Tài liệu Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị frechet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 DƯƠNG MINH HOÀNG TÍNH CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH GIÁ TRỊ FRECHET Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN GIẢI TÍCH Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào Hà Nội-2011 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng Sau đại học và các GS, TS giảng dạy chuyên nghành toán giải tích trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn. Đặc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Văn Hào đã trực tiếp hướng dẫn tác giả trong quá trình nghiên cứu luận văn và hoàn chỉnh luận văn. Trong quá trình thực hiện công tác nghiên cứu không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót, tác giả xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp đã nhận được của các thầy giáo, cô giáo và các bạn học viên để luận văn hoàn chỉnh như hiện tại. Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Tác giả Dương Minh Hoàng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn với đề tài “Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet”. được hoàn thành với sự nhận thức của riêng tác giả, không trùng với bất kỳ luận văn nào khác. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Tác giả Dương Minh Hoàng Mục lục Mở đầu 5 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số chuẩn bị về không gian véc tơ tô pô 10 . . . . . . . . 10 1.2. Đối ngẫu và tô pô yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3. Pô la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1. Đa thức trên không gian lồi địa phương . . . . . . . 19 1.4.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.3. Không gian mầm các hàm chỉnh hình . . . . . . . . 28 Chương 2. Một số bất biến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet 31 2.1. Bất biến tô pô tuyến tính (DN ) trên không gian Frechet . 31 2.1.1. Khái niệm về bất biến tô pô tuyến tính (DN ) . . . 31 2.1.2. Các điều kiện tương đương . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2. Bất biến tô pô tuyến tính (Ω̃) . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.1. Khái niệm về bất biến tô pô (Ω̃) . . . . . . . . . . . 44 2.2.2. Các điều kiện tương đương . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Chương 3. Tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet 53 4 3.1. Một điều kiện cần cho tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact trong CN với giá trị Frechet có (DN )− chuẩn . . . . . . . . . . . 55 3.3. Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact L̃− chính quy với giá trị Frechet có (DN ) − chuẩn . . . . . . . 60 3.4. Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet có (LB∞ ) − chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kết luận 70 Tài liệu tham khảo 71 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Trong giải tích phức, một vấn đề lớn được đặt ra đối với lý thuyết các hàm chỉnh hình đó là tính chỉnh hình địa phương trên một tập con X nào đó của một không gian lồi địa phương E với giá trị trong không gian lồi địa phương F . Điều đó dẫn đến khái niệm mầm hàm chỉnh hình trên tập X. Ý nghĩa quan trọng của khái niệm này là sự địa phương hóa khái niệm phần tử, thay cho việc xét một phần tử cố định nào đó, người ta xét lớp các phần tử tương đương đối với phần tử này. Trong khái niệm mầm ta phân ra các đặc điểm chung liên kết các phần tử tương đương lại với nhau. Tập các mầm hàm chỉnh hình H (X, F ) trên một tập compact X có thể được xét theo hai khía cạnh: Một là, về mặt đại số ta có thể xem nó như là một vành. Các tính chất của vành H (X, F ) đã được nghiên cứu rộng rãi; chẳng hạn theo hướng nghiên cứu này ta có thể xem Bănică – Stănăsilă [2], Đậu Thế Cấp – Nguyễn Văn Khuê [4] ,. . . . Mặt khác, H (X, F ) có thể xem như một không gian véc tơ tô pô trang bị tô pô lồi địa phương tự nhiên bằng cách kết hợp các tô pô của không gian các hàm chỉnh hình trên một lân cận của X. Theo hướng nghiên cứu này ta phải kể đến các công trình nghiên cứu của Chae [5, 6]. Vấn đề nghiên cứu các tô pô lồi địa phương trên không gian H (U, F ) = H(U ) các hàm chỉnh hình trên một tập mở U trong không gian lồi địa phương E được khởi đầu bởi Nachbin [11,12] và Alexander [1]. Trong giải tích phức vô hạn chiều, người ta thấy rằng tô pô mở compact hay tô pô hội tụ đều trên các tập con compact của U không chỉ là tô pô tự nhiên duy nhất. Tô pô τω được đề xuất lần đầu tiên bởi Nachbin [11,12], nó ra đời từ ý tưởng liên quan đến các phiếm hàm giải tích mang bởi tập compact. Sự ra đời của tô pô mang bởi tập compact mở ra nhiều hướng nghiên cứu trong giải tích phức vô hạn chiều và trở thành công cụ hữu hiệu giải quyết 6 nhiều bài toán quan trọng trong lĩnh vực này. Một trong các vấn đề được quan tâm nhiều trong lớp không gian mầm các hàm chỉnh hình đó là việc đặc trưng các tập bị chặn của nó. Nhớ lại rằng, không gian mầm H(K, F ) được xây dựng từ không gian H(U, F ) các hàm chỉnh hình trên lân cận mở U của K trong một không gian lồi địa phương E, với giá trị trong một không gian lồi địa phương F , bằng giới hạn quy nạp trong phạm trù các không gian lồi địa phương. Như vậy, không gian mầm H(K, F ) được gọi là chính quy nếu giới hạn quy nạp trên là chính quy. Nghĩa là, mỗi tập con bị chặn của H(K, F ) là bị chứa và bị chặn trong không gian H(U, F ) nào đó. Tính chính quy của không gian mầm H (K, F ) = H (K) đã được nhiều tác giả quan tâm, mở đầu cho hướng nghiên cứu này là Chae [5,6]. Trong đó, các tác giả xét bài toán cho trường hợp K là một tập con compact của một không gian Banach. Các kết quả này được tổng quát hóa và làm sâu sắc hơn bởi Mujica[10]. Năm 1981, bằng việc mô tả hệ nửa chuẩn sinh ra tô pô của H(K) Dineen [7] đã chứng tỏ rằng H(K) là đầy đủ cùng với giả thiết K là tập compact trong không gian lồi địa phương metric. Cũng ở đây, nhờ phương pháp được sử dụng để thu được tính đầy của H(K), lần đầu tiên Dineen đã đưa ra được một số đặc trưng về tính chính quy của H(K) khi K là tập compact trong các không gian không nhất thiết lồi địa phương metric. Cũng theo hướng nghiên cứu này ta cần phải kể đến các kết quả của Soraggi [16], Soraggi đã chỉ ra các ví dụ cũng như các phản ví dụ về tính chính quy của H(K). Để nghiên cứu tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K, F ) với giá trị Frechet và được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào em chọn đề tài "CHÍNH QUY CỦA KHÔNG GIAN MẦM CÁC HÀM CHỈNH HÌNH GIÁ TRỊ FRECHET". Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận, ba chương cùng tài liệu tham khảo. Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị. 7 Chương này dành cho việc giới thiệu các khái niệm liên quan đến việc xét bài toán về tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với miền xác định và miền giá trị là các không gian Frechet. Trong đó, chúng tôi đã trình bày các kiến thức quan trọng liên quan đến hướng nghiên cứu là 1. Một số chuẩn bị về không gian véc tơ tô pô. 2. Đối ngẫu và tô pô yếu. 3. Pô la. 4. Hàm chỉnh hình. Chương 2. Một số bất biến tô pô tuyến tính trên không gian Frechet. Khác với chương 1, trong chương   2 chúng tôi giới thiệu đến hai bất biến tô pô tuyến tính là (DN ) và Ω̃ trên không gian Frechet. Trong đó, để tạo điều kiện thuận lợi cho việc tiếp tục đi sâu vào việc nghiên cứu của chương sau chúng tôi đã đặc biệt chú trọng đưa ra một số các điều   kiện tương đương để một không gian Frechet có tính chất (DN ) và Ω̃ . Từ đó dẫn đến các chứng minh cụ thể cho các không gian dãy Köthe, không   gian chuỗi lũy thừa có tính (DN ) và Ω̃ . Cụ thể trong chương này chúng tôi đã trình bày các vấn đề sau 1. Bất biến tô pô tuyến tính (DN ) trên không gian Frechet.   2. Bất biến tô pô tuyến tính Ω̃ trên không gian Frechet. Chương 3. Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet. Trong chương 3 chúng tôi trình bày hướng nghiên cứu chính của luận văn. Đầu tiên chúng tôi đưa ra mệnh đề nói đến điều kiện cần về tính chính quy của không gian H(K, F ) với K là tập compact trong CN . Chúng tôi quy bài toán về việc xét tính chính quy của giới hạn quy nạp của một dãy tăng các không gian Frechet ( (LF ) - không gian). Cũng với kỹ thuật đó, chúng tôi đưa ra một điều kiện cần và đủ cho tính chính quy của không 8 gian mầm H(K, F ) với K là tập compact L̃ − chính quy trong một không gian Frechet. Điều kiện ở đây là không gian Frechet F có tính chất (DN ). Phần tiếp theo trong chương này dành để trình bày kết quả nghiên cứu tính chính quy của H(K, F ) khi F có tính chất (LB∞ ) mạnh hơn (DN ), nhưng đối với tập compact K chỉ cần thỏa mãn điều kiện duy nhất. 1. Một điều kiện cần cho tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình giá trị Frechet. 2. Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact trong CN với gia trị Frechet có (DN ) − chuẩn. 3. Không gian mầm các hàm chỉnh hình trên tập compact L̃ − chính quy với giá trị Frechet có (DN ) − chuẩn. 4. Không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet có (LB∞ ) − chuẩn. 2. Mục đích nghiên cứu. Luận văn nghiên cứu tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K, F ) với giá trị Frechet. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Xuất phát từ việc nghiên cứu điều kiện cần đối với tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet. Luận văn trình bày một số tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình H(K, F ) với giá trị Frecht có tính chất (DN ), (LB∞ ). 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu tính chính quy của không gian mầm các hàm chỉnh hình với giá trị Frechet có tính chất (DN ), (LB∞ ). 5. Phương pháp nghiên cứu Đọc sách, nghiên cứu tài liệu. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn. Nghiên cứu tính chính quy của 9 không gian mầm các hàm chỉnh hình với miền giá trị trong các không gian Frechet có (DN ) − chuẩn, trên các tập compact trong CN và tập compact L̃ − chính quy. Kết quả tương tự cũng được khẳng định cho lớp không gian mầm có miền giá trị Frechet có (DN ), (LB∞ ) − chuẩn. Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số chuẩn bị về không gian véc tơ tô pô Định nghĩa 1.1. Cho E là không gian véc tơ và A là một tập con của E i) Tập A gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A ta có λx + µy ∈ A, trong đó λ ≥ 0, µ ≥ 0 và λ + µ = 1. ii) Tập A được gọi là cân nếu mọi x ∈ A thì λx ∈ A khi |λ| ≤ 1. iii) Tập A được gọi là tuyệt đối lồi nếu nó đồng thời là lồi và cân. iv) Tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn n n P P λi .xi với λi ≥ 0, λi = 1, xi ∈ A i=1 i=1 là một tập lồi chứa A và được gọi là bao lồi của A . v) Bao tuyệt đối lồi của A là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu n n P P λi .xi với |λi | ≤ 1 và với mọi xi ∈ A (là tập hợp tuyệt đối lồi nhỏ hạn i=1 i=1 nhất chứa A ). vi) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ E, tồn tại λ > 0 sao cho x ∈ µA với mọi µ thỏa mãn |µ| ≥ λ. Định nghĩa 1.2. Một không gian véc tơ tô pô có một cơ sở gồm những lân cận lồi của điểm gốc được gọi là không gian véc tơ tô pô lồi địa phương (Không gian lồi địa phương) và tô pô của nó gọi là tô pô lồi địa phương. Định nghĩa 1.3. a) Giả sử E là một không gian véc tơ trên trường K (K = C hoặc K = R). Một hàm p xác định trên E có giá trị thực và không âm (hữu hạn) được gọi là một nửa chuẩn nếu +) p(x) ≥ 0; +) p(λx) = |λ| .p(x); +) p(x + y) ≤ p(x) + p(y); với mọi x, y ∈ E, λ ∈ K. 11 b) Một nửa chuẩn p tương đương với tập hợp tuyệt đối lồi và hút A, được gọi là hàm cỡ của A. Mệnh đề 1.1. Trong không gian lồi địa phương E, một nửa chuẩn p là liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại điểm gốc. Chứng minh. Nếu p liên tục tại điểm gốc và ε > 0 là một số cho trước thì tại một lân cận V sao cho p(x) < ε khi x ∈ V . Do đó, với a là một điểm tùy ý của E, ta có |p(x) − p(a)| ≤ |p(x − a)| < ε khi x ∈ a + V .  Định nghĩa 1.4. Không gian véc tơ E được gọi là khả định chuẩn nếu tô pô của nó có thể được xác định bởi một chuẩn p. Mệnh đề 1.2. Không gian lồi địa phương E là khả metric khi và chỉ khi nó là tách và có một cơ sở lân cận của điểm gốc đếm được. Tô pô của một không gian khả metric luôn luôn có thể xác định được bởi một metric, bất biến với các phép tịnh tiến. Chứng minh. Nếu E là khả metric thì dĩ nhiên nó là tách và có một cơ sở đếm được những lân cận của điểm gốc. Ngược lại, nếu E có một cơ sở lân cận đếm được, thì vì mỗi lân cận đều chứa một lân cận tuyệt đối lồi, nên tồn tại một cơ sở (un ) những lân cận tuyệt đối lồi. Gọi pn là hàm cỡ của un . Đặt ∞ P f (x) = 2−n inf{pn (x), 1}, n=1 thế thì f (x+y) ≤ f (x)+f (y), f (−x) = f (x) và nếu f (x) = 0 thì pn (x) = 0, với mọi n. Bởi vì E là tách nên x = 0. Đặt d(x, y) = f (x − y) thì d là một metric và d(x + z, y + z) = d(x, y). Như vậy d là bất biến với các phép tịnh tiến. Trong tô pô metric, các tập hợp Vn = {x : f (x) < 2−n }, lập thành một cơ sở lân cận. Nhưng Vn là mở đối với tô pô xuất phát bởi mỗi pn và 12 do đó f là liên tục. Hơn nữa Vn ⊂ Un bởi vì nếu x ∈ / Un thì pn (x) ≥ 1, vậy f (x) ≥ 2−n . Thành thử d xác định tô pô xuất phát của E.  Mệnh đề 1.3. Một hàm p : X → R là một cơ sở chuẩn khi và chỉ khi nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút; nó là một sơ chuẩn khi và chỉ khi nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa chọn một đường thẳng nào. Chứng minh. Thật vậy, nếu B là một tập lồi, cân, hút thì dễ dàng thấy rằng hàm cỡ pB của nó nghiệm đúng pB (−x) = pB (x), do đó với mọi α < 0, pB (αx) = −αpB (−x) = −αpB (x) cho nên pB (αx) = |α| pB (x) với mọi α và pB là một sơ chuẩn. Ngược lại, nếu p là một sơ chuẩn thì tập B = {x : p(x) < 1} lồi, vì với x ∈ B, y ∈ B, 0 < α < 1 ta có p(αx + (1 − α)y) ≤ αp(x) + (1 − α)p(y) < 1. Hơn nữa B cân đối vì p(x) < 1 kéo theo p(−x) = p(x) < 1, và B cũng là hút vì nếu x ∈ X và λ > p(x) thì p(x/λ) = p(x)/λ < 1. Dễ thấy p(x) = inf{λ > 0 : x ∈ λB}. cho nên p(x) = pB (x). Sau cùng, nếu p là một chuẩn thì với mọi x 6= 0, p(x) > 0 ta có p(αx) = αp(x) ≥ 1; với α đủ lớn, tức là αx 6= B. Điều đó, chứng tỏ B không chứa chọn một đường thẳng nào đi qua 0 và x.  Mệnh đề 1.4. Trong một không gian tuyến tính X cho một họ sơ chuẩn Γ tùy ý. Trên X có một tô pô tương thích với cấu trúc đại số, trong đó mỗi sơ chuẩn thuộc họ Γ đều liên tục. Tô pô ấy là tô pô lồi địa phương và 13 nhận họ tất cả các  tập có dạng  x : sup pi (x) < ε (ε > 0, pi ∈ Γ) (1.1) 1≤i≤n làm lân cận của điểm gốc. Nó là tô pô Hausdorff khi và chỉ khi (∀x 6= 0) (∃p ∈ Γ) p(x) > 0 (1.2). Chứng minh. Cho B0 là họ tất cả các tập có dạng V = {x : p (x) < 1} , với p ∈ Γ. Khi đó, các tập V lồi, cân, hút nên có một tô pô trên X tương hợp với cấu trúc đại số, mà trong đó mỗi tập V là một lân cận, tức là theo mệnh đề 1.3, mỗi sơ chuẩn p ∈ Γ. là liên tục. Tô pô ấy lồi địa phương, với cơ sở lân cận là họ tất cả các tập có dạng ε n \ Vi (ε > 0, Vi ∈ B0 ) . i=1 Nhưng rõ ràng ε n \ Vi = {εx : pi (x) < 1, i = 1, 2, ..., n} i=1 = {x : pi (x) < ε, i = 1, 2, ..., n}   = x : sup pi (x) < ε , 1≤i≤n nên ε n \ Vi (ε > 0, Vi ∈ B0 ) i=1 chính là các tập (1.1). Mặt khác, X là không gian Hausdorff khi và chỉ khi giao của tất cả các tập (1.1) là {0}, mà điều này lại tương đương với bất kỳ x 6= 0, tồn tại một tập (1.1) không chứa x , tức là tồn tại một ε > 0 và một p ∈ Γ sao cho p(x) ≥ ε.  Định nghĩa 1.5. a) Một không gian lồi địa phương mà tô pô được xác định bởi một họ sơ chuẩn Γ hữu hạn hoặc đếm được, và thỏa mãn điều kiện tách (1.2), gọi là không gian đếm được chuẩn. b) Một không gian đếm được chuẩn và đủ gọi là một không gian Frechet. 14 Như vậy mọi không gian Banach (Không gian định chuẩn đủ) đều là không gian Frechet. c) Một tập lồi, cân, đóng và hút trong một không gian lồi địa phương gọi là một thùng. Một không gian lồi địa phương trong đó mọi thùng đều là lân cận của gốc gọi là một không gian thùng và mọi không gian Frechet là không gian thùng. Định nghĩa 1.6. Cho I là tập đa chỉ số định hướng tùy ý. Với mỗi α ∈ I, cho να : E → Eα là một ánh xạ tuyến tính từ không gian véc tơ E vào không gian lồi địa phương Eα . Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô yếu nhất trên E sao cho tất cả các ánh xạ να là liên tục. Tô pô xạ ảnh trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính η : G → E của một không véc tơ tô pô G vào E là liên tục nếu chỉ nếu να ◦ η là liên tục với mọi α ∈ I. Định nghĩa 1.7. Cho I là tập đa chỉ số định hướng. Với mỗi α ∈ I, cho Eα là một không gian lồi địa phương và giả sử rằng với mỗi α ≤ β, tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục uαβ : Eα → Eβ sao cho i) uαβ là ánh xạ đồng nhất, với mỗi α ∈ I. ii) uαβ ◦ uβγ = uαγ , với mỗi α ≤ β ≥ γ. Khi đó họ các không gian và các ánh xạ tuyến tính {Eα , uαβ } được gọi là một hệ xạ ảnh. Không  gian con  Q E = {xα } ∈ Eα : uαβ (xβ ) = xα , ∀α ≤ β α∈I Q của Eα với tô pô cảm sinh được gọi là giới hạn xạ ảnh của {Eα , uαβ } α∈I và ta viết là E = lim proj Eα . α Mệnh đề 1.5. Mỗi không gian lồi địa phương là giới hạn xạ ảnh của một họ không gian định chuẩn. Chứng minh. Cho X là một không gian lồi địa phương bất kỳ, Γ là một họ sơ chuẩn ứng với một cơ sở lân cận B của X. Ta biết là trong một không gian lồi địa phương, họ các tập bị chặn yếu trùng với họ các tập bị chặn 15 nên ta thấy rằng với mỗi p ∈ Γ tập p−1 (0) là một không gian con của X và p xác định một chuẩn trên không gian thương Xp = X/p−1 (0). Khi ấy, gọi up là ánh xạ cho tương ứng với x ∈ X phần tử x̃ ∈ Xp ( x̃ là lớp các x0 ∈ X với p(x0 − x) = 0). Dựa vào mệnh đề 1.4 ta thấy X chính là giới hạn xạ ảnh của các Xp đối với các up .  Mệnh đề 1.6. Giới hạn xạ ảnh của một họ các không gian lồi địa phương đầy là đầy. Mệnh đề 1.7. Nếu E là một không gian lồi địa phương Hausdorff và đầy thì \ E = lim proj E/kerα, α ở đây, α chạy trên tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E. Mệnh đề 1.8. Cho E là giới hạn xạ ảnh của không gian lồi địa phương Eα đối với ánh xạ να . Một tập M trong E bị chặn khi và chỉ khi να (M ) cũng bị chặn. Định nghĩa 1.8. Cho I là tập đa chỉ số định hướng tùy ý. Với mỗi α ∈ I cho να : Eα → E là ánh xạ tuyến tính từ không gian lồi địa phương Eα S vào không gian E = να (Eα ). Tô pô quy nạp trên E là tô pô mạnh nhất α trên E sao cho tất cả các ánh xạ tuyến tính να là liên tục. Tô pô quy nạp trên E là tô pô lồi địa phương và một ánh xạ tuyến tính η : E → C là liên tục nếu và chỉ nếu η ◦ να là liên tục với mọi α ∈ I. Định nghĩa 1.9. Cho không gian véc tơ E là tập hợp của một họ các không gian lồi địa phương {Eα } được định hướng bởi quan hệ bao hàm và mỗi ánh xạ bao hàm Eα → Eβ là liên tục. Khi đó, E được trang bị bởi tô pô quy nạp với các ánh xạ bao hàm Eα → E được gọi là giới hạn quy nạp của các không gian con Eα và được kí hiệu bởi E = lim ind Eα . α Ví dụ 1.1. Ví dụ đơn giản và quan trọng về giới hạn quy nạp là không gian thương. Cho X0 là một không gian lồi địa phương, M là một không gian tuyến tính con của X0 , và X = X0 /M . Gọi η là ánh xạ chính tắc từ 16 X0 vào X (tức là ánh xạ cho tương ứng với mỗi x ∈ X0 lớp tương đương x̃ chứa nó), thì dễ thấy rằng tô pô thương chính là tô pô lồi địa phương mạnh nhất để η liên tục. Định nghĩa 1.10. Cho E = lim indEα là giới hạn quy nạp của các không α gian con Eα . Khi đó ta nói rằng i) E là giới hạn quy nạp chặt nếu Eα có tô pô cảm sinh của Eβ mỗi khi Eα ⊂ Eβ . ii) E là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E là hội tụ. iii) E là giới hạn quy nạp chính quy nếu mọi tập bị chặn của E là bị chứa và bị chặn trong Eα . iv) E là giới hạn quy nạp chính quy Cauchy nếu cho trước B ⊂ E bị chặn thì tồn tại α sao cho B bị chứa và bị chặn trong Eα và ngoài ra mọi lưới {xα } ⊂ B là E − Cauchy nếu và chỉ nếu nó là Eα − Cauchy. Mệnh đề 1.9. ([13], p.58 − 59, proposition6.4) Cho E = lim indEn là giới n hạn quy nạp chặt của dãy các không gian con En . Khi đó i) Mỗi En có tô pô cảm sinh của E; ii) Nếu En là đóng trong En+1 , với mọi n thì E = lim indEn là giới n hạn quy nạp chính quy Cauchy; iii) Nếu mỗi En là Hausdorff và đầy. Định nghĩa 1.11. Một không gian lồi địa phương E là một (DF ) − không gian nếu a) E có một dãy cơ bản của các tập bị chặn. b) Mọi hợp đếm được bị chặn mạnh của các tập con đồng liên tục của E là đồng liên tục. Mệnh đề 1.10. ([8], p.77, corollary2) Một (DF ) không gian tựa đầy là đầy. Mệnh đề 1.11. ([10], p.78, Theorem9) Cho E là giới hạn quy nạp của một dãy tăng của (DF ) − không gian En . Khi đó, E là một (DF ) − không 17 gian và mỗi tập con bị chặn của E bị chứa trong bao đóng E của một tập con bị chặn của En . 1.2. Đối ngẫu và tô pô yếu Định nghĩa 1.12. E và F là hai không gian véc tơ trên cùng một trường vô hướng. Hàm < · >: E × F → K được gọi là một dạng song tuyến tính nếu a) Với mọi u ∈ F ánh xạ x 7→< x, u > là dạng tuyến tính trên E. b) Với mọi x ∈ E ánh xạ u 7→< x, u > là dạng tuyến tính trên F . Một cặp đối ngẫu là bộ ba (E, F ; < · >) hoặc viết (E, F ) trong đó < · >: E × F → K là dạng song tuyến tính thỏa mãn hai điều kiện (DE ) nếu < x, u >= 0 với mọi x ∈ F thì x = 0; (DF ) nếu < x, u >= 0 với mọi x ∈ E thì u = 0; Ví dụ 1.2. 1. Nếu < E, F > là cặp đối ngẫu thì dạng (u, x) 7→< x, u > xác định cặp đối ngẫu < E, F >. 2. Giả sử E là không gian véc tơ và E ∗ là đối ngẫu đại số của nó. Khi đó dạng (x, u) 7→ u(x), x ∈ E, u ∈ E ∗ xác định cặp đối ngẫu < E, E ∗ >. 3. Giả sử E là không gian lồi địa phương Hausdorff với đối ngẫu tô pô E 0 . Khi đó dạng (x, u) 7→ u(x), x ∈ E, u ∈ E 0 cho ta cặp đối ngẫu < E, E 0 >. Định nghĩa 1.13. Giả sử < E, F > là cặp đối ngẫu. Với mọi u ∈ F xác định nửa chuẩn pu trên E bởi công thức pu (x) = |< x, u >| , x ∈ E Tô pô lồi địa phương trên E sinh bởi các nửa chuẩn {pu , u ∈ F } ký hiệu là σ(E, F ) gọi là tô pô yếu trên E của cặp đối ngẫu < E, F >. Mệnh đề 1.12. Nếu < E, F > là cặp đối ngẫu thì σ(E, F ) là tô pô lồi địa phương Hausdorff yếu nhất trên E thoả mãn (E, σ (E, F ))0 = F. 18 Chứng minh. Từ điều kiện (DF ) thì σ(E, F ) là tô pô Hausdorff. Vì pu liên tục với mọi u ∈ F , nên ta suy ra F ⊂ (E, σ(E, F ))0 . Mặt khác giả sử f ∈ (E, σ(E, F ))0 . Khi đó tồn tại u1 , u2 , ..., un và ε > 0 sao cho |f (x)| ≤ 1; với mọi x ∈ W (u1 , u2 , ..., un , ε) . Đặc biệt f (x) = 0; với mọi x ∈ E. Do đó u1 (x) = u2 (x) = ... = un (x) = 0. Vậy f là tổ hợp tuyến tính của u1 , u2 , ..., un , tức là f ∈ F . Từ đó suy ra σ (E, F ) là tô pô lồi địa phương yếu nhất trên E để (E, σ(E, F ))0 ∈ F.  Định nghĩa 1.14. Giả sử < E, F > là cặp đối ngẫu. Tô pô lồi địa phương ξ trên E gọi là tô pô của cặp đối ngẫu < E, F >. Nếu (E, ξ)0 = F . Mệnh đề 1.13. Nếu < E, F > là cặp đối ngẫu và A là tập con lồi của E, thì A có cùng bao đóng trong mọi tô pô của cặp đối ngẫu < E, F >. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng tỏ c`ξ A = c`σ(E,F ) A, với mọi tô pô ξ của cặp đối ngẫu. Trong đó c`ξ A ký hiệu bao đóng của A đối với ξ. Trước hết do σ (E, F ) ≤ ξ nên c`ξ A ⊆ c`σ(E,F ) A. Giả sử a ∈ / c`ξ A, chọn lân cận lồi mở U của 0 ∈ E đối với tô pô ξ sao cho (a + U ) ∩ A = ∅. Do đó, tồn tại f ∈ (E, ξ)0 = F sao cho f (a + U ) ∩ f (A) = ∅. Do đó f (U ) là mở, nên f (a) ∈ / f (A). Từ đó, suy ra tồn tại δ > 0 để |f (x − a)| = |f (a) − f (x)| ≥ δ∀x ∈ A. Vậy nếu W = {x ∈ E : |f (x)| < δ}, thì a + W là lân cận của a đối với tô pô σ (E, F ) không giao với A.  19 1.3. Pô la Định nghĩa 1.15. Giả sử (E, E 0 ) là một cặp đối ngẫu và A ⊂ E. Khi đó, tập hợp {x0 ∈ E 0 : sup {|hx, x0 i| ≤ 1 : x ∈ A}} được gọi là một pôla (trong E 0 ) của A và ký hiệu bởi A0 . Mệnh đề 1.14. Giả sử (E, E 0 ) là một cặp đối ngẫu . Pôla trong E 0 của các tập con của E có các tính chất sau đây i) A0 là lồi, cân và σ (E, E 0 ) −đóng; ii) Nếu A ⊂ B thì B 0 ⊂ A0 ; iii) Nếu λ 6= 0 thì (λA)0 = |λ|−1 A0 ;  0 iv) ∪ Aα = ∩ A0α . α∈I α∈I Mệnh đề 1.15. Nếu E là không gian lồi địa phương tách và U là một cơ sở lân cận của 0 ∈ E thì đối ngẫu (tô pô)E 0 của E là tập hợp E 0 =  ∪ U 0 , U ⊂ u . Trong đó U 0 được lấy trong đối ngẫu đại số E ∗ . Chứng minh. Với mọi x0 ∈ E 0 thì x0 là một dạng tuyến tính liên tục trên E. Nên có thể tìm được U ∈ u sao cho |< x, x0 >| ≤ 1, ∀x ∈ U . Vậy  x0 ∈ U 0 , U ∈ u và do đó x0 ∈ ∪ U 0 , U ∈ u . Ngược lại giả sử x0 ∈ E ∗ và x0 ∈ U 0 với U ∈ u nào đó, thế thì x0 liên tục trên E, vậy x0 ∈ E. 1.4. Hàm chỉnh hình 1.4.1. Đa thức trên không gian lồi địa phương Định nghĩa 1.16. Cho E và F là một không gian véc tơ trên trường C. Một ánh xạ L : E n → F được gọi là n tuyến tính trên E nếu nó tuyến tính theo từng biến, mỗi khi cố định các biến còn lại. Ký hiệu tập hợp tất cả các ánh xạ n tuyến tính bởi La (n E; F ). Định nghĩa 1.17. Một ánh xạ n tuyến tính L : E → C được gọi là đối xứng nếu
L (x1 , x2 , ..., xn ) = L xσ(1) , xσ(2) , ..., xσ(n) ,