Tài liệu Tính chất mạng trên siêu không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ——————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SINH VIÊN TÍNH CHẤT MẠNG TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN Đà Nẵng - 2022 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ——————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SINH VIÊN TÍNH CHẤT MẠNG TRÊN SIÊU KHÔNG GIAN Sinh viên thực hiện: Lê Văn Có Nam/Nữ: Nam Dân tộc: Kinh Lớp, khoa: Khoa Toán - 18ST Năm thứ: 4/4 Ngành học: Sư phạm Toán Người hướng dẫn: Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2022 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn và động viên em trong suốt quá trình học tập cũng như trong việc hoàn thành luận văn. Tuy gặp không ít khó khăn khi thực hiện nhưng nhờ sự giúp đỡ từ quý thầy cô, gia đình và bạn bè, em đã nỗ lực tìm tòi học hỏi được nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và hoàn thành bài luận văn này. Dẫu vậy, do giới hạn kiến thức và khả năng lí luận của bản thân còn nhiều hạn chế, kính mong sự chỉ dẫn và đóng góp từ quý thầy cô để bài luận văn được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Lê Văn Có MỤC LỤC MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp . . . . 4 1.2. Tập hợp đóng, bao đóng và phần trong của một tập hợp . . . . . . 9 1.3. Một số tiên đề tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 CHƯƠNG 2. Tính chất mạng trên siêu không gian . . . . . . . . 18 2.1. Siêu không gian và tích đối xứng cấp n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Một số tính chất mạng trên siêu không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1931, K. Borsulk và S. Ulam đã giới thiệu khái niệm tích đối xứng cấp n của không gian topo và đã đưa ra một số tính chất quan trọng của nó ([2]). Trong những năm gần đây, nhiều tác giả trên thế giới đã quan tâm nhiều đến bài toán về sự bảo toàn các tính chất topo trên không gian metric suy rộng lên tích đối xứng cấp n của không gian đó. Nhờ đó, các tác giả đã thu được nhiều kết quả thú vị (xem [2]-[9]). Trong [4], C. Good và S. Macías đã chứng minh rằng nếu không gian topo có họ CP, thì tích đối xứng cấp n của nó cũng có họ CP. Sau đó, Z. Tang, S. Lin và F. Lin đã chứng minh nhiều tính chất mạng trên không gian topo X và nhiều không gian metric suy rộng X bất biến trên tích đối xứng cấp n cũng như trên siêu không gian F(X) gồm các tập con hữu hạn của X (xem [7]). Bên cạnh đó, các tác giả đã đặt ra một số bài toán mở liên quan đến tích đối xứng cấp n và siêu không gian F(X). Các bài toán này đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu topo đại cương quan tâm và đến nay vẫn chưa có lời giải đáp. Gần đây, L. Q. Tuyển và O. V. Tuyên đã đưa ra kết quả rằng, nếu là không gian topo có cn-mạng (ck -mạng) có tính chất σ -(P ), thì tích đối xứng cấp n của nó cũng có cn-mạng (tương ứng, ck -mạng) có tính chất σ -(P ) (xem [8]). Với mong muốn nghiên cứu các tính chất topo nào đó của không gian topo X bảo tồn trên tích đối xứng cấp n, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài: “Tính chất mạng trên siêu không gian” làm luận văn tốt nghiệp cho mình. 2 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu các tính chất mạng của không gian topo X được bảo tồn trên tích đối xứng Fn (X) và trên siêu không gian F(X). Đưa ra một số kết quả mới hoặc mở rộng một số kết quả của các tác giả đi trước. 3. Đối tượng nghiên cứu Các tính chất mạng, tích đối xứng Fn (X), siêu không gian F(X). 4. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sự bảo tồn của một số tính chất topo của không gian topo X trên tích đối xứng Fn (X). 5. Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương. • Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đến tích đối xứng Fn (X) và siêu không gian F(X). • Bằng cách tương tự hóa, khái quát hóa nhằm đưa ra các kết quả mới cũng như mở rộng một số kết quả của các tác giả đi trước. • Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh luận văn của mình. 6. Cấu trúc của luận văn Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương. Ngoài ra, luận văn có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản của topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2. 3 Chương 2, trình bày về tính chất topo trên siêu không gian được chia làm 2 mục. Mục 2.1, trình bày về siêu không gian và tích đối xứng cấp n. Mục này dành cho việc trình bày và chứng minh chi tiết lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến siêu không gian và tích đối xứng cấp n của các tác giả đi trước. Mục 2.2, trình bày một số tính chất mạng trên siêu không gian. Trong mục này, đầu tiên chúng tôi trình bày và chứng minh chi tiết một số kết quả của các tác giả đi trước liên quan đến mạng, họ CP, HCP. Sau đó, chúng tôi đưa ra một số kết quả mới về họ wHCP 4 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thức về topo đại cương. Các khái niệm và các tính chất trình bày trong chương này được chúng tôi lấy trong [3] nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chương sau. 1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp Định nghĩa 1.1.1. Giả sử τ là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp X thỏa mãn các điều kiện sau. (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , thì S Uα ∈ τ ; α∈Λ (c) Nếu U , V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ . Khi đó, (1) τ được gọi là một topo trên X . (2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo. (3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở. (4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó. Nhận xét 1.1.2. Đối với không gian topo X , các khẳng định sau là đúng. (1) ∅, X là các tập hợp mở; (2) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở; 5 (3) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở. Ví dụ 1.1.3. (1) Giả sử X là tập không rỗng và τ1 = {∅, X}, τ2 = P(X). Khi đó, τ1 và τ2 là các topo trên X . Ta nói rằng τ1 là topo thô và τ2 là topo rời rạc trên X . (2) Giả sử X là tập hợp vô hạn. Ta đặt τ = {U ⊂ X : U = ∅ hoặc X \ U hữu hạn}. Khi đó, τ là một topo trên X và được gọi là topo Zariski hay là topo đối hữu hạn trên X . (3) Giả sử (X, d) là một không gian metric. Ta đặt τ = {U : U mở trong (X, d)}. Khi đó, τ là một topo trên X . Ta nói rằng τ là topo sinh bởi metric d. Hơn nữa, nếu X = R và d là metric thông thường, thì d được gọi là topo tự nhiên hay topo thông thường trên R. Ta đặt {(a, b) : a, b ∈ R, a ≤ b} = {Vα : α ∈ ∆}, τ=  S Vα : I ⊂ ∆ . α∈I Khi đó, τ là một topo trên X và nó là topo tự nhiên hay topo thông thường trên R. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A là một tập con khác rỗng của không gian topo (X, τ ). Khi đó 1) Tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τ sao cho 6 A ⊂ V ⊂ U. Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt, nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x. 2) Với mỗi x ∈ X , ta gọi B(x) là họ tất cả các lận cận mở của X . Khi đó, {Bx }x∈X được gọi là hệ lân cận của X Bổ đề 1.1.5. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là tương đương. (1) U là tập hợp mở; (2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó; (3) Với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx ∈ B(x) của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Chứng minh. (1) =⇒ (2). Giả sử U là tập mở và x ∈ U . Khi đó, nếu ta đặt V = U , thì rõ ràng V ∈ τ và x ∈ V ⊂ U . Như vậy, U là một lân cận của x trong X . (2) =⇒ (3). Giả sử U là lân cận của mọi x ∈ U . Khi đó, với mọi x ∈ U , nếu ta đặt Vx = U , thì Vx là lân cận của x và x ∈ Vx = U ⊂ U. Do đó, (3) thỏa mãn. (3) =⇒ (1). Giả sử với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Khi đó, vì Vx là lân cận của x nên tồn tại Wx ∈ τ sao cho x ∈ Wx ⊂ Vx ⊂ U. Do đó, ta thu được U= S x∈U {x} ⊂ S x∈U Wx ⊂ U , 7 kéo theo U = S Wx . Bởi vì Wx ∈ τ với mọi x ∈ U nên ta suy ra U ∈ τ , x∈U nghĩa là U mở trong X . Như vậy, (1) thỏa mãn. Định lí 1.1.6. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó, (1) B(x) 6= ∅ với mọi x ∈ X và x ∈ U với mọi U ∈ B(x) (2) Nếu x ∈ U ∈ B(y), thì tồn tại V ∈ B(x) sao cho V ⊂ U (3) Với mọi x ∈ U , tồn tại Vx ∈ B(x) sao cho x ∈ Vx ⊂ U Chứng minh. (1) Với mọi x ∈ X , bởi vì X là lân cận của x nên Bx . Hơn nữa, nếu U ∈ B(x), thì U là một lân cận của x. Do đó, từ định nghĩa lân cận ta suy ra x ∈ U . (2) Giả sử x ∈ U ∈ B(y). Khi đó, vì U ∈ τ nên theo Bổ đề 1.1.5, tồn tại lân cận W của x sao cho x ∈ W ∈ U . Suy ra tồn tại V ∈ τ sao cho x ∈ V ∈ U và V ∈ B(x). (3) Giả sử U1 , U2 ∈ B(x). Khi đó, x ∈ U1 ∩ U2 ∈ τ . Do đó, nếu ta đặt U = U1 ∩ U2 , thì U ∈ B(x) và U ⊂ U1 ∩ U2 Định lí 1.1.7. Cho X là một tâp hợp và họ {Bx }x∈X , trong đó mỗi B(x) là họ gồm các tập con nào đó của X thỏa mãn các điều kiện trong Định lí 1.1.6. Ta đặt  F= G= S G:G⊂ S  B(x) . x∈X Khi đó, F là một topo trên X và {Bx }x∈X là hệ lân cận của (X, τ ).Lúc này, ta nói rằng F là topo được sinh bởi hệ lân cận {Bx }x∈X . Chứng minh. Trước tiên, ta chứng minh rằng F là một topo trên X . Thật vậy, • ∅, X ∈ F 8 S ◦ Ta lấy F = ∅,khi đó G ⊂ B(x), kéo theo ∅ ∈ F . x∈X ◦ Với mọi x ∈ X , theo điều kiện (1) của Định lí 1.1.6, tồn tại Ux ∈ B(x) sao cho x ∈ Ux . Do đó, S X= Ux ∈ F . x∈X • Giả sử {Gα }α∈Λ ⊂ F . Khi đó, với mỗi α ∈ Λ, tồn tại Gα ⊂ S sao cho Gα = {V : V ∈ Gα }. Bởi vì S S G= Gα ⊂ B(x) α∈Λ nên suy ra rằng S S B(x) x∈X x∈X Gα ∈ F . xα ∈Λ • Giả sử G1 , G2 ∈ F , khi đó tồn tại {Gs }s∈S , {Gt }t∈T ⊂ S S cho G1 = Gs và G2 = Ht . Ta có s∈S S B(x) sao x∈X t∈T S G1 ∩ G2 = (Gs ∩ Ht ). s∈S,t∈T với mọi s ∈ S , t ∈ T và với mọi x ∈ Us ∩ Ut , theo điều kiện 3, tồn tại Ux ∈ B(x) sao cho Ux ⊂ Us ∩ Ut . Ta có S Us ∩ Ut = U (x). x∈Us ∩Ut S Bởi vì Ux : x ∈ Us ∩ Ut , s ∈ S, t ∈ T ⊂ B(x) nên x∈X S G1 ∩ G2 = S U (x) ∈ F s∈S,t∈T x∈Us ∩Ut Bây giờ, ta chứng minh {Bx }x∈X là hệ lân cận của (X, τ ). Thật vây, giả sử x ∈ X và U ∈ B(x). Khi đó, với mọi y ∈ U , theo điều kiện (3) của Định lí 1.1.6, tồn tại Vy ∈ B(y) sao cho Vy ⊂ U . Ta có S S {Vy : y ∈ U } ⊂ B(x) nên V = Vy ∈ F và x∈X y∈U x∈U = S y∈U Vy = V ⊂ U . 9 Như vây, U là lân cận của x, do đó {Bx }x∈X là lân cận của X . Định nghĩa 1.1.8. Cho A là một tâp con của không gian topo (X, τ ) và x ∈ X . Khi đó, (1) x được gọi là điểm trong của A nếu A là lân cận củ x. (2) x được gọi là điểm ngoài của A nếu X\ A là lân cận của x. 1.2. Tập hợp đóng, bao đóng và phần trong của một tập hợp Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và F ⊂ X . Ta nói F là tâp hợp đóng trong X nếu X \ F là tập hợp mở trong X . Định lí 1.2.2. Gọi D là họ gồm tất cả tâp co đóng trong không gian topo (X, τ ). Khi đó, (1) ∅ ∈ D, X ∈ D; (2) Nếu F1 , F2 ∈ D, thì F1 ∪ F2 ∈ D; T (3) Nếu {FI : i ∈ I} ∈ D, thì Fi ∈ D i∈I Chứng minh. (1) Được suy ra trực tiếp từ cách đặt D và định nghĩa của topo. (2) Giả sử F1 , F2 ∈ D, khi đó X \ F1 , X \ F2 ∈ τ . Mặt khác, vì X \ (F1 ∪ F2 ) = (X \ F1 ) ∩ (X \ F2 ) nên X \ (F1 ∪ F2 ) ∈ τ . Do vậy, F1 ∪ F2 ∈ D. (3) Giả sử {Fi : i ∈ I} ⊂ D, khi đó vì mỗi Fi là tập đóng nên X \Fi ∈ τ . Mặt khác, vì 10  S (X \ Fi ) = X \ i∈I  nên X \  T Fi . i∈I  T Fi ∈ τ . Do vậy, i∈I T Fi ∈ D . i∈I Nhận xét 1.2.3. Hợp tùy ý các tập hợp đóng trong không gian topo có thể không đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở. Chứng minh. Giả sử R là tập hợp số thực với topo τ thông thường và   1 với mọi n ∈ N∗ . An = 0, 1 − n Khi đó, • An là tập hợp đóng trong R với mọi n ∈ N∗ . S • An = [0, 1). n∈N∗ Thật vậy, giả sử x ∈ S n∈N∗ An . Suy ra tồn tại n ∈ N∗ sao cho   1 x ∈ An = 0, 1 − ⊂ [0, 1). n Ngược lại, giả sử x ∈ [0, 1), kéo theo 0 ≤ x < 1. Do đó, tồn tại n ∈ N∗ sao cho 1 0≤x≤1− . n Điều này suy ra rằng 11   S 1 x ∈ 0, 1 − = An ⊂ An . n n∈N∗ • [0, 1) không là tập hợp đóng trong (R, τ ). Từ chứng minh trên ta suy ra rằng hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể không đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở. Định nghĩa 1.2.4. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, giao của tất cả các tập con đóng trong X chứa A được gọi là bao đóng của A và ký hiệu là A. Định lí 1.2.5. Giả sử A, B là các tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, các khẳng định sau là đúng. (1) A luôn tồn tại và A ⊂ A; (2) A là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A; (3) A đóng khi và chỉ khi A = A; (4) Nếu A ⊂ B , thì A ⊂ B ; (5) A ∪ B = A ∪ B ; (6) A ∩ B ⊂ A ∩ B , và đẳng thức không xảy ra. Chứng minh. (1) Từ Định nghĩa 1.2.4 và Định lí 1.2.2 ta suy ra A luôn tồn tại và A là một tập con đóng chứa A. (2) Giả sử G là tập đóng nhỏ nhất chứa A. Khi đó, vì A là tập đóng chứa A nên A ⊂ G. Như vậy, G = A, nghĩa là A là tập con đóng nhỏ nhất trong X chứa A. (3) Giả sử A ⊂ X là tập hợp đóng. Khi đó, vì A là tập đóng nhỏ nhất chứa A và A cũng là tập đóng chứa A nên A ⊂ A. Mặt khác, theo khẳng định (1), ta có A ⊂ A. Do vậy, A = A. 12 Bây giờ, giả sử A = A, khi đó theo khẳng định (1) ta suy ra A là tập con đóng. (4) Giả sử A ⊂ B , khi đó theo khẳng định (1) ta có B ⊂ B , kéo theo A ⊂ B . Như vậy, ta suy ra B là tập con đóng chứa A. Mặt khác, lại theo khẳng định (1), A là tập đóng nhỏ nhất chứa A nên ta suy ra A ⊂ B . (5) Bởi vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên nhờ khẳng định (4), ta suy ra A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B . Do đó, ta nhận được A ∪ B ⊂ A ∪ B. (1.1) Mặt khác, lại theo khẳng định (1) ta có A ⊂ A và B ⊂ B nên A ∪ B ⊂ A ∪ B. Hơn nữa, nhờ Định lí 1.2.2 và khẳng định (1) ta suy ra A ∪ B là tập đóng và A ∪ B ⊂ A ∪ B . Do đó, A ∪ B ⊂ A ∪ B. (1.2) Do vậy, từ (1.1) và (1.2) ta suy ra rằng A ∪ B = A ∪ B . (6) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo khẳng định (4), ta suy ra A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B . Do đó, A ∩ B ⊂ A ∩ B . Bây giờ, ta xét R với topo thông thường. Giả sử A = (0, 1) và B = (1, 2). Khi đó, A ∩ B = ∅ = ∅, A ∩ B = {1}. Như vậy, A ∩ B 6= A ∩ B. 13 Bổ đề 1.2.6. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, A ⊂ X . Khi đó, x ∈ A khi và chỉ khi với mọi lân cận mở U của x ta đều có U ∩ A 6= ∅. Chứng minh. • Điều kiện cần. Giả sử rằng x ∈ A và V là một lân cận mở của x. Ta cần chứng minh rằng V ∩ A 6= ∅. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng V ∩ A = ∅, kéo theo A ⊂ X\V . Bởi vì V ∈ τ nên X\V đóng trong X . Do đó, theo Định lí1.2.5 ta suy ra rằng A ⊂ X\V = X\V, kéo theo A ∩ V = ∅. Điều này mâu thuẫn với x ∈ A ∩ V. • Điều kiện đủ. Giả sử rằng với mọi lân cận V của x ta đều có V ∩A 6= ∅. / A, kéo Ta cần chứng minh x ∈ A. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng x ∈ theo x ∈ X\A. Bởi vì X\A là tập hợp mở chứa x nên V = X\A là lân cận mở của x trong X thỏa mãn V ∩ A = ∅. Điều này mâu thuẫn với giả thiết điều kiện đủ. Định nghĩa 1.2.7. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, hợp tất cả các tập mở nằm trong A được gọi là phần trong của A. Kí hiệu là IntA. Nhận xét 1.2.8. (1) IntA là tập mở lớn nhất nằm trong A. (2) A ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi IntA = A; (3) Nếu A ⊂ B , thì IntA ⊂ IntB . Chứng minh. (1) Bởi vì hợp tùy ý các tập mở là mở nên theo Định nghĩa 1.2.7 ta suy ra IntA là tập hợp mở nằm trong A. Bây giờ, giả sử G là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A. Khi đó, vì IntA là tập mở nằm trong A nên G ⊂ IntA. Mặt khác, vì G là tập mở nằm trong A nên nhờ Định nghĩa 1.2.7, IntA ⊂ G. Như vậy, IntA = G và G là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A. (2) Giả sử A ⊂ X , khi đó 14 (2.1) Điều kiện cần. Giả sử A là tập mở. Khi đó, theo khẳng định (1), IntA là tập mở lớn nhất nằm trong A. Mặt khác, vì A cũng là tập mở nằm trong A nên A ⊂ IntA. Hơn nữa, lại theo khẳng định (1), IntA ⊂ A. Do đó, A = IntA. (2.2) Điều kiện đủ. Giả sử A = IntA, khi đó theo khẳng định (1) ta suy ra rằng A là tập hợp mở. (3) Giả sử A ⊂ B , khi đó theo khẳng định (1), IntA là tập mở nằm trong A, kéo theo IntA là tập mở nằm trong B . Mặt khác, vì IntB là tập mở lớn nhất nằm trong B nên IntA ⊂ IntB . Định lí 1.2.9. Giả sử (X, τ ) là không gian topo và A ⊂ X . Khi đó, IntA = X\X\A. Chứng minh. Theo Định lí 1.2.5, ta có X \ A là tập hợp đóng, kéo theo X\X\A ∈ τ . Nhờ bao hàm thức X\X\A ⊂ X\(X\A) = A ta suy ra X\X\A là tập hợp mở nằm trong X \ A. Theo Nhận xét 1.2.8, ta thu được X\X\A ⊂ IntA. (1.3) Lại theo Nhận xét 1.2.8, X \ IntA là tập hợp đóng và X \ A ⊂ X \ IntA. Do đó, Định lí 1.2.5 ta suy ra rằng X \ A ⊂ X \ IntA = X \ IntA. Từ đó ta thu được IntA ⊂ X \ X \ A. Do vậy, từ (1.3) và (1.4) ta suy ra IntA = X \ X \ A. (1.4) 15 Định nghĩa 1.2.10. Tập con A của không gian topo (X, τ ) được gọi là trù mật trong X nếu A = X Ví dụ 1.2.11. (1) Giả sử X = R với topo thông thường. Khi đó, N không trù mật trong X , Q là tập trù mật trong X (2) Giả sử X là không gian các số thực với topo Zariski. Khi đó, N là tập trù mật trong X , kéo theo Q trù mật trong X Nhận xét 1.2.12. Tập con A trù mật trong X khi và chỉ khi mỗi tập mở khác rỗng trong X đều có điểm chung với A. Chứng minh. Giả sử A ⊂ X và U ∈ τ , U 6= ∅. Khi đó, • Điều kiện cần. Giả sử A trù mật trong X , nghĩa là A = X . Ta lấy x ∈ U , khi đó U là lận cận mở của x. Theo Bổ đề 1.2.6, ta suy ra U ∩A 6= ∅. • Điều kiện cần. Giả sử rằng mỗi tập mở khác rỗng trong X đều có điểm chung với A. Ta chứng minh A = X . Thật vậy, giả sử x ∈ X và U là lân cận mở bất kỳ của x. Khi đó, theo giả thiết điều kiện đủ ta suy ra U ∩ A 6= ∅. Do đó, Bổ đề 1.2.6 ra suy ra rằng A = X 1.3. Một số tiên đề tách Định nghĩa 1.3.1. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó, (1) (X, τ ) được gọi là T1 -không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y , tồn tại các lân cận mở U của x và V của y sao cho x ∈ / V và y ∈ / U; (2) (X, τ ) được gọi là T2 -không gian hay là không gian Hausdorff nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y , tồn tại các lân cận mở U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅. Định lí 1.3.2. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo. Khi đó, (1) T2 -không gian =⇒ T1 -không gian; 16 (2) T1 -không gian 6=⇒ T2 -không gian. Chứng minh. (1) Giả sử (X, τ ) là T2 -không gian và x, y ∈ X . Khi đó, tồn tại các lân cận U của x và V của y sao cho U ∩ V = ∅. Kéo theo x ∈ /V và y ∈ / U . Do đó, (X, τ ) là T1 -không gian. (2) Giả sử X là tập hợp vô hạn, và τ là topo Zariski. Khi đó, • (X, τ ) là T1 -không gian. Giả sử x, y ∈ X sao cho x 6= y . Khi đó, nếu ta lấy U = X \ {x}; V = X \ {y}, thì X \ U = {x} và X \ V = {y} là các tập hữu hạn. Do đó, V là lân cận mở của x không chứa y và U là lân cận mở của y không chứa x. Như vậy, (X, τ ) là T1 -không gian. • (X, τ ) không là T2 -không gian. Thật vậy, giả sử U , V là hai tập hợp mở khác rỗng bất kỳ của X . Khi đó, X \U và X \V là các tập con hữu hạn của X . Như vậy, nếu U ∩V = ∅, thì U ⊂ X \ V hữu hạn, kéo theo U hữu hạn. Bởi vì X = U ∪ (X \ U ) nên ta suy ra X hữu hạn. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ rằng U ∩ V = ∅. Do đó, (X, τ ) không là T2 -không gian. 1.4. Không gian con Định nghĩa 1.4.1. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, Y ⊂ X và τY = {Y ∩ U : U ∈ τ }. Khi đó, τY là một topo trên Y . Ta nói rằng (Y, τY ) là một không gian con của không gian topo (X, τ ). Nhận xét 1.4.2. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, (Y, σ) là một