Tài liệu Tính ổn định của các g khung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN NGỌC MAI TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC G-KHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN NGỌC MAI TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC G-KHUNG Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN QUỲNH NGA HÀ NỘI, 2016 Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS. Nguyễn Quỳnh Nga đã tận tâm truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Nguyễn Ngọc Mai Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Nguyễn Quỳnh Nga. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Nguyễn Ngọc Mai Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert . . . 3 1.2 Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 G-khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . 15 2 Tính ổn định của các g-khung 32 2.1 Tính ổn định của các khung . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Tính ổn định của các g-khung . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Tính ổn định của các khung đối ngẫu . . . . . . . . . . 51 2.4 Tính ổn định của các g-khung đối ngẫu . . . . . . . . . 54 Kết luận Tài liệu tham khảo 57 58 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Khung được R. J. Duffin và A. C. Schaeffer [6] đưa ra vào năm 1952. Tuy nhiên phải đến năm 1986, sau bài báo [5] của I. Daubechies, A. Grossmann và Y. Meyer thì khung mới được các nhà khoa học quan tâm rộng rãi. Khung được sử dụng nhiều trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, xử lý hình ảnh, nén dữ liệu, lý thuyết mẫu, lý thuyết mật mã, lý thuyết lượng tử. . . Gần đây có một số các khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung được đưa ra, ví dụ như các khung của các không gian con [1], [2] (Frames of subspaces), các khung nghiêng [4] (Oblique frames), các giả khung [9] (Pseudoframes). Tất cả các khái niệm này đều đã được chứng minh là hữu ích trong nhiều ứng dụng và có thể xem như các trường hợp đặc biệt của g-khung, một khái niệm được đưa ra bởi W. Sun [10] năm 2006. Nhiều tính chất cơ bản của khung vẫn còn đúng cho g-khung. Tính ổn định của các khung có ý nghĩa quan trọng trong ứng dụng, do đó đã được nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều tác giả. Gần đây, W. Sun [11] và Y. Zhu [12] cũng đã nghiên cứu tính ổn định của các g-khung trong không gian Hilbert. Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về các g-khung và tính ổn định của chúng, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo, TS. Nguyễn 1 Quỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài "Tính ổn định của các g-khung" để thực hiện luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày về các g-khung và tính ổn định của chúng trong không gian Hilbert. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về: Tính ổn định của các khung, tính ổn định của các g-khung và tính ổn định của các g-khung đối ngẫu. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về khung, g-khung trong không gian Hilbert, tính ổn định của các khung, g-khung và g-khung đối ngẫu. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến g-khung và tính ổn định của g-khung trong không gian Hilbert. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề. 6. Đóng góp mới của luận văn Luận văn trình bày tổng quan về g-khung và tính ổn định của g-khung trong không gian Hilbert. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản của các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert để chuẩn bị cho các mục tiếp theo. Nội dung của mục này được trích dẫn từ tài liệu tham khảo [8]. Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert H vào không gian Hilbert K là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0 sao cho kT xk ≤ c kxk , với mọi x ∈ H. (1.1) Ký hiệu L(H, K) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K. Khi H = K thì L(H, K) được ký hiệu đơn giản là L(H). Chuẩn của T ∈ L(H, K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa mãn (1.1). Nói một cách tương đương, kT k = sup {kT xk : x ∈ H, kxk ≤ 1} = sup {kT xk : x ∈ H, kxk = 1} . Mệnh đề 1.1.1. Giả sử H, L, K là các không gian Hilbert. Nếu T ∈ L(H, K) thì tồn tại duy nhất một phần tử T ∗ ∈ L(K, H) sao cho hT ∗ x, yi = hx, T yi , (x ∈ K, y ∈ H) 3 Hơn nữa, (i) (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ . (ii) (RS)∗ = S ∗ R∗ . (iii) (T ∗ )∗ = T. (iv) I ∗ = I. ∗ (v) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và (T −1 ) = (T ∗ )−1 , trong đó S, T ∈ L(H, K), R ∈ L(K, L) và a, b ∈ C. Toán tử T ∗ ở Mệnh đề 1.1.1 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T. Mệnh đề 1.1.2. Giả sử T ∈ L(H, K) và S ∈ L(K, L). Khi đó (i) kT xk ≤ kT k kxk , ∀x ∈ H. (ii) kST k ≤ kSk kT k. (iii) kT k = kT ∗ k. (iv) kT T ∗ k = kT k2 . Cho T ∈ L(H). T được gọi là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T , là unita nếu T ∗ T = T T ∗ = I . T được gọi là dương (ký hiệu T ≥ 0) nếu hT x, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H. T, K ∈ L(H), T ≥ K nếu T − K ≥ 0. T được gọi là xác định dương nếu tồn tại M > 0 sao cho hT x, xi ≥ M kxk2 , ∀x ∈ H. Chú ý rằng với mỗi T ∈ L(H) thì hT ∗ T x, xi = hT x, T xi ≥ 0 với mọi x ∈ H. Do đó T ∗ T là dương. Mệnh đề 1.1.3. Giả sử T ∈ L(H). Khi đó (i) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu hT x, xi là thực với mọi x ∈ H. Đặc biệt, toán tử dương là tự liên hợp. (ii) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đương là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H. 4 Mệnh đề 1.1.4. Nếu U ∈ L(H) là toán tử tự liên hợp thì kU k = sup |hU f, f i|. kf k=1 Định lý 1.1.1. Cho X là không gian Banach. Nếu U : X → X tuyến ∞ P tính bị chặn và kI − U k < 1 thì U khả nghịch và U −1 = (I − U )k . Ngoài ra U −1 ≤ 1 . 1 − kI − U k k=0 Chúng ta thường mong muốn tìm một dạng nghịch đảo cho một toán tử mà không phải là khả nghịch theo nghĩa hẹp. Bổ đề dưới đây đưa ra một điều kiện để đảm bảo sự tồn tại của một nghịch đảo phải. Bổ đề 1.1.1. Cho H, K là các không gian Hilbert, và giả sử rằng U : K → H là một toán tử bị chặn với miền giá trị đóng RU . Khi đó tồn tại một toán tử bị chặn U † : H → K mà U U † f = f, ∀f ∈ RU . Toán tử U † được xây dựng trong Bổ đề 1.1.1 được gọi là giả nghịch đảo của U . Trong các tài liệu ta thường thấy giả nghịch đảo của một toán tử U với miền giá trị đóng RU được định nghĩa là toán tử duy nhất thỏa mãn NU † = RU⊥ , RU † = NU⊥ và U U † f = f , ∀f ∈ RU . Định nghĩa này tương đương với việc xây dựng trên. Bổ đề sau cho ta một số tính chất của U † và mối quan hệ của nó với U . Bổ đề 1.1.2. Cho U : K → H là một toán tử bị chặn với miền giá trị đóng. Khi đó i) Phép chiếu trực giao của H lên RU được cho bởi U U † . ii) Phép chiếu trực giao của K lên RU † được cho bởi U † U . iii) U ∗ có miền giá trị đóng, và (U ∗ )† = (U † )∗ . iv) Trên RU , toán tử U † được cho bởi U † = U ∗ (U U ∗ )−1 . 5 1.2 Khung trong không gian Hilbert Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở. Tuy nhiên điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần và đôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vô hướng. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lý do người ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn. Khung là công cụ như vậy. Một khung cho một không gian vectơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần thiết. Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung. Các kết quả ở mục này có thể tham khảo ở các tài liệu [3], [5], [6]. Cho H là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng h·, ·i tuyến tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai. Định nghĩa 1.2.1. Dãy {fi }∞ i=1 trong H được gọi là dãy Bessel nếu ∃B > 0 : ∞ X |hf, fi i|2 ≤ B kf k2 , ∀f ∈ H. i=1 B được gọi là cận Bessel của {fi }∞ i=1 . 6 (1.2) Định nghĩa 1.2.2. Một dãy {fi }∞ i=1 trong H được gọi là một khung nếu tồn tại hai hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho 2 A kf k ≤ ∞ X |hf, fi i|2 ≤ B kf k2 , ∀f ∈ H. (1.3) i=1 Các số A, B được gọi là các cận của khung. Chúng không là duy nhất. Cận khung dưới tối ưu là superemum trên tất cả các cận khung dưới và cận khung trên tối ưu là infimum trên tất cả các cận khung trên. Chú ý rằng, các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự. Khung {fi }∞ i=1 được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval nếu A = B = 1. Mệnh đề 1.2.1. Cho một dãy {fj }m j=1 trong không gian Hilbert hữu hạn m chiều V. Khi đó {fj }m j=1 là một khung cho span {fj }j=1 . Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fi đều bằng không. Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với m P B= kfj k2 . Bây giờ lấy W := span {fj }m j=1 và xem xét ánh xạ liên j=1 tục Φ : W → R, Φ (f ) := m P |hf, fj i|2 . j=1 Mặt cầu đơn vị trong W là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ W với kgk = 1 sao cho A := m P ( |hg, fj i|2 = inf j=1 m P ) |hf, fj i|2 : f ∈ W, kf k = 1 . j=1 Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy f ∈ W, f 6= 0, ta có  2 m m   P P f 2 2 2   |hf, fj i| = , f  kf k j  kf k ≥ A kf k . j=1 j=1  Mệnh đề được chứng minh. 7 Hệ quả 1.2.1. Một họ các phần tử {fj }m j=1 trong không gian Hilbert hữu hạn chiều V là một khung của V khi và chỉ khi span {fj }m j=1 = V . Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần thiết để là cơ sở. Đặc biệt, nếu {fj }kj=1 là một khung của V và k m {gj }m j=1 là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì {fj }j=1 ∪{gj }j=1 cũng là một khung của V . √ Ví dụ 1.2.1. Lấy H = R2 , e1 = (0, 1)T , e2 = √ e3 = 3 1 , − 2 2 3 1 , 2 2 !T , !T . Khi đó {e1 , e2 , e3 } là một khung chặt với cận khung là Thật vậy, với x = (x1 , x2 )T ∈ R2 bất kì, ta có !2 √ 3 P 1 3 x1 + x2 + |hx, ej i|2 = x2 2 + 2 2 j=1 √ 3 . 2 1 3 x1 − x2 2 2 !2  3 2 x1 + x2 2 2 3 = kxk2 . 2 = Ví dụ 1.2.2. Giả sử {ek }∞ k=1 là một cơ sở trực chuẩn của H. Khi đó (i) {ek }∞ k=1 là khung Parseval. (ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ek }∞ k=1 hai lần ta thu được ∞ {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , ... } khi đó {fk }k=1 là khung chặt với cận khung A = 2. Thật vậy, ta có ∞ P |hf, fk i|2 = 2 k=1 ∞ P k=1 |hf, ek i|2 = 2kf k2 , ∀f ∈ H. Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , ... } khi 8 đó {fk }∞ k=1 là khung với cận A = 1, B = 2. Thật vậy, ta có ∞ P ∞ P |hf, fk i|2 =|hf, e1 i|2 + k=1 |hf, ek i|2 k=1 ≤ ∞ P 2 |hf, ek i| + k=1 =2 ∞ P ∞ P |hf, ek i|2 k=1 |hf, ek i|2 k=1 = 2kf k2 . Mặt khác |hf, e1 i|2 + ∞ P |hf, ek i|2 ≥ k=1 Do đó 2 kf k ≤ ∞ X ∞ P |hf, ek i|2 = kf k2 . k=1 |hf, fk i|2 ≤ 2kf k2 , ∀f ∈ H. k=1 Vì vậy {fk }∞ k=1 là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận khung trên là 2.  1 1 1 1 1 (iii) Giả sử := e1 , √ e2 , √ e2 , √ e3 , √ e3 , √ e3 , ... , 2 2 3 3 3 1 nghĩa là {fk }∞ k=1 là dãy mà mỗi véc tơ √ ek được lặp lại k lần. Khi đó k với mỗi f ∈ H có  2 ∞ ∞ X X   1 |hf, fk i|2 = k  f, √ ek  = kf k2 . k k=1 k=1 {fk }∞ k=1  Vì thế {fk } là một khung chặt của H với cận khung A = 1. Định nghĩa 1.2.3. Dãy {fk }∞ k=1 được gọi là đầy đủ trong H nếu span {fk }∞ k=1 = H. ∞ Bổ đề 1.2.1. Nếu {fk }∞ k=1 là một khung của H thì {fk }k=1 là một dãy đầy đủ trong H. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g 6= 0 thuộc H sao cho g⊥span {fk }∞ k=1 . Khi đó hg, fk i = 0, với mọi k . Khi đó 9 ∞ P |hg, fk i|2 = 0. Mặt khác, do {fk } là một khung nên tồn tại 0 < A < k=1 2 +∞ sao cho Akf k ≤ 2 Akgk ≤ tỏ ∞ P ∞ P |hf, fk i|2 , với mọi f ∈ H. Cho f = g ta được k=1 2 |hg, fk i| = 0. Do g 6= 0 nên A = 0. Mâu thuẫn trên chứng k=1 span {fk }∞ k=1 = H.  ∞ Định lý 1.2.1. Giả sử {fk }∞ k=1 là một dãy trong H. Khi đó {fk }k=1 là một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi ∞ X ∞ ck fk T : {ck }k=1 → (1.4) k=1 là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l2 (N) vào H và √ kT k ≤ B . Chứng minh. Trước hết, giả thiết {fk }∞ k=1 là dãy Bessel với cận Bessel ∞ 2 B . Giả sử {ck }∞ k=1 ∈ l (N). Ta phải chỉ ra T {ck }k=1 là hoàn toàn xác ∞ P định, tức là ck fk là hội tụ. Xét m, n ∈ N, n > m. Khi đó k=1 m n n P P P ck fk − = c f c f k k k k k=1 k=1 k=m+1   n  P  = sup  ck fk , g  kgk=1 k=m+1 n P ≤ sup |ck hfk , gi| kgk=1 k=m+1  n P ≤ 2 1/2 |ck | k=m+1 ≤ √  n P B 2  sup n P kgk=1 k=m+1 |hfk , gi| 2 1/2 1/2 |ck | . k=m+1 {ck }∞ k=1  2 n P 2 ∞ ∈ l (N), ta biết rằng |ck | là dãy Cauchy trong C. k=1 n=1  n ∞ P Tính toán trên chỉ ra rằng ck fk là một dãy Cauchy trong H Do k=1 10 n=1 và do đó hội tụ. Vậy T {ck }∞ k=1 là hoàn toàn xác định. Rõ ràng T là tuyến tính. Từ ∞ kT {ck }∞ k=1 k = sup |hT {ck }k=1 , gi| , kgk=1 tính toán tương tự như trên chỉ ra T bị chặn và kT k ≤ √ B. Để chứng minh điều ngược lại, giả sử T : l2 (N) → H được xác định bởi √ (1.4) là hoàn toàn xác định và kT k ≤ B . Gọi T ∗ : H → l2 (N) là toán 2 tử liên hợp của T . Gọi {ej }∞ j=1 là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l (N), tức là hệ gồm các véctơ ej , bằng 1 ở vị trí thứ j , bằng 0 ở các vị trí còn lại. Từ (1.4) ta suy ra T (ek ) = fk . Khi đó hT ∗ f, ek i = hf, T ek i = hf, fk i . Từ đó T ∗ f = {hf, fk i}∞ k=1 và ∞ X |hf, fk i|2 = kT ∗ f k2 ≤ kT ∗ k2 kf k2 = kT k2 kf k2 ≤ Bkf k2 . k=1 Do đó {fk }∞ k=1 là dãy Bessel với cận Bessel B . Hệ quả 1.2.2. Nếu {fk }∞ k=1 là một dãy trong H và ∞ 2 mọi {ck }∞ k=1 ∈ l (N) thì {fk }k=1 là một dãy Bessel. Định nghĩa 1.2.4. Chuỗi ∞ P ∞ P ck fk hội tụ với k=1 gk trong không gian Banach X được gọi k=1 là hội tụ không điều kiện nếu  ∞ P gσ(k) hội tụ tới cùng một phần tử với k=1 mọi hoán vị σ . Hệ quả 1.2.3. Nếu {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel trong H, thì 2 tụ không điều kiện với mọi {ck }∞ k=1 ∈ l (N). 11 ∞ P k=1 ck fk hội Hệ quả 1.2.4. Dãy {fk }∞ k=1 là Bessel với cận B khi và chỉ khi với mọi {ck } ∈ l2 (N) ta có 2 X X ck fk ≤ B |ck |2 . k (1.5) k Do một khung {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel nên toán tử T : l (N) → H, T 2 {ck }∞ k=1 = ∞ X ck fk k=1 bị chặn bởi Định lý 1.2.1. T được gọi là toán tử tổng hợp. Gọi T ∗ : H → l2 (N) là toán tử liên hợp của T và {ej }∞ j=1 là cơ sở trực chuẩn chính tắc của l2 (N). Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có hT ∗ f, ej i = hf, T ej i = hf, fj i . ∗ Từ đó T ∗ f = {hf, fj i}∞ j=1 . T được gọi là toán tử phân tích. Hợp thành của T và T ∗ được gọi là toán tử khung ∗ S : H → H, Sf = T T f = ∞ X hf, fk ifk . k=1 Mệnh đề 1.2.2. Giả sử {fk }∞ k=1 là một khung với toán tử khung S và các cận khung A, B . Khi đó ta có các khẳng định sau. (i) S tuyến tính bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương;  ∞ (ii) S −1 fk k=1 là khung với các cận B −1 , A−1 , nếu A, B là các cận tối  −1 ∞ −1 −1 ưu của {fk }∞ thì các cận B , A là tối ưu của S fk k=1 . Toán tử k=1  −1 ∞ khung của S fk k=1 là S −1 . Chứng minh. (i) S bị chặn như một sự hợp thành của hai toán tử bị chặn. Ta có: kSk = kT T ∗ k ≤ kT k . kT ∗ k = kT k2 ≤ B. 12 Do S ∗ = (T T ∗ )∗ = T T ∗ = S , toán tử S là tự liên hợp. Bất đẳng thức Akf k2 ≤ P |hf, fk i|2 ≤ Bkf k2 có thể viết thông qua toán tử S là Akf k2 ≤ hSf, f i ≤ Bkf k2 , ∀f ∈ H. Từ đó AI ≤ S ≤ BI , do đó S dương. B−A Ngoài ra, 0 ≤ I − B −1 S ≤ I và vậy thì B 
 I − B −1 S = sup  I − B −1 S f, f  ≤ B − A < 1. B kf k=1 Do đó, ta có S là khả nghịch. (ii) Chú ý rằng với f ∈ H, ∞  ∞    P P  f, S −1 fk 2 =  S −1 f, fk 2 k=1 k=1 2 ≤ B S −1 f 2 ≤ B S −1 kf k2 .  ∞ Nghĩa là, S −1 fk k=1 là một dãy Bessel. Từ đó kéo theo toán tử khung  ∞ của S −1 fk k=1 hoàn toàn xác định. Theo định nghĩa nó tác động lên f ∈ H bởi ∞ ∞   P P f, S −1 fk S −1 fk = S −1 S −1 f, fk fk k=1 k=1 = S −1 SS −1 f = S −1 f.  ∞ Điều này chỉ ra rằng toán tử khung của S −1 fk k=1 bằng S −1 . Toán tử S −1 giao hoán với cả S và I . Vì thế ta có thể nhân bất đẳng thức AI ≤ S ≤ BI với S −1 , điều này cho ta: B −1 I ≤ S −1 ≤ A−1 I. 13 Tức là  B −1 kf k2 ≤ S −1 f, f ≤ A−1 kf k2 , ∀f ∈ H. Ta có B −1 kf k2 ≤ ∞   P  f, S −1 fk 2 ≤ A−1 kf k2 , ∀f ∈ H. k=1 Vì vậy, S −1 fk  ∞ k=1 là một khung với các cận khung B −1 , A−1 . Để chứng minh tính tối ưu của các cận (trong trường hợp A, B là các ∞ cận tối ưu của {fk }∞ k=1 ), giả sử A là cận dưới tối ưu của {fk }k=1 và giả  ∞ 1 thiết rằng cận trên tối ưu của S −1 fk k=1 là C < . A  ∞ Bằng cách áp dụng điều ta vừa chứng minh cho khung S −1 fk k=1 có n o∞
∞ −1 −1 −1 −1 toán tử khung S , ta thu được {fk }k=1 = S S fk có cận k=1 1 dưới là > A, nhưng điều này là mâu thuẫn. C  ∞ 1 Vì vậy, S −1 fk k=1 có cận trên tối ưu là . Lập luận tương tự cho cận A dưới tối ưu.   −1 Khung S fk được gọi là khung đối ngẫu chính tắc của {fk }. Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng nhất. Nó chỉ ra rằng nếu {fk } là một khung của H thì mọi phần tử trong H có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung. Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng. Định lý 1.2.2. Giả sử {fk }∞ k=1 là một khung với toán tử khung là S . Khi đó f= ∞ X  f, S −1 fk fk , ∀f ∈ H, (1.6) k=1 chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H. Chứng minh. Giả sử f ∈ H. Sử dụng các tính chất của toán tử khung trong Mệnh đề 1.2.2 ta có 14 f = SS −1 ∞ ∞ X X −1   f= S f, fi fi = f, S −1 fi fi , ∀f ∈ H. i=1 i=1 Do {fk }∞ k=1 là một dãy Bessel và  f, S −1 fk  ∞ k=1 ∈ l2 (N), theo Hệ quả  1.2.3 chuỗi hội tụ không điều kiện. 1.3 G-khung trong không gian Hilbert Năm 2006, W.Sun [10] đưa ra khái niệm g-khung trong không gian Hilbert. Các g-khung là các khung suy rộng, bao gồm các khung thông thường, các toán tử tuyến tính bị chặn khả nghịch cũng như các giả khung(Pseudo-frames), các khung của các không gian con (Frames of subspaces). G-khung là khái niệm tổng quát hóa tự nhiên của khung, nó cho nhiều lựa chọn hơn cho các hàm phân tích từ các hệ số khai triển khung. G-khung có nhiều tính chất hữu ích như khung và hữu ích trong nhiều ứng dụng. Nội dung của mục này được trình bày dựa trên các tài liệu tham khảo [1], [2], [4], [9]-[12]. Từ nay về sau ta sẽ giả thiết U và V là hai không gian Hilbert phức và {Vj }j∈J là một dãy các không gian con của V , trong đó J là tập hợp con của Z. L (U, Vj ) ký hiệu là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ U vào Vj . Giả sử rằng aj , bj ∈ Vj với j ∈ J thỏa mãn 2 j∈J kaj k < +∞ và P 2 j∈J kbj k P < +∞. Với mọi tập con hữu hạn J1 ⊂ J, ta có   !1/2 P  P P   haj , bj i ≤ kaj k kbj k ≤ kaj k2  j∈J1  j∈J1 j∈J1 Do đó chuỗi P j∈J haj , bj i hội tụ trong C.   2 Bây giờ ta định nghĩa không gian l {Vj }j∈J bởi 15 !1/2 P j∈J1 kbj k2 .