Tài liệu Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân

Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, các nhà khoa học giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, các thầy cô phòng Sau Đại học, Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Đặc biệt tôi xin cảm ơn TS. Nguyễn Văn Khải đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài. Tôi xin cảm ơn các bạn học viên lớp K12 Toán Giải tích, bạn bè, đồng nghiệp đã có những đóng góp quý báu trong suốt quá trình viết luận văn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010. Tác giả Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu khoa học của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS. Nguyễn Văn Khải. Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 9 năm 2010. Tác giả 2 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach . . . . . . . . 12 1.1.4. Một số hình thức hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.5. Một số định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.2. Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.3. Hội tụ yếu và hệ đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3.1. Một số khái niệm về hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.3.2. Một số vấn đề về đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Chương 2. Tính gần đúng phiếm hàm tích phân xác định 2.1. Một số công thức tính gần đúng tích phân I ............ 44 44 2.1.1. Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.2. Công thức Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1.3. Công thức Newton – Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.4. Công thức Chebyshe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.1.5. Công thức Gauss – Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.2. Sự hội tụ của quá trình tính gần đúng tích phân . . . . . . . . . 58 3 2.2.1. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2.2. Định lý Polya về sự hội tụ của quá trình . . . . . . . . . . . . 59 tính gần đúng tích phân xác định 2.2.3. Sự không tồn tại của công thức tính gần đúng tích phân 61 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Vấn đề tính gần đúng tích phân xác định là một vấn đề cổ điển của toán học và đã được các nhà toán học nổi tiếng trên thế giới quan tâm từ lâu, những nhà toán học tên tuổi Lagrange, Newton, Cotes, Chebyshev, Gauss, Beirstein,… gắn liền với quá trình phát triển của các công thức tính gần đúng tích phân. Lý thuyết tính gần đúng tích phân đã được đưa vào giảng dạy ở các bậc đại học không chỉ trong chương trình đào tạo cử nhân Toán học mà còn được giảng dạy cho cả các ngành Vật lý và đào tạo kỹ sư; điều đó nói lên vai trò đặc biệt của nó. Tuy nhiên, hầu hết các tài liệu tiếng Việt hiện này trình bày về lý thuyết tính gần đúng tích phân đều mang màu sắc cổ điển, thiếu đi một cách nhìn hiện đại. Chính vì vậy tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân” 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn này làm sáng tỏ các vấn đề về tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân xác định và đặt phép tính tích phân dưới góc nhìn của khái niệm phiếm hàm trong các không gian của giải tích hàm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Một là, nghiên cứu các công thức tính gần đúng tích phân dưới góc nhìn của phiếm hàm tuyến tính. Hai là, nghiên cứu sự hội tụ quá trình tính tích phân. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4 Nghiên cứu về các phiếm hàm tuyến tính trong các không gian Banach, không gian Hilbert. 5. Phương pháp nghiên cứu Áp dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học. Cụ thể là áp dụng các nguyên lý cơ bản trong giải tích hàm như: Nguyên lý ánh xạ co, Nguyên lý bị chặn đều, các khái niệm hội tụ trong giải tích hàm. 6. Những đóng góp mới Luận văn trình bày tương đối hệ thống vấn đề tính gần đúng phiếm hàm tuyến tính tích phân xác định trên tập số thực. 5 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Banach 1.1.1. Không gian Metric Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X ¹ Æ cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X ´ X vào tập hợp số thực ¡ thỏa mãn các tiên đề sau: 1) Với mọi x , y Î X : d (x , y ) ³ 0 ; d (x, y ) = 0 Û x = y . 2) Với mọi x , y Î X : d (x , y ) = d (y , x ). 3) Với mọi x , y , z Î X : d (x , y ) £ d (x , z ) + d (z , y ). Ánh xạ d gọi là metric trên X . Không gian metric được kí hiệu là (X , d ). Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric (X , d ) và dãy điểm (x n ) Ì X , điểm x 0 Î X . Dãy điểm (x n ) được gọi là hội tụ tới điểm x 0 trong không gian X khi n ® ¥ , nếu với mọi e > 0 , $n 0 Î ¥ * , với " n ³ n0 : d (xn , x 0 ) < e . Ký hiệu: lim x n = x 0 hay x n ® x 0 (n ® ¥ ). n® ¥ Điểm x 0 còn gọi là giới hạn của dãy (x n ) trong không gian X . Định nghĩa 1.1.3. Cho không gian metric (X , d ). Dãy điểm (x n ) Ì X được gọi là dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong X , nếu với mọi e > 0 , tồn tại 6 n 0 Î ¥ * , " m, n ³ n 0 : d (x n , x m ) < e . Nhận xét 1.1.1. Mọi dãy điểm (x n ) Ì X hội tụ trong X đều là dãy cơ bản. Định nghĩa 1.1.4. Không gian metric (X , d ) gọi là không gian đầy, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ tới một phần tử x 0 Î X . 1.1.2. Không gian Banach Định nghĩa 1.1.5. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường số thực ¡ cùng với một ánh xạ từ X vào ¡ , ký hiệu là × , thỏa mãn các điều kiện sau: 1. x ³ 0 " x Î X đồng thời x = 0 Û x = 0 . 2. ax = a x " x Î X , " a Î ¡ . 3. x + y £ x + y " x, y Î X . Số x gọi là chuẩn của vectơ x . Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn là X . Mệnh đề 1.1.1. Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vectơ bất kỳ x , y ta đặt d (x , y ) = x - y . Khi đó d là một metric trên X . Nhận xét 1.1.2. Mệnh đề 1.1.1 chứng tỏ rằng khi trang bị khoảng cách d (x , y ) = x - y thì mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric. Do đó mọi khái niệm và mệnh đề đã đúng cho không gian metric cũng đúng cho không gian định chuẩn. 7 Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian tuyến tính X và Y là một tập con khác rỗng của X . Tập hợp của các tổ hợp tuyến tính xây dựng từ các vectơ trong Y được gọi là bao tuyến tính của Y (hay không gian con sinh bởi Y ) và ký hiệu là span(Y ) . Định nghĩa 1.1.7. Cho Y = {x k } là hệ các phần tử trong không gian tuyến tính định chuẩn X . Nếu bao đóng của không gian span(Y ) trùng với X (nghĩa là span (Y ) = X ) thì ta nói {x k } là hệ các phần tử đóng trong X . Định nghĩa 1.1.8. Dãy điểm {x n } của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới x Î X nếu lim x n - x = 0 . n® ¥ Ký hiệu lim x n = x . n® ¥ Định nghĩa 1.1.9. Dãy điểm {x n } của không gian định chuẩn X là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu lim x n - x m = 0 . n ,m ® ¥ Định nghĩa 1.1.10. Không gian định chuẩn X là không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong nó đều hội tụ. Nói cách khác: Nếu không gian định chuẩn X là không gian metric đầy với khoảng cách sinh bởi chuẩn d (x , y ) = x - y , x , y Î X thì X được gọi là không gian Banach. Ví dụ 1.1.3. (Không gian các hàm liên tục) Ký hiệu C éa ,bù là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn éêa, bùú. ë û ú ëê û Bởi vì mỗi hàm thực liên tục trên một đoạn là bị chặn trên đoạn đó nên ta có thể xác định { } f = sup f (x ) : x Î éêëa, bùûú . 8 Nhận thấy f a f xác định như trên cho ta một chuẩn trên không gian C éa ,bù, do đó C éa ,bù là một không gian định chuẩn. Sự hội tụ trong C éa ,bù đối với ú ëê û ú ëê û ú ëê û chuẩn này là sự hội tụ đều. Dưới đây ta chứng minh rằng C éa ,bù là không gian Banach. ú ëê û Thật vậy, cho fn là một dãy cơ bản trong C éa ,bù. Khi đó ú ëê û " e ³ 0, $ n 0 Î ¥ *, " n , m Î éêa, bù ú ë û fn (x )- fm (x ) £ e . 3 (1) ¥ { } Như vậy mỗi x Î éêa, bùú cố định, dãy số fn (x ) là một dãy cơ bản ë û n=1 trong ¡ . Do ¡ đầy nên tồn tại f (x ) = lim fn (x ), " x Î éêëa, bùûú. Ta sẽ chỉ ra n® ¥ f Î C éa ,bù và fn ® f trong C éa ,bù. Với x cố định thuộc C éa ,bù trong (1) cho ú ëê û ú ëê û ú ëê û m ® ¥ và n ³ n 0 ta được fn (x )- f (x ) £ e , " x Î éêëa, bùúû, " n ³ n 0 . 3 (2) Vì fn liên tục tại x 0 nên tồn tại d > 0 sao cho 0 e " x Î éêa, bùú: x - x 0 < d thì fn (x )- fn (x 0 ) < . ë û 3 0 (3) 0 Từ (2) và (3) suy ra f (x )- f (x 0 ) £ f (x )- fn (x ) + fn (x )- fn (x 0 ) + fn (x 0 )- f (x 0 ) 0 < 0 e e e + + = e. 3 3 3 Như vậy ra đã chứng minh được rằng với " x Î éêëa, bùûú: x - x 0 < d thì 9 f (x )- f (x 0 ) < e . Tức là f là hàm liên tục trên éêa, bùú (do x 0 tùy ý thuộc éêa, bùú). Cũng từ ë û ë û { ¥ } (2) suy ra dãy fn (x ) n=1 { } hội tụ về hàm f (x ) trong C éa ,bù. êë ú û Vậy C éa ,bù là không gian Banach. êë ú û Ví dụ 1.1.4. ( Không gian các hàm thực liên tục trên đoạn éa, bù với chuẩn êë ú û tích phân) Ký hiệu L éa ,bù là không gian các hàm liên tục trên đoạn ú ëê û éa, bù. Trên L é ù êë ú û ëêa ,bûú đối với mỗi hàm số x (t ) ta xác định một hàm b x (t ) = ò x (t )dt . a Rõ ràng hàm x (t ) a x (t ) thỏa mãn ba tiên đề trong định nghĩa chuẩn, vậy L éa ,bù là không gian định chuẩn. Ta sẽ chứng tỏ rằng L éa ,bù không êë ú û êë ú û phải là không gian Banach. { } Cho éêa, bùú= éê0,1ùú. Trong L é0,1ù xét dãy hàm x n (t ) như sau: ë û ë û ëê ûú ìï ïï ïï 1 ïï x n (t ) = ïí n + 1 - 2nt ïï ïï ïï 0 ïïî khi 0 £ t £ khi khi Với mỗi m > n ³ 1 ta có: 1 x m (t )- x n (t ) = ò x (t )m 0 x n (t ) dt 1 2 1 1 1 £ t£ + 2 2 2n 1 1 + £ t £ 1. 2 2n 10 1 1 + 2 2n = ò x m (t )- x n (t ) dt . 1 2 1 n® ¥ ¾¾ ¾® 0 . Ta suy ra 2n Vì x m (t )- x n (t ) £ 1 nên x m (t )- x n (t ) £ { } dãy x n (t ) là dãy cơ bản. Tuy nhiên dãy này không hội tụ. { } Thật vậy, giả sử dãy hàm x n (t ) hội tụ tới hàm x (t ) nào đó trong L é0,1ù, tức ú ëê û là 1 ò x (t )- x (t )dt ® 0. n 0 Tích phân này lại có thể viết 1 2 1 ò x n (t )- x (t )dt = 0 ò 1 x n (t )- x (t )dt + ò x (t )- x (t )dt . 0 n 1 2 Nên ta phải có: 1 2 ò 1 x n (t )- x (t )dt ® 0 và 0 ò x (t )- x (t )dt n ® 0. 1 2 Nhưng rõ ràng 1 2 1 ò x (t )n 0 1dt ® 0 và ò x (t )n 0dt ® 0 . 1 2 { } Như vậy, hai hàm x (t ) và 1 cùng là giới hạn của x n (t ) trong L é 1 ù. { } ê0, ú ê 2ú ë û Ta cũng có x (t ) và 0 cũng là giới hạn của x n (t ) trong L é1 ù . ê ,1ú ê2 ú ë û 11 é 1ù é1 ù Từ đó suy ra x (t ) = 1 " t Î ê0; ú; và x (t ) = 0 " t Î ê ,1ú ê 2ú ê2 ú ë û ë û æ1 ö æ1 ÷ ö çç ÷= 1 . ÷= Suy ra x çç ÷ và 0 x çè2 ÷ çè2 ÷ ÷ ÷ ø ø { } Điều này vô lý, do đó dãy x n (t ) không hội tụ trong L é0,1ù. êë ú û Vậy L é0,1ù không phải là không gian Banach. ú ëê û Định nghĩa 1.1.11 (Chuẩn tương đương). Cho không gian tuyến tính X và trên đó xác định hai chuẩn . và . . Hai chuẩn này gọi là tương đương nếu 1 2 tồn tại hai số dương a , b sao cho. a x £ x 1 2 £ b x 1 "x Î X . Định nghĩa 1.1.12. Cho không gian định chuẩn X và một dãy các phần tử {x }Ì n X . Tổng hình thức x 1 + x 2 + ... + x n + ... ¥ được gọi là chuỗi trong X và được ký hiệu là å xn . n=1 Phần tử x n được gọi là số hạng thứ n của chuỗi. Với mỗi n đặt n S n = x 1 + x 2 + ... + x n = å xk k= 1 ¥ và S n được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi å xn . n=1 Từ đó ta được dãy {Sn } Ì X gọi là dãy tổng riêng của chuỗi nÎ ¥ ¥ å xn . n=1 Định nghĩa 1.1.13. Cho không gian tuyến tính định chuẩn X và {x n } là 12 dãy phần tử trong X . Nếu dãy các tổng riêng {S n }Î X hột tụ đến S Î X thì chuỗi x 1 + x 2 + ... + x n + ... được gọi là hội tụ và S gọi là tổng của chuỗi ¥ này. Ta cũng nói dãy å x n khả tổng và viết n=1 ¥ S = å xn . n=1 Trường hợp ngược lại ta nói rằng dãy phân kỳ. ¥ Định nghĩa 1.1.14. Chuỗi ¥ x n gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số å n=1 å xn n=1 hội tụ. ¥ Định lý 1.1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy). Chuỗi å x n trong không gian Banach X n=1 là hội tụ khi và chỉ khi với " e > 0, $ n 0 Î ¥ * sao cho " n ³ n 0, " p Î ¥ * : x n + 1 + ... + x n + p < e . Chứng minh. Do X là không gian Banach nên chuỗi hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng {S }Î n X là dãy cơ bản tức là với " e > 0, $ n 0 Î ¥ * sao cho " n ³ n 0, " p Î ¥ * : S n + p - S n = x n + 1 + ... + x n + p < e . Mệnh đề 1.1.2. Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi mọi chuỗi trong nó hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Chứng minh. Điều kiện cần. ¥ Giả sử X là không gian Banach và chuỗi å n=1 x n hội tụ. 13 Khi đó với " e > 0, $ n 0 Î ¥ * sao cho " n ³ n 0, " Î ¥ * : p xn+ j < e . å j= 1 Suy ra với " e > 0, $ n 0 Î ¥ * sao cho " n ³ n 0, " p Î ¥ * : p p å xn+ j < e . å xn+ j £ j= 1 j= 1 ¥ Theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi x n hội tụ. Vậy trong không gian Banach å n=1 mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Điều kiện đủ. Giả sử rằng trong không gian định chuẩn X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ. Lấy {x n } là một dãy cơ bản trong X . Theo định nghĩa với " e > 0, $ n 0 Î ¥ * với " n , m ³ n 0 sao cho x n - x m < e . æ1 ö ÷ta tìm được số n k sao cho Nhờ đó với số e là phần tử của dãy số çç k ÷ ÷ çè2 ø÷ xn k+1 1 2k - xn £ k (k = 1, 2,...) với n k < n k + 1 . Từ đó suy ra chuỗi x n + x n - x n + ... + x n 1 ( ) ( 2 1 ( ) thiết, chuỗi x n + x n - x n + ... + x n 1 2 1 k+1 - x n + ... hội tụ. Theo giải k+1 k ) - x n + ... hội tụ trong không gian k X và ký hiệu tổng của chuỗi này là s . Hiển nhiên s = lim éê x n + x n - x n + ... + x n k® ¥ ë ( ) ( 1 2 1 ( ) k+1 - x n ùú= lim x n . û k® ¥ k ) k+1 Từ chứng minh trên và từ hệ thức xn - s £ xn - xn k+1 + xn k+1 - s ® 0 (k , n ® ¥ ) 14 suy ra s = lim x n trong không gian định chuẩn X . Do đó X là không gian n® ¥ Banach. Định lý được chứng minh. 1.1.3. Toán tử tuyến tính trong không gian Banach. Định nghĩa 1.1.15. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ánh xạ A : X ® Y được gọi là ánh xạ tuyến tính liên tục nếu 1) A là tuyến tính, nghĩa là A (a x + b y ) = a f (x ) + b f (y ), " a , b Î ¡ , " x , y Î X . 2) A là liên tục theo nghĩa mọi dãy (x n ) : x n ® x * thì A (x n ) ® A (x * ). Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Trong trường hợp Y = ¡ thì toán tử tuyến tính A thường được gọi là phiếm hàm tuyến tính. Ví dụ 1.1.5. X = ¡ k ,Y = ¡ m , A (x1,..., xk ) = (h1,..., hm ) với k hi = å a ij xj (i = 1, 2,..., m ). (4) j= 1 Trong đó aij là những hằng số. Ma trận éa ê 11 a12 êa ê 21 a 22 ê... ... ê êa êë m 1 am 2 ... a1k ùú ... a 2k úú ... ... úú ... a mk úú û Được gọi là ma trận của toán tử A . k Nhận thấy (4) là dạng tổng quát của mọi toán tử tuyến tính từ ¡ ¡ m . Thật vậy, cho A là một toán tử tuyến tính bất kỳ từ ¡ k vào ¡ m vào . Gọi 15 e1, e2,..., ek và e1, e2 ,..., em là các cơ sở của ¡ x = (x1,..., xk ) Î ¡ k k và ¡ m sao cho với mọi và y = (h1,..., hm ) Î ¡ m : k x= å xie j . j= 1 m y= å hi ei . i= 1 k Vì A là tuyến tính nên A x = å xj (A e j ). j= 1 Đặt A x = (h1,..., hm ), A e j = (a1 j ,..., am j ) ta có (4). Định lý 1.1.2. Cho A : X ® Y là toán tử tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn X và Y . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương. (i) A liên tục. (ii) A liên tục tại 0 Î X . (iii) A bị chặn trên hình cầu đơn vị, nghĩa là { } sup A (x ) : x £ 1 < + ¥ . (iv) Tồn tại hằng số C > 0 để A (x ) £ C x , " x Î X . Chứng minh. (i ) Þ (ii ). Hiển nhiên. (ii ) Þ (iii ). A là ánh xạ tuyến tính nên A (0) = 0 và vì A liên tục tại 0 Î X nên tồn tại d > 0 sao cho A (x ) = A (x )- A (0) £ 1, " x £ d . Từ đó suy ra 16 A (x ) = 1 1 A (dx ) £ , " x £ 1 . d d Vậy { } sup A (x ) : x £ 1 £ (iii ) Þ (iv ). Đặt C x ¹ 0 thì do x x { 1 < +¥ . d } = sup A (x ) : x £ 1 . Theo giả thiết C < + ¥ . Nếu = 1 và tính tuyến tính của A , ta có A (x ) x æ çx = A çç çç x è ö÷ ÷ £ C. ÷ ÷ ÷ ø hay " x ¹ 0 ta có A (x ) £ C x . Với x = 0 bất đẳng thức là hiển nhiên nên ta có A (x ) £ C x với mỗi x Î X . (iv ) Þ (i ). Do (iv ) và do tính tuyến tính của A nên với x 0 tùy ý cho trước ta có A (x )- A (x 0 ) = A (x - x 0 ) £ C x - x 0 . Suy ra A liên tục tại x 0 . Do x 0 tùy ý nên A liên tục trên X . Định nghĩa 1.1.16. Cho toán tử tuyến tính liên tục A : X ® Y . Số A = sup A (x ) được gọi là chuẩn của A . x £1 Định lý 1.1.3. Cho toán tử tuyến tính liên tục A : X ® Y . Khi đó ta có các đẳng thức sau: sup A (x ) = sup A (x ) = sup x £1 Chứng minh. x =1 x ¹ 0 A (x ) x . (5) 17 Từ bất đẳng thức A (x ) £ A . x , " x Î X ta có A (x ) £ A , " x : x £ 1 (hoặc x = 1 ). (6) Mặt khác từ định nghĩa chuẩn của toán tử ta suy ra với mỗi số dương e bất kỳ tồn tại một phần tử u Î X sao cho A (u ) > Đặt y = (A ) - e u . (7) > A - e. (8) u khi đó y = 1 và u A (y ) = A (u ) u Từ (6) và (7) ta suy ra sup A (x ) = A (hoặc x = 1 ). x £1 Ta cũng có sup A (x ) x =1 æ çx = sup A çç çç x x¹ 0 è ö÷ A (x ) ÷ . = sup ÷ ÷ x¹ 0 ÷ x ø Do đó A = sup x¹ 0 A (x ) x . Định nghĩa 1.1.17. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ký hiệu L (X ,Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian định chuẩn X đến không gian định chuẩn Y . Tổng của hai toán tử A, B Î L (X ,Y định bởi hệ thức ) là toán tử, ký hiệu A + B xác 18 (A + B )(x ) = A (x )+ B (x ), " x Î Tích của toán tử A Î L (X ,Y ) với vô hướng l X . Î ¡ là toán tử, ký hiệu l A xác định bởi hệ thức (l A )(x ) = Dễ dàng kiểm tra được L (X ,Y l A (x ). ) cùng với hai phép toán xác định như trên lập thành một không gian vectơ. Định lý 1.1.4. L (X ,Y ) là một không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức (5). Ngoài ra Y là Banach thì L (X ,Y ) cũng là không gian Banach. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh A a A là một chuẩn trên không gian vectơ L (X ,Y ). Giả sử A Î L (X ,Y ) và A = 0 . Khi đó, A (x ) £ A . x = 0 với mỗi x Î X . Do đó A (x ) = 0 với mỗi x Î X tức là A = 0 . Giả sử A, B Î L (X ,Y ) và l Î ¡ . Khi đó A + B = sup A (x ) + B (x ) £ sup A (x ) + sup B (x ) = A + B . x £1 x £1 x £1 l A = sup l A (x ) = l sup A (x ) = l A . x £1 Vậy L (X ,Y x £1 ) là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức A = sup A (x ) . x £1 Bây giờ giả sử rằng Y là không gian Banach và {An } là một dãy cơ bản trong L (X ,Y ). Khi đó