Tài liệu Tính chất của ánh xạ đóng phủ dãy

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ ĐỨC ANH QUÂN TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG PHỦ-DÃY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ ĐỨC ANH QUÂN TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG PHỦ-DÃY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS. Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2021 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cám ơn chân thành tới thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển đã tận tình hướng dẫn và động viên em trong suốt quá trình thực hiện đề tài, nhờ đó em có thể hoàn thành được bài nghiên cứu này. Trong quá trình nghiên cứu đề tài, em đã gặp không ít khó khăn khi tìm tòi và dịch tài liệu cũng như những hạn chế về mặt kiến thức. Tuy vậy, nhờ sự giúp đỡ tận tình từ quý thầy cô giáo, sự quan tâm của gia đình cũng như bạn bè đã giúp chúng em có động lực phấn đấu và đã hoàn thành được bài nghiên cứu khoa học này. Đây cũng là kỷ niệm đáng nhớ của em trong thời gian học tập tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Đại học Đà Nẵng. Em xin chân thành cảm ơn! Lê Đức Anh Quân MỤC LỤC MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 CHƯƠNG 1. Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp . . . . 4 1.2. Tập hợp đóng, bao đóng và phần trong của tập hợp . . . . . . . . . . 7 1.3. Một số tiên đề tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 CHƯƠNG 2. Tính chất của ánh xạ đóng phủ-dãy . . . . . . . . . 16 2.1. Cơ sở yếu và một số tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. Tính chất của ánh xạ đóng phủ-dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Khái niện cơ sở yếu đã được A. Arhangel’skii giới thiệu vào năm 1966. Đến năm 1976, F. Siwiec đã dùng khái niệm cơ sở yếu và đưa ra định nghĩa không gian g -khả metric, một không gian là g -khả metric nếu nó có cơ sở yếu σ -hữu hạn địa phương. Sau này, tương tự không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, L. Foged, Tanaka, Liu and Dai đã đưa ra khái niệm không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất yếu và chứng minh được rằng không gian g -khả metric tương đương với không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất yếu và ℵ-không gian (xem [5]). Nghiên cứu ảnh của không gian topo dưới tính chất của ánh xạ phủ-dãy là một trong những bài toán trọng tâm của topo đại cương. Năm 2000, P. Yan, S. Lin và S.L. Jiang đã chứng minh mỗi ánh xạ đóng phủ-dãy từ không gian metric là ánh xạ 1-phủ-dãy (xem [6]). Đến năm 2008, trong [2], các tác giả đã chứng minh rằng mỗi π -s-ánh xạ phủ-dãy từ không gian metric là ánh xạ 1-phủ-dãy. Trong [4], F.C. Lin và S. Lin đã thay không gian metric bởi không gian yếu hơn là g -khả metric và cũng chứng minh được mỗi ánh xạ đóng phủ-dãy trên không gian g -khả metric là ánh xạ 1-phủ-dãy. Bởi vì mỗi không gian g -khả metric hiển nhiên là không gian có cơ sở yếu-đểm đếm được. Do đó, trong [8] và [9] tác giả đã chứng minh rằng kết quả của F.C. Lin và S. Lin vẫn đúng khi thay không gian g -khả metric bởi không gian cơ sở yếu điểm-đếm được, mà nỗi ánh xạ phủ-dãy biên compact trên không gian g -khả metric là ánh xạ 1-phủ-dãy. Với mong muốn tìm hiểu tính chất của các mạng, tính chất của cơ sở yếu và tính chất của các ánh xạ có tính chất phủ cũng như mối liên hệ giữa chúng, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển, chúng tôi 2 quyết định chọn đề tài: “Tính chất của ánh xạ đóng phủ-dãy” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho mình. 2. Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của cơ sở yếu, tính chất của ánh xạ đóng phủ-dãy và mối quan hệ giữa ánh xạ phủ-dãy và ánh xạ 1-phủ-dãy. 3. Đối tượng nghiên cứu Cơ sở yếu, phủ điểm-đếm được, không gian gf -đếm được, ánh xạ đóng, ánh xạ phủ-dãy, ánh xạ 1-phủ-dãy. 4. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất của cơ sở yếu, tính chất của ánh xạ đóng phủ-dãy, mối liên hệ giữa ánh xạ phủ-dãy với 1-phủ-dãy. 5. Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại một số kiến thức về topo đại cương. • Thu thập các sách, các bài báo khoa học của các tác giả đi trước liên quan đến cơ sở yếu, ánh xạ đóng, ánh xạ phủ-dãy, ánh xạ 1-phủ-dãy. • Đọc kỹ và chứng minh chi tiết các kết quả đã tìm kiếm. • Phân tích, đánh giá, tổng hợp và trao đổi với thầy hướng dẫn kết quả đang nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài của mình của mình. 4. Cấu trúc của đề tài Nội dung đề tài được trình bày trong hai chương. Ngoài ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận và Tài liệu tham khảo. 3 Chương 1, trình bày một số kiến thức cơ bản của topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương 2. Chương 2, trình bày về tính chất của ánh xạ đóng phủ-dãy bao gồm 2 mục: Mục 2.1, trình bày về cơ sở yếu và một số tính chất liên quan; Mục 2.2, trình bày về tính chất của ánh xạ đóng phủ-dãy. 4 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương này trình bày một số kiến thức về topo đại cương, các khái niệm và các tính chất trong chương này được chúng tôi tham khảo trong tài liệu [3], và được trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả chính của chương sau. 1.1. Không gian topo, tập hợp mở và lân cận của một tập hợp Định nghĩa 1.1.1. Giả sử τ là họ nào đó gồm các tập con của tập hợp X thỏa mãn các điều kiện sau. (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu U , V ∈ τ , thì U ∩ V ∈ τ ; S (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , thì Uα ∈ τ . α∈Λ Khi đó, (1) τ được gọi là một topo trên X . (2) Cặp (X, τ ) được gọi là một không gian topo. (3) Mỗi phần tử của τ được gọi là một tập hợp mở. (4) Mỗi phần tử của X được gọi là một điểm của nó. Nhận xét 1.1.2. Đối với không gian topo X , các khẳng định sau là đúng. 5 (1) ∅, X là các tập hợp mở; (2) Giao hữu hạn tập hợp mở là một tập hợp mở; (3) Hợp tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp mở. Ví dụ 1.1.3. (1) Giả sử X là một tập hợp tùy ý, τ = {∅, X}. Khi đó, τ là một topo trên X và nó được gọi là topo thô trên X , (X, τ ) được gọi là không gian topo thô. (2) Giả sử X là một tập hợp tùy ý, τ = P(X). Khi đó, τ là một topo trên X và nó được gọi là topo rời rạc trên X . (3) Giả sử X = R. Ký hiệu [ τ= ∈ I(ai , bi ) : ai , bi ∈ R, ai ≤ bi . i Khi đó, τ là một topo trên X và nó là topo tự nhiên hay topo thông thường trên R. Định nghĩa 1.1.4. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, tập con U của X được gọi là một lân cận của A nếu tồn tại V ∈ τ sao cho A ⊂ V ⊂ U. Ngoài ra, nếu U ∈ τ , thì ta nói rằng U là lân cận mở của A. Đặc biệt, nếu A = {x}, thì ta nói rằng U là lân cận của x. Nhận xét 1.1.5. Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập hợp mở, nhưng mỗi tập hợp mở là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Chứng minh. Trên tập hợp các số thực R với topo thông thường τ , giả sử U = [−1; 1] và V = (−1; 1). Khi đó, V ∈ τ và U là một lân cận của điểm x = 0 vì x ∈ V ⊂ U nhưng U ∈ / τ . Do đó, lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập mở. 6 Ngược lại, giả sử U là tập mở và x ∈ U . Khi đó, nếu ta đặt V = U thì rõ ràng V ∈ τ và x ∈ V ⊂ U . Như vậy, U là một lân cận của x. Hệ quả 1.1.6. Đối với không gian topo (X, τ ), các khẳng định sau là tương đương. (1) U là tập hợp mở; (2) U là lân cận của mọi điểm thuộc nó; (3) Với mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Chứng minh. (1) =⇒ (2) Giả sử U là tập mở và x ∈ U . Khi đó, nếu ta đặt V = U , thì rõ ràng V ∈ τ và x ∈ V ⊂ U . Như vậy, U là một lân cận của x. (2) =⇒ (3) Giả sử U là lân cận của mọi x ∈ U . Khi đó, với mọi x ∈ U , nếu ta đặt Vx = U , thì Vx là lân cận của x và x ∈ Vx = U ⊂ U. Do đó, (3) thỏa mãn. (3) =⇒ (1) Giả sử vói mọi x ∈ U , tồn tại lân cận Vx của x sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Khi dó, vì Vx là lân cận của x nên tồn tại Wx ∈ τ sao cho x ∈ Wx ⊂ Vx ⊂ U . Do đó, U= S {x} ⊂ x∈U S kéo theo U = S Wx ⊂ U , x∈U Vx . Bởi vì Wx ∈ τ với mọi x ∈ U nên ta suy ra U ∈ τ , x∈U nghĩa là U mở. Định nghĩa 1.1.7. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và B ⊂ τ . Ta nói rằng B là cơ sở của (X, τ ) (hay là cơ sở của τ ) nếu mỗi phần tử của τ là hợp nào đó các phần tử của B . 7 Nhận xét 1.1.8. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo một B ⊂ τ . Khi đó, (1) Nếu B là cơ sở của τ , thì mỗi phần tử của B là một tập hợp mở trong X , nhưng mỗi tập hợp mở trong X có thể không thuộc B . (2) B là cơ sở của không gian topo (X, τ ) khi và chỉ khi với mọi U ∈ τ và với mọi x ∈ U , tồn tại V ∈ B sao cho x ∈ V ⊂ U. Chứng minh. (1) Bởi vì B ⊂ τ nên mọi phần tử của B đều mở trong X . Tiếp theo, để chỉ ra mỗi tập mở trong X có thể không thuộc B , ta xét phản ví dụ sau đây: trên tâp hợp các số thực R với topo thông thường τ , giả sử B = {(ai , bi ) : ai , bi ∈ R, ai ≤ bi , i ∈ I} và U = (1; 2) ∪ (3; 4). Khi đó, rõ ràng B là một cơ sở của (R, τ ) và U ∈ τ nhưng U ∈ / B. (2) ♣ Điều kiện cần. Giả sử họ B là một cơ sở của τ , U ∈ τ và x ∈ U . S Khi đó, theo Định nghĩa 1.1.7, U = {Bi : Bi ∈ B}. Bởi vì x ∈ U nên i∈I tồn tại i0 ∈ I sao cho x ∈ Bi0 ⊂ U . Nếu đặt V = Bi0 thì V ∈ B và x ∈ V ⊂ U. ♣ Điều kiện đủ. Giả sử U ∈ τ và B là họ gồm các tập con mở trong X thỏa mãn: với mỗi x ∈ U , tồn tại Vx ∈ B sao cho x ∈ Vx ⊂ U . Khi đó, S U= Vx . Điều này chứng tỏ rằng B là một cơ sở của τ . x∈U 1.2. Tập hợp đóng, bao đóng và phần trong của tập hợp Định nghĩa 1.2.1. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và F ⊂ X . Ta nói F là tập hợp đóng trong X nếu X\F là tập hợp mở trong X . Định lí 1.2.2. Gọi D là họ gồm tất cả tập con đóng trong không gian topo (X, τ ). Khi đó, 8 (1) ∅ ∈ D, X ∈ D; (2) Nếu F1 , F2 ∈ D, thì F1 ∪ F2 ∈ D; T (3) Nếu {Fi : i ∈ I} ∈ D, thì Fi ∈ D . i∈I Chứng minh. (1) Được suy trực tiếp từ cách đặt D và định nghĩa của topo. (2) Giả sử F1 , F2 ∈ D, khi đó X\F1 , X\F2 ∈ τ . Mặt khác, vì X\ (F1 ∪ F2 ) = (X\F1 ) ∩ (X\F2 ) nên X\ (F1 ∪ F2 ) ∈ τ . Do vậy, F1 ∪ F2 ∈ D. (3) Giả sử {Fi : i ∈ I} ⊂ D, khi đó vì mỗi Fi là tập đóng nên X\Fi ∈ τ . Mặt khác, vì  S (X\Fi ) = X\ i∈I  nên X\  T Fi i∈I  T Fi ∈ τ . Do vậy, i∈I T Fi ∈ D . i∈I Nhận xét 1.2.3. Hợp tùy ý các tập hợp đóng trong không gian topo có thể không đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở. Chứng minh. Giả sử R là tập hợp số thực với topo τ thông thường và   1 An = 0, 1 − với mọi n ∈ N∗ . n Khi đó, • An là tập hợp đóng trong R với mọi n ∈ N∗ . S • An = [0, 1). n∈N∗ Thật vậy, giả sử x ∈ S n∈N∗ An . Suy ra tồn tại n ∈ N∗ sao cho 9   1 x ∈ An = 0, 1 − ⊂ [0, 1). n Ngược lại, giả sử x ∈ [0, 1), kéo theo 0 ≤ x < 1. Do đó, tồn tại n ∈ N∗ sao cho 1 0≤x≤1− . n Điều này suy ra rằng   S 1 x ∈ 0, 1 − = An ⊂ An . n n∈N∗ • [0, 1) không là tập hợp đóng trong (R, τ ). Từ chứng minh trên ta suy ra rằng hợp tùy ý các tập hợp đóng có thể không đóng. Do đó, giao tùy ý các tập hợp mở có thể không mở. Định nghĩa 1.2.4. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, giao của họ tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của A. Kí hiệu là A. Định lí 1.2.5. Giả sử A, B là các tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, các khẳng định sau là đúng. (1) A luôn tồn tại và A ⊂ A; (2) A là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A; (3) A đóng khi và chỉ khi A = A; (4) Nếu A ⊂ B , thì A ⊂ B ; (5) A ∪ B = A ∪ B ; 10 (6) A ∩ B ⊂ A ∩ B , và đẳng thức không xảy ra. Chứng minh. (1) Từ Định nghĩa 1.2.1 và Định lí 1.2.2 ta suy ra A luôn tồn tại và A là một tập con đóng chứa A. (2) Giả sử G là tập đóng nhỏ nhất chứa A. Khi đó, vì A là tập đóng chứa A nên A ⊂ G. Như vậy, G = A, nghĩa là A là tập đóng nhỏ nhất chứa A. (3) Giả sử A ⊂ X là tập hợp đóng. Khi đó, vì A là tập đóng nhỏ nhất chứa A và A cũng là tập đóng chứa A nên A ⊂ A. Mặt khác, theo khẳng định (1), ta có A ⊂ A. Do vậy, A = A. Bây giờ, giả sử A = A, khi đó theo khẳng định (1) ta suy ra A là tập con đóng. (4) Giả sử A ⊂ B , khi đó theo khẳng định (1) ta có B ⊂ B , kéo theo A ⊂ B . Như vậy, kết hợp với khẳng định (1) ta suy ra B là tập con đóng chứa A. Mặt khác, lại theo khẳng định (1), A là tập đóng nhỏ nhất chứa A nên ta suy ra A ⊂ B . (5) Bởi vì A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B nên nhờ khẳng định (4), ta suy ra A ⊂ A ∪ B và B ⊂ A ∪ B . Do đó, ta nhận được A ∪ B ⊂ A ∪ B. (1.1) Mặt khác, lại theo khẳng định (1) ta có A ⊂ A và B ⊂ B nên A ∪ B ⊂ A ∪ B. Hơn nữa, nhờ Định lí 1.2.2 và khẳng định (1) ta suy ra A ∪ B là tập đóng và A ∪ B ⊂ A ∪ B . Do đó A ∪ B ⊂ A ∪ B. (1.2) 11 Do vậy, từ (1.1) và (1.2) ta suy ra rằng A ∪ B = A ∪ B . (6) Bởi vì A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B nên theo khẳng định (4), ta suy ra A ∩ B ⊂ A và A ∩ B ⊂ B . Suy ra A ∩ B ⊂ A ∩ B . Bây giờ, ta xét R với topo thông thường. Giả sử A = (0, 1) và B = (1, 2). Khi đó, A ∩ B = ∅ = ∅, A ∩ B = {1}. Như vậy, A ∩ B 6= A ∩ B. Bổ đề 1.2.6. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, A ⊂ X . Khi đó, x ∈ A khi và chỉ khi với mọi lân cận mở U của x ta đều có U ∩ A 6= ∅. Chứng minh. • Điều kiện cần. Giả sử rằng x ∈ A và V là một lân cận mở của x. Ta cần chứng minh rằng V ∩ A 6= ∅. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng V ∩ A = ∅, kéo theo A ⊂ X \ V . Bởi vì V ∈ τ nên X \ A đóng trong X . Do đó, theo Nhận xét 1.2.5 ta suy ra rằng A ⊂ X \ V = X \ V, kéo theo A ∩ V = ∅. Điều này mâu thuẫn với x ∈ A ∩ V . • Điều kiện đủ. Giả sử rằng mọi lân cận V của x ta đều có V ∩ A 6= ∅. Ta chứng minh x ∈ A. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng x ∈ / A, kéo theo x ∈ X \ A. Bởi vì X \ A là tập hợp mở chứa x nên V = X \ A là lân cận mở của x trong X thỏa mãn V ∩ A = ∅. Điều này mâu thuẫn với giả thiết điều kiện đủ. Định nghĩa 1.2.7. Giả sử A là một tập con của không gian topo (X, τ ). Khi đó, hợp tất cả các tập mở nằm trong A được gọi là phần trong của A. Kí hiệu là IntA. 12 Nhận xét 1.2.8. (1) IntA là tập mở lớn nhất nằm trong A. (2) A ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi IntA = A; (3) x ∈ IntA khi và chỉ khi x là điểm trong của A; (4) Nếu A ⊂ B , thì IntA ⊂ IntB . Chứng minh. (1) Bởi vì hợp tùy ý các tập mở là mở nên theo Định nghĩa 1.2.7 ta suy ra IntA là tập hợp mở nằm trong A. Bây giờ, giả sử G là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A. Khi đó, vì IntA là tập mở nằm trong A nên G ⊂ IntA. Mặt khác, lại vì G là tập mở nằm trong A nên nhờ Định nghĩa 1.2.7, IntA ⊂ G. Như vậy, IntA = G và G là tập hợp mở lớn nhất nằm trong A. (2) Giả sử A ⊂ X , khi đó (2.1) Điều kiện cần. Giả sử A là tập mở. Khi đó, theo khẳng định (1), IntA là tập mở lớn nhất nằm trong A. Mặt khác, vì A cũng là tập mở nằm trong A nên A ⊂ IntA. Hơn nữa, theo khẳng định (2), IntA ⊂ A, kéo theo A = IntA. (2.2) Điều kiện đủ. Giả sử A = IntA, khi đó theo khẳng định (1) ta suy ra rằng A là tập hợp mở. (3) Giả sử A ⊂ X và x ∈ X . Khi đó, (3.1) Điều kiện cần. Giả sử x ∈ IntA, khi đó theo khẳng định (1), IntA ∈ τ và x ∈ IntA ⊂ A. Như vậy, x là điểm trong của A. (3.2) Điều kiện đủ. Giả sử x là điểm trong của A. Khi đó, tồn tại tập mở U sao cho x ∈ U ⊂ A. Mặt khác, vì IntA là tập mở lớn nhất trong A nên U ⊂ IntA. Do vậy, x ∈ IntA. (4) Giả sử A ⊂ B , khi đó theo khẳng định (1), IntA là tập mở nằm 13 trong A, kéo theo IntA là tập mở nằm trong B . Mặt khác, vì IntB là tập mở lớn nhất nằm trong B nên IntA ⊂ IntB . Định lí 1.2.9. Giả sử (X, τ ) là không gian topo và A ⊂ X . Khi đó, IntA = X\X\A. Chứng minh. Theo Nhận xét 1.2.5, ta có X \ A là tập hợp đóng, kéo theo X\X\A ∈ τ . Nhờ bao hàm thức X\X\A ⊂ X\(X\A) = A ta suy ra X\X\A là tập hợp mở nằm trong X \ A. Theo Nhận xét 1.2.8, ta suy ra X\X\A ⊂ IntA. (1.3) Lại theo Nhận xét 1.2.8 ta suy ra X \ IntA là tập hợp đóng và X \ A ⊂ X \ IntA. Do đó, nhờ Nhận xét 1.2.5 ta suy ra X \ A ⊂ X \ IntA = X \ IntA. Từ đó ta suy ra IntA ⊂ X \ X \ A. (1.4) Do vậy, từ (1.3) và (1.4) ta suy ra IntA = X \ X \ A. 1.3. Một số tiên đề tách Định nghĩa 1.3.1. Giả sử (X, τ ) là không gian topo. Khi đó, (1) (X, τ ) được gọi là T0 -không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y , tồn tại V ∈ τ chứa đúng một trong hai điểm này. 14 (2) (X, τ ) được gọi là T1 -không gian nếu với mọi x, y ∈ X mà x 6= y , tồn tại lân cận mở U của x sao cho y ∈ / U. (3) (X, τ ) được gọi là T2 -không gian hay là không gian Hausdorff nếu với hai điểm phân biệt được tách bởi các tập mở. 1.4. Không gian compact Định nghĩa 1.4.1. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo và U là họ các tập con nào đó của X , A ⊂ X . Khi đó, (1) U được gọi là một phủ của X nếu A ⊂ ∪{U : U ∈ U}. (2) U được gọi là một phủ mở của A nếu U là một phủ của A và U ⊂ τ . (3) V được gọi là phủ con hữu hạn của U nếu V ⊂ U , V hữu hạn và V phủ A. Định nghĩa 1.4.2. Giả sử (X, τ ) là không gian topo và A ⊂ X . Khi đó, tập A được gọi là tập hợp compact nếu với mọi phủ mở của A đều có một phủ con hữu hạn. Đặc biệt, nếu A = X , thì ta nói rằng X là không gian compact. 1.5. Ánh xạ liên tục Định nghĩa 1.5.1. Giả sử f : X → Y là một ánh xạ liên tục từ không gian topo X vào không gian topo Y . Khi đó, (1) f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu với mọi lân cận mở V của f (x) trong Y , tồn tại lân cận mở U của x trong X sao cho f (U ) ⊂ V . (2) f được gọi là liên tục trên X (hay liên tục) nếu nó liên tục tại mọi x ∈ X. 15 (3) f được gọi là phép đồng phôi nếu f là một song ánh và f , f −1 là các ánh xạ liên tục. Định lí 1.5.2. Đối với không gian topo X , các khẳng định sau là tương đương. (1) f là ánh xạ liên tục; (2) f −1 (U ) mở trong X với mọi U mở trong Y ; (3) f −1 (F ) đóng trong X với mọi F đóng trong Y ; (4) f (A) ⊂ f (A) với mọi A ⊂ X . 16 CHƯƠNG 2 TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐÓNG PHỦ-DÃY Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày về cơ sở yếu, trình bày một số kết quả quan trọng liên quan đến cơ sở yếu nhằm để chứng minh các kết quả chính của khóa luận. Sau đó, chúng tôi chứng minh một số tính chất của ánh xạ đóng phủ-dãy. Toàn bộ chương này, chúng tôi quy ước tất cả các ánh xạ là liên tục. 2.1. Cơ sở yếu và một số tính chất liên quan Mục này dành cho việc trình bày về cơ sở yếu, trình bày một số kết quả quan trọng liên quan đến cơ sở yếu. Định nghĩa 2.1.1. Họ B được gọi là cơ sở của không gian topo (X, τ ) nếu mỗi phần tử của τ là hợp nào đó các phần tử của B . Định nghĩa 2.1.2. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, x ∈ X và Ux là họ gồm các lân cận của x. Họ Bx được gọi là cơ sở lân cận của x nếu với mọi U ∈ Ux , tồn tại B ∈ Bx sao cho x ∈ B ⊂ U . Định nghĩa 2.1.3. Không gian topo (X, τ ) được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi điểm của X có cơ sở lân cận đếm được. Định nghĩa 2.1.4. Giả sử (X, τ ) là một không gian topo, x ∈ X . Họ G ⊂ τ được gọi là cơ sở địa phương của x trong X nếu với mỗi lân cận U của x, tồn tại G ∈ G sao cho x ∈ G ⊂ U . Ví dụ 2.1.5. Giả sử (X, d) là một không gian metric. Khi đó, 1) {S(x, 1/n)} : x ∈ X, n ∈ N} là cơ sở của X . 2) Bx = {S(x, 1/n) : n ∈ N} là cơ sở địa phương đếm được tại x. Như