Tài liệu Tính giãn nở của các g khung đối ngẫu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TẠ VĂN MẠNH TÍNH GIÃN NỞ CỦA CÁC G - KHUNG ĐỐI NGẪU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TẠ VĂN MẠNH TÍNH GIÃN NỞ CỦA CÁC G - KHUNG ĐỐI NGẪU Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN QUỲNH NGA Hà Nội - 2017 Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành tới TS. Nguyễn Quỳnh Nga, người đã tận tình truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình đã luôn cổ vũ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi cũng xin cám ơn các anh chị học viên lớp K19 Toán Giải tích và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Hà Nội, tháng 8 năm 2017 Tác giả Tạ Văn Mạnh i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 8 năm 2017 Tác giả Tạ Văn Mạnh ii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Các ký hiệu 1 Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert . . . . . 5 1.2 Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao . . . . . . . . . . 8 1.3 Tổng trực tiếp của các không gian Hilbert . . . . . . . . . . 9 2 Tính giãn nở của các khung đối ngẫu 2.1 11 Khái niệm và một số tính chất cơ bản của khung và cơ sở Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Tính chất bù nhau và rời nhau của các khung . . . . . . . . 22 2.3 Tính giãn nở của các khung đối ngẫu . . . . . . . . . . . . 25 3 Tính giãn nở của các g – khung đối ngẫu 3.1 31 Khái niệm và một số tính chất cơ bản của g – khung và g – cơ sở Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Tính chất bù nhau và rời nhau của các g – khung . . . . . . 40 3.3 Tính giãn nở của các g – khung đối ngẫu . . . . . . . . . . 46 Kết luận 56 iii Tài liệu tham khảo 57 iv Các ký hiệu N tập các số tự nhiên Z tập các số nguyên R tập các số thực C tập các số phức I tập đếm được như N, Z, Z2 , N ∪ N, . . . H, K các không gian Hilbert khả ly h., .iH tích vô hướng của H kf k chuẩn của vecto f B (H, K) tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K B (H) tập các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào H l2 (I) không gian các dãy số thực hoặc phức sao cho chuỗi bình phương các modul hội tụ. F Fe khung trong không gian Hilbert H TF toán tử tổng hợp của khung F TF∗ toán tử liên hợp của TF (toán tử phân tích) SF toán tử khung của khung F Λ g - khung của H đối với {Hi }i∈I khung đối ngẫu chính tắc của F (gọi tắt là g - khung của H). TΛ toán tử tổng hợp của g - khung Λ TΛ∗ toán tử liên hợp của TΛ (toán tử phân tích của g - khung Λ). 1 SΛ toán tử g - khung của g - khung Λ span(E) bao tuyến tính của tập E Range(T ) miền giá trị của toán tử T 2 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi R. J. Duffin và A. C. Schaeffer [7]. Tuy nhiên cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của khung cho đến khi bài báo của I. Daubechies, A. Grossman và Y. Meyer [6] ra đời vào năm 1986. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, hình ảnh, lý thuyết mật mã, nén dữ liệu,. . . Gần đây có một số các khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung được đưa ra như khung của các không gian con [4] (Frame of subspaces), khung nghiêng [6] (Oblique frame),.... Tất cả các khái niệm này đều đã được chứng minh là hữu ích trong nhiều ứng dụng. Các khái niệm này đều có thể xem như các trường hợp đặc biệt của g - khung (được đưa ra bởi W. Sun [12] năm 2006) và nhiều tính chất cơ bản của khung vẫn còn đúng cho g - khung, ví dụ như tính giãn nở của khung đối ngẫu thành cơ sở Riesz đối ngẫu. Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về tính giãn nở của các g - khung đối ngẫu trong không gian Hilbert, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của cô giáo, TS. Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã chọn “ Tính giãn nở của các g - khung đối ngẫu " làm đề tài luận văn tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về tính giãn nở của các g khung đối ngẫu, một số tính chất cơ bản của g - khung và g - cơ sở Riesz, tính chất bù nhau và rời nhau của các g - khung trong không gian Hilbert. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về tính giãn nở của các g - khung đối ngẫu trong không gian 3 Hilbert. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4.1. Đối tượng nghiên cứu Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung và cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, tính chất bù nhau và rời nhau của các khung, tính giãn nở của các khung đối ngẫu. Khái niệm và các ví dụ về g - khung và g - cơ sở Riesz trong không gian Hilbert, toán tử g - khung và g - khung đối ngẫu, tính chất bù nhau và rời nhau của các g - khung, tính giãn nở của các g - khung đối ngẫu. 4.2. Phạm vi nghiên cứu Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến tính giãn nở của các g - khung trong không gian Hilbert. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề. Thu thập tài liệu các bài báo về g - khung trong không gian Hilbert. Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất. 6. Đóng góp của luận văn Trình bày tổng quan về tính giãn nở của các g - khung đối ngẫu trong không gian Hilbert. 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này dành để trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản của giải tích hàm sẽ được sử dụng ở các chương sau. Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu [5], [10]. 1.1 Toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Cho H, K là các không gian Hilbert, T : H → K là toán tử tuyến tính. Khi đó, ta nói T là toán tử tuyến tính liên tục từ H vào K khi và chỉ khi nó bị chặn, nghĩa là, tồn tại hằng số c > 0 sao cho kT xk ≤ c kxk, ∀x ∈ H. (1.1) Ký hiệu B(H, K) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ H vào K. Khi H = K thì B(H, K) được ký hiệu đơn giản là B(H). Chuẩn của T ∈ B(H, K) được định nghĩa là hằng số c nhỏ nhất thỏa mãn (1.1). Nói một cách tương đương, kT k = sup {kT xk : x ∈ H, kxk ≤ 1} = sup {kT xk : x ∈ H, kxk = 1} . Mệnh đề 1.1.2 Giả sử H, L, K là các không gian Hilbert. Nếu T ∈ B(H, K) thì tồn tại duy nhất một toán tử T ∗ ∈ B(K, H) sao cho 5 hT ∗ x, yi = hx, T yi, (x ∈ K, y ∈ H). Hơn nữa, (1) (aS + bT )∗ = ā S ∗ + b̄ T ∗ . (2) (RS)∗ = S ∗ R∗ . (3) (T ∗ )∗ = T. (4) I ∗ = I. (5) Nếu T khả nghịch thì T ∗ cũng khả nghịch và (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 , trong đó S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K, L) và a, b ∈ C. Toán tử T ∗ ở Mệnh đề 1.1.2 được gọi là toán tử liên hợp của toán tử T . Mệnh đề 1.1.3 Giả sử T ∈ B(H, K) và S ∈ B(K, L). Khi đó (1) kT xk ≤ kT kkxk, ∀x ∈ H. (2) kST k ≤ kSkkT k. (3) kT k = kT ∗ k. (4) kT ∗ T k = kT k2 . Cho T ∈ B(H, K), trong đó H, K là các không gian Hilbert. Ta ký hiệu Ker T = {x ∈ H : T x = 0} ,  Range T = y ∈ K : y = T x với x ∈ H . Mệnh đề 1.1.4 Giả sử T ∈ B(H). Khi đó H = Ker(T ) ⊕ Range(T ∗ ) = Ker(T ∗ ) ⊕ Range(T ). Định nghĩa 1.1.5 Cho T, K ∈ B(H). Ta nói (1) T là toán tử tự liên hợp nếu T ∗ = T. 6 (2) T là unita nếu T ∗ T = T T ∗ = I. (3) T là toán tử dương nếu hT x, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H. Ký hiệu T ≥ 0. (4) T ≥ K nếu T − K ≥ 0. Chú ý rằng với mỗi T ∈ B(H) thì hT ∗ T x, xi = hT x, T xi ≥ 0, ∀x ∈ H. Do đó T ∗ T là toán tử dương. Mệnh đề 1.1.6 Giả sử T, S ∈ B(H). Khi đó các điều kiện sau là tương đương (1) T là toán tử dương. (2) T = S 2 trong đó S là toán tử dương. Toán tử S trong (2) là duy nhất và được gọi là căn bậc 2 của T , ký 1 hiệu T 2 . Mệnh đề 1.1.7 Cho T ∈ B (H, K). Khi đó T là toàn ánh khi và chỉ khi tồn tại c > 0 sao cho kT ∗ f k ≥ c kf k, ∀f ∈ K. Định lý 1.1.8 Cho T ∈ B (H) và kI − T k < 1. Khi đó T khả nghịch. Mệnh đề 1.1.9 Giả sử T ∈ B(H). Khi đó (1) T là tự liên hợp nếu và chỉ nếu hT x, xi là thực với mọi x ∈ H. Đặc biệt, toán tử dương là tự liên hợp. (2) T là unita nếu và chỉ nếu T là ánh xạ bảo toàn chuẩn (hay tương đương là bảo toàn tích vô hướng) từ H lên H. 7 1.2 Phép chiếu trực giao và phần bù trực giao Trong không gian Hilbert, nhờ tích vô hướng, có thể định nghĩa khái niệm trực giao của hai vectơ, của một vectơ với một tập hay của hai tập hợp như sau: Định nghĩa 1.2.1 Cho H là một không gian Hilbert, u, v ∈ H và M, N là các tập con của H. Ta nói (1) u trực giao với v nếu hu, vi = 0. (2) u trực giao với M nếu hu, xi = 0 với mọi x ∈ M. (3) M trực giao với N nếu hx, yi = 0 với mọi x ∈ M, y ∈ N. Ký hiệu M ⊥ là tập hợp tất cả các vectơ trong H và trực giao với M . Mệnh đề 1.2.2 Cho M là một không gian con đóng của một không gian Hilbert H. Bất kỳ phần tử x nào của H cũng có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = y + z với y ∈ M và z ∈ M ⊥ , trong đó y là phần tử của M gần x nhất, tức là kx − yk ≤ kx − uk với mọi u ∈ M. M ⊥ được gọi là phần bù trực giao của M trong H. Ta viết H = M ⊕ M ⊥. Phương trình P (y + z) = y, (y ∈ M, z ∈ M ⊥ ) xác định một toán tử tuyến tính P : H → M . Khi đó P được gọi là phép chiếu trực giao từ H lên M . Chú ý rằng I − P là phép chiếu trực giao từ H lên M ⊥ và (I − P )(y + z) = z, (y ∈ M, z ∈ M ⊥ ). Do hy, zi = 0 khi y ∈ M và z ∈ M ⊥ , ta có kP (y + z)k2 = kyk2 ≤ kyk2 + kzk2 = ky + zk2 ⇒kP (y + z)k ≤ ky + zk. Do đó P bị chặn với kP k ≤ 1. Lại có hP (y + z), y + zi = hy, y + zi = kyk2 ≥ 0 8 nên P cũng là toán tử dương (do đó P là tự liên hợp). Do P y = y với mọi y ∈ M, kP k = 1 trừ trường hợp M = {0} và P = 0. Chú ý rằng P 2 = P và M = {P x : x ∈ H} = {y ∈ H : P y = y} và M ⊥ = {z ∈ H : P z = 0} . Ngược lại, giả sử P ∈ B(H) và P 2 = P = P ∗ . Khi đó P là phép chiếu trực giao từ H lên M = {P x : x ∈ H}. Như vậy có một quan hệ 1 − 1 giữa các không gian con đóng M của một không gian Hilbert H và các phép chiếu trực giao trên H. Mệnh đề 1.2.3 Cho M và N là các không gian con đóng của không gian Hilbert H. Gọi P và Q là các phép chiếu trực giao từ H lên M và N tương ứng. Khi đó ( ) kP − Qk = max supkQ⊥ gk, supkP ⊥ hk . g∈M, kgk=1 1.3 h∈N, khk=1 Tổng trực tiếp của các không gian Hilbert Khi H1 , . . . , Hk là các không gian Hilbert và K là tập tất cả các bộ {x1 , . . . , xk } với xi ∈ Hi (i = 1, . . . , k), ta có một cấu trúc không gian Hilbert trên K, trong đó các toán tử đại số, tích vô hướng và chuẩn được định nghĩa bởi a {x1 , . . . , xk } + b {y1 , . . . , yk } = {ax1 + by1 , . . . , axk + byk } , h{x1 , . . . , xk } , {y1 , . . . , yk }i = hx1 , y1 i + · · · + hxk , yk i,  1 k{x1 , . . . , xk }k = kx1 k2 + · · · + kxk k2 2 . Không gian Hilbert K được gọi là tổng trực tiếp của H1 , . . . , Hk và k P được ký hiệu bởi H1 ⊕ · · · ⊕ Hk hoặc ⊕Hi . i=1 0 Với mỗi i = 1, . . . , k , tập Hi bao gồm những bộ k có các thành phần bằng không ngoại trừ vị trí thứ i, là một không gian con đóng của H1 ⊕ 0 · · ·⊕Hk . Ánh xạ Ui : Hi → Hi , định nghĩa bởi Ui x = {0, . . . , 0, x, 0, . . . , 0} 9 0 (với x ở vị trí thứ i) là một đẳng cấu từ Hi vào Hi . Các không gian con k k W W 0 0 0 0 Hi Hi = K, trong đó H1 , . . . , Hk trực giao với nhau từng đôi một và i=1 i=1 0 ký hiệu là không gian con đóng nhỏ nhất chứa mỗi Hi . Giả sử rằng H1 , . . . , Hk là các không gian con trực giao với nhau từng k W Hi = H. Khi đó, các cặp phép đôi một của không gian Hilbert H và i=1 chiếu trực giao tương ứng P1 , . . . , Pk có tổng I . Toán tử tuyến tính U : H → 0 K, được định nghĩa bởi U x = {P1 x, . . . , Pk x}, ánh xạ Hi lên Hi (i = 1, . . . , k) và H lên K (= H1 ⊕ · · · ⊕ Hk ), và là một unita do 2 k k X X 2 2 kU xk = kPi xk = Pi x = kxk2 (x ∈ H). i=1 i=1 Nghịch đảo của nó U −1 mang {x1 , . . . , xk } của K vào x1 + · · · + xk . Nhờ đẳng cấu này, ta xem H như một tổng trực tiếp "trong" của H1 , . . . , Hk và K như tổng trực tiếp "ngoài"; thỉnh thoảng, ta đồng nhất H với K và 0 Hi với Hi . Nếu Hi , Ki là các không gian Hilbert và Ti ∈ B(Hi , Ki ) (i = 1, . . . , k), đẳng thức T {x1 , . . . , xk } = {T1 x1 , . . . , Tk xk } (x1 ∈ H1 , . . . , xk ∈ Hk ) định nghĩa một toán tử tuyến tính T từ H1 ⊕ · · · ⊕ Hk vào K1 ⊕ · · · ⊕ Kk , được k P gọi là tổng trực tiếp ⊕Ti của T1 , . . . , Tk . i=1 Ta có thể kiểm tra được rằng: k P 1) ⊕T i = sup {kTi k : i = 1, . . . , k} , i=1 2) k P  ⊕ (aSi + bTi ) = a i=1  3) k P i=1 k P   ⊕Si + b i=1  ⊕Ri k P i=1  ⊕Si  = k P  ⊕Ti , i=1 k P  ⊕Ri Si , i=1 trong đó Si , Ti ∈ B(Hi , Ki ), Ri ∈ B(Ki , Li ) và a, b ∈ C. 10 Chương 2 Tính giãn nở của các khung đối ngẫu Trong chương 2 chúng ta sẽ nghiên cứu về khung, cơ sở Riesz trong không gian Hilbert và các tính chất cơ bản của chúng. Hơn nữa chúng ta sẽ đi sâu vào nghiên cứu tính chất bù nhau và rời nhau của các khung, tính giãn nở của các khung đối ngẫu. Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu [3], [5], [9]. 2.1 Khái niệm và một số tính chất cơ bản của khung và cơ sở Riesz Cho H là một không gian Hilbert khả ly và I là tập chỉ số đếm được. Định nghĩa 2.1.1 Dãy {fi }i∈I trong H được gọi là dãy Bessel nếu ∃ B > 0: X |hf, fi i|2 ≤ B kf k2 , ∀f ∈ H. i∈I B được gọi là cận Bessel của {fi }i∈I . Định nghĩa 2.1.2 Một dãy {fi }i∈I trong H được gọi là một khung nếu tồn tại hai hằng số 0 < A ≤ B < ∞ sao cho X A kf k2 ≤ |hf, fi i|2 ≤ B kf k2 , ∀f ∈ H. i∈I 11 (2.1) Các số A, B được gọi là các cận của khung. Chúng không là duy nhất. Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng của tất cả các cận trên của khung và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng của tất cả các cận dưới của khung. Khung {fi }i∈I được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval nếu A = B = 1. √ ! 1 3 , , 2 2 Ví dụ 2.1.3 Lấy H = R2 , I = {1, 2, 3} , e1 = (1, 0) , e2 = √ ! 3 1 ,− . e3 = 2 2 Với x = (x1 , x2 ) ∈ R2 bất kì, ta có !2 !2 √ √ X 1 1 3 3 |hx, ei i|2 = x21 + x1 + x2 + x1 − x2 2 2 2 2 i∈I
3 2 = x1 + x22 2 3 = kxk2 . 2 Vậy {e1 , e2 , e3 } là khung chặt với cận khung là 3 . 2 Ví dụ 2.1.4 Giả sử {ei }∞ i=1 là một cơ sở trực chuẩn của H. Khi đó ta có các khẳng định sau: (1) {ei }∞ i=1 là khung Parseval. Điều này suy ra từ tính chất của cơ sở trực ∞ P chuẩn, kf k2 = |hf, ei i|2 với mọi f ∈ H. i=1 (2) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {ei }∞ i=1 hai lần ta thu được ∞ {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e2 , . . . }. Khi đó {fk }k=1 là khung chặt với cận khung A = 2. Thật vậy, ta có ∞ P k=1 2 |hf, fk i| = 2 ∞ P k=1 |hf, ek i|2 = 2 kf k2 , ∀f ∈ H. Nếu chỉ e1 được lặp lại ta thu được {fk }∞ k=1 = {e1 , e1 , e2 , e3 , . . . } khi đó 12 {fk }∞ k=1 là khung với cận A = 1, B = 2. Thật vậy, ta có ∞ X 2 2 |hf, fk i| = |hf, e1 i| + ∞ X |hf, ek i|2 k=1 k=1 ≤ ∞ X 2 |hf, ek i| + k=1 ∞ X =2 ∞ X |hf, ek i|2 k=1 |hf, ek i|2 k=1 = 2 kf k2 . Mặt khác |hf, e1 i|2 + ∞ P k=1 Do đó 2 kf k ≤ ∞ P |hf, ek i|2 ≥ |hf, ek i|2 = kf k2 . k=1 ∞ X |hf, fk i|2 ≤ 2 kf k2 , ∀f ∈ H. k=1 Vì vậy {fk }∞ k=1 là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận khung trên là 2. Mệnh đề 2.1.5 Cho một dãy {fj }m j=1 trong không gian Hilbert H. Khi đó m {fj }m j=1 là một khung cho span {fj }j=1 . Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng m P không. Ta thấy ngay điều kiện khung trên là thỏa mãn với B = kfj k2 . j=1 Ký hiệu V := span {fj }m j=1 . Khi đó V cùng với tích vô hướng trên H là một không gian Hilbert hữu hạn chiều. Xét ánh xạ liên tục Φ : V → R, Φ (f ) := m X |hf, fj i|2 . j=1 Mặt cầu đơn vị trong V là compact, vì vậy ta có thể tìm g ∈ V với kgk = 1 sao cho A := m X j=1 |hg, fj i|2 = inf  m X  j=1   2 |hf, fj i| : f ∈ V, kf k = 1 .  13 Rõ ràng là A > 0. Bây giờ ta lấy f ∈ V, f 6= 0, ta có 2 m m  X X  f  2 2 2   , f |hf, fj i| =  kf k j  kf k ≥ A kf k . j=1 j=1  Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 2.1.6 Dãy {fi }i∈I được gọi là đầy đủ trong H nếu span {fi }i∈I = H. Bổ đề 2.1.7 Nếu {fi }i∈I là một khung của H thì {fi }i∈I là một dãy đầy đủ trong H. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử g 6= 0 thuộc H P sao cho g ⊥ span {fi }i∈I . Khi đó hg, fi i = 0, ∀i ∈ I. Khi đó |hg, fi i|2 = i∈I 0. Mặt khác, do {fi }i∈I là một khung nên tồn tại 0 < A < +∞ sao cho P P Akf k2 ≤ |hf, fi i|2 , ∀f ∈ H. Cho f = g ta được Akgk2 ≤ |hg, fi i|2 = i∈I i∈I 0. Do g 6= 0 nên A = 0. Mâu thuẫn trên chứng tỏ span {fi }i∈I = H.  Định lý sau cho ta đặc trưng một dãy Bessel thông qua một toán tử tuyến tính bị chặn. Định lý 2.1.8 Giả sử F = {fi }i∈I là một dãy trong H. Khi đó {fi }i∈I là một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi X TF : {ci }i∈I → ci fi i∈I là toán tử hoàn toàn xác định, bị chặn từ l2 (I) vào H và kTF k ≤ √ B. Từ định lý trên ta suy ra hệ quả sau. Hệ quả 2.1.9 Nếu {fi }i∈I là một dãy trong H và P i∈I ci fi hội tụ với mọi {ci }i∈I ∈ l2 (I) thì {fi }i∈I là một dãy Bessel. P Định nghĩa 2.1.10 Chuỗi gi trong không gian Banach X được gọi là i∈I P gσ(i) hội tụ tới cùng một phần tử với mọi hội tụ không điều kiện nếu i∈I hoán vị σ. 14