Tài liệu Tiếp tuyến của các đường cong cônic

Trường đại học sư phạm hà nội 2 khoa toán -----****----- Trần Huy Mạnh Tiếp tuyến của các đường cônic Tóm tắt Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Hình học Giáo viên hướng dẫn: Phan hồng trường Hà Nội -2007 1 Lời nói đầu Trong chương trình toán phổ thông trung học mới được thực hiện từ năm 2006, phương pháp toạ độ trong mặt phẳng được đưa vào hình học lớp 10. Tiếp tuyến của các đường cônic xét trước đây trong hình học 12 được trình bày nhờ khái niệm đạo hàm và tiếp tuyến với đồ thị hàm số, đã chưa được đề cập tới trong chương “Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng” trong hình học 10. Vậy nhằm để gới thiệu với các em học sinh lớp 10 về khái niệm tiếp tuyến của các đường cônic, cũng như phương pháp để xác định tiếp tuyến của các đường cônic nên em đã chọn đề tài: “Tiếp tuyến của các đường cônic” Và thực hiện đề tài trên cơ sở đưa ra khái niệm tiếp tuyến của ba đường cônic ((E), (H), (P)) chỉ dựa vào phương trình đại số và các tính chất hình học của ba đường này. Đây là lần đầu tiên em làm quen với việc NCKH. Nên bản thân em dù đã rất cố gắng nhưng sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý, nhận xét, đánh giá của thầy cô và bạn đọc. Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa, trong tổ, đặc biệt là sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Thầy Phan Hồng Trường đã giúp em hoàn thành khoá luận này. 2 Mục lục Lời nói đầu Trang Mục lục 2 Chương 1: tiếp tuyến của đường elip 3 1.1. Elip 3 1.2. Tiếp tuyến của đường elip 3 1.3. Phương trình tiếp tuyến của đường elip 5 A. Cách xác định 5 B. Các ví dụ 7 C. Bài tập đề nghị 10 Chương 2:tiếp tuyến của đường hypebol 12 2.1. Hypebol 12 2.2. Tiếp tuyến của đường hypebol 13 2.3. Phương trình tiếp tuyến của đường Hypebol 14 A. Cách xác định 14 B. Các ví dụ 16 C. Bài tập đề nghị 20 Chương 3: tiếp tuyến của đường parabol 21 3.1. Parabol 21 3.2. Tiếp tuyến của đường parabol 22 3.3. Phương trình tiếp tuyến của đường parabol 23 A. Cách xác định 23 B. Ví dụ 25 C. Bài tập đề nghị 28 Chương 4: Bài tập thêm 29 4.1. Kiến thức cơ bản 29 4.2. Bài tập 30 A. Elip 30 B. Hypebol 33 3 C. Parabol 34 Chương 1: tiếp tuyến của đường elip 1.1. elip 1.1.1. Định nghĩa đường elip Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2  2c (c>0). Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a , trong đó a là số cho trước lớn hơn c. Kí hiệu elip bởi (E) Hai điểm F1 , F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của elip. 1.1.2. Phương trình chính tắc của elip Cho elip (E) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy gốc là y trung điểm của đoạ thẳng F F và F nằm trên tia Ox. 1 2 Điểm M  x, y    E   2 x2 y 2   1 (1) a 2 b2 ( b  a  c ) .(1) được gọi là phương trình 2 2 2 . F1 O . x F2 chính tắc của elip đã cho. Lưu ý: Elip (E) : x2 y 2   1,  b  a  0  có hai tiêu điểm F1 , F2 nằm trên a 2 b2 trục lớp Oy 1.2. Tiếp tuyến của đường elip 1.2.1. Định nghĩa Cho elip (E) và đường thẳng d. Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của elip (E) nếu d và (E) có một điểm chung duy nhất. Khi đó ta cũng nói d tiếp xúc với (E) hay d và (E) tiếp xúc nhau. Điểm chung duy nhất của d và (E) gọi là tiếp điểm 1.2.2. Định lí 4 Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): x2 y 2   1 và đường thẳng a 2 b2 d: Ax+By+C=0 (A2+B2>0). Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d và elip (E) tiếp xúc nhau là: A2a2+B2b2=C2 Chứng minh: Xét hệ phương trình tạo bởi d và (E) là  x2 y 2  2  2 1 (I) b a  Ax  By  C  0  Vì A2+B2>0 nên A  0 hoặc B  0, không mất tính tổng quát giả sử B  0. Khi đó rút y từ (2) thay vào (1), ta được: B2b2x2+a2(-Ax-C)2=a2b2B2  (B2b2+A2a2)x2+2a2ACx+a2c2-a2b2B2=0 (3) Đường thẳng d tiếp xúc với elip (E) khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Suy ra  '  0  C 2  A2a 2  B 2b2 Nhận xét : Mặc dù lời giải trên vai trò của x và y là bình đẳng, nhưng sự bình đẳng này không được xem xét một cách đầy đủ trong suốt quá trình giải. Vì vậy theo hướng trên ta nhận được lời giải đúng nhưng không đẹp. Để khắc phục được tình trạng trên, chúng ta sử dụng phương pháp sau: Viết lại hệ (I) dưới dạng:  x 2  y 2       1  a   b   aA  x   bB  y   C  0     a  b 5 Đặt  x  aX   y  bY Ta được:  X 2  Y 2  1T   aAX  bBY  C  0  d  Khi đó hệ có nghiệm duy nhất  d tiếp xúc (T)  d(O,d)=1 (O là tâm đường tròn (T))  A2a2+B2b2=C2 Như vậy ta có một lời giải hoàn toàn mới, trong lời giải trên sự bình đẳng của x và y được duy trì trong suốt quá trình giải . Hệ quả 1: Đường thẳng y=kx+m là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi k2a2+b2=m2 x2 y 2 Hệ quả 2. Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): 2  2  1 . Phương trình tiếp a b tuyến với (E) tại M0(x0,y0) thuộc (E) có dạng: d0: x0 x y0 y  2 1 a2 b Chứng minh: Hiển nhiên đường thẳng d0 đi qua M0(x0,y0). Mặt khác 2 2  x0  2  y0  x0 y0 a  2   b  2   2  2 1. b a  b  a 2 Theo định lí 1.2.2, đường thẳng x0 x y0 y  2  1  0 tức d0, là tiếp tuyến của a2 b elip (E). Vậy d0 là tiếp tuyến của elip (E) tại M0(x0,y0) thuộc (E). Phương pháp thành lập phương trình d0 dạng trên gọi là phương pháp phân đôi toạ độ. 6 1.3. phương trình tiếp tuyến của đường elip A. Cách xác định x2 y 2 Cho elip (E): 2  2  1 a b Để lập phương trình tiếp tuyến d của elip (E) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta thực hiện các bước sau: b1, Dựa vào điều kiện K ta giả sử đường thẳng d có phương trình d: Ax+By +C=0 b2, Xác định điều kiện tiếp xúc của d và (E) b3, Kết luận về tiếp tuyến đó Chú ý. Điều kiện K thường gặp là: 1. Tiếp tuyến đi qua một điểm M cho trước, khi đó: a. Nếu M0(x0,y0) thuộc (E) ta có ngay phương trình tiếp tuyến bằng phương pháp phân đôi toạ độ b. Nếu M0(x0,y0) không thuộc (E) ta giả sử d : A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A2+B2>0)  d: Ax+By – (Ax0+By0)=0 (2) 2. Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : Ax  By  C  0 . Khi đó d: Ax+By+C’=0 b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : Ax  By  C  0 . Khi đó d: Bx-Ay+C’=0 c. Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng  một góc  . Khi đó linh hoạt vận dụng công thức  u.v  cos    , với u, v thứ tự là vectơ chỉ phương của d và  . u.v 7 tan   k1  k2 , với k1, k2 thứ tự là hệ số góc của d và  . 1  k1k2 Cách 2. Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải Ta thực hiên theo các bước sau: b1, Giả sử M0(x0,y0) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến có x0 x y0 y  2  1 (1) a2 b dạng: x02 y02 Điểm M0(x0,y0) thuộc (E) nên 2  2  1 (2) a b b2, Sử dụng điều kiện K của giả thiết ta thiết lập thêm một phương trình theo x0, y0 (3). b3, Giải hệ tạo bởi (2) và (3) ta được toạ độ điểm M0 , từ đó thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định. Nhận xét: Trong những trường hợp riêng cách 2 tỏ ra hiệu quả hơn B. Các ví dụ x2 y 2   1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (E) VD1. Cho elip (E): 8 2 đi qua điểm M(2,1). Giải Nhận xét rằng điểm M(2,1) thuộc elip, do đó phương trình tiếp tuyến d của (E) có dạng d: 2 x 1y  1 d : x  2y  4  0 8 2 VD2. Cho điểm M(3,-4) và elip (E): x2 y 2  1. 9 4 a. Chứng minh rằng: Qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (E). b. Xác định phương trình hai tiếp tuyến và lập phương trình 8 đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của (E) với hai tiếp tuyến trên. Giải a. Với M(3,-4) và elip (E): x2 y 2   1 . Ta có PM 9 4 E  5  1  M nằm ngoài (E). Suy ra qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (E). b. Ta lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1. Đường thẳng d qua M có dạng d: A(x-3)+B(y+4)=0  d: Ax+By-3A+4B=0 Đường thẳng d là tiếp tuyến của elip (E) khi và chỉ khi 9 A2+4B2= (-3A+4B)2  12B2-24AB=0 B  0  B  2A Với B=0 ta được tiếp tuyến d1: x-3=0 và toạ độ của điểm M1 là nghiệm của hệ  x2 y 2  1 x  3     M 1  3,0  9 4  y  0  x  3  0  Với B=2A ta được tiếp tuyến d2: x+2y+5=0 và toạ độ của điểm M2 là nghiệm của hệ 9   x2 y 2 x   1     9 8 5   M2   ,  9 4    5 5 x  2 y  5  0  y   8   5 Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M1, M2 là: M1M 2 : x  3 y  3  0 . Cách 2. Gọi M0(x0,y0) là tiếp điểm của (E) với tiếp tuyến d cần tìm. khi đó M0(x0,y0) thuộc (E) khi và chỉ khi trình d: x02 y02   1 (1) và đường thẳng d có phương 9 4 x0 x y0 y  1 9 4 9 Vì M thuộc d nên 3x0 4 y0   1  x0  3 y0  3 .(*) Thay vào (1) ta 9 4  9 8 M1  3,0  , M 2   ,    5 5 được Với M1  3,0 ta được tiếp tuyến d1: x-3=0 .  9 8 Với M 2   ,   ta được tiếp tuyến d2: x+2y+5=0  5 5 Nhận xét rằng toạ độ hai tiếp điểm đều thoả mãn phương trình (*). Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm có dạng x-3y-3=0 Nhận xét. Với đòi hỏi của bài toán trên việc lựa chọn cách giải 2 lời giải đơn giản hơn. x2 y 2   1 . Viết phương trình tiếp tuyến d của VD3. Cho elip (E): 16 9 (E) biết : a. Tiếp tuyến song song với đường thảng  : x  2 y  6  0 b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : x  y  0 Giải a.Gọi d là tiếp tuyến của (E) song song với đường thẳng  : x  2y  6  0 d song song với đường thẳng  : x  2 y  6  0 nên có phương trình d : x  2y  C  0 C  52 d là tiếp tuyến của (E) nên suy ra 1.16+4.9=C2   C   52 Vậy ta có hai tiếp tuyến là d1 : x  2 y  52  0 , d 2 : x  2 y  52  0 thoả mãnn yêu cầu bài toán b. Gọi d là tiếp tuyến của (E) vuông góc với đường thẳng :x  y  0 10 d vuông góc với đường thẳng  : x  y  0 nên có phương trình d :x yC 0 C  5 d là tiếp tuyến của (E) nên suy ra 1.16+1.9=C2   C  5 Vậy ta có hai tiếp tuyến d1 : x  y  5  0 , d2 : x  y  5  0 thoả mãnn yêu cầu bài toán. x2 y 2   1 . Biết tiếp VD4. Viết phương trình tiếp tuyến của elip (E) : 9 4 tuyến tạo với đường thẳng  : 2 x  y  0 một góc 450. Giải Giả sử tiếp tuyến d của (E) có hệ số góc k. Khi đó phương trình của đường thẳng d có dạng: d: y=kx+m  kx-y+m=0 d tạo với đường thẳng  một góc 450 nên suy ra tan 450  2k 2k  1 1  2k 1  2k 1  k   2  k   1  2k    3   k  3 1 ta được phương trình đường thẳng d1: x-3y+3m=0 3 m  5 2  d1 là tiếp tuyến của (E) khi 1.9+9.4=9m  m   5 Với k  Vậy ta được hai tiếp tuyến d1,1: x-3y+3 5 =0, d1,2: x-3y-3 5 =0 Với k=-3 ta được phương trình đường thẳng d2: 3x+y-m=0  m  85 d2 là tiếp tuyến của (E) khi 9.9+1.4=m2    m   85 Vậy ta được hai tiếp tuyến d2,1: 3x+y+ 85 =0, d2,2: 3x+y- 85 =0 11 Kết luận. Tồn tại bốn tiếp tuyến d1,1, d1,2, d2,1, d2,2 tới (E) thoả mãn yêu cầu bài toán. C. Bài tập đề nghị 1. Cho elip (E): x2 y 2   1 . Lập phương trình tiếp tuyến của (E), biết 25 16 tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : 2 x  y  0 một góc 450 Đáp số: d1,1 : 3x  2 y  13  0 d 2,1 : 3x  y  241  0 ; d1,2 : 3x  2 y  13  0 d 2,2 : 3x  y  241  0 x2 y 2   1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (E) 2. Cho elip (E): 9 4 biết a. Tiếp tuyến qua điểm A(3,0). b. Tiếp tuyến đi qua B(4,2). c. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : x  y  6  0 d. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : 2 x  y  2  0 Đáp án: a. x-3=0; b. y-2=0 và 16x-7y-50=0; c. x-y- 41 =0 và x-y+ 41 =0: d. x+2y+5=0 và x+2y-5=0 x2 y 2   1 . Biết tiếp tuyến 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (E): 9 16 tạo với đường thẳng  : x  2 y  0 một góc 600. 12 Chương2: tiếp tuyến của đường hypebol 2.1. Hypebol 2.1.1 Định nghĩa đường Hypebol Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2  2c (c>0). Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao cho MF1  MF2  2a , trong đó a là số cho trước nhỏ hơn c. Khí hiệu hypebol bởi (H) Hai điểm F1 , F2 gọi là các tiêu điểm của hypebol. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của hypebol. . . M . F2 F1 2.1.2. Phương trình chính tắc của hypebol Cho hypebol (H) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục toạ độ Oxy gốc là trung điểm của đoạ thẳng F1F2 và F2 nằm trên tia Ox. x2 y 2 Điểm M  x, y    H   2  2  1 (1) a b . F1(c,0) 13 . . M(x, y) O F2(c, 0) Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của hypebol Gốc toạ độ O là tâm đối xứng của hypebol Ox, Oy là hai trục đối xứng của hypebol Trục Ox (chứa hai tiêu điểm) gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của hypebol. Người ta cũng gọi đoạn thẳng nối hai đỉnh của hypebol là trục thực, khoảng cách 2a giữa hai đỉnh là độ dài trục thực, 2b gọi là độ dài trục ảo Hypebol gồm hai phần nằm hai bên trục ảo, mỗi phần gọi là một nhánh của hypebol. Hai đường thẳng bx+ay=0 và bx-ay=0 là hai đường tiệm cận của hypebol y 2 x2 Lưu ý: Với hypebol cho bởi phương trình 2  2  1 thì Oy là trục thực b a 2.2. Tiếp tuyến của đường Hypebol 2.2.1. Định nghĩa Cho hypebol (H) và đường thẳng d. Đường thẳng d gọi là tiếp tuyến của hypebol (H) nếu d không song song với các tiệp cận của (H) và d có một điểm chung duy nhất với (H). Khi d là tiếp tuyến của (H), ta cũng nói d tiếp xúc với (H) hay d và (H) tiếp xúc nhau. Điểm chung duy nhất của d và (H) gọi là tiếp điểm. 2.2.2. Định lí x2 y 2 Trong mặt phẳng Oxy cho hypebol (H): 2  2  1 . Và đường thẳng a b d: Ax+By+C=0 (A2+B2>0). Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d và hypebol (H) tiếp xúc nhau là: A2a2- B2b2=C2 Chứng minh: Do d không song song với các tiệm cận nên suy ra a 2 A2  b2 B 2  0 14 Đường thẳng d tiếp xúc với (H) khi và chỉ khi hệ sau :  x2 y 2  11   (I)  a 2 b có nghiệm duy nhất và a 2 A2  b2 B 2  0 .  Ax  By  C  0  2   Do A2+B2>0 không mất tổng quát ta giả sử B  0 , từ (2) ta suy ra y  Thế vào (1) ta được 2 B 2b 2 x 2  a 2  Ax  C   a 2b 2 B 2  Ax  C B   B2b2  A2a2  x2  2a2 ACx  a2b2 B2  a2C 2  0 (3) Hệ (I) có nghiêm duy nhất và a 2 A2  b2 B 2  0 khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất a 2 A2  b2 B 2  0 Suy ra  '  a 4 A2C 2   a 2b 2 B 2  a 2C 2  B 2b 2  a 2 A2   0  A2 a 2  B 2b 2  C 2 Hệ quả 1. Điều kiện cần và đủ để đường thẳng d: y=kx+m tiếp xúc với (H) là: k2a2- b2=m2. Hệ quả 2 . Cho hypebol (H): M0(x0,y0) thuộc (H) có dạng: d0: x2 y 2   1 . Khi đó tiếp tuyến với (H) tại a 2 b2 x0 x y0 y  2 1 a2 b Chứng minh: Hiển nhiên d0 đi qua M0(x0,y0). Mặt khác 2 2 x02 y02  x0  2  y0  a  2   b  2   2  2 1 a  b  a b 2 Theo định lí 2.2.2, đường thẳng x0 x y0 y  2  1  0 tức d0, là tiếp tuyến của a2 b hypebol (H). Vậy d0 tiếp xúc với (H) tại M0(x0,y0) thuộc (H) Phương pháp tìm ra phương trình đường thẳng d0 có dạng trên gọi là phương pháp phân đôi toạ độ 15 2.3. phương trình tiếp tuyến của đường Hypebol A. Cách xác định x2 y 2 Cho hypebol (H): 2  2  1 . Để xác định phương trình tiếp tuyến của a b (H) ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1. Ta thực hiện theo các bước sau: b1, Dựa vào điều kiện K của giả thiết, ta giả sử được đường thẳng d có d : Ax  By  C  0 phương trình b2, Giải điều kiện tiếp xúc A2a2- B2b2=C2 b3, Kết luận về tiếp tuyến d Chú ý: Điều kiện K thường gặp là: 1. Tiếp tuyến đi qua một điểm M cho trước, khi đó: a. Nếu M0(x0,y0) thuộc (H) ta có ngay phương trình tiếp tuyến bằng phương pháp phân đôi toạ độ b. Nếu M0(x0,y0) không thuộc (H) ta giả sử d : A(x-x0)+B(y-y0)=0 (A2+B2>0)  d: Ax+By – (Ax0+By0)=0 (2) 2. Tiếp tuyến có hệ số góc cho trước a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  : Ax  By  C  0 . Khi đó d: Ax+By+C’=0 b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : Ax  By  C  0 . Khi đó d: Bx-Ay+C’=0 c.Tiếp tuyến có tạo với đường thẳng  một góc  . Khi đó linh hoạt vận dụng công thức  u.v  cos    , với u, v thứ tự là vectơ chỉ phương của d và  . u.v 16 tan   k1  k2 , với k1, k2 thứ tự là hệ số góc của d và  . 1  k1k2 Cách 2. Đi tìm tiếp điểm rồi sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ để giải Ta thực hiên theo các bước sau: b1, Giả sử M0(x0,y0) là tiếp điểm, khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng d0: x0 x y0 y  2  1 (1) a2 b x02 y02 Điểm M0(x0,y0) thuộc (H) nên 2  2  1 (2) a b b2, Sử dụng điều kiện K của giả thiết ta thiết lập thêm một phương trình theo x0, y0 (3). b3, Giải hệ tạo bởi (2) và (3) ta được toạ độ điểm M0 , từ đó thay vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần xác định. B. Các ví dụ y2  1. Xác định phương trình tiếp tuyến của VD1. Cho hypebol (H): x  2 2  (H) đi qua M 2, 6  Giải:   Dễ dàng kiểm tra được điểm M 2, 6 thuộc (H), khi đó sử dụng phương pháp phân đôi toạ độ, ta được phươnng trình tiếp tuyến của (H) tại M là: d : 2x  6 y  1  d : 4x  6 y  2  0 . 2 VD2. Cho đường thẳng  và hypebol (H) có phương trình:  : x  y  2007  0 x2 y 2 H :  1 8 4 a. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) song song với  17 b. Lập phương trình tiếp tuyến của (H) vuông góc với  Giải: a. Ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1. Đường thẳng d song song với  có phương trình: d :x yC 0 d là tiếp tuyến của (H) khi : C  2 1.8  1.4  C 2   C  2 Với C=2 ta có tiếp tuyến d1: x-y+2=0. Với C=-2 ta có tiếp tuyến d2: x-y-2=0. Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán. Cách 2. Giả sử tiếp điểm cần tìm là M0(x0,y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: d: x0 x y0 y   1  x0 x  2 y0 y  8  0 (1) 8 4 M 0  x0 , y0    H   Đường thẳng d//  khi và chỉ khi x02 y02   1 (2) 8 4 x0 2 y0   x0  2 y0 (3) 1 1 Giải hệ phương trình tạo bởi (2) và (3) ta được:   x0  4    y0  2   M1  4,2    x  4  M  4, 2   2  0   y0  2 Với M1  4,2 thay vào (1) ta được tiếp tuyến d1: x-y-2=0 Với M 2  4, 2 thay vào (1) ta được tiếp tuyến d2: x-y+2=0 Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán 18 Nhận xét: Nếu ta chọn cách 2 thì từ (3) ta có ngay phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M1, M2 tức là: M1M 2 : x  2 y  0 . Tuy nhiên khi bài toán không đòi hỏi tới tiếp điểm thì cách 2 lại trở lên cồng kềnh, dễ gây nhầm lẫn khi giải toán. b. Ta cũng có thể lựa chọn một trong hai cách giải sau Cách 1. Đường thẳng d   có phương trình: d : x  y  C  0 Đường thẳng d tiếp xúc với (H) khi và chi khi C  2 1.8  1.4  C 2   C  2 Với C=2 ta có tiếp tuyến d1: x+y+2=0. Với C=-2 ta có tiếp tuyến d2: x+y-2=0. Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán. Cách 2. Giả sử tiếp điểm cần tìm là M0(x0,y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: d: x0 x y0 y   1  x0 x  2 y0 y  8  0 (1) 8 4 M 0  x0 , y0    H   x02 y02   1 (2) 8 4 Đường thẳng d   khi và chỉ khi: x0 2 y0   x0  2 y0 (3) 1 1 Giải hệ phương trình tạo bởi (2) và (3) ta được:   x0  4    y0  2   M1  4,2    x  4  M 2  4, 2   0   y0  2 Với M1  4,2 thay vào (1) ta được tiếp tuyến d1: x+y+2=0 Với M 2  4, 2  thay vào (1) ta được tiếp tuyến d2: x+y-2=0 Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán 19 VD3. Cho hypebol (H) có phương trình  H  : x2 y 2   0 . Viết phương 16 9 trình tiếp tuyến của (H) biết: a. Tiếp tuyến đi qua điểm A(2,1). b. Tiếp tuyến tạo với đường thẳng  : 2 x  y  2007 một góc 450 Giải: a. Đường thẳng d qua A(2,1) có phương trình: d : A x  2  B  y  1  0  Ax  By  2 A  B  0 d là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi: 16 A2  9 B 2   2 A  B  2  6 A2  2 AB  5B 2  0  1  31 B A  6   1  31 B A  6  Với A  1  31 B ta được tiếp tuyến 6   d1 : 1  31 x  6 y  8  2 31  0 Với A  1  31 B ta được tiếp tuyến 6   d2 : 1  31 x  6 y  8  2 31  0 Vậy tồn tại hai tiếp tuyến d1 và d2 tới (H) thoả mãnn yêu cầu bài toán. b. Giả sử tiếp tuyến d có hệ số góc k. Khi đó: 1  k  2k tan 45   3  1  2k  k  3 0 20