euclide phức hai chiều. Nhiều công thức và một số lập luận trình bày dưới đây thường hay được áp dụng khi nghiên cứu những vấn đề trong nhiều lĩnh vực của vật lý lượng tử. Trong hệ vectơ đơn vị cơ sở giao chuẩn hoa smooix phép biến đổi thuộc nhóm SU(2) được diễn tả bởi một ma trận 2 x 2 unita U. U+ = U-1, Và có định thức bẳng 1, det U = 1 Yếu tố đơn vị của nhóm là ma trận đơn vị I. Yếu tố có ma trận bằng U-1 là nghịch đảo của yếu tố có ma trận bằng U. Để tìm các tham số độc lập cũng như các vi tử tương ứng ta hãy xét các biến đổi vô cùng gần yếu tố đơn vị, nghĩa là các phép biến đổi mà các ma trận có dạng. U( δαi) = I – i X ( δαi), Trong đó ma trận X( δαi) là đại lượng cấp 1 đối với các tham số thực vô cùng bé δαi. Bỏ qua các số hạng cấp 2, ta có [U(δαi)]-1 = I + i X ( δαi), Mặt khác, [U(δαi)]+ = I + [X(δαi)]+ Từ điều kiện ma trận U( δαi) phải là ma trận unita U( δαi)-1 = [U(δαi)]+ suy ra rằng ma trận X ( δαi) phải tự liên hợp, nghĩa là X ( δαi)+ = X ( δαi). 24/166 Do đó hai yếu tố chéo của ma trận X ( δαi) phải là hai số thực [X(δαi)]jj = [X(δαi)]jj, j = 1, 2 Còn hai yếu tố không chéo của ma trận này thì phải liên hợp phức với nhau [X(δαi)]12 = [X(δαi)]21 Nếu không đặt thêm điều kiện gì khác thì ma trận tự liên hợp X ( δαi) chứa bốn tham số thực độc lập với nhau. Nhưng ta còn có điều kiện định thức của U( δαi) phải bằng 1. Bỏ qua các số hạng cấp cao ta có det [U(δαi)] = 1 – i Tr [X(δαi)]. Vậy ma trận X ( δαi) phái có vết bằng không Tr [X(δαi)] = 0 hai yếu tố chéo phải có độ lớn bằng nhau và ngược dấu. Tóm lại, ma trận 2 x 2 tự liên hợp và có vết bằng không X ( δαi) biểu diễn qua bat ham số thực độc lập vo cùng bé δαi, i = 1, 2, 3 và ta có U ( δαi) = I – i δαisi = I – i δα ⋅ s Trong đó các vi tử si, i = 1, 2, 3 là ma trận 2 x 2 tự liên hợp độc lập tuyến tính và có vết bằng không, δαlà vectơ ba chiều với các thành phần δαi, s là ma trận vectơ ba chiều với các thành phần si. Để cho sau này được thuận tiện ta chọn các ma trận si bằng các ma trận Pauli σi nhân với 12 : si = 12 σi σ1= [ ] [ ] [ ] 0 1 1 0 , σ2= 0 −i i 0 , σ3= 1 0 0 -1 Dễ thử lại rằng các ma trận Pauli đều có bình phương bằng ma trận đơn vị σ21 = σ22 = σ23 = I , hai ma trận Pauli khác nhau phản giao hoán với nhau và có tích bằng σ1σ2 = - σ2σ1 = iσ3, σ2σ3= - σ3σ2 = i σ1, σ3σ1 = - σ1σ3 = i σ2. 25/166 Các hệ thức của bình phương ma trận Pauli và tích hai ma trận Pauli khác nhau có thể viết gộp lại như sau σiσj = δijI + iεijkσk Từ đây suy ra các hệ thức giao hoán [σi,σj] = 2iεijkσk Chia các ma trận σi cho 2 ta được các ma trận si thỏa mãn các hệ thức giao hoán giống như các hệ thức giao hoán giữa các vi tử Si của nhóm SO(3), cụ thể là [si,sj] = iεijksk Coi các ma trận si, i = 1, 2, 3 là các yếu tố và giao hoán tử [si,sj] là tích của hai yếu tố si và sj, ta thiết lập được một đại số Lie của nhóm SU(2). Ta thấy đó cũng chính là đại số Lie của nhóm SO(3) đã thành lập ở trên. Sau khi đã thu được biểu thức của các biến đổi U( δαi) rất gần yếu tố đơn vị, với các tham số vô cùng bé δαi, bây giờ các hãy mở rộng các lập luận ở trên để thiết laapjbieeru thức của phép biến đổi bất kỳ U( αi) của nhóm SU(2) phụ thuộc vào các tham số thực αi , có các giá trị hữu hạn. Ta cũng sẽ thấy rằng có ba tham số độc lập. Trước hết ta chú ý rằng mọi ma trận unita U( αi) đều có thể viết dưới dạng U(αi) = e −iX (αi), Trong đó X( αi) là ma trận tự liên hợp + [X(αi)] = X(αi) Làm một phép biến đổi thích hợp của hệ tọa độ để đưa ma trận tự liên hợp X( αi) về dạng chéo, ta có thể chứng minh rằng định thức của ma trận U( αi) biểu diễn qua vết của ma trận X(αi)như sau det[U(αi)] = e [ ( )] − 1Tr X αi Từ điều kiện định thức của U( αi) phải bằng 1 suy ra rằng vết của ma trận X( αi) phải bằng không [X(αi)] = 0 26/166 Vì rằng có ba ma trận 2 x 2 độc lập tuyến tính, tự liên hợp và có vết bằng không, cho nên ma trận 2 x 2 tự liên hợp có vết bằng không X( αi) phụ thuộc vào ba tham số thực αi , i = 1, 2, 3 và có thể viết như sau [X(αi)] = 12 αiσi = 12 ασ Vậy ma trận của phép biến đổi bất kỳ thuộc nhóm SU(2) có dạng tổng quát 1 1 U( αi) = e − 2 αiσi = e − 2 ασ Xét các trường hợp khi mà chỉ có một tham số αk trong ba tham số α1, α2, α3 là khác không, còn hai tham số kia bằng không. Ta có 1 U( αk = φ,αi ≠ k = 0) = U (k)( φ) = e − 2 ϕσk Khai triển hàm mũ thành chuỗi lũy thửa và dùng tính chất 2 δ k = 1, ta thu được n − 1) U(k)( φ) = ∑n∞= 1 ((2n)! φ 2n 2 () n ( − 1) φ i σk∑n∞= 1 (2n + 1)! ( 2 ) 2n + 1 = cos φ 2 - i σk sin φ2 . Với k = 1, 2 ta có Còn với k = 3 27/166 Mỗi loạt các phép biến đổi U(k)( φ) với k cố định tạo thành một nhóm con một tham số của nhóm SU(2). Các ma trận U(k)( φ) là các hàm khả vi của φ cho nên nhóm SU(2) là một nhóm Lie. Bây giờ ta quay lại yếu tố có dạng tổng quát U (αi) và ký hiệu n là vectơ đơn vị hướng theo vectơ α α n = α. Dùng các hệ thức đã viết ở trên đối với tích của các ma trận Pauli, dễ thử lại rằng 2 (σn) = 1. 1 Khai triển hàm mũ e − 2 α(σn) thành chuỗi lũy thừa, ta lại thu được n − 1) U( αi) = ∑n∞= 1 ((2n)! ( α2 ) 2n n ( − 1) α - i (σn)∑n∞= 1 (2n + 1)! ( 2 ) 2n + 1 = cos α 2 - i σk sin α 2 Vậy biểu thức sau đây của yếu tố bất kỳ của nhóm SU(2) U( αi) = cos α 2 α - i σα α sin 2 . Các ma trận thuộc nhóm SU(2) có định thức bằng 1. Nếu ta không đòi hỏi định thức của ma trận 2 x 2 của phép biến đổi unita phải bằng 1 thì ta có nhóm U(2). Bây giờ ma trận X( αi) không nhất thiết phải có vết bằng không và do đó phụ thuộc bốn tham số, ba tham số là thành phần của vectơ ba chiều αđã xét ở trên và một tham số mới α0. Ma trận 2 x 2 tự liên hợp ( αi) phụ thuộc bốn tham số được biểu diễn qua bốn ma trận 2 x 2 tự liên hợp độc lập tuyến tính là ba ma trận Pauli σi, i = 1, 2, 3 và ma trận đơn vị I ký hiệu là σ0, X( αi) = 12 α0σ0 + 12 ασ. Ngoài ba nhóm con một tham số gồm các biến đổi U(k)( φ) đã xét ở trên bây giờ ta có thêm một nhóm con một tham số nữa là nhóm U(1) với các phép biến đổi 1 U(0) ( φ) = e − 2 φ . Các biến đổi này giao hoán với các biến đổi của nhóm SU(2) và do đó nhóm U(2) là tích trực tiếp của nhóm U(1) và nhóm SU(2). U(2) = U(1) ⊗SU(2). 28/166 Bây giờ ta dẫn ra ở đây một số công thức đối với các ma trận Pauli mà ta thường dùng khi nghiên cứu các vấn đề thuộc nhiều lĩnh vực của vật lý lượng tử. Trước hết ta chú ý rằng vết của các ma trận Pauli bằng không Tr ( σi) = (σi)αα = 0 còn tích của hai ma trận Pauli có vết bằng Tr ( σiσj) = (σi)αβ(σi)βα= 2 δij Ba ma trận Pauli σivà ma trận đơn vị I tạo thành bốn ma trận n x n độc lập tuyến tính. Mọi ma trận 2 x 2 đều có thể triển khai theo bốn ma trận này như sau Aαβ = A0δαβ + Ai(σi)αβ = A0δαβ + A (σ)αβ, α,β = 1, 2 hay là A = A 0 I + A i σi = A 0 I + A σ Lấy vết cả hai vế hệ thức trên, ta có 1 1 A0 = 2 Aαα = 2 Tr(A). Còn nếu nhân cả hai vế hệ thức đó với σk xong rồi mới lấy vết thì ta thu được 1 1 Ak = 2 Aαβ(σk)βα = 2 Tr(Aσk) hay là 1 1 A = 2 Aαβ(σ)βα = 2 Tr(Aσ) . Các ma trận σ1 và σ3là đối xứng ( σ1)T = σ1, ( σ3)T = σ3 nghĩa là (σ1)αβ = (σ1)βα, (σ3)αβ = (σ3)βα, còn ma trận σ2là phản đối xứng ( σ2)T = - σ2, 29/166 nghĩa là (σ2)αβ = - (σ2)βα. Từ các tính chất đối xứng hoặc phản đối xứng này của cá ma trận Pauli và tính chất phản giao hoán của các ma trận Pauli khác nhau suy ra hệ thức σ2σiσ2 = − σTi . Nhân cả hai vế của hệ thức này với σ2 từ bên phải hoặc từ bên trái và thực hiện các phép tính toán thích hợp tiếp theo, ta sẽ có T σ2σi = − σTi σ2 = σTi σT2 = (σ2σ1) , T σiσ2 = − σ2σTi = σT2 σTi = (σiσ2) . Vậy các ma trận σ2σi và σiσ2là các ma trận đối xứng, (σ2σi)T = ( σ2σi), ( σiσ2)T = ( σiσ2), nghĩa là (σ2σi)αβ= (σ2σi)βα, (σiσ2)αβ= (σiσ2)βα, So sánh các kết quả vừa thu được đối với nhóm SU(2) và các kết quả trình bày ở trên về nhóm quay SO(3), ta thấy có một sự tương tự: cả hai nhóm đều là các nhóm Lie bat ham số, các vi tử của chúng thỏa mãn những hệ thức giao hoán giống hệt nhau. Ta hãy chứng minh rằng nhóm SO(3) đồng cấu với nhóm SU(2). Xét một vectơ r trong không gian ba chiều. Từ ba thành phần r1 = x, r2 = y, r3 = z của vectơ này ta hãy lập ra ma trận R sau đây Dùng các tính chất của các ma trận Pauli σi mà ta đã trình bày ở trên, dễ thấy rằng các thành phần của vectơ r được biểu diễn ngược lại qua ma trận R như sau 1 ri = 2 Tr(Rσi) hay là 30/166 ⇒ 1 r = 2 Tr(Rσ) Tính định thức của ma trận R, ta thu được det R = - r 2 . Cho U là một yếu tố của nhóm SU(2) và xét phép biến đổi tuyến tính sau đây của ma trận R R → R ’ = U RU +. Ký hiệu vectơ trong không gian ba chiều tương ứng với ma trận R’ là r’: R ’ = r’ σ. Trong phép biến đổi R thành R’, vectơ r chuyển thành r’ R → R’ r → r’. Ta ký hiệu phép biến đổi này của không gian ba chiều là O, r ’ = O r, và thiết lập được sự tương ứng giữa mỗi yếu tố U của nhóm SU(2) với một phép biến đổi O của không gian ba chiều U → O. Trước hết, ta hãy chứng minh rằng phép biến đổi O bảo toàn chiều dài của các vectơ trong không gian ba chiều. Thực vậy, ta có r ’2 = - det R ’ = - det(U RU +) = - (detU) (det R) (det U +) = - det R = r 2 Vậy O là phép quay hoặc là tổ hợp của phép quay và phép nghịch đảo hoặc / và phép phản xạ gương. Dùng các biểu thức đã cho ở trên của các yếu tố U (k)(φ), k = 1, 2, 3, của các nhóm con một tham số trong nhóm SU(2) rồi thực hiện phép nhân ma trận để tìm các ma trận U (k)( φ ) RU (k) ( φ ) + 31/166 ta thu được ngay ma trận của các phép biến đổi biến đổi O tương ứng của không gian ba chiều. Kết quả là ta có sự tương ứng sau đây giữa các yếu tố U (k)( φ), k = 1, 2, 3 và các phép quay Cx (φ), Cy (φ), Cz (φ),: U(1) (φ) → Cx (φ), U(2) (φ) → Cy (φ), U(3) (φ) → Cz (φ). Dễ thử lại rằng sự tương ứng nói trên giữa các yếu tố của hai nhóm bảo toàn phép nhân nhóm. Vậy ta đã thiết lập được sự đồng cấu của nhóm SU(2) lên nhóm SO(3). Chú ý rằng nếu tat hay U bằng –U thì ta vẫn được cùng một phép quay O. Vậy trong phép đồng cấu của nhóm SU(2) lên nhóm SO(3) hai yếu tố trái dấu nhau của nhóm SU(2) tương ứng với cùng một yếu tố của nhóm SO(3). Nhóm SO(3) đồng cấu nhưng không đẳng cấu với nhóm SU(2). 32/166 Nhóm Lie và đại số Lie Khi nghiên cứu về các nhóm SO(3) và SU(2) chúng ta đã thiết lập các hệ thức giao hoán giữa các vi tử của mỗi nhóm này và thấy rằng các vi tử đó tạo thành đại số Lie. Bây giờ chúng ta mở rộng các lý luận đã trình bày khi nghiên cứu về các nhóm SO(3) và SU(2) ra cho trường hợp một nhóm Lie G gồm các phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn những điều kiện nhấy định của một không gian vectơ nào đó và chứng minh rằng các vị tử của nhóm này tạo thành một đại số Lie. Trước hết ta hãy giới thiệu những khái niệm cơ bản về đại số Lie. Đại số Lie Cho một không gian vectơ V trên đường R các số thức hoặc trường C các số phức. Ký hiệu các yếu tố của V là X, Y, Z… các yếu tố của trường R hoặc C là α,β,γ… Giả sử rằng trên tập hợp V có một quy tắc gọi là phép nhân cho phép ta từ hai yếu tố X, Y bất kỳ của V xác định được một và chỉ một yếu tố thứ ba của V ký hiệu là X ∙ Y và gọi là tích của X và Y, mà X ∙ ( αY) = ( αX) ∙ Y = α ∙ (XY), (X + Y) ∙ Z = X ∙ Z + Y ∙ Z, X ∙ (Y + Z) = X ∙ Y + X + Z. (38) Không gian vectơ V với phép nhân hai yếu tố được định nghĩa như thế được gọi là một đại số A. Nếu phép nhân các yếu tố của một đại số có tính chất kết hợp X ∙ (Y ∙ Z) = (X ∙ Y) ∙ Z thì đại số A được gọi là đại số kết hợp. Một đại số A với phép nhân hai yếu tố {X,Y} → (X ∧ Y) thỏa mã các điều kiện (XY) = − (YX) (phản giao hoán) (39) (X ∧ (Y ∧ Z)) + (Y ∧ (Z ∧ X)) + (Z ∧ (X ∧ Y)) = 0 (40) (đồng nhất thức Jacobi) 33/166 được gọi là một đại số Lie. Cho một đại số kết hợp A với tích của hai yếu tố X và Y được ký hiệu là X ∙ Y. Trên tập hợp A ta hãy đưa ra một định nghĩa khác của phép nhân hai yếu tố {X,Y} → (X ∧ Y) ≡ [X,Y] = X ⋅ Y − Y ⋅ X (41) Với định nghĩa mới này của tích hai yếu tố đại số A trở thành một đại số Lie L. Thực vậy, dễ dàng thử lại rằng định nghĩa (41) của tích hai yếu tố thỏa mãn các điều kiện (39) và (40). Xem như một không gian vectơ mỗi đại số Lie có một hệ các vectơ cơ sở Xi, i = 1, 2,…, s, mà mọi yếu tố X của L đều có thể viết một cách đơn giá dưới dạng X = ∑si = 1 αiXi (42) với các hệ số αi trong trường số đã cho. Xét hai yếu tố Xi và Xjtùy ý của hệ cơ sở của một đại số Lie L và tích (Xi ∧ Xj) của chúng. Vì (Xi ∧ Xj) cũng là một yếu tố của đại số L cho nên nó cũng lại phải là một tổ hợp tuyến tính của các yếu tố của hệ cơ sơ, nghĩa là phải có dạng (XiXj) = ∑si = 1 γijkXk . (43) Các hệ số γijk được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie L. Từ các điều kiện (39) và (40) suy ra rằng các hằng số cấu trúc γijk thỏa mãn các hệ thức sau đây: γjik = − γijk (44) γilmγikl + γjlmγkil + γklmγijl= 0 (45) Cho hai đại số Lie L và L’ với các yếu tố ký hiệu là X, Y, Z v.v. và X’, Y’, Z’ v.v.. Ta nói rằng đại số Lie L đồng cấu với đại số Lie L’ nếu có phép ánh xạ tuyến tính không gian vectơ L lên không gian vectơ L’, L → L’, có tính chất bảo toàn phép nhân của đại số Lie, nghĩa là từ X → X ’, Y → Y ’ suy ra (X ∧ Y) → (X' ∧ Y') 34/166 Nếu phép ánh xạ tuyến tính của đại số Lie L lên đại số Lie L’ là đơn giá theo cả hai chiều L↔L’ và bảo toàn phép nhân của đại số Lie, thì ta nói rằng hai đại số lie L và L’ đẳng cấp với nhau. Sau này chúng ta sẽ không phân biệt các đại số Lie đẳng cấu. Liên hệ giữa nhóm Lie các phép biến đổi và đại số Lie Sau khi đã biết một số khái niệm cơ bản về đại số Lie bây giờ chúng ta thiết lập mối liên hệ giữa mỗi nhóm Lie các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ và đại số Lie tương ứng. Trong không gian vectơ đó ta hãy chọn một hệ cơ sở và biểu diễn mỗi phép biến đổi T bằng một ma trận cũng ký hiệu là T và đặt T = e - iX . (46) Từ định nghĩa nhóm G suy ra những điều kiện mà ma trận T phải thỏa mãn, rồi từ những điều kiện này suy ra những điều kiện mà ma trận X phải thỏa mãn. Thí dụ như nếu G là nhóm các biến đổi trực giao trong không gian Euclide thì các yếu tố của nó phải là những ma trận trực giao O thỏa mãn điều kiện O T = O -1 và do đó các ma trận X trong hệ thức O = e -iX phải là các ma trận phản giao hoán X T = -X. Tương tự như vậy, nếu G là nhóm các biến đổi unita trong một không gian phức thì các yếu tố của nó phải là những mà trận unita U thỏa mãn điều kiện U+=Uvà do đó các ma trận X trong biểu thức U = e -iX phải là các ma trận tự liên hợp 35/166 X+=X Ngoài ra, nếu các ma trận O hoặc U có định thức bằng 1, nghĩa là nếu det O = 1 hoặc det U = 1 thì các ma trận X phải có vết bằng không, Tr X = 0 Trong không gian vectơ các ma trận X thỏa mãn các điều kiện suy ra từ định nghĩa của nhóm G đã cho ta hãy chọn một hệ cơ sở gồm các ma trận độc lập tuyến tính Xi, i = 1, 2, …, s, mà mọi ma trận X đang xét đều có thể được biểu diễn dưới dạng một tổ hợp tuyến tính (42) của các ma trận Xi của hệ cơ sở này với các hệ số αi. Ta xét trường hợp các hệ số αi là các tham số thực. Các ma trận X và T tương ứng với các tham số thực αi, i = 1, 2, …, s được ký hiệu là X( α1, α2,…, αs) và T ( α1, α2,…, αs) . Ta có X( α1, α2,…, αs) = ∑si = 1 αiXi (42') và theo công thức (46) T ( α1, α2,…, αs) = e − i∑i αiXi (47) Dễ thử lại rằng i ∂ T(α1,α2,...,αs) ∣α = α = ... = α = 0= ∂ αi 1 2 s Xi (48) cho nên Xi, i = 1, 2, …, s, là các vi tử của nhóm biến đổi G đang xét. Với những giá trị vô cùng bé của các tham số α1, α2,…, αsma trận T ( α1, α2,…, αs) rất gần ma trận đơn vị và có dạng gần đúng T ( α1, α2,…, αs) I - i∑j αjXi. (49) Cho hai ma trận T ( α1, α2,…, αs) và T ( β1, β2,…, βs) là hai yếu tố của nhóm G và hãy thiết lập ma trận T ( α1, α2,…, αs) T ( β1, β2,…, βs) T ( α1, α2,…, αs)-1 và T ( β1, β2,…, βs)-1 36/166 cũng là một yếu tố trong nhóm G. Bằng cách tính trực tiếp có thể thử lại rằng với những tham số α1,...,αs và β1,...,βs tất cả đều là vô cùng bé ta có biểu thức gần đúng T ( α1, α2,…, αs) T ( β1, β2,…, βs) T ( α1, α2,…, αs)-1 và T ( β1, β2,…, βs)-1I + (-i)2∑si,k = 1 αjβi [Xj,Xk] . (50) Vì ma trận này là một yếu tố của nhóm G rất gần ma trận đơn vị cho nên theo công thức (49) nó phải có dạng gần đúng T ( α1, α2,…, αs) T ( β1, β2,…, βs) T ( α1, α2,…, αs)-1 và T ( β1, β2,…, βs)-1 ≈ I − i∑sl = 1 fl(α1,α1,...,αs;β1,β2,...,βs)Xl trong đó fl(α1,α1,...,αs;β1,β2,...,βs) là hàm của các tham số α1, …, αs và β1, …, βs triệt tiêu khi các tham số α1, α2,…, αs hoặc β1, β2,…, βsđồng thời bằng không. Trong phép gần đúng cấp thấp nhất theo các tham số vô cùng bé α1, …, αs và β1, …, βs ta có thể viết biểu thức của fl(α1,α1,...,αs;β1,β2,...,βs ) dưới dạng tổng quát fl(α1,α1,...,αs;β1,β2,...,βs) ≈ − i∑sj,k = 1 αjβkγjkl với các hệ số không đổi γjkl, thành thử T ( α1, α2,…, αs) T ( β1, β2,…, βs) T ( α1, α2,…, αs)-1 T ( β1, β2,…, βs)-1 ≈ I − ∑sj,k,l = 1 αjβkγjklXl. (51) So sánh hai biểu thức trong vế phải các hệ thức (50) và (51), ta thu được [Xj,Kk] = ∑sl = 1 γiklXk. (52) Công thức này chứng tỏ rằng các vi tử Xi, i = 1, 2 , …, s, của nhóm biến đổi G tạo thành một đại số Lie với định nghĩa tích của hai yếu tố của đại số là giao hoán tử của hai ma trận tương ứng. 37/166 Phụ lục cơ sở lý thuyết nhóm Trong phụ lục này chúng ta trình bày thêm một số khái niệm và chứng minh một số mệnh đề chung trong lý thuyết nhóm. Từ định nghĩa nhóm suy ra ngay một số mệnh đề sau đây. Mệnh đề 1 Mỗi nhóm chỉ cố một yếu tố đơn vị. Chứng minh. Giả sử trong nhóm G có hai yếu tố đơn vị là e1 và e2. Theo định nghĩa yếu tố đơn vị thì với mọi yếu tố aG ta luôn có e 1 a = a, ae2=a Trong hệ thức thứ nhất hãy lấy a = e2 và có e1 e2 = e 2 , còn lại trong hệ thức thứ hai hãy lấy a = e1 và có e1e2=e1 Vậy e1 phải trùng với e2 , e1 = e2 Mệnh đề 2 Nghịch đảo của tích của hai yếu tố bằng tích các nghịch đảo của chúng theo thứ tự ngược lại, nghĩa là (a b) -1 = b -1a -1 Chứng minh. Thực vậy, ta có b-1a -1a b = b -1b = e a b b -1a -1 = a a -1 = e 38/166 Vậy b -1a -1 là nghịch đảo của a b. Mệnh đề 3 Nếu a và b là hai yếu tố khác nhau của nhóm G, a≠b thì với mọi yếu tố c in: 2 args.G ta luôn luôn có c aneq: 2 args.c b, a cneq: 2 args.b c Chứng minh. Ta thấy giả sử ngược lại rằng có một yếu tố c nào đó mà c a = c b. Nhân cả hai vế hệ thức này với c -1 từ bên trái và chú ý rằng c -1c = e, ta có c -1ca = ea = c -1c b = e b nghĩa là a = b, trái với giả thiết. Tương tự như vậy, nếu có một yếu tố c nào đó mà ac=bc thì sau khi nhân cả hai vế của hệ thức này từ bên phải với c -1, chú ý rằng c c -1 = e, ta sẽ có a c c -1 = a e = b c c -1 = b e nghĩa là lại có a = b, trái với giả thiết. Mệnh đề 4 Mỗi yếu tố của nhóm chỉ có một yếu tố nghịch đảo. Chứng minh. Ta giả sử rằng một yếu tố a nào đó của nhóm G có hai yếu tố nghịch đảo ký hiệu là a1− 1a = e, aa2− 1 = e. 39/166 Nhân cả hai vế của hệ thức thứ nhất với a2− 1 từ bên phải và nhân cả hai vế của hệ thức thứ hai với a1− 1 từ bên trái, ta được a1− 1aa2− 1 = ea2− 1 = a2− 1, a1− 1aa2− 1 = a1− 1e = a1− 1. Vậy ta phải có a1− 1 = a2− 1 Định nghĩa yếu tố liên hợp Yếu tố a của nhóm G được gọi là liên hợp với yếu tố b của nhóm này nếu có một yếu tố nào đó cin: 2 args.G mà c a c-1 = b Mệnh đề Quan hệ liên hợp là một quan hệ tương đương, nghĩa là 1) Nếu a liên hợp với b thì b liên hợp với a (tính đối xứng). 2) Yếu tố a liên hợp với chính nó (tính tự liên hợp), 3) Nếu a liên hợp với b, b liên hợp với c thì a liên hợp với c (tính chuyển tiếp). Chứng minh. 1) Yếu tố a liên hợp với yếu tố b có nghĩa là có một yếu tố c nào đó mà c a c-1 = b Khi đó c -1b (c -1) -1 = a, nghĩa là a -1 liên hợp với b -1 2) Với mọi yếu tố ain: 2 args.G ta luôn có e a e -1 = a, 40/166 nghĩa là a tự liên hợp với chính nó. 3) Nếu a liên hợp với b, b liên hợp với c thì có hai yếu tố d và f nào đó mà d a d -1 = b, f b f -1 = c, Khi đó f d a d -1f -1 = c, (f d) a (f d) -1 = c, nghĩa là a liên hợp với c. Định nghĩa lớp lân cận của nhóm con Giả sử nhóm G có một nhóm con G1 gồm những yếu tố g0 = e, g1, g2, …, và cho a là một yếu tố bất kỳ của nhóm G. Tập hợp các yếu tố a, ag1, ag2,…, thu được bằng cách nhân tất cả các yếu tố của G1 với a từ bên trái được gọi là lớp lân cận trái của G1 và ký hiệu là aG1 : {agi ∣ gi ∈ G1}. Tương tự như vậy, tập hợp các yếu tố a, g1 a, g2 a…, thu được bằng cách nhân tất cả các yếu tố của G1 với a từ bên phải được gọi là lớp lân cận phải của G1 và ký hiệu là G1 a: {gia ∣ gi ∈ G1} Mệnh đề Hai lớp lân cận trái (phải) hoặc không có một lớp yếu tố chung nào, hoặc hoàn toàn trùng nhau. Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề đối với lớp lân cận trái. Với lớp lân cận phải có thể lặp lại lý luận tương tự. Giả sử hai lớp lân cận trái aG1 và b G1 của nhóm con G1 có một yếu tố chung, nghĩa là có hai yếu tố g1 và g2 của G1 mà a g1 = b g2 , g1g2in: 2 args.G1 Nhân cả hai vế của hệ thức này với g1− 1 từ bên phải, ta có a = bg2g1− 1 Mọi yếu tố của lớp lân cận trái a G1 có dạng 41/166 a gk = b g2 g1− 1gk, gkG1. Vì g 2 g1− 1 g k G 1 cho nên b g2g1− 1gk là một yếu tố của lớp lân cận b G1. Vậy mọi yếu tố của a G1 đều thuộc vào b G1, nghĩa là aG1 bG1 Tương tự như vậy bG1 aG1 Hai hệ thức này chứng tỏ rằng hai lớp lân cận a G1 và b G1 phải trùng nhau a G1 = b G1 Ngược lại, nếu chúng không trùng nhau thì chúng không thể có yếu tố chung nào. Xét một nhóm hữu hạn G và cấp n và giả sử nó có một nhóm con G1 cấp n1. Từ Mệnh đề vừa chứng minh suy ra rằng nhóm G được tách ra thành các lớp lân cận không giao nhau của nhóm con G1, mỗi lớp đều có cùng một số yếu tố bằng số yếu tố n1 của nhóm con G1. Nếu có r lớp lân cận thì số yếu tố của nhóm G là n=rn1 Vậy ta có mệnh đề sau, Mệnh đề (Định lý Lagrange) Cấp của nhóm con G 1 của nhóm hữu hạn G là ước số của cấp của nhóm G Định nghĩa nhóm con bất biến Nhóm con H của nhóm G được gọi là nhóm con bất biến nếu với mọi yếu tố a của nhóm G lớp lân cận trái aH trùng với lớp lân cận phải H a: a H = H a. Ta còn viết 42/166 a H a -1 = H Hệ thức này chứng tỏ rằng với mọi yếu tố b của nhóm con H, bin: 2 args.H, ta luôn luôn có a b a -1 in: 2 args. H với bất kỳ một yếu tố a nào của nhóm G, ∀ ain: 2 args.G. Vậy theo định nghĩa, nếu nhóm con bất biến H chứa một yếu tố b nào đó thì nó cũng chứa tất cả các yếu tố liên hợp với b. Nói khác đi, một nhóm con bất biến bao giờ cũng chứa gọn toàn bộ từng lớp các yếu tố liên hợp. Cho một nhóm G và một nhóm con bất biến H của nó. Mỗi yếu tố a không thuộc vào H hoàn toàn xác định lớp lân cận a H và có thể xem là yếu tố đại diện của lớp này. Cho hai lớp a H và b H đại diện bởi hai yếu tố a và b và xét tập hợp các yếu tố là tích của một yếu tố của lớp a H và một yếu tổ của b H. Tập hợp này được ký hiệu là a H b H. Vì H là nhóm con bất biến cho nên H b = b H, a H b H = a b H H và do đó a H b H a b H. Vậy tất cả các tích đang xét đều là các yếu tố cả lớp a b H mà đại diện là yếu tố a b. Định nghĩa nhóm thương Cho nhóm G và nhóm con bất biến H của nó. Trên tập hợp các lớp lân cận của nhóm H ta định nghĩa phép nhân như sau: tích của hai lớp lân cận a H và b H là lớp lân cận a b H. Yếu tố đơn vị của phép nhân này là chính nhóm con H. Yếu tố nghịch đảo của lớp lân cận a H là lớp lân cận a-1H. Với phép nhân, yếu tố đơn vị và yếu tố nghịch đảo định nghĩa như vậy, tập hợp các lớp lân cận của nhóm con H tạo thành một nhóm gọi là nhóm thương G/H của nhóm G đối với nhóm con bất biến H. Tính chất kết hợp của phép nhân trên G/H suy ra từ tính chất kết hợp của phép nhân trên G. 43/166 Cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm Khái niệm về biểu diễn nhóm Định nghĩa biểu diễn nhóm Cho một nhóm G gồm các yếu tố e, a, b, c,… mà bản chất là tùy ý và một nhóm T các phép biến đổi tuyến tính trong một không gian vectơ L. Ta gọi nhóm T các phép biến đổi trong không gian L là một biểu diễn của nhóm G nếu có một phép đồng cấu của nhóm G lên nhóm T, nghĩa là nếu ứng với mỗi yếu tố a, b, c,… của nhóm G có phép biến đổi T(a), T(b), T(c),… trong nhóm T mà sự tương ứng này bảo toàn phép nhân nhóm: Ta nói có một biểu diễn của nhóm G trong không gian L và không gian L thực hiện biểu diễn T của nhóm G. Thứ nguyên của không gian L gọi là thứ nguyên của biểu diễn T. Ma trận của các phép biến đổi T(a) đối với một hệ cơ sở nào đó trong không gian L cũng được ký hiệu là T(a). Từ định nghĩa suy ra các tính chất sau đây. 1) Ứng với yếu tố đơn vị e của nhóm G là phép biến đổi đồng nhất I trong khong gian L: T(e) = I. Thực vậy, ta có Với ∀ lacks bvar a in: 2 args. G. Nhưng ae = ea = a, do đó T(ae) = T(ea) = T(a). Vậy T(a), T(e) = T(e), T(a) = T(a), biến đổi T(e) phải là yếu tố đơn vị trong nhóm T. 44/166 2) Biến đổi T(a -1) ứng với yếu tố nghịch đảo a -1 của a là nghịch đảo của biến đổi T(a) ứng với yếu tố a: T(a -1) = [T(a)] -1. Thực vậy, Với ∀ ain: 2 args.G. Nhưng aa -1 = a -1a = e, do đó T(a) T(a -1) = T(a -1) T(a) = T(e) = I Vậy biến đổi T(a -1) phải là nghịch đảo [T(a)]-1 của T(a). Ta biết rằng nhóm SU(2) đồng cấu với nhóm SO(3). Ta thấy các biến đổi của nhóm SO(3) tạo thành biểu diễn của nhóm SU(2). Trong vật lý người ta mở rộng khái niệm biểu diễn và còn coi nhóm SU(2) là biểu diễn của nhóm quay SO(3). Trong trường hợp này ứng với một yếu tố của nhóm SO(3) có hai biến đổi khác nhau thuộc nhóm SU(2). Ta nói rằng nhóm SU(2) là biểu diễn lưỡng trị của nhóm SO(3). Mỗi nhóm đều có nhiều biểu diễn, trong đó có những biểu diễn tương đương với nhau theo định nghĩa sau đây. Định nghĩa biểu diễn tương đương Cho hai biểu diễn T(1) và T(2) của cùng một nhóm G trên hai không gian vectơ L1 và L2. Hai biểu diễn này được gọi là tương đương với nhau nếu giữa hai không gian vectơ L1 và L2 có một phép ánh xạ tuyến tính đơn giá theo cả hai chiều X : L 1 → L 2, X-1 : L2 → L1 (ứng với một vectơ của L1 có một vectơ của L2 và ứng với một vectơ của L2 có một vectơ của L1) mà với mọi yếu tố a của nhóm G hai phép biến đổi tuyến tính của T(1)(a) vàT(2)(a) liên hệ với nhau bởi công thức 45/166 Các biểu diễn tương đương có một sự giống nhau sâu sắc được diễn tả trong mệnh đề dưới đây. Mệnh đề Nếu T (1) và T (2) là hai biểu diễn tương đương thì ta có thể chọn hai vectơ cơ sở trong hai không gian vectơ L 1 và L 2 thực hiện hai biểu diễn này thế nào để các yếu tố ma trận của các phép biến đổi T (1) (a) và T (2) (a) hoàn toàn trùng nhau với mọi a G. Do đó khi nghiên cứu biểu diễn nhóm ta không phân biệt các biểu diễn tương đương với nhau và coi tất cả các biểu diễn tương đương với nhau chỉ là một biểu diễn. Không gian L thực hiện biểu diễn T của nhóm G có thể quá lớn và bao gồm một không gian con bất biến L1 theo nghĩa sau đây. Tất cả các phép biến đổi T(a) với mọi aG khi tác dụng lên một vectơ bất kỳ của L1 đều cho kết quả là các vectơ hoàn toàn nằm trong L1: ∀ aG, ∀ r1L1 : T(a)r1L1 Khi đó các phép biến đổi T(a) đều có thể được xem là các phép biến đổi T1(a) của không gian L1 T1(a) r1đn T(a)r1, ∀ r1L1. ? ? Các phép biến đổi T1(a) ứng với tất cả các yếu tố a của nhóm G tạo thành biểu diễn T1 của nhóm này trong không gian L1. Ta nói rằng trên không gian con bất biến L1 biểu diễn T quy về biểu diễn T1, và có định nghĩa sau đây, Định nghĩa biểu diễn khả quy và biểu diễn tối giản Cho một biểu diễn T của nhóm G trong không gian vectơ L. Nếu trong L có một không gian con L1 bất biến đối với tất cả các phép biến đổi T(a) của biểu diễn T, với mọi yếu tố a của nhóm G, thì ta nói rằng T là một biểu diễn khả quy. Trong trường hợp ngược lại nếu trong không gian L không có một không gian con nào bất biến đối với tất cả các phép biến đối với tất cả các phép biến đổi T(a), trừ hai không gian con tầm thường là chính không gian L và không gian con bằng không, thì ta nói rằng T là biểu diễn tối giản. Xét biểu diễn khả quy T trong không gian n chiều L, trong đó có không gian con bất biến m chiều L1, m < n. Không gian L là tổng của không gian con L1 và một không gian con (n – m) chiều L2 nào đó. L = L1 + L2 46/166 Không gian con L2 có thể không phải là không gian con bất biến, mà cũng có thể là không gian con bất biến. Gọi e1, e2, …, en là hệ vectơ cơ sở trong L1, và em+1, em+2, …, en là hệ vectơ cơ sở trong L2. Ta hãy chọn các vectơ này làm hệ vectơ cơ sở trong L và xét tác dụng của các phép biến đổi T(a) lên các vectơ đó. Ký hiệu các yếu tố ma trận là Tij (a), ta có Với i m tất cả các vectơ T(a)ei đều nằm trong L1, do đó trong vế phải công thức (2) vừa viết ở trên chỉ có thể có các vectơ ej với j m. Vậy Tji (a) = 0 nếu jm và j > m, nghĩa là các ma trận T(a) của biểu diễn khả quy đang xét phải có dạng sau đây: Tất cả các yếu tố ma trận nằm trong ô bên trái phía dưới phải bằng không. Giả sử rằng không gian con L2 lại cũng là không gian con bất biến. Khi đó, với mọi ei mà i > m, tất cả các vectơ T(a)ei đều nằm trong L2 và do đó biểu thức khai triển của vectơ này theo ej không thể chứa các vectơ ej với j ≤ m . Vậy Tji (a) = 0 Nếu i >m và jm, nghĩa là các ma trận T(a) bây giờ có dạng 47/166 Trên hai không gian con bất biến L1 và L2 biểu diễn T quy về hai biểu diễn T(1) và T(2) gồm các phép biến đổi hoàn toàn độc lập với nhau. Nếu các biểu diễn này hoặc một trong hai biểu diễn này là khả quy, nghĩ là cả L1 lẫn L2 hoặc một không gian con trong số hai không gian này lại chứa không gian con bất biến, thì ta lặp lại các lập luận ở trên. Nếu lần nào không gian thực hiện biểu diễn khả quy cũng tách thành hai không gian con bất biến như vừa trình bày ở trên, thì cứ tiếp tục tách các không gian con cho đến khi không thể tách được nữa ta sẽ đi đến kết quả cuối cùng sau đây: Không gian vectơ L tách thành các không gian con bất biến L1, L2, …, Lf mà trên mỗi không gian con Li này biểu diễn T quy về một biểu diễn tối giản T(i) . Ta đi đến định nghĩa sau đây. Định nghĩa biểu diễn hoàn toàn khả quy Biểu diễn T của nhóm G trong không gian vectơ L được gọi là hoàn toàn quy nếu L là tổng của các không gian con bát biến L1, L2, …, Lf mà trên mỗi không gian con L i này biểu diễn T quy về một biểu diễn tối giản T(i). Ma trận của các biến đổi T(a) của một biểu diễn hoàn toàn khả quy có dạng tổng quát sau đây, gọi là dạng chéo ô, trong đó các ô chéo là các ma trận của các biểu diễn tối giản, còn tất cả các ô không chéo đều có các yếu tố ma trận bằng không. Giả sử không gian vectơ L thực hiện biểu diễn T của nhóm G là một không gian Euclide phức mà trên đó ta có định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ là dạng song tuyến tính xác định dương của các thành phần của cac vectơ này (tuyến tính đối với một vectơ và phản tuyến tính đối với vectơ kia). Biết tích vô hướng của hai vectơ bát kỳ, ta có thể định nghĩa hai vectơ trực giao với nhau. Cho một không gian con L1 của L. Tất cả các vectơ trong L trực giao với L1 tạo thành khong gian con L2 gọi là phần phụ trực giao của L1. Không gian L là tổng của L1 và L2. Ta viết L = L1⊕L2. Biết tích vô hướng của hai vectơ bất kỳ, ta còn có thể định nghĩa toán tử unita là toán tử thực hiện phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng của tất cả các vectơ. Có được các toán tử unita, bây giờ ta có thể định nghĩa biểu diễn unita. 48/166 Định nghĩa biểu diễn unita Biểu diễn T của nhóm G trong không gian Euclide phức L gọi là biểu diễn unita nếu với tất cả các yếu tố a của nhóm G tất cả các phép biến đổi T(a) đều là các toán tử unita: [T(a)]+ = [T(a)]-1, ∀ ain: 2 args.G. Các biểu diễn unita có các tính chất đặc biệt sau đây. 1. Trong không gian L thực hiện biểu diễn unita T của nhóm G phần phụ trực giao L 2 của mọi không gian con bất biến L 1 T(a) L1L1, ∀ ain: 2 args.G. L = L1⊕L2, cũng là một không gian bất biến, T(a) L2L2, ∀ ain: 2 args.G, 2. Mọi biểu diễn unita khả quy đều hoàn toàn khả quy. Có thể chứng minh được rằng mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn unita. Trong giáo trình này chúng ta chỉ xét các biểu diễn unita cho nên khi không thật cần thiết thì ta không nhắc đến từ unita nữa. Biểu diễn của nhóm Lie Xét trường hợp G là một nhóm Lie mà mỗi yếu tố a của nó được xác định bởi n tham số độc lập αjcó thể nhận những giá trị thực thay đổi liên tục, yếu tố đơn vị là yếu tố mà tất cả các tham số αjcó giá trị bằng không. Xét một biểu diễn T của nhóm Lie này trong không gian vectơ L. Ứng với yếu tố cả nhóm mà các tham số độc lập có các giá trị αj ta có một toán tử T( α1,α2,...,αs) mà các yếu tố ma trận đối với một hệ vectơ cơ sở bất kỳ trong không gian L là các hàm khả vi cả các tham số α1,α2,...,αs. Khi tất cả các tham số bằng không thì toán tử T( α1,α2,...,αs) là hoán tử đơn vị: T(0, 0, …,0) = I. Xét các toán tử T( α1,α2,...,αs) ứng với cá giá trị vô cùng bé của các tham số độc lập αj. Chỉ giữ lại các số hạng cấp một và bỏ qua các số hạng cấp cao hơn, ta có thể viết T(α1,α2,...,αs) ≈ I + ∑nj = 1 ∂ T(α1,α2,...,αs) ∂ αj ∣α 1 = ... = αs = 0 α j. 49/166 Đặt Các toán tử được gọi là các vi tử của biểu diễn T của nhóm Lie G trong không gian L. Biểu diễn nhóm Lie và biểu diễn đại số Lie Cho một nhóm Lie G các phép biến đổi tuyến tính T( α1,α2,...,αs) phụ thuộc s tham số độc lập α1,α2,...,αscủa một không gian vectơ V và giả sử có một biểu diễn của nhóm này trong không gian vectơ V’, nghĩa là có một nhóm Lie G’ các phép biến đổi T’( α1,α2,...,αs) của không gian V’ và một phép đồng cấu của G lên G’. T( α1,α2,...,αs) → T’( α1,α2,...,αs) Ký hiệu Xivà X'i, i = 1, 2, …, s là các vi tử của các nhóm biến đổi G và G’. Phép đồng cấu của G lên G’ kéo theo phép ánh xạ đại số Lie các vi tử Xi lên đại số Lie các vi tử X'i, Xi → X'i, i = 1, 2, …, s mà ứng với một vi tử X'i chí có một vi tử duy nhất Xicó ảnh là X'i. Xét yếu tố của nhóm G. Trong phép đồng cấu của G lên G’ yếu tố này có ảnh là yếu tố Vì hai yếu tố (8) và (9) biểu diễn giống như nhau qua các giao hoán tử [Xi,Xj] và [X'i,X'j], theo thứ tự, cho nên gio hóa tử [Xi,Xj] có ảnh là giao hoán tử [X'i,X'j]: 50/166 ∀ ∈ ⋅ Vậy phép đồng cấu của nhóm G lên nhóm G’ có hệ quả là phép đẳng cấu giữa đại số Lie các vi tử Xi của nhóm G và đại số Lie các vi tử [X'i,X'j] của nhóm G’. Áp dụng sự đẳng cấu này cho trường hợp mọi nhóm Lie các phép biến đổi và mọi biểu diễn của nó ta có thể nói rằng đại số Lie các vi tử của một biểu diễn của nhóm Lie G các phép biến đổi của một không gian vectơ đẳng cấu với đại số Lie của chính nhóm G. Các định lý về biểu diễn tối giản Các biểu diễn tối giản có tính chất sau đây. Bổ đề Shur Nếu trong không gian L thực hiện biểu diễn tối giản T của nhóm G có một toán tử A khác không và giao hoán với tất cả các toán tử T(a)của biểu diễn T, a G , thì toán tử A phải là bội của toán tử đơn vị A=α⋅I Trong trường hợp G là một nhóm Lie, T là một biểu diễn với các vi tử X i ,i=1,2,…,s, Bổ để Shur đối với nhóm Lie Nếu trong không gian L thực hiện biểu diễn tối giản T của nhóm G có một toán tử A khác không và giao hoán với tất cả cá toán tử A khác không và giao hoán với tấ cả các vi tử X i , i = 1, 2, …, s của biểu diễn T, thì toán tử A phải là bội của toán tử đơn vị A=α I. Cuối cùng ta dẫn ra ở đây hai định lý về biểu diễn nhóm hữu hạn thường được sử dụng trong vật lý. Giả sử nhóm hữu hạn G cấp N chia làm Nk lớp các yếu tố liên hợp. Ta có định lý sau đây. Định lý về số các biểu diễn tối giản không tương đương Số f các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau của một nhóm hữu hạn G bằng số N k lớp các yếu tố liên hợp của nhóm này. f=Nk 51/166 Giả sử nhóm hữu hạn G cấp N có f biểu diễn tối giản không tương đương vơi nhau T (α ) , biểu diễn T (α) có thứ nguyên dα. Các giá trị dα phải tuân theo định lý sau đây. Định lý về thứ nguyên của các biểu diễn tối giản không tương đương Các thứ nguyên d α của tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương của một nhóm hữu hạn G cấp N phải thỏa mãn hệ thức. ∑fα = 1 d2α = N 52/166 Các phép tính đối với các biểu diễn Từ hai biểu diễn T(1) và T(2) của một nhóm G, ta có thể thiết lập được một biểu diễn gọi là tích của chúng và ký hiệu là T(1)⊗T(2). Từ một biểu diễn T nào đó của nhóm G ta có ~ thể thiết lập được một biểu diễn T gọi là biểu diễn liên hợp với biểu diễn T. Các biểu diễn này có các định nghĩa như sau. Định nghĩa tích của hai biểu diễn Cho hai biểu diễn T(1) và T(2) của một nhóm hữu hạn G trong các không gian vectơ L1 (1) (1) (2) (2) (2) và L2 với các hệ vectơ cơ sở e(1) 1 , e2 , …, ed1 , và e1 , e2 , …, ed2 , d1 và d2 là thứ nguyên của L1 và L2. Tích của hai biểu diễn T(1) và T(2) là biểu diễn T trong không gian L1⊗L2 thứ nguyên d1d2 với hệ vectơ cơ sở. mà toán tử T( α) tương ứng với yếu tố α của nhóm G được xác định như sau trong đó T(1)(a) và T(2)(a) là hai toán tử trong hai không gian L1 và L2 tương ứng với yếu tố a của nhóm G. Ta viết T = T(1)⊗T(2). Để chứng minh rằng các toán tử T(a) tạo thành một biểu diễn của nhóm G, nghĩa là thỏa mãn điều kiện bảo toàn phép nhân nhóm T(a) T(b) = T(ab), ta chỉ cần dùng định nghĩa (12) và tính chất bảo toàn phép nhân nhóm của các biểu diễn T(1) và T(2), cụ thể là T(α)(a) T(α)(b) = T(α)(ab), α = 1, 2 Ký hiệu các yếu tố ma trận của toán tử T(1)(a) và T(2)(a) trong các hệ vectơ cơ sở đã cho (1) (1) (2) (2) (2) 1 2 e(1) 1 , e2 , …, ed1 và e1 , e2 , …, ed2 là Tij(a) và Tkl(a): 53/166 (1) (1) T(1) (a) e(1) i = ej T(ji)( α) (2) (2) T(1)(a) e(2) k = el T(lk)( α) Ta có (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) T(a)f(ik) = T(a)( e(1) (a) e(1) (a) e(2) i ⊗ek ) = (T i ) ⊗(T k ) = ( ej ⊗el ) T(ji)( α) T(lk)( α) = (2) f(jl)T(1) (ji)( α) T(lk)( α) So sánh hai biểu thức của T(a) f(ji), ta thu được hệ thức diễn tả các yếu tố ma trận toán tử T(a) qua các yếu tố ma trân các nhóm toán tử T(1)(a) và T(2)(a) Cho hai biểu diễn (unita) tối giản T(α) và T(β) của một nhóm G nào đó trên các không gian L(α) và L(β) với thử nhiệm d(α) và d(β). Tích T = T (α ) ⊗ T ( β ) của hai biểu diễn này là một biểu diễn unita trên không gian L = L (α ) ⊗ L ( β ) Nếu T không phải là tối giản thì nó hoàn toàn khả quy và có thể phân tách thành tổng trực giao của các biểu diễn tối giản T(γ) trên các không gian L(γ) thứ nguyên d(γ). Trong số các biểu diễn tối giản T này có thể có các biểu diễn tương đương với nhau. Không gian L thực hiện biểu diễn T là tổng trực giao của các không gian con L(γ) thực hiện các biểu diễn tối giản T(γ) L = ∑γ ⊕L(γ). Thứ nguyên của L là d = ∑γ d(γ). Mặt khác d = d(α)d(β) 54/166 Vậy ta có hệ thức Ký hiệu các hệ vectơ đơn vị cơ sở trong các không gian L(α), L(β), L(γ) , v.v… là (α ) e(α) iα , ia = 1, 2, …, d (β ) e(β) iβ , ia = 1, 2, …, d (γ ) e(γ) iγ , ia = 1, 2, …, d v.v… Trong không gian L các vectơ có dạng (β) e(α) iα ⊗ eiβ tạo thành một vectơ cơ sở trực giao chuẩn hóa Tập hợp tất cả các vectơ e(γ) iγ , iy = 1, 2, …, d(γ), với mọi chỉ số γ có mặt trong vế phải công thức (14) cũng là một hệ các vectơ cở sở trực giao chuẩn hóa khác trong không gian L. Giữa các vectơ đơn vị của hai hệ này ta có các phép biến đổi unita sau đây Các hệ số Cγiαiγ βi trong các phép biến đổi (15) và (16) gọi là các hệ số Clebsh-Gordan. α β ~ Bây giờ ta đưa vào khái niệm biểu diễn T liên hợp với một biểu diễn T đã cho. Giả sử T(a) là các toán tử tuyến tính của biểu diễn T của nhóm G trong không gian vectơ L. Với mỗi yếu tố a của nhóm G ta hãy thiết lập toán tử sau đây Với các yếu tố ma trận 55/166 ~ Ta hãy thử lại bằng sự tương ứng giữa các yếu tố a của nhóm G và các toán tử T(a) bảo toàn phép nhân nhóm. Thực vậy, ta có ~ T(ab) = [T(ab) −1 T T T T ~ ~ )] = [T(b − 1)T(a − 1)] = [T(a − 1)] [T(b − 1)] = T(a) T(b). ~ Vậy toán tử T(a) cũng tạo thành một biểu thức biểu diễn của nhóm G. Ta có định nghĩa sau đây. Định nghĩa biểu diễn liên hợp ~ ~ Cho hai biểu diễn T và T của cùng một nhóm G trong hai không gian vectơ L và L. Nếu ~ trong hai không gian L và L ta có thể chọn hai hệ vectơ cơ sở một cách thích hợp để các ~ ~ yếu tố ma trận Tij(a) và Tij(a) của các toán tử T(a) và T(a) của hai biến đổi này liên hệ với nhau bởi công thức ~ Tij(a) = Tji(a-1), ~ thì ta gọi T và T là hai biểu diễn liên hợp với nhau. ~ Việc xét đồng thời hai biểu diễn liên hợp với nhau T và T cho phép ta thiết lập được một đại lượng bất biến đối với phép biến đổi của nhóm G. Thực vậy, trong hai không gian L ~ ~ và Lthực hiện hai biểu diễn liên hợp với nhau T và T ta hãy chọn các hệ vectơ cơ sở e1, ~ e2, …, edvà f1, f2, …., fd để co các yếu tố ma trận của các toán tử T(a) và T(a) thỏa mãn ~ hệ thức (18). Trong không gian vectơ d2 chiều L⊗L ta hãy xét vectơ sau đây. ~ ~ Ký hiệu tích của hai biểu diễn T và T và T⊗T. Các hoán tử của biểu diễn này tác dụng ~ lên các vectơ cơ sở của không gian tích L⊗L như sau ~ ~ ~ (T⊗T) (a) (ei⊗fj) = (T(a)ei) ⊗ ( T(a)fj) = (ek⊗fl) Tki(a) Tlj(a) 56/166 ⊗ Tác dụng của các hoán tử đó lên vectơ i xác định bởi công thức (19) và dùng hệ thức ~ (18) giữa các yếu tố ma trận của các hoán tử T(a) và T(a), ta có (T ml ~ T ) (a) i = (T(a)e m ) ~ ( T (a)f m ) = e k f l T kl (e) = e k f k = i (a-1) = e k ~ f l T km (a) T lm (a) = e k f l T km (a)T Vậy ta có định lý sau Định lý. Vectơ i = ∑dm = 1 em⊗fm trong không gian L biến đổi (T ~ L thực hiện biểu diễn T ~ T )(a) của biểu diễn tích T ~ T của nhóm G bất biến đối với mọi phép ~ T . Do đó không gian con một chiều với vectơ đơn vị i thực hiện một biểu diễn tối gian một chiều chứa trong biểu diễn T ~ ~ T. ~ Hệ quả. Biểu diễn T T, là tích của một biểu diễn T và biểu diễn T liên hợp với nó, bao giờ cũng chứa biểu diễn tối giản một chiều. Biểu diễn tối giản một chiều được thiết lập trong khi chứng minh định lý vừa trình bày ở trên thường diễn tả các đại lượng vật lý biến đổi với các phép biến đổi nhóm đối xứng. Do đó trong các bài toán vật lý ta thường sử dụng khái niệm biểu diễn liên hợp. Tích của hai biểu diễn của nhóm Lie. Cho hai biểu diễn T(1) và T(2) của nhóm Lie G trong hai không gian vectơ L1 và L2, T là tích của hai biểu diễn này. Các toán tử T( α1,α2,...,αs) của biểu diễn T có dạng Ký hiệu các vi tử của các biểu diễn T(1) và T(2) là X1j và X2j , j = 1, 2, …, s của biểu diễn T là Xj, j = 1, 2, …, s. Với các thông số αjvô cùng bé ta có 57/166 trong đó I (1) và I (2) là các toán tử đơn vị trong các không gian L1 và L2. Thay các biểu thức (21) vào trong vế phải công thức (20) và chỉ giữ lại các số hạng cấp một theo các thông số αj, ta có (2) (1) (2) T( α1,α2,...,αs) = I - i∑sj = 1 αj[X(1) j ⊗I + I ⊗Xj ], trong đó I = I (1)⊗ I (2) là toán tử đơn vị trong không gian L = L(1)⊗L(2). So sánh với định nghĩa của các vi tử Xj , ta suy ra Để viết hệ thức này dưới dạng chứa tường minh các yếu tố ma trận trong hai không gian L1 và L2 ta hãy chọn hai hệ vectơ cơ sở e1m, m = 1, 2, …, d1 và e2p, p = 1, 2, …, d2, sau đó ta lấy các vectơ sau đây (2) e(mp) = e(1) m ⊗ep trong không gian L = L1⊗L2, m = 1, 2,…, d1, p = 1, 2, …, d2, làm hệ cơ sở của không (2) gian này. Ký hiệu các yếu tố ma trận của các toán tử X(1) j , Xj và Xj đối với các hệ cơ sở (2) tương ứng nói trên vectơ là ( X(1) j )mm’, ( Xj )pp’, và ( Xj)(mp)(m’p’). Công thức (23) cho ta ~ Cuối cùng, ta xét hai biểu diễn liên hợp với nhau T và T của một nhóm Lie G và ký ~ hiệu các toán tử của hai biểu diễn này là T( α1,α2,...,αs) và T( α1,α2,...,αs), ký hiệu các vi tử ~ tương ứng với các tham số thực độc lập αjlà Xj và Xj. Chú ý rằng nếu a là một yếu tố của G với các tham số vô cùng bé αj thì trong phép gần đúng cấp một yếu tố với các tham số - αj sẽ là nghịch đảo a-1 của a. Do đó ta có các công thức 58/166 T(a-1) approx: 2 args.T( − α1, − α2,..., − αs) approx: 2 args.I + i∑nj = 1 αjXj và do đó Mặt khác Theo định nghĩa các biểu diễn liên hợp với nhau ta phải có ~ -1 T(a) = [T(a )] T ~ Thay vào đây các biểu thức (26) và (27), ta thu được hệ thức liên hệ các vi tử Xj và Xj của hai biểu diễn liên hợp với nhau: Nếu biết các vi tử của một biểu diễn T nào đó, dùng hệ thức (28) ta thiết lập được ngay ~ các vi tử của biểu diễn T liên hợp với T. 59/166 Hàm đặc trưng của biểu diễn Cho một biểu diễn T của nhóm G trong không gian vectơ L thứ nguyên d. Trong không gian L hãy chọn một vectơ đơn vị cơ sở e1, e2, …, ed và ký hiệu các yếu tố ma trận của các toán tử tuyến tính T(a), aG, đối với hệ đơn vị cơ sở này là Tij(a), i, j = 1, 2, …, d, Thực hiện một phép biến đổi tuyến tính X, ta chuyển hệ vectơ đơn vị cơ sở đã cho e1, e2, …, edthành một hệ vectơ mới e’1, e’2, …, e’d. Đối với hệ mới này các toán tử tuyến tính T(a) có các yếu tố ma trận T'ij(a), Hãy tìm mối liên hệ giữa các yếu tố ma trận Tij(a) và T'ij(a). Ký hiệu các yếu tố ma trận của toán tử X đối với hệ vectơ đơn vị cơ sở e1, e2, …, ed là Xij. Ta có Thay biểu thức (31) của e'ivào cả hai vế của hệ thức (30), ta thu được Dùng biểu thức (29) của T(a) ej, ta viết lại công thức (32) như sau e k Tkj(a) X ji = e k Tkj(a) T'ji(a) . Vậy Nhân cả hai vế của hệ thức (33) với (X-1)lk rồi cộng theo k từ 1 đến d, ta thiết lập được hệ thức giữa Tij(a) và T'ij(a): Vậy trong hai hệ vectơ đơn vị cơ sở liên hệ với nhau bởi hệ thức (31), toán tử T(a) có các yếu tố ma trận khác nhau Tij(a) và T'ij(a) liên hệ với nhau bởi công thức (34). 60/166 Từ các yếu tố ma trận khác nhau Tij (a) và T'ij(a) của cùng một toán tử T(a) ta có thể thiết lập được một đại lượng đặc trưng cho biểu diễn T mà không phụ thuộc và sự lựa chọn hệ cơ sở. Thực vậy, đặt l = i trong cả hai vế của hệ thức (34) rồi cộng theo i từ 1 đến d, ta có T'iI(a) = (X -1 ) ik T kj (a) X ji = T kj (a) X ji (X -1 ) tk = T kj (a) δ jk = T kk (a) Vậy vết của ma trận của phép biến đổi T(a) không phụ thuộc sự lựa chọn hệ vectơ đơn vị cơ sở và có thể được dùng làm đại lượng đặc trưng cho biểu diễn T mà ta đang xét. Ta có định nghĩa sau đây. Định nghĩa hàm đặc trưng của biểu diễn Cho một biểu diễn T của nhóm G trong không gian vectơ L. Vết của các ma trận phép biến đổi T(a) của biểu diễn này, aG, không phụ thuộc sự lựa chọn hệ vectơ đơn vị cơ sở trong không gian L và được gọi là hàm đặc trưng χ(a)của biểu diễn T: Các mệnh đề về hàm đặc trưng Từ định nghĩa của hàm đặc trưng của biểu diễn suy ra một số mệnh đề cơ bản. Mệnh đề 1 Các biểu diễn tương đương có cùng một hàm đặc trưng. Chứng minh. Giả sử có hai biểu diễn tương đương T(1) và T(2) của cùng một nhóm G trong hai không gian vectơ L1 và L2. Khi đó có một toán tử tuyến tính X chuyển các vectơ của không gian L1 thành cac vectơ không gian L2 sao cho Ký hiệu χ(i)(a) là các hàm đặc trưng của hai biểu diễn đã cho (1) χ(1)(a) = Tr [T (a)], (2) χ(2)(a) = Tr [T (a)]. Tính vết của các ma trận của các toán tử trong hai vế của hệ thức (36) đối với các vectơ đơn vị cơ sở bất kỳ và dùng tính chất sau đây của vết của tích hai toán tử A và B. 61/166 Tr [AB] = Tr [BA], ta thu được (2) (1) −1 −1 (1) (1) χ(2)(a) = Tr [T (a)] = Tr [XT (a)X ] = Tr [X XT (a)] = Tr [T (a)] = χ(1)(a) Vậy hàm đặc trưng χ(1)(a) và χ(2)(a) của hai biểu diễn tương đương T(1) và T(2) bằng nhau. Cho một biểu diễn hoàn toàn khả quy T trong không L thứ nguyên d, là tổng trực giao của hai biểu diễn T(1) và T(2) trong hai không gian con bất biến L1 và L2 thứ nguyên d1 và d2, d = d1 + d2. Ký hiệu các hàm đặc trưng của các biểu diễn T, T(1) và T(2) là χ(1)(a) và χ(2)(a). Các hàm đặc trưng này không phụ thuộc sự lựa chọn các hệ vectơ đơn vị cơ sở trong các không gian vectơ L, L1 và L2. Để thuận tiện khi thiết lập giữa các hàm đặc trưng này hãy chọn các hệ vectơ đơn vị cơ sở e1, e2, …, ed trong không gian L1 và f1, f2, …, fd2trong không gian L2 rồi chọn các vectơ e1, e2, …, ed, f1, f2, …, fd2làm hệ đơn vị cơ sở trong không gian L. Đối với hệ này ma trận của các phép biến đổi T(a) có dạng chéo theo ô như sau Từ đây suy ra rằng (1) (2) χ(a) = Tr [T(a)] = Tr [T (a)] + [T (a)] = χ(1)(a) + χ(2)(a) Mở rộng lập luận ở trên cho trường hợp biểu diễn T là tổng trực tiếp của các biểu diễn tối giản không tương đương T(α) với α= 1, 2,…, mà biểu diễn tối giản T(α) được chứa n αlần trong biểu diễn T, ta có mệnh đề sau đây. Mệnh đề 2 Nếu biểu diễn hoàn toàn khả quy T là tổng trực giao của các biểu diễn tối giản không tương đương T(α) với α= 1, 2, …, mà biểu diễn tối giản T(α) được chứa nαlần trong biểu diễn T, thì hàm đặc trưng χ(α)(a) của các biểu diễn T(α) như sau: χ(α) = ∑α nαχ(α)(a). 62/166 Hàm đặc trưng χ(α) của một biểu diễn T là một hàm trên nhóm. Xét giá trị của hàm này trên hai yếu tố liên hợp với nhau a và b a b -1, ta có mệnh đề sau. Mệnh đề 3 Trên hai yếu tố liên hợp với nhau a và b a b -1, trong đó a và b là hai yếu tố tùy ý của nhóm G, hàm đặc trưng χ(α) của một biểu diễn T có cùng một giá trị, nghĩa là χ(α) = χ(b a b -1), ∀ a ∈ G,∀ b ∈ G. Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm đặc trưng ta có χ(α) = Tr [T(a)], χ(b a b-1) = Tr [T(bab − 1)] = Tr [T(b)T(a)T(b − 1)] = Tr {T(b)T(a)[T(b − 1)]} = Tr {[T(b − 1)]T(b)T(a)} = Tr [T(a)] = χ(α) Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Theo mệnh đề này trên tất cả các yếu tố của một lớp các yếu tố liên hợp hàm đặc trưng có cùng một giá trị. Vậy hàm đặc trưng cũng có thể xem là trên tập hợp các lớp Kα các yếu tố liên hợp. Kα= {bab −1 ∣ b ∈ G} Ta viết χ(α) = χ(Kα). Có một định lý thường dùng về hàm đặc trưng của các biểu diễn tối gian không tương đương của nhóm hữu hạn. Giả sử có nhóm hữu hạn G và ký hiệu χ(α)(a) là các hàm đặc trưng của các biểu diễn tối giản không tương đương T(α). Ta hãy coi N giá trị χ(α)(a) là N thành phần của một vectơ trong không gian Euclide phức N chiều và định nghĩa tích vô hướng của hai hàm đặc trưng χ(α) và χ(β) như là tích vô hướng của hai vectơ chia cho N 63/166 Định lý về tính trực giao chuẩn hóa của các hàm đặc trưng Các hàm đặc trưng của các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau T(α) của nhóm hữu hạn G thỏa mãn điều kiện trực giao chuẩn hóa Định lý này có một số hệ quả thường được sử dụng. Giả sử có một nhóm hữu hạn G và ta đã biết tất cả các hàm đặc trưng χ(α)(a) của tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau T(α) của nhóm này. Cho một biểu diễn T bất kỳ của nhóm G và giả sử rằng ta đã biết được hàm đặc trưng χ(α)(a) của biễn T. Khi đó ta có thể xác định được ngay rằng biểu diễn T có chứa biểu diễn tối giản T(α) hay không, và nếu có chứa tì chứa bao nhiêu lần. Thực vậy, theo Mệnh đề 2, nếu T chứa T(α)nαlần, thì χ(a) = ∑a nαχ(α)(a) Lấy tích vô hướng cả hai vế của hệ thức này với hàm đặc trưng χ(β)(a) nào đó và dùng công thức (37), ta thu được (β) nβ = (χ ,χ). Hệ quả 1 Cho χ(α) (a) là các hàm đặc trưng của các biểu diễn tối giản T(α) của một nhóm hữu hạn G, T là một biểu diễn nào đó với hàm đặc trưng χ(a) . Biểu diễn T chứa biến diễn T ( α ) một số lần bằng (β) nα = (χ ,χ). Hãy xét tích vô hướng của hàm đặc trưng χcủa một biểu diễn tùy ý T với chính nó và gọi là đại lượng thu được là bình phương vô hướng của hàm đặc trưng. Từ Mệnh đề 2 và Định lý về tính trực giao chuẩn hóa của các hàm hàm đặc trưng suy ra rằng. (χ,χ) = (∑α nαχ(α),∑β nβχ(β)) = ∑α n2α. Nếu T là một biểu diễn tối giản thì trong số các số nguyên nαchỉ có một số khác không và bằng 1. Khi đó (χ,χ) = 1. Còn nếu T là một biểu diễn khả quy thì ít nhất có hai số nα lớn hơn hoặc bằng 1. 64/166 Hệ quả 2 Nếu một biểu diễn của nhóm hữu hạn G là tối giản thì bình phương vô hướng của hàm đặc trưng của nó bằng 1, còn nếu biểu diễn là khả quy thì bình phương vô hướng của nó lớn hơn 1. 65/166 Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm Trong phụ lục này chúng ta phát biểu và chứng minh một số định lý cơ bản trong lý thuyết biểu diễn nhóm. Biểu diễn tương đương Ở đầu chương ta đã có biểu thức (1) liên hệ hai phép biến đổi tương đương. Các biểu diễn tương đương có một sự giống nhau sâu sắc được diễn tả trong mệnh đề dưới đây. Mệnh đề Nếu T(1) và T(2) là hai biểu diễn tương đương thì ta có thể chọn hai hệ vectơ cơ sở trong hai không gian vectơ L1 và L2 thực hiện hai biểu diễn này thế nào để các yếu tố ma trận của các phép biến đổi T(1)(a) và T(2)(a) hoàn toàn trùng nhau với mọi aG. Chứng minh. Giả sử e1, …, en là hệ vectơ cơ sở trong không gian L1 và trong hệ này phép biến đổi T(1)(a) có các yếu tố ma trận D(1) ij (a): Trong không gian vectơ L2 ta hãy chọn hệ vectơ cơ sở: fi, i = 1, 2, …, n như sau và ký hiệu các yếu tố ma trận của phép biến đổi T(2)(a) đối với hệ vectơ cơ sở này là D(2) ij (a): Thay T(2)(a) bằng biểu thức (1) liên hệ nó với T(1)(a) X T(1)(a) X-1fi = fjD(2) ji (a) rồi nhân cả hai vế công thức này với X-1 , ta có 66/166 Nhưng theo định nghĩa (40) của fi , ta lại có Vậy công thức (42) trở thành So sánh hai biểu thức (39) và (40) của T(1)(a) ei , ta suy ra ngay (1) D(2) ji (a)= Dji (a), (2) (1) nghĩa là các yếu tố ma trận D(1) (a) và T(2)(a) đối ij (a)và Dij (a)của hai phép biến đổi T với các hệ vectơ cơ sở e1, e2, …, en và f1, f2, …, fn hoàn toàn trùng nhau. Chính vì có thể chọn các vectơ cơ sở một cách thích hợp để cho các biểu diễn tương đương có chung nhau các yếu tố ma trận, cho nên ta không cần phân biệt các biểu diễn tương đương và xem chúng như là một biểu diễn. Chỉ có các biểu diễn không tương đương mới thực sự là những biểu diễn khác nhau. Biểu diễn unita Các biểu diễn unita có các tính chất đặc biệt sau đây. Định lý 1 Trong không gian L thực hiện biểu diễn unita T của nhóm G phần phụ trực giao L2 của mọi không gian con bất biến L 1 T(a) L1L1, ∀ a ∈ G L = L1⊕L2 cũng là một không gian con bất biến, T(a) L2L2, ∀ a ∈ G Chứng minh. Ta sử dụng tính chất unita của các toán tử T(a) với mọi yếu tố A ∈ G. Ký hiệu tích vô hướng của hai vectơ x và y là (x, y), ta luôn luôn có đẳng thức 67/166 Giả sử L1 là một không gian con bất biến đối với tất cả các toán tử T(a): T(a) L1L1, ∀ A ∈ G và ký hiệu L2 là phần phụ trực giao của L1 trong L: L = L1⊕L2 (x1, x2) = 0, ∀ x1 ∈ L1, ∀ x2 ∈ L2 Ta hãy chọn x = T(a)-1x1, y = x2 với x1, x2 là hai vectơ bất kỳ trong các không gian con L1 và L2. Đẳng thức (45) viết ở trên trở thành Vì L1 là không gian con bất biến cho nên T(a)-1x1 cũng thuộc vào L1 và do đó trực giao với vectơ x2 bất kỳ của L2, (T(a)-1x1, x2) = 0 Dùng hệ thức (46) ta suy ra rằng (x1, T(a)x2) = 0, ∀ x1 ∈ L1, ∀ x2 ∈ L2, ∀ A ∈ G. Vậy tất cả các vectơ T(a)x2 với mọi yếu tố a của G và mọi vectơ x2 của L2 đều trực giao với tất cả các vectơ x1 của L1, nghĩa là đều thuộc vào L2, T(a) L2L2, L2 cũng là không gian con bất biến của biểu diễn T. Ta hãy dùng Định lý 1 như một bổ đề để chứng minh định lý về tính chất hoàn toàn khả quy của mọi biểu diễn unita khả quy. Định lý 2 Mọi biểu diễn unita khả quy đều hoàn toàn khả quy. 68/166 Chứng minh. Cho biểu diễn unita khả quy T trong không gian L và giả sử L1 là một không gian con bất biến. Khi đó phần phụ trực giao L2 của L1 trong L cũng là một không gian con bất biến, L là tổng trực giao của hai không gian con bất biến L1 và L2. Trên hai không gian con này biểu diễn T quy về hai biểu diễn T(1) và T(2) hoàn toàn độc lập với nhau. Nếu một trong hai biểu diễn này hoặc cả hai biểu diễn đó còn khả quy thì không gian con tương ứng lại chứa không gian con bất biến nhỏ hơn và do đó lại là tổng trực giao của hai không gian con bất biến nhỏ hơn. Cứ tiếp tục thực hiện việc tách một không gian thành tổng trực giao của hai không gian con bất biến như vậy cho đến khi không còn có thể tách được nữa, cuối cùng ta đi đến việc tách không gian L thành tổng trực ~ ~ ~ (1) ~ giao của các không gian con bất biến L1, L2, …, Lfthực hiện các biểu diễn tối giản T , ~ ~ T(2), …, T(f). ~ (1) ~ (2) Ta còn nói rằng biểu diễn khả quy T là tổng trực giao của các biểu diễn tối gian T , T ~ , …, T(f) và viết ~ ~ ~ T = T(1)⊕T(2)⊕ … ⊕T(f). Vì các biểu diễn unita có tính chất diễn tả bởi Định lý 2 cho nên khi nghiên cứu các biểu diễn unita ta chỉ cần xét các biểu diễn tối giản. Ở đầu chương này ta đã định nghĩa các biểu diễn tương đương và coi các biểu diễn tương đương với nhau chỉ là một biểu diễn. Do các tính chất đặc biệt của các biểu diễn unita, khi có một biểu diễn nào đó của một nhóm thì ta hãy tìm xem nó có tương đương với một biểu diễn unita nào hay không. Đầu tiên ta hãy xét trường hợp G là một nhóm hữu hạn và chứng minh định lý sau đây. Định lý 3 Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn unita. Chứng minh. Giả sử có một nhóm hữu hạn G nào đó cấp N và một biểu diễn T của nhóm này trong một không gian Euclide phức L với một tích vô hướng có dạng cho trước (x, y). Đầu tiên ta hãy chứng minh rằng có thể tìm được một định nghĩa mới của tích vô hướng, ký hiệu là {x,y}, mà đối với tích vô hướng này thì tất cả các toán tử T(a) với mọi aG đều là các toán tử unita: {T(a)x,T(a)y} = {x,y}, ∀ A ∈ G, ∀ x ∈ L, ∀ y ∈ L Thực vậy, ta đặt 69/166 với tổng ở trong vế phải là tổng theo tất cả các yếu tố b của nhóm G. Thay thế x và y bằng T(a)x và T(a)y, ta có {T(a)x,T(a)y} = N1 ∑b T(b)T(a)x,T(b)T(a)y = N1 ∑b T(ba)x,T(ba)y Ta đã dùng định nghĩa của biểu diễn T(b)T(a) = T(ba) Chú ý rằng khi b chạy một vòng theo tất cả các yếu tố của nhóm G thì với mọi yếu tố a cố định tích b a cũng chạy một vòng theo tất cả các yếu tố của nhóm này, chỉ có điều là theo thứ tự khác mà thôi. Do đó ∑b T(ba)x,T(ba)y = ∑ba T(ba)x,T(ba)y = ∑c T(c)x,T(c)y Vậy ta có 1 T(ba)x,T(ba)y = N ∑c T(c)x,T(c)y = {x,y}, nghĩa là đối với tích vô hướng mới thì tất cả các toán tử T(a) đều là hoán tử unita. Trong không gian L ta hãy chọn hai hệ vectơ đơn vị cơ sở: hệ các vectơ đơn vị cơ sở e1, …, en trực giao chuẩn hóa đối với tích vô hướng cho từ trước (x, y), cụ thể là và hệ các vectơ đơn vị cơ sở f1, …, fn trực giao chuẩn hóa đối với tích, vô hướng mới, nghĩa là Ký hiệu phép biến đổi tuyến tính chuyển các vectơ e1, e2, …, en thành f1, f2, …, fn là X : Với hai vectơ bất kỳ X=xiei,y=yiei 70/166 ta có X x = x i fi , X y = y i fi Do đó Với mọi yếu tố a của nhóm G ta đặt Ta biết rằng T(a) là các hoán tử unita đối với tích vô hướng mới. Bây giờ ta chứng minh ~ rằng tất cả các toán tử T(a) đều là các toán tử unita đối với tích vô hướng {x,y} đã cho từ trước. Thực vậy, áp dụng đẳng thức (51) vừa thu được ở trên giữa các tích vô hướng (x, y) và {Xx,Xy}, dùng công thức ~ XT(a) = T(a) X suy ra từ định nghĩa (52) và tính chất unita của các toán tử T(a) đối với tích vô hướng mới, ta có ~ { ~ ~ ~ } { ~ ~ ( T(a) x, T(a) y) = XT(a)x,XT(a)y = T(a)Xx,T(a)Xy } = {Xx,Xy} = (x, y) ~ Vậy các toán tử T(a) là các toán tử unita đối với tích vô hướng đã cho từ trước và tạo ~ thành một biểu diễn unita T; biểu diễn đã cho T tương đương với biểu diễn unita này. Khi chứng minh Định lý 3 ta đã sử dụng một đại lượng là tích vô hướng mới mà đối với tích vô hướng này thì biểu diễn đã cho T là biểu diễn unita. Rất dễ tìm được tích vô hướng mới này trong trường hợp nhóm G là nhóm hữu hạn cấp N. Đó là giá trị trung bình 1 N ∑a fx,y(a) của hàm trên nhóm G 71/166 nghĩa là của một hàm mà biến số là yếu tố a chạy trên tất cả nhóm G. Ta chú ý rằng đối với nhóm hữu hạn ta có công thức sau đây đối với mọi hàm trên nhóm f(a): với mọi yếu tố b cố định của nhóm G Muốn chứng minh định lý tương tự như Định lý 3 đối với các nhóm vô hạn, kể cả các nhóm liên tục, ta phải mởi rộng khái niệm giá trị trung bình của hàm trên nhóm ra cho trường hợp này và sử dụng một đại lượng gọi là phiếm hàm trung bình. Định nghĩa phiếm hàm trung bình trên nhóm Cho không gian vectơ các hàm f (a) trên nhóm G vô hạn (có thể là nhóm liên tục). Một phiếm hàm tuyến tính F(f) trên không gian vectơ này được gọi là phiếm hàm trung bình nếu nó tồn tại đối với mọi hàm giới nội trên nhóm và thỏa mãn các điều kiện sau đây. 1) nếu f(a) > 0, ∀ a ∈ G, thì F(f) > 0. 2) nếu f(a) = 1, ∀ a ∈ G, thì F(f) = 1. ~ ~ 3) nếu fb(a) = f(ba), và f b(a) = f(ba), thì F(fb) = F( f b) = f(b). Điều kiện 3) có nghĩa là khi ta xê dịch đổi số a của hàm trên nhóm f (a) như sau a → ab và a → ba, trong đó b là yếu tố tùy ý của G, thì giá trị F (f) của phiếm hàm không thay đổi. Do đó ta còn gọi phiếm hàm này là tích phần bất biến và dùng ký hiệu tích phân với một đọ đo dμ(a) nào đó. Tính chất bất biến của phiếm hàm được thể hiện ở tính chất bất biến của độ đo: với mọi yếu tố cố định bin: 2 args.G. 72/166 Dùng tích phân bất biến của hàm trên nhóm fx,y(a), tức là phiếm hàm trung bình F(fx,y), làm giá trị trung bình, bây giờ ta có thể định nghĩa tích vô hướng mới như sau trong trường hợp nhóm G là nhóm vô hạn Vì độ đo dμ(a) là bất biến cho nên đối với tích vô hướng mới nà tất cả các toán tử T(b) đều là toán tử unita: {(T(b)x,T(b)y} = ∫ (T(a)T(b)x,(T(a)T(b)ydμ(a) G = ∫ (T(ab)x,(T(ab)ydμ(a)= ∫ (T(ab)x,(T(ab)ydμ(ab) G G = ∫ (T(c)x,(T(c)ydμ(c)= {x,y} G Vậy ta có định lý sau đây. Định lý 4 Cho một nhóm vô hạn G (có thể là nhóm liên tục). Nếu với mọi hàm giới nội f(a) trên nhóm G tồn tại phiếm hàm trung bình F(f), tức là tồn tại tích phân bất biến ∫ (f(a)dμ(a) , G thì mọi biểu diễn của nhóm G đều tương đương với một biểu diễn unita. Chứng minh. Ta dùng phiếm hàm trung bình F(fx,y) làm tích vô hướng mới {x,y} rồi lặp lại tất cả các lập luận giống như khi chứng minh Định lý 3. Trước khi kết thúc đoạn này ta hãy dẫn ra đây một vài thí dụ về phiếm hàm trung bình. G là nhóm hữu hạn cấp N. Ta định nghĩa F(f) = N1 ∑a f(a) Rõ ràng là F(f) thỏa mãn các điều kiện 1) và 2). Để thử lại điều kiện 3) ta chỉ cần dùng ~ định nghĩa của fb, f b và hệ thức (54) ∑a f(a) = ∑a f(ab)= ∑a f(ba) , ∀ b ∈ G. 73/166 ∀ ∈ G là nhóm các phép quay không gian ba chiều quanh một trục nào đó. Mỗi phép quay được đặc trưng bởi góc quay ϕ, hàm trên nhóm là hàm tuần hoàn của ϕ với chu kỳ 2π f(φ) = f(φ + 2π) . Ta định nghĩa F(f) = 1 2π 2π ∫0 f(φ)dφ Rõ ràng là F(f) thỏa mãn hai điều kiện 1) và 2). Chú ý rằng G là nhóm giao hoán cho nên ~ fφ(φ)b= f φ(φ)= f( φ + φ) Từ tính chất tuần hoàn của hàm f suy ra rằng F(f) thỏa mãn điều kiện 3): 1 2π 2π ∫0 f(φ F( fφ) = + ψ)dφ = 1 2π 2π ∫0 f(φ)dφ = F(f) G là nhóm quay trong không gian Euclide thực ba chiều. Mỗi phép quay được đặc trưng bởi ba góc Euler ψ,θ,ϕ với ψ và φ thay đổi từ 0 đến 2 π, còn θ thay đổi từ 0 đến π. Hàm trên nhóm là hàm f( ψ,θ,φ) của ba góc Euler. Phiếm hàm trung bình có dạng F(f) = 1 8π2 ∫f(ψ,θ,φ)sinθdθdψdφ Có thể chứng minh rằng đó là một tích phân bất biến trên nhóm quay. Biểu diễn tối giản Định lý 5 (Bổ đề Shur 1) Nếu trong không gian L thực hiện biểu diễn tối giản T của nhóm G có một toán tử A khác không và giao hoán với tất cả các toán tử T(a) của biểu diễn T, a G , thì toán tử A phải là bội của toán tử đơn vị Chứng minh. Toán tử A khác không có ít nhất một vectơ riêng r trong không gian L: A r = αr Tập hợp tất cả các vectơ riêng tương ứng với cùng một giá trị riêng α tạo thành một không gian con Lα của L. Ta hãy chứng minh rằng Lα bất biến đối với mọi phép biến đổi T(a) của biểu diễn T: 74/166 ∀ ∈ T(a) LαLα , a G Thực vậy, cho r là một vectơ con tùy ý trong Lα và hãy xét tất cả các vectơ T(a)r, ∀ a ∈ G. Tác dụng toán tử A lên các vectơ này, dùng giả thiết về sự giao hoán của A với tất cả các toán tử T(a) và chú ý rằng r là vectơ riêng của A với giá trị riêng α, ta có A(T(a)r) = AT(a)r = T(a)Ar = T(a) αr = α(T(a))r. Kết quả này chứng tỏ rằng T(a)r cùng là các vectơ riêng của A cùng một giá trị riêng α . Vậy Lα quả thực là một không gian con bất biến. Nhưng theo giả thiết thì biểu diễn T trong không gian L lại là biểu diễn tối giản, L không thể chứa không gian con bất biên nào khác không và khác L. Vậy Lα khác không thì phải trùng với L, nghĩa là mọi vectơ trong không gian đã cho L đề là vectơ riêng của toán tử A với cùng một giá trị riêng α . A phải là bội của toán tử đơn vị. Hàm trên nhóm sinh ra bởi biểu diễn Trong không gian L thực hiện biểu diễn T ta hãy chọn một hệ vectơ cơ sở nào đó. Khi đó mỗi phép biến đổi T(a) được diễn tả bởi một ma trận với các yếu tố ma trận Tij (a) là các hàm trên nhóm G, gọi các hàm trên nhóm được sinh ra bởi biểu diễn T. Ta xét trường hợp tích phân bất biến của mọi hàm giới nội trên nhóm đều tồn tại, và có định nghĩa sau đây Định nghĩa tích vô hướng của hai hàm trên nhóm Các hàm trên nhóm có thể được coi là các vectơ trong một không gian tuyến tính và ta định nghĩa tích vô hướng của hai hàm trên nhóm ϕ và ψ, tức là của hai vectơ trong không gian các hàm trên nhóm, như sau Áp dụng định nghĩa này cho các hàm trên nhóm được sinh ra bởi một biểu diễn tối giản, ta có định lý sau đây. Định lý 6 Một biểu diễn T unita tối giản thứ nguyên d của nhóm G sinh ra d 2 hàm trên nhóm Tij (a), a G, thỏa mãn hệ thức 75/166 ∀ ∈ Chứng minh. Hãy lấy một toán tử tuyến tính B bất kỳ trong không gian L thực hiện biểu diễn tối giản T rồi thiết lập các toán tử T(a) BT(a-1), aG, với các yếu tố ma trận là các hàm trên nhóm, và lấy tích phân (bất biến) toán tử này theo a trên nhóm G. Ta thu được toán tử sau đây Ta hãy chứng minh rằng toán tử A giao hoán với mọi phép biến đổi T(a). Thực vậy, với mọi yếu tố a của nhóm G ta có T(a) AT(a)-1 = T(a) AT(a-1) = ∫ (T(a)T(b)BT(b − 1)T(a − 1)dμ(b) G = ∫ (T(ab)BT(b − 1a − 1)dμ(b)= ∫ (T(ab)BT((ab) − 1)dμ(b) G G Vì rằng độ đo dμ(b) là bất biến, dμ(b) = dμ(ab), cho nên ta có thể thay nó bằng dμ(ab) rồi đổi biến số tích phân, đặt ab = c, và có T(a) AT(a)-1 = ∫ (T(c)BT(c − 1)dμ(c) G nghĩa là T(a) AT(a)-1 = A, a G Nhân cả hai vế của hệ thức này với T(a) từ bên phải, ta thu được T(a) A = AT(a), a G Vậy sự giao hoán của A với mọi toán tử T(a) đã được chứng minh. Bây giờ ta áp dụng Bổ để Shur 1. Theo giả thiết T là một biểu diễn tối giản. Toán tử A giao hoán với tất cả các toán tử T(a) của biểu diễn này phải là bội của toán tử đơn vị A = αI Phối hợp hệ thức này với công thức (60), ta thu được hệ thức 76/166 hay là dưới dạng tường minh các yếu tố ma trận Biểu diễn T có thứ nguyên bằng d cho nên các chỉ số i, j,k, l trong công thức (62) chạy theo các số nguyên dương từ 1 đến d. Lấy vết của cả hai vế công thức (61), nghĩa là đặt i = l trong cả hai vế của công thức (62) rồi cộng theo i từ 1 đến d ta có Bjk ∫ (Tki(b − 1)Tij(b − 1b)dμ(b)= αd G Chú ý rằng T ki (b -1 )T ij (b) = T kj (b -1 b)=T kj (e) = δkj và ∫ dμ(b) = 1 G ta thu được 1 α= d Bii = 1 d Tr B Vậy công thức (62) có thể viết lại như sau Theo giả thiết T là một biểu diễn unita, do đó T(b-1) = T(b)-1 = T(b)+ nghĩa là Tkl(b-1) = Tlk(b)* Thay vào vế trái công thức (63), ta thu được 77/166 Công thức này đúng đối với mọi ma trận B. Ta hãy chọn B là một ma trận đặc biệt có yếu tố ma trận Bij bằng 1 khi i = p và j = q với hai số nguyên dương p và 1 nào đó nhờ hơn hoặc bằng d, còn tất cả các yếu tố ma trận khác bằng không, Ta có Tr B = δpq Khi đó công thức (64) trở thành 1 ∫ Tlq(b) ∗ Tip(b)dμ(b)= d δilδpq G Đó là công thức (59). Vậy định lý đã được chứng minh. Định lý 6 có thể được chứng minh một cách tương tự đối với các nhóm hữu hạn. Trong trường hợp này tích phân bất biến của hàm trên nhóm được thay bằng một đại lượng tương tự là giá trị trung bình của hàm trên nhóm ∫ Tij(a )* Kkl(a)dμ(a) → G 1 N ∑a Tij(a )* Tkl(a) , trong đó N là số yếu tố của nhóm hữu hạn. Theo định lý 6 ta có d2 hàm trên nhóm Tij(a) trực giao với nhau và do đó độc lập tuyến tính với nhau. Vì số hàm độc lập tuyến tính trên nhóm hữu hạn cấp N nhiều nhất cũng chỉ bằng N, cho nên d 2 N. Vậy dịnh lý 6 đối với nhóm hữu hạn có hệ quả sau đây. Hệ quả Thứ nguyên d của mọi biểu diễn tối giản của một nhóm hữu hạn cấp N bao giờ cũng thoả mãn hệ thức d 2N. Bây giờ ta hãy mở rộng Định lý 6 ra cho trường hợp các hàm trên nhóm được sinh ra bởi hai biểu diễn tối giản không tương đương. Giống như khi chứng minh Định lý 6, ta cần bổ đề sau đây. 78/166 ∈ Định lý 7 (Bổ đề Shur 2) Cho T(1) và T(2) là hai biểu diễn tối giản không tương đương của nhóm G trong các không gian vectơ L1 và L2, T(1)(a) và T(2)(a) là các phép biến đổi trong L1 và L2, tương ứng với yếu tố a G, A là một toán tử tuyến tính chuyển các vectơ trongL2 thành các vectơ trong L1. Nếu với mọi yếu tố a của nhóm G toán tử A thoả mãn hệ thức: thì A phải bằng không. Chứng minh. Gọi thứ nguyên của không gian L1 là d1, thứ nguyên của không gian L2 là d2. Có thể xảy ra ba trường hợp. 1) d1 > d2. Gọi M là miền giá trị của toán tử A, nghĩa là tập hợp tất cả các vectơ r1 in: 2 args.L1 có dạng trong đó r2 là một vectơ bất kỳ của L2. Ta viết Thứ nguyên của M phải bé hơn hoặc bằng thứ nguyên của không gian L2 và do đó phải bé hơn thứ nguyên d1 của không gian L1. Ta hãy chứng minh rằng M là một không gian con bất biến đối với tất cả các toán tử T(1)(a), ∀ A ∈ G. Thực vậy, mọi vectơ r1 ∈ Mđều có dạng xác định bởi công thức (66) và do đó theo hệ thức (65) ta có: T(1)(a) r1 = T(1)(a) Ar2 = AT(2)(a) r2. Nhưng T(2)(a) r2 cũng là một vectơ trong L2 cho nên theo định nghĩa (67) ta có AT(2)(a) r2in: 2 args.M Vậy với mọi vectơ r1in: 2 args.M vectơ T(1)(a) r1 cũng là một vectơ thuộc không gian con M, T(1)(a) r1MM, M là một không gian con bất biến đối với tất cả các phép biến đổi T(1)(a). Ta lại biết rằng thứ nguyên của M nhỏ hơn thứ nguyên d1 của không gian L1. Nhưng theo giả thiết 79/166 thì biểu diễn T(1) là một biểu diễn tối giản, không gian L1 không thể có không gian con bất biến nào khác không mà có thứ nguyên nhỏ hơn d1. Vậy ta phải có M = 0, nghĩa là A = 0. 2) d1 < d2. Vì toán tử tuyến tính A chuyển các vectơ trong không gian d2 chiều thành các vectơ trong một không gian có số chiều d1 nhỏ hơn, cho nên trong L2 phải có ít nhất một vectơ r2 nào đó mà Gọi N là tập hợp tất cả các vectơ trong không gian L2 thoả mãn điều kiện (68). Vì có ít nhất một vectơ thoả mãn điều kiện này nên Nneq: 2 args.0. Ta hãy chứng minh rằng N là không gian con bất biến đối với biểu diễn T(2). Thực vậy, cho r2 là vectơ bất kỳ trong N. Theo giả thiết (65) và định nghĩa (68) ta có AT(2)(a) r2 = T(1)(a) A r2 = 0 với mọi yếu tố a của nhóm G, tức là tất cả các vectơ T(2)(a) r2 cũng thuộc vào N. Vậy T(2)(a) NN, ∀ a ∈ G, N là không gian con bất biến khác không của L2. Nhưng theo giả thiết biểu diễn T(2) là biểu diễn tối giản. Vậy N phải trùng với L2, nghĩa là mọi vectơ r2 của L2 đều thỏa mãn điều kiện (68). Ta suy ra rằng A=0. 3) d1=d2. Đầu tiên ta chú ý rằng A không thể có nghịch đảo, vì nếu A-1 tồn tại thì hệ thức (65) cho ta ngay T(2)(a) = A − 1T(1)(a)A,∀ a ∈ G, nghĩa là hai biểu diễn T(1) và T(2) tương đương với nhau, trái với giả thiết. Vì rằng A không có nghịch đảo cho nên miền giá trị M của A phải có thứ nguyên nhỏ hơn d2 = d1. Lý luận giống như trong trường hợp 1), ta thấy rằng M phải là một không gian con bất biến khác với L1. Vì biểu diễn T(1) là tối giản, theo giả thiết, cho nên M phải bằng không, M = 0. Vậy A = 0. Bây giờ ta hãy áp dụng Bổ để Shur 2 để chứng minh định lý sau đây. 80/166 Định lý 8 Hai biểu diễn unita tối giản không tương đương nhau T ( α ) và T ( β ) sinh ra hai hệ hàm trên nhóm Tαij(a) và Tβkl(a) trực giao với nhau, nghĩa là thoả mãn hệ thức Chứng minh. Gọi Lα và Lβlà hai không gian vectơ thực hiện các biểu diễn tối giản T(α) và T(β), B là một toán tử tuyến tính nào đó chuyển các vectơ của Lβ thành các vectơ của Lα. Đặt A = ∫ T(α)BT(β)(b − 1)dμ(b), G và xét các tích T(α) (a) A, với mọi yếu tố a của nhóm G. Ta có T(α) (a) A = ∫ T(α)(a)T(α)(b)BT(β)(b − 1)dμ(b) G = ∫ T(α)(a)T(α)(b)BT(β)(b − 1)T(β)(a − 1)dμ(b)T(β)(a) G = ∫ T(α)(ab)BT(β)((ab) − 1)dμ(b)T(β)(a) G = ∫ T(α)(ab)BT(β)((ab) − 1)dμ(ab)T(β)(a) G = ∫ T(α)(c)BT(β)(c − 1)dμ(c)T(β)(a) G Vậy T(α) (a) A = AT(β)(a), ∀ a ∈ G Theo Bổ đề Shur 2 toán tử A phải bằng không. Ta thu được công thức hay là dưới dạng chứa tường minh các yếu tố ma trận 81/166 Nếu chọn B là ma trận chỉ có một yếu tố ma trận Bpq khác không, còn tất cả các yếu tố ma trận khác bằng không, thì công thức (71) cho ta −1 ∫ T(α) )dμ(b)= ∫ T(β) ip (b)Tgl(β)(b lq (b )* Tip(α)(b)dμ(b)= α ≠ β G G Đó chính là công thức (69). Vậy định lý đã được chứng minh. Với các nhóm hữu hạn thì thay cho tích phân bất biến ta dùng giá trị trung bình của hàm trên nhóm và cũng có định lý tương tự. Ta đã chứng minh được rằng các hàm trên nhóm được sinh ra bởi các biểu diễn tối giản không tương đương cũng như được sinh ra bởi cùng một biểu diễn tối giản đều là các hàm trực giao với nhau. Bây giờ hãy xét tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau T(α), α = 1, 2, …, f, của một nhóm hữu hạn G, và tập hợp tất cả các hàm T(α) ij (a) được sinh ra bởi các biểu diễn này, i, j = 1, 2, …, dα, dα là thứ nguyên của biểu diễn T( α). Mỗi hàm này có thể được xem là một vectơ trong không gian vectơ L tất cả các hàm ψ(a) trên nhóm G. Ta có định lý sau đây. Định lý 9 Tập hợp tất cả các hàm T(α) ij (a) , α = 1, 2, …, f, i, j = 1, 2, …, d α , được sinh ra bởi tất cả các biểu diễn tối giản T ( α ) thứ nguyên d α không tương đương với nhau của một nhóm hữu hạn G tạo thành hệ đủ các vectơ cơ sở trực giao với nhau trong không gian tất cả các hàm trên nhóm G. Nói cách khác, mọi hàm trên nhóm G đều có thể khai triển được thành một tổ hợp tuyến tính của các hàm : trong đó dấu tổng theo ký hiệu phép cộng tất cả các biểu diễn tối giản không tương đường với nhau của nhóm G. Chứng minh. Trong không gian L tất cả các hàm trên nhóm G ta định nghĩa toán tử tuyến tính T(a) tương ứng với yếu tố a của nhóm G như sau Các toán tử này tạo thành một biểu diễn T của nhóm G. Thực vậy, ta có 82/166 T(a')T(a)ψ(b) = T(a')ψ(ba) = T(a')ψa(b) = ψa(ba') = ψ(ba'a) = ψa'a(b) = T(a'a)ψ(b) với mọi hàm , nghĩa là T(a’) T(a) = T(a’ a) Biểu diễn T này có thể được khai triển thành tổng trực giao của các biểu diễn tối giản T(α) của nhóm G mà trong khai triển đó mỗi biểu diễn có thể được lặp lại một số lần. Ký hiệu là số lần mà biểu diễn tối giản T() được chứa trong biểu diễn T. Ta ký hiệu tổng trực giao của nα biểu diễn giống nhau này là Tα , và có Không gian L tách ra thành tổng trực giao của các không gian con bất biến , v = 1, 2, …, , = 1, 2, …, f, trong đó không gian con , v = 1, 2, …, , thực hiện cùng một biểu diễn tối giản T() . Trong mỗi không gian con này ta hãy chọn hệ cơ sở , i = 1, 2, …, , mỗi vectơ này là một hàm trên nhóm G. Theo định nghĩa của các yếu tố ma trận ta có (α) (α) (α) (α) T(a) = φ(α) vi = T (a) = φvi = φvi Tji (a) nghĩa là (α) (α) T(a) = φ(α) vi (b) = φvi (b)Tji (a) Mặt khác, theo định nghĩa (73) của T(a) ta lại có (α) T(a)φ(α) vi (b) = φvi (ba) Do đó (α) α φ(α) vi (ba) = φvj (b)Tji(a) Trong hệ thức này ta hãy lấy b là yếu tố đơn vị e của nhóm G và thu được công thức sau đây 83/166 Công thức (74) chứng tỏ rằng mọi hàm (a), là các vectơ cơ sở của không gian L đều là một tổ hợp tuyến tính của các hàm . Mọi hàm trên nhóm đều có thể triển khai thành một tổ hợp tuyến tính theo các hàm (a) và do đó cũng có dạng một tổ hợp tuyến tính của các hàm . Vậy hệ tất cả các hàm là một hệ đủ trong không gian L tất cả các hàm trên nhóm. Định lý đã được chứng minh. Biểu diễn T mà chúng ta đã sử dụng ở trên là một biểu diễn mà ta có thể thiết lập với bất kỳ một nhóm G nào. Ta đặt tên cho biểu diễn đặc biệt này như sau. Định nghĩa biểu diễn đều đặn Biểu diễn T của một nhóm G trên không gian L các hàm trên nhóm ψ(a), với các toán tử T(a) tác dụng lên các hàm như sau T(b) ψ(a) = ψ(ab), được gọi là biểu diễn đều đặn của nhóm này. Chú ý rằng định nghĩa này áp dụng cho các nhóm G bất kỳ: hữu hạn, vô hạn, liên tục. Trong quá trình chứng minh Định lý 9 chúng ta đã thấy rằng không gian L tách ra thành tổng trực giao của các không gian con Lα, α= 1, 2, …, f, mỗi không gian con Lαlại là tổng α trực giao của nαkhông gian con của L(α) v , mỗi không gian con Lv có thứ nguyên dα. Vậy thứ nguyên của không gian Lα là nαdα. Mặt khác, trong không gian này có d2α hàm Tαij(a) tạo thành một hệ đủ các vectơ cơ sở. Vậy ta phải có nαdα = d2α nghĩa là nα= dα. Ta đi đến định lý sau đây Định lý 10 Biểu diễn đều đặn T của một nhóm hữu hạn G chứa biểu diễn tối giản Tα thứ nguyên dα đúng dα lần. Nếu nhóm hữu hạn G là nhóm cấp N, thì trong không gian L tất cả các hàm trên nhóm có nhiều nhất là N hàm độc lập tuyến tính. Lý luận ở trên chứng tỏ rằng thứ nguyên của không gian L là ∑α d2α 84/166 Vậy ta có định lý sau đây Định lý 11 Các thứ nguyên dα của tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương của một nhóm hữu hạn G cấp N phải thoả mãn hệ thức Các định lý về các hàm đặc trưng Bây giờ ta chứng minh một số định lý về các hàm đặc trưng. Định lý 12 Các hàm đặc trưng χα(a) của các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau T(α) của một nhóm G là các hàm trực giao chuẩn hoá trên nhóm này: Chứng minh. Ký hiệu Tαij(a) và Tβkl(a)là các yếu tố ma trận của các toán tử T(α)(a) và T(β)(a) . Theo Định lý 6 và Định lý 8 ta có (Tαij(a),Tβkl(a)) = d1α δikδjl, trong đó dαlà thứ nguyên của biểu diễn T(α), i, j = 1, 2, …, dα, và (Tαij(a),Tβkl(a)) = 0 với α ≠ β Từ định nghĩa của các hàm đặc trưng χα(a) = Tαii(a), χβ(a) = Tβkk(a), ta suy ra (χα,χα) = (Tαii,Tαkk) = d1α δikδki = 1 (χα,χβ) = (Tαii,Tαkk) = 0 với α ≠ β Vậy công thức (76) đã được chứng minh. 85/166 Ta biết rằng ta có thể coi hàm đặc trưng của một biểu diễn là một hàm χ(Ka) trên tập hợp các lớp Ka các yếu tố liên hợp. Xét hệ tất cả các hàm χ(α)(Ka)được sinh ra bởi tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau của nhóm hữu hạn G và hãy tìm xem các hàm này có phải là hệ đủ trong không gian các hàm ψ(Ka) trên các lớp Ka các yếu tố liên hợp hay không. Ta có định lý sau đây. Định lý 13 Các hàm đặc trưng χ(α)(Ka) được sinh ra bởi tất cả các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau T(α) , α = 1, 2, …, f, của một nhóm hữu hạn G tạo thành một hệ đủ trong không gian vectơ các hàm ψ(Ka) trên tập hợp các lớp K a các yếu tố liên hợp. Mọi hàm ψ(Ka) trên tập hợp các lớp K a các yếu tố liên hợp có thể được khai triển như sau Chứng minh. Hàm ψ(Ka)trên tập hợp các yếu tố liên hợp là một hàm trên nhóm ϕ(a)với tính chất sau đây Áp dụng Định lý 9 (công thức (72)), ta khai triển hàm này theo hệ đủ tất cả các hàm trên nhóm Tαij(a), i, j = 1, 2, …, dα, α= 1, 2, …, f, được sinh ra bởi tất cả cá biểu diễn tối giản T(a) không tương đương với nhau của nhóm G, và có Thay hai biểu thức (79) và (80) của ψ(a) và ψ(bab − 1) vào phương trình (78) rồi so sánh các hệ số của Tαij(a) ta suy ra hệ thức Ta biết rằng Tαki(b) và Tαjl(b − 1) là các yếu tố ma trận của các ma trận Tα(b) và Tα(b − 1). Coi Cαjilà các yếu tố ma trận của các ma trận Cαta viết lại hệ thức (81) dưới dạng một hệ thức giữa các ma trận Cα = Tα(b − 1)CαTα(b) = Tα(b) − 1CαTα(b), ∀ b ∈ G 86/166 Ta suy ra rằng Tα(b)Cα = CαTα(b), ∀ b ∈ G, nghĩa là ma trận Cαgiao hoán với tất cả các toán tử Tα(b), ∀ b ∈ G, của biểu diễn tối giản Tα. Theo Bổ đề Shur 1 ma trận này phải là bội của ma trận đơn vị, Cα = Λ(α)I, nghĩa là Thay giá trị (82) của C(α) ji vào vế phải công thức (79), ta thu được f (α) (α) ψ(a)= ∑fα = 1 Λ(α)T(α) ii (a)= ∑α = 1 Λ χii (a) Đó chính là hệ thức (77). Vậy định lý đã được chứng minh. Gọi Nk là số lớp các yếu tố liên hợp của nhóm hữu hạn G. Có tất cả Nk hàm trên tập hợp các lớp Ka mà là độc lập tuyến tính. Mặt khác, theo Định lý 2 thì số cực đại các hàm trên tập hợp các lớp Ka mà là độc lập tuyến tính bằng số f các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau của nhóm G. Vậy ta có hệ quả sau đây. Hệ quả. Số f các biểu diễn tối giản không tương đương với nhau của nhóm hữu hạn G bằng số N k các lớp yếu tố liên hợp của nhóm này: F = N k. Khi ta cho một nhóm hữu hạn G, muốn biết nhóm này có bao nhiêu biểu diễn tối giản không tương đương ta chỉ cần tìm xem nhóm G có bao nhiêu lớp các yếu tố liên hợp. Cách này rất thường hay được dùng khi nghiên cứu các nhóm đối xứng của các tinh thể. 87/166 Các nhóm điểm tinh thể học Phân loại các nhóm điểm tinh thể học Các phân tử chứa nhiều nguyên tử cùng một loại và các tinh thể chất rắn thường có tính chất đối xứng thể hiện ở chỗ có những phép quay, phép phản xạ gương, phép nghịch đảo, phép tịnh tiến, hoặc những tổ hợp của các phép biến đổi này, mà sau khi thực hiện các phép biến đổi đó thì các nguyên tử cùng loại trong phân tử hoặc trong tinh thể đổi chỗ cho nhau, nhưng phân tử hoặc tinh thể thì lại chuyển đến một vị trí trùng khít với vị trí ban đầu. Các phép biến đổi nói trên có chung một tính chất: khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của một phân tử hoặc một tinh thể chất rắn (mà chỉ làm cho các nguyên tử cùng một loại đổi chỗ cho nhau) được gọi là phép đối xứng của thể tạo thành một nhóm với định nghĩa tích của hai phép biến đổi là sự thực liên tiếp hai phép biến đổi đó, nghịch đảo của một phép biến đổi là phép biến đổi ngược với nó. Nhóm đó đươợ gọi là nhóm đối xứng của phân tử hoặc của tinh thể. Một thí dụ về nhóm đối xứng của tinh thể là nhóm tịnh tiến. Vì trong tinh thể có sự sắp đặt tuần hoàn các nguyên tử mỗi loại, cho nên tinh thể (vô hạn) có tính đối xứng đối với các phép tịnh tiến TR : r → r + R trong đó vectơ tịnh tiến R có dạng R = n1a1 + n2a2 + n3a3 , với a1, a2, a3 là ba vectơ không nằm trong cùng một mặt phẳng, còn n1, n2, n3 là ba số nguyên. Ta chọn a1, a2, a3 là các vectơ ngắn nhất theo mỗi hướng đã cho mà các phép tịnh tiến theo các vectơ này là các phép đối xứng của tinh thể, và gọi là các vectơ này là các vectơ tịnh tiến cơ sở. Điểm cuối của các vectơ R với các giá trị nguyên tuỳ ý của n1, n2, n3 tạo thành một mạng gọi là mạng Bravais. Trong một phép tịnh tiến của không gian tất cả các điểm đều dịch chuyển, không có điểm nào là bất động cả. Trái lại, trong mỗi phép quay, mỗi phép phản xạ gương và mỗi phép nghịch đảo đều có ít nhật một điểm bất động: điểm bất kỳ trên trục quay, điểm bất kỳ trên mặt phẳng gương và tâm của phép ngịch đảo. Xét các phép biến đổi cứng tạo thành một nhóm đối xứng của phân tử hoặc của tinh thể. Nếu tất cả các phép đối xứng của nhóm đó đều giữ cố định cùng một điểm, thì nhóm này được gọi là nhóm điểm. Nói khác đi, mỗi nhóm điểm là một nhóm các biến đổi cứng mà tất cả các yếu tố của nó đều có chung một điểm cố định. Mỗi yếu tố của nhóm điểm được gọi là một biến đổi điểm hoặc yếu tố đối xứng điểm. 88/166 Một thí dụ về nhóm điểm là nhóm Cn, các phép quay quanh một trục cố định với các góc quay bằng một số nguyên lần góc 2ππ , trong đó n là một số nguyên dương. Giá trị n = 1 là một trường hợp đặc biệt: nhóm C1 chỉ gồm các phép quay một số nguyên lần góc 2π, nghĩa là chỉ gồm có một yếu tố là biến đổi đồng nhất E. Mọi nhóm Cn với các số nguyên dương n > 1 đều có thể là nhóm đối xứng của một hình hữu hạn nào đó (thí dụ như hình trụ thẳng đứng mà đáy là hình n-giác đều) hoặc của một phân tử nào đó, nhưng không phải nhóm Cn nào cũng có thể là nhóm đối xứng của tinh thể, bởi vi tinh thể có cấu trúc hoàn toàn. Thực vậy, ta sẽ chứng minh rằng do tính chất đối xứng của tinh thể đối với các phép tịnh tiến TR, với R là các vectơ mà điểm cuối của chúng tạo thành mạng Bravais, nhóm Cn chỉ có thể là nhóm đối xứng của tinh thể nếu có năm giá trị nguyên dương sau đây: n = 1, 2, 3, 4, 6. Để chứng minh ta hãy chọn xOy là mặt phẳng chứa các nguyên tử đổi chỗ cho nhau trong các phép quay của nhóm Cn. Chọn trục Oz làm trục quay. Khi đó các nút của mạng Bravais trên mặt phẳng xOy tạo thành một mạng tinh thể hai chiều đối xứng đối với các phép tịnh tiến TR với mọi vectơ R có dạng, a và b là hai vectơ tịnh tiến cơ sở trên mặt phẳng xOy. Ta quy ước chọn chúng thế nào để a là vectơ tịnh tiến ngắn nhất của mạng Bravais. Khi đó mọi vectơ tịnh tiến khác không R đều phải thoả mãn điều kiện Ta chọn trục Ox theo hướng của vectơ a và có Bây giờ ta thực hiện phép quay một góc ϕ quanh trục Oz. Trong phép quay này vectơ achuyển thành vectơ a’ với thành phần Nếu phép quay này là một phép đối xứng của tinh thể thì vectơ a’ cũng là một vectơ tịnh tiến cuủatinh thể và do đó hai vectơ a± a’ phải là hai vectơ tịnh tiến của tinh thể nếu chúng khác không. Xét vectơ a – a’. Nếu vectơ này bằng không thì ta có 89/166 còn nếu nó khác không thì phải thoả mãn điều kiện (2), nghĩa là Dùng các biểu thức (3) và (4) của các thành phần của a và a’, ta suy ra cos φ 12 và do đó Xét vectơ a + a’. Nếu vectơ này bằng không thì ta có còn nếu nó khác không thì phải thoả mãn điều kiện (2), nghĩa là Dùng các biểu thứ (3) và (4) của các thành phần của a và a’, ta suy ra cos φ − 1 2 và do đó φ phải thoả mãn một trong hai điều kiện sau đây Đồng thời với phép quay một góc φ quanh trục Oz nhóm Cn còn chứa phép quay góc φ. Trong phép quay này vectơ a chuyển thành vectơ a’’ với các thành phần Đó cũng chính là một vectơ tịnh tiến. Do đó vectơ a’ + a’’ phải bằng không, hoặc là một vectơ tịnh tiến khác không và thoả mãn điều kiện (2), nghĩa là Dùng các biểu thức (4) và (11) của các thành phần của các vectơ a’ và a’’, ta thấy rằng a’+a’’ triệt tiêu khi φ có một trong hai giá trị sau đây 90/166 và Còn nếu a’+a’’ khác không thì từ bất đẳng thức (12) suy ra cos2φ 14 , do đó φ phải thoả mãn một trong ba điều kiện sau đây: Tóm lại, phép quay một góc φ chỉ có thể là một phép đối xứng của một tinh thể nếu góc φ hoặc là bằng một trong bốn giá trị (5), (8), (13), (14), hoặc là phải thoả mãn đồng thời điều kiện (7), một trong hai điều kiện (10) và một trong ba điều kiện (15). Các giá trị này là π π φ = 0, 3 , 2 , 2π 3, π, 4π 3π 5π 3, 2, 3. Đó là các góc quay của các nhóm Cn với n = 1, 2, 3, 4, 6. Chúng ta đã thấy rằng không phải mọi nhóm điểm đều có thể là một nhóm đối xứng của một tinh thể nào đó. Một nhóm điểm nếu đồng thời là một nhóm đối xứng của tinh thể thì nhóm điểm đó được gọi là nhóm điểm tinh thể học. Để trình bày vắn tắt về các nhóm điểm tinh thể học ta dùng các thuật ngữ sau đây. Trục quay của nhóm Cn được gọi là trục quay bậc n. Khi ta nói một điểm có một trục quay bậc n tức là nói rằng nhóm điểm đó chứa một nhóm con Cn. Giả sử rằng phép quay góc 2πn quanh một trục nào đó không phải là phép đối xứng của một tinh thể hoặc phân từ nào đó, nhưng tổ hợp của phép quay này với phép phản xạ gương qua một mặnt phẳng trực giao với trục quay, ký hiệu là Sn, lại là phép đối xứng. Ta gọi Sn là phép quay - phản xạ gương và gọi trục quay thẳng góc với mặt phẳng phản xạ gương nói trên là trục quay - nhóm Sn . Tương tự như phép quay - phản xạ gương, tổ hợp của một phép quay quanh một trục và phép nghịch đảo đối với một điểm trên trục quay được gọi là phép quay - nghịch đảo, còn trục quay bây giờ là trục quay - nghịch đảo. Để diễn tả một nhóm điểm ta chỉ cần cho biết nhóm điểm đó có những trục quay nào, có những mặt phẳng phản xạ gương nào, có những trục quay - phản xạ gương nào và có tâm nghịch đảo hay không. Ta có các nhóm điểm tinh thể học sau đây: 91/166 Nhóm Cn : Chỉ có một trục quay bậc n. Các giá trị của n là 1, 2, 3, 4, 6. Nhóm Ci : Gồm phép nghịch đảo i và yếu tố đơn vị E. Nhóm Cnh : Có một trục quay bậc n và một mặt phẳng phản xạ gương trực giao với trục quay (nằm ngang). Các giá trị của n là 1, 2, 3, 4, 6. Với n = 2, 4, 6 thì nhóm Cnh chứa phép nghịch đảo. Nhóm Cnv : Có một trục quay bậc n và n mặt phẳng phản xạ gương chứa trục quay (thẳng đứng). Các giá trị của n là 2, 3, 4, 6. Nhóm Sn : Chỉ có một trục quay - phản xạ gương bậc n. Các giá trị của n ứng với nhóm là n = 4, 6, vì rằng các nhóm S2 và S3 trùng với Ci và C3h. Nhóm Dn : Có một trục quay bậc n và na trục quay bậc 2 trực giao với trục quay bậc n. Các giá trị của n là 2, 3, 4, 6. Nhóm Dnd : Thu được từ nhóm Dn bằng cách thêm n mặt phẳng phản xạ gương σd, mỗi mặt phẳng là mặt phân giác của góc giữa hai trục bậc 2. Các giá trị của n là 2, 3. Nhóm Dnh : Thu được từ nhóm Dn bằng cách thêm vào mặt phẳng phản xạ gương trực giao với trục bậc n (nằm ngang). Các giá trị của n là 2, 3, 4, 6. Với n = 2, 4, 6 thì nhóm Dnh chứa phép nghịch đảo. Nhóm O : Nhóm bao gồm các phép quay là phép đối xứng của hình lập phương. Nhóm này có 24 yếu tố: yếu tố đơn vị là 23 phép quay thật sự. Các phép quay đó là: 6C2, 8C3, 6C4 và 3C34 (hình 3.1). Nhóm Oh: Nhóm gồm tất cả các phép đối xứng của hình lập phương và gọi là nhóm bát diện, thu được từ nhóm O bằng cách thêm nghịch đảo. Ta có 92/166 ⊗ Oh = O⊗Ci. Nhóm T: Nhóm gồm các phép quay là phép đối xứng của hình tứ diện đều. Nhóm này có 12 yếu tố: yếu tố đơn vị và 11 phép quay thực sự. Các phép quay đó là: 3C2, 4C3 và C23 (hình 3.2). Nhóm Th : Th = T C i . Chú ý rằng tứ diện không đối xứng đối với phép nghịch đảo, cho nên Th không phải là một nhóm đối xứng của hình tứ diện đều. Nhóm Td: nhóm tất cả các phép đối xứng của hình tứ diện đều và gọi là nhóm tứ diện, thu được bằng cách thêm 6iC4 và 6σdvào nhóm T. Đó là tất cả 32 nhóm điểm tinh thể học. Các yếu tố của các nhóm điểm được gọi là các biến đổi điểm. Ngoài các nhóm tịnh tiến và các nhóm điển hình tinh thể học, các tinh thể chất rắn còn có thể có tính chất đối xứng đối vứoi các nhóm có cá yếu tố là các tổ hợp của phép tính tiến và phép biến đổi điểm mà nếu xét riêng biệt thì phép tịnh tiến và phép biến đổi điểm này không phải là phép đối xứng. Các nhóm đối xứng của tinh thể gọi là các nhóm không gian. Có tất cả 230 nhóm không gian. Các ký hiệu về các nhóm điểm viết ở trên được gọi là các ký hiệu Schönfies. Ngoài các ký hiệu này người ta còn dùng một cách ký hiệu khác, gọi là ký hiệu quốc tế hay ký hiệu Herman-Manguin, quy ước như sau: - trục quay bậc n ký hiệu là n ; 93/166 - mặt phẳng phản xạ gương ký hiệu là m ; - trục quay - phản xạ gương bậc n ký hiệu là n/m ; ¯ - trục quay - nghịch đảo bậc n ký hiệu là n. Các trục quay, các trục quay - phản xạ gương, các mặt phẳng phản xạ gương và tâm nghịch đảo được gọi là các yếu tố đối xứng của nhóm điểm. Hai yếu tố đối xứng cùng một loại của một nhóm điểm (hai trục quay cùng một bậc, hai trục quay - phản xạ gương cùng một bậc, hai mặt phản xạ gương) được gọi là tương đương với nhau nếu có một phép biến đổi của nhóm đang xét chuyển một yếu tố thành yếu tố kia. Trong Chương I, khi nghiên cứu về nhóm quay SO(3), chúng ta đã chứngminh rằng hai phép quay cùng một góc quanh hai trục quay khác nhau liên hợp với nhau. Bằng những lập luận tương tự chúng ta cũng có thể chứng minh rằng trong một nhóm điểm hai phép quay cùng một góc quanh hai trục quay tương đương, hai phép quay - phản xạ gưong cùng một góc quanh hai trục quay - phản xạ gương tương đương hoặc hai phép phản xạ gương qua hai mặt phẳng phản xạ gương tương đương là hai yếu tố liên hợp với nhau. Chúng ta sẽ áp dụng các dấu hiệu nói trên về hai yếu tố liên hợp với nhau của một nhóm điểm khi phân chia các yếu tố của mỗi nhóm điểm thành các lớp các yếu tố liên hợp. 94/166 Họ các điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci Trong họ này có 15 nhóm điểm tinh thể học sau đây, 1) Nhóm C1 chỉ gồm có một yếu tố đơn vị E. Không có yếu tố đối xứng nào, Phàn tử hoặc ô cơ sở của tinh thể là bất đối xứng. 2) Nhóm Ci là nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E và phép nghịch đảo i. Chỉ có một yếu tố đối xứng là tâm nghịch đảo i. 3) Nhóm C1h = C1v là nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E và phép phản xạ gương σ. Chỉ có một yếu tố đối xứng là mặt phẳng gương σ. Vì không có trục quay nên ta không phân biệt được mặt phẳng gương là thẳng đứng hay nằm ngang. 4) Nhóm C2 là nhóm giao hoán gồm hai yếu tố: đơn vị E và phép quay C2 góc πquanh một trục nào đó, C2− 1 = C2, C22 = E. Có một yếu tố đối xứng là trục quay C2. 5) Nhóm C2h gồm hai yếu tố E, C2 của nhóm quay C2, phép phản xạ gương σh qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay và các tổ hợp của chúng. Tổ hợp của phép quay C2 quanh trục Oz. với phép phản xạ gương σh qua mặt phẳng gương xOy chính là phép nghịch đảo i không phụ thuộc vào thứ tự của chúng, Vậy nhóm C2h là nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C2, σh, i với bảng nhân nhóm sau đây Bảng nhân nhóm C2h 95/166 Các yếu tố đối xứng của nhóm C2h là: trục quay C2, mặt phẳng gương σh và tâm nghịch đảo i là giao điểm của chúng. Nhóm C2 là nhóm con của nhóm C2h. 6) Nhóm C2v gồm các yếu tố E, C2 của nhóm quay C2, phép phản xạ gương σv qua một mặt phẳng gương chứa trục quay cũng ký hiệu là σv và các tổ hợp của chúng. Ký hiệu mặt phẳng gương chứa trục quay và trục giao với mặt phẳng σv và σ'v. Nếu trục quay là Oz C2 : (x, y, z) → (-x, -y, -z). mặt phẳng gương σv là mặt phẳng xOz Thì mặt phẳng gương σ'v là mặt phẳng yOz Dễ thử lại rằng Vậy nhóm C2vlà nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C2, σv và σ'v với bằng nhân nhóm sau đây 96/166 Bảng nhân nhóm Cv2 Có ba yếu tố đối xứng: trục quay C2 và hai mặt phẳng gương chứa trục quay σv, σ'vtrực giao với nhau. Nhóm C2 là nhóm con của nhóm C2v. 7) Nhóm giao hoán C3 là nhóm vòng sinh ra bởi phép quay C3 một góc 2π3 quanh một trục nào đó. Yếu tố C23 là phép quay góc 4π3 quanh trục này, nó trùng với phép quay C3− 1 góc − 2π3 quanh trục đã cho. Ta có C23 = C3− 1, C33 = E Chỉ có một yếu tố đối xứng là trục quay C3. 8) Nhóm C3h là nhóm giao hoán gồm ba yếu tố E, C3, C23 = C3− 1 của nhóm con C3, phép phản xạ gương σhqua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay và các tổ hợp của chúng. Có hai yếu tố đối xứng là trục quay C3 và mặt phẳng gương σh trực giao với nhau. 9) Nhóm C3v gồm ba yếu tố E, C3, C3− 1 của nhóm con C3 và ba phép phản xạ gương σv , σ'v, σ''vqua ba mặt phẳng gương chứa trục quay cũng ký hiệu là σv, σ'v, σ''v, mặt phẳng σ'v thu được từ mặt phẳng σv sau khi thực hiện phép quay C23 = C3− 1 , tức là thu được từ mặt phẳng σ'v sau khi thực hiện phép quay C3. Chú ý tằng vì các phép quay của mặt phẳng σv, σ'v, σ''v thì phải có nốt hai mặt phẳng kia. Các yếu tố đối xứng là: trục quay C3 và ba mặt phẳng gương chứa trục quay σv, σ'v, σ''v chuyển chỗ cho nhau trong các phép quay của nhóm con C3. Chọn trục quay C3 làm trục Oz và mặt phẳng gương σv làm mặt phẳng tọa độ xOz. Trên hình 3.3 ta vẽ ba giao tuyến Ox, Ox’, Ox’’ của mặt phẳng tọa độ xOy với ba mặt phẳng gương σv, σ'v, σ''v . Các trục Ox’ và Ox’’ tạo với trục Ox các góc bằng 2π3 và 97/166 4π 3. Xét một điểm trên mặt phẳng xOy mà bán kính vectơ R của nó tạo với trục Ox một góc ϕ(giá trị đại số tính theo chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ). Trong phép phản xạ gương qua mặt σv bán kính vectơ R chuyển thành bán kính vectơ Rσtạo với trục Ox góc - φ (xem hình 3.4) Ta viết Xét phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σ'v. Bán kính vectơ R tạo với trục Ox’ góc φ − 2π3 . Trong phép phản xạ gương σ'v nó chuyển thành bán kính vectơ Rσ'tạo với trục Ox’ góc (-(φ − σ'v : ϕ − 2π 3 2π 3 )(xem hình 3.5). Do đó ta có → -( ϕ − 2π 3) = − ϕ + 2π3 98/166 nghĩa là Chú ý rằng ta có thể thêm vào góc φ hoặc bớt đi từ góc này một đại lượng là bội số của 4π 2π 2π, do đó - φ+ 3 và - ϕ − 3 là cùng một góc. Với phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σ''v(xem hình 3.6) ta có kết quả sau đây: Bán kính vectơ R tạo với trục Ox’’ góc φ - 4π3 tức là φ + 2π3 . Phép phản xạ gương σ''vchuyển nó thành bán kính vectơ Rσ'' tạo với góc Ox’’ góc -( φ + 2π3 ) . Ta có σ''v : φ + 2π 3 → -( φ + 2π 3) =-φ− 2π 3 nghĩa là Còn trong các phép quay C3 và C23 = C3− 1góc ϕthay đổi như sau 99/166 Chú ý rằng các phép phản xạ gương và phép quay C3 có tính chất σ2v = σ'2v = σ''2v = C33= E Dùng tính chất này và các công thức (22a), (22b), (22c), (23a), (23b), ta suy ra các hệ thức sau đây: Do đó ta có ngay Từ các hệ thức này ta lại thu được các hệ thức mới Vậy với nhóm C3v ta có bảng nhân nhóm sau đây Bảng nhân nhóm C 3v 100/166 Cuối cùng ta xét từng yếu tố và xác định lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố đã cho. Ta nhắc lại rằng nếu a là một yếu tố nào đó của một nhóm G thì tất cả các yếu tố gag -1 với mọi yếu tố g của G tạo thành lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố a. Nếu a là yếu tố đơn vị E thì tất cả các yếu tố gag -1 đều trùng với E. Vậy chính yếu tố đơn vị E là một lớp. Ta hãy lấy a là C3. Các yếu tố liên hợp với nó là C3 C3 C3− 1 = C3 , C3− 1 C3 ( C3− 1 ) -1 C3 , σv C3 σv = σ'v σv = C3− 1 , σ'v C3 σ'v = σ''v σ'v = C3− 1 , σ''v C3 σ''v = σv σ''v = C3− 1 Vậy hai yếu tố C3 vàC3− 1tạo thành một lớp yếu tố liên hợp. Còn nếu ta lấy a là σvthì các yếu tố liên hợp với nó là C3 σv C3− 1 = σ''v C3− 1 = σ'v C3− 1 σv ( C3− 1 ) -1 = σ'v C 3 = σ''v σv σv σv = σv , σ'v σv σ'v = C3− 1 σ'v = σ''v σ''v σv σ''v C3 σ''v = σ'v 101/166 Vậy ba phép phản xa gương σv, σ'v, σ''v tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Tóm lại, nhóm C3v chia thành ba lớp các yếu tố liên hợp sau đây C1 = {E}, C2 = {C3,C3 }, C3 = {σv,σ'v,σ''v}. −1 10) Nhóm giao hoán C4 là nhóm vòng sinh bởi phép quay C4 một góc bằng π2 quanh một trục nào đó. Nhóm này gồm bố yếu tố khác nhau là C4 , C24 = C2 , C34 = C4− 1 và C44=E. Chỉ có mọt yếu tố đối xứng là trục quay C4 . 11) Nhóm C4h là nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, C4, C2, C4− 1của nhóm con C4, phép phản xạ gương σh qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay cũng gọi là mặt phẳng gương σhvà các tổ hợp của chúng. Trong các tổ hợp này có tích σhC2 = C2σh. Theo công thức (19) đó là phép nghịch đảo i đối với giao điểm của trục quay C4 và mặt phẳng gương σh. Vậy ngoài trục quay C4 và mặt phẳng gương σh là hai yếu tố đối xứng cho từ trước lại còn có một yếu tố đối xứng thứ ba là tâm nghịch đảo i. 12) Nhóm C4v gồm các yếu tố E, C4, C2, C4− 1 của nhóm con C4 và các phép phản xạ gương σv, σ'v, σ''v, σ'''v qua bốn mặt phẳng phản xạ gương chứa trục quay cũng ký hiệu là σv, σ'v, σ''v, σ'''v trong đó σ'vtrực giao với σvvà thu được từ σ'vsau khi thực hiện phép quay C4, σ''v và σ'''v là hai mặt phẳng phân giác của hai góc vuông giữa các mặt phẳng σv và σ'v. Nhóm C4v là một nhóm các phép đối xứng của một hình trụ thẳng đứng đáy vuông. Trên hình 3.7 ta vẽ mặt đáy của hình trục đó và các giao tuyến của cac mặt phẳng gương σv, σ'v, σ''v , σ'''v với mặt phẳng đáy. Ta chọn trục Oz trùng với trục quay C4, mặt phẳng tọa độ xOy là mặt phẳng đáy của hình trụ, chọn σvđi qua trục Ox và σ'vđi qua trục Oy. Với những lý luận giống như khi nghiên cứu về nhóm C3v ta có thể thiết lập được bảng nhân nhóm sau đây. Bảng nhân nhóm C4v 102/166 Các yếu tố đối xứng là: trục quay C4 và bốn mặt phẳng gương chứa trục quay σv, σ'v, σ''v, σ'''v nói ở trên. Sử dụng các quy tắc nhân nhóm trình bày trong bảng nhân nhóm ở trên ta có thể nghiệm lại rằng nhóm C4v chia thành năm lớp các yếu tố liên hợp C1 = {E}, C2 = {C4,C4 } , C 3 = { C 2} , −1 C4 = {σv,σV}, C5 = {σv,σV}. ' '' ''' 13) Nhóm giao hoán C6 là nhóm vòng sinh bởi phép quay C6 một góc bằng π3 quanh một trục nào đó và gồm sáu yếu tố sau đây: E, C6 , C26= C3 , C36= C2 , C46= C3− 1, C56= C6− 1. Chỉ có một yếu tố đối xứng là trục quay C6 . 14) Nhóm C6h là nhóm giao hoán gồm sáu yếu tố E, C6 , C3 , C2 , C3− 1, C6− 1của nhóm con C6 , phép phản xạ gương σh qua một mặt phẳng gương trực giao với trục quay cũng gọi là mặt phẳng gương σh, và các tổ hợp của chúng. Vì trong số các yếu tố C6h có cả phép quay C2 lẫn phép phản xạ gương σh qua một mặt phẳng trực giao với trục quay C2 , cho nên theo công thức (19) nhóm C6h còn chứa phép nghịch đảo i đối với tâm nghịch đảo là giao điểm của trục C6 và mặt phẳng gương σh. Vậy ngoài hai yếu tố đối xứng đã cho từ trước là trục quay C6 và mặt phẳng gương σh trực giao với nhau còn có một yếu tố đối xứng thứ ba là tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của chúng. 103/166 15) Nhóm C6v là một nhóm đối xứng của hình trụ thẳng đứng mà đáy là hình lục giác đều, gồm sáu yếu tố của nhóm con C6 và sáu phép phản xạ gương qua sáu mặt phẳng gương chứa trục quay. Trên hình 3.8 ta vẽ hình lục giác đều là đáy của hình trụ và các giao tuyến của các mặt phẳng gương nói trên với mặt phẳng đáy. 104/166 Họ các nhóm điểm Sn Ta định nghĩa phép quay – phản xạ gương Sn là tổ hợp của phép quay Cn quanh một trục nào đó và phép phản xạ gương σh qua một mặt phẳng gương σh trục giao với trục quay. Bây giờ trục quay này được gọi là trục quay – phản xạ gương Sn. Vì Cn và σh giao hoán với nhau nên thứ tự của chúng trong định nghĩa của Sn không quan trọng. Vì rằng σ2h = E cho nên Nhóm vòng sinh ra bởi các phép quay – phản xạ gương Sn gọi là nhóm Sn . Theo công thức (26) nhóm giao hoán Sn chứa tất cả các phép quay – phản xạ gương lẫn các phép quay nếu n > 2. Trong trường hợp đặc biệt n = 2 ta có S2n = C2n = E cho nên nhóm vòng S2 chỉ có hai yếu tố là E và S2. Theo công thức σhC2 = C2σh = i ta lại có S2 = i. Vậy nhóm S2 trùng với nhóm Ci đã trình bày ở trên. Xét trường hợp n = 3. Nhóm giao hoán S3 có sáu yếu tố khác nhau sau đây: E, S3 = σhC3, S23 = C23, S23 = C23, S33 = σh, S43 = C43, S53 = σhC23. Đó chính là sáu yếu tố của nhóm C3h đã trình bày ở trên. Vậy chỉ có hai nhóm Snvới n = 4 và n = 6 là hai nhóm mới. 1) Nhóm S4 là nhóm giao hoán gồm bốn yếu tố E, S4 = σhC4, S24 = C2, S34 = S4− 1, vì rằng S44 = E. Chỉ có một yếu tố đối xứng là trục quay – phản xạ gương S4. 2) Nhóm S6 là nhóm giao hoán gồm sáu yếu tố E, S6 = σhC6, S26 = C3, S36 = σhC2 = i, S46 = C3− 1, S56 = σhC6− 1. Ngoài trục quay – phản xạ gương S6 còn có một yếu tố đối xứng nữa là tâm nghịch đảo i nằm trên trục quay S6. 105/166 Họ các nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd Mỗi nhóm điểm Dn gồm các phép quay của nhóm con Cn, n phép quay góc πquanh n trục C2 trực giao với trục quay Cn và các tổ hợp của chúng. Số nguyên n có thể có cả bốn giá trị 2, 3, 4, 6. Mỗi nhóm điểm Dnh gồm các phép quay của nhóm con Dn, phép phản xạ gương qua một mặt phẳng gương chứa các trục quay C2 của nhóm con này và các tổ hợp của chúng. Số nguyên n cũng có thể có cả bốn giá trị 2, 3, 4, 6. Mỗi nhóm điểm Dnd gồm các phép quay của nhóm điểm Dn, các phép phản xạ gương qua n mặt phẳng gương (chứa trục quay Cn) là cac mặt phẳng phân giác của các góc giữa hai trục quay C2, và các tổ hợp của chúng. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nhóm điểm Dnd chỉ có thể là một nhóm điểm tinh thể học nếu n có hai giá trị 2 và 3. Như vậy trong họ đang xét ta có 10 nhóm điểm tinh thể học sau đây. 1) Nhóm D2 có ba yếu tố đối xứng là các trục quay C2 vuông góc với nhau từng đôi một (xem hình 3.9). Trong một phép quay C2 quanh một trục nào đó mỗi trục khác chuyển thành chính nó nhưng đổi chiều ngược lại. 2) Nhóm D3 có bốn yếu tố đối xứng là một trục quay C3 và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.10 ta kẻ cả ba trục quay C2 đó, chọn một trục quay trùng bởi trục tọa độ Ox. Trục quay C3 trực giao với mặt phẳng hình vẽ đi qua giao điểm O của ba trục quay C2. 106/166 3) Nhóm D4 có 5 yếu tố đố xứng là một trục quay C4 và bốn trục quay C2 trực giao với trục quay C4 và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.11 ta kẻ cả bốn trục quay C2 đó, chọn hai trục quay trùng với hai trục tọa độ Ox và Oy. Khi đó hai trục quay C2 khác là các đường phân giác của hai góc vuông tạo bởi các trục Ox và Oy. Trục quay C4 trực giao với mặt phẳng hình vẽ và đi qua giao điểm O của các trục quay C2. 107/166 4) Nhóm D6 có bảy yếu tố đối xứng là một trục quay C6 và nằm trong cùng một mặt phẳng. Trên hình 3.12 ta kẻ sáu trục quay C2 đó, chọn hai trục trùng với các trục tọa độ Ox và Oy. Góc giữa hai trục quay C2 là một bội số của π6 . Trục quay C6 trực giao với mặt phẳng hình vẽ và đi qua giao điểm O của các trục quay C2. 5) Nhóm D2h gồm các yếu tố của nhóm con D2, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σhchứa hai trục quay C2 và các tổ hợp của chúng. Ngoài các yếu tố đối xứng của nhóm D2 là ba trục quay C còn có thêm hai yếu tố đối xứng là mặt phẳng gương σh và tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của ba trục quay. 6) Nhóm D3h gồm các yếu tố của nhóm con D3, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh chứa ba trục quay C2 và các tổ hợp của chúng. Các yếu tố đối xứng là: trục quay C3, ba trục quay C2 trực giao với trục quay C3 và nằm trong cùng một mặt phẳng, mặt phẳng gương σh chứa ba trục quay C2. 7) Nhóm D4h gồm các yếu tố của nhóm con D4, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh chứa bốn trục quay C2 và các tổ hợp của chúng. Các yếu tố đối xứng là: trục quay C4, bốn trục quay C2 trực giao với trục quay C4 và nằm trong cùng một mặt phẳng, mặt phẳng gương σh chứa bốn trục quay C2 và tâm nghịch đảo i trùng với giao điểm của các trục quay. 8) Nhóm D6h gồm các yếu tố con của nhóm D6, phép phản xạ gương qua mặt phẳng gương σh chứa sáu trục quay C2 và các tổ hợp của chúng. Ngoài các yếu tố đối xứng đã biết của nhóm D6 còn có hai yêu tố đối xứng nữa là mặt phẳng gương σh và tâm ngịch đảo i trùng với giao điểm của các trục quay. 108/166 9) Nhóm D2d gồm các yếu tố của nhóm con D2, hai phép phản xạ gương σd, σ'dqua hai mặt phẳng gương chứa một trục quay C2 và là hai mặt phẳng phân giác của hai góc vuông tạo bởi hai trục quay C2 kia, và các tổ hợp của chúng. Ta cũng gọi hai mặt phẳng gương là σd và σ'd. Ta chọn giao tuyến của hai mặt phẳng gương này (một trục quay C2) làm trục Oz, chọn hai trục quay C2 trực giao với Oz làm hai trục Ox và Oy. Trên hình 3.13 ta vẽ hai giao tuyến của hai mặt phẳng gương σv, σ'v với mặt phẳng tọa độ xOy. Ba trục quay C2 và hai mặt phẳng gương σv, σ'v là các yếu tố đối xứng. 10) Nhóm D3d gồm các yếu tố của nhóm con D3, ba phép phản xạ gương qua ba mặt phẳng gương σd, σ'd, σ''d chứa trục quay C3. Trên hình 3.14 ta vẽ ba giao tuyến của ba mặt phẳng gương σd, σ'd, σ''d với mặt phẳng tọa độ xOy chứa ba trục quay C2. Trục quay C2 và ba mặt phẳng gương σd, σ'd, σ''d là các yếu tố đối xứng. Cuối cùng ta hãy thử lại rằng không thể có nhóm điểm tinh thể học loại Dnd với n là một trong hai số nguyên 4 hoặc 6. Ta hãy xét kỹ nhóm D4d. Với nhóm D6d có thể lặp lại các lập luận tương tự. 109/166 Nhóm D4d chứa các yếu tố của nhóm con D4 đã biết ở trên. Ta chọn trục quay C4 làm trục tọa độ Oz, chọn mặt phẳng chứa các trục quay C2 làm mặt phẳng tọa độ xOy, chọn hai trục quay C2 trực giao với nhau làm hai trục tọa độ Ox và Oy. Hai trục quay C2 kia hướng theo hai đường phân giác của hai góc vuông tạo bởi hai trục Ox và Oy. Hình vuông tâm O trên mặt phẳng xOy với hai cạnh song song với hai trục tọa độ (hình 3.15) có tính chất đối xứng (bất biến) đối với tất cả các phép biến đỏi của nhóm con D4. Ngoài các yếu tố đối xứng của nhóm D4 là trục quay C4 và bốn trục quay C2 ta hãy thử đưa thêm các yếu tố đối xứng mới là bốn mặt phẳng phân giác của các góc π4 tạo bởi các trục quay C2 từng đôi một, và xét các phép phản xạ gương σd, σ'd, σ''d, σ'''d qua bốn mặt phẳng gương này (hình 3.16). Rõ ràng rằng hình vuông đối xứng (bất biến) đối với nhóm con D4 không thể đối xứng (bất biến) đối với các phép phản xạ gương σd, σ'd , σ''d, σ'''d . Trái lại, trong các phép phản xạ gương này hình vuông đã cho chuyển thành một hình vuông đồng tâm khác đã quay đi một góc π8 so với hình vuông ban đầu (hình 3.17). Phối hợp cả hai hình vuông ta được một hình sao tám cạnh đối xứng với nhóm C8 mà trục quay là trục Oz. Vậy nhóm D4d phải chứa nhóm con C8. Nhưng ta lại biết rằng không có nhóm điểm tinh thể học nào chứa nhóm con C8. Vậy D4d không thể là nhóm điểm tinh thể học. Nhóm D6d cũng không thể là nhóm điểm tinh thể học. 110/166 Tóm lại, trong các nhóm Dn, Dnh và Dnd có 10 nhóm điểm tinh thể học đã trình bày ở trên. Trong số các mặt phẳng tạo bởi các trục quay giao nhau là các yếu tố đối xứng của các nhóm điểm đang xét luôn luôn có các cặp mặt phẳng trực giao với nhau từng đôi một. Do đó các nhóm điểm này tạo thành một họ gọi là họ nhị diện (dihedral). 111/166 Họ các nhóm điểm T, Th, Td Họ này có ba nhóm, trong đó T và Td là các nhóm đối xứng của hình tứ diện đều, còn Th có một số yếu tố là các phép đối xứng của hình tứ diện đều. 1) Nhóm các phép quay không làm thay đổi vị trí củ một hình tứ diện đều, mà chỉ làm cho các đỉnh của nó đổi chỗ cho nhau, gọi là nhóm T. Để thấy được rõ hơn các phép quay nào là phép quay đối xứng của hình tứ diện đều ta vẽ hình này lồng vào trong một hình lập phương (hình 3.18a). Trong các phép quay C2 quanh ba trục quay mà mỗi trục đi qua tâm điểm O của hình lập phương và qua hai tâm điểm của hai hình vuông là hai mặt bên song song với nhau của hình lập phương thì tứ diện đều không thay đổi vị trí. Hình tứ diện đều cũng đối xứng với các phép quay C3 và C23quanh bốn trục quay đi qua tâm điểm O của hình lập phương và bốn cặp đỉnh xuyên tâm đối của nó. Các trục quay này đi qua tâm điểm của các hình tam giác đều là các mặt bên của hình tứ diện đều. Vậy nhóm T có 12 yếu tố sau đây: E, 3C2, 4C3, 4 C23. Các yếu tố đối xứng là: ba trục quay C2 và bốn trục quay C3. Để lập bảng nhân nhóm ta hãy viết ra các ma trận của các phép quay thuộc nhóm T. Từ tâm điểm O của hình lập phương ta hãy kẻ ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz trực giao với ba mặt bên kề nhau của hình lập phương và vẽ ba vectơ đơn vị ex, ey, ez dọc theo ba trục tọa độ này. Các trục tọa độ đồng thời là ba trục quay C2 của nhóm T. Ta ký hiệu các phép quay tương ứng là C2(ex) C2(ey) C2(ez). Các phép quay này biến đổi các vectơ đơn vị như sau: C2 (ex ) : ex → ex , ey → ey , ez → ez ; C2 (ey ) : ex → - ex , ey → ey , ez → - ez ; C 2 (e z ) : e x → - e x , e y → - e y , e z → e z . 112/166 Do đó các phép quay này có các ma trận sau đây: Ta chọn vectơ n1 = x + y + z làm một trục quay C3 (hình 3.18b) và ký hiệu các phép quay của nhóm C3 quanh trục này là C3(n1) và C3(n1)2 = C3(n1)-1. Sau mỗi phép quay C2(ex) C2(ey) C2(ez) vectơ n1 chuyển thành các vectơ sau đây: C2(ex) : n1 → n2 = ex + (- ey) + (-ez); C2(ey) : n1 → n3 = (-ex) + ey + (-ez); C2(ez) : n1 → n4 = (-ex) + (- ey) + ez . Bốn vectơ n1, n2, n3, n4 là bốn trục quay C3 của nhóm T. Trong các phép quay C3 quanh bốn trục này các vectơ đơn vị biến đổi như sau: C3 (n1) : ex → ey, ey → ez , ez → ex , C3 (n2 ) : ex → - ey , ey → ez , ez → - ex , C3 (n3 ) : ex → - ey , ey → - ez , ez → ex , C3 (n4) : ex → ey, ey → - ez, ez → - ex. 113/166 Vậy các phép quay C3 của nhóm T có các ma trận Lấy bình phương các ma trận (28), ta thu được ma trận của các phép quay C23 = C3− 1cụ thể là Bằng cách nhân các ma trận xác định bởi các công thức (27), (28), (29) từng đôi một, ta suy ra các quy tắc nhân nhóm. Thí dụ 114/166 Cuối cùng ta hãy xét xem nhóm T gồm bao nhiêu lớp các yếu tố liên hợp, và đó là những lớp nào. Yếu tố đơn vị E là một lớp. Để tìm lớp các yếu tố liên hợp với yếu tố C2(ex) ta hãy dùng các biểu thức (27), (28), (29) của các yếu tố của nhóm T và tính tất cả các tích có dạng g -1C2(ex) với mọi yếu tố g của nhóm này. Thí dụ như nếu ta lấy g là C3(n1), C3(n2), C3(n3), C3(n4) thì ta có còn nếu lấy g là C3(n1)-1, C3(n2)-1, C3(n3)-1, C3(n4)-1 thì ta thu được 115/166 Ngoài ra từ các hệ thức (30a) ta có ngay Các biểu thức (31a) – (31c) của các yếu tố g -1C2(ex)g cũng như các biểu thức của các yếu tố g -1C2(ey)g và g -1C2(ez) g mà ta có thể xác lập một cách tương tự chứng tỏ rằng ba phép quay C2 là C2(ex), C2(ey), C2(ez) tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Để tìm lớp các yếu tố liên hợp với C3(n1) ta hãy tính tất cả các tích có dạng g-1C3(n1)g với mọi yếu tố g của nhóm T. Ta có Các hệ thức trên chứng tỏ rằng bốn phép quay C3 là C3(n1), C3(n2), C3(n3), C3(n4) liên hợp với nhau và tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Lấy nghịch đảo cả hai vế của mỗi hệ thức trong số tất cả các hệ thức (32a), (32b), (32c) ta thu được các hệ thức chứng tỏ rằng bốn phép quay C23 = C3− 1 là C3(n1)-1, C3(n2)-1, C3(n3)-1, C3(n4)-1 liên hợp với nhau 116/166 và tạo thành một lớp các yếu tố liên hợp. Vậy nhóm T chia thành bốn lớp các yếu tố liên hợp; C1 = {E} , C2 = {C2(ex)C2(ey)C2(ez)} , C3 = {C3(n1),C3(n2),C3(n3),C3(n4)} , C 4 = {C3(n1)2,C3(n2)2,C3(n3)2,C3(n4)2} , Ta cũng có thể thu được kết quả này một cách nhanh chóng mà không cần phải sử dụng hang loạt công thức (30a)-(32c), nếu ta áp dụng mệnh đề sau đây: nếu trong một nhóm G có hai phép quay Ck(φ), Cl(φ)cùng một góc φquanh hai trục k, l và một phép quay R chuyển trục nọ thành trục kia, k = Rl, Rin: 2 args.G, Ck(φ)in: 2 args.G, Cl(φ)in: 2 args.G, thì hai phép quay Ck(φ) và Cl(φ) liên hợp với nhau. Ta có thể chứng minh mệnh đề này giống như đã chứng minh một mệnh đề tương tự đối với nhóm quay SO(3) trong Chương I. Hai trục quay k và l trong mệnh đề nói trên là hai trục quay tương đương. Trong trường hợp nhóm T ba trục quay ex , ey , ez của các phép quay C2 tương đương với nhau, bốn trục quay n1, n2, n3, n4 của các phép quay C3 và C23cũng tương đương với nhau, lớp C2 gồm ba phép quay cùng một góc π quanh ba trục tương đương, lớp C3 gồm ba phép quay góc 2π3 quanh bốn trục tương đương và C4 gồm bốn phép quay góc 4π3 quanh bốn trục tương đương. 2) Nhóm Th là tích trực tiếp của nhóm T và nhóm Ci: Th = T ⊗ C i Nhóm này gồm 24 yếu tố: 12 phép quay không thay đổi vị trí của một hình tứ diện đều và 12 phép quay – nghịch đảo mà mỗi phép quay – nghịch đảo là tổ hợp của một phép quay nói trên và phép nghịch đảo i đối với tâm điểm của hình tứ diện. Các yếu tố đối xứng là: ba trục quay C2, bốn trục quay C3 và tâm nghịch đảo i. Nhóm Th gồm tám lớp các yếu tố liên hợp: C1 = {E} , C2 = {3C2} ,C3 = {4C3} , C4 = {4C23} , C5 = {i} , C6 = {3iC2} , C7 = {4iC3} , C8 = {4iC23} . 117/166 Vì phép nghịch đảo i không phải là phép đối xứng của hình tứ diện, mà lại chuyển hình này sang một vị trí khác, như chúng ta có thể thấy một cách dễ dàng trên hình 3.18a, cho nên Th không phải là nhóm đối xứng của hình tứ diện. 3) Nhóm Td gồm tất cả các phép đối xứng của hình tứ diện và được gọi là nhóm tứ diện (tetrahedral). Các yếu tố của nhóm T đều là các yếu tố của nhóm Td, do đó T là nhóm con của nhóm Td. Nhìn hình vẽ 3.18a ta thấy ngay rằng nếu ta lấy ba trục C4 trùng với ba trục C2 của nhóm T, thực hiện phép quay C4 hoặc C34 = C4− 1quanh các trục này rồi thực hiện tiếp luôn phép nghịch đảo i, thì sau cả hai phép biến đổi liên tiếp đó hình tứ diện đều trở về vị trí cũ. Vậy mỗi tổ hợp của phép quay C4 hoặc C4− 1 với phép nghịch đảo i là một phép đối xứng của hình tứ diện đều và do đó là một yếu tố của nhóm Td. Ta hãy tưởng tượng là có một mặt phẳng σdchứa hai đường chéo song song với nhau của hai hình vuông là hai mặt bên song song với nhau của hình lập phương. Nhìn hình vẽ 3.18a ta thấy ngay rằng mặt phẳng σd này chứa một cạnh của hình tứ diện đi qua trung điểm của một cạnh khác không có đỉnh chung với nó và chia hình tứ diện thành hai phần đối xứng với nhau. Có tất cả sáu mặt phẳng gương loại này. Sáu phép phản xạ gương σd qua sáu mặt phẳng gương đó cũng là sáu yếu tố của nhóm Td. Vậy nhóm Td có 24 yếu tố E, 3C2, 4C3, 4C3− 1, 3iC4, 3iC34, 6σd. Chú ý rằng giữa các phép quay Cn, Cn− 1 quanh một mặt phẳng chứa trục quay ta có hệ thức Vì trong nhóm Td có các phép phản xạ gương chứa trục quay cho nên các phép quay C3 và C3− 1liên hợp nhau, các phép quay – nghịch đảo iC4 và iC34liên hợp với nhau. Do đó nhóm Td gồm năm lớp các yếu tố liên hợp: C1 = {E} , C2 = {3C2} ,C3 = {8C3} = {4C34C-1 3} , C4 = {6iC4} = {3iC4,3iC34} , C5 = {6σd} . Các yếu tố đối xứng là: ba trục quay C2, ba trục quay – nghịch đảo iC4, bốn trục quay C3 và sáu mặt phẳng gương σd. 118/166 Họ các nhóm điểm O , Oh 1) Nhóm O gồm tất cả các phép quay làm các đỉnh của một hình lập phương đổi chỗ cho nhau nhưng không làm thay đổi vị trí của hình lập phương đó (hình 3.19). Các phép quay đó là: • Các phép quay C4, C24 = C2, C34 = C4− 1 quanh ba trục quay C4 mà mỗi trục quay này đi qua tâm của hai hình vuông là hai mặt bên song song của hình lập phương. • Các phép quay C3, C23 = C3− 1quanh bốn trục quay C3 mà mỗi trục quay đi qua hai đỉnh của hnfh lập phương đối xứng đối với nhau qua tâm nghịc đảo là tâm của hình lập phương. • Các phép quay C2 quanh sáu trục quay C2 mà mỗi trục quay đi qua trung điểm của hai cạnh bên song song của hình lập phương đối xứng đối với nhau qua tâm nghịch đảo là tâm của hình lập phương. Vậy nhóm O có 24 yếu tố sau đây: E, 3C4, 3C24, 3C34, 4C3, 4C23, 6C2. Các yếu tố đối xứng nhau là: ba trục quay C4, bốn trục quay C3 và sáu trục quay C2. Ta hãy vẽ một hình bát diện đều có sáu đỉnh nằm tại sáu tâm điểm của sáu hình vuông là sáu mặt bên của hình lập phương (hình 3.19). Các phép quay thuộc nhóm O vừa nói ở trên cũng là các phép đối xứng của hình bát diện đều (octahedron). Vì vậy ta ký hiệu nhóm đó là nhóm O. 119/166 Bây giờ ta xét xem nhóm O tách ra thành các lớp các yếu tố liên hợp nào. Ta có thể làm việc này mà không cần viết tường minh bảng nhân nhóm, chỉ cần nhắc lại rằng hai phép quay cùng một góc quanh hai trục quay tương đương là hai yếu tố liên hợp với nhau. Áp dụng cho các phép quay quanh các trục C4, ta thấy rằng có hai lớp các yếu tố liên hợp 3C4 + 3C4− 1 và 3C2; áp dụng cho các trục quay C3 ta thấy rằng có một lớp 6C2; chính yếu tố đơn vị E là một lớp. Vậy nhóm O tách thành năm lớp các yếu tố liên hợp sau đây: C1 = {E}, C2 = {6C2},C3 = {4C34C-1 3 }, 2 C4 = {3C43C-1 4 }, C5 = {3C4}. Để diễn đạt một cách tường minh các yếu tố của nhóm O dưới dạng một bảng thường dùng cách sau đây. Ta chọn gốc tọa độ Descartes tại điểm cố định của nhóm điểm O và lấy một điểm M với các tọa độ Descartes x, y, z. Trong phép biến đổi g của nhóm O điểm này chuyển thành một điểm M’ có các tọa độ Descartes x’, y’, z’ biểu diễn qua các tọa độ x, y, z của điểm M. Ta lập một bảng gồm hai cột, cột thứ nhất ghi tên các phép biến đổi g của nhóm O, cột thứ hai ghi các biểu thức của x’, y’, z’ qua x, y, z. Các phép quay trong nhóm O được ký hiệu như sau. • Có ba phép quay C4 quanh ba trục Ox, Oy, Oz được ký hiệu là Cx4, Cy4, Cz4. Các trục quay tương ứng được xác định bởi các phương trình sau đây: Cx4 : y = z = 0, Cy4 : z = x = 0, Cz4 : x = y = 0. • Có sáu trục quay C2, mỗi trục quay là một đường thẳng được xác định bởi một hệ hai phương trình bậc nhất và được ký hiệu như sau: ¯ yz Cyz 2 : x = 0, y = z , C2 : x = 0, y = - z, ¯ zx Czx 2 : y = 0 , z = x , C2 : y = 0, z = - x ¯ xy Cxy 2 : z = 0, x = yC2 : z = 0, x = - y • Có bốn trục quay C3, mỗi trục quay là một đường thẳng xác định bởi một hệ hai phương trình bậc nhất và được ký hiệu như sau: ¯ xyz Cxyz 3 : x = y = z , C3 : x = - y = z, 120/166 ¯ ¯ z C3xyz : - x = y = z , Cxy 3 : x = y = - z. Ta có bảng sau đây: Nhóm O Ta cũng có thể viết các tọa độ x, y, z của một điểm M dưới dạng ma trận một cột 121/166 (x, y, z) và diễn tả tác dụng của phép biến đổi điểm g chuyển điểm này thành điểm M’ có tọa độ x’, y’, z’ dưới dạng tác dụng của một ma trận vuông 3 x 3 cũng ký hiệu là g lên cột đã cho: (x', y', z') = g (x, y, z) Nhìn bảng các yếu tố của nhóm O ta có thể viết ngay dạng tường minh của 24 ma trận như sau: 122/166 Nhóm T là một nhóm con của nhóm O. Nó có 12 yếu tố: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯¯ xyz xyz xy z xyz 2 xyz 2 xyz 2 x yz 2 E, Cx2, Cy2, Cz2, Cxyz 3 , C3 , C3 , C3 , (C3 ) , (C3 ) , (C3 ) , (C3 ) . 123/166 Ngoài 12 yếu tố này nhóm Td còn chứa 12 yếu tố sau đây: ¯ ¯ ¯ xy yz yz zx zx i Cx4, i Cy4, i Cz4, i (Cx4) − 1, i (Cy4) − 1, i (Cz4) − 1, i Cxy 2 , i C2 , i C2 , iC2 , i C2 , i C2 . Tích của hai yếu tố loại này bằng một yếu tố của nhóm T. Nếu tat hay thế tất cả các yếu tố loại thứ hai này bằng phép quay tương ứng. ig → g thì nhóm Td trở thành nhóm O. Vì phép thay thế này phù hợp với phép nhân nhóm nên ta kết luật rằng nhóm Td đẳng cấu với nhóm O. 2) Nhóm Oh gồm tất cả các phép đối xứng của hình lập phương, trong đó có 24 phép quay là các yếu tố của nhóm con O, ngoài ra còn có 24 tổ hợp của mỗi phép quay đó với phép nghịch đảo i đối với tâm nghịch đảo là tâm của hình lập phương. Vậy nhóm Oh có 48 yếu tố và có thể được xem như là tích trực tiếp của nhóm con O và nhóm con Ci: Oh = O ⊗Ci. Các yếu tố của nhóm Oh cũng là cá phép đối xứng của hình bát diện đều vẽ lồng trong hình lập phương (hình 3.19). Do đó nhóm Oh còn được gọi là nhóm bát diện (octahedral). Vì nhóm con O có năm lớp các yếu tố liên hợp, nhóm Ci có hai yếu tố nên Oh tách ra thành mười lớp các yếu tố liên hợp: C1, C2, C3, C4, C5 như nhóm O và C6 = iC1, C7 = iC2, C8 = iC3, C9 = iC4, C10 = iC5 . 124/166 Sự đối xứng của các phân tử Một phân tử được gọi là bất đối xứng nếu không có phép quay, phép nghịch đảo, phép phản xạ gương nào hoặc một tổ hợp nào của các phép biến đổi này làm cho các nguyên tử cùng một loại của phân tử đổi chỗ cho nhau nhưng không làm thay đổi vị trí của phân tử (nghĩa là làm cho phân tử chuyển sang một vị trí mới giống như vị trí cũ vì có nhiều nguyên tử thuộc cùng một loại). Trái lại, nếu có các phép biến đổi cứng nói ở trên mà sau đó phân tử chuyển sang một vị trí giống như vị trí trước khi thực hiện phép các biến đổi này, thì ta nói rằng phân tử có tính đối xứng (bất biến) đối với các phép biến đổi đó, còn các phép biến đổi này thì được gọi là cá phép đối xứng của phân tử. Chúng tạo thành nhóm đối xứng của phân tử. Nếu tất cả các nguyên tử của một phân tử nào đó đều được sắp xếp dọc theo một đường thẳng được gọi là trục của phan tử thì phân tử được gọi là phân tử thẳng. Vị trí của mọi nguyên tử trong một phân tử thẳng đều được giữ cố định trong các phép quay góc bất kỳ quanh trục quay là trục của phần tử cũng như trong các phép phản xạ gương qua các mặt phẳng gương chứa trục của phân tử. Vậy mọi nhóm Cnv với trục quay Cn trùng với trục của phần tử và với n bất kỳ đều là nhóm đối xứng của các phân tử thẳng. Ta nói rằng các phân tử thẳng đối xứng đối với nhóm C ∞ v. Nếu một phân tử thẳng có một tâm nghịch đảo i nằm trên trục của phân tử, gọi là tâm đối xứng của nó, thì trong mỗi phép quay C2 quanh một trục bất kỳ trực giao với trục của phân tử tại tâm đối xứng i của nó phân tử sẽ chuyển sang một vị trí giống như vị trí ban đầu. Vậy nếu một phân tử thẳng có một tâm đối xứng i nắm trên trục của phân tử, thì vô số trục quay C2 trực giao với trục của phân tử cũng là các yếu tố đối xứng của nó. Phân tử cũng đối xứng đối với phép phản xạ gương, σh qua mặt phẳng gương tực giao với trục của phân tử tại tâm i. Vậy tất cả các tinh thể thẳng có tâm nghịch đảo đều đối xứng đối với các nhóm Dnh với n bất kỳ. Ta nói rằng các phân tử này đối xứng đối với nhóm D ∞ h. Một thí dụ về phân tử thẳng không có tâm đối xứng là sodium acetylide (hình 3.20a) với công thức chung AB2C, còn carbon suboxide (hình 3.20b) với công thức chung A3B2 cho ta một thí dụ về phân tử thẳng có tâm đối xứng. Các nhóm đối xứng Cnv và Dnh với n khác 2, 3, 4, 6 không phải là các nhóm điểm tinh thể học và do đó chỉ có thể là nhóm đối xứng của các phân tử chứ không thể là nhóm đối xứng của các tinh thể (ba chiều). 125/166 Bây giờ chúng ta trình bày cấu trúc của một phân tử mà nhóm đối xứng của chúng là các nhóm điểm tinh thể học. Nếu ta cũng xét cả nhóm điểm đặc biệt C1 chỉ chứa một yếu tố đơn vị E (phép biến đổi đồng nhất) thì đó là mọt nhóm tầm thường: nhóm đối xứng của tất cả các tinh thể bất đối xứng. Nhóm điểm Ci với hai yếu tố, yếu tố đơn vị E và phép nghịch đảo i đối với một tâm nghịch đảo nào đó, là nhóm đối xứng của tất cả các phân tử có tâm đối xứng. Nhóm điểm C1h = C1v là nhóm đối xứng của tất cả các phân tử mà mỗi phân tử có thể được tách ra thành hai nửa đối xứng với nhau qua một mặt phẳng nào đó, thành thử mỗi nửa là ảnh trong gương của nửa kia. Có rất nhiều phân tử thuộc hai loại này. Nhiều phân tử mà chúng ta xem xét dưới đây cũng đối xứng đối với tâm nghịch đảo hoặc / và đối xứng với mặt phẳng gương. Cấu trúc của một phân tử có nhóm đối xứng C2, trans-1,2-dibromocylopropane, trình bày trên hình 3.21a; ba nguyên tử C nằm trên mặt phẳng yOz, trục quay C2 là trục Oz. Cấu trúc của phân tử nước H2O được trình bày trên hình 3.21b. Ta chọn trục Ox trên đường thẳng đi qua hai nguyên tử H, gốc tọa độ O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai nguyên tử này, trục Oz đi từ gốc tọa độ qua nguyên tử O. Trong phép quay C2 quanh trục Oz hai nguyên tử H đổi chỗ cho nhau, còn cả phân tử H2O thì không dịch chuyển. Phân tử này đối xứng đối với hai mặt phẳng gương là các mặt phẳng tọa độ xOz và yOz. Vậy nhóm đối xứng của phân tử nước là nhóm C2v . Phân tử SO2 có cấu trúc tương tự và do đó cũng có nhóm đối xứng C2v. 126/166 Các nguyên tử của phân tử cis-C2H2Cl2 được sắp xếp trên cungfm ột mặt phẳng một cách đối xứng với một mặt phẳng khác trực giao với mặt phẳng của phân tử (hình 3.21c). Bản thân mặt phẳng của phân tử là một mặt phẳng gương. Phép quay C2 quanh giao tuyến của hai mặt phẳng gương trực giao nói trên cũng là một phép đối xứng của phân tử. Vậy cis-C2H2Cl2 có nhóm đối xứng là C2v. Phân tử trans-dinitrogen difluoride trình bày trên hình 3.21d, phân tử trans-dichloroethylene trình bày trên hình 3.21c và phân tử trans-C2H2Cl2 trình bày trên hình 3.21f, là các phân tử gồm các nguyên tử sắp xếp trên cùng một mặt phẳng được chọn làm mặt phẳng của các hình vẽ nói trên, cùng có các yếu tố đối xứng sau đây: mặt phẳng gương σh chính là mặt phẳng của hình vẽ và trục quay 127/166 C2 trực giao với mặt phẳng của hình vẽ. Các phân tử này có nhóm đối xứng là nhóm C2h. 128/166 Phân tử ammonia NH3 có ba nguyên tử H được sắp xếp ở ba đỉnh của một hình tam giác đều và một nguyên tử N nằm ngoài mặt phẳng của hình tam giác trên đường thẳng đó tại tâm của hình tam giác (hình 3.22a). Đường trực giao này là một trục quay C3, còn ba mặt phẳng chứa trục quay này và đi qua các cạnh của hình tam giác đều tại trung điểm của chúng, nghĩa là các mặt phẳng phân giác của ba góc của hình tam giác đều, là ba mặt phẳng gương. Nhóm đối xứng của phân tử ammonia là nhóm C3v . Phân tử CHCl3 với cấu trúc trình bày ở trên hình 3.22b có các tính chất đối xứng tương tự; nhóm đối xứng của nó cũng là nhóm C3v . Phân tử orthoboric acid có các nguyên tử được sắp xếp trên cùng một mặt phẳng mà ta chọn làm mặt phảng hình vẽ (hình 3.22c). Các nguyên tử cùng mọt loại đổi chỗ cho nhau trong các phép quay C3 và C23 quanh trục quay trực giao với mặt phẳng hình vẽ tại vị trí của nguyên tử B, tâm điểm của phân tử. Mặt phẳng hình vẽ chính là mặt phẳng gương của phân tử. Vậy phân tử orthoboric acid có nhóm đối xứng C3h . 129/166 Phân tử SF5Cl có bốn nguyên tử F được sắp xếp ở bốn đỉnh của một hình vuông, một nguyên tử S nằm ở tâm của hình vuông, còn một nguyên tử F và một nguyên tử Cl nằm ngoài mặt phẳng hình vuông, trên đường thẳng trực giao với mặt phẳng này ở tâm của hình vuông (hình 3.23). 130/166 Trong các phép quay C4, C24, C34 quanh đường thẳng trực giao đó bốn nguyên tử F ở bốn đỉnh của hình vuông đổi chỗ cho nhau, còn nguyên tử F thứ năm và hai nguyên tử S, Cl không dời chỗ. Ngoài ra phân tử còn đối xứng đối với bốn mặt phẳng đi qua các đỉnh của hình vuông và hai mặt phẳng đi qua các tủng diểm các cạnh của hình vuông. Phân tử SF5Cl có nhóm đối xứng là nhóm C4v. Phân tử naphthalene với cấu trúc trình bày trên hình 3.24a có ba yếu tố đối xứng là ba trục quay C2 trực giao với nhau tại tâm nghịch đảo của phân tử, hai trục quay C2 trực giao với mặt phẳng hình vẽ. Vì vậy mặt phẳng hình vẽ cũng lại là một yếu tố đối xứng – mặt phẳng gương, cho nên nhóm đối xứng của phân tử naphthalene là nhóm D2h. Phân tử C2H4 với các nguyên tử sắp xếp trên cùng một mặt phẳng mà ta chọn làm mặt phẳng của hnfh vẽ trên hình 3.24b có tính chất đối xứng đối với phép phản xạ gương qua mặt phẳng này và đối với ba phép quay C2 quanh ba trục quay trực giao với nhau: một trục trực giao với mặt phẳng hình vẽ và hai trục kia nằm trong mặt phẳng này. Do đó phân tử C2H4 cũng có nhóm đối xứng là nhóm D2h . 131/166 Phân tử 1, 3, 5-tribromobenzene với các nguyên tử được sắp xếp trên cùng một mặt phẳng được chọn làm mặt phẳng hình vẽ có các yếu tố đối xứng sau đây (xem hình 3.25): một trục quay C3 trực giao với mặt phẳng hình vẽ tại tâm đối xứng của phân tử, ba trục quay C2 nằm trong mặt phẳng hình vẽ tạo với nhau các góc π3 và 2π3 , và mặt phẳng gương là chính mặt phẳng hình vẽ. Nhóm đối xứng của phân tử này là nhóm D3h. Phân tử SiF4 có bốn nguyên tử F sắp xếp ở bốn đỉnh của một hình tứ diện đều, còn nguyên tử Si thì nằm ở tâm của hình này và cách đều cả bốn nguyên tử F (hình 3.26). Nhóm đối xứng của phân tử SiF4 là nhóm tứ diện Td. 132/166 Phân tử SF6 có sáu nguyên tử F sắp xếp ở sáu đỉnh của một hình bát diện đều, còn nguyên tử S thì nằm ở tâm của hình này và cách đều cả sáu nguyên tử F (hình 3.27). Nhóm đối xứng của phân tử SF6 là nhóm bát diện Oh. Cuối cùng chúng ta chú ý rằng vì các phân tử không có cấu trúc tuần hoàn cho nên có thể có nhiều nhóm điểm Cn , Cnh , Cnv,Dn , Dnh , Dnd , Sn không phải là nhóm điểm tinh thể học mà lại là các nhóm đối xứng của những phân tử nào đó. 133/166 Nhóm điểm của các phân tử có công thức hóa học thuộc một số dạng đơn giản được trình bày trong bảng sau đây: Bảng nhóm điểm của một số loại phân tử 134/166 Sự đối xứng của các tinh thể Trong tinh thể có sự xếp đặt tuần hoàn của các nguyên tử cùng một loại. Do đó vị trí của một tinh thể (vô hạn) không thay đổi nếu ta thực hiện các phép tịnh tiến tinh thể những đoạn R có dạng trong đó a, b, c là ba vectơ không nằm trong cùng một mặt phẳng, còn l, m, n là ba số nguyên. Ta quy ước chọn các vectơ a, b, c trong công thức (34) thế nào để cho dọc theo hướng của mỗi vectơ trong số ba vectơ này thì đó là vectơ có chiều dài ngắn nhất (xem hình 3.28), và gọi là các vectơ tịnh tiến cơ sở Hình hộp mà ba cạnh là ba vectơ tịnh tiến cơ sở được gọi là ô cơ sở. Với ba vectơ tịnh tiến cơ sở a, b, c đã cho điểm cuối của các vectơ R xác định bởi công thức (34) với ba số nguyên tùy ý l, m, n tạo thành một mạng trong không gian gọi là mạng Bravais. Mạng Bravais chia không gian thành các ô cơ sở giống hệt nhau và xếp đặt liên tiếp nhau để lấp kín toàn bộ không gian. Tất cả các nút của mạng Bravais đều nằm ở các đỉnh của các cơ sở và do đó trung bình mỗi ô cơ sở chứa một nút. Với cùng mọt mạng Bravais đã cho ta có thể chọn các ô cơ sở bằng nhiều cách khác nhau. Trên hình 3.29 ta trình bày vài cách lựa chọn ô cơ sở trên cùng một mạng Bravais hai chiều. 135/166 Có những mạng Bravais đối xứng với một nhóm điểm nào đó, song các ô cơ sở của nó thì dù cho có chọn bằng cách nào đi nữa vẫn không thể đối xứng với nhóm điểm này. Thí dụ như mạng Bravais hai chiều trên hình 3.30 đối xứng đối với nhóm quay C6 quanh các trục đi qua các nút bất kỳ của mạng và trực giao với mặt phẳng hình vẽ, song ô cơ sở lại là hình bình hành và không đối xứng đối với nhóm này. Khi mà ô cơ sở không có các tính chất đối xứng của mạng Bravais, nghĩa là không đối xứng đối với tất cả các phép biến đổi điểm là các phép đối xứng của mạng Bravais, thì thay cho ô cơ sở ta dùng ô cơ sở đối xứng được định nghĩa như sau. Một hình đa diện với các đỉnh là các nút của một mạng Bravais được gọi là một ô đối xứng nếu nó có tất cả các tính chất đối xứng của mạng này, nghĩa là nếu nó đối xứng (bất biến) đối với tất cả các phép biến đổi của một nhóm điểm là nhóm đối xứng của mạng Bravais đã cho. Ô đối xứng có thể tích nhỏ nhất gọi là ô cơ sở đối xứng. Nếu ô cơ sở có tất cả các tính chất đối xứng của mạng Bravais thì chính nó là ô cơ sở đối xứng. Nếu không phải là như vậy thì ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của một ô cơ sở đối xứng ô này còn chứa thêm các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của nó hoặc tại tâm điểm các mặt ngoài của nó. Thí dụ như trong mạng Bravais hai chiều vẽ trên hình 3.30 ô cơ sở đối xứng là hình lục giác đều vẽ bằng đường chấm chấm và tâm của hình lục giác này cũng là một nút của mạng Bravais, còn ô cơ sở là các hình bình hành vẽ bằng đường liền nét. Để đặc trưng các ô cơ sở đối xứng một cách định lượng ta sử dụng các đại lượng hình học sau đây. Từ một đỉnh của ô cơ sở đối xứng ta vẽ ba vectơ a, b, c không nằm trong cùng một mặt phẳng nối liền đỉnh này với ba đỉnh gần nhất của ô đó. Ba góc α,β,γ giữa các vectơ a, b, c từng đôi một và hai tỷ số giữa các chiều dài a, b, c của ba vectơ này hoàn toàn xác định các tính chất đối xứng của ô đang xét. 136/166 Vì một ô cơ sở đối xứng nào đó có thể chứa các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của nó hoặc tại tâm điểm các mặt ngoài của nó, mà lại cũng có thể không chứa nút nào ngoài các đỉnh của nó, cho nên có nhiều mạng Bravais khác nhau với cùng một ô cơ sở đối xứng. Tất cả các mạng Bravais có chung nhau một ô cơ sở đối xứng tạo thành một hệ. Các mạng Bravais trong cùng một hệ có các tính chất đối xứng giống nhau; đó là các tính chất đối xứng của ô cơ sở đối xứng của các mạng trong hệ này. Sự phân loại các mạng Bravais thành các hệ chính là sự phân loại căn cứ vào các tính chất đối xứng của chúng. Có tất cả 14 mạng Bravais, chia thành bảy hệ như sau. 1. Hệ lập phương (cubic) α = β = γ = 900,a = b = c Ô cơ sở đối xứng là hình lập phương. Các mạng của hệ này gọi là các mạng lập phương. Có ba trường hợp tương ứng với ba mạng lập phương khác nhau. a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng (hình 3.31a), không có nút nào ở trong thể tích hoặc tại những điểm không phải là đỉnh trên mặt ngoài; ô cơ sở đối xứng chính là ô cơ sở. Mạng Bravais được gọi là mạng lập phương đơn (simple). 137/166 b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ô này còn chứa thêm một nút của mạng Bravais tại tâm điểm của nó (hình 3.31b). Mạng Bravais được gọi là mạng lập phương tâm thể (body - centered). c) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ô này còn chứa thêm các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của tất cả các hình vuông là các mặt ngoài của hình lập phương (hình 3.31c). Mạng Bravais được gọi là mạng lập phương tâm diện (face - centered). 2. Hệ tứ giác (tetragonal) α = β = γ = 900,a = b ≠ c Ô cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng đứng đáy vuông mà chiều cao của hình trục có giá trị khác chiều dài của cạnh hình vuông (tứ giác đều) là đáy hình trụ. Các mạng của hệ này gọi là các mạng tứ giác. Ta hãy chứng minh rằng vì chiều cao c có thể có giá trị khác với chiều dài a của cạnh đáy cho nên mỗi mạng tâm diện đồng thời cũng là mạng tâm thể. Thực vậy, xét một ô cơ sở đối xứng của mạng tâm diện (hình 3.32a) với mặt đáy trên là hình vuông có bốn đỉnh A1, A2, A3, A4 và tâm điểm O, bốn mặt xung quanh là bốn hình chữ nhật có các tâm điểm C1, C2, C3, C4, Hình chiếu các điểm C1, C2, C3, C4 trên mặt phẳng đáy là hình vuông C’1, C’2, C’3, C’4. 138/166 Vẽ hình trụ thẳng đứng mà đáy là hình vuông C1C2C3C4 và chiều cao bằng chiều cao c của ô cơ sở đối xứng đang xét của mạng tâm diện. Các giao tuyến của mặt phẳng hình vuông A1A2A3A4 với bốn mặt xung quanh của hình trụ đáy C1C2C3C4 là các cạnh của hình vuông C’1C’2C’3C’4 trên hình 3.32b. Xét thêm bốn hình trụ thẳng đứng có chung bốm mặt bên với hình trụ đáy là hình vuông C1C2C3C4 . Bốn hình trụ này cắt mặt phẳng hình vuông A1A2A3A4 theo bốn hình vuông mà mỗi hình có chung một cạnh với hình vuông C’1C’2C’3C’4 (xem hình 3.32b). Các hình vuông đó chứa bốn nút A1, A2, A3, A4 tại các tâm điểm của chúng, còn tâm điểm O của hình vuông A1A2A3A4 thì trùng với tâm điểm của hình vuông C’1C’2C’3C’4. Nút O và các nút A1, A2, A3, A4 của mạng tâm diện đang xét lại cũng chính là tâm điểm của hình trụ thẳng đứng đáy là hình vuông C1C2C3C4 và bốn hình trụ thẳng đứng khác mà mỗi hình có chung một mặt bên với hình trụ đáy vuông C1C2C3C4 – các ô cơ sở đối xứng của mạng tâm thể. Vậy mạng tứ giác tâm diện với ô cơ sởdđói xứng là hình trụ thẳng đứng đáy vuông A1A2A3A4 đồng thời là mạng tứ giác tâm thể với ô cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng đứng đáy vuông C1C2C3C4 có cùng chiều cao. Vậy chỉ có hai trường hợp khác nhau: a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng (hình 3.32c). Ta có mạng tứ giác đơn. 139/166 b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng các ô này còn chứa các nút của mạng Bravais tại tâm điểm của chúng (hình 3.32d). Ta có mạng tứ giá tâm thể 3. Hệ trực giao (orthorombic) Ô cơ sở đối xứng là hình hộp chữ nhật mà cả ba cạnh đều khác nhau. Tất cả các cạnh đó trực giao với nhau từng đôi một. Do đó các mạng thuộc hệ này gọi là các mạng trực giao. Có bốn trường hợp khác nhau. a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các nút của các ô cơ sở đối xứng (hình 3.33a). Mạng Bravais là mạng trực giao đơn. 140/166 b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng các ô này còn chứa các nút của mạng Bravais tại các tâm điểm của chúng (hình 3.33b). Trong trường hợp này ta có mạng trực giao tâm thể. c) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng các ô này còn chứa các nút của mạng Bravais tại tâm điểm tất cả các hình chữ nhật là các mặt ngoài của chúng (hình 3.33c). Mạng Bravais được gọi là mạng trực giao tâm diện. 141/166 d) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ô này còn chứa thêm hai nút của mạng Bravais tại tâm điểm của hai hình chữ nhật là hai mặt ngoài song song của nó (hình 3.33d). Ta gọi hai hình chữ nhật có chứa thêm nút tại tâm điểm là hai mặt đáy. Trong trường hợp này mạng Bravais được gọi là mạng trực giao tâm đáy (base - centered). 4. Hệ đơn tà (monoclinic) α = β = 900,γ ≠ 900,a ≠ b ≠ c Ô cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng đứng mà đáy là hình bình hành; cả ba cạnh có chiều dài khác nhau. Ta có thể thu được ô cở sở đối xứng này bằng cách lấy một hình hộp chữ nhật ba cạnh có chiều dài khác nhau, giữ nguyên hướng của các mặt đáy và một cặp mặt bên nhưng làm cho hướng của cặp mặt bên thứ hai bị xiên đi ( γ từ 900 trở nên khác 900). Vì thế các mạng thuộc hệ này gọi là các mạng đơn tà. Có hai trường hợp: a) Tất cả các nút của mạng Bravais đều là các đỉnh của các ô cơ sở đối xứng (hình 3.34a), mạng Bravais là mạng đơn tà đơn. 142/166 b) Ngoài các nút của mạng Bravais là các đỉnh của ô cơ sở đối xứng mỗi ô này còn chứa hai nút tại tâm điểm của hai mặt đáy hình bình hành (hình 3.34b), mạng Bravais là mạng đơn tà tâm đáy. 5. Hệ tam tà (triclinic) α ≠ β ≠ γ ≠ 900,a ≠ b ≠ c Ô cơ sở đối xứng là hình hộp bình hành xiên ba cạnh khác nhau, cả ba góc giữa các cạnh đều không phải là góc vuông và là các góc nhọn hoặc góc tù tùy ý. Ô cơ sở đối xứng này có thể thu được từ hình hộp chữ nhật bằng cách làm xiên đi theo cả ba hướng. Do đó có tên gọi là hệ tam tà. Phép nghịch đảo là phép đối xứng duy nhất của mạng Bravais tam tà. Vì ô cơ sở đối xứng cũng không đối xứng nên hệ chỉ có một loại mạng là mạng tam tà đơn (hình 3.35). 143/166 6. Hệ lục giác (hexagonal) α = β = 900,γ = 1200,a = b ≠ c Ô cơ sở đối xứng là hình trụ thẳng mà đáy là hình lục giác đều. Ngoài sáu đỉnh là sáu nút của mạng Bravais mỗi mặt đáy còn chứa một nút tại tâm điểm của nó (hình 3.36). Vậy hệ này chỉ có một mạng là mạng lục giác tâm đáy. 7. Hệ tam giác (trigonal) α = β = γ ≠ 900,a = b = c Ô cơ sở đối xứng của mạng này là một hình có tám đỉnh và 12 mặt xung quanh là 12 tam giác cân, thu được bằng cách làm biến dạng hình lập phương như sau. Lấy một hình lập phương mà các cạnh là những đoạn thẳng cứng không thể bị uốn cong, không co dãn được, song các góc giữa các cạnh thì có thể thay đổi khi hình lập phương bị làm biến dạng. Chọn hai đỉnh A và D xuyên tâm đối và lấy đường chéo AD làm một trục cố định (hình 3.37a). 144/166 Kéo hai đỉnh A và D của hình lập phương dọc theo trục cố định này theo hai chiều ngược nhau làm cho hình này dài ra theo hướng AD và bị làm hẹp lại theo các hướng khác, ta thu được một hình mới gọi là rhombohedron (hình 3.37b) mà các cạnh có chiều dài bằng các cạnh của hình lập phương ban đầu, các góc giữa các cạnh trở nên khác góc vuông nhưng ba góc ở đỉnh A cũng như ba góc ở đỉnh D vẫn bằng nhau, còn mỗi hình vuông là mặt xung quanh của hình lập phương ban đầu thì trở thành một hình thoi bị gập lại một chút dọc theo đường chéo ngắn, nghĩa là trở thành hai tam giác cân có chung cạnh đáy và nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Ba đỉnh B1, B2, B3 mà mỗi đỉnh có chung một cạnh với đỉnh A tạo thành một tam giấc đều trên một mặt phẳng trực giao với trục AD. Ba đỉnh C1, C2, C3 mà mỗi đỉnh có mọt canh chung với đỉnh D cũng tạo thành một tam giác đều trên một mặt phẳng khác song song với mặt phẳng tam giác B1B2B3. Ta hãy chọn mặt phẳng chứa tam giác đều B1B2B3 làm mặt phẳng hình vẽ (hình 3.37c) và ký hiệu hình chiếu của tam giác đều C1C2C3 trên mặt phẳng này là C’1C’2C’3 , hình chiếu chung của hai đỉnh A và D là O. Hai tam giác đều B1B2B3 và C’1C’2C’3 có chung nhau tâm điểm O (hình 3.37c). 145/166 Mạng Bravais đang xét có các phép đối xứng là phép đối xứng của hình tam giác đều cho nên nó được gọi là mạng tam giác. Hệ mạng này chí có một mạng đơn. Mỗi mạng trong không gian gồm các mạng hai chiều song song với nhau; mỗi mạng hai chiều là một mạng gồm các nút xếp đặt ở đỉnh của các tam giác đều, mà các nút trên một mặt phẳng thì nằm trên các đường thẳng trực giao với nó và đi qua tâm điểm của các tam giác đều trên mặt phẳng lân cận với nó, cứ ba mặt phẳng liên tiếp thì được một chu kỳ. Trên hình 3.37d ta trình bày hình chiếu của hai mạng phảng trên mặt phẳng của mạng hai chiều thứ ba. Vì ô cơ sở có dạng hình rhombohedrom cho nên hệ này còn có tên là hệ rhombohedral. Chúng ta đã phân loại các mạng Bravais thành bảy hệ căn cứ vào nhóm tất cả phép biến đổi điểm là các phép đối xứng của mạng này, gọi tắt là nhóm đối xứng điểm của nó. Ta lại biết rằng có tất cả 32 nhóm điểm tinh thể học, nghĩa là tinh thể có thể đối xứng đối với một trong 32 nhóm điểm này. Ta hãy xét xem nếu ta biết được nhóm điểm đối xứng 146/166 điểm của tinh thể là nhóm nào thì có thể biết ngay được tinh thể thuộc hệ nào hay không. Trước hết ta chú ý rằng một yếu tố đối xứng điểm của tinh thể cũng phải là một yếu tố đối xứng của mạng Bravais, vì phép biến đổi điểm của tinh thể không thay đổi vịt rí của nó thì cũng không làm thay đổi vị trí của ô cơ sở đối xứng (ngược lại chưa chắc chắn đã đúng, vì một ô cơ sở đối xứng có thể chứa nhiêu nguyên tử, và một phép biến đổi không thay đổi vị trí của ô cơ sở đối xứng vẫn có thể làm thay đổi vị trí của các nguyên tử trong ô này). Ta hxay viết ra tất cả các yếu tố đối xứng điểm của các mạng Bravais thuộc mỗi hệ trong số tất cả bảy hệ. Khi ta cho một tinh thể với một nhóm đối xứng điểm nào đó, ta xem nó có những yếu tố nào, rồi hãy tìm tất cả những hệ có các yếu tố đối xứng này, và chọn hệ có tính chất đối xứng thấp nhất trong số các hệ đó làm hệ của tinh thể đã cho. Ô cơ sở đối xứng của hệ được chọn phản ánh sát nhất các tính chất đối xứng của tinh thể đã cho. Thí dụ như nếu nhóm đối xứng điểm của một tinh thể nào đó chỉ chứa phép quay C2 nhưng không chứa phép quay C4 nào cả, thì tinh thể chỉ có thể thuộc vào hệ mà ô cơ sở đối xứng có trục trục quay bậc hai nhưng không có trục quay bậc bốn, mặc dầu nhóm điểm đã cho cũng có thể là nhóm con của một nhóm đối xứng C4. Bây giờ ta xét từng hệ và tìm xem mỗi hệ có thể chứa các tinh thể với các nhóm điểm đối xứng nào. Ta đi từ hệ có tính chất đối xứng thấp đến các hệ có tính chất đối xứng cao hơn. Hệ tam tà. Ngoài phép biến đổi đồng nhất, cũng là phép quay C1, mạng tam tà chỉ bất biến đối với phép nghịch đảo i và do đó chỉ có hai yếu tố đối xứng là trục quay C1 (yếu tố tầm thương) và tâm nghịch đảo. Các nhóm điểm có các yếu tố đối xứng này là C1 và Ci. Hệ đơn tà. Ngoài các phép nghịch đảo dã nói ở trên các mạng đơn tà có các yếu tố đối xứng sau đây: trục quay C2 và mặt phẳng gương σhtrực giao với trục quay. Các nhóm điểm có các yếu tố đối xứng này là C1h, C2 và C2h. Hệ trực giao. Ngoài phép nghịch đảo thì các mạng trực giao có các yếu tố đối xứng sau đây: ba trục quay C2 và ba mặt phẳng gương σ, mỗi mặt phẳng trực giao với một trục quay C2 và chứa hai trục kia cho nên vừa có thể xem là mặt thẳng đứng σv, vừa có thể xem là mặt nằm ngang σh. Các nhóm đối xứng sau đây chứa các yếu tố đối xứng này mà chưa được phép vào hệ trước: D2, D2h và C2v . (Nhóm C2h cũng chứa các yếu tố đó nhưng đã được ghép vào hệ đối xứng thấp hơn là hệ đơn tà). Hệ tam giác. Ngoài phép nghịch đảo thì hình tam giác đều – ô cơ sở đối xứng của mạng tam giác, tức là chính mạng Bravais của hệ tam giác, có các yếu tố đối xứng sau đây: một trục quay C3, ba mặt phẳng gương σv chứa trục quay mà mỗi mặt phẳng đó chứa một đỉnh không nằm trên trục quay C3 (các đỉnh B1, B2, B3, hoặc C1, C2, C3 trên hình 3.37b), ba trục quay C2 trực giao với trục quay C3 tại tâm điểm của hình rhombohedron và song song với một cạnh của hai tam giác đều mà mỗi tam giác tạo bởi ba đỉnh, mỗi đỉnh có một cạnh chng với cùng một đỉnh trên trục C3 (các tam giác đều B1B2B3 hoặc 147/166 C1C2C3 trên hình 3.37b). Các nhóm điểm sau đây có các yếu tố đối xứng nói trên: C3, C3v, S6, D3 và D3d. Hệ lục giác. Ngoài phép nghịch đảo i thì mạng lục giác có các yếu tố đối xứng sau đây: một trục quay C6, một mặt phẳng gương σhtrực giao với trục quay C6, sáu mặt phăng gương σv chứa trục quay C6, sáu trục quay C2 trực giao với trục quay C6 tại tâm nghịch đảo i của ô cơ sở đối xứng. Các nhóm điểm sau đây có các yếu tố đối xứng nói trên và chưa được ghép và các hệ trước: C3h, C6, C6h, C6v, D3h, D6 và D6h. Chú ý rằng nhóm điểm S6 cũng có các yếu tố đối xứng của hệ lục giác, song đã được ghép vào hệ tam giác là hệ có tính chất đối xứng thấp hơn. Hệ tứ giác. Ngoài tam nghịch đảo i thì các mạng tứ giác có các yếu tố đối xứng sau đây: một trục C4, một mặt phẳng gương σhtrực giao với trục quay C4, bốn mặt phẳng gương σv chứa trục quay C4, hai trục quay C2, bốn mặt phẳng gương mà hai mặt phẳng trực giao với hai trục quay C2, còn hai mặt phẳng kia chứa hai trục quay này và trùng với hai mặt phẳng chứa trục quay C4. Các nhóm điểm có các yếu tố đối xứng nói trên là các nhóm điểm sau đây: C4, S4, C4v, D2d, D4 và D4h. Hệ lập phương. Ngoài tâm nghịch đảo i thì các mạng lập phương có các yếu tố đối xứng sau đây: ba trục quay C4, bốn trục quay C3, sáu trục quay C2, ứng với mỗi trục quay C4 có mặt phẳng gương σhtrực giao với nó và bốn mặt phẳng gương σv chứa trục quay này, ứng với mỗi trục quay C3 có một mặt phẳng gương σhtrực giao với nó và ba mặt phẳng gương σvchứa trục quay này, ứng với mỗi trục quay C2 có một mặt phẳng gương σhtrực giao với nó và hai mặt phẳng gương σv chứa trục quay này, trong đó một số mặt phẳng gương kể trên có thể trùng nhau. Các nhóm điểm có các yếu tố đối xứng nói trên là các nhóm điểm sau đây: T, Th, Td, O và Oh. Tóm lại, căn cứ vào đặc điểm của các yếu tố đối xứng chính của nhóm điểm, 32 nhóm điểm tinh thể học được phân loại theo bảy hệ trùng với bảy hệ mạng Bravais. Sự phân loại đó được tóm tắt trong bảng sau đây. Bảng phân loại các nhóm điểm σv 148/166 Sau khi đã nghiên cứu kỹ về các mạng Bravais bây giờ chúng ta trình bày một số cấu trúc tinh thể điển hình. Cấu trúc dạng NaCl. Mạng Bravais là mạng lập phương tâm diện. Ta lấy chiếu dài α của mỗi cạnh cảu ô cơ sở đối xứng làm đơn vị chiều dài. Tinh thể NaCl gồm hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau một cách đối xứng, một mạng gồm các nguyên tử Na nằm ở các nút, gồm các đỉnh của ô cơ sở đối xứng là các điểm (000), (1,00), (010), (001), (110), (101), (011)… và các tâm điểm của các mặt bên ô cơ sở đối xứng là các điểm (0 12 12 ), ( 12 0 12 ), ( 12 12 0), (1, 12 12 ), ( 12 1 12 ), ( 12 12 1), …, còn mạng kia gồm các nguyên tử Cl nằm ở trung điểm các cạnh cảu ô cở sở đối xứng là các điểm (00 12 ), (0 12 0), ( 12 00), (01 12 ), (10 12 ), (1 12 0), ( 12 01), ( 12 10)…, và tâm điểm ( 12 12 12 ) của ô cơ sở đối xứng (hình 3.38). Hằng ° số mạng a của các tinh thể loại NaCl đo bằng đơn vị Ađược trình bày trong bảng sau đây 149/166 Cấu trúc dạng CsCl. Mạng Bravais là mạng lập phương đơn. Ta lấy chiều dài a của mỗi cạnh của ô cơ sở làm đơn vị chiều dài. Tinh thể CsCl gồm hai mạng lập phương đơn lồng vào nhau một cách đối xứng, một mạng gồm các nguyên tử Cs nằm ở các đỉnh của các hình lập phương của mạng Bravais là các điểm (000), (100), (010), (001), (110), (101), (011)… còn mạng kia gồm các nguyên tử Cl nằm ở tâm điểm các hình lập phương đó, nghĩa là ở các điểm ( 12 12 12 ), ( 32 12 12 ), ( 12 32 12 ), ( 12 12 32 )… (hình 3.39). 150/166 ° Hằng số mạng a của các tinh thể dạng CsCl đo bằng đơn vị A được trình bày trong bảng sau đây: Cấu trúc dạng kim cương. Mạng Bravais là mạng lập phương tâm diện. Ta chọn chiều dài a của ô cơ sở đối xứng làm đơn vị chiều dài. Mỗi ô cơ sở có hai nguyên tử C. Mạng tinh thể kim cương gồm các nguyên tử C nằm ở các nút chai của hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau, một mạng xê dịch đi so với mạng kia dọc theo đường chéo của ô cơ sở đối xứng của mạng đó, độ dịch bằng 14 đường chéo. Nếu một mạng có một đỉnh ở điểm có tọa độ (000) thì đỉnh tương ứng của mạng thứ hai có tọa độ ( 14 14 14 ). Cấu trúc nói trên được trình bày trên hình 3.40a. 151/166 Nếu chiếu tất cả các nguyên tố C lên mặt phẳng đáy thì ta thu được các điểm vẽ trên hình 3.40b. Chữ số ghi cho mỗi loại điểm là chiều cao của vị trí của nguyên tử C chiếu lên điểm đó. ° Hằng số mạng của kim cương là 3,56 A. Các tinh thể có cấu trúc dạng kim cương là Si ° ° và Ge. Hằng số mặng của các tinh thể này bằng 5,43 A và 5,65 A. Cấu trúc dạng kẽm pha ZnS. Mạng Bravais là mạng lập phương tâm diện. Tinh thể gồm hai mạng lập phương tam diện lồng vào nhau giống như tinh thể kim cương, song một mạng gồm các nguyên tố Zn ở các nút, còn mạng kia gồm các nguyên tử S ở các nút, mạng nọ xe dịch đi so với mạng kia dọc theo đường chéo, độ dịch bằng 14 đường 152/166 ° chéo.Hằng số mạng của các tinh thể dạng kẽm pha đo bằng Ađược trình bày trong bảng sau đây: Cấu trúc dạng lục giáp xếp chặt. Mạng Bravais là mạng lục giác. Ngoài các nguyên tử nằm ở các nút của mạng Bravais trong ô cớ sở đối xứng còn có các nguyên tử nằm trên mặt phẳng gương σhchia đôi hình trụ đáy lục giá đều, ở những điểm là tâm của các hình tam giác đều mà các đỉnh là hình chiếu của các nút trên mặnt phẳng này (hình 3.41). 153/166 Tỷ số hai kích thước c và a phải thoả mãn điều kiện ac ≈ ( 83 ). Các hằng số mạng của một số kim loại có cấu trúc lục giác xếp chặt được trình bày trong bảng sau đây. Ngoài dạng cấu trúc kẽm pha, ZnS cũng còn tồn tại dưới dạng cấu trúc tinh thể dạng lục giác. Ô cơ sở Wigner – Seitz Khi nghiên cứu các mạng Bravais ngoài ô cơ sở đối xứng chứa các nút của mạng tại các đỉnh, tại tâm điểm các mặt bên và tại tâm điểm của ô ta còn thường chia tinh thể thành các ô loại đặc biệt gọi là ô cơ sở Wigner – Seitz có tất cả các tính chất đối xứng của mạng Bravais và có thể tích bằng thể tích ô cơ sở. Các ô cơ sở Wigner – Seitz được tạo thành như sau. Ta chọn một nút của mạng Bravais làm gốc và nối nó với các nút gần nhất của mạng này bằng các đoạn thẳng rồi vẽ các mặt phẳng trực giao với các đoạn thẳng này ở các trung điểm của chúng. Các mặt đó sẽ tạo nên một hình đa diện. Đó chính 154/166 là ô cơ sở Wigner – Seitz . Nếu mạng Bravais đối xứng với một phép biến dổi điêể g nào đó thì trong phép biến đổi này ô cơ sở Wigner – Seitz cũng không thay đổi vị trí, bởi vì theo cách xây dựng nó thì vị trí của ô này hoàn toàn được xác định bởi vị trí của mạng Bravais. Các điểm bên trong ô cơ sở Wigner – Seitz có tính chất: khoảng cách từ điểm đó đến tâm của ô cơ sở Wigner – Seitz nhỏ hơn khoảng cách từ điểm đó đến bất kỳ nút nào khác của mạng Bravais. Mỗi ô cơ sở Wigner – Seitz chỉ chứa một nút là tâm của ô này. Để minh hoạ cách xây dựng ô Wigner – Seitz ta xét các mạng Bravais thuộc hệ lập phương. Trong mạng lập phương đơn các nút là đỉnh của các ô cơ sở có dạng hình lập phương. Mỗi nút có 6 nút lân cận nằm trên 6 cạnh của 8 hình lập phương có cùng một đỉnh chung là nút đã cho, nghĩa là nằm trên ba đường thẳng song song với các cạnh và đi qua nút này. Ô Wigner – Seitz là hình lập phương mà 6 mặt bên trực giao với ba đường thẳng đó và đinh qua trung điểm các đoạn thẳng nối nút đã cho với các nút lân cận (xem hình 3.42a). Trong mạng lập phương tâm thể mọi nút đều có thể xem là tâm của hình lập phương mà 8 điểm cũng là 8 nút cuủamạng. Tâm này có tất cả 14 nút lân cận: 8 đỉnh của hình lập phương và 6 tâm của 6 hình lập phương có mặt bên chung với hình lập phương đã cho. Ô Wigner – Seitz là hình đa diện có 14 mặt là 8 hình lục giác và 6 hình vuông (xem hình 3.42b). Các hình vuông này nằm ngay trên 6 mặt bên của hình lập phương đã cho. 155/166 Trong mạng lập phương tâm diện mỗi nút đều có thể xem là đỉnh của một hình lập phương mà tất cả các đỉnh và tâm tất cả các mặt bên đều là các nút. Nút đã cho có 12 nút lân cận là tâm của 12 mặt bên của các hình lập phương mà nút đã cho là đỉnh chung. Nếu chọn nút này làm gốc toạ độ và các cạnh hình lập phương làm trục toà độ thì trên mỗi mặt toạ độ có 4 nút lân cận. Ô Wigner – Seitz laàmột hình đa diện có 12 mặt (xem hình 3.42c). Dễ thử lại rằng cả ba ô Wigner – Seitz của các mạng lập phương đều bất biến đối với phép đối xứng bất kỳ của hình lập phương. 156/166 Nhóm đối xứng của các điểm đặc biệt trong các ô Wigner Seitz của các mạng hệ lập phương Theo cách xây dựng ô Wigner – Seitz ta thấy trong mọi phép biến đổi mà không làm thay đổi vị trí cuủamạng Bravais thì ô Wigner – Seitz cũng không thay đổi vị trí. Nói khác đi, nhóm đối xứng của mạng Bravais là nhóm đối xứng của ô Wigner – Seitz. Mỗi nhóm đối xứng của một điêể nào đó là tập hợp các yếu tố của nhóm đối xứng của ô Wigner – Seitz giữa nguyên vị trí của điểm này hoặc là biến nó thành các điểm tương đương được định nghĩa như sau. Hai điểm khac snhau r và r’ trong một tinh thể được gọi là tương đương nếu có một phép tịnh tiến R của tinh thể R = n1a1 + n2a2 + n3 a3 biến điểm nọ thành điểm kia, nghĩa là nếu có điểm r’ trên mạng Bravais mà r ’ = r +R Theo các xây dựng ô Wigner – Seitz thì trong mọi phép tính tiến của tinh thể một ô nào đó chuyển hoàn toàn thành một ô khác hoặc là chỉ có mặt bên chung với nó, hoặc là không có điểm chung nào với nó cả. Vì thế các điểm ở trong ô Wigner – Seitz chỉ có thể tương đương với các điêể ở ngoài nó: hai điểm nằm trong một ô Wigner – Seitz là có các điểm tương đương năm ftrên các mặt đối diện của ô này. Do đó nhóm đối xứng của một điểm bên trong ô Wigner – Seitz gồm các phép đối xứng của ô Wigner – Seitz không thay đổi vị trí điểm này, còn nhóm đối xứng của một điểm trên mặt ô Wigner – Seitz là tập hợp các phép đối xứng của ô Wigner – Seitz giữ nguyên vị trí của điểm này hoặc biến nó thành các điểm tương đương. Ta gọi các biến đổi này là phép đối xứng của điểm đặc biệt đang xét. Tâm Γ của ô Wigner – Seitz là điểm đặc biệt mà nhóm đối xứng của nó trùng với nhóm đối xứng của ô Wigner – Seitz . Nhóm đối xứng của các điểm khác nói chung đều là nhóm con thực sự của nhóm đối xứng của ô Wigner – Seitz . Trong đoạn này ta sẽ xét nhóm đối xứng của một số điểm đặc biệt không trùng với tâm của ô Wigner – Seitz của các mạng hệ lập phương. Trước hết ta xét mạng lập phương đơn. Ô Wigner – Seitz của nó là hình lập phương. Ngoài tâm Γ hình này có các đặc điểm đặc biệt sau đây: 6 điểm đối xứng với nhau mà X là một, 6 điểm đối xứng với nhau mà Δ là một, 8 điểm mà đại diện là , 8 điểm mà đại diện là R, 12 điểm mà đại diện là M, 12 điểm mà đại diện là T, 12 điểm mà đại diện là ∑ , 24 điểm mà đại diện là Z (xem hình 3.43). Ta dùng ngay tên gọi các điểm đặc biệt để 157/166 ký hiệu nhóm đối xứng của chúng. Thí dụ như nhóm đối xứng của điểm X gọi là nhóm X. Nhóm đối xứng Oh của hình lập phương do đó cũng còn gọi là nhóm Γ. Trước hết ta chú ý rằng X có một điểm tương đương nằm trên mặt bên đối diện, còn M có ba điểm tương đương nằm trên ba cạnh song song với cạnh chứa M. Mọi phép đối xứng của điểm X cũng là phép đối xứng của điểm M là đẳng cấu. Trương tự như vậy điểm T và điểm Δ có cùng một nhóm đối xứng, nghĩa là nhóm T đẳng cấu với nhóm Δ . Mọi phép đối xứng của hình lập phương đều biến điể R thành một điểm tương đương. Do đó nhóm đối xứng của điểm R trùng với nhóm Γ. Xét ý nghĩa hình học của các phép đối xứng trong nhóm Oh hoặc bảng các yếu tố của nhóm Oh, ta có thể thử lại rằng nhóm X chứa tám yếu tố loại 1 sau đây: E, Cz4, (Cz4) − 1 ¯ xy , Cz2, Cx2, Cy2, Cxy 2 , C2 . Các yếu tố loại 2 của nhóm X là tích của các yếu tố này với phép nghịch đảo. Trong số tám yếu tố loại 2 này có năm phép phản xạ gương: σxqua mặt phẳng x = 0, σyqua mặt phẳng y = 0, σzqua mặt phẳng z = 0, σxyqua mặt phẳng x = y, σx¯yqua mặt phẳng x = -y, Các yếu tố của nhóm X chia thành mười lớp: 1. Lớp CX1 gồm yếu tố đơn vị, lớp iCX1 gồm phép nghịch đảo i, 2. Lớp CX2 gồm hai phép quay CZ4 và (Cz4) − 1, lớp iCX2 gồm hai phép quay gương i(Cz4) và i(Cz4) − 1, 158/166 3. Lớp CX3 gồm phép quay Cx2, lớp iCX3 gồm phép phản xạ gương σz, 4. Lớp CX4 gồm hai phép quay Cx2 và Cy2, lớp iCX4 gồm hai phép phản xạ gương là σz và σy, ¯ xy X 5. Lớp CX5 gồm hai phép quay Cxy 2 và C2 , lớp iC5 gồm hai phép phản xạ gương σxy và σx¯y. Chú ý rằng trục quay C4 nằm trên mặt phẳng phản xạ gương nên hai phép quay ngược nhau liên hợp với nhau và nằm trong cùng một lớp. Điểm Δ nằm trên đoạn thẳng nối điểm Γ và điểm X. Do đó nhóm Γ là nhóm con của nhóm X. Nó có tám yếu tố, chia thành năm lớp: CΔ1 = CX1 , CΔ2 = CX2 , CΔ3 = CX3 , CΔ4 = CX4 , CΔ5 = CX5 . Điểm Λ nằm trong ô Wigner – Seitz và không có điểm tương đương trong ô này. Các yếu tố của Oh giữ cố định điểm này là: biến đổi đồng nhất, hai phép quay C3 và C3− 1 quanh các mặt phẳng chứa một trong ba trục toạ độ và điểm Λ. Nếu chọn Λ là điểm mà x = y = z như trên hình 3.43 thì trục quay là đường thẳng x = y = z, còn các mặt phẳng phản xạ gương là các mặt phẳng với các phương trình sau đây: σxy:x = y, σyz:y = z, σzx:z = x. Sáu yếu tố nói trên của nhóm Λ chia thành ba lớp: a. CΛ1 gồm một yếu tố E, b. CΛ2 gồm hai phép quay C3 và C3− 1 , 159/166 c. CΛ3 gồm ba phép phản xạ gương. Trong các phép quay C3 và C3− 1 một mặt phẳng phản xạ gương biến thành các mặt phẳng kia. Vì mặt phẳng chứa trục quay nên hai phép quay ngược nhau liên hợp với nhau và tạo thành một lớp. Điểm ∑ cũng không có điểm tương đương ở bên trong hình lập phương. Nhóm ∑ chứa 4 yếu tố. Nếu chọn ∑ mà z = 0, x = y như trên hình 3.43 thì bốn yếu tố của ∑ là: E, Cxy 2 , σz , σxy. Mỗi yếu tố là một lớp. Điểm Z có một điểm tương đương nằm trên mặt bên đối diện. Nhóm Z có bốn yếu tố. Nếu chọn Z nằm trên đường thẳng z = 0, y = 1 thì các yếu tố đó là E, Cx2, σy, σz. Điểm S cũng có một điểm tương đương. Nhóm S cũng có bốn yếu tố: nếu chọn S như trên hình 3.43 thì ta có các yếu tố sau: E, Czx 2 , σy, σzx. Rõ ràng là nhóm S đẳng cấu với nhóm ∑ . Bây giờ ta xét mạng lập phương tâm diện. Ô Wigner – Seitz là hình 12 mặt (xem hình 3.44). Các điểm đặc biệt Γ, Δ, Λ và ∑ có nhóm đối xứng giống như trong trường hợp mạng lập phương đơn. Ngoài ra, còn có ba điểm đặc biệt mà ta cần chú ý: H, N và P (hình 3.44). Lý luận giống như ở trên, có thể chứng minh rằng nhóm đối xứng của điểm H chính là nhóm Oh, nghĩa là nhóm H ¯ xy trùng với nhóm Oh. Nhóm N có tám yếu tố, trong đó bốn yếu tố loại 1 là: E, Cz2, Cxy 2 , C2 , còn bốn yếu tố loại 2 là tích của các yếu tố loại 1 với phép nghịch đảo. Mỗi yếu tố của N là một lớp. Điểm P có ba điểm tương đương, và nếu ta nối liền bốn điểm tương đương với nhau này thì ta được hình tứ diện. Nhóm P chính là nhóm Td mà ra đã biết. 160/166 Cuối cùng ta xét mạng lập phương tâm thể. Ô Wigner – Seitz là hình 14 mặt (xem hình 3.45). Ngoài các điểm đặc biệt Γ, X, Δ, Λ, ∑ có nhóm đối xứng giống như trong trường hợp mạng lập phương đơn ta cần chú ý thêm điểm L. Để xác định ta chọn L là điểm mà x = y = z. Nhóm đối xứng của điểm L có 12 yếu tố, chia thành sáu lớp như sau: a. CL1 gồm E, iCL1 gồm i, xyz − 1 b. CL2 gồm Cxyz , 3 và (C3 ) xyz − 1 iCL2 gồm iCxyz , 3 và i(C3 ) ¯ ¯ ¯ c. CL3 gồm Cx2y, Cy2z và Cz2x, iC3L gồm σxy, σyz và σzx. Nhóm đối xứng của các điểm khác cũng có thể thiết lập một cách tương tự. Để cho tiện đôi khi ta dùng ngay trên trục quay và số phép quay trong một lớp để ký hiệu lớp các phép quay, dùng ký hiệu σ và số phép phản xạ gương trong một lớp để ký hiệu lớp phản xạ gương này. Thí dụ như đối với nhóm Γ ta còn dùng các ký hiệu sau: C1 = E, C2 = 6C4, C3 = 3C24, C4 = 8C3, C5 = 6C2, i C1 = i, i C2 = 6 i C4, i C3 = 3iC24, i C4 = 8 i C3, iC5 = 6 σ, 161/166 còn đối với nhóm X ta có CX1 = E, CX2 = 4C4, CX3 = C2, CX4 = 2C'2, CX5 = 2C''2, iCX1 = i, iCX2 = 4iC4, iCX3 = σ, iCX4 = 2σ', iCX5 = 2σ'' v.v… Sau này các nhóm đối xứng nói trên của các điểm đặc biệt trong các ô Wigner – Seitz của các mạng hệ lập phương và các biểu diễn của chúng sẽ được sử dụng khi nghiên cứu sự đối xứng của các trạng thái điện tử trong tinh thể. 162/166 Tham gia đóng góp Tài liệu: Lý thuyết nhóm và ứng dụng trong vật lý lượng tử Biên tập bởi: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://voer.edu.vn/c/d4aa7723 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Khái niệm về nhóm Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/eaedac80 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Các ví dụ về nhóm Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/55183d24 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Nhóm SO(3) các phép quay không gian Euclide thực ba chiều Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/90cfdb94 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Nhóm SU(2) các biến đổi unita với định thức bằng 1 trong không gian Euclide phức 2 chiều Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/75dda752 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Nhóm Lie và đại số Lie Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/5375db04 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Phụ lục cơ sở lý thuyết nhóm Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu 163/166 URL: http://www.voer.edu.vn/m/0d05c324 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Khái niệm về biểu diễn nhóm Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/bc7a78a2 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Các phép tính đối với các biểu diễn Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/00d9e8a8 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Hàm đặc trưng của biểu diễn Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/7e7af079 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Phụ lục cơ sở lý thuyết biểu diễn nhóm Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/a38998cb Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Phân loại các nhóm điểm tinh thể học Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/eca5506c Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Họ các điểm Cn, Cnh, Cnv, Ci Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/f65f8978 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Họ các nhóm điểm Sn Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/b24892cf 164/166 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Họ các nhóm điểm Dn, Dnh, Dnd Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/f85e88eb Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Họ các nhóm điểm T, Th, Td Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/51c4961a Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Họ các nhóm điểm O , Oh Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/410e94fd Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Sự đối xứng của các phân tử Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/cf618335 Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Sự đối xứng của các tinh thể Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/7081cdab Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ Module: Nhóm đối xứng của các điểm đặc biệt trong các ô Wigner - Seitz của các mạng hệ lập phương Các tác giả: Nguyễn Văn Hiệu URL: http://www.voer.edu.vn/m/46fdd5cb Giấy phép: http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/ 165/166 Chương trình Thư viện Học liệu Mở Việt Nam Chương trình Thư viện Học liệu Mở Việt Nam (Vietnam Open Educational Resources – VOER) được hỗ trợ bởi Quỹ Việt Nam. Mục tiêu của chương trình là xây dựng kho Tài nguyên giáo dục Mở miễn phí của người Việt và cho người Việt, có nội dung phong phú. Các nội dung đểu tuân thủ Giấy phép Creative Commons Attribution (CC-by) 4.0 do đó các nội dung đều có thể được sử dụng, tái sử dụng và truy nhập miễn phí trước hết trong trong môi trường giảng dạy, học tập và nghiên cứu sau đó cho toàn xã hội. Với sự hỗ trợ của Quỹ Việt Nam, Thư viện Học liệu Mở Việt Nam (VOER) đã trở thành một cổng thông tin chính cho các sinh viên và giảng viên trong và ngoài Việt Nam. Mỗi ngày có hàng chục nghìn lượt truy cập VOER (www.voer.edu.vn) để nghiên cứu, học tập và tải tài liệu giảng dạy về. Với hàng chục nghìn module kiến thức từ hàng nghìn tác giả khác nhau đóng góp, Thư Viện Học liệu Mở Việt Nam là một kho tàng tài liệu khổng lồ, nội dung phong phú phục vụ cho tất cả các nhu cầu học tập, nghiên cứu của độc giả. Nguồn tài liệu mở phong phú có trên VOER có được là do sự chia sẻ tự nguyện của các tác giả trong và ngoài nước. Quá trình chia sẻ tài liệu trên VOER trở lên dễ dàng như đếm 1, 2, 3 nhờ vào sức mạnh của nền tảng Hanoi Spring. Hanoi Spring là một nền tảng công nghệ tiên tiến được thiết kế cho phép công chúng dễ dàng chia sẻ tài liệu giảng dạy, học tập cũng như chủ động phát triển chương trình giảng dạy dựa trên khái niệm về học liệu mở (OCW) và tài nguyên giáo dục mở (OER) . Khái niệm chia sẻ tri thức có tính cách mạng đã được khởi xướng và phát triển tiên phong bởi Đại học MIT và Đại học Rice Hoa Kỳ trong vòng một thập kỷ qua. Kể từ đó, phong trào Tài nguyên Giáo dục Mở đã phát triển nhanh chóng, được UNESCO hỗ trợ và được chấp nhận như một chương trình chính thức ở nhiều nước trên thế giới. 166/166
- Xem thêm -